CAPÍTULO 2 / TEMA 4

INECUACIÓN

No todas las situaciones que se plantean en matemática tienen una solución puntual o exacta. Existen casos donde la respuesta a un planteamiento viene representada por un intervalo de valores que satisfacen la condición. Esto podemos verlo en las inecuaciones: expresiones matemáticas con un intervalo de números como solución.

la INECUACIÓN y sus elementos

Una inecuación es una expresión matemática que contiene al menos una variable y está caracterizada por incluir símbolos de desigualdad entre los miembros, de manera que su resultado es un conjunto de valores que la variable puede tomar para que se cumpla la desigualdad planteada.

Los elementos de las inecuaciones son los siguientes:

Miembros: son las partes de una inecuación que están separadas por el signo de la desigualdad.
Términos: son las expresiones literales o numéricas separadas por los signos más (+) o menos (−).
Variable: es la letra que representa al conjunto de valores que satisfacen la desigualdad.
Símbolo de desigualdad: es el que indica la relación entre los miembros, pueden ser <, >, ≤ o ≥.

Grado de una inecuación

El grado de una inecuación se encuentra indicado por el mayor exponente que tenga la variable. Si el mayor exponente de una inecuación es 3, esta es de tercer grado; si es 2, es de segundo grado; y si no tiene exponente, se entiende que está elevado a la unidad y, por lo tanto, la inecuación es de primer grado.

¿qué son los intervalos?

Los intervalos son los rangos de valores que definen la solución de la inecuación. Estos pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos.

Intervalos abiertos: no incluyen los límites del intervalo. Se denotan con paréntesis, por ejemplo (a, b) y en la gráfica se representan con el símbolo ○.
Intervalos cerrados: incluyen los límites del intervalo. Se representa con corchetes, por ejemplo [a, b] y en la gráfica se representan con el símbolo ●.
Intervalos semiabiertos: incluye uno de los extremos del intervalo. Así que un extremo es abierto y el otro es cerrado, por ejemplo [a, b).

¿Sabías qué?

Los límites de intervalos que incluyen a +∞ o −∞ siempre son abiertos.

– Ejemplo:

Este dibujo muestra todos los números comprendidos entre el 1 y el 7 pero no incluye ni al 1 ni al 7 porque están representados con ○. Cuando los extremos de un intervalo no están incluidos se usan paréntesis y el intervalo se denota como (1,7).

– Otros ejemplos:

(−5,1]

[1,7]

[−5,1)

símbolos de desigualdad

Símbolo	Significado	Ejemplo	Representación en la recta numérica	Notación del intervalo
>	Mayor que	x > 5		(5,+∞)
<	Menor que	x < 5		(−∞,5)
≥	Mayor o igual que	x ≥ 5		[5,+∞)
≤	Menor o igual que	x ≤ 5		(−∞,5]

Las soluciones de las inecuaciones pueden ser intervalos cuyos límites estén completamente definidos y conocidos, por ejemplo, [−2, 19) o bien, por rangos donde alguno o ambos límites incluyen el ∞ (ya sea hacia el valor positivo o negativo). Cuando la solución es (−∞, +∞) en notación de conjunto se dice que pertenece a los reales.

¿CÓMO resolver UNA INECUACIÓN?

El procedimiento es muy similar al que empleamos cuando despejamos ecuaciones. Las reglas son las siguientes:

Todo número que sume en un miembro de la desigualdad, pasa al otro miembro como resta.
Todo número que reste en un miembro de la desigualdad, pasa al otro miembro como suma.
Si en un miembro de la desigualdad hay un número negativo que multiplica a otro, este pasa al otro lado a dividir (con su signo) y el signo de desigualdad se debe invertir.
Si en un miembro de la desigualdad hay un número negativo que divide, pasa al otro lado a multiplicar (con su signo) y el signo de desigualdad se debe invertir.

En la imagen podemos ver cómo se comparan por medio de símbolos de desigualdad dos segmentos de rectas. En este caso, la expresión indica que el segmento que va de A’C tiene una mayor longitud que el segmento AB. No todas las expresiones que contengan desigualdades son inecuaciones, ya que además, se requiere de por lo menos una variable.

– Ejemplo 1:

$x-3> 1$

Como el número 3 está acompañado del signo negativo, pasa al otro lado del símbolo “mayor que” con el signo positivo.

$x> 1+3$

Luego resolvemos la suma.

