Los números desde su invención han servido para contar cosas y por eso existen diferentes sistemas y tipos de números que permiten un mejor conocimiento de las cantidades. Para comprender el sentido numérico, dentro del universo de los números se utilizan diversas clasificaciones. Un tipo de números son los ordinales que sirven para establecer un orden. Por otro lado, existen los cardinales que indican cantidades numéricas de elementos que pertenecen a un grupo o conjunto. Actualmente, el sistema más usado es el sistema numérico decimal pero no es el único que existe. Otras culturas crearon sistemas de numeración distintos al decimal, como por ejemplo, los mayas y los romanos.
El sistema de numeración binario se utiliza principalmente en la informática. Está conformado solo por dos cifras: el 0 y el 1.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
De acuerdo a la cantidad de divisores que poseen los número, los podemos clasificar en primos y compuestos. Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. En cambio, los números compuestos son aquellos que además de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números, es decir, tienen más de dos divisores. Todos los números compuestos pueden expresarse como un producto de factores primos.
Para determinar los factores primos de un número compuesto se emplean los criterios de divisibilidad.
VALOR POSICIONAL
Una de las principales características de nuestro sistema de numeración decimal es que el valor de los dígitos varía de acuerdo a su ubicación dentro del número. Esta característica se denomina valor posicional y aplica tanto en los números enteros como en los fraccionarios. Una herramienta que nos permite observar directamente el valor de cada dígito de acuerdo al lugar que ocupa es la tabla posicional.
Según la posición de cada dígito, los números pueden descomponerse en forma de suma (descomposición aditiva) o de multiplicación (descomposición multiplicativa).
NÚMEROS DECIMALES
Hay números que se ubican entre dos números enteros consecutivos, estos números se denominan números decimales y se caracterizan porque presentan una parte entera y una decimal, que se encuentran separadas por una coma o punto de acuerdo a la convención del país. Los números decimales se clasifican en racionales y en irracionales. Los racionales se pueden representar en forma de fracción, y los irracionales son números infinitos cuya parte decimal no sigue ningún patrón, como sucede en el caso del número pi.
A menudo se pueden aplicar redondeos en las cifras decimales de un número para simplificar los cálculos.
POTENCIAS
La potenciación es una operación compuesta de tres partes fundamentales: el exponente, la base y la potencia. El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar la base por si misma. La base es el número que se multiplica por sí mismo las veces que indique el exponente. La potencia es el resultado de la operación de potenciación. Como toda operación matemática, las potencias cumplen con algunas propiedades. Por ejemplo, todo número elevado a 0 es igual a 1. Para resolver potencias se aplican sus propiedades y se realizan multiplicaciones sucesivas de la base.
Cuando el exponente es 1, la potencia es siempre igual a la base.
RAÍZ DE UN NÚMERO
La radicación es la operación inversa a la potenciación y por ello se encuentran estrechamente relacionadas. Esta operación emplea el símbolo (√) denominado radical. Sus elementos principales son el radicando, el índice y la raíz. El radicando es el número al cual se le va a calcular la raíz y se encuentra en la parte inferior del radical. El índice es el número que índica la cantidad de veces en las que debe multiplicarse un número por sí mismo para que el resultado sea igual al radicando, y se ubica en la parte izquierda del radical. La raíz es el resultado de la operación. Para calcular una raíz se debe buscar un número que multiplicado por sí mismo las veces que indique el índice dé como resultado el mismo valor del radicando.
En las raíces cuadradas, el índice 2 no se coloca en el radical: simplemente se denotan como (√).
No todas las situaciones que se plantean en matemática tienen una solución puntual o exacta. Existen casos donde la respuesta a un planteamiento viene representada por un intervalo de valores que satisfacen la condición. Esto podemos verlo en las inecuaciones: expresiones matemáticas con un intervalo de números como solución.
la INECUACIÓN y sus elementos
Una inecuación es una expresión matemática que contiene al menos una variable y está caracterizada por incluir símbolos de desigualdad entre los miembros, de manera que su resultado es un conjunto de valores que la variable puede tomar para que se cumpla la desigualdad planteada.
Los elementos de las inecuaciones son los siguientes:
Miembros: son las partes de una inecuación que están separadas por el signo de la desigualdad.
Términos: son las expresiones literales o numéricas separadas por los signos más (+) o menos (−).
Variable: es la letra que representa al conjunto de valores que satisfacen la desigualdad.
Símbolo de desigualdad: es el que indica la relación entre los miembros, pueden ser <, >, ≤ o ≥.
