INECUACIÓN

No todas las situaciones que se plantean en matemática tienen una solución puntual o exacta. Existen casos donde la respuesta a un planteamiento viene representada por un intervalo de valores que satisfacen la condición. Esto podemos verlo en las inecuaciones: expresiones matemáticas con un intervalo de números como solución.

la INECUACIÓN y sus elementos

Una inecuación es una expresión matemática que contiene al menos una variable y está caracterizada por incluir símbolos de desigualdad entre los miembros, de manera que su resultado es un conjunto de valores que la variable puede tomar para que se cumpla la desigualdad planteada.

Los elementos de las inecuaciones son los siguientes:

Miembros: son las partes de una inecuación que están separadas por el signo de la desigualdad.
Términos: son las expresiones literales o numéricas separadas por los signos más (+) o menos (−).
Variable: es la letra que representa al conjunto de valores que satisfacen la desigualdad.
Símbolo de desigualdad: es el que indica la relación entre los miembros, pueden ser <, >, ≤ o ≥.

Grado de una inecuación

El grado de una inecuación se encuentra indicado por el mayor exponente que tenga la variable. Si el mayor exponente de una inecuación es 3, esta es de tercer grado; si es 2, es de segundo grado; y si no tiene exponente, se entiende que está elevado a la unidad y, por lo tanto, la inecuación es de primer grado.

¿qué son los intervalos?

Los intervalos son los rangos de valores que definen la solución de la inecuación. Estos pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos.

Intervalos abiertos: no incluyen los límites del intervalo. Se denotan con paréntesis, por ejemplo (a, b) y en la gráfica se representan con el símbolo ○.
Intervalos cerrados: incluyen los límites del intervalo. Se representa con corchetes, por ejemplo [a, b] y en la gráfica se representan con el símbolo ●.
Intervalos semiabiertos: incluye uno de los extremos del intervalo. Así que un extremo es abierto y el otro es cerrado, por ejemplo [a, b).

¿Sabías qué?

Los límites de intervalos que incluyen a +∞ o −∞ siempre son abiertos.

– Ejemplo:

Este dibujo muestra todos los números comprendidos entre el 1 y el 7 pero no incluye ni al 1 ni al 7 porque están representados con ○. Cuando los extremos de un intervalo no están incluidos se usan paréntesis y el intervalo se denota como (1,7).

– Otros ejemplos:

(−5,1]

[1,7]

[−5,1)

símbolos de desigualdad

Símbolo	Significado	Ejemplo	Representación en la recta numérica	Notación del intervalo
>	Mayor que	x > 5		(5,+∞)
<	Menor que	x < 5		(−∞,5)
≥	Mayor o igual que	x ≥ 5		[5,+∞)
≤	Menor o igual que	x ≤ 5		(−∞,5]

Las soluciones de las inecuaciones pueden ser intervalos cuyos límites estén completamente definidos y conocidos, por ejemplo, [−2, 19) o bien, por rangos donde alguno o ambos límites incluyen el ∞ (ya sea hacia el valor positivo o negativo). Cuando la solución es (−∞, +∞) en notación de conjunto se dice que pertenece a los reales.

¿CÓMO resolver UNA INECUACIÓN?

El procedimiento es muy similar al que empleamos cuando despejamos ecuaciones. Las reglas son las siguientes:

Todo número que sume en un miembro de la desigualdad, pasa al otro miembro como resta.
Todo número que reste en un miembro de la desigualdad, pasa al otro miembro como suma.
Si en un miembro de la desigualdad hay un número negativo que multiplica a otro, este pasa al otro lado a dividir (con su signo) y el signo de desigualdad se debe invertir.
Si en un miembro de la desigualdad hay un número negativo que divide, pasa al otro lado a multiplicar (con su signo) y el signo de desigualdad se debe invertir.

En la imagen podemos ver cómo se comparan por medio de símbolos de desigualdad dos segmentos de rectas. En este caso, la expresión indica que el segmento que va de A’C tiene una mayor longitud que el segmento AB. No todas las expresiones que contengan desigualdades son inecuaciones, ya que además, se requiere de por lo menos una variable.

– Ejemplo 1:

$x-3> 1$

Como el número 3 está acompañado del signo negativo, pasa al otro lado del símbolo “mayor que” con el signo positivo.

$x> 1+3$

Luego resolvemos la suma.

$x> 4$

La solución de esta inecuación incluye a todos lo números mayores a 4, más no al 4.

Solución: (4,+∞)

En una recta numérica lo representamos así:

Si deseamos comprobar la solución, basta con sustituir la variable con valores mayores a 4. Si satisface la desigualdad, el resultado será correcto.