$x> 4$

La solución de esta inecuación incluye a todos lo números mayores a 4, más no al 4.

Solución: (4,+∞)

En una recta numérica lo representamos así:

Si deseamos comprobar la solución, basta con sustituir la variable con valores mayores a 4. Si satisface la desigualdad, el resultado será correcto.

Recuerda que el intervalo es abierto y por lo tanto no debes tomar en cuenta al número 4. Observa:

$x-3> 1$

$\boldsymbol{4}-3> {\color{Red} \boldsymbol{1> 1}}$ No satisface la desigualdad porque 1 = 1.

Si sustituimos por valores mayores a 4, como 5, 6 o 7, la desigualdad sí se cumple. Observa:

$\boldsymbol{5}-3> 1\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{2> 1}}$

$\boldsymbol{6}-3> 1\Rightarrow \boldsymbol{{\color{Blue} 3> 1}}$

$\boldsymbol{7}-3> 1\Rightarrow \boldsymbol{{\color{Blue} 4> 1}}$

– Ejemplo 2:

$-4x-8\geq -2$

Primero unimos los términos semejantes en cada miembro. Los que están como resta pasan al otro lado de la igualdad a sumar.

$-4x\geq -2+8$

Después resolvemos las operaciones.

$-4x\geq 6$

Como −4 multiplica a la variable, esta pasa al otro miembro de la inecuación a dividir. Mantenemos el signo negativo e invertimos el signo de la desigualdad.

$x\leq -\frac{6}{4}$

La solución de esta inecuaçión incluye a todos los números menores o iguales a −6/4.

Solución: (−∞,−6/4]

En la recta numérica lo representamos así:

Comprobamos el resultado con números iguales y menores a −6/4.

$-4\left ( \boldsymbol{-\frac{6}{4}} \right )-8\geq -2\Rightarrow 6-8\geq -2\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{-2\geq -2}}$

$-4\left ( \boldsymbol{-\frac{7}{4}} \right )-8\geq -2\Rightarrow 7-8\geq -2\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{-1\geq -2}}$

$-4\left ( \boldsymbol{-\frac{8}{4}} \right )-8\geq -2\Rightarrow 8-8\geq -2\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{0\geq -2}}$

– Ejemplo 3:

$-3x+5> 15+2x$

Unimos términos semejantes en cada miembro. Los que están como suma pasan al otro lado de la igualdad a restar.

$-3x-2x> 15-5$

Resolvemos las operaciones.

$-5x> 10$

Como −5 multiplica a la variable, este número pasa al otro miembro de la inecuación a dividir. Mantenemos el signo negativo e invertimos el signo de la desigualdad.

$x< -\frac{10}{5}$

$x< -2$

La solución incluye a todos los números menores a −2.

Solución: (−∞,−2)

En la recta numérica lo representamos así:

Comprobamos el resultado al sustituir la variable con números menores a −2.

$-3(\boldsymbol{-3})+5> 15+2(\boldsymbol{-3})\Rightarrow 9+5> 15-6\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{14> 9}}$

$-3(\boldsymbol{-4})+5> 15+2(\boldsymbol{-4})\Rightarrow 12+5> 15-8\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{17>7}}$

$-3(\boldsymbol{-5})+5> 15+2(\boldsymbol{-5})\Rightarrow 15+5> 15-10\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{20>5}}$

DIFERENCIA ENTRE ECUACIÓN E INECUACIÓN

Una de las principales diferencias entre las ecuaciones y las inecuaciones se debe a que la primera emplea igualdad entre sus miembros, mientras que la segunda utiliza la desigualdad. Esto quiere decir que la solución de una ecuación representa un valor puntual en la recta real, mientras que en las inecuaciones, las soluciones se expresan mediante intervalos, lo que significa que entre los dos extremos del intervalo hay infinitos números que satisfacen la inecuación.

Las operaciones para despejar las variables en las inecuaciones obedecen las mismas reglas que con las ecuaciones, pero adicionalmente, debemos tener especial atención cuando multiplicamos o dividimos ambos miembros por un número negativo, ya que al hacerlo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad.

USOS DE LAS INECUACIONES

Las inecuaciones tienen infinidades de usos, que van desde situaciones cotidianas hasta aplicaciones más avanzadas a nivel universitario como la programación lineal. Casi cualquier situación que implique un valor o intervalo límite dentro de los cuales pueda tomar valor una variable, puede ser formulado a partir de una inecuación. Por ejemplo:

Para expresar el tiempo máximo que disponemos para llegar a un lugar.
Para representar el saldo disponible en nuestro teléfono celular para realizar llamadas.
Para indicar el peso máximo que puede registrar una balanza.
Para expresar el límite máximo de velocidad en una autopista.
Para expresar costos totales máximos o utilidades mínimas en una empresa.

