La recta numérica o recta real está compuesta por distintos conjuntos numéricos ordenados de menor a mayor. Entre ellos, encontramos el conjunto de los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números irracionales. Todos juntos completan la recta.
Los números naturales son llamados así porque fueron los primeros que usó el hombre para contar.
Comparación de cantidades
Si trabajamos con números enteros, comparar es una tarea sencilla. En una recta numérica, los mayores números naturales y decimales son aquellos que están más a la derecha. Por ejemplo, entre el 25 y el 60, el 60 es mayor porque está más a la derecha en la recta numérica. En cambio, si deseamos comparar fracciones, tenemos que considerar los denominadores y los numeradores. Si en dos fracciones los denominadores son iguales, la fracción mayor será aquella que tenga mayor numerador, pero si los numeradores son iguales, la fracción mayor será aquella que tenga menor denominador.
Si comparamos porciones sabremos que la que veamos con mayor superficie será la más grande. Lo mismo pasa con los números racionales.
Proporciones
Las proporciones son relaciones entre cantidades. Estas relaciones nos permiten calcular una magnitud desconocida por medio de una relación conocida. Un método de gran utilidad para resolver estos problemas es la regla de tres, la cual puede ser directa (si la proporcionalidad es directa) o inversa (si la proporcionalidad es inversa).
La torta y otras comidas son elaboradas a partir de recetas pensadas para una cantidad determinada de personas. ¿Y si vienen más invitados? En estos casos, tenemos que recurrir a la regla de tres y ver cuánto de cada ingrediente necesitaremos.
Relaciones Espaciales
Todo el tiempo usamos relaciones espaciales. Estas nos ayudan a no perdernos al ir de compras o a ubicar una ciudad a cierta distancia de la nuestra. Podemos representar posiciones en un croquis, el cual no es tan preciso porque no tiene marcas de distancia, y también podemos hacerlo en un mapa, representación gráfica de un territorio con escalas métricas.
Cuando nos vamos de vacaciones nos llevamos un mapa de rutas para ver qué camino nos conviene tomar o programamos el GPS del vehículo.
A cada número natural le corresponde una única posición en la recta numérica y a medida que nos movemos en ella hacia la derecha encontramos números mayores. Esto también sucede con los números decimales, es decir, aquellos más pequeños que la unidad. Todos tienen un orden y, por lo tanto, unos representan una mayor cantidad que otros.
números naturales en la recta numérica
Los números naturales son aquellos que usamos para contar y su conjunto se presenta como:
Como nuestro sistema de numeración decimal es posicional, cada cifra dentro de un número tiene un valor relativo. Así, un número de siete cifras está formado por unidades de millón, centenas de mil, decenas de mil, unidades de mil, centenas, decenas y unidades. Por ejemplo:
En la tabla vemos que el número 1.895.632 tiene:
1 unidad de millón = 1.000.000
8 centenas de mil = 800.000
9 decenas de mil = 90.000
5 unidades de mil = 5.000
6 centenas = 600
3 decenas = 30
2 unidades = 2
Para representar este tipo de números en la recta numérica lo primero que hacemos es ubicar en ella un punto arbitrario, este será el origen y la posición del cero (0). Luego hacemos marcas con rayas verticales de igual distancia entre una y otra.
Cada uno de los pequeños segmentos simboliza una unidad, por lo que en la línea vertical que se encuentra inmediatamente a la derecha del 0 se coloca el 1, después el 2 y así se continúa con el resto de los números naturales:
¿Siempre se comienza desde el 0?
No necesariamente. Podemos utilizar solo una parte de la recta y mostrar el intervalo de números. Por ejemplo, entre el 726.580 y el 726.590 está ubicado el número 726.586.
Los números naturales son los primeros números utilizados en la historia del hombre. Los usaban principalmente para contar objetos. Algunos autores coinciden en que el cero no es un número natural, pero algunos otros prefieren incluirlo por ser la ausencia de algo. Los números naturales no incluyen a las fracciones ni a los números decimales.
COMPARACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Todos los números naturales tienen un orden, es decir, siguen una secuencia en la que un número es mayor o menor que otro. Para mostrar esta relación usamos los siguientes símbolos:
> que significa “mayor que”.
< que significa “menor que”.
= que significa “igual a”.
En una recta numérica, el número que se encuentre más a la derecha será el mayor.
– Ejemplo:
Compara los números 726.589 con 726.592, ¿cuál es mayor?
Como 756.592 está más a la derecha en la recta numérica, decimos que 756.592 es mayor que 756.589. Se escribe así:
756.592> 726.589
– Otros ejemplos:
Compara los números 1.252 y 1.256.
1.252 < 1.256
1.256 > 1.252
Compara los números 500, 590 y 540.
