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CAPÍTULO 6 / TEMA 3

EL ÁREA

El área es una unidad de medida que sirve para calcular la superficie. Es muy usada, además de en geometría, en otras áreas como arquitectura, topografía y agricultura. La unidad de área aceptada por el Sistema Internacional de Unidades es el metro cuadrado (m2), pero también se usan otras unidades como la hectárea o el acre.

UNIDADES DE ÁREA

El área es una medida de una extensión de una superficie. Las unidades correspondientes a estas son generalmente unidades de longitud elevadas al cuadrado como el metro cuadrado, kilómetro cuadrado, milla cuadrada, pulgada cuadrada, etc. Sin embargo, existen otras unidades de área, como la hectárea o el acre.

Cálculo de áreas en figuras geométricas

En el caso de figuras geométricas convencionales como el triángulo, cuadrado, pentágono y círculo, entre otros; el cálculo de área es sencillo porque viene determinado a través de fórmulas para cada figura. Por ejemplo, la fórmula de área para un triángulo es (base × altura) / 2. Al reemplazar en la fórmula las unidades de longitud siempre se obtienen unidades cuadradas.

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CONVERSIÓN DE UNIDADES DE ÁREA

Cuando se conocen valores de área expresados en un determinado sistema de unidades, se puede lograr la conversión a partir de las relaciones conocidas entre las  unidades.

Obtención de relación de unidades

Para obtener la conversión de unidades derivadas, se utilizan las conversiones conocidas de las unidades básicas y luego se elevan al cuadrado ambos resultados.

Por ejemplo, imaginemos que queremos obtener la relación que existe entre pies cuadrados y metros cuadrados. Para ello se deben seguir los siguientes pasos.

  • Paso 1. Se establece la relación entre unidades básicas.

La relación que existe entre las unidades básicas, en este caso metro y pie, es de:

1 m = 3,28 pie

  • Paso 2. Se relacionan las unidades derivadas.

La relación mencionada anteriormente es equivalente, eso significa que mientras ambos se afecten de igual manera se mantendrá dicha relación. Por esta razón, se pueden elevar ambos términos al cuadrado sin afectar el resultado

(1 m)2 = (3,28 pie)2

Al resolver los cuadrados se obtiene la relación de unidades de área solicitadas en el principio.

1 m2 = 10,76 pie2

De esta manera, un 1 m2 equivale a 10,76 pie2.

¿Sabías qué?
El acre es una unidad extranjera usada para medir el área y donde 1 acre equivale a 4.046,86 m2.

Tabla de conversión de unidades de área

Las relaciones que existen entre las diferentes unidades se pueden tabular en tablas para obtener de manera rápida un factor de conversión que al multiplicarse con la cantidad que se desea convertir se obtiene el resultado de manera más rápida.

m2 milla2 pie2 plg2 km2 Hectárea
m2 1 3,8 · 10−7 10,76 1.550 1 · 10−6 1 · 10−4
milla2 2,59 · 106 1 2,78 · 107 4,01 · 109 2,59 259
pie2 0,093 3,6 · 10−8 1 144 9,3 · 10−8 9,3 · 10−6
plg2 6,45 · 10−4 2,5 · 10−10 6,94 · 10−3 1 6,45 · 10−10 6,45 · 10−8
km2 1 · 106 0,386 1,08 · 107 1,55 · 109 1 100
Hectárea 1 · 104 3,86 · 10−3 107.639 1,55 · 107 0,01 1

Si se observa con atención, se notará que en la primera fila se encuentra la relación de 1 m2 = 10,76 pie2 obtenida recientemente.

Ejemplo:

– ¿Cuántas millas cuadradas equivale el área de un barrio de 2,3 km2?

En primer lugar se debe encontrar la relación entre las unidades a convertir o, lo que es lo mismo, el factor de conversión. Para lograrlo se ubica primero la columna correspondiente a la unidad que se tiene que convertir y luego se lee la celda que se intersecta con la fila que corresponde a la unidad deseada.

m2 milla2 pie2 plg2 km2 Hectárea
m2 1 3,8 · 10−7 10,76 1.550 1 · 10−6 1 · 10−4
milla2 2,59 · 106 1 2,78 · 107 4,01 · 109 2,59 259
pie2 0,093 3,6 · 10−8 1 144 9,3 · 10−8 9,3 · 10−6
plg2 6,45 · 10−4 2,5 · 10−10 6,94 · 10−3 1 6,45 · 10−10 6,45 · 10−8
km2 1 · 106 0,386 1,08 · 107 1,55 · 109 1 100
Hectárea 1 · 104 3,86 · 10−3 107.639 1,55 · 107 0,01 1

En este caso observemos que el factor de conversión es 0,386.

