CAPÍTULO 4 / TEMA 5 (REVISIÓN)

Orden y Relaciones | ¿qué aprendimos?

Los números en la recta numérica

La recta numérica o recta real está compuesta por distintos conjuntos numéricos ordenados de menor a mayor. Entre ellos, encontramos el conjunto de los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números irracionales. Todos juntos completan la recta.

Los números naturales son llamados así porque fueron los primeros que usó el hombre para contar.

Comparación de cantidades

Si trabajamos con números enteros, comparar es una tarea sencilla. En una recta numérica, los mayores números naturales y decimales son aquellos que están más a la derecha. Por ejemplo, entre el 25 y el 60, el 60 es mayor porque está más a la derecha en la recta numérica. En cambio, si deseamos comparar fracciones, tenemos que considerar los denominadores y los numeradores. Si en dos fracciones los denominadores son iguales, la fracción mayor será aquella que tenga mayor numerador, pero si los numeradores son iguales, la fracción mayor será aquella que tenga menor denominador.

Si comparamos porciones sabremos que la que veamos con mayor superficie será la más grande. Lo mismo pasa con los números racionales.

Proporciones

Las proporciones son relaciones entre cantidades. Estas relaciones nos permiten calcular una magnitud desconocida por medio de una relación conocida. Un método de gran utilidad para resolver estos problemas es la regla de tres, la cual puede ser directa (si la proporcionalidad es directa) o inversa (si la proporcionalidad es inversa).

La torta y otras comidas son elaboradas a partir de recetas pensadas para una cantidad determinada de personas. ¿Y si vienen más invitados? En estos casos, tenemos que recurrir a la regla de tres y ver cuánto de cada ingrediente necesitaremos.

Relaciones Espaciales

Todo el tiempo usamos relaciones espaciales. Estas nos ayudan a no perdernos al ir de compras o a ubicar una ciudad a cierta distancia de la nuestra. Podemos representar posiciones en un croquis, el cual no es tan preciso porque no tiene marcas de distancia, y también podemos hacerlo en un mapa, representación gráfica de un territorio con escalas métricas.

Cuando nos vamos de vacaciones nos llevamos un mapa de rutas para ver qué camino nos conviene tomar o programamos el GPS del vehículo.

CAPÍTULO 4 / TEMA 3

ORDEN DE FRACCIONES

Si tienes que elegir entre 1/2 de pizza o 3/4 de pizza, ¿cuál elegirías? Para responder esta pregunta es importante que sepas comparar distintos tipos de fracciones. Estas expresiones matemáticas constan de un numerador y un denominador, y según la relación entre ellos pueden ser mayores o menores que otras. ¡Aprende cómo ordenar fracciones!

Una fracción es una división entre dos números: un numerador y un denominador. El denominador indica en cuantas partes se divide la unidad y el numerador señala cuántas de esas partes se han de tomar. Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es propia; pero si es mayor al denominador, la fracción es impropia.

Ubicación de fracciones en la recta numérica

Fracciones propias

Las fracciones propias son aquellas que tienen el numerador menor al denominador, por lo que siempre son menores a 1. Para ubicar estas fracciones en la recta numérica dividimos a la unidad en tantos segmentos como indique el denominador de la fracción que queremos representar. Luego, contamos tantos espacios como indique el numerador a partir del cero.

– Ejemplo:

La fracción $\frac{4}{5}$ es propia porque su numerador es menor al denominador (4 < 5).

Para representarla en la recta dividimos el segmento entre el 0 y el 1 en 5 espacios (denominador). Después contamos 4 espacios (numerador) y ubicamos la fracción.

Fracciones impropias

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor al denominador, por lo que siempre son mayores a 1. Para representar este tipo de fracciones en la recta numérica tenemos que transformarlas a números mixtos.

¿Qué es un número mixto?

Es aquel que tiene una parte entera y una parte fraccionaria. Por ejemplo:

$\boldsymbol{2\frac{1}{2}=}$

Este número mixto se lee “dos enteros y un medio”.

¿Cómo transformar una fracción impropia a un número mixto?

Realiza la división entre el numerador y el denominador. Al terminar con la cuenta, el cociente de la división indica el entero del número mixto; el resto junto al divisor van a conformar la parte fraccionaria: el resto será el numerador y el divisor será el denominador.