500 < 540 < 590
590 > 540 > 500
Comparación de números naturales por el método aritmético
Si uno de los dos números tiene más cifras que el otro, entonces el que tenga mayor cantidad de cifras será el mayor. Por ejemplo, 1.225.988 > 899.999 ya que el primer número tiene 7 cifras y el segundo tiene 6.
Si los dos tienen la misma cantidad de cifras, comparamos cifra por cifra de izquierda a derecha. Por ejemplo, 8.225.988 y 8.225.899 tienen la misma cantidad de cifras, así que comparamos una por una:
Como 9 > 8, podemos afirmar que 8.225.988 > 8.225.899.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON NÚMEROS NATURALES
1. Máximo, Joaquín y Lucía quieren comprar una guitarra. Máximo tiene $ 1.000, Lucía $ 2.000 y Joaquín $ 6.000. La guitarra cuesta $ 11.000. ¿Cuánto dinero falta para poder comprar la guitarra?
Datos
Dinero de Máximo: $ 1.000
Dinero de Lucía: $ 2.000
Dinero de Joaquín: $ 6.000
Pregunta
¿Cuánto dinero falta para poder comprar la guitarra?
Piensa
Para poder calcular la cantidad de dinero que falta debemos saber cuánto hay en total, así que sumamos las cantidades de Máximo, Lucía y Joaquín. Luego, por medio de una recta numérica, contamos los espacio que faltan desde el punto que representa la cantidad total de dinero hasta los $ 11.000.
Calcula
Total de dinero:
$ 1.000 + $ 2.000 + $ 6.000 = $ 9.000
Dinero que falta:
Faltan dos espacios para llegar a $ 11.000 y como cada espacio es igual a 1 unidad de mil: 2 × 1.000 = 2.000.
Respuesta
Faltan $ 2.000 para poder comprar la guitarra.
2. La cantidad de habitantes de la ciudad de Córdoba es 1.329.604 y la de Montevideo es 1.319.108. ¿Cuál ciudad tiene mayor cantidad de habitantes?
Datos
Habitantes de Córdoba: 1.329.604
Habitantes de Montevideo: 1.319.108
Pregunta
¿Cuál ciudad tiene mayor cantidad de habitantes?
Piensa
Como ambos número son grandes y tienen la misma cantidad de cifras, tenemos que comparar cifra por cifra. El primer dígito que sea diferente nos indicará cuál número es mayor.
Resuelve
Por lo tanto, 1.329.604 > 1.319.108
Respuesta
La ciudad de Córdoba tiene más habitantes que la de Montevideo.
3. Carla tiene 10 años. José es su hermano y tiene 5 años más que ella. Martina es su hermana y tiene 7 años menos que José. ¿Cuántos años tiene José y y cuántos tiene Martina? ¿Cuál es el hermano mayor?
Datos
Edad de Carla: 10 años
Edad de José: 5 años más que Carla
Edad de Martina: 7 años menos que José
Preguntas
¿Cuántos años tiene José y cuántos tiene Martina? ¿Cuál es el hermano mayor?
Piensa
Tenemos que realizar una recta numérica y ubicar la edad de Carla que es la única conocida. Luego nos movemos 5 espacios a la derecha para saber la edad de José y desde allí nos movemos 7 espacios a la izquierda para saber la edad de Martina. Finalmente comparamos cantidades.
Resuelve
15 > 10 > 8
Respuesta
José tiene 15 años y Martina tiene 8 años.
José es el hermano mayor.
Primeros números arábigos
La actual representación de los números arábigos encuentra su origen en la India, aunque se introdujo en Europa a través de textos árabes. El Codex Vigilanus es el primer texto europeo que los contiene, aunque no en el estado actual y, además, sin el 0. El nombre de este texto se debe a su autor, el monje Vigila, que lo redactó en el año 976, en Albelda, España.
NÚMEROS DECIMALES en la recta numérica
Los números decimales están formados por dos partes: una entera y una decimal, ambas separadas por una coma. Después de la coma, cada cifra tiene una valor según su posición.
Podemos observar en la tabla que el número 632,549 tiene:
6 centenas = 600
3 decenas = 30
2 unidades = 2
5 décimas = 0,5
4 centésimas = 0,04
9 milésimas = 0,009
Unidades decimales
Décimas
Centésimas
Milésimas
Es igual a la unidad dividida en 10 partes iguales.
Es igual a la unidad dividida en 100 partes iguales.
Es igual a la unidad dividida en 1.000 partes iguales.