Grado de una inecuación
El grado de una inecuación se encuentra indicado por el mayor exponente que tenga la variable. Si el mayor exponente de una inecuación es 3, esta es de tercer grado; si es 2, es de segundo grado; y si no tiene exponente, se entiende que está elevado a la unidad y, por lo tanto, la inecuación es de primer grado.
¿qué son los intervalos?
Los intervalos son los rangos de valores que definen la solución de la inecuación. Estos pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos.
Intervalos abiertos: no incluyen los límites del intervalo. Se denotan con paréntesis, por ejemplo (a, b) y en la gráfica se representan con el símbolo ○.
Intervalos cerrados: incluyen los límites del intervalo. Se representa con corchetes, por ejemplo [a, b] y en la gráfica se representan con el símbolo ●.
Intervalos semiabiertos: incluye uno de los extremos del intervalo. Así que un extremo es abierto y el otro es cerrado, por ejemplo [a, b).
¿Sabías qué?
Los límites de intervalos que incluyen a +∞ o −∞ siempre son abiertos.
– Ejemplo:
Este dibujo muestra todos los números comprendidos entre el 1 y el 7 pero no incluye ni al 1 ni al 7 porque están representados con ○. Cuando los extremos de un intervalo no están incluidos se usan paréntesis y el intervalo se denota como (1,7).
– Otros ejemplos:
(−5,1]
[1,7]
[−5,1)
símbolos de desigualdad
Símbolo
Significado
Ejemplo
Representación en la recta numérica
Notación del intervalo
>
Mayor que
x > 5
(5,+∞)
<
Menor que
x < 5
(−∞,5)
≥
Mayor o igual que
x ≥ 5
[5,+∞)
≤
Menor o igual que
x ≤ 5
(−∞,5]
Las soluciones de las inecuaciones pueden ser intervalos cuyos límites estén completamente definidos y conocidos, por ejemplo, [−2, 19) o bien, por rangos donde alguno o ambos límites incluyen el ∞ (ya sea hacia el valor positivo o negativo). Cuando la solución es (−∞, +∞) en notación de conjunto se dice que pertenece a los reales.
¿CÓMO resolver UNA INECUACIÓN?
El procedimiento es muy similar al que empleamos cuando despejamos ecuaciones. Las reglas son las siguientes:
Todo número que sume en un miembro de la desigualdad, pasa al otro miembro como resta.
Todo número que reste en un miembro de la desigualdad, pasa al otro miembro como suma.
Si en un miembro de la desigualdad hay un número negativo que multiplica a otro, este pasa al otro lado a dividir (con su signo) y el signo de desigualdad se debe invertir.
Si en un miembro de la desigualdad hay un número negativo que divide, pasa al otro lado a multiplicar (con su signo) y el signo de desigualdad se debe invertir.
En la imagen podemos ver cómo se comparan por medio de símbolos de desigualdad dos segmentos de rectas. En este caso, la expresión indica que el segmento que va de A’C tiene una mayor longitud que el segmento AB. No todas las expresiones que contengan desigualdades son inecuaciones, ya que además, se requiere de por lo menos una variable.
– Ejemplo 1:
Como el número 3 está acompañado del signo negativo, pasa al otro lado del símbolo “mayor que” con el signo positivo.
Luego resolvemos la suma.
La solución de esta inecuación incluye a todos lo números mayores a 4, más no al 4.
Solución:(4,+∞)
En una recta numérica lo representamos así:
Si deseamos comprobar la solución, basta con sustituir la variable con valores mayores a 4. Si satisface la desigualdad, el resultado será correcto.
Recuerda que el intervalo es abierto y por lo tanto no debes tomar en cuenta al número 4. Observa:
No satisface la desigualdad porque 1 = 1.
Si sustituimos por valores mayores a 4, como 5, 6 o 7, la desigualdad sí se cumple. Observa:
– Ejemplo 2:
Primero unimos los términos semejantes en cada miembro. Los que están como resta pasan al otro lado de la igualdad a sumar.
Después resolvemos las operaciones.
Como −4 multiplica a la variable, esta pasa al otro miembro de la inecuación a dividir. Mantenemos el signo negativo e invertimos el signo de la desigualdad.
La solución de esta inecuaçión incluye a todos los números menores o iguales a −6/4.
Solución: (−∞,−6/4]
En la recta numérica lo representamos así:
Comprobamos el resultado con números iguales y menores a −6/4.
– Ejemplo 3:
Unimos términos semejantes en cada miembro. Los que están como suma pasan al otro lado de la igualdad a restar.
Resolvemos las operaciones.
Como −5 multiplica a la variable, este número pasa al otro miembro de la inecuación a dividir. Mantenemos el signo negativo e invertimos el signo de la desigualdad.