¡A practicar!

Resuelve las siguientes inecuaciones.

$2x-5\leq 5x$

Solución

$2x-5\leq 5x$

$2x-5x\leq 5$

$-3x\leq 5$

$x\geq -\frac{5}{3}$

$5x< 3x-5$

Solución

$5x< 3x-5$

$5x-3x< -5$

$2x< -5$

$x< -\frac{5}{2}$

$4x+6> 2x-8$

Solución

$4x+6> 2x-8$

$4x-2x> -8-6$

$2x> -14$

$x> -\frac{14}{2}$

$x> -7$

$13x-3x+2-5x\geq -10+2x+6$

Solución

$13x-3x+2-5x\geq -10+2x+6$

$13x-3x-5x-2x\geq -10+6-2$

$3x\geq -6$

$x\geq -\frac{6}{3}$

$x\geq -2$

$5x+6-3x> 34+8x-10$

Solución

$5x+6-3x> 34+8x-10$

$5x-3x-8x> 34-10-6$

$-6x> 18$

$x< -\frac{18}{6}$

$x< -3$

$2\left ( x-3 \right )\leq 4x+2$

Solución

$2\left ( x-3 \right )\leq 4x+2$

$2x-6\leq 4x+2$

$2x-4x\leq 2+6$

$-2x\leq 8$

$x\geq -\frac{8}{2}$

$x\geq -4$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Inecuaciones”

En este artículo encontrará información acerca de las inecuaciones, sus elementos y algunos ejemplos.

VER

Artículo “Inecuaciones con valor absoluto”

Con este recurso podrá ampliar la información sobre las inecuaciones y aplicarla para resolver estos cálculos con valor absoluto.

VER

Artículo “Inecuación de primer grado”

El artículo describe cómo resolver problemas que involucren inecuaciones con variables elevadas a la unidad, es decir, de primer grado.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 5 (REVISIÓN)

números | ¿qué aprendimos?

Lectura y representación de números

Cada número está formado por diferentes cifras y cada una de estas cifras tiene un valor según la posición que ocupan dentro del número. Por ejemplo, el 300 se lee “trescientos” porque el 3 se ubica en el lugar de las centenas, pero el 30 se lee “treinta” porque el 3 está en el lugar de las decenas. Además de los números naturales que usamos para contar, también existen otros que representan orden, como los ordinales; y otros que podemos ver en relojes antiguos, como los números romanos.

Con los diez dígitos de nuestro sistema de numeración podemos crear cualquier número.

Valor posicional

El valor posicional es el valor que tiene una cifra dentro de un número, por ejemplo, el número 555, a pesar de tener tres cifras iguales, cada una tiene un valor distinto: 500, 50 y 5. Estos valores los podemos representar en una tabla posicional en la que están los órdenes (unidades, decenas, centenas) y las clases (miles, millones, etc.). Por otro lado, la descomposición aditiva nos ayuda a expresar un número como la suma de sus valores posicionales.

El ábaco es un instrumento que sirve para realizar diferentes operaciones matemáticas. Una esfera de color puede representar una unidad, una decena o una centena.

Recta numérica

La recta numérica, como su nombre lo indica, es una recta que contiene infinitos números. Para graficarla basta con hacer una línea recta, dibujar flechas a los lados, ubicar el cero (0) y hacer separaciones de igual distancia en las que colocaremos los puntos que simbolizan los números. Es importante recordar que cada número tiene un orden y pueden ser mayores o menores que otros. Para esto usamos símbolos de relación como mayor que (>), menor que (<) o igual a (=).

series

Las series numéricas son conjuntos de números organizados bajo una misma regla o patrón, pueden ser ascendentes y descendentes. Una serie es ascendente cuando los números están ordenados de menor a mayor y el patrón es una suma sucesiva; mientras que una serie numérica descendente es aquella en la que los números están ordenados de mayor a menor y el patrón es una resta sucesiva. A estos patrones los podemos identificar si restamos dos números contiguos de la serie. También vemos patrones en las tablas de 100 números.

