Author: Sebastián Cariac

CAPÍTULO 6 / TEMA 5

unidades de medida

sistema internacional de unidades

Desde la Antigüedad, los seres humanos han tenido la necesidad de medir diferentes magnitudes físicas como la masa o la longitud. A lo largo de la historia han existido diferentes unidades que en muchas ocasiones se confundían y ocasionaban que los procesos de medición no fueran precisos. Por esta razón, se estableció el Sistema Internacional de Unidades (SI) con el propósito de unificar las unidades de medidas. Este sistema está compuesto por unidades básicas y por unidades derivadas, estás últimas se denominan así porque pueden expresarse en productos y potencias de unidades básicas. Aunque la mayoría de los países del mundo han adoptado a este sistema, países como Estados Unidos, Liberia o Birmania no lo han hecho.

Las unidades básicas del SI son el metro, el kilogramo, el segundo, el amperio, el kelvin, el mol y la candela.

la longitud

La longitud es una magnitud física que sirve para medir la distancia que existen entre dos puntos. En el Sistema Internacional la unidad de longitud es el metro (m). Sin embargo, en la práctica se usan múltiplos y submúltiplos del metro, como el kilómetro o el centímetro, que al estar relacionados con la unidad base pueden realizarse conversiones entre ellas de manera simple. Por otro lado, existen otras unidades para medir longitudes, como las empleadas por el Sistema Inglés, del cual podemos mencionar la pulgada, el pie y la yarda como algunas de ellas. Estas unidades tienen cada una su equivalencia en metros que también permite la comparación y transformación entre ellas.

El metro es la longitud del trayecto que recorre la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299.792.458 de segundo

el área

El área tiene el propósito de medir la extensión de una superficie, normalmente se expresa en unidades de longitud al cuadrado, como el metro cuadrado, el kilómetro cuadrado, la pulgada cuadrada, etc. En el caso de las figuras geométricas, para cada una existe una fórmula de área que facilita su cálculo en función de sus medidas. Una de las maneras de realizar conversiones entre unidades de área es a través de factores de conversión que establece una relación entre la unidad deseada y la unidad que se quiere obtener, por lo tanto, al multiplicar la cantidad que se desea transformar por el factor de conversión replica watches uk correspondiente se obtiene el equivalente a esa cantidad en las unidades requeridas.

Algunas disciplinas, como la agronomía y la arquitectura, emplean el área para medir las extensiones de los terrenos.

El volumen

El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo, la unidad usada para medirlo en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico (m3) pero también se usan normalmente sus múltiplos y submúltiplos como el centímetro cúbico y el milímetro cúbico, entre otros. Como sucede con otras unidades de medición, se pueden transformar a través de factores de conversión. La cantidad de volumen que puede contener un recipiente se denomina capacidad, y una de las unidades de capacidad es el litro. Aunque no se encuentra incluido dentro de las unidades del SI, el litro se encuentra aceptado por este sistema, y también presenta múltiplos y submúltiplos.

El litro es una unidad de capacidad que equivale a un decímetro cúbico (dm3).

CAPÍTULO 6 / TEMA 4

EL VOLUMEN

El espacio que ocupa un cuerpo se denomina volumen, es una magnitud derivada del Sistema Internacional de Unidades que se expresa en metros cúbicos (m3). Existen otras unidades de medida, como los múltiplos y submúltiplos del metro cubico, así como también unidades extranjeras como el galón. 

UNIDADES DE VOLUMEN

La unidad de volumen empleada por el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico. Algunos de sus múltiplos y submúltiplos son:

Múltiplos Submúltiplos
Nombre Equivalencia en metros Nombre Equivalencia en metros
Kilómetro cúbico (km3) 1.000.000.000 m3 Decímetro cúbico (dm3) 0,001 m3
Hectómetro cúbico (Hm3) 1.000.000 m3 Centímetro cúbico (cm3) 0,000001 m3
Decámetro cúbico (dam3) 1.000 m3 Milímetro cúbico (cm3) 0,000000001 m3

Unidades de diferentes sistemas

Existen unidades que no se encuentran dentro del Sistema Internacional de Unidades, como es el caso de las unidades extranjeras. Algunas de estas unidades son usadas a diario, como el galón o el barril, que se emplean en la industria petrolera, la pinta en algunas cervezas y los pies cúbicos para medir el oxígeno en los tanques de buceo.

¿Sabías qué?
Antiguamente se utilizaban cerámicas para medir el volumen. Estas vasijas tenían diversos tamaños según el volumen que representaban.

La temperatura y el volumen

Los sólidos y los líquidos tienen la característica de que al aumentar la temperatura se dilatan, mientras que al disminuir la temperatura se contraen. Hay casos excepcionales como el agua. Cuando esta sustancia se encuentra en estado líquido se contrae al disminuir la temperatura hasta los 4 °C, después  cesa dicha contracción y a partir de los 0 °C empieza a solidificarse en forma de hielo. La estructura del hielo en conjunto con la configuración molecular del agua hacen que tenga menor densidad que el agua líquida, por esta razón, el hielo flota. De hecho, es uno de los pocos líquidos que cuando están en estado sólido flotan.

CONVERSIÓN DE UNIDADES DE VOLUMEN

Para lograr la conversión de unidades de volumen, y todas las conversiones de unidades que se quieran hacer, se emplean factores de conversión.

Convertir múltiplos y submúltiplos del Sistema Internacional de Unidades

Para complementar la conversión de unidades se consideran las unidades de volumen provenientes de los submúltiplos del metro, unidad básica de longitud del Sistema Internacional. La siguiente tabla muestra los diferentes factores de conversión de algunos múltiplos y submúltiplos del metro:

Para convertir una unidad en otra unidad deseada debemos ubicar la columna correspondiente a la unidad deseada y luego desplazarse hasta la fila donde se encuentre la unidad original del ejercicio, la intersección será el factor de conversión por el cuál se debe multiplicar la cantidad original para obtener el valor.

Por ejemplo:

-Convertir 2.000.000 cm3 en m3

Se intercepta la columna de los metros cúbicos con la fila de los centímetros cúbicos  para obtener el factor de conversión.

De la tabla se observa que el factor de conversión es 1.10-6; es decir; 0,000001. Al multiplicar dicho número por el valor original tenemos que:

2.000.000\times 0,000001 =2\, m^{3}

Por lo tanto, 2.000.000 cm3 a 2 m3.

Convertir en otras unidades de volumen y capacidad

Para convertir unidades diferentes de volumen se usa una tabla similar de conversión a la usada anteriormente:

El procedimiento es el mismo, es decir, nos ubicamos en la columna del valor deseado y observamos el factor que se intersecta con la fila correspondiente a la unidad original.

Por ejemplo:

-Convertir 8.000 litro en galones.

El factor de conversión es 0,264.

De manera que:

8.000\times 0,264 = 2.112 \, gal

Por lo tanto, 8.000 litros equivalen a 2.112 galones.

 

Sabemos que el volumen es el espacio que ocupa un cuerpo, mientras que la capacidad es la cantidad de ese volumen que cabe en un recipiente. Por tal motivo capacidad y volumen aunque son términos relacionados no representan lo mismo. El litro sirve para medir la capacidad, y aunque no es una unidad del Sistema Internacional de Unidades, su uso se encuentra aceptado por este.

