La adición y la sustracción de fracciones se realiza con diferentes métodos. El método elegido va a depender del tipo de fracción que se vaya a sumar o a restar. Si las fracciones son homogéneas, se coloca el mismo denominador y se suman o restan sus numeradores. Cuando las fracciones son heterogéneas se pueden emplear diferentes procedimientos como la multiplicación cruzada, la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) a los denominadores de las fracciones o el uso de fracciones equivalentes.
Las fracciones también se pueden sumar o restar con los números enteros, para lo cual se convierte el número entero en fracción.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
La multiplicación de fracciones se realiza mediante la multiplicación lineal de sus factores, numerador por numerador y denominador por denominador. Por otra parte, la división de fracciones tiene tres formas de resolverse. Una de ellas es de forma cruzada, a través de la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se coloca como numerador de la fracción resultante. Luego se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y el resultado se coloca en el denominador resultante. Otra manera es intercambiar el numerador y el denominador de la segunda fracción para resolverlo de manera lineal como la multiplicación. Y por último, otra opción consiste en el método de la doble c, en el cual la segunda fracción se coloca por debajo de la primera y se multiplican los términos exteriores para obtener el numerador resultante y los interiores para obtener el denominador resultante.
Conocer cómo simplificar fracciones es muy importante para facilitar los cálculos.
FRACCIONES Y DECIMALES
Las fracciones y los números decimales se encuentran muy relacionados, ya que las fracciones se pueden representar de forma decimal y algunos decimales se pueden expresar de forma fraccionaria. Las fracciones se encuentran formadas por el numerador y el denominador separados por una línea horizontal. Los decimales tienen una parte entera y una parte decimal divididas por una coma. Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción se obtiene un número decimal (o entero cuando se trata de una fracción aparente). Por otra parte, los decimales se pueden convertir en fracciones por diferentes procedimientos, según el número decimal sea exacto, periódicopuro o periódico mixto. Existen números decimales que no pueden ser convertidos en fracciones como el número pi y son denominados números irracionales.
Los números periódicos son números decimales infinitos con una o más cifras decimales denominadas período que se repiten indefinidamente.
EL PORCENTAJE
El porcentaje se representa con el símbolo “%”. Es una forma de expresar una fracción dividida entre 100. Por esta razón, los números fraccionarios, los decimales y los porcentajes se encuentran muy relacionados. Los porcentajes se pueden transforman en números decimales al dividirlos entre el 100 %. Para calcular el porcentaje de una cifra se puede realizar mediante dos procedimientos. El primero es convertir el porcentaje en una fracción decimal y multiplicarlo por la cantidad total. Y el segundo método consiste en la regla de tres simple, en la cual el valor total es equivalente al 100 % y el porcentaje buscado corresponde al valor de la incógnita que queremos conocer.
El porcentaje es muy utilizado en el comercio para promocionar descuentos o realizar recargos al momento de la compra.
Los números fraccionarios están en nuestra vida cotidiana, por lo tanto, es de mucha importancia conocer cómo realizar adiciones y sustracciones con ellos. Para realizar estas operaciones se usan diferentes métodos que requieren realizar a su vez otras operaciones como el mcm.
Diferentes métodos para la resolución de problemas
Para resolver problemas de fracciones es necesario compararlas y conocer el tipo de fracción. De esta manera, podemos elegir qué tipo de método usar para resolver la operación.
Fracciones homogéneas
Son aquellas fracciones que poseen el mismo denominador. Debido a esto, para la suma y la resta de fracciones se coloca el mismo denominador y se suman o restan los numeradores de la siguiente manera:
Suma de fracciones homogéneas
Resta de fracciones homogéneas
Muchas de las fórmulas matemáticas empleadas en la resolución de problemas contienen sumas y restas de fracciones. En este sentido, es necesario conocer los diferentes métodos que se pueden aplicar de acuerdo al tipo de fracción presente en los ejercicios. Entre estos métodos están: la multiplicación cruzada o el cálculo del mínimo común múltiplo.
Fracciones Heterogéneas
Son aquellas fracciones que poseen distinto denominador. Para este tipo, existen diferentes métodos o formas de resolver adiciones y sustracciones.
Primer método: multiplicar en forma cruzada.
Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y se coloca en el numerador.
Luego se multiplica el numerador de la segunda por el denominador de la primera y se suma con el numerador resultante de la multiplicación anterior.
Se procede a multiplicar los denominadores de ambas fracciones.
Se realizan los cálculos necesarios y se obtiene la fracción resultante.
Segundo método: hallar el mínimo común múltiplo (mcm).
Se obtiene el mcm de los denominadores de la siguiente manera:
Se coloca el mcm como denominador resultante y se divide entre el denominador de la primera fracción y se multiplica por el numerador de la misma fracción. El resultado se coloca de numerador.
Se realiza el mismo procedimiento con la segunda fracción.
Se realizan las operaciones correspondientes para obtener el resultado final.
Para encontrar el resultado de una suma o una resta de fracciones muchas veces se recomienda simplificar los términos para tener un mejor resultado. Esta técnica consiste en dividir ambos términos entre el mismo número. Por lo general, se utilizan los números primos para llegar a una fracción irreducible. Para simplificar fracciones rápidamente se recomienda tener presente los criterios de divisibilidad de un número.
¿Sabías qué?
Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar.
Otros tipos de fracciones
Fracciones aparentes: son aquellas que cumplen la condición de que al dividir el numerador entre el denominador, el resultado es un número entero. Por ejemplo, las fracciones y son fracciones aparentes.
Fracciones equivalentes: son aquellas que se obtienen al multiplicar al numerador y al denominador por un mismo número. A este procedimiento también se lo denomina amplificación. Las fracciones y son fracciones equivalentes.Otro método para obtener fracciones equivalentes es por simplificación. En dicho caso, se divide tanto al numerador como al denominador por el mismo número. Las fracciones y son fracciones equivalentes.
Tercer método: utilizar las fracciones equivalentes.
Se convierten las fracciones en homogéneas mediante el uso de las fracciones equivalentes. Para hallar las equivalentes se multiplica una de las fracciones por una fracción aparente, cuyo resultado sea 1, como por ejemplo , , que permite hallar una fracción equivalente de la primera. En la sumatoria de , para convertir en una equivalente de igual denominador de la segunda (10), se multiplicó por la fracción aparente .
Se reescribe la adición de fracciones con la nueva fracción equivalente. De esta manera, las fracciones son homogéneas, por lo que pueden realizarse los cálculos para dichas fracciones, es decir, se suman los numeradores y se coloca el mismo denominador común (10).
La sustracción o resta de fracciones se realiza con el mismo procedimiento que la adición o suma, con la diferencia que, en vez de sumarlas, se restan.
En matemáticas es posible representar los números enteros como una suma de fracciones. Asimismo, aunque parezca difícil, existen procedimientos como convertir un entero en fracción, que se utiliza para resolver combinaciones de números enteros y fraccionarios. En estos casos, se coloca 1 como denominador del número entero.
adición y sustracción de fracciones con números enteros
Existen problemas en los cuales se pueden conseguir fracciones con números enteros. Aunque parece más complicado resolver este tipo de ejercicios, no lo es. Para sumar lo primero que debemos hacer es identificar el tipo de números involucrados en la operación.
Luego se convierte el número entero en una fracción para lo cual colocamos como denominador del número entero la unidad (1). Esto se debe a que el número (1) como denominador no modifica el entero existente, porque todo número divido entre (1) es igual al mismo número.
Se procede a realizar los cálculos con cualquier método de fracciones heterogéneas visto anteriormente. En este caso, se aplicará el método cruzado.
Por último, se realizan las operaciones matemáticas necesarias para hallar el resultado.