La solución incluye a todos los números menores a −2.
Solución: (−∞,−2)
En la recta numérica lo representamos así:
Comprobamos el resultado al sustituir la variable con números menores a −2.
DIFERENCIA ENTRE ECUACIÓN E INECUACIÓN
Una de las principales diferencias entre las ecuaciones y las inecuaciones se debe a que la primera emplea igualdad entre sus miembros, mientras que la segunda utiliza la desigualdad. Esto quiere decir que la solución de una ecuación representa un valor puntual en la recta real, mientras que en las inecuaciones, las soluciones se expresan mediante intervalos, lo que significa que entre los dos extremos del intervalo hay infinitos números que satisfacen la inecuación.
Las operaciones para despejar las variables en las inecuaciones obedecen las mismas reglas que con las ecuaciones, pero adicionalmente, debemos tener especial atención cuando multiplicamos o dividimos ambos miembros por un número negativo, ya que al hacerlo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad.
USOS DE LAS INECUACIONES
Las inecuaciones tienen infinidades de usos, que van desde situaciones cotidianas hasta aplicaciones más avanzadas a nivel universitario como la programación lineal. Casi cualquier situación que implique un valor o intervalo límite dentro de los cuales pueda tomar valor una variable, puede ser formulado a partir de una inecuación. Por ejemplo:
Para expresar el tiempo máximo que disponemos para llegar a un lugar.
Para representar el saldo disponible en nuestro teléfono celular para realizar llamadas.
Para indicar el peso máximo que puede registrar una balanza.
Para expresar el límite máximo de velocidad en una autopista.
Para expresar costos totales máximos o utilidades mínimas en una empresa.
¡A practicar!
Resuelve las siguientes inecuaciones.
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Inecuaciones”
En este artículo encontrará información acerca de las inecuaciones, sus elementos y algunos ejemplos.
Podemos clasificar los números según distintos criterios, y uno de esos es la cantidad de divisores que tengan. Si un número tiene solo dos divisores, el uno y él mismo, decimos que ese número es primo; en cambio, si el número tiene más de dos divisores, a ese número lo llamamos compuesto.
CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Números primos
Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. Por ejemplo, el número 13 es un número primo porque solo es divisible por el número 1 y por el número 13.
Además, los números primos no pueden formarse como producto de la multiplicación de otros dos factores que no sean el 1 y el mismo número. Por ejemplo, el número 7 solo puede formarse al multiplicar 7 × 1 = 7.
Divisibilidad
Un número es divisible por otro cuando al efectuar la operación de división entre ellos el resto es cero.
El 12 es divisible por 2 porque el resto de la división en 0.
El 13 no es divisible por 2 porque el resto de la división no es 0.
El número 12 es divisible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Números compuestos
Los números compuestos son aquellos que aparte de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números. Por ejemplo, el número 4 es un número compuesto porque tiene tres divisores: 1, 2 y 4.
A su vez, los números compuestos pueden ser formados como productos de la multiplicación de otros dos factores. Por ejemplo, el número 10 puede ser formado por la multiplicación de 5 x 2 = 10.
¿Sabías qué?
El número 1 no es primo ni compuesto ya que solo puede dividirse por sí mismo.
Los números primos solo son divisibles por el uno y por sí mismos, mientras que los números compuestos, además de ser divisibles por uno y por sí mismos, también pueden ser divididos por otro u otros números. No obstante, hay un número que no cumple con estas características: el uno. El número 1 no es primo ni compuesto.
CRIBA DE ERATÓSTENES
Es un procedimiento para identificar los números primos. La podemos elaborar de la siguiente manera:
Comenzamos desde el número 2, que es el primer número primo, por lo tanto no lo vamos a tachar. Pero sí eliminamos todos los siguientes múltiplos de 2: 4, 6, 8, 10, 12,…
El siguiente primo es el 3, así que debemos tachar todos los múltiplos de este número: 6, 9, 12, 15…
En esta instancia, ya tenemos gran parte de los números eliminados. Podemos observar que el siguiente número que aparece sin tachar es el 5, que sería el siguiente primo. Entonces, tachamos los múltiplos de 5 que aparecen a continuación: 5, 10, 15, 20…
Del mismo modo procedemos con el 7.
El siguiente número que aparece sin eliminar es el 11, pero… ¡Todos sus múltiplos están tachados! Por ello, aquellos números que han quedado sin descartar en esta instancia son los primos.
Observa que los números resaltados son los primos y los tachados son los compuestos.
¿Sabías qué?
El 2 es el único número primo que es par.
¡A practicar!