 

EL LITRO

El litro es una unidad de capacidad, es decir, se usa para medir la cantidad de volumen que puede contener un recipiente. Es común observar esta unidad en botellas de gaseosas, medicinas, capacidad de electrodomésticos como los microondas, etc.

Un litro equivale a un decímetro cúbico, por lo tanto se puede establecer una relación entre litros y metros cúbicos, así como los múltiplos y submúltiplos de ambos.

¡A practicar!

1. Transforma las siguientes unidades de volumen.

a) 13 m3 a cm3.

Solución
13.000.000 cm3
b) 1.000 cm3 a dm3.
Solución
1 dm3
c) 45 cm3 a mm3.
Solución
45.000 mm3
d) 102 m3 a pie3.
Solución
3.600,6 pie3
e) 40 litros a plg3.
Solución
2.448 plg3
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Conversión de unidades de volumen”

En el siguiente artículo se explica cómo transformar unidades de volumen y de capacidad, así como también se muestran equivalencias de unidades aceptadas por el Sistema Internacional de Unidades y unidades extranjeras.

VER

CAPÍTULO 6 / TEMA 3

EL ÁREA

El área es una unidad de medida que sirve para calcular la superficie. Es muy usada, además de en geometría, en otras áreas como arquitectura, topografía y agricultura. La unidad de área aceptada por el Sistema Internacional de Unidades es el metro cuadrado (m2), pero también se usan otras unidades como la hectárea o el acre.

UNIDADES DE ÁREA

El área es una medida de una extensión de una superficie. Las unidades correspondientes a estas son generalmente unidades de longitud elevadas al cuadrado como el metro cuadrado, kilómetro cuadrado, milla cuadrada, pulgada cuadrada, etc. Sin embargo, existen otras unidades de área, como la hectárea o el acre.

Cálculo de áreas en figuras geométricas

En el caso de figuras geométricas convencionales como el triángulo, cuadrado, pentágono y círculo, entre otros; el cálculo de área es sencillo porque viene determinado a través de fórmulas para cada figura. Por ejemplo, la fórmula de área para un triángulo es (base × altura) / 2. Al reemplazar en la fórmula las unidades de longitud siempre se obtienen unidades cuadradas.

VER INFOGRAFÍA

CONVERSIÓN DE UNIDADES DE ÁREA

Cuando se conocen valores de área expresados en un determinado sistema de unidades, se puede lograr la conversión a partir de las relaciones conocidas entre las  unidades.

Obtención de relación de unidades

Para obtener la conversión de unidades derivadas, se utilizan las conversiones conocidas de las unidades básicas y luego se elevan al cuadrado ambos resultados.

Por ejemplo, imaginemos que queremos obtener la relación que existe entre pies cuadrados y metros cuadrados. Para ello se deben seguir los siguientes pasos.

  • Paso 1. Se establece la relación entre unidades básicas.

La relación que existe entre las unidades básicas, en este caso metro y pie, es de:

1 m = 3,28 pie

  • Paso 2. Se relacionan las unidades derivadas.

La relación mencionada anteriormente es equivalente, eso significa que mientras ambos se afecten de igual manera se mantendrá dicha relación. Por esta razón, se pueden elevar ambos términos al cuadrado sin afectar el resultado

(1 m)2 = (3,28 pie)2

Al resolver los cuadrados se obtiene la relación de unidades de área solicitadas en el principio.

1 m2 = 10,76 pie2

De esta manera, un 1 m2 equivale a 10,76 pie2.

¿Sabías qué?
El acre es una unidad extranjera usada para medir el área y donde 1 acre equivale a 4.046,86 m2.

Tabla de conversión de unidades de área

Las relaciones que existen entre las diferentes unidades se pueden tabular en tablas para obtener de manera rápida un factor de conversión que al multiplicarse con la cantidad que se desea convertir se obtiene el resultado de manera más rápida.

m2 milla2 pie2 plg2 km2 Hectárea
m2 1 3,8 · 10−7 10,76 1.550 1 · 10−6 1 · 10−4
milla2 2,59 · 106 1 2,78 · 107 4,01 · 109 2,59 259
pie2 0,093 3,6 · 10−8 1 144 9,3 · 10−8 9,3 · 10−6
plg2 6,45 · 10−4 2,5 · 10−10 6,94 · 10−3 1 6,45 · 10−10 6,45 · 10−8
km2 1 · 106 0,386 1,08 · 107 1,55 · 109 1 100
Hectárea 1 · 104 3,86 · 10−3 107.639 1,55 · 107 0,01 1

Si se observa con atención, se notará que en la primera fila se encuentra la relación de 1 m2 = 10,76 pie2 obtenida recientemente.

Ejemplo:

– ¿Cuántas millas cuadradas equivale el área de un barrio de 2,3 km2?

En primer lugar se debe encontrar la relación entre las unidades a convertir o, lo que es lo mismo, el factor de conversión. Para lograrlo se ubica primero la columna correspondiente a la unidad que se tiene que convertir y luego se lee la celda que se intersecta con la fila que corresponde a la unidad deseada.

m2 milla2 pie2 plg2 km2 Hectárea
m2 1 3,8 · 10−7 10,76 1.550 1 · 10−6 1 · 10−4
milla2 2,59 · 106 1 2,78 · 107 4,01 · 109 2,59 259
pie2 0,093 3,6 · 10−8 1 144 9,3 · 10−8 9,3 · 10−6
plg2 6,45 · 10−4 2,5 · 10−10 6,94 · 10−3 1 6,45 · 10−10 6,45 · 10−8
km2 1 · 106 0,386 1,08 · 107 1,55 · 109 1 100
Hectárea 1 · 104 3,86 · 10−3 107.639 1,55 · 107 0,01 1

En este caso observemos que el factor de conversión es 0,386.

Por lo tanto, al tener la relación entre las unidades ya se puede realizar la conversión: para ello multiplicamos directamente la cantidad dada por su respectivo factor de conversión de la unidad deseada:

2,3 × 0,386 = 0,8878 millas cuadradas.

El área es una magnitud muy importante que tiene muchas aplicaciones. En la arquitectura, por ejemplo; se emplea en los diseños arquitectónicos para realizar diseños que se adecuen al terreno disponible, en la agricultura se usa para saber cuántas semillas se deben plantar en un campo y en las inmobiliarias la usan para calcular costos de las viviendas.

¿QUÉ ES UN FACTOR DE CONVERSIÓN?

Un factor de conversión (F) es la relación establecida entre la unidad deseada y la unidad obtenida. Este factor se utiliza para realizar la conversión a las unidades deseadas; y además, puede ser aplicado a unidades derivadas.

F = \frac{unidad \: deseada}{unidad \: conocida}

En la tabla de conversión anterior, todos los valores que allí se mostraban eran factores de conversión entre unidades de área. Estos factores son muy útiles porque pueden utilizarse en otras magnitudes físicas para realizar conversiones, lo importante es que siempre las unidades que se relacionen correspondan a una misma magnitud.

¡A practicar!