De esta forma, se pueden resolver las sustracciones o restas de números enteros y fracciones.
¿Sabías qué?
Se estima que en el 1650 a. C. se emplearon por primera vez fracciones con denominadores enteros positivos para representar las partes de un todo.
¡A practicar!
a)
RESPUESTAS
b)
RESPUESTAS
c)
RESPUESTAS
d)
RESPUESTAS
e)
RESPUESTAS
f)
RESPUESTAS
RESPUESTAS
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Clasificación de fracciones”
Este artículo permite obtener información más amplia sobre cómo se clasifican las fracciones.
Todos los días utilizamos operaciones básicas como la adición, la sustracción, la multiplicación y la división. Las adiciones con reagrupación de dos o más números se caracterizan por tener “llevadas” cuando sumamos sus unidades, decenas, centenas, etc. Las sustracciones con reagrupación son restas en las que existen cifras del minuendo que son menores a las del sustraendo. Por esta razón, hay que “pedirle” una unidad al dígito de al lado para así poder resolver el ejercicio. En el caso de la multiplicación, al igual que en la adición y en la sustracción, se observan dos tipos de operaciones: sin reagrupación y con reagrupación. Las multiplicaciones sin reagrupación son aquellas que no contienen llevadas cuando multiplicamos un dígito con otro. En cambio, las multiplicaciones con reagrupación sí poseen llevadas. En el caso de las divisiones, encontramos las exactas cuando el resto es igual a cero y las no exactas cuando el resto es diferente de cero.
Leibniz impuso el uso del punto como símbolo de la multiplicación e introdujo los dos puntos como símbolo de la división.
múltiplos y divisores
El múltiplo de un número es el resultado de multiplicar ese número por otro. Por otra parte, el divisor de un número es aquel que lo divide de manera exacta. Hay números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el uno, a estos números se los conoce como números primos. Por otro lado, los números que poseen más de dos divisores se denominan números compuestos y pueden descomponerse en factores primos.
El número 1 no es ni primo ni compuesto porque solo tiene un divisor que es él mismo.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Todo número natural se puede descomponer como una multiplicación de sus factores primos. Este tipo de expresión permite calcular el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) entre dos o más números. El mínimo común múltiplo (también llamado múltiplo común menor) de dos o más números es el menor múltiplo común de dos o más números distintos de cero. Para calcularlo, hay que descomponer los números en sus factores primos y luego elegir los números que tienen y no tienen en común a mayor potencia. El número que resulta del producto es el menor múltiplo en común. El máximo común divisor (también conocido como divisor común mayor) es el mayor divisor entre dos o más números distintos de cero. Para calcularlo también se descomponen los números en sus factores primos y luego se eligen solo los números que tienen en común a menor potencia. El producto de estos es el mayor divisor en común.
Si calculamos el mcd entre dos números de la secuencia de Fibonacci obtenemos otro número de Fibonacci. Por ejemplo, el mcd de (2, 8) = 2.
problemas con los números enteros
Una de las características de los números enteros es que permiten representar cantidades positivas y negativas, por esta razón se emplea la regla de los signos para saber qué signo tendrá un número al realizar una operación con enteros. En una adición, cuando todos los números son negativos, se suman y el resultado que se obtiene es un número negativo. Si se suman números positivos y negativos, los números de igual signo se suman y al final los dos números obtenidos se restan y se coloca el signo del número mayor. Para sustraer números enteros, hay que tener en cuenta que el símbolo de la resta cambia el signo al número que sigue según la regla. Para multiplicar y dividir números enteros primero se operan los signos mediante la regla de los signos y luego se multiplican o dividen los números según corresponda.
En Oriente se operaba con números positivos y negativos a través de ábacos, tablillas o bolas de colores. A los números negativos se los conocía como “números deudos” o “números absurdos”.
problemas con números decimales
Cuando vamos al supermercado la mayoría de los precios de los productos están marcados con números decimales. Con estos números también se pueden desarrollar las operaciones básicas de la aritmética. Para sumar números decimales tienen que coincidir la parte entera, la coma y la parte decimal de los números de acuerdo a sus valores posicionales. También podemos sumar números decimales con enteros siempre y cuando coincidan sus valores posicionales. Para sustraer también deben coincidir los valores posicionales y se pueden restar dos decimales o un decimal y un número entero. Para multiplicar dos números decimales se multiplican los números como si fuesen números naturales y el producto final será un número decimal que tendrá la cantidad de decimales igual a la suma de todos los decimales de ambos números. Si se multiplica un decimal con un natural el producto final tendrá tantos decimales como tenga el número decimal que se multiplicó inicialmente. Para dividir a estos números, ya sea por otro decimal o por un entero, hay que convertir a los números decimales en enteros. Para esto, se debe multiplicar al dividendo y al divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el número con la parte decimal de más cifras. Luego se realiza la división de manera habitual.
A comienzos del siglo XV, un matemático árabe desarrolló el conjunto de los números decimales y sus usos.
operaciones combinadas
Las operaciones combinadas son aquellas que involucran dos o más operaciones aritméticas agrupadas por diferentes símbolos. Los símbolos de agrupamiento son: los paréntesis (), los corchetes [] y las llaves {}. En una operación con estos símbolos primero se eliminan los paréntesis, luego los corchetes y, por último, las llaves. En los ejercicios combinados se pueden encontrar agrupados números enteros, fracciones, números decimales, potencias y raíces. A la hora de resolverlos, se tiene que tener en cuenta el orden de eliminación de los símbolos de agrupamiento como también el de las operaciones: primero se resuelven las potencias y las raíces, luego las multiplicaciones y las divisiones, y por último, las sumas y las restas.
El símbolo de igual “=” fue creado por el matemático inglés Robert Recorde en 1557 para evitar la expresión textual “es igual a”.
La recta numérica es un gráfico en el que podemos representar cualquier número que pertenezca al conjunto de los números reales (). Tiene intervalos que señalan las unidades y siempre tienen la misma distancia entre un número y su consecutivo. Por otra parte, los distintos tipos de relaciones que existen entre los números se pueden mostrar por medio de los símbolos “<” y “>” que significan “menor que” y “mayor que” respectivamente.
Una regla graduada es muy parecida a una recta numérica.
ORDEN DE NÚMEROS NATURALES Y DECIMALES
Para ubicar los números naturales en la recta numérica ubicamos el 0 en una posición arbitraria y luego colocamos el resto de los números naturales en intervalos regulares. Si deseamos comparar números naturales usamos los símbolos < y > o la recta numérica, pues todo número que esté más a la derecha en la recta siempre será el mayor. Para ubicar números decimales en la recta numérica, debemos agregar subdivisiones entre los números enteros. Cuando queremos compararlos, primero tomamos en cuenta la parte entera y luego comparamos las cifras decimales de izquierda a derecha.
Sí bien algunos expertos afirman que el número cero (0) no pertenece al conjunto de los números naturales, otros aseguran que sí forma parte.
ORDEN DE FRACCIONES
Las fracciones también tiene un lugar en la recta numérica, para esto tenemos que considerar si la fracción es propia o impropia. De ser propia dividimos a la unidad en tantos segmentos como indique el denominador y contamos tantos segmentos como indique el numerador, luego marcamos la fracción. Si la fracción es impropia, tenemos que convertirla primero en un número mixto, en este caso, seguimos el procedimiento anterior pero a partir de la parte entera que tenga el número mixto.
Si comparamos fracciones con igual numerador y diferente denominador, será mayor aquella que tenga menor denominador.