Como los números decimales se encuentran entre los enteros, también podemos representarlos en una recta numérica, solo tenemos que crear subdivisiones. Por ejemplo, para ubicar las décimas entre los enteros 1 y 2 basta con dividir en diez partes iguales el espacio entre ambos números:
– Ejemplo:
El número 1,7 está ubicado entre los números 1 y 2.
También podemos representar las centésimas si subdividimos el espacio entre dos décimas.
– Ejemplo:
El número 1,74 está ubicado entre los números 1,7 y 1,8.
Los números decimales expresan números no enteros. Contienen una parte entera y una parte decimal. Para compararlos, debemos tomar en cuenta la parte entera. Siempre será mayor el número decimal que tenga mayor parte entera. En el caso de que las partes enteras sean iguales, procedemos a comparar las cifras decimales de izquierda a derecha.
COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Los números decimales siguen un orden y tal como en el caso de los números naturales usamos < y > para indicar que una cantidad es menor o mayor que otra. En una recta numérica, mientras más a la derecha esté el número mayor será su valor.
– Ejemplo:
Compara los números 4,31 y 4,35.
El número 4,35 es mayor que 4,31 porque está más a la derecha en la recta numérica. Se escribe así:
4,35 > 4,31
– Otros ejemplos:
Compara los números 9,5 y 9,3.
9,5 > 9,3
9,3 < 9,5
Compara los números 6,72 y 6,79.
6,79 > 6,72
6,72 < 6,79
¿Sabías qué?
Aunque en los números naturales la cantidad de cifras determina si un número es mayor que otro, en los números decimales no sucede lo mismo, por ejemplo, 3,5 > 3,359875.
Comparación de números decimales el método aritmético
En este método, primero comparamos las parte enteras. Si las partes enteras son iguales, seguimos con las décimas, y así sucesivamente hasta hallar las cifras que sean diferentes. Por ejemplo, 9,125 < 9,145 porque la centésima 2 es menor que 4.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON NÚMEROS DECIMALES
1. Para un examen físico se midieron las estaturas de algunos estudiante. La estatura de Luis es 1,78 m, la de Carlos es 1,86 m y la de Juan 1,77 m. ¿Quién es el más alto de los tres?, ¿quien es el más bajo de los tres?
Datos
Estatura de Luis: 1,78 m
Estatura de Carlos: 1,86 m
Estatura de Juan: 1,76 m
Pregunta
¿Quién es el más alto de los tres?, ¿quien es el más bajo de los tres?
Piensa
Hay que saber quién es el más alto y el más bajo, así que solo tenemos que compara esos tres números por medio de una recta numérica.
Resuelve
1,86 > 1,78 > 1,76
Respuesta
Carlos es el estudiante más alto y Juan es el estudiante más bajo.
2. Varios estudiantes participaron en una prueba de saltos de longitud. María saltó 1,58 m; Pedro salto 1,62 m y Santiago saltó 1,56 m. Si Juan saltó más que Santiago y menos que María, ¿qué longitud pudo saltar Juan? ¿Quién hizo el salto de mayor longitud?
Datos
Salto de María: 1,58 m
Salto de Pedro: 1,62 m
Salto de Santiago: 1,56 m
Salto de Juan: mayor al de Santiago y menor al de María
Preguntas
¿Qué longitud pudo saltar Juan? ¿Quién hizo el salto con mayor longitud?
Piensa
Para saber la longitud del salto de Juan debemos dibujar una recta numérica y ver las posibles opciones entre 1,58 (salto de María) y 1,56 (salto de Santiago). Luego, para saber quién hizo el salto de mayor longitud, comparamos todos lo valores y el que esté más a la derecha en la recta numérica será el mayor.
Resuelve
1,62 > 1,58 >1,57 > 1,56
Respuesta
Juan saltó 1,57 m.
Pedro hizo el salto de mayor longitud.
3. En una carrera, Araceli tardó 8 minutos y 6 décimas en llegar a la meta; Francisco tardó 8 minutos y 6 centésimas y Agustín tardó 8 minutos y 6 milésimas. ¿Quién llegó primero a la meta? ¿quién llegó de último?
Datos
Tiempo que tardó Araceli: 8 minutos y 6 décimas = 8,6
Tiempo que tardó Francisco: 8 minutos y 6 centésimas = 8,06
Tiempo que tardó Agustín: 8 minutos y 6 milésimas = 8,006
Preguntas
¿Quién llegó primero a la meta? ¿quién llegó de último?
Piensa
Para comparar estos números debemos fijarnos solo en la parte decimal porque la parte entera es igual en los tres casos. Entonces vemos cifra por cifra, la primera que sea mayor o menor que otra indicará el valor del número.
Resuelve
Como 6 > 0, podemos decir que 8,6 > 8,06 > 8,006.
Respuesta
Agustín llegó primero y Araceli llegó última.