1. Transforma las siguientes unidades.

a) 1.400 pie2 a m2

RESPUESTAS
a) 130,02 m2

b) 7 m2 a plg2

RESPUESTAS
b) 10.850 plg2

c) 2.000 hectáreas a km2

RESPUESTAS
c) 20 km2

d) 85.354 plg2 a m2

RESPUESTAS
d) 55,05 m2

e) 74 milla2 a km2

RESPUESTAS
e) 28,56 km2

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Conversión de unidades: área y volumen”

El siguiente artículo explica cómo realizar conversiones de unidades de área a través de otra metodología. También muestra una serie de ejercicios resueltos para entender el tema de forma más clara.

VER

CAPÍTULO 8 / TEMA 5 (REVISIÓN)

estadística y probabilidad │ ¿QUÉ APRENDIMOS?

recolección y conteo de datos

La recolección y conteo de datos es el procedimiento que se lleva a cabo para la obtención de información o respuesta de diferentes variables. Los datos pueden clasificarse como cualitativos cuando expresan cualidades o cuantitativos cuando expresan cantidades. Los datos cuantitativos se diferencian en continuos si tienen cualquier valor dentro de un intervalo; y discretos si solo ciertos valores están en un intervalo.

Los términos “niño” y “adulto” son datos cualitativos sobre una persona, mientras que la estatura, como “1,65 metros” o “1,2 metros” son datos cuantitativos.

gráficos estadísticos

Los gráficos estadísticos son una herramienta fundamental para lograr la correcta interpretación de los datos recolectados, ya que ofrecen un gran recurso visual. Existen diversos tipos de estos como el gráfico de barras, el poligonal o el circular. Los elementos principales de cada uno de estos son el título, el cuerpo y la escala.

Los gráficos de barras representan variables cualitativas o cuantitativas discretas, los poligonales representan magnitudes y frecuencias de diferentes variables y los circulares expresan porcentajes y proporciones de una variable en particular.

medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central se utilizan para poder representar una distribución de datos en un solo valor característico. Para esto puede calcularse la moda (Mo), la mediana (Md) o la media (\fn_phv \small \overline{x}). Estas estimaciones pueden hacerse a partir de la organización de todos los datos.

La moda es el valor de más frecuencia, la mediana es el valor central de la distribución de todos los datos y la media se calcula como la sumatoria de todos los valores dividido entre la cantidad total.

eventos y probabilidad

Los eventos aleatorios pueden ser seguros o imposibles, por ejemplo, al lanzar un moneda es seguro que saldrá cara o sello, pero es imposible que salga una tercera opción. La probabilidad de que ocurra un evento se mide al dividir la cantidad de casos favorables entre la cantidad de casos posibles, así, la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es de 1/2. La probabilidad también se puede expresar como porcentaje. Por otro lado, los diagramas de Venn también nos ayudan a determinar visualmente probabilidades.

En los juegos de azar la suerte tiene un papel importante, no siempre el que tiene mejor habilidad gana.

CAPÍTULO 8 / TEMA 4

Eventos y probabilidad

No siempre estamos seguros de los eventos que pueden ocurrir, por ejemplo, no sabemos cómo estará el clima en tres días o cuál será el resultado de lanzar un dado. Sin embargo, gracias a la probabilidad podemos estudiar las diferentes posibilidades de que un evento ocurra o no.

experimentos ALEATORIOS Y DETERMINISTAS

Los experimentos aleatorios suceden al azar y no es posible predecir su resultado; por ejemplo, al lanzar una moneda al aire desconocemos si al caer la parte superior será sello o cara. Por otro lado, los experimentos deterministas son los que suceden con seguridad, es decir, al repetirlo en las mismas condiciones se obtiene el mismo resultado; por ejemplo, el agua siempre hierve a 100 °C.

¡Es tu turno!

Indica si los siguientes fenómenos son aleatorios o deterministas.

  • El Sol saldrá mañana.
    Solución
    Determinista.
  • Sacar el número 2 en una bola de bingo.
    Solución
    Aleatorio.
  • La semana tiene 7 días.
    Solución
    Determinista.
  • Sacar una carta de corazones de un mazo de cartas.
    Solución
    Aleatorio.

eventos aleatorios

Los eventos aleatorios pueden ser imposibles o seguros. Los eventos imposibles no pueden ocurrir nunca, mientras que los eventos seguros ocurren siempre y coinciden con el espacio muestral. Por ejemplo, al lanzar un dado es seguro que salga un número igual o menor a 6, pero es imposible que salga el número 20.

¿Qué es el espacio muestral?

Es el conjunto que contiene a todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Lo representamos con E. Se denomina “suceso elemental” a cada uno de los posibles resultados. Por ejemplo:

Experimento Espacio muestral
Lanzar un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lanzar una moneda E = {cara, cruz}
Los experimentos compuestos son aquellos que se conforman por varios experimentos simples. Un procedimiento que suele utilizarse es el diagrama de árbol. Con este se obtienen varias ramas que finalizan en sucesos simples. Son útiles para analizar, por ejemplo, las posibilidades de que salga el número 6 en dos dados después de lanzarlos.

¿Qué es la probabilidad?

Algunos eventos aleatorios tienen la misma probabilidad de ocurrir, como es el caso de arrojar una moneda, pues hay dos posibilidades: que salga sello o cara. Otros eventos aleatorios son más probables que otros, un ejemplo de esto sería un bolillero con 20 bolillas rojas y 4 azules, allí hay más probabilidad de extraer una azul que una roja.

La probabilidad estudia los resultados posibles de diferentes experimentos aleatorios y es una medida de la posibilidad de que un evento ocurra. Se denota con P, por ejemplo:

P(A) = probabilidad de que ocurra el evento A

La probabilidad se calcula como el cociente entre los casos favorables de que un evento ocurra y los casos posibles.

\dpi{100} \fn_phv \small P=\frac{Casos\: \: favorables}{Casos\: \: totales}

¿Sabías qué?
La probabilidad puede expresarse como una fracción, un número decimal o porcentaje. Su valor siempre estará entre 0 y 1 o 0 y 100 %.

– Ejemplo 1:

¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 5 al lanzar un dado?

Casos favorables Casos posibles Casos favorables/Casos posibles
1

{5}

 6

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

 1/6

La probabilidad de que salga el número 5 al lanzar un dado es de 1/6.

Podemos transformar la fracción a porcentaje si calculamos el cociente y multiplicamos por 100. Entonces, también podemos decir que la probabilidad de que salga el número 5 al lanzar un dado es de 16,66 %.

 

– Ejemplo 2:

¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par al lanzar un dado?

Casos favorables Casos posibles Casos favorables/Casos posibles
3

{2, 4, 6}

 6

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

 3/6

La probabilidad de que salga un número par al lanzar un dado es de 3/6 o de 50 %.

 

– Ejemplo 3:

En una bolsa hay 5 bolas blancas, 4 rojas y 3 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja?

Casos favorables Casos posibles Casos favorables/Casos posibles
4 5 + 4 + 3 = 12 4/12

La probabilidad de que salga una bola roja es de 4/12 o de 33,33 %.

¿Sabías qué?
El origen de la probabilidad data del siglo XVII, cuando dos científicos intentaron encontrar una fórmula de resultados para los juegos de azar.

