El cálculo de áreas y perímetros de figuras geométricas se hace a partir de la longitud de sus lados. El área de los rectángulos se calcula como la multiplicación de la base por la altura, y la de los triángulos se define como la multiplicación de la base por la altura dividido por dos. Cuando se calculan los perímetros se recurre a la sumatoria de la longitud de los lados, independientemente de la figura que sea.
Las figuras pueden ser simples o compuestas. Sin embargo, el cálculo del perímetro se realiza de la misma manera a través de la suma de las longitudes del contorno de la figura.
triángulos
Los triángulos son clasificados respecto a sus lados como equiláteros, isósceles y escalenos; y respecto a sus ángulos como acutángulos, rectángulos y obtusángulos. La suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre igual a 180º. Los triángulos congruentes son aquellos que son isométricos entre sí, es decir, poseen las mismas dimensiones.
Para la construcción de los triángulos se puede usar el compás. En primer lugar, se traza un segmento con la longitud de los lados, luego se trazan dos arcos y desde el punto de intersección se trazan dos rectas hasta los extremos del segmento inicial.
plano, punto y segmento
Un plano es un conjunto infinito de puntos y segmentos dispuestos de manera bidimensional. Para formar un plano se precisan tres puntos, una recta y un punto o dos rectas no coincidentes. Para ubicar un punto se utiliza un sistema de coordenadas denominado eje cartesiano, en el cual se deben considerar los valores de X e Y. En el sistema de coordenadas, se pueden distinguir cuatro cuadrantes delimitados por los ejes.
Para ubicar un punto se intersecta un eje vertical en el valor de X y un eje horizontal en el valor de Y del punto.
Circunferencia
La circunferencia es una figura geométrica que mantiene todos sus puntos equidistantes de su centro. Para calcular el área de una circunferencia se recurre a la siguiente fórmula . Donde r es el radio, y π corresponde al número pi. Para la construcción de circunferencias se utiliza un compás: se realiza un segmento con la longitud del radio y a partir de allí se genera el arco completo.
El número pi es un número irracional que se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia por su diámetro.
Transformaciones isométricas
La ampliación y la reducción son transformaciones en las dimensiones de las figuras geométricas sin alterar las propiedades de la figura original. Las transformaciones isométricas como la rotación y la traslación permiten variar la posición de la figura en el plano sin alterar sus dimensiones. Hay figuras geométricas que poseen uno o más ejes de simetría en donde cada uno de sus puntos opuestos se encuentran a una misma distancia entre sí.
Las reducciones son usadas generalmente en los planos para expresar longitudes a una menor escala.
PRISMAS Y PIRÁMIDES
Los prismas son figuras geométricas tridimensionales formadas por dos caras o bases iguales y paralelas que se encuentran unidas por paralelogramos. Las pirámides presentan una base en la que todas sus caras son triángulos que se encuentran unidos en un vértice. Para su construcción se realiza primero la base y luego la base paralela (en el caso de un prisma) o el vértice (en el caso de una pirámide) a una determinada altura. Por último, se unen las bases por paralelogramos o triángulos según corresponda al tipo de figura.
La Gran Pirámide de Guiza es una pirámide rectangular y fue construida hace 4.600 años.
La geometría es una rama de la matemática que estudia las formas de diferentes figuras como triángulos, cuadrados, y rectángulos, entre otras. Una parte de su estudio consta de la mediciones de áreas y perímetros. A continuación, trabajaremos sobre estos cálculos en algunas figuras geométricas.
cálculo de áreas en figuras geométricas
Las figuras geométricas comparten entre sí ciertas características que son de interés para la geometría. Entre esas características se encuentra el cálculo de áreas. El área es la extensión de la superficie de una figura, y para calcularla primero se debe saber ante qué tipo de figura nos encontramos. En esta sección, trabajaremos con rectángulos y triángulos.
Para calcular el área de un rectángulo se debe conocer su base y su altura. En la siguiente figura se muestran dichos valores.