– Ejemplo:

¿Cuál es el número mixto equivalente a la fracción $\frac{5}{2}$ ?

Por lo tanto:

$\boldsymbol{\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}}$

De este modo, para poder representar el número mixto $2\frac{1}{2}$ en la recta numérica consideramos el número entero, en este caso el 2, y a partir de este seguimos los mismos pasos que en las fracciones propias: dividimos el segmento entre el 2 y el 3 en 2 segmentos iguales (denominador), después contamos un espacio (numerador) y ubicamos la fracción.

VER INFOGRAFÍA

¡Es tu turno!

Representa las siguientes fracciones en una recta numérica.

$\frac{7}{5}$

Solución

Como la fracción es impropia, la transformamos a número mixto.

$\boldsymbol{\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}}$

$\frac{1}{5}$

Solución

$\frac{8}{10}$

Solución

$\frac{9}{6}$

Solución

Como la fracción es impropia, la transformamos a número mixto.

$\boldsymbol{\frac{9}{6}=1\frac{3}{6}}$

Las fracciones representan una parte del todo. No solo son importantes en el ámbito escolar, sino que son muy utilizadas en la vida diaria. Usamos fracciones cada vez que partimos un pastel, cuando pedimos media docena de empanadas o cuando cortamos la mitad de un pan. También vemos fracciones en las etiquetas de los productos, por ejemplo, 1/2 litro de jugo.

comparación de fracciones

Cuando comparamos fracciones, determinamos cuál es mayor o menor que otra. Para esto, debemos tomar en cuenta sus elementos y ver si los denominadores son iguales o si sus numeradores son iguales.

Comparar fracciones con igual denominador

Entre dos fracciones con igual denominador será mayor la fracción que tenga mayor numerador.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{8}{3}>\frac{6}{3}}$

Observa que los denominadores son iguales (3 = 3) pero los numeradores no; y como 8 > 6, la fracción 8/6 es mayor que 6/3.

Comparar fracciones con igual numerador

Entre dos fracciones con igual numerador será mayor la fracción que tenga menor denominador.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{12}{5}<\frac{12}{4}}$

Observa que los numeradores son iguales (12 = 12) pero los denominadores no; y como 5 > 4, la fracción 12/4 es mayor que 12/5.

Fracciones con distintos numeradores y denominadores

Cuando las dos fracciones tienen numeradores y denominadores diferentes, buscamos homogeneizar, es decir, encontrar fracciones equivalentes con igual denominador.

¿Cómo homogeneizar dos fracciones?

Para encontrar las fracciones equivalentes con igual denominador de unas fracciones seguimos estos pasos:

Determinamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ese será el denominador de las fracciones equivalentes.
Encontramos el número por el que hay que multiplicar el numerador y el denominador de las fracciones.

– Ejemplo:

Homogeneiza las fracciones $\boldsymbol{\frac{2}{3}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{4}}$ . Luego compara.

1. Calculamos el m. c. m. de los denominadores 3 y 4.

2. Encontramos el número por el que hay que multiplicar el numerador y el denominador de las fracciones.

Como 3 × 4 = 12, entonces también multiplicamos el numerador por 4.

$\frac{2}{3}=\frac{2\times 4}{12}=\boldsymbol{ \frac{8}{12}}$

Como 4 × 3 = 12, entonces también multiplicamos el numerador por 3.

$\frac{3}{4}=\frac{3\times 3}{12}=\boldsymbol{\frac{9}{12}}$

Ahora es más sencillo comparar las fracciones, pues tenemos fracciones homogéneas por lo que seguimos los pasos anteriores: entre dos fracciones con igual denominador será mayor la fracción que tenga mayor numerador. Así que:

$\boldsymbol{\frac{9}{12}>\frac{8}{12}}$ Como $\frac{9}{8}$ es la fracción equivalente de $\frac{3}{4}$ ; y $\frac{8}{12}$ es la fracción equivalente de $\frac{2}{3}$ , podemos decir que:

$\boldsymbol{\frac{3}{4}>\frac{2}{3}}$

¿Sabías qué?

En el año 1800 a. C. el pueblo babilonio introdujo las fracciones.