Bingo: un juego de azar

El bingo es un clásico y popular juego de azar. Consiste en 90 bolas (algunos tienen 75) dentro de un bombo y al menos un tablero con números aleatorios por persona. Tras introducir las bolas en el bombo una persona encargada extrae una a una las bolas y canta el número. Los jugadores deben marcar el número cantado en su tablero y al completar algún patrón ganador gritar “¡bingo!”. La probabilidad de que salga un número es de 1/90 o del 1,11 %.

VER INFOGRAFÍA

¡Es tu turno!

Observa esta ruleta, ¿cuál es la probabilidad de que salga cada color?

Solución
Anaranjado=\frac{1}{10} Verde=\frac{1}{10} Morado=\frac{2}{10} Rojo=\frac{1}{10}
Azul=\frac{1}{10} Rosado=\frac{1}{10} Amarillo=\frac{3}{10}

Representación gráfica de eventos

Los eventos son conjuntos cuyos elementos son resultados posibles de un experimento aleatorio. Estos se pueden representar gráficamente por medio de dibujos circulares llamados diagramas de Venn.

– Ejemplo:

Tras realizar una encuesta a 30 estudiantes para saber sus preferencias respecto a su asignatura favorita, que puede ser Matemática (M) o Lengua (L), se obtuvieron los siguientes resultados: a 20 estudiantes les gusta Matemáticas; a 21 les gusta Lengua, y a 15 les gusta tanto Matemática como Lengua.

1. Consideramos cada caso como subconjuntos independientes.

2. De cada subconjunto hay un grupo de personas que también le gusta otra asignatura, así que se intersecan.

3. Restamos el valor correspondiente a quienes les gusta ambas lecturas de los valores de los subconjuntos independientes.

4. Escribimos las respuestas. La suma de todos los valores debe ser igual al total de estudiantes, de no ser así, significa que hay otros que no les gusta ninguno de los dos géneros, en este caso son 4.

¡Es tu turno!

Observa el diagrama de Venn y responde:

  • ¿Cuántos estudiantes prefieren las dos asignaturas?
    Solución
    15 estudiantes.
  • ¿Cuántos estudiantes no prefieren Matemáticas?
    Solución
    4 + 6 = 10
    10 estudiantes.
  • ¿Cuántos estudiantes solo prefieren Matemática?
    Solución
    5 estudiantes.
  • ¿Cuántos estudiante no prefieren Matemática ni Lengua?
    Solución
    4 estudiantes.
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Probabilidad”

En este artículo encontrarás los fundamentos teóricos de fenómenos aleatorios y deterministas. También hay diversos ejemplos de los diferentes tipos de sucesos y ejercicios donde para poner en práctica todo lo aprendido.

VER

CAPÍTULO 6 / TEMA 2

la longitud

Una de las magnitudes físicas fundamentales es la longitud, la cual es indispensable para medir la distancia entre dos puntos. La unidad de longitud empleada por el Sistema Internacional de Unidades es el metro. En la vida cotidiana se emplean múltiplos y submúltiplos del metro para medir longitudes y también se emplean unidades extranjeras como el pie.

unidades de longitud

Las unidades de longitud son empleadas para medir distancias. La longitud como magnitud física no puede definirse en términos de otras magnitudes, por lo tanto, se la considera una magnitud fundamental. De ella parten otras unidades derivadas como el área, que se mide en m2, y el volumen, que se mide en m3. La unidad de longitud empleada por el Sistema Internacional (SI) es el metro (m). También existen otras unidades que se desprenden de este, así como de otros sistemas de medición, como el pie o la pulgada.

¿Sabías qué?
La pulgada es una unidad de longitud extranjera que se usa a menudo para expresar tamaños de herramientas como llaves, tornillos, clavos, etc.

¿Cómo se define el metro?

Anteriormente, el metro estaba definido en función de un patrón establecido por una barra de platino ideada por la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Francia. Al ser una unidad que dependía de un patrón, su medida no era precisa e impedía que la misma pudiera reproducirse con facilidad en cualquier parte del mundo. Por esta razón, años más tarde, el metro fue definido en función de la luz como la “longitud del trayecto que recorre la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299.792.458 de segundo”.

múltiplos y submúltiplos del metro

El metro es la unidad de longitud del Sistema Internacional de Unidades (SI). En la vida cotidiana, los múltiplos y los submúltiplos del metro son usados para simplificar expresiones muy grandes o muy pequeñas, tal como es el caso del kilómetro y del milímetro. A continuación, veremos un diagrama con los múltiplos y los submúltiplos de esta unidad.

Nota que cada unidad es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior, por lo tanto, las equivalencias son las siguientes:

  • 1 km = 1.000 m
  • 1 hm = 100 m
  • 1 dam = 10 m
  • 1 m = 1 m
  • 1 dm = 0,1 m
  • 1 cm = 0,01 m
  • 1 mm = 0,001 m

Otros múltiplos y submúltiplos

  • 1 gigámetro (Gb) = 1.000.000.000 m
  • 1 megámetro (Mm) = 1.000.000 m
  • 1 micrómetro (μm) = 0,000001 m
  • 1 nanómetro (ηm) = 0,000000001 m
En el Sistema Internacional de Unidades se emplean prefijos para definir los múltiplos y los submúltiplos de cualquier unidad tanto básica como derivada. Los prefijos más comunes son (de menor a mayor): nano, micro, mili, centi, deci, deca, hecto, kilo, mega y giga, entre otros. Por esta razón, hablamos de kilogramos, mililitros y gigabytes.

unidades extranjeras de longitud

Son muy pocos los países que no han adoptado el Sistema Internacional de Unidades, como Estados Unidos, Liberia y Birmania. Asimismo, otros países, a pesar de haber aceptado este sistema, continúan con el uso de otras unidades denominadas unidades extranjeras porque básicamente no guardan relación con el SI, tal es el caso de la pulgada, el pie, la yarda y la milla. Las equivalencias de estas unidades las veremos en esta tabla:

Unidad extranjera Equivalencia en metros
Pulgada 1 pulg = 0,0254 m
Pie 1 pie = 0,3048 m
Yarda 1 yd = 0,9144 m
Milla 1 mi = 1,609344 m

conversión de unidades de longitud

Una manera simple de convertir unidades de longitud es por medio del diagrama mostrado anteriormente. Los pasos son sencillos:

  • Si queremos convertir una unidad menor a una mayor dividimos por 10 tantas veces como casillas haya hasta llegar a la unidad.
  • Si deseamos convertir una unidad mayor a una menor multiplicamos por 10 tantas veces como casillas haya hasta llegar a esa unidad.

– Ejemplo 1:

Convertir 5 cm a m.

Primero ubicamos las dos unidades en el diagrama.

Como vamos a convertir una unidad menor a una mayor debemos dividir. En este caso, hay dos casillas entre los centímetros y los metros, así que dividimos dos veces entre 10, lo que es igual a dividir entre 100.

5 ÷ 100 = 0,05

Por lo tanto, 5 cm equivalen a 0,05 m.

– Ejemplo 2:

Convertir 1.125 mm a cm.

Ubicamos las unidades en el diagrama:

Como solo hay una casilla entre los milímetros y los centímetros, dividimos la cantidad entre 10.

1.125 ÷ 10 = 112,5

Entonces, 1.125 mm equivalen a 112,5 cm.

– Ejemplo 3

Convertir 2,5 km a m.