PROPORCIONALIDAD
La proporcionalidad es una relación que existe entre dos magnitudes que podemos medir, y puede ser directa o inversa. Dos cantidades son directamente proporcionales si cuando una aumenta la otra aumenta o si cuando una disminuye la otra también lo hace. Por otro lado, al convertir medidas lo hacemos por medio de una regla de tres, un método muy útil para saber un valor desconocido entre 2 relaciones.
Siempre que vamos a un kiosco, sabemos que mientras más compremos, más tendremos que pagar; eso es porque la “cantidad que compramos” y la “cantidad que debemos pagar” tienen una relación directamente proporcional.
RELACIONES DE TIEMPO
El tiempo es quizás la magnitud más usada y medida diariamente. Sus unidades son variadas y van desde las menores a un día, como los segundos, los minutos y las horas; hasta las que sobrepasan al día como los meses, años y décadas. Si usamos una regla de tres podemos convertir una unidad a otra sin dificultad. También podemos hacer cálculos de suma y resta con el tiempo, esto nos ayuda a saber cuando empezó un partido de fútbol o qué hora salió un tren, por ejemplo.
Los calendarios o agendas son útiles para planificar las actividades a realizar a lo largo del día.
Los seres humanos tenemos la capacidad de contar cosas. Para este proceso de conteo necesitamos un conjunto de operaciones que facilitan los cálculos. La adición, la sustracción, la multiplicación y la resta son conocidas como operaciones básicas y su uso va desde lo cotidiano hasta lo científico.
Adición y sustracción por reagrupación
Las adiciones y las sustracciones las utilizamos todos los días para contar cantidades como los puntos que obtenemos en un juego o cuando necesitamos saber lo que nos tienen que dar de vuelto al hacer una compra. Existen diversos métodos para realizar estas operaciones pero el resultado siempre es el mismo.
Adición por reagrupación
A menudo hacemos uso de las adiciones para resolver distintas situaciones. Cuando los números son pequeños usamos cálculos mentales, pero cuando los números son grandes generalmente hacemos la cuenta en un papel.
Los siguientes pasos te ayudarán a resolver adiciones por reagrupación:
1. Se escriben los números a sumar uno debajo del otro, de manera que coincidan las unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc.
2. Se inicia la suma de derecha a izquierda, a partir de las unidades. Si el resultado de la suma de las unidades es mayor a 9, se anota el resultado de la unidad de dicha suma y el valor de la otra cifra se anota sobre la columna de la izquierda. De esta manera, al resultado de la columna siguiente se le suma la cifra que se anotó con antelación.
Luego se procede a sumar las siguientes columnas junto con los números de las llevadas que se hayan podido generar en sumas de columnas anteriores.
Sustracción por reagrupación
Para resolver las sustracciones por reagrupación se pueden seguir los siguientes pasos:
1. Se escriben los números a restar uno debajo del otro, de manera que coincidan las unidades, decenas, centenas, etc.
2. Igual que en la adición, la sustracción se resuelve de derecha a izquierda. Si el número de la cifra superior es menor que el de la cifra inferior, no se puede restar de forma directa. En este caso, se coloca un 1 delante del número de arriba y se resuelve la resta. A este tipo de operación se la conoce como “resta con llevada” porque al resolver la siguiente columna se le debe restar el 1 que se tomó prestado anteriormente.
3. Se repite el procedimiento hasta abarcar todas las columnas.
Multiplicación
Las multiplicaciones nos sirven para simplificar situaciones en las que tendríamos que sumar reiteradamente un mismo número. De hecho, la multiplicación consiste en calcular el resultado de sumar un número por sí mismo tantas veces como indique otro número o multiplicador. Existen dos tipos de multiplicación: sin reagrupación y con reagrupación.
Multiplicación sin reagrupación
Las multiplicaciones sin reagrupación son aquellas que no tienen llevada, es decir, que cuando multiplicamos cada una de las cifras del multiplicador por el multiplicando da como resultado un número de una cifra.
Para resolver estas multiplicaciones se siguen estos pasos:
1. Primero se calculan los productos intermedios. Se comienza con la multiplicación de las unidades del multiplicador por todas las cifras del multiplicando de derecha a izquierda y se anotan las cifras correspondientes en cada columna. En este caso se multiplica 3 × 62.312 = 186.936.
2. Luego se multiplica la decena del multiplicador por las cifras del multiplicando, se deja un espacio y se anota el número obtenido debajo del resultado anterior. Aquí se multiplica 1 × 62.312 = 62.312.
3. Luego de obtener los productos intermedios, estos se suman para obtener el resultado de la multiplicación.
Observemos ahora un ejemplo en donde el multiplicador posee tres cifras:
1. Igual que en el ejemplo anterior, lo primero que hacemos es multiplicar las unidades del multiplicador (2) por cada una de las cifras.
2. Luego dejamos un espacio en la fila de abajo y anotamos el resultado de la multiplicación de las decenas del multiplicador y el multiplicando.
3. Después dejamos dos espacios y anotamos el resultado de multiplicar las centenas del multiplicador y el multiplicando.
4. Finalmente sumamos los tres productos obtenidos y obtenemos el resultado 45.245.252.
¿Sabías qué?
La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales. El resultado de la multiplicación se llama producto.
La multiplicación presenta varias propiedades, como la del elemento neutro, en la que todo número multiplicado por 1 es igual al mismo número. Otra propiedad es la conmutativa que explica que el orden de los factores no altera el resultado. También presenta la propiedad distributiva la cual indica que no importan cómo se reagrupen los factores, el resultado siempre será el mismo.
Multiplicación con reagrupación
A diferencia de los ejemplos anteriores, las multiplicaciones por reagrupación tienen llevadas. Se resuelven con los mismos pasos anteriores, pero esta vez las llevadas se suman al resultado de cada multiplicación al momento de anotar los productos intermedios.
Para resolver este tipo de multiplicación se siguen estos pasos:
1. Primero se calculan los productos intermedios. Se comienza con la multiplicación de las unidades del multiplicador por todas las cifras del multiplicando de derecha a izquierda y se anotan las cifras correspondientes en cada columna. Cuando el producto de una cifra del multiplicador por una cifra del multiplicando tiene dos cifras, se anota la unidad de dicho número y la cifra correspondiente a las decenas se suma al producto siguiente.
Nota que 5 × 5 = 25. Así que colocamos la unidad (5) en la columna de los resultados y la decena (2) sobre la columna de la izquierda. Por lo tanto, al multiplicar 5 × 0 = 0 y 0 + 2 = 2.
2. Luego se multiplica la decena del multiplicador por las cifras del multiplicando, se deja un espacio y se anota el número obtenido debajo del resultado anterior.
3. Repetimos el paso anterior con las centenas del multiplicador.
4. Finalmente sumamos los productos parciales y obtenemos el resultado de la multiplicación.
división
Muchas veces tenemos la necesidad de hacer repartos de manera equitativa. La operación que nos permite hacerlo es la división. Esta puede ser exacta o inexacta.
Si la resta es la operación opuesta a la suma, la división es la opuesta a la multiplicación. Para expresar una división se pueden emplear los símbolos de “÷”, “:” y “/”. Esta operación nos sirve para repartir cantidades en partes iguales y pueden ser de dos tipos: divisiones exactas cuando el resto es igual a cero y divisiones inexactas cuando no lo es.
Divisiones exactas
Las divisiones exactas son aquellas cuyo resto es igual a cero. Esto lo determinamos al resolver la división por medio de los siguientes pasos:
Para dividir 323 ÷ 17 lo primero que debemos hacer es escribir los datos en su respectiva ubicación para poder comenzar a realizar cálculos:
2. Como tenemos dos cifras de divisor, tomamos dos de dividendo para comenzar la división y comprobamos que la cantidad sea menor a la del divisor.