Contar es una de las primeras tareas que aprendemos a hacer. Gracias al conteo con nuestros dedos podemos realizar operaciones básicas como la suma y resta de números pequeños.

CAPÍTULO 1 / TEMA 3

RECTA NUMÉRICA

Todos los números se pueden representar en una recta numérica. Esta nos permite comparar números y saber si uno es mayor o menor que otro; como también redondear las decenas o centenas más cercana. Es probable que la hayas visto en las reglas de tu escuela, hoy sabrás cómo graficarlas y usarlas.

La regla graduada es un instrumento que usamos para medir distancias y para trazar líneas rectas. Es graduada porque tiene marcas que simbolizan la distancia entre un punto y otro. Estas marcas hacen que la regla sea lo más parecido a una recta numérica.

¿qUÉ ES LA RECTA NUMÉRICA?

Es una línea recta que tiene una sola dimensión y está compuesta por una sucesión de puntos que se prolongan en una misma dirección hasta el infinito, es decir, que no tiene fin. Si empezamos a contar los números de uno en uno, no terminaríamos nunca porque los números son infinitos.

¿Sabías qué?

El símbolo del infinito es ∞.

¿Cómo graficar una recta numérica?

En un recta numérica podemos graficar los números como puntos que están separados por una misma distancia unos de otros. Los pasos son los siguientes:

1. Dibuja una línea recta con flechas en ambos extremos. Las flechas se colocan para representar que hay números sin fin tanto a la derecha como a la izquierda.

2. Ubica el cero. Ese será el inicio de la recta numérica.

3. Divide la recta en segmentos de la misma distancia y agrega los números.

4. Si deseas representar números grandes, también puedes hacerlo en la recta numérica. Por ejemplo:

De 10 en 10:

De 100 en 100:

De 1.000 en 1.000:

Recuerda que entre número y número hay divisiones más pequeñas que representan las cantidad intermedias. Por ejemplo, entre 1.000 y 2.000 podemos dibujar la recta así:

Aunque originalmente solo se colocaban los números naturales sobre la recta numérica, es decir, los números que usamos para contar: 1, 2, 3, 4, 5, … Hoy en día podemos representar cualquier tipo de número en ella. Así, podemos encontrar números decimales, como 6,5; números fraccionarios, como 1/2; o números negativos como −9.

representación de números en la recta numérica

En una recta numérica podemos ubicar cualquier número. Por ejemplo, si queremos representar el 7.500 tenemos que pensar que se encuentra entre el 7.000 y el 8.000, justo en el medio de ambos. Veamos cómo queda:

– Otro ejemplo:

También podemos representar los valores entre decenas de números grandes. Por ejemplo, para ubicar el número 2.130 tenemos que pensar que está entre el 2.100 y el 2.200. La recta quedaría así:

– Otro ejemplo:

Creación de la recta numérica

La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea recta, fue creada por John Wallis, un matemático Inglés que alrededor de 1670 la empleó para mostrar de modo gráfico los números naturales. A medida que nos movemos hacia la derecha sobre la recta vamos a encontrar números más grandes.

redondeo

Redondear un número significa llevarlo al número natural más cercano terminado en cero, es decir, consiste en encontrar la decena o centena más cercana al número. Por ejemplo, el redondeo del número 2.320 a la centena más cercana es 2.300, porque 2.320 está más cerca de 2.300 que de 2.400.

– Otro ejemplo:

El punto color rojo está ubicado en 4.870, entre el 4.800 y el 4.900, pero ¿a qué centena más cercana está? Como ves, en la recta, el punto rojo está más cerca de 4.900, por lo tanto, el redondeo a la centena de 4.870 es 4.900.

orden numérico

Hay números naturales mayores o menores que otros, a esta relación la llamamos orden. Para representar que un número es mayor, menor o igual a otro usamos los siguientes símbolos:

Símbolo	Significado
>	Mayor que
<	Menor que
=	Igual a

En una recta numérica, los números mayores están más a la derecha y los menores están más a la izquierda.

– Ejemplo:

9.000 es mayor que 1.000 porque está más a la derecha en la recta numérica. Lo representamos así:

9.000 > 1.000

4.840 es menor que 4.890 está más a la izquierda en la recta numérica. Lo representamos así:

4.840 < 4.890

– Otros ejemplos:

2.551 > 2.550

7.013 < 7.020

1.500 > 1.000

¿Sabías qué?

La boca más ancha de los símbolos < y > siempre mira al número más grande; y la parte más fina al número más pequeño.