Por lo tanto, al tener la relación entre las unidades ya se puede realizar la conversión: para ello multiplicamos directamente la cantidad dada por su respectivo factor de conversión de la unidad deseada:

2,3 × 0,386 = 0,8878 millas cuadradas.

El área es una magnitud muy importante que tiene muchas aplicaciones. En la arquitectura, por ejemplo; se emplea en los diseños arquitectónicos para realizar diseños que se adecuen al terreno disponible, en la agricultura se usa para saber cuántas semillas se deben plantar en un campo y en las inmobiliarias la usan para calcular costos de las viviendas.

¿QUÉ ES UN FACTOR DE CONVERSIÓN?

Un factor de conversión (F) es la relación establecida entre la unidad deseada y la unidad obtenida. Este factor se utiliza para realizar la conversión a las unidades deseadas; y además, puede ser aplicado a unidades derivadas.

F = \frac{unidad \: deseada}{unidad \: conocida}

En la tabla de conversión anterior, todos los valores que allí se mostraban eran factores de conversión entre unidades de área. Estos factores son muy útiles porque pueden utilizarse en otras magnitudes físicas para realizar conversiones, lo importante es que siempre las unidades que se relacionen correspondan a una misma magnitud.

¡A practicar!

1. Transforma las siguientes unidades.

a) 1.400 pie2 a m2

RESPUESTAS
a) 130,02 m2

b) 7 m2 a plg2

RESPUESTAS
b) 10.850 plg2

c) 2.000 hectáreas a km2

RESPUESTAS
c) 20 km2

d) 85.354 plg2 a m2

RESPUESTAS
d) 55,05 m2

e) 74 milla2 a km2

RESPUESTAS
e) 28,56 km2

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Conversión de unidades: área y volumen”

El siguiente artículo explica cómo realizar conversiones de unidades de área a través de otra metodología. También muestra una serie de ejercicios resueltos para entender el tema de forma más clara.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 1

áreas y perímetros

La geometría es una rama de la matemática que estudia las formas de diferentes figuras como triángulos, cuadrados, y rectángulos, entre otras. Una parte de su estudio consta de la mediciones de áreas y perímetros. A continuación, trabajaremos sobre estos cálculos en algunas figuras geométricas.

cálculo de áreas en figuras geométricas

Las figuras geométricas comparten entre sí ciertas características que son de interés para la geometría. Entre esas características se encuentra el cálculo de áreas. El área es la extensión de la superficie de una figura, y para calcularla primero se debe saber ante qué tipo de figura nos encontramos. En esta sección, trabajaremos con rectángulos y triángulos.

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Área de rectángulos y triángulos

  • Área de un rectángulo:

Para calcular el área de un rectángulo se debe conocer su base y su altura. En la siguiente figura se muestran dichos valores.

El área se calculará entonces como la multiplicación de la longitud de sus lados:

A = b\times h

Los rectángulos son un tipo de paralelogramo, es decir, cuadriláteros con sus lados opuestos paralelos dos a dos. Los rectángulos tienen la particularidad de que sus cuatro ángulos internos miden 90°. De esta forma, se puede afirmar que el cuadrado es un tipo de rectángulo que se diferencia del resto porque todos sus lados tienen la misma longitud.
  • Área de un triángulo:

Para calcular el área de un triángulo, debemos imaginarlo como la mitad de un rectángulo. En la siguiente figura se puede ver tal afirmación.

El área se calculará entonces como la multiplicación de la longitud de sus lados pero dividido por dos (porque hablamos de la mitad de un rectángulo):

A=\frac{b\times h}{2}

Teorema de Pitágoras

Los triángulos rectángulos son aquellos que poseen un ángulo interno igual a 90º. Los catetos en este caso son la base (b) y la altura (h), y el lado de mayor longitud recibe el nombre de hipotenusa.

El teorema de Pitágoras dice que: “La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado“.

Si consideramos ambos catetos como C1 y C2, y la hipotenusa como H, el teorema de Pitágoras queda expresado de la siguiente manera:

H^{2}=(C_{1})^{2}+(C_{1})^{2}

  • Cálculo de área de un rectángulo

Se tiene una pieza de madera en forma de rectángulo que mide 1 metro de base y 3 metros de alto. ¿Cuál es el área de esta pieza?

A=b\times h=1\, m\times 3\, m=3\, m^{2}

La pieza tiene un área de 3 m2.

  • Cálculo de área de un triángulo

Se tiene un triángulo rectángulo de 2 centímetros de base y 4 centímetros de altura. ¿Cuál es su área?

A=\frac{b\times h}{2}=\frac{2\, cm\times 4\, cm}{2}=\frac{8\, cm^{2}}{2}=4\, cm^{2}

El triángulo tiene un área de 4 cm2.