Por medio del diagrama contamos los espacios o casillas que hay entre una unidad y la otra. Como vamos a convertir una unidad mayor a una menor, la operación a realizar es la multiplicación.

Como vemos, hay tres espacios, así que tenemos que multiplicar tres veces por 10, lo que es igual a multiplicar por 1.000.

2,5 × 1.000 = 2.500

Por lo tanto, 2,5 km equivalen a 2.500 m.

– Ejemplo 4:

Convertir 15,6 dam a dm.

Según el diagrama debemos multiplicar el valor dos veces por 10, lo que es igual a multiplicar por 100.

15,6 × 100 = 1.560

Entonces, 15,6 dam equivalen a 1.560 dm.

Para convertir una unidad extranjera a metro debemos multiplicar el valor de la cantidad a convertir por el valor de la equivalencia de esa unidad en metros. Por ejemplo, si deseamos convertir 12 pulgadas a metros (ya sabemos que 1 pulgada es igual a 0,0254 m), basta con multiplicar 12 x 0,0254 = 0,3048. Por lo tanto, 12 pulgadas equivalen a 0,3048 metros.

[/su_note]

¡A practicar!

1. Transforma las siguientes cantidades a metros.

a) 150 cm
b) 2.500 km
c) 30 mm
d)1.470 dm

Solución
a) 150 cm = 1,5 m
b) 2.500 km = 2.500.000 m
c) 30 mm = 0,03 m
d)1.470 dm = 147 m 

2. ¿Cuál de las siguientes opciones no corresponde a un prefijo del Sistema Internacional de Unidades?

a) Kilo
b) Deca
c) Hecta
d) Filo

Solución
d) Filo

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Conversión de unidades de longitud”

En el siguiente artículo destacado se explica otra manera de realizar conversiones de unidades de longitud.

VER

CAPÍTULO 8 / TEMA 3

medidas de tendencia central

Son también denominadas medidas de posición o de centralización. Como su nombre lo indica, hacen referencia a los valores centrales de una determinada distribución de datos. La media aritmética, la mediana y la moda comprenden este grupo de medidas. Estas medidas cumplen la función de resumir en un solo número las características de un conjunto de datos.

la media ARITMÉTICA

La media aritmética (\fn_cm \small \overline{x}), también conocida como promedio, es el cálculo del valor característico de una distribución de datos. Se calcula al sumar todos los valores y luego dividir el resultado entre la cantidad total de datos. Si el cálculo se realiza con una muestra aleatoria, esta debe ser representativa de la muestra total.

Así que, dado un conjunto de números (n): x1, x2, x3, …xn. La media aritmética se determina por la siguiente fórmula:

\overline{x}=\frac{x_{1},\: x_{2},\: x_{3}...x_{n}}{n}

– Ejemplo:

Un grupo de 12 estudiantes obtuvo las siguientes calificaciones en una asignatura: 4, 6, 6, 10, 12, 12, 13, 15, 16, 17, 17 y 19. ¿Cuál es la media?

Aplicamos la fórmula de media aritmética:

\overline{x}=\frac{4+ 6+ 6+ 10+ 12+ 12+ 13+ 15+ 16+ 17+ 17 + 19}{12}

\overline{x}=\frac{147}{12}=\boldsymbol{12,25}

En Estadística podemos clasificar a las medidas en dos grandes grupos: medidas de posición y medidas de dispersión. Las medidas de posición nos permiten obtener un valor único (central) que representa las características del conjunto de datos. En cambio, las medidas de dispersión cuantifican las variaciones con respecto a la tendencia central.

Media aritmética para datos agrupados

Cuando los datos ya están agrupados en una tabla de frecuencia tenemos que:

  • Multiplicar cada dato (x) por su frecuencia (f).
  • Sumar el total de f · x.
  • Sumar el total de f.
  • Dividir el total de f · x. entre la suma total de f.

– Ejemplo:

La siguiente tabla muestra la frecuencia de notas obtenidas en una clase:

Notas (x) Frecuencia (f)
4 3
10 8
15 6
18 2

Multiplicamos cada dato (x) por su frecuencia, luego sumamos los productos y los dividimos entre las frecuencias totales:

Notas (x) Frecuencia (f) f · x
4 3 12
10 8 80
15 6 90
18 2 36
Total 19 218

\overline{x}=\frac{218}{19}\approx \boldsymbol{24,22}

¿Sabías qué?
La media aritmética presenta una desventaja: es sensible a datos atípicos, lo que arroja un valor promedio alejado de la realidad.

la moda

La moda (Mo) es el valor que tiene mayor frecuencia, es decir, es valor que más se repite. Para hallar la moda siempre es conveniente ordenar los datos que se obtienen para verificar la cantidad de veces que aparece cada uno.

– Ejemplo:

Las calificaciones obtenidas en un examen fueron: 10, 15, 4, 10, 10, 8, 10, 4, 15, 4, 10, 10, 15, 10, 10, 15, 15, 15 y 18. ¿Cuál es la moda?

Primero organizamos los datos:

4, 4, 4, 8, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 15, 15, 15, 15, 15, 15 y 18.

Luego contamos la repetición o frecuencia de cada dato y elegimos el que más se repita:

4 → 3 veces
8 → 1 vez
10 → 8 veces
15 → 6 veces
18 → 1 veces

Por lo tanto,

Mo=\boldsymbol{8}

Distribución bimodal

La moda es el valor con mayor frecuencia en las distribuciones de los datos. Sin embargo, puede suceder que se encuentren dos modas, que reciben el nombre de “distribución bimodal”.

la mediana

La mediana (Md) corresponde al valor para el cual la cantidad de datos menores y mayores a él es igual. Cuando los elementos del conjunto de datos son un número impar, la mediana queda definida. Si la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio entre los dos datos centrales.

– Ejemplo 1:

En un equipo de fútbol hay 11 jugadores, las edades de los mismos son: 20, 23, 19, 16, 18, 22, 19, 20, 21, 19 y 17. ¿Cuál es la mediana?

Primero organizamos los datos y ubicamos el valor que esté en el medio:

16, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 22, 23

Nota que hay cinco valores a la izquierda y cinco valores a la derecha.

Entonces, Md=\boldsymbol{20}

 

– Ejemplo 2:

En un grupo de teatro hay 10 alumnos, halla la mediana correspondiente a las edades de los mismos: 15, 12,14, 10, 14, 13, 16, 12, 13 y 16.

Como la cantidad de datos es par, los organizamos y calculamos el promedio de los valores medios:

10, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 16

\overline{x}=\frac{13+14}{2}=13,5

Por lo tanto, Md=\boldsymbol{13,5}

gráficas de medida de tendencia central

En distribuciones simétricas la media aritmética, mediana y moda coinciden.

Las distribuciones asimétricas pueden ser:

  • Asimétrica hacia la izquierda.

  • Asimétrica hacia la derecha.

Uno de los usos más frecuentes que le damos a las medidas de tendencia central es cuando calculamos nuestro promedio de calificaciones. Este nos indica cómo nos fue en una asignatura en particular o en todo un año escolar. Tener un buen promedio de calificaciones nos ayuda no solo a pasar al nivel superior, sino también a obtener becas académicas.

¡A practicar!