¡A practicar!

Representa en la recta numérica los siguientes números:

2.160
Solución
9.540
Solución
5.365
Solución
7.615
Solución

2. Observa la recta numérica y luego responde las preguntas:

¿Qué número está representado en el punto de color azul?
Solución
3.300
¿Qué número está representado en el punto de color rosa?
Solución
4.100
¿Qué número está representado en el punto de color lila?
Solución
6.400
¿Qué número está representado en el punto de color negro?
Solución
3.600
¿Qué número está representado en el punto de color verde?
Solución
5.500
¿Qué número está representado en el punto de color naranja?
Solución
6.900
¿Qué número está representado en el punto de color rojo?
Solución
4.100
¿Qué número está representado en el punto de color celeste?
Solución
5.800

3. Redondea las siguientes cantidades a la centena más cercana por medio de la recta numérica.

a. 2.530

Solución

El redondeo a la centena más cercana es 2.500.

b. 5.590

Solución

El redondeo a la centena más cercana es 5.600.

c. 9.970

Solución

El redondeo a la centena más cercana es 10.000.

4. Completa con >, < o = según corresponda.

3.550 _____ 3.549
Solución
3.550 > 3.549
6.701 _____ 6.711
Solución
6.701 < 6.711
1.566 _____ 1.566
Solución
1.566 = 1.566
8.987 _____ 8.985
Solución
8.987 > 8.985
9.620 _____ 9.625
Solución
9.620 < 9.625
4.213 _____ 4.213
Solución
4.213 = 4.213

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Recta numérica”

Este recurso te permitirá complementar la información sobre la representación en la recta numérica.

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Artículo “Redondeo de números naturales”

El siguiente recurso te permitirá enriquecer el redondeo de números en la recta numérica.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 7

RELACIONES

LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS QUE USAMOS PARA CONTAR, POR EJEMPLO, LA CANTIDAD DE JUGUETES QUE TENEMOS O LAS HORAS QUE FALTAN PARA SALIR A JUGAR. TODOS ELLOS TIENEN UNA RELACIÓN CON LOS DEMÁS NÚMEROS. PARA ESCRIBIR ESTAS RELACIONES USAMOS ALGUNOS SÍMBOLOS ESPECIALES QUE APRENDERÁS HOY.

RELACIONES ENTRE NÚMEROS

TODOS LOS NÚMEROS NATURALES TIENEN UNA RELACIÓN. EN LA IMAGEN VEMOS UN ORDEN DE 1 EN 1 PORQUE CADA NÚMERO A LA DERECHA TIENE UNA UNIDAD MÁS QUE EL ANTERIOR. SI QUEREMOS SABER QUÉ NÚMERO ES MAYOR O MENOR QUE OTRO PODEMOS UTILIZAR UNA RECTA NUMÉRICA. MIENTRAS MÁS A LA DERECHA DE LA RECTA ESTÉ EL NÚMERO, MAYOR SERÁ SU VALOR.

HAY NÚMEROS QUE REPRESENTAN MÁS CANTIDAD QUE OTROS Y POR LO TANTO, TAMBIÉN HAY NÚMEROS QUE REPRESENTAN MENOS CANTIDAD QUE OTROS. ESTA RELACIÓN SE LLAMA ORDEN Y LA USAMOS CADA VEZ QUE CONTAMOS O COMPARAMOS CIFRAS.

ENTRE DOS NÚMEROS, UNO PUEDE SER MAYOR QUE OTRO, IGUAL A OTRO O MENOR QUE OTRO. CADA RELACIÓN TIENE UN SÍMBOLO ÚNICO PARA QUE PUEDAS DIFERENCIARLO.

MAYOR QUE

CUANDO ESCRIBIMOS NÚMEROS PODEMOS VER QUE UNOS REPRESENTAN MÁS CANTIDADES QUE OTROS. POR EJEMPLO:

¿CUÁNTOS CANGREJOS HAY EN LA CAJA ROJA?

HAY 24 CANGREJOS.

¿CUÁNTO CANGREJOS HAY EN LA CAJA AZUL?

HAY 12 CANGREJOS.

¿CUÁL CAJA TIENE MAYOR CANTIDAD DE CANGREJOS?

LA CAJA ROJA TIENE MAYOR CANTIDAD DE CANGREJOS PORQUE 24 ES MAYOR QUE 12.

