CAPÍTULO 5 / TEMA 6

POLIEDROS

La palabra “poliedro” proviene del griego y significa “que tiene muchas caras o planos”. Con este nombre se designa a aquellos cuerpos geométricos que están formados por polígonos y encierran un volumen. Cada una de las caras de un poliedro es un polígono (un triángulo, un cuadrado, un rombo, etc.) y se caracterizan por tener un mínimo de cuatro caras.

Solemos pensar que un balón de fútbol es una esfera, sin embargo, esto no es así. Un balón de fútbol es un poliedro que al ser hinchado con aire adopta una forma cercana a la esfera. A este tipo de poliedro se lo conoce como icosaedro truncado y combina 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares. Tiene 32 caras, 90 aristas y 60 vértices.

ELEMENTOS DE LOS POLIEDROS

Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales con caras planas y que encierran un volumen. Es decir que un poliedro es una porción acotada de espacio limitada por distintos polígonos, a diferencia de los polígonos, que son porciones del plano limitadas por segmentos.

Los poliedros están constituidos por los siguientes elementos:

Bases	Caras	Aristas	Vértices

Son las caras sobre las cuales se apoya el poliedro.	Son las superficies planas que delimitan el espacio interno del poliedro.	Son las líneas que componen el cuerpo de un poliedro.	Son los puntos de encuentro entre tres o más aristas del poliedro.

TIPOS DE POLIEDROS

Poliedros regulares

Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras están compuestas por el mismo polígono regular. Estos son conocidos también como sólidos platónicos.

Nombre del poliedro	Forma del poliedro	Número de caras	Polígonos que forman sus caras
Tetraedro		4	Triángulos equiláteros
Cubo		6	Cuadrados
Octaedro		8	Triángulos equiláteros
Dodecaedro		12	Pentágonos regulares
Icosaedro		20	Triángulos equiláteros

¿Sabías qué?

Se les llama sólidos platónicos porque Platón, filósofo griego del siglo IV a. C., en su diálogo el Timeo explicó la construcción del universo por asociación de cada uno de los poliedros regulares con los elementos fundamentales: agua, aire, tierra y fuego.

El nombre que recibe cada poliedro depende del número de caras que presente. Se utilizan para ello prefijos numerales de origen griego y la terminación *–aedro* (que significa “plano o cara”). Por ejemplo, el cubo también se llama hexaedro porque tiene 6 caras. No obstante, muchos poliedros tienen sus nombres propios, como el prisma o la pirámide.

Poliedros irregulares

Los poliedros irregulares pueden presentar diferentes formas. En estos poliedros, el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares. Los poliedros irregulares más comunes son los prismas, las pirámides y todas sus variedades

Prismas: son poliedros limitados por dos bases que son polígonos iguales y por caras laterales que son paralelogramos. Ellos se nombran de acuerdo al polígono de la base. Así puedes encontrar:

Prisma triangular	Prisma cuadrangular	Prisma pentagonal	Prisma hexagonal

Triángulos como bases.	Cuadrados como bases.	Pentágonos como bases.	Hexágonos como bases.

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Pirámides: son poliedros que tienen una sola base conformada por un polígono y por caras laterales de triángulos con un vértice común. Al igual que los prismas, se nombran por el polígono de la base.

Pirámide triangular	Pirámide cuadrangular	Pirámide pentagonal	Pirámide hexagonal

Triángulo como base.	Cuadrado como base.	Pentágono como base.	Hexágono como base.

¡Construyamos poliedros!

Los poliedros son cuerpos geométricos, esto quiere decir que son tridimensionales y puedes construirlos fácilmente con pocos materiales.

Para construir un cubo necesitarás:

Tijeras.
Regla.
Cartón o un papel duro.
Pegamento.

Copia esta plantilla en el papel. Luego recortalo y realizar pliegues en las líneas. Los cuadrados quedarán como caras del poliedro y las pequeñas solapas servirán para unir la figura. En esas solapas debes colocar pegamento, para unirlas con las caras correspondientes. Quedará formado un cubo, similar al de la imagen. Será útil, por ejemplo, para hacer tus propios dados.