El área se calculará entonces como la multiplicación de la longitud de sus lados:
Los rectángulos son un tipo de paralelogramo, es decir, cuadriláteros con sus lados opuestos paralelos dos a dos. Los rectángulos tienen la particularidad de que sus cuatro ángulos internos miden 90°. De esta forma, se puede afirmar que el cuadrado es un tipo de rectángulo que se diferencia del resto porque todos sus lados tienen la misma longitud.
Área de un triángulo:
Para calcular el área de un triángulo, debemos imaginarlo como la mitad de un rectángulo. En la siguiente figura se puede ver tal afirmación.
El área se calculará entonces como la multiplicación de la longitud de sus lados pero dividido por dos (porque hablamos de la mitad de un rectángulo):
Teorema de Pitágoras
Los triángulos rectángulos son aquellos que poseen un ángulo interno igual a 90º. Los catetos en este caso son la base (b) y la altura (h), y el lado de mayor longitud recibe el nombre de hipotenusa.
El teorema de Pitágoras dice que: “La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado“.
Si consideramos ambos catetos como C1 y C2, y la hipotenusa como H, el teorema de Pitágoras queda expresado de la siguiente manera:
Cálculo de área de un rectángulo
Se tiene una pieza de madera en forma de rectángulo que mide 1 metro de base y 3 metros de alto. ¿Cuál es el área de esta pieza?
La pieza tiene un área de 3 m2.
Cálculo de área de un triángulo
Se tiene un triángulo rectángulo de 2 centímetros de base y 4 centímetros de altura. ¿Cuál es su área?
El triángulo tiene un área de 4 cm2.
¿Sabías qué?
Según sus ángulos, los triángulos pueden clasificarse en agudos, rectángulos y obtusos.
unidades usadas para medir superficie o área
En los ejemplos anteriores, se observa que cuando se calcula un área el resultado tiene una unidad de longitud elevada al cuadrado. Las unidades sirven para poder expresar el tamaño de determinadas mediciones. En este caso, se trata del área de una figura geométrica.
Tipos de unidades
Las unidades más comunes para expresar áreas de figuras geométricas son los metros cuadrados (m2) y los centímetros cuadrados (cm2). Sin embargo, cualquier unidad de longitud puede ser utilizada para el cálculo de un área.
Existen otras unidades de área como la hectárea que equivale a la superficie de un cuadrado de 100 m en cada lado. Es decir, 1 hectárea equivale a 10.000 m2.
Ejemplo de cálculo de área con diferentes unidades
Se tiene el siguiente cuadrado (un rectángulo donde sus cuatro lados son iguales) con el valor de sus lados expresados en diferentes unidades.
El área del cuadrado se puede calcular de la siguiente manera:
Donde:
A = área.
L = longitud de uno de los lados del cuadrado.
De acuerdo al valor del número que se reemplace en la ecuación, el área será diferente numéricamente, pero las diferentes unidades de longitud permiten correlacionar todos los valores. De esta forma, representan al mismo valor de área pero con diferente unidad:
Área (m2) = (0,5 m)2 = 0,25 m2
Área (cm2) = (50 cm)2 = 2.500 cm2
Área (mm2)= (500 mm)2 = 250.000 mm2
Sin embargo, cualquiera de las tres opciones son el mismo resultado. Solo que con unidades diferentes. La diferencia es solo numérica.
Por lo tanto:
0,25 m2 = 2.500 cm2 = 250.000 mm2
cálculo de perímetro de figuras geométricas simples y compuestas
El cálculo del perímetro se realiza de modo similar al cálculo del área. El perímetro es el contorno de la figura, por lo tanto, para calcularlo se recurrirá simplemente a la suma de la longitud de sus lados.
Perímetro de figuras
A continuación, se mostrarán las fórmulas de cálculo de perímetro de triángulos, cuadrados y rectángulos.