La coma y el punto son usados como separadores de los números decimales y ambos son válidos. La diferencia en usar una u otra radica en el lugar en donde te encuentres. En gran parte de Europa y América del Sur se emplea la coma, pero algunos países como Estados Unidos, Canadá, México y Reino Unido emplean el punto.
¡A practicar!
1. Escribe el símbolo de relación que sea necesario.
1.893.697 ____ 999.265
Solución
1.893.697 > 999.265
56,98 ____ 56,09
Solución
56,98 > 56,09
678.654 ____ 678.655
Solución
678.654 < 678.655
9.625.369 ____ 9.630.999
Solución
9.625.369 < 9.630.999
2.369.845 ____ 2.369.835
Solución
2.369.845 > 2.369.835
23,896 ____ 23,9
Solución
23,896 < 23,9
198.654,023 ____ 198.654,003
Solución
198.654,023 > 198.654,003
1.268,96 ____ 1.278,99
Solución
1.268,96 < 1.278,99
2. Ordena de mayor a menor los siguientes números. Usa los símbolos de relación necesarios.
Hacemos uso de las sucesiones al contar los días de la semana, del mes o del año. También al contar las horas del día o simplemente al contar los pasos para llegar a casa. Las sucesiones no son más que un conjunto de números organizados de un forma determinada. No solo las podemos encontrar con números, sino también con figuras.
Las primeras nociones sobre las sucesiones fueron propuestas por Fibonacci. A él se le ocurrió estudiar este concepto por medio de la relación que tenía con la reproducción de los conejos. ¡Sí! Los conejos se reproducen de forma sucesiva. Cada mes una hembra puede dar a luz, y por lo tanto, puede tener cientos de hijos al año.
¿QUÉ SON SUCESIONES?
Una sucesión es un conjunto de elementos ordenados de forma ascendente o descendente. Los elementos de este conjunto se denominan términos y estos siguen una regla, la cual permite calcular cada uno de ellos.
Las sucesiones pueden ser finitas o infinitas. Las sucesiones finitas tienen un número determinado de términos y las infinitas no tienen término final. Por ejemplo:
Sucesión finita =
Sucesión infinita =
¿Sabías qué?
Los puntos suspensivos (…) indican que la sucesión continua hasta el infinito.
Términos de una sucesión
Los términos de una sucesión se expresan con subíndices: a1, a2, a3, a4, a5 …, los cuales indican la posición de cada uno dentro de la secuencia, por ejemplo, el término a1 ocupa la primera posición de la secuencia, el término a2 corresponde al segundo lugar y así sucesivamente con cada uno.
Podemos calcular cada término de una sucesión de acuerdo a esta relación:
an = a0 + nr
Donde:
a0: término anterior al primero.
r: regla de la sucesión.
n: número de término.
– Ejemplo:
Podemos representar una sucesión por un término general o enésimo. En este caso su fórmula es:
an = −1 + n · (+3)
an = −1 + 3n
Observa que la regla de sucesión (r) es +3, por lo tanto, el término anterior al primero (t0) es igual a −1. Si queremos hallar el término a8 solo aplicamos la fórmula anterior:
a8 = −1 + 3 · 8 ⇒ a8 = −1 + 24 ⇒ a8 = 23
¿Cuáles son los términos?
Emplea la fórmula y determina cuáles son los términos a10, a12 y a15 de la secuencia anterior.
Solución
a10 = −1 + 3 · 10 ⇒ a10 = −1 + 30 ⇒a10 = 29
a12 = −1 + 3 · 12 ⇒ a12 = −1 + 36 ⇒ a12 = 35
a15 = −1 + 3 · 15 ⇒ a15 = −1 + 45 ⇒ a15 = 44
Sucesión de Fibonacci
Una de las sucesiones conocidas más importantes es la de Fibonacci. Este tipo de secuencia lleva su nombre en honor al matemático italiano Leonardo Fibonacci y se caracteriza por el hecho de que cada número resulta de sumar los dos números anteriores a este. El término general de la misma es y la forma más básica de este tipo de sucesión es:
No solo podemos encontrar sucesiones de números, también es posible encontrar sucesiones con diferentes figuras. Por ejemplo:
En ella se puede ver que las figuras están en orden ascendente con respecto a sus lados. Cada figura tiene un lado más que la anterior.