Calcula la media aritmética, la moda y la mediana de los siguientes conjuntos numéricos.

  • 1, 3, 6, 5, 6, 7, 4, 3, 4, 8, 3, 2, 7, 6, 3, 1, 5, 8, 9
Solución

1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9

\overline{x}=\frac{91}{19}\approx \boldsymbol{4,79}

Mo=\boldsymbol{3}

Md=\boldsymbol{5}

  • 17, 25, 14, 26, 30, 15, 25, 16, 11, 13, 17, 18, 16, 22, 23, 25, 14
Solución

11, 13, 14, 14, 15, 16,16, 17, 17, 18, 22, 23, 25, 25, 25, 26, 30

\overline{x}=\frac{327}{17}\approx \boldsymbol{19,24}

Mo=\boldsymbol{25}

Md=\boldsymbol{17}

  • 18, 20, 22, 28, 28, 18, 27, 30, 32, 26, 27, 28, 26, 28
Solución

18,18, 20, 22, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 30, 32

\overline{x}=\frac{358}{14}\approx \boldsymbol{25,57}

Mo=\boldsymbol{28}

Md=\boldsymbol{27}

  • 120, 100, 115, 100, 150, 110, 120, 130, 110, 140, 160, 120
Solución

100, 100, 110, 110, 115, 120, 120, 120, 130, 140, 150, 160,

\overline{x}=\frac{1.475}{12}\approx \boldsymbol{122,92}

Mo=\boldsymbol{120}

Md=\boldsymbol{120}

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Las medidas de tendencia central”

En el artículo se complementan ejemplos de medidas de tendencia central y se ilustran su gráficas representativas.

VER

CAPÍTULO 8 / TEMA 2

gráficos estadísticos

Después de recolectar datos, ordenarlos y presentarlos en una tabla, estos pueden representarse gráficamente. Existen distintos tipos de gráficos, sin embargo todos ellos cumplen los mismos objetivos: registrar datos de manera clara y concreta; comunicar la información en forma sencilla y comprender la estructura del conjunto de datos.

¿qué son los gráficos estadísticos?

Los gráficos estadísticos son una representación visual de datos. Estos tienen gran utilidad para manifestar relaciones matemáticas o correlaciones estadísticas a partir de recursos visuales. Los gráficos son complementos de las tablas (apoyo numérico) que ayudan a lograr la correcta interpretación de los datos.

Los gráficos estadísticos son un conjunto de herramientas visuales que nos permiten organizar y presentar datos de manera clara y atractiva. Esto es de gran ayuda para lograr la correcta interpretación de los mismos. Los gráficos pueden ser de diversos tipos y cada uno de ellos se puede adaptar a los datos a analizar.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?
Los procedimientos estadísticos se remontan hacia el año 3050 a. C. cuando se intentó hacer un registro de la población en Egipto para preparar la construcción de las pirámides.

¿Cuáles son las ventajas de los gráficos estadísticos?

  • Captan la atención. Los datos representados de manera gráfica suelen ser mucho más llamativos visualmente que los bloques de texto o contenido.
  • Información puntual. La información mostrada se encuentra generalmente de manera resumida, precisa, clara y sencilla.
  • Fácil comprensión. La información desglosada y graficada tiene menos posibilidades de ser comprendida erróneamente por el lector.
  • Comparación eficaz. Los datos, al estar representados en forma de gráficos, se prestan a una fácil comparación ya que sus tendencias o diferencias se destacan claramente.
  • Complemento explicativo. Pueden ser utilizados como complemento de un párrafo o texto explicativo, lo que facilita la transmisión de ideas.

elementos de un gráfico

Los gráficos pueden ser muy útiles, pero para eso se requiere de la correcta utilización de cada uno de los elementos que los componen. Los principales elementos de un gráfico a tener en cuenta son: el título, la escala y el cuerpo.

  • El título contiene el resumen del contenido del gráfico estadístico.
  • La escala es el rango de valores de los ejes del gráfico estadístico.
  • El cuerpo constituye el tipo de gráfico (de barras, poligonal o circular).

Además de estos, merecen una distinción otros elementos como el título y las unidades de los ejes, la leyenda, y la etiqueta y la serie de los datos.

Proporciones de un gráfico

Las proporciones en un gráfico son lo primordial; es decir, el contenido debe estar equilibrado. Por lo general, la relación entre la base y la altura debe ser de 1,5 en 1. A continuación veremos dos ejemplos de gráficos, uno adecuado y el otro no.

tipos de gráficos estadísticos

Como se mencionó anteriormente, existen diferentes tipos de gráficos. En este caso, nos centraremos en tres: el gráfico de barras, el gráfico poligonal y el gráfico circular.

Gráfico de barras

En este tipo de gráficos, como su nombre lo indica, se construyen barras que pueden tener sus bases en el eje y o en el eje x. Las alturas de las mismas permiten comparar las categorías y obtener información con respecto a lapsos de tiempo.

Gráfico poligonal o lineal

El gráfico poligonal se utiliza para presentar la magnitud o frecuencia de diferentes variables. Este se forma a partir de histogramas: columnas verticales que reflejan cada una de las frecuencias. Luego de esto, se unen los puntos con líneas rectas.

Gráfico circular

También conocido como gráfico de torta o pastel, se usa para comparar porcentajes con respecto a un total de datos. Para hallar los porcentajes parciales se dividen los 360° del círculo de acuerdo a los valores dados.

Los censos proporcionan una estadística descriptiva del número de individuos, tamaño de la población y composición del hogar o de la familia, e información sobre la distribución por sexo y edad. A menudo incluyen otros temas demográficos, económicos y relacionados también con la salud. Todos suelen mostrarse en gráficos en un informe final.

construcción de diagramas de barra

Para la construcción del diagrama de barras se necesita, como en todos los casos, la tabla con los datos recolectados. Luego seguimos estos pasos:

  1. Dibujamos un plano cartesiano.
  2. Ubicamos los datos observados en el eje x.
  3. Ubicamos las frecuencias en el eje y.
  4. Dibujamos rectángulos sobre cada dato. La altura de cada barra corresponde a la frecuencia.
  5. Escribimos los títulos de cada eje.

¿Sabías qué?
La frecuencia es el número de veces que se repite cada fenómeno o suceso.

– Ejemplo:

Luego de realizar una recolección de datos en una escuela, se obtuvo la información de la cantidad de alumnos de diferentes cursos que le gustaba la asignatura de Matemática y Lengua. El análisis se hizo con 100 alumnos de cada grado y el resultado se observa en la siguiente tabla:

Alumnos que les gusta Matemática Alumnos que les gusta Lengua
Alumnos de 1º grado 45 55
Alumnos de 2º grado 70 30
Alumnos de 3º grado 60 40
Alumnos de 4º grado 25 75
Alumnos de 5º grado 55 45

 

 

¡A practicar!

Realiza el gráfico de barras para cada tabla.

1. Deporte favorito de un grupo entrevistado.

Deporte favorito Frecuencia
Béisbol 7
Fútbol 6
Baloncesto 9
Voleibol 3
Solución

 

2. Color favorito de un grupo entrevistado.

Color Frecuencia
Rojo 4
Azul 3
Amarillo 6
Verde 3
Blanco 5
Rosado 5
Solución

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Gráficos estadísticos”

En el artículo se mencionan diversos gráficos con los ejemplos y elementos correspondientes a cada uno. Allí se encontrarán características inherentes a los gráficos estadísticos y la explicación para la construcción de cada uno de ellos.