Perímetro de un triángulo = cateto + cateto + hipotenusa
Perímetro de un cuadrado = lado + lado + lado + lado
Perímetro de un rectángulo = base + altura + base + altura
El cálculo del perímetro puede realizarse en figuras simples, como es el caso de los tres ejemplos anteriormente mencionados, o en figuras compuestas, cuando se combinan dos o más de estas figuras.
Ejemplo de cálculo de perímetro de una figura compuesta:
Para calcular el perímetro de la figura compuesta debe sumarse las longitudes de todo el contorno de esta. Por lo tanto:
El perímetro se calculará como la suma de los siguientes contornos:
2 lados del cuadrado de 45 cm
2 lados del rectángulo de 10 cm
1 lado del rectángulo de 45 cm
1 lado del triángulo de 45 cm
1 lado (la hipotenusa) del triángulo de 63,6 cm
Perímetro = (2 × 45 cm) + (2 × 10 cm) + 45 cm + 45 cm + 63,6 cm = 263,6 cm
Prestar atención a las unidades: en esta caso, como simplemente se calculó una longitud, la unidad del perímetro es en cm.
¡A practicar!
1. ¿Cuál es el área y el perímetro del siguiente triángulo?
RESPUESTAS
El área del triángulo es de 24 cm2.
El perímetro del triángulo es de 24 cm.
2. ¿Cuál es el área y el perímetro del siguiente rectángulo?
RESPUESTAS
El área del rectángulo es de 35 cm2.
El perímetro del rectángulo es de 24 cm.
3. ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura?
RESPUESTAS
3 lados del cuadrado de 7 cm
1 lado del rectángulo de 7 cm
1 lado del rectángulo de 6 cm
1 lado del triángulo de 5 cm
1 lado (la hipotenusa) del triángulo de 7,8 cm
El perímetro de la figura es de 46,8 cm.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Teorema de Pitágoras”
En este artículo se explica en qué consiste el teorema de Pitágoras, sus aplicaciones, y presenta distintos ejercicios.
El perímetro es el contorno de una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, el perímetro lo calculamos al multiplicar la cantidad de sus lados por la longitud de uno de estos. Otra forma de calcular el perímetro es a través de la suma de cada uno de los lados de una figura. En cambio, el perímetro del círculo es igual a la multiplicación del número pi por el diámetro de la circunferencia. Existen también figuras compuestas que están formadas por dos o más figuras geométricas, para calcular su perímetro basta con sumar cada uno de los lados.
El perímetro tiene múltiples aplicaciones en disciplinas como la arquitectura y también se usa en el ámbito militar.
Ángulos
Uno de los elementos fundamentales para la geometría es el ángulo, el cual está formado por un par de semirrectas denominadas lados que tienen un origen común o vértice. Uno de los sistemas más usados para medir ángulos es el sistema sexagesimal, en el que medimos los ángulos en grados, minutos y segundos. De acuerdo a su tamaño, los ángulos pueden clasificarse en agudos, rectos, obtusos y llanos. Los agudos son mayores a 0° pero menores a 90°, los rectos miden 90°, los obtusos son mayores a 90° pero menores de 180° y los llanos miden siempre 180°.
El transportador es uno de los instrumentos más usados para medir ángulos.
Área
Para calcular superficies usamos el área, que es la extensión comprendida por una figura. Para cada figura plana existe una fórmula que permite determinar su área. En el Sistema Internacional de Unidades se emplea el metro cuadrado (m2) como unidad de medida de área, pero también podemos usar otras unidades derivadas, como el centímetro cuadrado (cm2) o el milímetro cuadrado (mm2). Podemos obtener el área de las figuras compuestas al descomponerlas en figuras geométricas más simples, para luego sumar las áreas de cada una.
El conocimiento del área puede ser aplicado para calcular cuántas baldosas son necesarias para cubrir una superficie.
