CAPÍTULO 7 / TEMA 1

SUCESIONES

Las sucesiones son series de números con un orden establecido llamado patrón. Algunas tienen un patrón en el que se suman o restan cantidades constantes, mientras que en otras el patrón se forma por medio de la multiplicación o división de cantidades constantes. Hoy aprenderemos cómo se llaman estos tipos de sucesiones y cómo calcular sus términos generales.

¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?

Una sucesión es una secuencia ordenada de números o elementos que obedecen a un patrón o regla de formación particular. Por ejemplo, veamos la siguiente sucesión:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 …

En este caso, la sucesión está formada por números ordenados que reconocemos como cifras pares. Los puntos suspensivos al final nos indican que la sucesión es infinita.

Nota que cada número es 2 unidades superior al anterior, por lo tanto, el patrón de la sucesión consta de sumar 2.

¿Sabías qué?

Los elementos de una sucesión se llaman “terminos”.

Si denominamos a₁ al primer término de la sucesión, a₂ al segundo término, a₃ al tercer término, y así sucesivamente, podemos determinar la regla de sucesión que sigue hasta el enésimo valor que llamaremos a_n. Los subíndices indican el lugar que ocupa cada elemento en la sucesión.

Observa que:

a₁ = 2

a₂ = 4

a₃ = 6

a₄ = 8

a_n = 2n

A partir de este análisis podemos obtener el término general de la sucesión:

a_n = 2n

Donde n es cualquier número entero. Por ejemplo, si n = 5, el quinto término de la sucesión es:

a₅ = 2 × 5 = 10

Los término a₂₀ y a₂₅ de esta misma sucesión son los siguientes:

a₂₀ = 2 × 20 = 40
a₂₅ = 2 × 25 = 50

¿Qué es el término general de la sucesión?

Es el término que ocupa el enésimo lugar en la sucesión. Se escribe con la letra que denota la sucesión y el subíndice n. Por ejemplo, a_n.

Leonardo Pisa dio a conocer el uso de las sucesiones de Fibonacci en la solución de problemas (aunque ya se las usaban muchos años atrás). La espiral de Fibonacci, se construye trazando arcos circulares entre dos diagonales de cuadrados adosados, cuyos lados equivalen a los términos de la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

VER INFOGRAFÍA

TIPOS DE SUCESIONES

Existen varias maneras de clasificar las sucesiones, por ejemplo, podemos decir que las sucesiones pueden ser finitas, o infinitas. Sin embargo, también podemos clasificarlas de acuerdo a la diferencia o a la razón entre sus términos. En estos casos hablamos de sucesiones aritméticas y geométricas.

Sucesiones aritméticas

Son aquellas en las que cada término, con excepción del primero, tiene una diferencia con el término anterior en una cantidad constante. Por ejemplo:

20.000, 22.000, 24.000, 26.000, ..

Esta es una sucesión aritmética porque la diferencia entre un término y el siguiente es la misma en cada caso, es decir, la diferencia es constante.

A esta diferencia, denominada diferencia común y representada como d, la podemos obtener por medio de una resta entre cualquier término y su término anterior. Para la sucesión antes señalada la diferencia común d es:

d = 22.000 − 20.000 = 2.000

d = 24.000 − 22.000 = 2.000

d = 26.000 − 24.000 = 2.000

Observa que sin importar el término que elijas la diferencia siempre será la misma.

– Otro ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

5, 1, −3, −7, −11, −15, …

La diferencia común d = −4 porque:

d = 1 − 5 = −4

d = −3 − 1 = −4

d = −15 − (−11) = −4

¡Es tu turno!

Observa estas sucesiones aritméticas, ¿cuál es la diferencia común d?