Comparación de números mixtos

Entre dos números mixtos, será mayor aquel que tenga mayor parte entera. Por ejemplo:

$\boldsymbol{2\frac{3}{4}<3\frac{5}{3}}$

Pero si las partes enteras son iguales, comparamos la parte fraccionaria por medio de cualquier de los métodos aplicados anteriormente. Por ejemplo:

$\boldsymbol{1\frac{4}{6}>1\frac{1}{6}}$

Las dos partes entera son iguales (1 = 1), pero las partes fraccionarias no. Como ves, ambas son fracciones homogéneas porque los denominadores son iguales (6 = 6), así que comparamos los numeradores, y como 4 > 1, el número mixto $1\frac{4}{6}$ es mayor que $1\frac{1}{6}$ .

Un uso muy popular de las fracciones es cuando damos la hora. Por ejemplo, cuando decimos que son “las dos y media”, hacemos referencia a un número mixto en la que la parte entera es 2, y la parte fraccionaria es 1/2. También ocurre cuando decimos que “son las cinco y cuarto”, allí la parte entera es 5 y la parte fraccionaria es 1/4.

¡A practicar!

1. Representa las siguientes fracciones en la recta numérica.

$\frac{4}{9}$

Solución

$\frac{9}{5}$

Solución

$\frac{9}{5}=1\frac{4}{5}$

$\frac{2}{10}$

Solución

$6\frac{3}{5}$

Solución

2. Compara los siguientes números mixtos.

$4\frac{1}{6}$ y $2\frac{1}{2}$

Solución

$4\frac{1}{6}>2\frac{1}{2}$

$1\frac{7}{8}$ y $2\frac{2}{6}$

Solución

$1\frac{7}{8}<2\frac{2}{6}$

$1\frac{1}{3}$ y $1\frac{2}{6}$

Solución

$1\frac{1}{3}=1\frac{2}{6}$ porque $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$

$1\frac{5}{6}$ y $1\frac{1}{2}$

Solución

$1\frac{5}{6}>1\frac{1}{2}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Partes y porciones”

En este artículo podrás ampliar la información sobre la comparación de fracciones por medio del método del común denominador (sin utilizar recta numérica).

VER

Enciclopedia “Enciclopedia de Matemáticas Primaria”

Con el Tomo 2 de esta enciclopedia podrás profundizar en el concepto de fracciones y su clasificación, así como en la comparación de fracciones y números mixtos.

VER

Artículo “Clasificación de fracciones”

En este artículo podrás encontrar más información sobre la clasificación de fracciones.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 2

adición y sustracción de fracciones

Las fracciones son divisiones no resueltas que representan las partes de un todo. Pertenecen a los números racionales y, como cualquier otro tipo de número, pueden ser sumadas o restadas. Las características de cada fracción hacen que las operaciones tengan reglas distintas. A continuación, aprenderás los métodos posibles para realizar estos cálculos.

Una fracción simboliza una división entre un número y otro, y a su vez indica las partes tomadas de un todo. Una fracción tiene dos partes: un numerador y un denominador separados por una línea horizontal. El denominador señala en cuántas partes se divide la unidad, y el numerador señala cuántas de esas partes se han tomado.

VER INFOGRAFÍA

adición y sustracción de fracciones homogéneas

Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador se las llama homogéneas. Para sumar y restar este tipo de fracciones solo se suman o restan lo numeradores y se mantiene el mismo denominador.

Adición

$\frac{{\color{Red} 12}}{{\color{Blue} 7}}+\frac{{\color{Red} 4}}{{\color{Blue} 7}} = \frac{{\color{Red} 12+4}}{{\color{Blue} 7}}=\boldsymbol{\frac{16}{7}}$

– Otros ejemplos:

$\frac{{\color{Red} 31}}{{\color{Blue} 17}}+\frac{{\color{Red} 41}}{{\color{Blue} 17}}=\frac{{\color{Red} 31+41}}{{\color{Blue} 17}}=\boldsymbol{\frac{72}{17}}$

$\frac{{\color{Red} 15}}{{\color{Blue} 11}}+\frac{{\color{Red} 10}}{{\color{Blue} 11}}+\frac{{\color{Red} 21}}{{\color{Blue} 11}}= \frac{{\color{Red} 15+10+21}}{{\color{Blue} 11}}=\boldsymbol{\frac{46}{11}}$

