Las ecuaciones tienen gran cantidad de aplicaciones, una de ellas es en la resolución de problemas geométricos.Cuando en dichas situaciones problemáticas los datos están expresados mediante incógnitas, se deben utilizar no sólo ecuaciones, sino también el conocimiento de las propiedades de las figuras dadas, las relaciones entre los ángulos, etc. Los ángulos en triángulos es uno de los primeros temas a abordar.
Antes de empezar con la resolución de problemas se hará un breve repaso de la clasificación de triángulos, ya que es el conocimiento básico que hay que tener para poder abordar el tema. Luego se desarrollarán las estrategias para resolverlos.
Los triángulos pueden clasificarse según sus ángulos y según sus lados, ésta última clasificación es la que debe saberse muy bien para poder resolver los problemas de este tipo.
clasificación de triángulos según sus lados
Equiláteros: tienen sus tres lados iguales.
Isósceles: poseen dos lados iguales y un lado desigual.
Escalenos: cuentan con los tres lados desiguales.
Observar la siguiente figura, en donde se indican los lados iguales y desiguales de tres triángulos, siendo el caso (a) un equilátero, el (b) un isósceles y el (c) un escaleno.
En forma complementaria a lo antedicho, existen ciertas reglas que relacionan ángulos interiores y exteriores. Éstas sirven para poder hallar las respuestas en algunos problemas de resolución de triángulos.
ángulos interiores y exteriores de un triángulo
En el siguiente triángulo abc se pueden apreciar todos sus ángulos:
reglas para la resolución de triángulos
Regla 1: La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°. Regla 2: La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es igual a 360°.
Regla 3: Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a dicho ángulo.
Regla 4: La suma entre un ángulo interior y el exterior contiguo a él es 180°, dado que dicho ángulo es adyacente. Es decir, suplementario y consecutivo.
ejERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 1:
En el triángulo abc de la figura se conocen los siguientes datos: . Hallar los ángulos interiores α,β, ε y sus tres ángulos exteriores μ, δ, λ.
Como se tienen los datos de los tres ángulos interiores, se puede aplicar la regla 1, entonces:
Una vez hallado el valor de “x” se tiene que reemplazar en las ecuaciones de α y β para hallar las amplitudes de dichos ángulos:
Se puede verificar si se desea, para corroborar que se han realizado bien todos los pasos y cálculos anteriores:
94° + 56° + 30° = 150° + 30° = 180°
Aún quedan por calcular los ángulos exteriores. Se lo hará mediante la regla 4:
Análogamente como se hizo con los ángulos interiores, se puede verificar:
86° + 124° +150° = 210° + 150° = 360°
EJERCICIO 2:
En el siguiente triángulo isósceles se sabe que . Hallar los ángulos internos α, ε y β.
Al ser un triángulo isósceles tiene la propiedad de que “los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales”. El ángulo α es opuesto al lado ac y el ángulo ε es opuesto al lado ab. Como ac=ab, entonces α=ε.
α=ε
Luego se deben calcular los valores de los tres ángulos interiores, reemplazando la incógnita por el valor de x obtenido.
Para hallar β se utilizará la regla 1, queda:
Las aplicaciones de los ángulos son muy variadas, en el área de arquitectura se trabaja frecuentemente con ellos.
A PRACTICAR LO APRENDIDO
En el siguiente triángulo escaleno abc hallar el valor de los ángulos interiores siendo .
2. En el siguiente triangulo isósceles abc hallar los ángulos exteriores, siendo .
3. Hallar los ángulos interiores del triángulo escaleno abc, siendo .
RESPUESTAS
¿Sabías qué...?
Al triángulo que tiene lados de 3, 4 y 5 unidades se lo conoce como triángulo perfecto y fue utilizado por los egipcios para trazar ángulos rectos, ya que es un triángulo rectángulo.
El perímetro de una figura geométrica es la suma de todos sus lados. Existen fórmulas particulares para determinadas figuras, como son el triángulo equilátero que tiene todos sus lados iguales, el rectángulo y el rombo, entre otras.
perímetros de triángulos
Los triángulos son figuras geométricas que cuentan con tres lados y tres ángulos. Para calcular el perímetro nos importa conocer sus lados y saber qué tipo de triángulo es.
Escalenos
Cuando los triángulos son escalenos (tienen todos sus lados distintos) simplemente se suman sus lados y se obtiene el perímetro de dicha figura.
Hallar el perímetro del siguiente triángulo:
Equiláteros
Los triángulos equiláteros tienen sus tres lados iguales, por lo tanto, se puede aplicar la siguiente fórmula para calcular el perímetro:
PER = 3⋅l
siendo “l” el valor de cada lado.