−15, −12, −9, −6, −3, 0, 3, …
Solución
d = 3

230, 345, 460, 575, 690, 805, …
Solución
d = 115

Término enésimo de una sucesión aritmética

El término enésimo de una sucesión aritmética con un primer término a₁ y una diferencia común d es el siguiente:

a_n = a₁ + d(n − 1)

– Ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

−3, −1, 1, 3, 5, …

La diferencia común d = 2 porque:

d = −1 − (−3)

d = 2

Por lo tanto, si a₁ = −3 y d = 2, el término enésimo de la sucesión es:

a_n = a₁ + d(n −1)

a_n = −3 + 2(n − 1)

a_n = −3 + (2n − 2)

a_n = −3 + 2n − 2

a_n = 2n − 5

Entonces, si queremo determinar a₁₀, a₁₂ y a₁₅ solo aplicamos:

a₁₀ = 2n − 5 = 2 (10) − 5 = 20 − 5

a₁₀ =15

a₁₂ = 2n − 5 = 2 (12) − 5 = 24 − 5

a₁₂ = 19

a₁₅ = 2n − 5 = 2 (15) − 5 = 30 − 5

a₁₅ = 25

Podemos considerar los ahorros como una sucesión aritmética. Por ejemplo, si tenemos $ 10 ahorrados y cada mes le sumamos $ 2, los primeros cuatro meses podríamos representarlos como: 10, 12, 14, 16, … Entonces, si a₁ = 10 y la diferencia común d = 2, el término enésimo de esta sucesión sería: *a_n* = 8 + 2n. Calcula cuánto podemos ahorrar de esta manera en 6 meses.

Sucesiones geométricas

Son aquellas en las que cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión. El cociente entre cualquier término y su precedente es constante. Por ejemplo:

20.000, 30.000, 45.000, 67.500, 101.250, …

Esta es una sucesión geométrica porque el cociente de la división entre cualquier término y su anterior es el mismo en cada caso.

Este cociente es igual al múltiplo común entre términos y se llama razón común (r). Se obtiene al dividir un término con el que le precede. Para esta sucesión la razón común se determina así:

r = 30.000 ÷ 20.000 = 1,5

r = 45.000 ÷ 30.000 = 1,5

r = 101.250 ÷ 67.500 = 1,5

Observa que sin importar el término que elijas la razón común es la misma: 1,5.

– Otro ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

3, 12, 48, 192, 768, 3.072, …

La razón común es 4 porque:

r = 12 ÷ 3 = 4

r = 48 ÷ 12 = 4

r = 768 ÷ 192 = 4

¡Es tu turno!

Observa estas sucesiones geométricas, ¿cuál es la razón común?

5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …
Solución
r = 2

−18, 54, −162, 486, −1.458, …
Solución
r = −3

Término enésimo de una sucesión geométrica

El término enésimo de una sucesión geométrica con un primer término a₁ y una razón común r es el siguiente:

a_n = a₁(r^{n − 1})

– Ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

3, −6, 12, −24, 48, −96, …

La razón común r = −2 porque:

r = −6 ÷ 3 = −2

r = −24 ÷ 12 = −2

r = −96 ÷ 48 = −2

Por lo tanto, si a₁ = 3 y r = −2, el término enésimo de la sucesión es:

a_n = a₁(r^{n − 1})

a_n = 3(−2^{n − 1})

Entonces, si queremos determinar a₈, a₁₀ y a₁₂ solo aplicamos:

a₈ = 3(−2^{n − 1}) = 3(−2^{8 − 1}) = 3(−2⁷) = 3(−128)

a₈= −384

a₁₀ = 3(−2^{n − 1}) = 3(−2^{10 − 1}) = 3(−2⁹) = 3(−512)

a₁₀ = −1.536

a₁₂ = 3(−2^{n − 1}) = 3(−2^{12 − 1}) = 3(−2¹¹) = 3(−2.048)

a₁₂ = −6.144

La división celular es un ejemplo de sucesión geométrica, ya que si por ejemplo, partimos de una célula (a₁ = 1), durante el proceso de meiosis esta se divide y obtenemos dos células nuevas (a₂ = 2). Luego, estas dos células a su vez se dividen y se tienen 4 células más (a₃ = 4). La razón de progresión r = 2 y *a_n* = 2n − 1.