Sustracción

$\frac{{\color{Red} 23}}{{\color{Blue} 7}}-\frac{{\color{Red} 14}}{{\color{Blue} 7}}=\frac{{\color{Red} 23-14}}{{\color{Blue} 7}}=\boldsymbol{\frac{9}{7}}$

– Otros ejemplos:

$\frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Blue} 5}}-\frac{{\color{Red} 1}}{{\color{Blue} 5}}=\frac{{\color{Red} 3-1}}{{\color{Blue} 5}}=\boldsymbol{\frac{2}{5}}$

$\frac{{\color{Red} 24}}{{\color{Blue} 13}}-\frac{{\color{Red} 8}}{{\color{Blue} 13}}-\frac{{\color{Red} 10}}{{\color{Blue} 13}}=\frac{{\color{Red} 24-8-10}}{{\color{Blue} 13}}=\boldsymbol{\frac{6}{13}}$

fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son aquellas que, a pesar de tener distintos numeradores y denominadores, representan la misma cantidad. Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar sus términos en forma de cruz el resultado es el mismo.

– Ejemplo:

$\frac{3}{6}$ y $\frac{6}{12}$ son fracciones equivalentes porque:

$3\times 12=\boldsymbol{36}$

$6\times 6=\boldsymbol{36}$

Podemos escribir las fracciones equivalentes de la siguiente manera:

$\frac{3}{6}=\frac{6}{12}$ porque $3\times 12 = 6\times 6$

– Otro ejemplo:

$\frac{8}{3}$ y $\frac{2}{4}$ no son fracciones equivalentes porque:

$8\times 4=\boldsymbol{32}$

$3\times 2=\boldsymbol{6}$

Podemos escribir las fracciones no equivalentes de la siguiente manera:

$\frac{8}{3}\neq \frac{2}{4}$ porque $8\times 4\neq 3\times 2$

¡Practiquemos!

Laura, Tomás y Daniela tienen cada uno un chocolate. Laura comió 1/2, Tomás comió 3/6 y Daniela comió 6/12. ¿Quién comió más chocolate?

Si representamos en gráficos cada fracción tenemos que:

$\boldsymbol{\frac{1}{2}=}$

$\boldsymbol{\frac{3}{6}=}$

$\boldsymbol{\frac{6}{12}=}$

Laura partió el chocolate en 2 pedazos y comió uno de esos; Tomás lo cortó en 6 pedazos y comió 3; y Daniela lo cortó en 12 pedazos y comió 6.

Sin importar la cantidad de trozos en las que se dividió el chocolate, cada uno comió lo mismo: la mitad.

Además de comprobarlo con los gráficos y por el método cruzado, podemos corroborar que una fracción es equivalente a otra si resolvemos la división. De este modo, tenemos que:

$\frac{1}{2}=\boldsymbol{0,5}$

$\frac{3}{6}=\boldsymbol{0,5}$

$\frac{6}{12}=\boldsymbol{0,5}$

Como todas las fracciones representan la misma cantidad, se pueden escribir de la siguiente forma:

$\frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{6}{12}$

¿Cómo podemos obtener fracciones equivalentes?

Por medio de dos métodos: amplificación y simplificación.

Amplificación

Consiste en multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero.

– Ejemplo:

Ambas fracciones, 2/5 y 6/15 son equivalentes. Observa que tanto el numerador como el denominador se multiplicaron por 3.

– Otro ejemplo:

Simplificación

Consiste en dividir al numerador y al denominador por un mismo número distinto de cero. Este número debe ser un divisor común entre el numerador y el denominador.

– Ejemplo:

Como el número 2 es un divisor común entre el numerador y denominador, podemos hacer una simplificación de la fracción.

– Otro ejemplos:

¿Sabías qué?

Cuando una fracción no puede simplificarse más se la llama fracción irreducible.

Juan y Carlos compraron una pizza cada uno. Si Juan comió 2/3 de pizza y Carlos 3/4 de pizza, ¿quién comió más? Hallar la fracción equivalente con igual denominador de estas fracciones puede ayudarnos a comparar las cantidades y responder la pregunta. 2/3 = 8/12 y 3/4 = 9/12, entonces comparamos los numeradores y, como 9 > 8, decimos que Carlos comió más que Juan.

adición y sustracción de fracciones heterogéneas

Las fracciones heterogéneas son las que tienen distinto denominador. Para sumar o restar fracciones heterogéneas podemos emplear tres métodos distintos.

