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CAPÍTULO 4 / TEMA 3

Propiedades de la potencia

Cada vez que necesitamos hacer una multiplicación del mismo número repetidas veces, recurrimos a la potenciación. Esta operación, así como muchas otras, cumple con ciertas propiedades. ¿Cuál es la manera correcta de aplicarlas?, ¿cuáles son los beneficios? A continuación, aprenderás cuáles son y sus aplicaciones prácticas.

La potencia o potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar varias veces un mismo número. Consta de una base, que es el número que se multiplica, y de un exponente, que es el número que señala la cantidad de veces que se multiplica la base por sí misma. Es decir, la potenciación no es más que una multiplicación abreviada.

principales propiedades de la potencia

Las propiedades de potenciación tienen una gran cantidad de aplicaciones, pero también tienen ciertas restricciones y es importante conocerlas para no cometer errores en su resolución. Entonces, siempre que apliquemos las propiedades será a las operaciones de multiplicación y división, nunca será a las operaciones de suma y resta.

En verde están las operaciones a las que aplicaremos las propiedades de potenciación, y en rojo, las operaciones a las que no podremos aplicarlas nunca.

En la siguiente tabla podrás observar las propiedades de la potenciación:

Propiedades de la potenciación
Producto de potencia de igual base am · an = a(m + n)
Cociente de potencia de igual base am / an = a(m − n)
Potencia de potencia (am)n = an · m
Producto de potencias con bases diferentes y exponentes iguales an · bn = (a · b)n
Cociente de potencias con bases diferentes y exponentes iguales an / bn = (a / b)n
Exponente negativo a−n = 1 / an

¿Sabías qué?
Cuando el exponente es negativo, mientras mayor sea su valor más pequeño será el resultado.

Notación científica

La notación científica es una forma de expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas que le ha permitido a los científicos simplificar sus cálculos. Es conocida también como notación o patrón exponencial porque emplea potencias de base 10 dentro de su expresión. Las potencias de base 10 son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. Un ejemplo de notación científica lo vemos en las masas de los objetos astronómicos, por ejemplo, la masa de la Luna es de aproximadamente 735 × 1020 kg.

Ejemplos prácticos

Aplicación a la suma y resta

La aplicación de las propiedades corresponde a varias operaciones matemáticas pero no a la suma y la resta. Sin embargo, eso no significa que no pueda aplicarse a ejercicios donde existan muchos términos que se suman o se restan. Cuando esto sucede, se aplican las propiedades solo a los términos por separado.

Producto de una potencia de igual base

Cuando existe una multiplicación entre dos potencias con igual base, el resultado final será la misma base elevada a la suma de los exponente de potencias que se multiplicaron. Por ejemplo:

  • 53 · 52 = 5(3 + 2) = 55
  • 42 · 40 = 4(2 + 0) = 42
  • 68 · 62 · 63 = 6(8 + 2 + 3) = 613

Cociente de una potencia de igual base

Cuando dividimos dos potencias con igual base el procedimiento es similar al de la multiplicación, con la diferencia de que aquí restamos los exponentes de las potencias. Por ejemplo:

  • 53 / 52 = 5(3 − 2) = 51
  • 42 / 40 = 4(2 − 0) = 42

Potencia de una potencia

Cuando tenemos una base elevada a un exponente n, y esta a su vez está elevada a otro exponente m, el resultado final lo obtenemos al multiplicar ambos exponentes (n · m). Por ejemplo:

  • (42)4 = 42 · 4 = 48
  • (33)3 = 33 · 3 = 39

Producto de potencias con bases diferentes y exponentes iguales

Si multiplicamos dos potencias con igual exponente y bases distintas, el resultado será igual a mantener el exponente y solo multiplicar las bases. Por ejemplo:

  • 53 · 43 = (5 · 4)3
  • 32 · 22 = (3 · 2)2

Cociente de potencias con bases diferentes y exponentes iguales

De igual manera que en el caso anterior, el resultado será el cociente de las bases elevadas al exponente. Por ejemplo:

  • 53 / 43 = (5/4)3
  • 32 / 22 = (3/2)2

Exponente negativo

Cuando el exponente es negativo, la potencia será igual a la inversa de su base y el mismo exponente con signo positivo. Por ejemplo:

  • (2)−2 = (1/2)2 = 1/22 = 1/4
  • (1/2)−1 = 2
Los átomos son las unidades básicas de toda la materia. En conjunto crean las moléculas y son microscópicos. Para poder medir las distancias entre ellos se usa una unidad de longitud llamada angstrom (Å = 1 x 10−10 metros). El exponente igual a −10 nos indica que el valor en metros es equivalente a 0,0000000001 m.

Potencia de decimales y fracciones

Cuando las bases son decimales o fracciones, las propiedades se mantienen sin distinción. Por ejemplo:

  • (0,1)2 = (0,1) · (0,1) = 0,01

Observa que 0,1 = 1 · 10−1 , y aquí se puede aplicar la propiedad de potencia de potencia. 

  • (0,1)2 = (1 · 10(−1))2 = 10(−1) · 2 = 10−2 = 0,01

De la misma manera, si sabemos que 0,1 = 1/10:

  • (0,1)2 = (1/10)2 = 1/102 = 1/100 = 0,01

Cualquiera sea la expresión que se elija para resolver la operación se debe llegar al mismo resultado.

¡A practicar!

Aplica la propiedad correspondiente en cada caso:

  • 34 · 31 · 33

Solución
34 · 31 · 33 = 3(4 + 1 + 3) = 38 = 6.561
  • 62 / 62

Solución
62 / 62 = 6(2 − 2) = 60 = 1
  • (7−1)−3

Solución
(7−1)−3 = 7(−1) · (−3) = 73 = 343
  • 63 · 83

Solución
63 · 83 = (6 · 8)3 = 483 = 110.592
  • (−1/2)−2

Solución
(−1/2)−2 = (−2)2 = (−2) · (−2) = 4 
  • 83 / 43

Solución
83 / 43 = (8/4)3 = 23 = 8
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ejercicios de propiedades de la potencia”

En el artículo podrá reforzar las propiedades de potenciación vistas a partir de ejemplos y ejercicios. También se explica la importancia de la correcta aplicación de las propiedades en cada término al sumar o restar.

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