Resolvamos unos problemas

1. Marcos comenzó un trabajo y su pago inicial fue de $ 15.000. Se le prometió un aumento de $ 1.500 después de cada año. ¿Cuál será su salario en el séptimo año de trabajo? ¿y en el décimo año?

Datos

Salario inicial = a₁ = $ 15.000

Aumento anual = d = $ 1.500

Reflexiona

Su salario después de los primeros años es: 15.000, 16.500, 18.000, 19.500 … Ya que se suma una cantidad constante, esta es una sucesión aritmética. El término general enésimo de una sucesión aritmética es a_n = a₁ + d(n − 1). Donde a₁ = 15.000. Tenemos que calcular la diferencia común, luego el término enésimo y finalmente a₇y a₁₀.

Calcula

– Diferencia común, d

d = 16.500 − 15.000 = 1.500

– Término enésimo

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 15.000 + 1.500(n − 1)

a_n = 15.000 + 1.500n − 1.500

a_n = 13.500 + 1.500n

– Términos a₇ y a₁₀

a₇ = 13.500 + 1.500(7)

a₇ = 13.500 + 10.500

a₇ = 24.000

a₁₀ = 13.500 + 1.500(10)

a₁₀ = 13.500 + 15.000

a₁₀ = 28.500

Responde

En su séptimo año Marcos tendrá un salario de $ 24.000.

En su décimo año Marcos tendrá un salario de $ 28.500.

2. Un auditorio tiene 15 asientos en la primera fila. Cada fila sucesiva tiene tres asientos más que el anterior. ¿Cuántos asientos hay en las primeras diez filas?

Datos

Asientos en la primera fila = a₁ = 15

Diferencia con las demás filas = d = 3 asientos

Reflexiona

Como cada fila tiene 3 asientos más que la anterior se trata de una sucesión aritmética. Primero calculamos el término enésimo y luego determinamos los primeros diez términos.

Calcula

– Término enésimo

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 15 + 3(n − 1)

a_n = 15 + 3n − 3

a_n = 12 + 3n

– Primeros diez términos

a₁ = 12 + 3(1) = 12 + 3 = 15

a₂ = 12 + 3(2) = 12 + 6 = 18

a₃ = 12 + 3(3) = 12 + 9 = 21

a₄ = 12 + 3(4) = 12 + 12 = 24

a₅ = 12 + 3(5) = 12 + 15 = 27

a₆ = 12 + 3(6) = 12 + 18 = 30

a₇ = 12 + 3(7) = 12 + 21 = 33

a₈ = 12 + 3(8) = 12 + 24 = 36

a₉ = 12 + 3(9) = 12 + 27 = 39

a₁₀ = 12 + 3(10) = 12 + 30 = 32

Responde

La cantidad de asientos en cada fila sigue este orden: 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 32.

3. José tiene una alcancía. Si el día 1 sacó $ 1, el día 2 sacó $ 2, el día 3 sacó $ 4, el día 4 sacó $ 8, y así sucesivamente, ¿cuánto dinero sacó después de 30 días?

Datos

Dinero sacado el día 1 = a₁ = $ 1

Dinero sacado el día 2 = a₂ = $ 2

Dinero sacado el día 3 = a₃ = $ 4

Dinero sacado el día 4 = a₄ = $ 8

Reflexiona

Como la cantidad de dinero sacado se multiplica cada día, se trata de una sucesión geométrica. Por lo tanto, a partir de la fórmula general del término enésimo (a_n = a₁(r^{n − 1})) podremos saber el dinero sacado a los 30 días. Nota que a₁ = 1 y r = 2.

Calcula

a_n = a₁(r^{n − 1})

a₃₀ = 1(2^{30 − 1})

a₃₀ = 1(2²⁹)

a₃₀ = 536.870.912

Responde

José sacó $ 536.870.912.