Método 1: con fracciones equivalentes

En este método hallamos la fracción equivalente de las fracciones para que todas tengan el mismo denominador, es decir, para que sean homogéneas. Luego las sumamos como se explicó al inicio: sumamos los numeradores y mantenemos el mismo denominador.

– Ejemplo:

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

1. Hallamos la fracción equivalente a 1/2 con denominador igual a 4.

Ya sabemos que el producto cruzado de los términos debe ser el mismo. Así que multiplicamos el primer numerador por el segundo denominador, el cual necesitamos que sea 4.

$\frac{{\color{Red} 1}}{2}=\frac{a}{{\color{Red} 4}}\; \; \; \; \;\; \; 1\times 4=\boldsymbol{4}$

Luego planteamos la segunda multiplicación como una ecuación. Esta corresponde a la del primer denominador con el primer numerador.

$\frac{1}{{\color{Blue} 2}}=\frac{{\color{Blue} a}}{4}\; \; \; \; \;\; \; 2\times a=\boldsymbol{4}$

Despejamos la incógnita a y obtenemos el numerador de la fracción equivalente.

$2\times a=4\: \Rightarrow a=4\div 2=\boldsymbol{2}$

Por lo tanto,

$\frac{1}{2}=\frac{\boldsymbol{2}}{4}$

2. Reescribimos la suma con la nueva fracción equivalente. En lugar de la fracción 1/2 escribimos su fracción equivalente 2/4.

$\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$

3. Resolvemos la suma de fracciones homogéneas.

$\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{2+3}{4}=\boldsymbol{\frac{5}{4}}$

El procedimiento es igual con la sustracción, solo cambiamos el signo más (+) por el signo menos (−).

Método 2: con mínimo común múltiplo

Consiste en hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones, el cual será el nuevo denominador. El cociente entre este valor y los denominadores se multiplica con los numeradores.

– Ejemplo:

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

1. Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ese será el denominador de la fracción resultante.

mcm (2, 4) = 2 × 2 = 4

2. Dividimos al mcm con el denominador de la primera fracción (4 ÷ 2 = 2) y multiplicamos ese resultado por su numerador.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4} = \frac{{\color{Red} 2} \times 1\:}{4}+$

3. Realizamos el mismo procedimiento con la segunda fracción. Esta vez dividimos el mcm entre el segundo denominador (4 ÷ 4 = 1) y multiplicamos ese resultado por el segundo numerador. Sumamos este resultado con el obtenido anteriormente.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4} = \frac{{\color{Red} 2}\times 1}{4}+\frac{{\color{Blue} 1}\times 3}{4}$

4. Resolvemos las operaciones y obtenemos el resultado final.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4} = \frac{{\color{Red} 2}\times 1}{4}+\frac{{\color{Blue} 1}\times 3}{4}=\frac{2+3}{4}=\boldsymbol{\frac{5}{4}}$

El procedimiento es igual con la sustracción, solo cambiamos el signo más (+) por el signo menos (−).

Método 3: con productos cruzados

En este método multiplicamos de manera cruzada los numeradores y denominadores de las fracciones. Sumamos los resultados y los colocamos en el numerador resultante. El denominador de la fracción final será igual al producto de la multiplicación de los denominadores.

– Ejemplo:

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

1. Multiplicamos el primer numerador por el segundo denominador.

$\frac{{\color{Red} 1}}{2}+\frac{3}{{\color{Red} 4}}=\frac{{\color{Red} 1\times 4}}{}$

2. Multiplicamos el primer denominador por el segundo numerador. Sumamos esta operación con la primera.

$\frac{{\color{Red} 1}}{{\color{Blue} 2}}+\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 4}}=\frac{{\color{Red} 1\times 4}+{\color{Blue} 2\times 3}}{}$

3. Multiplicamos los denominadores. El resultado lo colocamos en el lugar del denominador.

$\frac{{\color{Red} 1}}{{\color{Blue} 2}}+\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 4}}=\frac{{\color{Red} 1\times 4}+{\color{Blue} 2\times 3}}{{\color{Blue} 2}\times {\color{Red} 4}}$

4. Resolvemos las operaciones y obtenemos el resultado final.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{1\times 4+2\times 3}{2\times 4}=\frac{4+6}{8}=\frac{10}{8}=\boldsymbol{\frac{5}{4}}$

Observa que al resolver las operaciones el resultado es 10/8, pero esta fracción se puede simplificar al dividir ambos términos entre 2, el cual es un divisor común.