Sistemas de referencia
Uno de los sistemas de referencias más usados es el sistema cartesiano, el cual está formado por dos ejes en el plano: uno horizontal denominado eje X o de las abscisas y otro vertical denominado eje Y o de las ordenadas. Para representar un punto en el plano cartesiano necesitamos sus coordenadas en el eje X y en el eje Y: la intersección de ambas coordenadas constituye su ubicación. Por otro lado, las figuras pueden experimentar transformaciones isométricas, es decir, cambios de posición y orientación que no afectan su forma. Estas transformaciones son: traslación, rotación y simetría.
Los sistemas de referencia son usados por el ser humano para medir las posiciones y las magnitudes de las cosas.
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, y aunque se pueden clasificar en varios grupos, comparten elementos en común: tienen cuatro ángulos, la suma de estos es siempre igual 360° y tienen dos diagonales que dividen al cuadrado en triángulos. De manera general, los cuadriláteros son clasificados como paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos tienen sus lados opuestos paralelos y pueden ser cuadrados, rombos y rectángulos. Los trapecios tienen dos de sus lados paralelos y los trapezoides no tienen ningún lado paralelo.
El campo de fútbol tiene forma de rectángulo que es un tipo de cuadrilátero.
Capacidad y volumen
El volumen es el espacio que ocupa un objeto mientras que la capacidad indica la cantidad que un objeto puede contener dentro de él. Todos los objetos tienen volumen pero no todos tienen capacidad. En el caso de los sólidos y los líquidos mientras mayor sea su volumen, mayor espacio van a ocupar. No es lo mismo el volumen de un grano de arroz que el de un edificio. Algunas unidades de volumen son el metro cúbico (m3), el centímetro cúbico (cm3) y milímetro cúbico (mm3), entre otras. El litro es una medida de capacidad que equivale a 1.000 cm3.
A pesar de estar muy relacionadas, no se deben confundir las medidas de volumen con las de capacidad.
La circunferencia
La circunferencia es una curva plana con todos sus puntos ubicados a la misma distancia del origen o centro. No debe ser confundida con el círculo que corresponde al área contenida dentro de ella, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo. Presenta ciertos elementos como el radio, el diámetro, la tangente, la cuerda, el arco y la semicircunferencia. Uno de los instrumentos usados para su trazado es el compás.
Los antiguos griegos empleaban la recta y la circunferencia como figuras básicas en sus cálculos.
El contorno de una figura geométrica se denomina perímetro. De acuerdo al tipo de figura, el contorno puede ser calculado por medio de la suma de sus lados o a través de diferentes fórmulas. Estas operaciones tienen muchas aplicaciones en la vida cotidiana: por ejemplo, sirven para determinar la longitud de la cerca de una casa.
Cálculo de perímetro en figuras planas
El perímetro es la longitud del contorno de una figura. Para calcular el perímetro de una figura, simplemente tenemos que sumar cada uno de sus lados.
Es importante tener presente que existen figuras con lados regulares como el cuadrado, y figuras con lados irregulares como en el caso de un rectángulo. Las figuras regulares son conocidas como polígonos regulares y los más comunes son:
POLÍGONO
NÚMERO DE LADOS
Triángulo equilátero
3
Cuadrado
4
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
7
Octágono
8
Eneágono
9
Decágono
10
¿Sabías qué?
De acuerdo a sus lados, los triángulos son clasificados en: equiláteros (tres lados iguales), isósceles (dos lados iguales) y escalenos (ningún lado igual).
La ventaja de los polígonos regulares es que al tener todos sus lados iguales su perímetro es igual a la longitud de uno de sus lados multiplicada por la cantidad de lados que este tiene. La fórmula sería:
Donde: P = perímetro. n = número de lados de la figura. L = longitud de un lado de la figura.
Un ejemplo de cálculo de perímetro
– Calcula el perímetro de un cuadrado cuyos lados miden 5 cm:
El cuadrado es un polígono regular de cuatro lados iguales, por lo tanto, calculamos su perímetro de la siguiente forma:
P = 4 × 5 cm
Resolvemos la multiplicación y el resultado obtenido es:
P = 20 cm
Observa que al final añadimos la unidad de longitud inicial, que son centímetros (cm), pero puede ser cualquier otra unidad de medida, los pasos en estos casos siempre son los mismos.