Las sucesiones también pueden clasificarse como progresivas o ascendentes; o regresivas o descendentes. Las primeras son aquellas que van de menor a mayor, mientras que las segundas son las que van de mayor a menor. Un ejemplo de estas sucesiones podemos verlo en el orden en el que enumeran los asientos de un estadio.

¡A practicar!

Observa las siguientes sucesiones.

Indica si la sucesión es aritmética o geométrica.
Encuentra el término enésimo.
Determina a₁₂ en cada caso.

20, 19,3, 18,6, 17,9, …

Solución

Es una sucesión aritmética.

Si d = −0,7 y a₁ = 20 el término enésimo es:

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 20 + 0,7(n − 1)

a_n = 20 + (0,7n − 0,7)

a_n = 20 − 0,7n + 0,7

a_n = 20,7 − 0,7n

a₁₂ = 20,7 − 0,7 (12) = 20,7 − 8,4

a₁₂ = 12,3

4, 2, 1, 0,5, 0,25, …

Solución

Es una sucesión geométrica.

Si a₁ = 4 y r = 0,5 el término enésimo es:

a_n = a₁(r^{n − 1})

a_n = 4(0,5^{n − 1})

a₁₂ = 4(0,5^{12 − 1}) = 4 (0,5¹³)

a₁₂ = 4,8 × 10⁻⁵

13, 23, 33, 43, 53, 63, …

Solución

Es una sucesión aritmética.

Si a₁ = 13 y d = 10 el término enésimo es:

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 13 + 10(n − 1)

a_n = 13 + 10n − 10

a_n = 3 + 10n

a₁₂ = 3 + 10(12) = 3 + 120

a₁₂ = 123

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sucesiones”

En el siguiente artículo encontrarás ejemplos relacionados con sucesiones aritméticas. Adicionalmente, el artículo describe algunos tipos de sucesiones.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 5

OPERACIONES COMBINADAS

Las operaciones combinadas son expresiones formadas por números que se agrupan de diferentes formas, con cálculos diversos. Estas operaciones pueden emplear símbolos como los paréntesis, que se encargan de unir un grupos de operaciones para ser resueltas primero. Los pasos son muy sencillos, ¡aprende hoy cómo resolver operaciones combinadas!

Recomendaciones para resolver problemas combinados

Para resolver las operaciones combinadas debemos tener en cuenta que:

Para sumar o restar dos números, ambos deben estar “sueltos”, es decir, no se pueden sumar o restar dos números si uno de ellos está unido a otra expresión mediante un símbolo u otro signo como el de la multiplicación.
Los signos de multiplicar generan una unión más fuerte que los de sumar y restar. Cuando dos o más números están unidos por un signo de multiplicación generan una unión inseparable, mientras que los que están unidos por signos de suma y resta se encuentran más “sueltos” en la operación.
Las operaciones combinadas deben resolverse paso a paso. Todo lo que se resuelve en un paso debe copiarse, sin realizar cambios al inicio del siguiente paso.
Antes de comenzar a resolver las operaciones combinadas se deben conocer las propiedades de dichas operaciones para así plantear una estrategia a seguir sin cometer errores.
Siempre se resuelve primero lo que está en el interior del paréntesis, para seguir luego con las multiplicaciones y finalmente con las sumas y restas.

¿Qué más debes saber?

Para ser un experto en resolución de cálculos combinados debes:

Ser prolijo.
Identificar los distintos términos de un ejercicio y el orden de resolución.
Revisar todos los pasos una vez terminado el ejercicio.
Practicar, practicar y practicar.

operaciones combinadas sin PARÉNTESIS

En una operación combinada sin paréntesis tenemos que respetar la jerarquía de los cálculos: primero resolvemos las multiplicaciones y divisiones, luego resolvemos las sumas y restas.

– Ejemplo:

9 − 2 × 4 + 12

Primero resolvemos la multiplicación: 2 × 4 = 8.