El procedimiento es igual con la sustracción, solo cambiamos el signo más (+) por el signo menos (−).

Las fracciones heterogéneas son las que tienen distinto denominador. Para sumar o restar este tipo de fracciones podemos emplear tres métodos diferentes: por medio de fracciones equivalentes, mínimo común múltiplo o productos cruzados. Sin importar el método que escojas el resultado será el mismo.

¡A practicar!

1. ¿Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes a $\frac{2}{5}$ ?

$\frac{6}{15}\ ,\ \frac{6}{9}\ ,\ \frac{10}{25}\ ,\ \frac{14}{30}\ ,\ \frac{8}{20}$

Solución

$\frac{6}{15}\ ,\ \frac{10}{25}\ ,\ \frac{8}{20}$

2. ¿Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes a $\frac{25}{40}$ ?

$\frac{50}{80}\ ,\ \frac{5}{8}\ ,\ \frac{75}{110}\ ,\ \frac{75}{120}\ ,\ \frac{5}{4}$

Solución

$\frac{50}{80}\ , \frac{5}{8}\ , \frac{75}{120}$

3. ¿Cuál es la fracción equivalente? Coloca el numerador que falta.

$\frac{1}{2}=\frac{?}{8}$

Solución

$\frac{1}{2}=\frac{{\color{Red} 4}}{8}$

$\frac{3}{5}=\frac{?}{25}$

Solución

$\frac{3}{5}=\frac{{\color{Red} 15}}{25}$

$\frac{4}{5}=\frac{?}{12}$

Solución

No es posible conseguir una fracción equivalente de denominador 12 porque el 12 no es múltiplo del 5.

$\frac{2}{7}=\frac{?}{21}$

Solución

$\frac{2}{7}=\frac{{\color{Red} 6}}{21}$

4. Realizar los siguientes cálculos con fracciones:

$\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}=$

Solución

$\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}=\boldsymbol{\frac{2}{5}}$

$\frac{4}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=$

Solución

$\frac{4}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\boldsymbol{\frac{49}{30}}$

$\frac{3}{10}-\frac{1}{12}=$

Solución

$\frac{3}{10}-\frac{1}{12}=\boldsymbol{\frac{13}{60}}$

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{5} \right )=$

Solución

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{5} \right )=\boldsymbol{\frac{23}{60}}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Adición y sustracción de fracciones”

Puedes realizar la adición o la sustracción de fracciones por medio de varios métodos. Este recurso le permitirá ampliar información sobre estos.

VER

Artículo “Fracciones equivalentes”

Con este artículo podrá profundizar sobre las fracciones y cómo obtenerlas por amplificación y simplificación.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 4

OPERACIONES CON FRACCIONES homogéneas

Si la mamá de Carla compró 1/2 kg de naranjas y su papá compró 3/2 kg de naranjas, ¿cuántos kg de naranja hay en total? Esta situación la podemos encontrar a diario en nuestra vida. Para resolverla tenemos que involucrar operaciones básicas como la suma o la resta a números fraccionarios. Las características de cada fracción nos indicarán qué pasos tenemos que seguir.

Cada vez que dividimos un todo en varias partes iguales usamos fracciones. Todas las fracciones son divisiones sin resolver que tienen un numerador y un denominador, ambos separados por una raya fraccionaria. Las usamos cuando repartimos comida, seguimos instrucciones de recetas o pedimos una parte o porción de algo.