VER

CAPÍTULO 8 / TEMA 1

RECOLECCIÓN Y CONTEO DE DATOS

La estadística es una rama de las matemáticas que se ocupa de reunir y organizar datos relacionados con fenómenos colectivos, pero ¿cómo recolectar estos datos?, ¿qué tipo de datos existen? y luego de conseguirlos, ¿cómo representarlos? Todas estas interrogantes podrás responderlas después de leer el artículo a continuación.

¿QUÉ es un dato?

Es la información que permite describir alguna característica de una situación de estudio. Un dato puede ser un número, una palabra o cualquier símbolo.

– Ejemplos:

  • Los datos de una persona son la edad, el peso, la estatura, el color de cabello o la fecha de nacimiento.
  • Los datos de un país son el número de habitantes, la superficie, las fronteras o el producto interno bruto.
Los planes de desarrollo que elaboran los Gobiernos se basan en ciertos datos económicos, demográficos y sociales. Estos datos se reúnen por medio de diversos métodos, como los censos de población y vivienda; luego se registran y analizan, lo que permite la construcción de un plan ajustado a la realidad del país.

tipos de datos

Los datos pueden ser cualitativos o cuantitativos. Los datos cualitativos expresan una cualidad mientras que los cuantitativos expresan una cantidad. Por ejemplo, cuando te piden describir la experiencia que tuviste en un lugar es posible que uses términos como “agradable”, “divertida” o “incómoda”. Dichos términos son ejemplos de información cualitativa. En cambio, si te preguntan tu edad, tu estatura, tu peso o el número de hermanos que tienes, respondes con datos cuantitativos.

¡Es tu turno!

Lee los conjuntos de datos. Indica si son cualitativos o cuantitativos.

  • Soltero, casado, viudo.
    Solución
    Datos cualitativos.
  • 10 años, 15 años, 9 años.
    Solución
    Datos cuantitativos.
  • Ojos negros, ojos verdes, ojos azules.
    Solución
    Datos cualitativos.

Los datos cuantitativos pueden ser definidos como discretos o continuos. La diferencia entre estos es que los datos discretos solo pueden tomar valores fijos dentro de un rango determinado, mientras que los datos continuos pueden tomar valores intermedios en ese rango.

Datos continuos Datos discretos
  • Infinitos valores en un intervalo.
  • Pueden ser fraccionarios o decimales.
  • Ejemplo: altura de cada uno de los hijos de una persona, pesos de los animales de una granja o temperatura dentro de un aula con alumnos.
  • Solo ciertos valores de un intervalo.
  • No pueden ser fraccionarios ni decimales.
  • Ejemplo: cantidad de hijos de una persona, cantidad de animales en una granja o cantidad de alumnos en un aula.

¿Sabías qué?
Un dato continuo nunca puede ser medido con exactitud. Los valores de este dependen del error de los instrumentos de medición.

recolección de datos

No hay una única forma de recolectar datos, existen diversos métodos, como los siguientes:

  • Observación

La observación puede ser directa o experimental. Por ejemplo, los botánicos y zoólogos aplican la observación directa al estudiar plantas y animales, mientras que lo físicos y los químicos realizan una observación experimental al recabar datos por medio de experimentos ya planeados.

  • Cuestionarios

Son instrumentos de recolección de datos. Estos comprenden un conjunto de preguntas usadas para obtener información sobre un tema específico, por ejemplo, un científico social aplicaría un cuestionario para saber las opiniones o creencias de un grupo de personas.

  • Investigación documental

Consiste en la recolección de datos ya publicados por otros autores. Estos pueden estar en revistas, memorias o libros. Según el objetivo de la búsqueda se analizarán estos datos.

Muestreo

Todos los datos se recolectan de un grupo de elementos llamados población. Cuando la población es muy numerosa, se recurre a una muestra aleatoria de esta. A este proceso se lo denomina muestreo y se utiliza normalmente para la obtención de los resultados e información. Dicha muestra debe ser representativa de los datos recolectados.

Supongamos que queremos realizar un estudio estadístico para determinar el porcentaje de personas que están de acuerdo con la política medioambiental que se aplica en una ciudad con 200.000 habitantes. En este caso, la población es igual a la cantidad de habitantes: 200.000; y la muestra sería la cantidad de personas que vamos a encuestar, por ejemplo: 110.000.

tablas de datos

Luego de la recolección de datos se debe encontrar una manera de presentar la información y guardarla de forma organizada, para lo que se acude a una tabla de datos. Allí se organizan en filas y columnas los datos luego de obtenidos y clasificados respecto a los objetivos de la investigación.

Tras presentar los datos en la tabla se puede recurrir al empleo de diferentes tipos de gráficos. Estos permiten el análisis de la información recolectada y la muestra, de forma tal que podamos comparar, predecir y comprender las características del objeto de estudio. Algunos de estos gráficos pueden ser de barras, circulares o lineales.

– Ejemplo 1:

Se aplicó un cuestionario a un grupo de 25 personas acerca de su deporte favorito. Las respuestas obtenidas fueron las siguientes:

Baloncesto Béisbol Baloncesto Baloncesto Baloncesto
Fútbol Baloncesto Fútbol Fútbol Fútbol
Béisbol Fútbol Béisbol Béisbol Béisbol
Voleibol Baloncesto Baloncesto Voleibol Baloncesto
Béisbol Voleibol Baloncesto Fútbol Béisbol

Para organizar estos datos en una tabla seguimos estos pasos:

a. Construimos una tabla de dos columnas. La primera fila corresponde a las categorías “deporte favorito” y “número de personas”. Luego escribimos en la primera columna los deportes que se obtuvieron como respuestas.

b. Contamos cuántas personas prefieren cada deporte y escribimos el número en la celda de la derecha de cada uno.

Deporte favorito Número de personas
Béisbol 7
Fútbol 6
Baloncesto 9
Voleibol 3

De esta tabla podemos concluir que el deporte favorito de la mayoría de la clase es el baloncesto y el menos preferido fue el voleibol.

Nota que si sumamos los valores de la segunda columna obtendremos la cantidad total de personas que participaron en el cuestionario:

7 + 6 + 9 + 3 = 25

– Ejemplo 2:

A continuación se muestran las edades de todos los alumnos de séptimo grado:

12 12 13 14 12 11
13 12 11 12 12 12
12 13 12 12 11 12
14 11 12 13 13 12
11 12 12 13 13 12

Organicemos estos valores en una tabla de datos:

Edad Número de alumnos
11 5
12 16
13 7
14 2

¡Es tu turno!