Recuerda que el intervalo es abierto y por lo tanto no debes tomar en cuenta al número 4. Observa:

$x-3> 1$

$\boldsymbol{4}-3> {\color{Red} \boldsymbol{1> 1}}$ No satisface la desigualdad porque 1 = 1.

Si sustituimos por valores mayores a 4, como 5, 6 o 7, la desigualdad sí se cumple. Observa:

$\boldsymbol{5}-3> 1\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{2> 1}}$

$\boldsymbol{6}-3> 1\Rightarrow \boldsymbol{{\color{Blue} 3> 1}}$

$\boldsymbol{7}-3> 1\Rightarrow \boldsymbol{{\color{Blue} 4> 1}}$

– Ejemplo 2:

$-4x-8\geq -2$

Primero unimos los términos semejantes en cada miembro. Los que están como resta pasan al otro lado de la igualdad a sumar.

$-4x\geq -2+8$

Después resolvemos las operaciones.

$-4x\geq 6$

Como −4 multiplica a la variable, esta pasa al otro miembro de la inecuación a dividir. Mantenemos el signo negativo e invertimos el signo de la desigualdad.

$x\leq -\frac{6}{4}$

La solución de esta inecuaçión incluye a todos los números menores o iguales a −6/4.

Solución: (−∞,−6/4]

En la recta numérica lo representamos así:

Comprobamos el resultado con números iguales y menores a −6/4.

$-4\left ( \boldsymbol{-\frac{6}{4}} \right )-8\geq -2\Rightarrow 6-8\geq -2\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{-2\geq -2}}$

$-4\left ( \boldsymbol{-\frac{7}{4}} \right )-8\geq -2\Rightarrow 7-8\geq -2\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{-1\geq -2}}$

$-4\left ( \boldsymbol{-\frac{8}{4}} \right )-8\geq -2\Rightarrow 8-8\geq -2\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{0\geq -2}}$

– Ejemplo 3:

$-3x+5> 15+2x$

Unimos términos semejantes en cada miembro. Los que están como suma pasan al otro lado de la igualdad a restar.

$-3x-2x> 15-5$

Resolvemos las operaciones.

$-5x> 10$

Como −5 multiplica a la variable, este número pasa al otro miembro de la inecuación a dividir. Mantenemos el signo negativo e invertimos el signo de la desigualdad.

$x< -\frac{10}{5}$

$x< -2$

La solución incluye a todos los números menores a −2.

Solución: (−∞,−2)

En la recta numérica lo representamos así:

Comprobamos el resultado al sustituir la variable con números menores a −2.

$-3(\boldsymbol{-3})+5> 15+2(\boldsymbol{-3})\Rightarrow 9+5> 15-6\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{14> 9}}$

$-3(\boldsymbol{-4})+5> 15+2(\boldsymbol{-4})\Rightarrow 12+5> 15-8\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{17>7}}$

$-3(\boldsymbol{-5})+5> 15+2(\boldsymbol{-5})\Rightarrow 15+5> 15-10\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{20>5}}$

DIFERENCIA ENTRE ECUACIÓN E INECUACIÓN

Una de las principales diferencias entre las ecuaciones y las inecuaciones se debe a que la primera emplea igualdad entre sus miembros, mientras que la segunda utiliza la desigualdad. Esto quiere decir que la solución de una ecuación representa un valor puntual en la recta real, mientras que en las inecuaciones, las soluciones se expresan mediante intervalos, lo que significa que entre los dos extremos del intervalo hay infinitos números que satisfacen la inecuación.

Las operaciones para despejar las variables en las inecuaciones obedecen las mismas reglas que con las ecuaciones, pero adicionalmente, debemos tener especial atención cuando multiplicamos o dividimos ambos miembros por un número negativo, ya que al hacerlo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad.

USOS DE LAS INECUACIONES

Las inecuaciones tienen infinidades de usos, que van desde situaciones cotidianas hasta aplicaciones más avanzadas a nivel universitario como la programación lineal. Casi cualquier situación que implique un valor o intervalo límite dentro de los cuales pueda tomar valor una variable, puede ser formulado a partir de una inecuación. Por ejemplo:

Para expresar el tiempo máximo que disponemos para llegar a un lugar.
Para representar el saldo disponible en nuestro teléfono celular para realizar llamadas.
Para indicar el peso máximo que puede registrar una balanza.
Para expresar el límite máximo de velocidad en una autopista.
Para expresar costos totales máximos o utilidades mínimas en una empresa.

¡A practicar!

Resuelve las siguientes inecuaciones.