VER INFOGRAFÍA

suma de fracciones homogéneas

Recordemos que dos o más fracciones son homogéneas cuando comparten el mismo denominador. Sumar este tipo de fracciones es muy fácil. Primero sumamos los numeradores, el número resultante será el numerador de la fracción y mantenemos el mismo denominador. Veamos un ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 1}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Blue} 6}}{{\color{Red} 5}}=\frac{{\color{Blue} 1+6}}{{\color{Red} 5}}=\frac{7}{5}}$

– Otros ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 1}}{{\color{Red} 2}}+\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 2}}=\frac{{\color{Blue} 1+3}}{{\color{Red} 2}}=\frac{4}{2}=2}$

$\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 12}}{{\color{Red} 8}}+\frac{{\color{Blue} 4}}{{\color{Red} 8}}=\frac{{\color{Blue} 12+8}}{{\color{Red} 8}}=\frac{20}{8}}$

sustracción de fracciones homogéneas

Del mismo modo que se resuelve la suma de fracciones homogéneas, en la sustracción primero restamos los numeradores y conservamos el mismo denominador. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 6}}{{\color{Red} 7}}-\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 7}}=\frac{{\color{Blue} 6-3}}{{\color{Red} 7}}=\frac{3}{7}}$

– Otros ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 8}}{{\color{Red} 5}}-\frac{{\color{Blue} 4}}{{\color{Red} 5}}=\frac{{\color{Blue} 8-4}}{{\color{Red} 5}}=\frac{4}{5}}$

$\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 10}}{{\color{Red} 3}}-\frac{{\color{Blue} 8}}{{\color{Red} 3}}=\frac{{\color{Blue} 10-8}}{{\color{Red} 3}}=\frac{2}{3}}$

fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son fracciones que tienen distinto numerador y denominador pero representan una misma cantidad. Hay dos métodos para calcular fracciones equivalentes: por amplificación y por simplificación.

Por el método de amplificación multiplicamos el numerador y el denominador por un mismo número.

Por ejemplo, $\frac{1}{3}$ es la fracción equivalente a $\frac{3}{9}$ , porque tanto el numerador como el denominador fueron multiplicados por 3.

Por el método de simplificación dividimos el numerador y el denominador por un mismo número.

Por ejemplo, la fracción $\frac{22}{10}$ es equivalente a $\frac{11}{5}$ porque tanto el numerador como el denominador fueron divididos por 2.

Se puede simplificar una fracción hasta obtener su mínima expresión, es decir, hasta conseguir la fracción irreducible. Se la llama irreducible porque el numerador y el denominador no comparten los mismos divisores. Obtener esta expresión hace que se simplifiquen los cálculos y la escritura de fracciones.

¿Cómo sabemos si dos fracciones son equivalentes?

El cálculo que permite determinar si dos fracciones son iguales es el método de multiplicar cruzado los numeradores y denominadores de ambas fracciones.

Para saber si $\frac{2}{5}$ y $\frac{4}{10}$ son fracciones equivalentes debes seguir estos pasos:

1. Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.

2. Multiplica el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera.

3. Compara los dos resultados. Sin los dos son iguales significa que las dos fracciones son equivalentes.

$\boldsymbol{\frac{2}{5}=\frac{4}{10}}$

orden de fracciones

Todos los números tienen un orden y las fracciones no son la excepción. Para establecer ese orden podemos comparar sus elementos y determinar si son mayores, menores o iguales unas con otras. Los símbolos que se usan para compararlas son:

Símbolo	Significado
>	Mayor que
<	Menor que

Cuando las fracciones tienen igual denominador y se quiere saber si una es mayor que la otra solo tenemos que comparar sus numeradores. Una fracción es mayor que otra si tiene el numerador más grande. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{7}{6}>\frac{5}{6}}$ porque 7 es mayor que 5.

Para determinar si una fracción es menor que otra y sus denominadores son iguales, solo comparamos los numeradores. Veamos un ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{8}{9}<\frac{13}{9}}$ porque 8 es menor que 13.

problemas

Día a día nos cruzamos con problemas que involucran fracciones y son las diferentes operaciones básicas las que nos permiten resolverlos. Algunas veces nos toca comparar fracciones para saber, por ejemplo, quién comió más chocolate; otras veces cuántas partes de jugo se tomó y cuántas quedan.

Pasos a seguir para resolver problemas con fracciones

Los siguientes pasos también servirán para resolver problemas con números naturales.

Lee atentamente el problema.
Identifica y anota los datos del problema.
Piensa qué pide el problema, ¿qué pregunta hace?
Establece qué operaciones permiten resolver el problema.
Haz los cálculos.
Relee la pregunta del problema para luego contestarla.

1. Carla y María se repartieron una barra de chocolate en 6 partes iguales, Carla comió $\frac{3}{6}$ y María $\frac{2}{6}$ . ¿Quién comió más chocolate?