Para construir un tetraedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:

Para construir un octaedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:

Para construir un dodecaedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:

Para construir un icosaedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:

Poliedros en la vida cotidiana

En la vida cotidiana puedes encontrar continuamente poliedros. A lo largo de la historia, dos ejemplos de ellos se han vuelto mundialmente reconocidos: el cubo de Rubik y las pirámides de Egipto. Estas últimas son poliedros piramidales triangulares, cuya base es un polígono cualquiera y sus caras son triángulos con un vértice común.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Poliedro irregulares”

En este artículo encontrarás el desarrollo teórico para ahondar en las características propias de los poliedros irregulares.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 5

CUADRILÁTEROS

Seguramente habrás notado a tu alrededor múltiples objetos con cuatro lados: una mesa, una caja o un teléfono móvil. Todos ellos tienen forma de cuadriláteros. Este tipo de figura tiene diversas clasificaciones según la longitud de sus lados y amplitud de sus ángulos. Con este artículos podrás diferenciar cada tipo de cuadrilátero y sabrás cómo calcular su perímetro.

¿qué es un cuadrilátero?

El término “cuadrilátero” proviene del latín quattuor que significa “cuatro” y latus que significa “lado”. Así que los cuadriláteros son aquellos polígonos que tienen cuatro lados. Estos lados pueden dibujarse de diversas formas: todos del mismo tamaño, de distintas medidas o con diferentes inclinaciones; pero lo fundamental es que estén unidos de forma tal que constituyan el contorno de una figura.

Todo cuadrilátero se caracteriza por tener cuatro lados. Estas figuras están en gran parte de los objetos que vemos en la cotidianidad: la pantalla que miramos de la computadora o el teléfono, las páginas de los libros, las paredes de la escuela, las hojas de un cuaderno, los anuncios publicitarios o simplemente en las cajas de nuestra casa.

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Elementos de un cuadrilátero

Todos los cuadriláteros tienen:

• 4 lados.
• 4 ángulos interiores.
• 4 ángulos exteriores.
• 4 vértices.
• 2 diagonales.

En la imagen puedes observar:

4 lados: AB, BC, CD y DA.
4 ángulos interiores: α, β, γ y δ.
4 ángulos exteriores: α’, β’, γ’ y δ’.
4 vértices: A, B, C y D.
2 diagonales: AC y BD.

Propiedad de los ángulos

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°.
La suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero es igual a 360°.

En el ejemplo anterior:

α + β + γ + δ = 360°
α’ + β’ + γ’ + δ’ = 360°

Clasificación de los cuadriláteros

Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides.

Paralelogramos

Son figuras con lados paralelos dos a dos cuyas diagonales se cortan entre sí en segmentos iguales. Se clasifican en:

Figura	Característica
Cuadrado	4 lados iguales. 4 ángulos rectos (90°).
Rectángulo	Lados iguales dos a dos. 4 ángulos rectos (90°).
Rombo	4 lados iguales. Ángulos iguales dos a dos.
Romboide	Lados iguales dos a dos. Ángulos iguales dos a dos.

Eje de simetría de los paralelogramos

Todos los paralelogramos tienen un eje de simetría. El eje de simetría es el segmento que divide a la figura en dos partes iguales. El punto de intersección de las diagonales es el centro de simetría del paralelogramo.

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¿Sabías qué?

Para diferenciar un rombo de un cuadrado invertido debes prestar atención a los ángulos, solo el cuadrado tiene cuatro ángulos rectos.

Trapecio

Son figuras con 2 lados paralelos denominados bases. Se clasifican en:

Figura	Característica
Trapecio rectángulo	2 ángulos rectos (90°), uno agudo (menor a 90°) y uno obtuso (mayor a 90°). Un lado es perpendicular a sus bases (paralelas).
Trapecio isósceles	Sus lados no paralelos son de igual longitud. 2 ángulos internos agudos (menores a 90°) y 2 ángulos obtusos (mayores a 90°) iguales entre sí. Sus ángulos opuestos son suplementarios.
Trapecio escaleno	Todos sus lados y ángulos son diferentes.

Trapezoide

Son figuras sin lados paralelos.

Figura	Características
	Lados opuestos no paralelos.

La clasificación de cuadriláteros es de gran ayuda en la vida de algunos profesionales. Ingenieros, arquitectos y diseñadores habitualmente necesitan estos conocimientos básicos para poder construir, medir o diseñar. Pero no solo ellos acuden a estos conocimientos; quienes trabajan en publicidad también precisan la geometría.