Al ser un triángulo equilátero todos los lados son iguales, se aplica la fórmula:
Isósceles
Estos triángulos tienen dos lados iguales y uno desigual. En este caso, la fórmula a utilizar es:
PER = 2⋅l + b
PER = 2⋅ lados iguales + lado desigual
Se puede calcular el perímetro aplicando la fórmula:
cuadriláteros
Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides.
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS
Paralelogramos
Cuadriláteros que tienen los lados paralelos de a dos.
Trapecios
Tienen dos lados paralelos denominados base menor (la superior) y base mayor (la inferior).
Trapezoides
No tienen ningún lado paralelo ni de la misma medida.
PERÍMETROS DE CUADRILÁTEROS
FÓRMULAS
FIGURA
PERÍMETRO
Cuadrado
4⋅l
Rectángulo
2⋅l +2⋅b
Romboide
2⋅l1 + 2⋅l2
Rombo
4⋅l
Trapecio rectángulo o escaleno
b + B +l1+l2
Trapecio isósceles
b + B + 2⋅l
REFERENCIAS: l=lado; b= base (en trapecio base menor); l1= lado 1; l2= lado 2; B= base mayor.
Cuadrados
Tienen cuatro lados iguales, dado que tienen cuatro ángulos rectos. Es sencillo calcular su perímetro. Ejemplo:
Calcular el perímetro del siguiente cuadrado:
Se aplica la fórmula: PER = 4⋅l = 4⋅4 cm
PER = 16 cm
Rectángulos
Poseen lados iguales de a dos y cuatro ángulos rectos.
Calcular el perímetro del siguiente rectángulo:
l= 4 cm
b = 6 cm
Se reemplazan los datos en la fórmula:
PER = 2⋅l +2⋅b
PER = 2⋅4 cm +2⋅6 cm
PER = 8 cm + 12 cm
PER = 20 cm
Romboides
Tienen lados iguales de a dos. Su perímetro se calcula en forma similar al del rectángulo, pero se utiliza la fórmula: PER = 2⋅l1 + 2⋅l2
l1 = 3 cm
l2 = 5 cm
Por lo tanto:
PER = 2⋅ 3 cm + 2⋅ 5 cm
PER = 6 cm + 10 cm
PER = 16 cm
Rombos
Estas figuras tienen los cuatro lados iguales y sus diagonales forman cuatro ángulos rectos.
Calcular el perímetro de un rombo de lado 2cm.
PER = 4⋅ 2 cm
PER = 8 cm
Trapecios isósceles
Los trapecios isóceles tienen sus lados oblicuos iguales.
Calcular el perímetro del siguiente trapecio:
Se utiliza la fórmula:
PER = b + B + 2⋅l
PER = 5 cm + 7 cm + 2⋅ 3 cm
PER = 12 cm + 6 cm
PER = 18 cm
Trapecios rectángulos y escalenos
Los trapecios rectángulos, como su nombre lo indica, poseen un ángulo recto; en los trapecios escalenos todos los lados son de diferente longitud.
Calcular el perímetro del siguiente trapecio rectángulo:
PER = b + B +l1+l2
PER = 4 cm + 6 cm + 2,5 cm + 3 cm
PER = 15,5 cm
Trapezoides
Al tener todos sus lados distintos, para hallar el perímetro simplemente se suman las longitudes de sus lados.
PER = 1 cm + 4 cm + 3 cm + 6 cm
PER = 14 cm
LOS BARRILETES Y LA GEOMETRÍA
Los barriletes son originarios de China, se fabricaban con fines militares hacia el año 1.200, aunque se considera que fueron inventados mucho antes. En el siglo XII se comenzaron a utilizar como juguetes. Existen muchos tipos de barrillete, algunos se construyen siguiendo estructuras geométricas, otros representan formas como pueden ser aves o peces.
A PRACTICAR LO APRENDIDO
Calcular el perímetro de las siguientes figuras:
Triángulo equilátero
2. Trapecio isósceles
3. Trapecio escaleno
4. Triángulo isósceles
respuestas
18 cm
36 cm
17 cm
58 cm
¿Sabías qué...?
El triángulo es una de las figuras geométricas más utilizadas en la construcción, ya que las estructuras que se basan en esta forma son más resistentes debido a que el triángulo es el único polígono que no se deforma al estar sometido a una fuerza.
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Regla 2: La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es igual a 360°.
. Hallar los ángulos interiores α,β, ε y sus tres ángulos exteriores μ, δ, λ.
. Hallar los ángulos internos α, ε y β.
Al ser un triángulo isósceles tiene la propiedad de que “los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales”. El ángulo α es opuesto al lado ac y el ángulo ε es opuesto al lado ab. Como ac=ab, entonces α=ε.
.
2. En el siguiente triangulo isósceles abc hallar los ángulos exteriores, siendo 
.
3. Hallar los ángulos interiores del triángulo escaleno abc, siendo 
.