3. Pensamos un número que multiplicado por 17 se acerque lo máximo posible a 32. Sabemos que 1 × 17 = 17 y 2 × 17 = 34 y es mayor que 32. Así que colocamos el 1 en el cociente, escribimos el producto debajo del 32 y restamos 32 − 17 = 15.
4. Bajamos el siguiente dígito del dividendo, en este caso el 3:
5. Buscamos un número que multiplicado por 17 sea igual o se acerque lo máximo posible a 153. En este caso sería 9, porque 17 × 9 = 153. Luego restamos el producto. Como 153 − 153 = 0 no seguimos la división y el resto de esta es cero, lo que significa que es exacta.
Podemos escribir que 323 ÷ 17 = 19.
Divisiones no exactas
Las divisiones no exactas son aquellas que tienen un resto distinto de cero. El procedimiento para resolverlas es igual al anterior lo único que cambia es que la división termina cuando el resto obtenido es menor al divisor. Observemos el siguiente ejemplo:
Podemos escribir esta división de la siguiente forma:
5.584 ÷ 24 = 232 y resto = 16.
Historia de los símbolos matemáticos
Muchos países en la Antigüedad utilizaban abreviaturas para indicar algunas operaciones matemáticas. Los italianos, por ejemplo, utilizaban una “p” y una “m” para indicar la suma y la resta (plus y minus, en latín). Luego se impuso el uso de la abreviatura alemana ”+” y “−”. Estos símbolos se usaron por primera vez en un libro alemán de Widman en 1489.
El primer símbolo que se utilizó para la multiplicación fue “×”, utilizado por Oughtred en 1631. Varios años después Leibniz impuso el punto “·” como símbolo de la multiplicación porque decía que el símbolo que se usaba era fácil de confundir con la letra equis “x”.
Fibonacci, en el siglo XIII, creó la barra horizontal para las fracciones. Esta separaba el numerador del denominador. En 1845, De Morgan ideó la barra oblicua (/) para denotar a la división. Antes de la barra oblicua, Rahn inventó para la división el signo ÷. Los dos puntos (:) los introdujo Leibniz en el caso de que se quisiese escribir una división en una sola línea.
¡A practicar!
1. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.
a) 3.005.078 + 5.119.839 =
Solución
8.124.917
b) 4.313.528 − 499.999 =
Solución
3.813.529
c) 27.521.666 − 14.124.917 =
Solución
13.396.739
d) 187.324.949 + 153.286.084 =
Solución
340.611.033
2. Resuelve las siguientes multiplicaciones.
a) 2.321.231 × 231 =
Solución
536.204.361
b) 1.639.121 × 452 =
Solución
740.882.692
c) 3.141.243 × 221 =
Solución
694.214.703
d) 796.467 × 734 =
Solución
584.606.778
3. Resuelve las siguientes divisiones.
a) 48.321.564 : 12 =
Solución
4.026.797
b) 240.526 : 18 =
Solución
13.362 y su resto es 10.
c) 451.542 : 42 =
Solución
10.751
d) 2.795.615 : 26 =
Solución
107.523 y su resto es 17.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Operaciones básicas de los números naturales y sus propiedades”
El siguiente artículo destacado explica cuáles son las principales propiedades de las operaciones básicas en números naturales.
Artículo “Suma y resta utilizando el algoritmo de descomposición”
Este artículo explica uno de los métodos para resolver sumas y restas que se fundamenta en la descomposición de un número de acuerdo a los valores posicionales de sus cifras.
El tiempo es una magnitud que nos ayuda a medir la duración de un evento. Gracias al tiempo podemos ordenar sucesos y establecer un pasado, un presente y un futuro. Todas sus unidades de medidas pueden convertirse entre ellas. Aprender sus cálculos básicos permite saber, por ejemplo, en qué momento tenemos que hacer una tarea.
El tiempo es una de las magnitudes más utilizamos cotidianamente, por eso es normal que veas un reloj en todas las casa, escuelas y comercios. Las unidades menores a un día son las horas, minutos y segundo, y para medirlas usamos el reloj o un cronómetro; en cambio, las unidades mayores a un día, como los meses y los años, son medidas con un calendario.
UNIDADES DE Tiempo: equivalencias y conversiones
Todo lo que realizamos consume tiempo: sabemos que el recreo dura 10 minutos, que un partido de fútbol dura 90 minutos o que el día tiene 24 horas. Es una variable tan importante, que en todo el mundo se utilizan las mismas unidades para medir el tiempo, a diferencia de otras magnitudes, como la distancia o el volumen. A algunas de sus unidades más importantes puedes verlas en esta tabla, junto a sus equivalencias:
Unidades de tiempo y sus equivalencia
Menores a un día
1 día = 24 horas
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
Mayores a un día
1 semana = 7 días
1 mes = 30 o 31 días
1 año = 365 días = 12 meses
Conversión de unidades de tiempo
Podemos hacer conversiones entre dos o más unidades de tiempo por medio de una regla de tres: método en el que establecemos relaciones, multiplicamos en forma diagonal y luego dividimos por la unidad restante.
– Ejemplo 1:
¿Cuánto días hay en 96 horas?
En 96 horas hay 4 días.
– Ejemplo 2:
¿Cuántos meses hay en 20 años?
En 20 años hay 240 meses.
– Ejemplo 3:
¿Cuántas horas tiene una semana?
Una semana (7 días) tiene 168 horas.
Otras unidades de tiempo
Para las medidas de tiempo más grandes, las equivalencias más prácticas son:
1 lustro = 5 años
1 década = 10 años
1 siglo = 100 años
1 milenio = 1.000 años
¿Sabías qué?
Hay una unidad de tiempo mucho menor que el segundo: el microsegundo. Su símbolo es µs y es igual a una millonésima parte de un segundo, es decir, 10−6 s.
En un calendario o agenda representamos todos los días del mes. Son útiles para planificar las actividades a realizar cada día; incluso, algunas agendas dividen cada día en horas, de manera que podamos organizar aún mejor nuestro tiempo. También son útiles para conocer las fechas de cada mes y los días feriados que hay en cada uno de ellos.
el reloj
El reloj es una instrumento para medir el tiempo, gracias a él sabemos las horas, los minutos y los segundos de un día. Pueden ser digitales o analógicos.
Este es un reloj analógico e indica que son “las 6 y 15 minutos”.
Este es un reloj digital e indica que son “las 10 y 20 minutos de la mañana”.
Abreviaturas am y pm
La abreviatura am significa que la hora leída corresponde a antes del mediodía.
La abreviatura pm significa que la hora leída corresponde a después del mediodía.
Sistema horario de 24 horas
Los relojes analógcos tienen un sistema de 12 horas, por lo que necesitan hacer dos ciclos completos para cubrir un día. En cambio, los relojes digitales pueden tener, además de un sistema de 12 horas, un sistema de 24 horas que se caracteriza por dividir al día en las 24 horas totales que lo conforman, por lo que no utiliza las abreviaturas am y pm.
La siguiente tabla muestra la relación entre ambos formatos:
Formato 24 horas
Formato 12 horas
00:00 h
12:00 am
01:00 h
01:00 am
02:00 h
02:00 am
03:00 h
03:00 am
04:00 h
04:00 am
05:00 h
05:00 am
06:00 h
06:00 am
07:00 h
07:00 am
08:00 h
08:00 am
09:00 h
09:00 am
10:00 h
10:00 am
11:00 h
11:00 am
12:00 h
12:00 pm
13:00 h
01:00 pm
14:00 h
02:00 pm
15:00 h
03:00 pm
16:00 h
04:00 pm
17:00 h
05:00 pm
18:00 h
06:00 pm
19:00 h
07:00 pm
20:00 h
08:00 pm
21:00 h
09:00 pm
22:00 h
10:00 pm
23:00 h
11:00 pm
operaciones con unidades de tiempo
Suma
Los pasos a seguir para sumar horas y minutos son los siguientes:
Sumamos los minutos y luego las horas.