Marca con una circunferencia los números que sean primos:
Solución
EXPRESIÓN DE NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS
Todos los números compuestos pueden representarse como producto de una multiplicación de 2 o más factores primos. Esto se conoce comúnmente como factorización en números primos, o factorización de números compuestos.
Así como podemos representar cualquier número como una suma (por ejemplo: 5 = 2 + 3) o como una resta (por ejemplo 5 = 7 − 2), también podemos descomponer un número compuesto por medio de una multiplicación de sus números primos.
Recuerda que:
Factor: es el número que multiplica.
Producto: es el resultado de una multiplicación.
Pasos para factorizar en números primos
Escribe el número compuesto que se quiere expresar en factores primos y a su derecha traza una semirrecta vertical.
Pon a la derecha de la semirrecta el número primo más pequeño que sea divisor, es decir, que pueda dividir de forma exacta el número compuesto elegido.
Escribe el cociente de la división anterior debajo del número compuesto elegido y a su derecha, del otro lado de la semirrecta, escribe el número primo más pequeño que sea divisor de este último.
Repite el procedimiento la cantidad de veces que sean necesarias hasta obtener el número 1 como cociente.
– Ejemplo:
Expresa el número 36 como producto de sus factores primos.
El número compuesto 36 se expresa como producto de factores primos así: 2 x 2 x 3 x 3.
Observa que también podemos expresar los factores primos como una potencia, de este modo, 2 × 2 = 22 y 3 × 3 = 32.
¡A practicar!
Expresa los siguientes números como productos de factores primos:
12
40
64
Solución
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten reconocer si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división. Es decir, por medio de la observación de las características de un número podemos darnos cuenta si se puede dividir o no por otro número determinado.
Todo número tiene sus múltiplos, de la misma manera, también tiene sus divisores; estos son números que lo dividen de forma exacta, es decir, que al hacer la operación el cociente es un número exacto y el resto es cero. Por ejemplo, 2 es divisor de 8 y 3 es divisor de 6 porque al calcular 2 : 8 = 4 y 6 : 3 = 2, el resto es cero en ambos casos.
Cada número tiene un criterio de divisibilidad distinto. En la siguiente tabla están desde el 2 hasta el 10:
Número
Criterio
Ejemplos
2
Un número es divisible por 2 si es un número par.
6
8
125.972
Son números pares.
3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras da como resultado un número múltiplo de 3.
93 porque 9 + 3 = 12 y 12 es múltiplo de 3.
123 porque 1 + 2 + 3 = 6 y 6 es múltiplo de 3.
4
Un número es divisible por 4 si las 2 últimas cifras del número forman un múltiplo de 4 o si son dos ceros.
140 porque 40 es múltiplo de 4.
33.624 porque 24 es múltiplo de 4.
700 porque termina con dos ceros.
5
Un número es divisible por 5 si su última cifra es un 0 o un 5.
495 porque termina en 5.
874.280 porque termina en 0.
6
Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 a la vez.
12 porque es divisible por 2 y por 3 a la vez.
150 porque es divisible por 2 y por 3 a la vez.
7
Un número es divisible por 7 si al restar el doble de la unidad a el resto de la cantidad sin la última cifra el resultado es 0 o un múltiplo de 7.
91 porque 9 −2 = 7 y 7 es múltiplo de 7.
105 porque 10 − 10 = 0.
182 porque 18 − 4 = 14 y 14 es múltiplo de 7.
8
Un número es divisible por 8 si sus 3 últimas cifras forman un múltiplo de 8 o son tres ceros.
25.200 porque 200 es múltiplo de 8.
9.000 porque sus últimas 3 cifras son tres ceros.
9
Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras da como resultado un número múltiplo de 9.
99 porque 9 + 9 = 18 y 18 es múltiplo de 9.
207 porque 2 + 0 + 7 = 9 y 9 es múltiplo de 9.
10
Un número es divisible por 10 si su última cifra es un 0.
1.235.250 porque termina en 0.
2.000 porque termina en 0.
¡A practicar!
1. Expresa los siguientes números como productos de factores primos:
98
60
18
36
Solución
2. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
161 es divisible por 7.
Solución
Verdadero.
222 es divisible por 3.
Solución
Verdadero.
523 es divisible por 5.
Solución
Falso.
234 es divisible por 9.
Solución
Verdadero.
10.001 es divisible por 10.
Solución
Falso.
32 es divisible por 6.
Solución
Falso.
500 es divisible por 4.
Solución
Verdadero.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo destacado “Números primos y compuestos”
El siguiente artículo te permitirá ampliar la noción de números primos y compuestos.