– Ejemplo 2:
También es posible conseguir sucesiones con figuras en distintas posiciones, como este ejemplo:
Como puedes ver en la imagen, todas las flechas tienen una dirección y sentido diferente, pero si te fijas con atención, el movimiento es igual al de las agujas del reloj, es decir, van en sentido horario. Este patrón nos permite saber cuál será la próxima figura en la sucesión:
Uno de los campeonatos más vistos es el Mundial de fútbol de la FIFA. En este, se clasifican 32 selecciones y, a medida que transcurre el torneo, se eliminan la mitad de los equipos en encuentros entre ellos. Así, comienzan 32, luego 16, 8, 4, 2, hasta que solo queda 1, el equipo campeón. Como ves, esta es una sucesión descendente en la que cada término es igual a la mitad del anterior.
SUCESIONES CON SUMAS Y RESTAS
Podemos construir sucesiones por medio de sumas, restas o la combinación de ambas operaciones. Por ejemplo:
– Otro ejemplo:
En la sucesión anterior, a medida que disminuye el número en cada término, la resta entre el término siguiente y el anterior aumenta.
Algunas aplicaciones
Debido a lo práctico que resulta expresar en forma general una secuencia ordenada de números, las sucesiones matemáticas han sido aplicadas en muchas disciplinas además de la matemática. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se ha aplicado en la arquitectura, el arte y la informática.
Las progresiones son un tipo de sucesiones que se utilizan para realizar diversos cálculos como la determinación del interés compuesto. Las progresiones aritméticas también se usan en las interpolaciones, que consisten en calcular valores que se encuentran entre dos dados.
¡A practicar!
1. Consigue la regla de la sucesión en cada caso.
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Solución
{45, 44, 42, 39, 35, 30, 24, 17, 9}
Solución
2. ¿Cuál es la imagen que falta?
Solución
3. ¿Cuáles son las figuras que deben ir en los espacios en gris?
Solución
4. Selecciona cuál de las imágenes del segundo bloque es la que corresponde al cuadrado que falta en el primer bloque.
Solución
5. Calcula el término a25 de la siguiente sucesión:
{23, 27, 31, 35, 39}
Solución
Datos:
a0 = 19
r = +4
Término enésimo:
an = 19 + n · (+4)
an = 19 + 4n
Resultado:
a25 = 19 + 4 · 25
a25 = 19 + 100
a25 = 119
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Sucesiones”
Este artículo lo ayudará a complementar la información sobre las sucesiones.
Los números son símbolos escritos que reflejan cantidades de objetos reales e imaginarios. Por ejemplo, vemos números en las medidas y posiciones en el orden de llegada de una carrera, en la tabla de puntajes de un juego o en actividades cotidianas, como cuando cambiamos de canal con el control remoto del televisor.
Lectura de números hasta el 10.000
Existen ocasiones en las que usamos números que involucran una, dos, tres o más cifras. Cada una de estas cifras tiene un valor según la posición que tengan dentro del número. De acuerdo a esta posición y a los nombres de cada dígito podremos nombrar números de hasta cinco o más cifras.
Desde hace miles de años, el hombre ha sentido la necesidad de expresar cantidades a partir de sistemas de signos comprensibles por toda su comunidad. Los números arábigos, desarrollados en la India y transmitidos por los árabes, son los diez dígitos del sistema de numeración decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos formamos infinidad de números.
Ejemplo:
Si queremos leer el número 542, lo primero que hacemos es ubicar cada cifra en una tabla de valor posicional como esta:
Donde:
U: unidades
D: decenas
C: centenas
Observa que:
El 5 está ubicado en la posición de las centenas → 5 x 100 = 500, se lee “quinientos”.
El 4 está ubicado en la posición de la decenas → 4 x 10 = 40, se lee “cuarenta”.
El 2 está ubicado en la posición de la unidades → 2 x 1 = 2, se lee “dos”.
Por lo tanto, el número 542 se lee: “quinientos cuarenta y dos”.
Otro ejemplo:
Para el leer el número 709 realizamos una tabla de valor posicional y ubicamos sus cifras:
Observa que:
El 7 está ubicado en la posición de las centenas → 7 x 100 = 700, se lee “setecientos”.
El 9 está ubicado en la posición de la unidades → 9 x 1 = 2, se lee “nueve”.
El número 709 se lee: “setecientos nueve”.
¡Atención a los ceros!
¿Qué pasa cuando una posición está ocupada por el cero (0)?
En estos casos no tomamos en cuenta su valor posicional para la lectura del número.
Para leer números mayores a 999 colocamos un punto después de las centenas, es decir, a la izquierda de la tercera cifra. Este punto indica el comienzo de una clase llamada miles.
De este modo, para escribir y leer correctamente el número 2435, primero colocamos un punto al lado izquierdo de la centena. El punto rojo se lee “mil”:
2.435
Luego ubicamos cada cifra en una tabla posicional. Esta vez, añadimos las unidades, decenas y centenas de mil.
Observa que:
El 2 está ubicado en la posición de las unidades de mil → 2 x 1.000 = 2.000, se lee “dos mil”.