Si los minutos son 60, colocamos 00 en la columna de los minutos y sumamos 1 hora en la columnas de las horas.
Si los minutos son más de 60, restamos 60 a ese resultado y sumamos 1 hora en la columnas de las horas.
Escribimos la hora final.
– Ejemplo 1:
¿Cuánto es 2:36 + 5:15?
Así que:
2 h y 36 min + 5 h y 15 min = 7 h y 51 min
También podemos representarlo de esta manera:
02:36 + 05:15 = 07:51
– Ejemplo 2:
Marta salió de su casa a las 3: 45 pm y luego de 2 horas y 15 minutos llegó a la casa de su abuela, ¿a qué hora llegó?
Datos
Hora de salida: 3 h y 45 min
Duración del recorrido: 2 h y 15 min
Analiza
Tenemos que sumar la hora de salida con el tiempo que duró en el recorrido para saber la hora de llegada. Para esto sumamos primero los minutos y luego las horas.
Calcula
Primero sumamos los minutos: 45 min + 15 min = 60 min. Como 60 min son iguales a 1 h, escribimos 00 y sumamos 1 hora a la columna de las horas.
Luego sumamos las horas: 1 h + 3 h + 2 h = 6 h.
Responde
Marta llegó a las 6 pm en punto.
– Ejemplo 3:
Carla entró a un examen a las 8:50 am y tardó 2 horas y 39 minutos en hacerlo, ¿a qué hora salió del examen?
Datos
Hora de entrada: 8 h y 50 min
Duración en el examen: 2 h y 39 min
Analiza
Si sumamos la hora de entrada con el tiempo que duró en el examen tendremos la hora de salida del examen. Primero sumamos los minutos y luego las horas.
Calcula
Sumamos los minutos: 50 + 39 = 89. Pero ya sabemos que 60 minutos forman una hora, así que tenemos que “sacar” 60 min de 89 min, es decir, 89 − 60 = 29.
Escribimos 29 min en la columna de los minutos y sumamos 1 h en la columna de las horas.
Luego sumamos las horas: 1 h + 8 h + 2 h = 11 h.
Responde
Carla salió a las 11:29 am.
Una de las primeras formas de medir el tiempo fue por medio de un reloj solar. Este funciona gracias a la sombra que genera el Sol durante el día sobre un estilo ubicado encima de una superficie. El movimiento diurno del Sol hace que la sombra cambie de dirección y de este modo se podía saber con bastante precisión la hora del día.
Resta
Los pasos a seguir para restar horas y minutos son los siguientes:
Restamos los minutos.
Si el minuendo es menor que el sustraendo, sumamos 60 minutos (que es igual a 1 hora) a ese minuendo. Luego restamos una hora de la columna de las horas.
Restamos las horas.
Escribimos el resultado.
– Ejemplo 1:
¿Cuánto es 4:11 – 2:47?
Lo primero que debemos hacer es colocar una hora sobre otra.
Como 11 es menor que 47 y no lo puede restar, tomamos “prestado” 60 minutos (1 hora) de la columna de las horas, es decir, sumamos a 11 min + 60 min = 71 min. Luego restamos esa hora de la columna de las horas: 4 h − 1 h = 3 h.
Ahora sí podemos hacer la resta de minutos: 71 min − 47 min = 24 min.
Después restamos las horas: 3 h − 2 h = 1 h.
Entonces:
4 h y 11 min − 2 h y 47 min = 1 h y 24 min
También lo podemos escribir así:
4:11 − 2:47 = 1:24
– Ejemplo 2:
Después de 45 min, un tren llegó a las 16 h y 15 min, ¿a qué hora salió el tren?
Datos
Duración de recorrido: 45 min
Hora de llegada: 16 h y 15 min
Analiza
Hay que restar el tiempo recorrido a la hora de llegada para saber la hora exacta de salida.
Calcula
Como 15 es menor que 45, tomamos prestado 60 minutos (1 hora) de la columna de las horas. Por lo tanto: 15 min + 60 min = 75 min. Al prestar 1 hora, tenemos que restarla de la columna de las horas, así que: 16 h − 1 h = 15 h. Luego hacemos la resta de minutos y horas.
Responde
El tren salió a las 15:30.
– Ejemplo 3:
Francisco tomó el bus para visitar a sus primos en otra ciudad. El bus salió a las 8:30 am y llegó a las 10:45 am ¿cuánto duró el viaje?
Datos
Hora de salida: 8 h y 30 min
Hora de llegada: 10 h y 45 min
Analiza
Si restamos la hora de salida a la hora de llegada tendremos la diferencia de tiempo entre ambas. Restamos primero los minutos y luego las horas.
Calcula
Responde
El viaje duró 2 h y 15 min.
¡A practicar!
1. Resuelve las operaciones de tiempo:
8:45 + 2:45
Solución
8:45 + 2:45 = 11:30
4:25 − 3:42
Solución
4:25 − 3:42 = 00:43
10:20 + 6:15
Solución
10:20 + 6:15 = 16:35
8:23 − 5:15
Solución
8:23 − 5:15 = 3:08
1:50 + 9:38
Solución
1:50 + 9:38 = 11:28
12:12 − 6:30
Solución
12:12 − 6:30 = 5:42
2. Responde:
¿Cuántas horas hay en 5 días?
Solución
120 horas.
¿Cuántos días hay en 1 década?
Solución
3.650 días.
¿Cuántos segundos hay en 2 horas?
Solución
7.200 segundos.
¿Cuántos meses hay en 2 lustros?
Solución
240 meses.
¿Cuántas décadas hay en 3 siglos?
Solución
30 décadas.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Operaciones en el sistema sexagesimal”
Este artículo explica la forma de realizar operaciones con unidades de tiempo en el sistema sexagesimal.
LOS CÁLCULOS MATEMÁTICOS SON OPERACIONES QUE REALIZAMOS PARA CONOCER EL RESULTADO DE ALGO EXPRESADO EN NÚMEROS. LAS OPERACIONES QUE UTILIZAMOS CON MAYOR FRECUENCIA SON LA SUMA Y LA RESTA. PARA REGISTRARLAS EN FORMA ESCRITA UTILIZAMOS EL SÍMBOLO + (QUE SE LEE “MÁS”) Y EL SÍMBOLO − (QUE SE LEE “MENOS”). REALIZAMOS CÁLCULOS MATEMÁTICOS EN NUESTRA VIDA DIARIA: CUANDO PAGAMOS ALGO, AL MEDIR EL TIEMPO, PARA CONOCER UNA DISTANCIA Y HASTA PARA HACER MÚSICA.
LA MATEMÁTICA NO SOLO NOS SIRVE PARA LA ESCUELA, SINO QUE LA UTILIZAMOS A DIARIO EN NUESTRA VIDA COTIDIANA.
ADICIÓN O SUMA
LA ADICIÓN O SUMA ES LA OPERACIÓN DE AGREGAR O AGRUPAR CANTIDADES PARA OBTENER UN RESULTADO. ESAS CANTIDADES LLEVAN EL NOMBRE DE SUMANDOS, EL RESULTADO SE DENOMINA SUMA. AL SUMAR NÚMEROS DE DOS DÍGITOS A VECES ES CONVENIENTE ESCRIBIR LA OPERACIÓN EN FORMA VERTICAL. EN ESE CASO ES IMPORTANTE UBICAR EN LA COLUMNA DE LA DERECHA LAS UNIDADES Y EN LA DE LA IZQUIERDA LAS DECENAS.