ESTA RELACIÓN ENTRE DOS NÚMEROS LA PODEMOS ESCRIBIR CON EL SÍMBOLO > QUE SIGNIFICA “MAYOR QUE”.

24 > 12

SI UBICAMOS CADA NÚMERO EN LA RECTA NUMÉRICA TENEMOS QUE:

EL NÚMERO 24 ES MAYOR QUE 12 PORQUE SE ENCUENTRA MÁS A LA DERECHA EN LA RECTA NUMÉRICA.

OTRO EJEMPLO:

OBSERVA ESTOS NÚMEROS, ¿CUÁL ES MAYOR?

365 357

PARA RESPONDER LA PREGUNTA DEBEMOS REPRESENTAR EN LA RECTA NUMÉRICA CADA NÚMERO Y COMPARARLOS:

COMO EL 365 ESTÁ MÁS A LA DERECHA EN LA RECTA, 365 ES MAYOR QUE 357. ENTONCES:

365 > 357

¡A ORDENAR NÚMEROS!

ORDENA DE MAYOR A MENOR ESTOS NÚMEROS. USA EL SÍMBOLO “MAYOR QUE” PARA REPRESENTAR LA RELACIÓN ENTRE CADA UNO DE ELLOS.

125 – 89 – 856 – 632

SOLUCIÓN

856 > 632 > 125 > 89

IGUAL QUE

ES POSIBLE QUE DOS CANTIDADES SEAN IGUALES. POR EJEMPLO:

CADA CAJA TIENE CARACOLAS MARINAS, ¿CUÁNTAS HAY EN LA CAJA ROJA?, ¿CUÁNTAS HAY EN LA CAJA AZUL?

EN LAS DOS CAJAS HAY LO MISMO: 15 CARACOLAS MARINAS.

CUANDO DOS NÚMEROS SON IGUALES USAMOS EL SÍMBOLO = QUE SIGNIFICA “IGUAL A “.

15 = 15

EL SÍMBOLO DE IGUALDAD TAMBIÉN SIRVE PARA DEMOSTRAR QUE UN NÚMERO ES IGUAL A LA SUMA DE OTROS. EJEMPLO:

15 = 10 + 5

15 = 5 + 5 + 5

15 = 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3

SI BUSCAMOS REPRESENTAR LA IGUALDAD EN UNA RECTA NUMÉRICA, LOS DOS NÚMEROS SERÁN REPRESENTADOS EN EL MISMO LUGAR.

¡COMPAREMOS NÚMEROS!

INDICA SI ESTAS IGUALDADES SON CORRECTAS:

543 = 500 + 40 + 3

SOLUCIÓN

CORRECTO.

123 = 10 + 2 + 3

SOLUCIÓN

INCORRECTO. LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE 123 = 100 + 20 + 3.

LA IGUALDAD

SIEMPRE QUE DOS EXPRESIONES SEAN IGUALES DECIMOS QUE HAY UNA IGUALDAD MATEMÁTICA. EL SIGNO USADO ES =. ESTE SIGNO FUE CREADO POR ROBERT RECORDE EN 1557. ÉL USÓ DOS RECTAS PARALELAS PARA REPRESENTARLO.

MENOR QUE

ALGUNOS NÚMEROS REPRESENTAN MENOS CANTIDADES QUE OTROS. POR EJEMPLO:

¿CUÁNTOS PECES HAY EN LA CAJA ROJA?

HAY 18 PECES.

¿CUÁNTOS PECES HAY EN LA CAJA AZUL?

HAY 21 PECES.

¿CUÁL CAJA TIENE MENOR CANTIDAD DE PECES?

LA CAJA ROJA TIENE MENOR CANTIDAD DE PECES PORQUE 18 ES MENOR QUE 21.

ESTA RELACIÓN ENTRE DOS NÚMEROS LA PODEMOS ESCRIBIR CON EL SÍMBOLO < QUE SIGNIFICA “MENOR QUE”.

18 < 21

SI UBICAMOS CADA NÚMERO EN LA RECTA NUMÉRICA TENEMOS QUE:

EL NÚMERO 18 ES MENOR QUE 21 PORQUE SE ENCUENTRA MÁS A LA IZQUIERDA EN LA RECTA NUMÉRICA.

OTRO EJEMPLO:

OBSERVA ESTOS NÚMEROS, ¿CUÁL ES MENOR?