El 4 está ubicado en la posición de la centenas → 4 x 100 = 400, se lee “cuatrocientos”.
El 3 está ubicado en la posición de la decenas → 3 x 10 = 30, se lee “treinta”.
El 5 está ubicado en la posición de las unidades → 5 x 1 = 5, se lee “cinco”.
El número 2.435 se lee: “dos mil cuatrocientos treinta y cinco”.
Ejemplo:
– Lee el número 6.028.
El 6 está ubicado en la posición de las unidades de mil → 6 x 1.000 = 6.000, se lee “seis mil”.
El 2 está ubicado en la posición de la decenas → 2 x 10 = 20, se lee “veinte”.
El 8 está ubicado en la posición de las unidades → 8 x 1 = 8, se lee “ocho”.
El número 6.028 se lee: “seis mil veintiocho”
Representación de cantidades
La cinta métrica o metro es un instrumento de medida que consiste en una cinta flexible graduada. Con ella medimos líneas rectas y superficies curvas. Se utiliza en casa y en la construcción. Tiene marcas divisorias con números que representan los centímetros (cm) y los milímetros (mm). Su largo promedio es de 2 metros.
Para representar cantidades utilizamos 10 dígitos que combinados entre sí forman infinitos números y, como ya sabes, cada dígito cambia su valor según la posición que tenga en el número. Por lo tanto, la misma cifra puede tener distintos valores. Observa:
Esta información es útil si tuviésemos, por ejemplo, que pagar una cuenta y debemos descomponer un número grande. Los billetes y monedas por lo general señalan el valor de una unidad (1), de una decena (10) o de una centena (100). Por ejemplo, si tienes monedas de $ 1 y billetes de $ 10 y $ 100 y debes pagar $ 435, ¿cuántos billetes y monedas tomarías de cada uno?
De la tabla de valor posicional observamos sus valores relativos:
Ahora sabemos que si tomamos 5 monedas de $ 1; 3 billetes de $ 10 y 4 billetes de $ 100, tenemos $ 435. De modo gráfico puedes verlo a continuación:
Podemos concluir que 435 = (4 x 100) + (3 x 10) + (5 x 1)
¡A practicar!
¿Cuántos billetes y monedas de $ 1 , $ 10 y $ 100 necesitarías para formar estas cantidades?
876
Solución
8 billetes de $ 100
7 billetes de $ 10
6 monedas de $ 1
1.000
Solución
10 billetes de $ 100
611
Solución
6 billetes de $ 100
1 billete de $ 10
1 moneda de $ 1
¿Dónde usamos los números?
En los carteles que indican la numeración de las calles. Por ejemplo, calle Maipú del 800 al 900.
En los precios de los productos que se compran y venden en la juguetería. Por ejemplo, una muñeca cuesta $ 850, es decir, ochocientos cincuenta pesos.
En el número que señala la balanza cuando nos pesamos. Por ejemplo, Juan se pesó en la balanza de la farmacia y su peso fue 65 kilogramos.
En el dinero entregado al vendedor cuando se paga el precio de un producto. Por ejemplo, la mamá de Pedro fue a la verdulería y gastó $ 420, entonces le dio al vendedor cuatro billetes de $ 100 y dos billetes de $ 10.
¿Sabías que...?
En el sistema de numeración egipcio se simbolizaban los múltiplos de 10 (1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 y 1.000.000) con dibujos denominados ideogramas que representaban conceptos o ideas.
Aproximación por redondeo
Consiste en reducir o aumentar la cantidad del número para acercarlo al número redondo más próximo en la recta númerica. Redondear números te ayudará a manejar mejor los cálculos mentales cuando no necesites una respuesta exacta.
Redondear números permite realizar las cuentas de manera más sencilla y estimar el resultado por medio de números más cercanos y redondos. En la vida cotidiana es muy común redondear cantidades cuando nos faltan monedas o queremos usar pocos billetes para pagar el precio exacto de los productos comprados en los comercios.
Pasos para aproximar un número a la decena más cercana
1. Identifica la cifra que está en la posición de las unidades.
2. Si la cifra que está en la posición de las unidades es menor que cinco (5), no cambies la decena y escribe un cero (0) en el lugar de las unidades.
3. Si la cifra que está ubicada en la posición de las unidades es igual o mayor que cinco (5), aumenta una unidad en la decena y escribe un cero (0) en el lugar de las unidades.
– Redondea el número 343 a su decena más cercana.
Primero identificamos la unidad:
343
Luego, como la unidad es menor que cinco (3 < 5), mantenemos la decena igual y escribimos un cero (0) en el lugar de la unidades:
343 ≈ 340
Por lo tanto, el número 343 es aproximadamente igual a 340.