9 − 8 + 12

Luego resolvemos las sumas y restas:

9 − 8 + 12 = 13

Finalmente escribimos el resultado:

9 − 2 × 4 + 12 = 13

– Otro ejemplo:

81 ÷ 9 + 7 × 8 − 13 × 5

Realizamos las divisiones y multiplicaciones:

9 + 56 − 65

Resolvemos las sumas y restas:

9 + 56 − 65 = 0

Escribimos la respuestas:

81 ÷ 9 + 7 × 8 − 13 × 5 = 0

¡Es tu turno!

15 + 8 − 2 − 6

Solución

15 + 8 − 2 − 6 = 15

144 ÷ 12 − 4 × 3 − 24 ÷ 8

Solución

144 ÷ 12 − 4 × 3 − 24 ÷ 8 = −3

Podemos ver paréntesis en cualquier tipo de operación, esto nos indica que debemos realizar primero los cálculos que están dentro de ellos. Pero los paréntesis no son las únicas formas de expresar jerarquías, también están los corchetes [] y las llaves {} que simbolizan prioridad de resolución: primero se resuelven los corchetes y luego las llaves.

operaciones combinadas con paréntesis

Los paréntesis indican prioridad al momento de resolver los problemas. Esto significa que primero debemos realizar el cálculo dentro del paréntesis y luego resolver el resto de la cuenta.

– Ejemplo:

(8 − 3) × 2 + 4

Primero resolvemos la resta dentro de los paréntesis: 8 − 3 = 5.

5 × 2 + 4

Luego resolvemos la multiplicación: 5 × 2 = 10.

10 + 4

Finalmente resolvemos la suma y escribimos el resultado:

10 + 4 = 14

Por lo tanto,

(8 − 3) × 2 + 4 = 14

– Otro ejemplo:

28 − (7 + 9) + 3

Resolvemos la operación dentro de los paréntesis: 7 + 9 = 16

28 − 16 + 3

Resolvemos las sumas y restas:

28 − 16 + 3 = 15

Luego escribimos el resultado:

28 − (7 + 9) + 3 = 15

¡Es tu turno!

25 − (3 × 3 + 11) − (2 + 3)

Solución

25 − (3 × 3 +11) − (2 + 3) = 0

36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5

Solución

36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5 = 29

¿Sabías qué?

Si se suman dos números con diferente signo, la operación a realizar es una resta y se mantiene el signo del número mayor, por ejemplo, −15 + 8 = −7.

Problemas con ejercicios combinados

1. Marta fue a la tienda y compró un par de zapatos por $ 125, 2 pantalones a $ 40 cada uno y 4 camisetas a $ 25 cada una. ¿Cuánto gastó Marta?

Datos

Zapatos comprados: un par a $ 125

Pantalones comprados: 2 a $ 40 cada uno

Camisetas compradas: 4 a $ 25 cada una

Pregunta

¿Cuánto gastó Marta?

Analiza

Si multiplicamos la cantidad de prendas por el costo de cada una y luego sumamos cada resultado tendremos el total de dinero gastado.

Calcula

(1 × 125) + (2 × 40) + (4 × 25) = 125 + 80 + 100 = 305

Respuesta

Marta gastó $ 305 en su compra.

2. José ha comprado 18 litros de jugo de naranja. Cada litro cuesta $ 5. Si después de pagar le devuelven $ 10, ¿cuánto dinero entregó al pagar?

Datos

Jugo comprado: 18 litros

Precio del litro de jugo: $ 5

Dinero devuelto: $ 10

Pregunta

¿Cuánto dinero entregó al pagar?

Analiza

El producto de la cantidad de jugo comprado y el precio de cada litro de jugo será igual a la cantidad de dinero que debía pagar. Si a eso le sumamos el dinero devuelto sabremos cuánto pagó.

Calcula

(18 × 5) + 10 = 90 + 10 = 100

Respuesta

José pagó $ 100. Gastó $ 90 en jugo de naranja y le devolvieron $ 10.