Otro camino
Aunque las fórmulas permiten realizar cálculos más sencillos, el perímetro también puede determinarse a través de la suma de cada uno de los lados. En el caso del ejemplo anterior sabemos que cada lado mide 5 cm, de manera que tenemos que sumar los cuatro lados para obtener el perímetro:
P = 5 cm + 5 cm + 5 cm + 5 cm = 20 cm
Esta forma de calcular el perímetro suele aplicarse a figuras que tienen al menos un lado diferente, pues al no tener sus lados iguales, no es posible aplicar la fórmula de polígonos regulares. Un ejemplo sería:
– Calcula el perímetro del siguiente triángulo:
Al sumar cada uno de sus lados obtenemos que:
P = 6 cm + 7 cm + 5 cm = 18 cm
Este triángulo escaleno tiene un perímetro de 18 cm.
El perímetro de un círculo
El perímetro de un círculo se denomina circunferencia, y para calcularlo empleamos un número matemático muy particular: el número pi, llamado así porque se escribe con la letra π del alfabeto griego, que lleva ese mismo nombre. Este número es irracional, por lo tanto es infinito. Se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro. Los primeros 10 números decimales del número pi son 3,1415926535…
La fórmula para determinar el perímetro de un círculo es:
P = π × d
Donde:
π = número pi (en los cálculos generalmente se redondea hasta los dos decimales).
d = la longitud del diámetro de la circunferencia.
Perímetro de figuras compuestas
Primero que todo, es importante saber que una figura compuesta está formada por dos o más figuras geométricas, por lo que tienen un arreglo irregular de lados y ángulos. En el caso de estas figuras, realizamos el cálculo del perímetro de la misma forma que en el ejemplo anterior del triángulo.
Observemos esta figura:
Es una figura compuesta porque está formada por un cuadrado y un triángulo:
Determinamos el perímetro de esta figura al sumar solo los lados exteriores de la figura:
P = 5 cm + 5 cm + 1 cm + 7 cm + 9 cm = 27 cm
El perímetro de la figura es 27 cm.
Las figuras compuestas pueden estar formadas por triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, círculos, etc. Conocer sus diferentes elementos es importante al momento de resolver problemas de perímetros y de áreas, ya que no se puede aplicar una fórmula en común: es necesario identificar las figuras geométricas que integran la figura compuesta.
Aplicaciones del perímetro
Debido a que el perímetro y el área representan las magnitudes fundamentales al momento de trabajar con figuras geométricas y polígonos, sus usos en la vida cotidiana son frecuentes.
En el caso del perímetro, disciplinas como la arquitectura lo emplean para determinar la frontera de un objeto como en el caso de la cerca de una edificación o la valla de un campo. Sus usos también se extiende al ámbito militar, donde permite delimitar las áreas de interés ofensivo o de defensa.
La geometría
Es una rama de la matemática encargada del estudio de las figuras, sus propiedades y medidas en el plano y en el espacio. Su origen no es reciente, de hecho, antiguas civilizaciones como las del Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia ya la empleaban en mediciones de terrenos y en la construcción de edificaciones. Mucho tiempo después, los antiguos griegos la empezaron a perfeccionar y hoy en día es una disciplina fundamental.
¡A practicar!
1. Calcular el perímetro de las siguientes figuras:
a)
Solución
P = 15 cm
b)
Solución
P = 12 cm
c)
Solución
P = 48 cm
d)
Solución
P = 18 cm
e)
Solución
P = 34 cm
2. ¿Cuál de las siguientes figuras es un polígono regular?
a)
b)
c)
d)
e)
Solución
c) Es un polígono regular porque tiene 6 lados iguales y se denomina hexágono.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Áreas y perímetro”
En este cuadro comparativo se muestra una tabla con las fórmulas de área y perímetro para las principales figuras geométricas.