¿Sabías qué?
El símbolo “≈” se lee “aproximadamente igual a”.
– Redondea el número 2.589 a su decena más cercana.
Primero identificamos la unidad.
2.589
Luego, como la unidad es mayor que cinco (9 > 5), aumentamos la decena una unidad y escribimos un cero en el lugar de las unidades.
2.589 ≈ 2.590
Por lo tanto, el número 2.589 es aproximadamente igual a 2.590.
Pasos para aproximar un número a la centena más cercana
1. Identifica la cifra que está en la posición de las decenas.
2. Si la cifra que está en la posición de las decenas es menor que cinco (5), no cambies la centena y escribe un cero (0) en el lugar de las decenas y de las unidades.
3. Si la cifra que está ubicada en la posición de las decenas es igual o mayor que cinco (5), aumenta una unidad en la centena y escribe un cero (0) en el lugar de las decenas y de las unidades.
– Redondea el número 9.411 a la centena más cercana
Primero identificamos la decena.
9.411
Luego, como la decena es menor que cinco (1 < 5), no cambiamos la centena y escribimos un cero (0) en el lugar de las decenas y de las unidades:
9.411 ≈ 9.400
Por lo tanto, el número 9.411 es aproximadamente igual a 9.400.
– Redondea el número 6.382 a la centena más cercana.
Primero identificamos la decena.
6.382
Luego, como la decena es mayor que cinco (8 > 5), aumentamos la centena una unidad y escribimos un cero en el lugar de las decenas y de las unidades.
6.382 ≈ 6.400
Por lo tanto, el número 6.382 es aproximadamente igual a 6.400.
¡A practicar!
Una familia se va de viaje y cuando llegan al kilómetro 485 hacen una parada para comer en una estación de servicio. Luego siguen su camino. En el kilómetro 495 se detiene el auto por falta de combustible y el padre tiene que salir a buscar gasolina. Él sabe que en el kilómetro 500 también hay una estación de servicio.
¿Hacia dónde le conviene ir si quiere caminar la menor cantidad de kilómetros posible? ¿Hacia la estación de servicio del kilómetro 485 o a la del kilómetro 500?
Solución
Le conviene ir a la estación de servicio del kilómetro 500 porque está a menor distancia que la otra.
Números ordinales
Los números ordinales sirven para representar un orden y se escriben antes de un sustantivo, por ejemplo “tercer grado”, donde la primera palabra es el número ordinal y la segunda es el sustantivo al que se refiere. También se usan en las colecciones de libros, el que tiene el número 1 es el primero, el que tiene el número 2 es el segundo y así sucesivamente.
Los números ordinales nos indican la posición en la que se ubica un elemento en una sucesión o lista. Para representarlos usamos números naturales seguidos por una letra que indica el género (masculino-femenino) del sustantivo al que se refieren. Por ejemplo:
El 5.º auto, se lee “el quinto auto”.
La 6.ª mesa, se lee “la quinta mesa”.
Estos números sirven para designar los pisos que hay en un edificio e indicar la dirección de vivienda de una persona. Por ejemplo, departamento A del 2º piso:
Estos son los nombres de los números ordinales del 1 al 50:
Número arábigo
Número ordinal
1.º/1.ª
primero/primera
2.º/2.ª
segundo/segunda
3.º/3.ª
tercero/tercera
4.º/4.ª
cuarto/cuarta
5.º/5.ª
quinto/quinta
6.º/6.ª
sexto/sexta
7.º/7.ª
séptimo/séptima
8.º/8.ª
octavo/octava
9.º/9.ª
noveno/novena
10.º/10.ª
décimo/décima
11.º/11.ª
décimo primero/décimo primera
12.º/12.ª
décimo segundo/décimo segunda
13.º/13.ª
décimo tercero/décimo tercera
14.º/14.ª
décimo cuarto/décimo cuarta
15.º/15.ª
décimo quinto/décimo quinta
16.º/16.ª
décimo sexto/décimo sexta
17.º/17.ª
décimo séptimo/décimo séptima
18.º/18.ª
décimo octavo/décimo octava
19.º/19.ª
décimo noveno/décimo novena
20.º/20.ª
vigésimo/vigésima
30.º/30.ª
trigésimo/trigésima
40.º/40.ª
cuadragésimo/cuadragésima
50.º/50.ª
quincuagésimo/quincuagésima
Para escribir números ordinales mayores al 20 primero se escribe el número ordinal del primer valor relativo, luego se escribe el del segundo, por ejemplo:
25.º es igual a “vigésimo quinto”.
42.º es igual a “cuadragésimo segundo”.
¿Sabías qué?