Observa la tabla anterior y responde:

  • ¿Cuántos alumnos tienen 11 años?
    Solución
    5
  • ¿Cuántos alumnos tienen 12 años?
    Solución
    16
  • ¿Cuántos alumnos tienen 13 años?
    Solución
    7
  • ¿Cuántos alumnos tienen 14 años?
    Solución
    2
  • ¿Cuántos alumnos hay en séptimo grado?
    Solución
    30

– Ejemplo 3:

En una entrevista se le preguntó a un grupo de personas cuál era su color favorito. Las respuestas obtenidas fueron las siguientes:

Rojo Rosado Blanco Amarillo Rojo Rosado Anaranjado Rosado
Azul Blanco Amarillo Anaranjado Azul Blanco Rosado Amarillo
Amarillo Azul Verde Morado Amarillo Rojo Blanco Verde
Blanco Anaranjado Rojo Rosado Anaranjado Verde Amarillo Anaranjado

La tabla de datos quedaría así:

Color Número de personas
Rojo 4
Azul 3
Amarillo 6
Verde 3
Morado 1
Anaranjado 5
Blanco 5
Rosado 5

¡Es tu turno!

Observa esta la tabla anterior y responde:

  • ¿Cuántas personas prefieren el color verde?
    Solución
    3
  • ¿Cuántas personas prefieren el color blanco?
    Solución
    5
  • ¿Cuántas personas prefieren los colores azul y rojo?
    Solución
    7
  • ¿Cuál es el color favorito de la mayoría de los entrevistados?
    Solución
    Amarillo
  • ¿Cuál es el color favorito de una sola persona de los entrevistados?
    Solución
    Morado
  • ¿Cuántas personas fueron entrevistadas?
    Solución
    32

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La estadística”

El artículo refuerza las definiciones y la utilización de los datos. Aquí puedes ver ejemplos de los diferentes tipos de datos y variables.

VER

Artículo “Estadística: tabla de valores”

Con este recurso podrás profundizar sobre la elaboración de tabla de datos con y sin intervalos.

VER

CAPÍTULO 6 / TEMA 1

sISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

Desde el peso de una pelota hasta el tamaño de una estrella, los seres humanos han necesitado medir a través de unidades aplicables en magnitudes específicas como la longitud, el área o el volumen. En la actualidad, se emplea el Sistema Internacional de Unidades, que busca la uniformidad en las mediciones y que es adoptado en casi todos los países.

¿POR QUÉ MEDIMOS LAS COSAS?

Desde tiempos antiguos, el ser humano necesitó medir las raciones que tenía, el tamaño de un terreno o el peso de un animal. Esa realidad aún existe, solo que actualmente el ser humano emplea unidades de medida usadas para medir muchas más magnitudes como el tamaño de una bacteria o la velocidad del sonido.

Hoy en día el Sistema Internacional de Unidades cuenta con siete unidades básicas: el metro para medir la longitud, el kilogramo para medir la masa, el segundo para medir el tiempo, el amperio para medir la intensidad de la corriente eléctrica, el kelvin para medir la temperatura, el mol para medir la cantidad de sustancia, y la candela para medir la intensidad luminosa.

Cuando se quiere comparar y dimensionar objetos o cantidades, se debe recurrir a un equipo de medición. Un equipo de medición es una herramienta que nos brinda la información de una determinada magnitud. Sin embargo, para lograr la consistencia de los resultados se debe prestar especial atención a las unidades utilizadas. Algunos ejemplos de equipos de medición son:

Magnitud Equipo de medición usado
Tiempo Cronómetro
Longitud Regla graduada
Masa Balanza
Temperatura Termómetro
Ángulo Transportador

VER INFOGRAFÍA

Aplicación correcta de unidades

Para poder comparar dos valores pertenecientes a una misma magnitud física, ambos deben encontrarse en el mismo sistema de medición, es decir, poseer las mismas unidades de medición. Aunque numéricamente pueden ser iguales, cada unidad representa una proporción diferente de la magnitud que representa. Es por ello que, al momento de resolver un ejercicio con diferentes unidades de medida, se sugiere comenzar con la transformación de todas las unidades en una sola.

¿Qué unidad usar?

Imaginemos que se necesita calcular el volumen del siguiente cubo, cuyas longitudes de sus lados se encuentran expresadas en metros y en centímetros.

Si el ejercicio no lo especifica, el volumen se puede expresar en cualquiera de las dos medidas. Lo importante es aplicar las fórmulas usando una sola unidad:

V = L^{3} = \left (0,5\, m \right )^{3}=0,125\, m^{3}

V = L^{3} = \left (50\, cm \right )^{3}=125.000\, cm^{3}

Observa que 0,125 m3 representa el mismo volumen que 125.000 cm3.

Es por ello que el empleo de las unidades es importante porque nos permite entender la proporción de la cantidad medida. Imaginemos que un comentarista de fórmula 1 dice “la velocidad del auto es de 100”. Es una oración ambigua porque no especifica la unidad de medición. Pueden ser kilómetros por hora, metros por segundo, etc.

En el Sistema Internacional de Unidades también existen unidades derivadas que se usan para medir magnitudes físicas que dependen de las unidades básicas de medición, es decir, se pueden expresar matemáticamente en términos de magnitudes físicas básicas. Por ejemplo, el área es una unidad derivada porque se expresa en m2. La velocidad es otra unidad derivada y se expresa como m/s.

UNIDADES DE MEDICIÓN

Una unidad de medida es una cantidad o proporción estandarizada de una magnitud física que se ha definido y adoptado a través de una ley o por convención. En el pasado se usaban incontables unidades de medición que en la mayoría de los casos no contaban con coherencia. Por esta razón, apareció el Sistema Internacional de Unidades que busca una mayor homogeneidad en los procesos de medición. Las unidades de medición básicas de este sistema son:

Magnitud física Símbolo Nombre
Masa kg Kilogramo
Longitud m Metro
Tiempo s Segundo
Temperatura K Kelvin
Corriente eléctrica A Amperio
Cantidad de sustancia mol Mol
Intensidad luminosa cd Candela

El Sistema Internacional de Unidades nos ofrece las unidades básicas y la combinación de estas en unidades derivadas para lograr mediciones de variables más complejas.

¿Sabías qué?
El Newton (N) es una unidad derivada usada para medir la fuerza donde 1 N = 1 kg.m/s2

tipos de unidades

El Sistema Internacional de Unidades define las unidades básicas necesarias para medir cualquier objeto y en otros casos emplea potencias, productos y cocientes de unidades básicas para expresar otras magnitudes conocidas como unidades derivadas. En la siguiente tabla podrás encontrar las unidades derivadas más conocidas:

Medida Unidad Denominación
Velocidad m/s “metro por segundo”
Aceleración m/s2 “metro por segundo cuadrado”
Fuerza N = kg ·m/s2 Newton
Área m2 “metros cuadrados”
Volumen m3 “metros cúbicos”

¡A practicar!

1. Determinar si las siguientes mediciones pertenecen al Sistema Internacional de Unidades.

a) Una velocidad de 110 km/h.

RESPUESTAS
No pertenece al Sistema Internacional de Unidades porque la velocidad debería estar expresada en m/s para que fuera considerada dentro del Sistema Internacional de unidades.

b) La temperatura de 30 °C.

RESPUESTAS
No pertenece porque la unidad de medida del Sistema Internacional de Unidades es el kelvin (K).

c) Un volumen de 100 m3.

RESPUESTAS
Sí pertenece porque su unidad es una potencia del metro que es una unidad básica.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sistema Internacional de Unidades”

El artículo explica cómo y por qué se formó el Sistema Internacional de Unidades. También explica sus unidades básicas y el uso de este sistema a nivel mundial

VER