Datos

Cantidad de chocolate que comió Carla: $\frac{3}{6}$

Cantidad de chocolate que comió María: $\frac{2}{6}$

Pregunta

¿Quién comió más chocolate?

Piensa

Para saber quién comió más hay que comparar las dos fracciones. Como son homogéneas solo no fijamos en los numeradores.

Calcula

$\boldsymbol{\frac{3}{6}>\frac{2}{6}}$ porque 3 es mayor que 2.

Respuesta

Carla comió más chocolate que María.

2. Pedro tenía en la heladera $\frac{3}{4}$ de litro de jugo de naranja. Si tomó $\frac{1}{4}$ de litro, ¿cuánto jugo le quedó?

Datos

Litros de jugo naranja en la heladera: $\frac{3}{4}$

Litros de jugo que tomó Pedro: $\frac{1}{4}$

Pregunta

¿Cuánto jugo le quedó?

Piensa

Hay que restar la cantidad de jugo que tomó Pedro a la cantidad de jugo que había en la heladera.

Calcula

$\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3-1}{4}=\boldsymbol{\frac{2}{4}}$

Respuesta

A Pedro le quedaron $\frac{2}{4}$ de litro de jugo de naranja.

3. Si Pedro prepara $\frac{5}{4}$ de litro de jugo y los une con $\frac{2}{4}$ de litro de jugo que le quedaron, ¿cuánto jugo tiene ahora?

Datos

Litros de jugo que preparó Pedro: $\frac{5}{4}$

Litro de jugo que ya tiene Pedro: $\frac{2}{4}$

Pregunta

¿Cuánto jugo tiene ahora?

Piensa

Para saber la cantidad total de jugo hay que sumar las dos cantidades.

Calcula

$\frac{5}{4}+\frac{2}{4}=\frac{5+2}{4}=\boldsymbol{\frac{7}{4}}$

Respuesta

Pedro tiene ahora $\frac{7}{4}$ de litro de jugo de naranja.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes operaciones.

$\frac{7}{8}-\frac{2}{8}=$

Solución

$\frac{7}{8}-\frac{2}{8}=\frac{7-2}{8}=\boldsymbol{\frac{5}{8}}$

$\frac{4}{3}+\frac{6}{3}=$

Solución

$\frac{4}{3}+\frac{6}{3}=\frac{4+6}{3}=\boldsymbol{\frac{10}{3}}$

$\frac{16}{5}-\frac{4}{5}=$

Solución

$\frac{16}{5}-\frac{4}{5}=\frac{16-4}{5}=\boldsymbol{\frac{12}{5}}$

$\frac{9}{7}+\frac{3}{7}=$

Solución

$\frac{9}{7}+\frac{3}{7}=\frac{9+3}{7}=\boldsymbol{\frac{12}{7}}$

2. Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones.

$\frac{4}{5},\: \: \: \frac{2}{5},\: \: \: \frac{1}{5},\: \: \: \frac{6}{5},\: \: \: \frac{3}{5}$

Solución

$\frac{6}{5}>\frac{4}{5}>\frac{3}{5}>\frac{2}{5}>\frac{1}{5}$

3. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones.

$\frac{7}{7},\: \: \: \frac{3}{7},\: \: \: \frac{5}{7},\: \: \: \frac{2}{7},\: \: \: \frac{9}{7}$

Solución

$\frac{2}{7}<\frac{3}{7}<\frac{5}{7}<\frac{7}{7}<\frac{9}{7}$

4. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes.

$\frac{3}{5}$ y $\frac{9}{15}$

Solución

Son fracciones equivalentes porque 3 × 15 = 45 y 9 × 5 = 45.

$\frac{2}{9}$ y $\frac{10}{42}$

Solución

No son fracciones equivalentes porque 2 × 42 = 84 y 10 × 9 = 90.

$\frac{6}{18}$ y $\frac{3}{9}$

Solución

Son fracciones equivalentes porque 6 × 9 = 54 y 18 × 3 = 54.

5. Marianela se va de vacaciones con su familia. En la primera hora de viaje recorrieron $\frac{3}{8}$ del trayecto y en la segunda hora, $\frac{2}{8}$ del trayecto. ¿Cuánto del trayecto ya recorrieron?