CUANDO LOS NÚMEROS SON PEQUEÑOS PODEMOS USAR PALITOS O LOS DEDOS PARA HACER LA SUMA.
SUSTRACCIÓN O RESTA
LA SUSTRACCIÓN O RESTA ES LA OPERACIÓN CONTRARIA A LA SUMA. CONSISTE EN EXTRAER O QUITAR A UNA CANTIDAD MAYOR A UNA MENOR. AL NÚMERO MAYOR LO LLAMAMOS MINUENDO Y AL MENOR LO LLAMAMOS SUSTRAENDO, EL RESULTADO DE LA RESTA SE CONOCE COMO DIFERENCIA O RESTA.
EN LA RESTA USAMOS EL SIGNO − QUE SE LEE “MENOS”. POR EJEMPLO, 4 − 3 = 1 SE LEE “CUATRO MENOS TRES ES IGUAL A UNO”.
SITUACIONES PROBLEMÁTICAS
LAS SUMAS Y RESTAS SON LAS OPERACIONES MATEMÁTICAS MÁS USADAS POR TODOS DÍA A DÍA, ASÍ QUE ES POSIBLE QUE MUCHAS SITUACIONES LAS TENGAS QUE RESOLVER CON CÁLCULOS. CUANDO ESTO SUCEDE, ES IMPORTANTE QUE SIGAMOS UNA SERIE DE PASOS QUE NOS AYUDEN A RAZONAR Y ORGANIZAR LA INFORMACIÓN PARA RESOLVER EL PROBLEMA. ALGUNOS DE ESTOS PASOS SON IDENTIFICAR LOS DATOS, PENSAR EN EL PROCEDIMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN, HACER LA OPERACIÓN Y DAR LA RESPUESTA.
AUNQUE NO LO CREAS, LAS OPERACIONES MATEMÁTICAS LAS USAS SIEMPRE, ASÍ QUE DE TANTO PRACTICAR PODRÁS HACER TODOS ESTOS CÁLCULOS MENTALMENTE, ES DECIR, SIN NECESIDAD DE LÁPIZ Y PAPEL.
SI TIENES 2 CARAMELOS Y LUEGO TE REGALAN 2 CARAMELOS MÁS, ¿CUÁNTOS CARAMELOS TIENES? ESTE ES UN PROBLEMA QUE SE RESUELVE POR MEDIO DE UNA SUMA. LA SUMA O ADICIÓN ES UNA OPERACIÓN EN LA QUE AGREGAMOS O AGRUPAMOS CANTIDADES PARA OBTENER UN RESULTADO FINAL. LOS NÚMEROS A SUMAR SE LLAMAN SUMANDOS Y EL TOTAL SE LLAMA SUMA.
PUEDES RESOLVER UNA SUMA A TRAVÉS DE UN CÁLCULO MENTAL, UN GRÁFICO, UNA CUENTA HORIZONTAL O VERTICAL. LA SUMA ES UNA OPERACIÓN EN LA QUE AGRUPAMOS CANTIDADES LLAMADAS SUMANDOS Y EL RESULTADO SE DENOMINA SUMA. EN ESTA IMAGEN VEMOS UNA SUMA DE MANZANAS EN LA QUE SE AGRUPAN 1 MANZANA CON OTRAS 2 MANZANAS PARA TENER UN TOTAL DE 3 MANZANAS.
LA SUMA Y SUS ELEMENTOS
ANA Y NICO DECIDIERON LLEVAR SUS OSITOS PARA JUGAR EN EL RECREO DE LA ESCUELA. ¿CUÁNTOS OSITOS TIENEN ENTRE LOS DOS?
1 Y 2 SON LOS SUMANDOS.
3 ES LA SUMA O EL RESULTADO.
¡VAMOS A SUMAR!
ESCRIBE LOS SUMANDOS Y LA SUMA EN CADA CASO.
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
PROPIEDADES DE LA SUMA
PROPIEDAD CONMUTATIVA
ESTA PROPIEDAD EXPLICA QUE EL ORDEN DE LOS SUMANDO NO ALTERA LA SUMA O RESULTADO.
PROPIEDAD ASOCIATIVA
ESTA PROPIEDAD EXPLICA QUE SI SUMAMOS TRES NÚMEROS, PODEMOS AGRUPAR DOS Y LUEGO SUMAR EL TERCERO.
ELEMENTO NEUTRO: OTRA PROPIEDAD A CONOCER
ESTA PROPIEDAD NOS INDICA QUE LA SUMA DE TODO NÚMERO MÁS EL CERO ES IGUAL AL MISMO NÚMERO, DE MANERA QUE EL CERO ES EL ELEMENTO NEUTRO DE LA SUMA.
APLICACIÓN DE LA SUMA
A VECES NECESITAMOS SUMAR NÚMEROS MÁS GRANDES, ENTONCES NO PODEMOS DIBUJAR CADA ELEMENTO Y CONTARLO PORQUE NOS LLEVARÍA MUCHO TIEMPO. ¡APRENDERÁS AHORA OTRA FORMA DE SUMAR!
PRIMERO COLOCAMOS LOS SUMANDOS UNOS SOBRE OTRO. ESCRIBIMOS LAS UNIDADES EN LA COLUMNA DE LAS UNIDADES Y LAS DECENAS EN LA COLUMNA DE LAS DECENAS.
LUEGO SUMAMOS LAS UNIDADES: 1 + 6 = 7.
DESPUÉS SUMAMOS LAS DECENAS: 1 + 1 = 2.
PUEDES ESCRIBIR ESTA SUMA DE FORMA HORIZONTAL:
11 + 16 = 27
¡ES TU TURNO!
REALIZA ESTAS SUMAS:
14 + 11
23 + 35
29 + 10
44 + 31
25 + 33
18 + 61
SOLUCIÓN
LOS CÁLCULOS MENTALES SON AQUELLOS QUE PUEDES REALIZAR MENTALMENTE, SIN NECESIDAD DE EMPLEAR UNA CALCULADORA NI REALIZAR ANOTACIONES. LOS CÁLCULOS MENTALES TE PERMITEN ALCANZAR UNA MAYOR RAPIDEZ MENTAL, DISPONER DE MÁS RECURSOS PARA RESOLVER PROBLEMAS Y TAMBIÉN AUMENTAR TU CAPACIDAD DE ATENCIÓN Y CONCENTRACIÓN. ¡INTENTA HACER UNA SUMA MENTAL!
¿SABÍAS QUÉ?
PARA RESOLVER CÁLCULOS MENTALMENTE PUEDES UTILIZAR OTROS QUE YA SEPAS DE MEMORIA O HAYAS REALIZADO ANTES.
SITUACIONES PROBLEMÁTICAS
1. ES EL CUMPLEAÑOS DE MARTA. SU TÍA LE REGALÓ $ 15 Y SU ABUELO LE REGALÓ $ 23. ¿CUÁNTO DINERO LE REGALARON A MARTA?
DATOS
DINERO REGALADO POR SU TÍA: $ 15
DINERO REGALADO POR SU ABUELO: $ 23
REFLEXIONA
PARA CONOCER LA CANTIDAD DE DINERO QUE LE REGALARON EN TOTAL TENEMOS QUE SUMAR LAS DOS CANTIDADES. PARA ESO COLOCAMOS LOS SUMANDO UNO SOBRE OTRO. LUEGO SUMAMOS LAS UNIDADES Y DESPUÉS LAS DECENAS.
CALCULA
RESPUESTA
A MARTA LE REGALARON $ 38.