3. Pedro compró un lote de 180 donas que debe colocar en cajas de 12 donas. Si venderá cada caja a $ 3, ¿cuánto dinero obtendrá al vender todas las cajas?

Datos

Cantidad de donas: 180

Cantidad de donas por caja: 12

Precio de la caja: $ 3

Pregunta

¿Cuánto dinero obtendrá al vender todas las cajas?

Analiza

Para saber la cantidad de donas que irán en cada caja debemos dividir las 180 donas entre las 12 unidades por caja. Luego multiplicamos esa cantidad por los $ 3 que vale cada una.

Calcula

(180 ÷ 12) × 3 = 15 × 3 = 45

Respuesta

Obtendrá $ 45 al vender todas las cajas.

Es posible que te encuentres con operaciones combinadas que además de tener sumas, restas multiplicaciones y divisiones, también tengas raíces y potencias. En este caso, debemos resolver primero las raíces y potencias y luego proceder con el orden que ya conoces: primero las multiplicaciones y divisiones, después las sumas y restas.

¡A practicar!

Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

6 × 8 − 8 + 12 − 3

Solución

6 × 8 − 8 + 12 − 3 = 49

24 × 4 + 18 ÷ 9 − 26

Solución

24 × 4 + 18 ÷ 9 − 26 = 72

32 − 20 ÷ 5 + 16 × 2

Solución

32 − 20 ÷ 5 + 16 × 2 = 60

85 − 49 + 17 × 3 − 54 ÷ 3

Solución

85 − 49 + 17 × 3 − 54 ÷ 3 = 69

25 + (13 − 8 × 6 + 12) − 16

Solución

25 + (13 − 8 × 6 + 12) − 16 = −14

73 + (48 − 7 × 6) − 21 ÷ 3

Solución

73 + (48 − 7 × 6) − 21 ÷ 3 = 72

3 − 4 × 5 + (35 ÷ 7 + 8)

Solución

3 − 4 × 5 + (35 ÷ 7 + 8) = −4

36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5

Solución

36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5 = 29

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Cálculos combinados”

Con este recurso podrás reforzar el contenido relacionado a las jerarquías en operaciones combinadas.

VER

Artículo “Resolución de cálculos combinados con paréntesis,corchetes y llaves”

Este artículo explica paso a paso cómo resolver problemas combinados que contengan paréntesis, corchetes y llaves.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 4

INECUACIÓN

No todas las situaciones que se plantean en matemática tienen una solución puntual o exacta. Existen casos donde la respuesta a un planteamiento viene representada por un intervalo de valores que satisfacen la condición. Esto podemos verlo en las inecuaciones: expresiones matemáticas con un intervalo de números como solución.

la INECUACIÓN y sus elementos

Una inecuación es una expresión matemática que contiene al menos una variable y está caracterizada por incluir símbolos de desigualdad entre los miembros, de manera que su resultado es un conjunto de valores que la variable puede tomar para que se cumpla la desigualdad planteada.

Los elementos de las inecuaciones son los siguientes:

Miembros: son las partes de una inecuación que están separadas por el signo de la desigualdad.
Términos: son las expresiones literales o numéricas separadas por los signos más (+) o menos (−).
Variable: es la letra que representa al conjunto de valores que satisfacen la desigualdad.
Símbolo de desigualdad: es el que indica la relación entre los miembros, pueden ser <, >, ≤ o ≥.

Grado de una inecuación

El grado de una inecuación se encuentra indicado por el mayor exponente que tenga la variable. Si el mayor exponente de una inecuación es 3, esta es de tercer grado; si es 2, es de segundo grado; y si no tiene exponente, se entiende que está elevado a la unidad y, por lo tanto, la inecuación es de primer grado.

¿qué son los intervalos?

Los intervalos son los rangos de valores que definen la solución de la inecuación. Estos pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos.