CÁLCULO DEL PERÍMETRO DE PARALELOGRAMOS

El perímetro es la suma de las longitudes de los lados de cualquier figura geométrica, con excepción del círculo; sin embargo, con el fin de agilizar su cálculo puedes aplicar las siguientes fórmulas:

Figura	Fórmula de perímetro
Cuadrado	P = 4 × l
Rectángulo	P = 2 × l + 2 × b
Romboide	P = 2 × l₁ + 2 × l₂
Rombo	P = 4 × l

– Ejemplo:

Calcula el perímetro de este rectángulo:

P = 2 × b + 2 × a

P = 2 × 10 cm + 2 × 6 cm

P = 20 cm + 12 cm

P = 32 cm

El perímetro del rectángulo es de 32 cm.

– Otro ejemplo:

Calcula el área de este rombo:

P = 4 × l

P = 4 × 5 cm

P = 20 cm

El perímetro del rombo es de 20 cm.

Figuras geométricas en la publicidad

Las figuras geométricas son entendidas como símbolo de sencillez y perfección. Incluso, cada una de ellas, tiene un significado propio. Esto quiere decir que las figuras transmiten un concepto y las geométricas nos hablan de perfección. Las empresas no eligen al azar su logotipo sino que se dedican a estudiar su público e invierten mucho dinero para su elaboración. Un gran número de compañías optan por figuras geométricas porque está comprobado que tienen impacto seguro, profundo y duradero.

¡A practicar!

1. Clasifica las siguientes figuras como: paralelogramos, trapecio o trapezoide.

Solución

A. Paralelogramo

B. Paralelogramo

C. Trapecio

D. Trapecio

E. Paralelogramo

F. Trapezoide

G. Trapecio

H. Paralelogramo

I. Trapezoide

2. Calcula el perímetro de las siguientes figuras:

Solución

P = 2 × 12 cm + 2 × 9 cm

P = 24 cm + 18 cm

P = 42 cm

Solución

P = 4 × 7 cm

P = 28 cm

Solución

P = 2 × 12 cm + 2 × 6 cm

P = 24 cm + 12 cm

P = 36 cm

RECURSOS PARA DOCENTES

Enciclopedia “Matemática tomo 6”

En el tomo 6 de la enciclopedia de matemática encontrarás información detallada, ejemplos y ejercicios sobre una diversidad de temas vinculados a la geometría para el nivel primario.

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Artículo “Elementos de los cuadriláteros”

En este artículo encontrarás una sistematización de los elementos de los cuadriláteros, sus características y su clasificación.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 3

Propiedades de la potencia

Cada vez que necesitamos hacer una multiplicación del mismo número repetidas veces, recurrimos a la potenciación. Esta operación, así como muchas otras, cumple con ciertas propiedades. ¿Cuál es la manera correcta de aplicarlas?, ¿cuáles son los beneficios? A continuación, aprenderás cuáles son y sus aplicaciones prácticas.

La potencia o potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar varias veces un mismo número. Consta de una base, que es el número que se multiplica, y de un exponente, que es el número que señala la cantidad de veces que se multiplica la base por sí misma. Es decir, la potenciación no es más que una multiplicación abreviada.

principales propiedades de la potencia

Las propiedades de potenciación tienen una gran cantidad de aplicaciones, pero también tienen ciertas restricciones y es importante conocerlas para no cometer errores en su resolución. Entonces, siempre que apliquemos las propiedades será a las operaciones de multiplicación y división, nunca será a las operaciones de suma y resta.

En verde están las operaciones a las que aplicaremos las propiedades de potenciación, y en rojo, las operaciones a las que no podremos aplicarlas nunca.

En la siguiente tabla podrás observar las propiedades de la potenciación:

Propiedades de la potenciación
Producto de potencia de igual base	a^m· aⁿ= a^{(m + n)}
Cociente de potencia de igual base	a^m/ aⁿ= a^{(m − n)}
Potencia de potencia	(a^m)ⁿ= a^{n · m}
Producto de potencias con bases diferentes y exponentes iguales	aⁿ· bⁿ = (a · b)ⁿ
Cociente de potencias con bases diferentes y exponentes iguales	aⁿ/ bⁿ= (a / b)ⁿ
Exponente negativo	a⁻ⁿ= 1 / aⁿ

¿Sabías qué?

Cuando el exponente es negativo, mientras mayor sea su valor más pequeño será el resultado.

Notación científica

La notación científica es una forma de expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas que le ha permitido a los científicos simplificar sus cálculos. Es conocida también como notación o patrón exponencial porque emplea potencias de base 10 dentro de su expresión. Las potencias de base 10 son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. Un ejemplo de notación científica lo vemos en las masas de los objetos astronómicos, por ejemplo, la masa de la Luna es de aproximadamente 735 × 10²⁰ kg.