¿Sabías qué?
Según sus ángulos, los triángulos pueden clasificarse en agudos, rectángulos y obtusos.

unidades usadas para medir superficie o área

En los ejemplos anteriores, se observa que cuando se calcula un área el resultado tiene una unidad de longitud elevada al cuadrado. Las unidades sirven para poder expresar el tamaño de determinadas mediciones. En este caso, se trata del área de una figura geométrica.

Tipos de unidades

Las unidades más comunes para expresar áreas de figuras geométricas son los metros cuadrados (m2) y los centímetros cuadrados (cm2). Sin embargo, cualquier unidad de longitud puede ser utilizada para el cálculo de un área.

Existen otras unidades de área como la hectárea que equivale a la superficie de un cuadrado de 100 m en cada lado. Es decir, 1 hectárea equivale a 10.000 m2.

  • Ejemplo de cálculo de área con diferentes unidades

Se tiene el siguiente cuadrado (un rectángulo donde sus cuatro lados son iguales) con el valor de sus lados expresados en diferentes unidades.

El área del cuadrado se puede calcular de la siguiente manera:

A=L^{2}

Donde:

A = área.

L = longitud de uno de los lados del cuadrado.

De acuerdo al valor del número que se reemplace en la ecuación, el área será diferente numéricamente, pero las diferentes unidades de longitud permiten correlacionar todos los valores. De esta forma, representan al mismo valor de área pero con diferente unidad:

  • Área (m2) = (0,5 m)2 = 0,25 m2
  • Área (cm2) = (50 cm)2 = 2.500 cm2
  • Área (mm2)= (500 mm)2 = 250.000 mm2

Sin embargo, cualquiera de las tres opciones son el mismo resultado. Solo que con unidades diferentes. La diferencia es solo numérica.

Por lo tanto:

0,25 m2 = 2.500 cm2 = 250.000 mm2

cálculo de perímetro de figuras geométricas simples y compuestas

El cálculo del perímetro se realiza de modo similar al cálculo del área. El perímetro es el contorno de la figura, por lo tanto, para calcularlo se recurrirá simplemente a la suma de la longitud de sus lados.

Perímetro de figuras

A continuación, se mostrarán las fórmulas de cálculo de perímetro de triángulos, cuadrados y rectángulos.

  • Perímetro de un triángulo = cateto + cateto + hipotenusa
  • Perímetro de un cuadrado = lado + lado + lado + lado
  • Perímetro de un rectángulo = base + altura + base + altura

El cálculo del perímetro puede realizarse en figuras simples, como es el caso de los tres ejemplos anteriormente mencionados, o en figuras compuestas, cuando se combinan dos o más de estas figuras.

  • Ejemplo de cálculo de perímetro de una figura compuesta:

Para calcular el perímetro de la figura compuesta debe sumarse las longitudes de todo el contorno de esta. Por lo tanto:

El perímetro se calculará como la suma de los siguientes contornos:

  • 2 lados del cuadrado de 45 cm
  • 2 lados del rectángulo de 10 cm
  • 1 lado del rectángulo de 45 cm
  • 1 lado del triángulo de 45 cm
  • 1 lado (la hipotenusa) del triángulo de 63,6 cm

Perímetro = (2 × 45 cm) + (2 × 10 cm) + 45 cm + 45 cm + 63,6 cm = 263,6 cm

Prestar atención a las unidades: en esta caso, como simplemente se calculó una longitud, la unidad del perímetro es en cm.

¡A practicar!

1. ¿Cuál es el área y el perímetro del siguiente triángulo?

RESPUESTAS
A=\frac{b\times h}{2}=\frac{8\, cm\times 6\, cm}{2}=\frac{48\, cm^{2}}{2}=24\, cm^{2}

El área del triángulo es de 24 cm2.

P=6\, cm+8\, cm+10\, cm=24\, cm

El perímetro del triángulo es de 24 cm.

2. ¿Cuál es el área y el perímetro del siguiente rectángulo?

RESPUESTAS
A=b\times h=7\, m\times 5\, m=35\, m^{2}

El área del rectángulo es de 35 cm2.

P=(2\times 7\, cm)+(2\times 5\, cm)=14\, cm+10\,cm =24\,cm

El perímetro del rectángulo es de 24 cm.

3. ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura?

RESPUESTAS
  • 3 lados del cuadrado de 7 cm
  • 1 lado del rectángulo de 7 cm
  • 1 lado del rectángulo de 6 cm
  • 1 lado del triángulo de 5 cm
  • 1 lado (la hipotenusa) del triángulo de 7,8 cm

\dpi{100} \large P=(3\times 7\, cm)+7\, cm+6\, cm+5\, cm+7,8\, cm= 46,8\, cm

El perímetro de la figura es de 46,8 cm.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Teorema de Pitágoras”

En este artículo se explica en qué consiste el teorema de Pitágoras, sus aplicaciones, y presenta distintos ejercicios.

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