2. LA MAMÁ DE JULIETA COMPRÓ 20 GLOBOS ROJOS Y 25 GLOBOS NARANJAS PARA DECORAR EL SALÓN EL DÍA DE SU CUMPLEAÑOS ¿CUÁNTOS GLOBOS COMPRÓ EN TOTAL?
DATOS
GLOBOS ROJOS: 20
GLOBOS NARANJAS: 25
REFLEXIONA
PARA CONOCER LA CANTIDAD DE GLOBOS COMPRADOS TENEMOS QUE SUMAR LAS DOS CANTIDADES. PARA ESO COLOCAMOS LOS SUMANDO UNO SOBRE OTRO. LUEGO SUMAMOS LAS UNIDADES Y DESPUÉS LAS DECENAS.
CALCULA
RESPUESTA
LA MAMÁ DE JULIETA COMPRÓ EN TOTAL 45 GLOBOS.
3. CARLOS INVITÓ A SU FESTEJO DE CUMPLEAÑOS A 14 NIÑOS Y 21 NIÑAS ¿CUÁNTOS INVITADOS HAY EN TOTAL?
DATOS
NIÑOS INVITADOS: 14
NIÑAS INVITADAS: 21
REFLEXIONA
PARA CONOCER LA CANTIDAD NIÑOS INVITADOS EN TOTAL TENEMOS QUE SUMAR LAS DOS CANTIDADES. PARA ESO COLOCAMOS LOS SUMANDOS UNO SOBRE OTRO. LUEGO SUMAMOS LAS UNIDADES Y DESPUÉS LAS DECENAS.
CALCULA
RESPUESTA
CARLOS INVITÓ A 35 NIÑOS EN TOTAL.
¡A PRACTICAR!
RESUELVE ESTAS SUMAS.
28 + 11
SOLUCIÓN
28 + 11 = 39
36 + 52
SOLUCIÓN
36 + 52 = 88
15 + 33
SOLUCIÓN
15 + 33 = 48
78 + 10
SOLUCIÓN
78 + 10 = 88
24 + 25
SOLUCIÓN
24 + 25 = 49
16 + 62
SOLUCIÓN
16 + 62 = 78
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Propiedades de la suma”
Con este recurso podrás ampliar la información sobre las propiedades de las sumas.
Las operaciones combinadas son expresiones formadas por números que se agrupan de diferentes formas, con cálculos diversos. Estas operaciones pueden emplear símbolos como los paréntesis, que se encargan de unir un grupos de operaciones para ser resueltas primero. Los pasos son muy sencillos, ¡aprende hoy cómo resolver operaciones combinadas!
Recomendaciones para resolver problemas combinados
Para resolver las operaciones combinadas debemos tener en cuenta que:
Para sumar o restar dos números, ambos deben estar “sueltos”, es decir, no se pueden sumar o restar dos números si uno de ellos está unido a otra expresión mediante un símbolo u otro signo como el de la multiplicación.
Los signos de multiplicar generan una unión más fuerte que los de sumar y restar. Cuando dos o más números están unidos por un signo de multiplicación generan una unión inseparable, mientras que los que están unidos por signos de suma y resta se encuentran más “sueltos” en la operación.
Las operaciones combinadas deben resolverse paso a paso. Todo lo que se resuelve en un paso debe copiarse, sin realizar cambios al inicio del siguiente paso.
Antes de comenzar a resolver las operaciones combinadas se deben conocer las propiedades de dichas operaciones para así plantear una estrategia a seguir sin cometer errores.
Siempre se resuelve primero lo que está en el interior del paréntesis, para seguir luego con las multiplicaciones y finalmente con las sumas y restas.
¿Qué más debes saber?
Para ser un experto en resolución de cálculos combinados debes:
Ser prolijo.
Identificar los distintos términos de un ejercicio y el orden de resolución.
Revisar todos los pasos una vez terminado el ejercicio.
Practicar, practicar y practicar.
operaciones combinadas sin PARÉNTESIS
En una operación combinada sin paréntesis tenemos que respetar la jerarquía de los cálculos: primero resolvemos las multiplicaciones y divisiones, luego resolvemos las sumas y restas.
– Ejemplo:
9 − 2 × 4 + 12
Primero resolvemos la multiplicación: 2 × 4 = 8.
9 − 8 + 12
Luego resolvemos las sumas y restas:
9 − 8 + 12 = 13
Finalmente escribimos el resultado:
9 − 2 × 4 + 12 = 13
– Otro ejemplo:
81 ÷ 9 + 7 × 8 − 13 × 5
Realizamos las divisiones y multiplicaciones:
9 + 56 − 65
Resolvemos las sumas y restas:
9 + 56 − 65 = 0
Escribimos la respuestas:
81 ÷ 9 + 7 × 8 − 13 × 5 = 0
¡Es tu turno!
15 + 8 − 2 − 6
Solución
15 + 8 − 2 − 6 = 15
144 ÷ 12 − 4 × 3 − 24 ÷ 8
Solución
144 ÷ 12 − 4 × 3 − 24 ÷ 8 = −3
Podemos ver paréntesis en cualquier tipo de operación, esto nos indica que debemos realizar primero los cálculos que están dentro de ellos. Pero los paréntesis no son las únicas formas de expresar jerarquías, también están los corchetes [] y las llaves {} que simbolizan prioridad de resolución: primero se resuelven los corchetes y luego las llaves.
operaciones combinadas con paréntesis
Los paréntesis indican prioridad al momento de resolver los problemas. Esto significa que primero debemos realizar el cálculo dentro del paréntesis y luego resolver el resto de la cuenta.
– Ejemplo:
(8 − 3) × 2 + 4
Primero resolvemos la resta dentro de los paréntesis: 8 − 3 = 5.
5 × 2 + 4
Luego resolvemos la multiplicación: 5 × 2 = 10.
10 + 4
Finalmente resolvemos la suma y escribimos el resultado:
10 + 4 = 14
Por lo tanto,
(8 − 3) × 2 + 4 = 14
– Otro ejemplo:
28 − (7 + 9) + 3
Resolvemos la operación dentro de los paréntesis: 7 + 9 = 16
28 − 16 + 3
Resolvemos las sumas y restas:
28 − 16 + 3 = 15
Luego escribimos el resultado:
28 − (7 + 9) + 3 = 15
¡Es tu turno!
25 − (3 × 3 + 11) − (2 + 3)
Solución
25 − (3 × 3 +11) − (2 + 3) = 0
36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5
Solución
36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5 = 29
¿Sabías qué?
Si se suman dos números con diferente signo, la operación a realizar es una resta y se mantiene el signo del número mayor, por ejemplo, −15 + 8 = −7.
Problemas con ejercicios combinados
1. Marta fue a la tienda y compró un par de zapatos por $ 125, 2 pantalones a $ 40 cada uno y 4 camisetas a $ 25 cada una. ¿Cuánto gastó Marta?
Datos
Zapatos comprados: un par a $ 125
Pantalones comprados: 2 a $ 40 cada uno
Camisetas compradas: 4 a $ 25 cada una
Pregunta
¿Cuánto gastó Marta?
Analiza
Si multiplicamos la cantidad de prendas por el costo de cada una y luego sumamos cada resultado tendremos el total de dinero gastado.
2. José ha comprado 18 litros de jugo de naranja. Cada litro cuesta $ 5. Si después de pagar le devuelven $ 10, ¿cuánto dinero entregó al pagar?
Datos
Jugo comprado: 18 litros
Precio del litro de jugo: $ 5
Dinero devuelto: $ 10
Pregunta
¿Cuánto dinero entregó al pagar?
Analiza
El producto de la cantidad de jugo comprado y el precio de cada litro de jugo será igual a la cantidad de dinero que debía pagar. Si a eso le sumamos el dinero devuelto sabremos cuánto pagó.