Ejemplos prácticos

Aplicación a la suma y resta

La aplicación de las propiedades corresponde a varias operaciones matemáticas pero no a la suma y la resta. Sin embargo, eso no significa que no pueda aplicarse a ejercicios donde existan muchos términos que se suman o se restan. Cuando esto sucede, se aplican las propiedades solo a los términos por separado.

Producto de una potencia de igual base

Cuando existe una multiplicación entre dos potencias con igual base, el resultado final será la misma base elevada a la suma de los exponente de potencias que se multiplicaron. Por ejemplo:

5³· 5² = 5^{(3 + 2)} = 5⁵
4²· 4⁰ = 4^{(2 + 0)} = 4²
6⁸ · 6² · 6³ = 6^{(8 + 2 + 3)} = 6¹³

Cociente de una potencia de igual base

Cuando dividimos dos potencias con igual base el procedimiento es similar al de la multiplicación, con la diferencia de que aquí restamos los exponentes de las potencias. Por ejemplo:

5³ / 5² = 5^{(3 − 2)} = 5¹
4² / 4⁰ = 4^{(2 − 0)} = 4²

Potencia de una potencia

Cuando tenemos una base elevada a un exponente n, y esta a su vez está elevada a otro exponente m, el resultado final lo obtenemos al multiplicar ambos exponentes (n · m). Por ejemplo:

(4²)⁴ = 4^{2 · 4} = 4⁸
(3³)³ = 3^{3 · 3} = 3⁹

Producto de potencias con bases diferentes y exponentes iguales

Si multiplicamos dos potencias con igual exponente y bases distintas, el resultado será igual a mantener el exponente y solo multiplicar las bases. Por ejemplo:

5³ · 4³ = (5 · 4)³
3² · 2² = (3 · 2)²

Cociente de potencias con bases diferentes y exponentes iguales

De igual manera que en el caso anterior, el resultado será el cociente de las bases elevadas al exponente. Por ejemplo:

5³ / 4³ = (5/4)³
3² / 2² = (3/2)²

Exponente negativo

Cuando el exponente es negativo, la potencia será igual a la inversa de su base y el mismo exponente con signo positivo. Por ejemplo:

(2)⁻² = (1/2)² = 1/2² = 1/4
(1/2)⁻¹ = 2

Los átomos son las unidades básicas de toda la materia. En conjunto crean las moléculas y son microscópicos. Para poder medir las distancias entre ellos se usa una unidad de longitud llamada angstrom (Å = 1 x 10⁻¹⁰ metros). El exponente igual a −10 nos indica que el valor en metros es equivalente a 0,0000000001 m.

Potencia de decimales y fracciones

Cuando las bases son decimales o fracciones, las propiedades se mantienen sin distinción. Por ejemplo:

(0,1)² = (0,1) · (0,1) = 0,01

Observa que 0,1 = 1 · 10⁻¹ , y aquí se puede aplicar la propiedad de potencia de potencia.

(0,1)² = (1 · 10⁽⁻¹⁾)² = 10^{(−1) · 2} = 10⁻² = 0,01

De la misma manera, si sabemos que 0,1 = 1/10:

(0,1)² = (1/10)² = 1/10² = 1/100 = 0,01

Cualquiera sea la expresión que se elija para resolver la operación se debe llegar al mismo resultado.

¡A practicar!

Aplica la propiedad correspondiente en cada caso:

3⁴ · 3¹· 3³

Solución

3⁴ · 3¹ · 3³ = 3^{(4 + 1 + 3)} = 3⁸ = 6.561

6² / 6²

Solución

6² / 6² = 6^{(2 − 2)} = 6⁰ = 1

(7⁻¹)⁻³

Solución

(7⁻¹)⁻³ = 7^{(−1) · (−3)} = 7³ = 343

6³ · 8³

Solución

6³ · 8³ = (6 · 8)³ = 48³ = 110.592

(−1/2)⁻²

Solución

(−1/2)⁻² = (−2)² = (−2) · (−2) = 4

8³ / 4³

Solución

8³ / 4³ = (8/4)³ = 2³ = 8

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ejercicios de propiedades de la potencia”

En el artículo podrá reforzar las propiedades de potenciación vistas a partir de ejemplos y ejercicios. También se explica la importancia de la correcta aplicación de las propiedades en cada término al sumar o restar.

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