El número ordinal correspondiente al once puede ser nombrado como “décimo primero” o “undécimo”. En el caso del número 12, se lo denomina “décimo segundo” o “duodécimo”.
Números romanos
El reloj de la imagen indica la hora en una circunferencia numerada según el sistema romano. Este sistema de numeración fue inventado en la Antigua Roma y se basaba en la suma y resta de valores representados por letras mayúsculas. A pesar de estar en desuso, se lo puede encontrar en libros, objetos y denominaciones en la actualidad.
Cuando hablamos de números romanos nos referimos a un sistema de numeración que usa letras mayúsculas para representar cantidades. Está compuesto por siete letras y cada una tiene un valor diferente.
¿Para qué se usan los números romanos en la actualidad?
Nombrar los siglos históricos: siglo I antes de Cristo o siglo XX.
Numerar tomos, capítulos, partes de una obra literaria, actos y escenas de una obra teatral: tomo III, capítulo IV o escena VIII.
Nombrar reyes, papas y emperadores: Felipe IV o Juan Pablo II.
Denominar congresos, campeonatos y festivales: IV Congreso de la infancia o XIII Muestra de cine independiente.
Reglas para escribir números romanos
– Si a la derecha de una letra se escribe otra igual o de menor valor, sus valores se suman. Ejemplo:
VI = 5 + 1 = 6
XXI = 10 + 10 + 1= 21
LXVII = 50 + 10 + 5 + 1 + 1 = 67
– La letra I, colocada a la izquierda de V o X, les resta 1. Ejemplo:
IV = 5 − 1 = 4
IX = 10 − 1 = 9
– La letra X, colocada a la izquierda de L o C, les resta 10. Ejemplo:
XC = 100 − 10 = 90
XL = 50 − 10 = 40
– La letra C, colocada a la izquierda de D o M, les resta 100. Ejemplo:
CD = 500 − 100 = 400
CM = 1.000 − 100 = 900
– No se pueden repetir las letras I, X, C y M más de tres veces seguidas. Ejemplo:
XIII = 10 + 1 + 1 + 1 = 13
XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33
MMM = 1.000 + 1.000 + 1.000 = 3.000
– Las letras V, L y D no pueden duplicarse, porque otras ya representan su valor. Ejemplo:
X = 10 (2 veces 5)
C = 100 (2 veces 50)
M = 1.000 (2 veces 500)
– Una raya encima de una letra o grupo de letras multiplica su valor por mil.
a) Escribe los números en cifras o en palabras, según corresponda.
Setecientos cincuenta y dos
Solución
Setecientos cincuenta y dos = 752
Mil cien
Solución
Mil cien = 1.100
1.308
Solución
1.308 = mil trescientos ocho
8.444
Solución
8.444 = ocho mil cuatrocientos cuarenta y cuatro
10.000
Solución
10.000 = diez mil
b) Escribe los números ordinales en palabras:
4.ª
Solución
4.ª = cuarta
7.º
Solución
7.º = séptimo
12.º
Solución
12.º = décimo segundo o duodécimo
17.º
Solución
17.º = décimo séptimo
20.ª
Solución
20.ª = vigésima
23.º
Solución
23.º = vigésimo tercero
34.ª
Solución
34.ª = trigésima cuarta
40.º
Solución
40.º = cuadragésimo
46.ª
Solución
46.ª = cuadragésima sexta
c) Descubre los números romanos que están mal representados y escríbelos correctamente.
Número en sistema decimal
Número en sistema romano
4
IV
9
VIIII
15
VVV
40
XL
150
CL
1.000
CMC
Solución
VIIII no es la representación de 9, porque no se puede repetir la letra I más de tres veces. La escritura correcta es IX.
VVV no es la representación de 15, ya que no se puede repetir la letra V más de tres veces. La escritura correcta es XV.
CMC no es la representación de 1.000, porque hay un símbolo que tiene exactamente ese valor. La escritura correcta es M.
d) Aproxima por redondeo los siguientes números a la decena.
46
Solución
46 ≈ 50
493
Solución
493 ≈ 490
2.456
Solución
2.456 ≈ 2.460
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Sistemas de numeración”
Es una lectura ampliatoria sobre la numeración a lo largo de la historia. Una síntesis que contextualiza y explica el funcionamiento de algunos sistemas de numeración que han sentado las bases de lo que hoy conocemos como aritmética: babilónico, egipcio, chino, griego, romano y decimal.
Artículo que explica cómo leer números grandes sin dificultades, a partir de dos saberes básicos en cuanto a la numeración: leer números de tres cifras y reconocer el valor posicional de cada dígito en un número. Recomendado para enseñar lectura y escritura de números a niños de 3.° grado en adelante.