433 448

PARA RESPONDER LA PREGUNTA DEBEMOS REPRESENTAR EN LA RECTA NUMÉRICA CADA NÚMERO Y COMPARARLOS:

COMO EL 433 ESTÁ MÁS A LA IZQUIERDA EN LA RECTA, 433 ES MENOR QUE 448. ENTONCES:

433 < 448

¿SABÍAS QUÉ?

LA ABERTURA DE LOS SÍMBOLOS < Y > SIEMPRE IRÁ HACIA EL NÚMERO MAYOR, Y LA PUNTA IRÁ HACIA EL NÚMERO MENOR.

¡A ORDENAR NÚMEROS!

ORDENA DE MENOR A MAYOR ESTOS NÚMEROS. USA EL SÍMBOLO “MENOR QUE” PARA REPRESENTAR LA RELACIÓN ENTRE CADA UNO DE ELLOS.

489 – 511 – 263 – 384

SOLUCIÓN

263 < 384 < 489 < 511

LOS SÍMBOLOS DE RELACIÓN SIRVEN PARA QUE COMPAREMOS CANTIDADES. ES POSIBLE QUE NO NOS DEMOS CUENTA, PERO SIEMPRE LOS USAMOS. POR EJEMPLO, MIENTRAS MÁS AÑOS TENEMOS, MÁS ALTOS SOMOS. SI MARCAMOS EN LA PARED NUESTRA ESTATURA VEREMOS QUE CADA AÑO LA MEDIDA ES MAYOR QUE LA ANTERIOR, O VISTO DE OTRO MODO, QUE LA ESTATURA ANTERIOR ES MENOR QUE LA ACTUAL.

¡A PRACTICAR!

1. COLOCA EL SÍMBOLO DE RELACIÓN QUE CORRESPONDA:

64 ___ 89

SOLUCIÓN

64 < 89

159 ___ 685

SOLUCIÓN

159 < 685

745 ___ 700 + 40 + 5

SOLUCIÓN

745 = 700 + 40 + 5

4 + 40 ___ 20 + 7

SOLUCIÓN

4 + 40 = 44 > 27 = 20 + 7

999 ___ 654

SOLUCIÓN

999 > 654

80 + 4 ___ 84

SOLUCIÓN

80 + 4 = 84

2. ESCRIBE SI LA RELACIÓN ES VERDADERA O FALSA.

5 = 8

SOLUCIÓN

FALSO. 5 < 8

85 < 85

SOLUCIÓN

FALSO. 85 = 85

196 < 852

SOLUCIÓN

VERDADERO.

458 > 655

SOLUCIÓN

FALSO. 458 < 655

351 < 536

SOLUCIÓN

VERDADERO.

758 = 663

SOLUCIÓN

FALSO. 758 > 663

3. ORDENA DE MENOR A MAYOR:

78 – 96 – 499 – 164 – 8 – 968 – 781 – 63 – 19 – 82

SOLUCIÓN

8 < 19 < 63 < 78 < 82 < 96 < 164 < 499 < 781 < 968

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Comparar y ordenar números”

En el siguiente artículo hay más ejercicios para la práctica de la relación de números: mayor que y menor que.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 1

RECTA NUMÉRICA

Todos los números representan una determinada cantidad. Por ejemplo, con $ 100 no compramos lo mismo que podemos comprar con $ 1.000, porque esas cantidades de dinero son distintas. Por ese motivo es de gran importancia saber cómo comparar cifras, y una herramienta muy útil para hacerlo es la recta numérica: una línea recta que tiene puntos con valores específicos.

¿Qué es la recta numérica?

La recta numérica es una herramienta en la que podemos representar de manera gráfica distintos números. Consiste en una línea recta marcada a intervalos regulares, a los cuales se le asigna un número. Estos intervalos no son más que las separaciones entre un número y otro.

Las rectas numéricas pueden incluir cualquier número que pertenezca al conjunto de los números reales ( $\mathbb{R}$ ). En este ejemplo, la recta numérica abarca los números enteros ( $\mathbb{Z}$ ) desde el −7 hasta el +7, incluido el cero (0).

¿Sabías qué?

El primero en utilizar una recta numérica fue el matemático inglés John Wallis. Él la utilizó para representar gráficamente los números naturales ( $\mathbb{N}$ ).

Una regla graduada es muy parecida a una recta numérica. Este instrumento de medición tiene divisiones con valores asignados en centímetros o pulgadas. Gracias a ella sabemos la longitud de objetos pequeños, como la de un lápiz o un borrador. Además nos ayuda a dibujar líneas rectas.