Calcula
(18 × 5) + 10 = 90 + 10 = 100
Respuesta
José pagó $ 100. Gastó $ 90 en jugo de naranja y le devolvieron $ 10.
3. Pedro compró un lote de 180 donas que debe colocar en cajas de 12 donas. Si venderá cada caja a $ 3, ¿cuánto dinero obtendrá al vender todas las cajas?
Datos
Cantidad de donas: 180
Cantidad de donas por caja: 12
Precio de la caja: $ 3
Pregunta
¿Cuánto dinero obtendrá al vender todas las cajas?
Analiza
Para saber la cantidad de donas que irán en cada caja debemos dividir las 180 donas entre las 12 unidades por caja. Luego multiplicamos esa cantidad por los $ 3 que vale cada una.
Calcula
(180 ÷ 12) × 3 = 15 × 3 = 45
Respuesta
Obtendrá $ 45 al vender todas las cajas.
Es posible que te encuentres con operaciones combinadas que además de tener sumas, restas multiplicaciones y divisiones, también tengas raíces y potencias. En este caso, debemos resolver primero las raíces y potencias y luego proceder con el orden que ya conoces: primero las multiplicaciones y divisiones, después las sumas y restas.
¡A practicar!
Resuelve las siguientes operaciones combinadas:
6 × 8 − 8 + 12 − 3
Solución
6 × 8 − 8 + 12 − 3 = 49
24 × 4 + 18 ÷ 9 − 26
Solución
24 × 4 + 18 ÷ 9 − 26 = 72
32 − 20 ÷ 5 + 16 × 2
Solución
32 − 20 ÷ 5 + 16 × 2 = 60
85 − 49 + 17 × 3 − 54 ÷ 3
Solución
85 − 49 + 17 × 3 − 54 ÷ 3 = 69
25 + (13 − 8 × 6 + 12) − 16
Solución
25 + (13 − 8 × 6 + 12) − 16 = −14
73 + (48 − 7 × 6) − 21 ÷ 3
Solución
73 + (48 − 7 × 6) − 21 ÷ 3 = 72
3 − 4 × 5 + (35 ÷ 7 + 8)
Solución
3 − 4 × 5 + (35 ÷ 7 + 8) = −4
36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5
Solución
36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5 = 29
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Cálculos combinados”
Con este recurso podrás reforzar el contenido relacionado a las jerarquías en operaciones combinadas.
Los números decimales son aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal, separadas por una coma; son comunes en los precios de los productos del supermercado o en nuestro peso y altura. Los problemas con este tipo de números se resuelven casi de la misma forma que los que tienen números naturales. A continuación, aprenderás las reglas para resolver dichos cálculos.
suma de números decimales
Cuando sumamos número decimales el procedimiento es similar al de los números naturales. Colocamos las unidades, decenas y centenas una sobre otra; de este modo, las comas, décimas, centésimas y milésimas también estarán en las mismas columnas.
– Ejemplo:
432,61 + 54,3
Donde:
C = centena
D = decena
U = unidad
d = décima
c = centésima
m = milésima
Si la suma de las cifras de una columna es mayor a 9, colocamos el dígito de la unidad debajo de dicha columna y el dígito de la decena en la columna de la izquierda.
– Ejemplo:
523,4 + 74,86
¡Es tu turno!
Resuelve estas sumas de números decimales.
0,816 + 26,5
10,5 + 10,5
129,836 + 345,26
64,68 + 22,129
Solución
¿Sabías qué?
Además de la coma, también se puede usar un punto para separar la parte entera de la parte decimal. Todo depende de la convención del país en el que estés.
¿Notaste que la adición de los números decimales es muy similar a la adición de los números naturales? Lo más importante en esta operación es que las cifras estén en las mismas columnas según su valor posicional: unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas. De este modo, la coma siempre estará en el lugar adecuado.
resta de números decimales
Para restar números decimales colocamos cada números en las mismas columnas según el orden de cada cifra: unidades con unidades, décimas con décimas, etc. De ser necesario añadimos ceros para que ambos números tengan la misma cantidad de dígitos. Luego restamos como si fueran números naturales y colocamos la coma en el resultado.
– Ejemplo:
360,84 − 246,013
1. Colocamos los números uno sobre otro y agregamos un cero al minuendo.
2. Como no podemos restarle 3 a 0, tomamos “prestada” una décima de la columna de la izquierda. Ahora el 0 se transforma en 10 y el 4 de las centésimas se convierte en 3. Luego hacemos la resta: 10 − 3 = 7.
3. Restamos las centésimas: 3 − 1 = 2.
4. Restamos las décimas: 8 − 0 = 8.
5. Restamos las unidades. Como no podemos restarle 6 a 0, tomamos una decena de la columna de la izquierda. Así que el 0 se convierte en 10 y el 6 se transforma en 5. Luego restamos: 10 − 6 = 4.
6. Restamos las decenas: 5 − 4 = 1.
7. Restamos las centenas y colocamos la coma en la misma columna en la que están las comas.
¡Es tu turno!
Resuelve las siguientes restas de números decimales.
95,371 − 24,98
137 − 45,290
348,6 − 26,696
67,4 − 0,16
Solución
Décimas en una regla
La regla graduada es un instrumento de medición con el que también podemos trazar líneas rectas. Por lo general viene con marcas con números que indican los centímetros y marcas más pequeñas entre estas que muestran los milímetros. Recuerda que 1 milímetro es igual a 0,1 centímetros.
Multiplicación con números decimales
Cuando multiplicamos un número decimal por un número natural colocamos los factores uno sobre otro alineados a la derecha, luego multiplicamos tal como si ambos fueran números naturales. Al final colocamos la coma decimal de acuerdo a la cantidad de decimales que tenga el factor decimal.
– Ejemplo:
1,27 × 36
1. Colocamos los factores uno sobre otro.
2. Multiplicamos como hacemos con los números naturales.
3. Colocamos la coma decimal en el resultado. Como el 1,27 tiene dos números decimales, movemos dos espacios en el resultado y colocamos la coma.
Por lo tanto,
1,27 × 36 = 45,72
¡Es tu turno!
Resuelve la siguientes multiplicaciones.
3,1 × 21
132 × 5,3
2,65 × 68
Solución
Los números decimales también se pueden representar como una fracción. Para esto colocamos un denominador con la unidad seguida de tantos ceros como sean necesarios para que el numerador sea un entero. Recuerda que se multiplican ambas partes de la fracción. Luego simplificamos. Por ejemplo, si amplificamos por 10 la expresión 0,5/1 nos queda 5/10 = 1/2.
¡A practicar!
Resuelve las siguientes operaciones.
421,78 + 100,1
Solución
421,78 + 100,1 = 521,88
500,999 − 500,159
Solución
500,999 − 500,159 = 0,84
131 × 12,4
Solución
131 × 12,4 = 1.624,4
0,92 × 53
Solución
0,92 × 53 = 48,76
0,578 + 0,9
Solución
0,578 + 0,9 = 1,478
36,9 − 0,806
Solución
36,9 − 0,806 = 36,094
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Números decimales”
Con este artículo podrás ampliar la información relacionada con los números decimales, su clasificación y las operaciones que los involucran.
Otro método para obtener fracciones equivalentes es por simplificación. En dicho caso, se divide tanto al numerador como al denominador por el mismo número. Las fracciones 
Se procede a realizar los cálculos con cualquier método de fracciones heterogéneas visto anteriormente. En este caso, se aplicará el método cruzado.
Este es un reloj analógico e indica que son “las 6 y 15 minutos”.
Este es un reloj digital e indica que son “las 10 y 20 minutos de la mañana”.