¿Cómo construir una RECTA NUMÉRICA?

Para construir una recta numérica lo primero que debemos hacer es trazar una línea recta con flechas en sus extremos.

Luego colocamos los intervalos y marcamos sus extremos con un punto o con una pequeña línea vertical. Es importante que todos los intervalos sean del mismo tamaño para conservar la escala.

Una vez trazada la línea recta y los intervalos, colocamos los números sobre cada una de las pequeñas líneas verticales. Los números irán de menor a mayor, de izquierda a derecha.

Intervalos en la recta numérica

Los intervalos utilizados para construir una recta numérica deben ser siempre iguales entre un número y su consecutivo, pero pueden variar en cuanto a su valor.

Por ejemplo, podemos construir una recta numérica en la que cada intervalo entre un número y su consecutivo corresponda a un entero, es decir, de 1 en 1:

Pero también podemos construir rectas numéricas en las que cada intervalo corresponda a dos enteros, es decir, de 2 en 2:

¿Qué números se pueden incluir en una recta numérica?

Si bien, en un principio solo se ubicaban números naturales en la recta numérica (desde el cero hasta el infinito positivo), hoy día todos los números reales $\mathbb{R}$ pueden representarse en ella. Estos incluyen a los números naturales ( $\mathbb{N}$ ), los números enteros ( $\mathbb{Z}$ ), los números racionales ( $\mathbb{Q}$ ) y los números irracionales ( $\mathbb{I}$ ).

Representación de decimales y fracciones en la recta numérica

Los números decimales son aquellos formados por una parte entera y una parte menor a la unidad, y también pueden ser mostrados como fracciones. En la recta numérica podemos representar este tipo de números si subdividimos los enteros ya ubicados. Por ejemplo, entre 1 y 2 hay pequeños intervalos más pequeños que señalan a los decimales desde el 0,1 hasta el 0,9. También podemos mostrarlos en escalas de 2 en 2 décimas. Observa esta recta:

Dado que para cada fracción hay un número decimal equivalente, podemos representar ambas cantidades en una recta numérica. Por ejemplo, las fracción 1/5 = 0,2 y 8/5 = 1,6.

¡A practicar!

Realiza una recta numérica y luego marca en la misma los siguientes números:

Solución

SÍMBOLOS DE RELACIÓN

Los números de la recta numérica tienen relaciones entre sí. Los distintos tipos de relaciones que existen son los siguientes.

TIPO DE RELACIÓN	SIGNIFICADO	SÍMBOLO
“Mayor que”	Se utiliza para indicar que un número es mayor que otro.	>
“Igual a”	Se utiliza para indicar que un número es igual a otro.	=
“Menor que”	Se utiliza para indicar que un número es menor que otro.	<

Veamos algunos ejemplos:

Para indicar que el 3 es mayor que el 2, escribimos: 3 > 2
Para indicar que el 4 es igual que el 4, escribimos: 4 = 4
Para indicar que el 5 es menor que el 8, escribimos: 5 < 8

Todos los números tienen algún otro número mayor que él y otro menor. Todos los números guardan una relación con los demás. Para compararlos podemos utilizar los símbolos de relación, los cuales muestran cuando entre dos cantidades la primera es mayor que la segunda (>), menor que la segunda (<) o igual a la segunda (=).

Relaciones entre los números de la recta numérica

Si prestamos atención, notaremos que en una recta numérica siempre ocurre lo siguiente: entre dos números, el que se encuentra más a la derecha en la recta numérica será el mayor.

Por ejemplo, entre el 3 y el −5, el 3 se encuentra más a la derecha, entonces, podemos afirmar que 3 > −5. O al encontrarse el −5 más a la derecha que el −7, podemos afirmar que −5 > −7.

¡A practicar!

Coloca el símbolo de relación que corresponda en cada caso:

3,5 ____ 5,3
4,0 ____ 0,4
1 ____ −1
2 ____ 2
2,2 ____ 2,02
8,001 ____ 8,01

Solución

3,5 < 5,3
4,0 > 0,4
1 > −1
2 = 2
2,2 > 2,02
8,001 < 8,01

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La recta numérica”

Este artículo te permitirá profundizar sobre el concepto de recta numérica y los conjuntos numéricos que pueden ser representados en la misma.

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Artículo “Recta numérica”

En este artículo podrás detallar el procedimiento a realizar para poder ubicar números decimales y fracciones en la recta numérica.

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