Intervalos abiertos: no incluyen los límites del intervalo. Se denotan con paréntesis, por ejemplo (a, b) y en la gráfica se representan con el símbolo ○.
Intervalos cerrados: incluyen los límites del intervalo. Se representa con corchetes, por ejemplo [a, b] y en la gráfica se representan con el símbolo ●.
Intervalos semiabiertos: incluye uno de los extremos del intervalo. Así que un extremo es abierto y el otro es cerrado, por ejemplo [a, b).

¿Sabías qué?

Los límites de intervalos que incluyen a +∞ o −∞ siempre son abiertos.

– Ejemplo:

Este dibujo muestra todos los números comprendidos entre el 1 y el 7 pero no incluye ni al 1 ni al 7 porque están representados con ○. Cuando los extremos de un intervalo no están incluidos se usan paréntesis y el intervalo se denota como (1,7).

– Otros ejemplos:

(−5,1]

[1,7]

[−5,1)

símbolos de desigualdad

Símbolo	Significado	Ejemplo	Representación en la recta numérica	Notación del intervalo
>	Mayor que	x > 5		(5,+∞)
<	Menor que	x < 5		(−∞,5)
≥	Mayor o igual que	x ≥ 5		[5,+∞)
≤	Menor o igual que	x ≤ 5		(−∞,5]

Las soluciones de las inecuaciones pueden ser intervalos cuyos límites estén completamente definidos y conocidos, por ejemplo, [−2, 19) o bien, por rangos donde alguno o ambos límites incluyen el ∞ (ya sea hacia el valor positivo o negativo). Cuando la solución es (−∞, +∞) en notación de conjunto se dice que pertenece a los reales.

¿CÓMO resolver UNA INECUACIÓN?

El procedimiento es muy similar al que empleamos cuando despejamos ecuaciones. Las reglas son las siguientes:

Todo número que sume en un miembro de la desigualdad, pasa al otro miembro como resta.
Todo número que reste en un miembro de la desigualdad, pasa al otro miembro como suma.
Si en un miembro de la desigualdad hay un número negativo que multiplica a otro, este pasa al otro lado a dividir (con su signo) y el signo de desigualdad se debe invertir.
Si en un miembro de la desigualdad hay un número negativo que divide, pasa al otro lado a multiplicar (con su signo) y el signo de desigualdad se debe invertir.

En la imagen podemos ver cómo se comparan por medio de símbolos de desigualdad dos segmentos de rectas. En este caso, la expresión indica que el segmento que va de A’C tiene una mayor longitud que el segmento AB. No todas las expresiones que contengan desigualdades son inecuaciones, ya que además, se requiere de por lo menos una variable.

– Ejemplo 1:

$x-3> 1$

Como el número 3 está acompañado del signo negativo, pasa al otro lado del símbolo “mayor que” con el signo positivo.

$x> 1+3$

Luego resolvemos la suma.

$x> 4$

La solución de esta inecuación incluye a todos lo números mayores a 4, más no al 4.

Solución: (4,+∞)

En una recta numérica lo representamos así:

Si deseamos comprobar la solución, basta con sustituir la variable con valores mayores a 4. Si satisface la desigualdad, el resultado será correcto.

Recuerda que el intervalo es abierto y por lo tanto no debes tomar en cuenta al número 4. Observa:

$x-3> 1$

$\boldsymbol{4}-3> {\color{Red} \boldsymbol{1> 1}}$ No satisface la desigualdad porque 1 = 1.

Si sustituimos por valores mayores a 4, como 5, 6 o 7, la desigualdad sí se cumple. Observa:

$\boldsymbol{5}-3> 1\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{2> 1}}$

$\boldsymbol{6}-3> 1\Rightarrow \boldsymbol{{\color{Blue} 3> 1}}$

$\boldsymbol{7}-3> 1\Rightarrow \boldsymbol{{\color{Blue} 4> 1}}$

– Ejemplo 2:

$-4x-8\geq -2$

Primero unimos los términos semejantes en cada miembro. Los que están como resta pasan al otro lado de la igualdad a sumar.

$-4x\geq -2+8$

Después resolvemos las operaciones.

$-4x\geq 6$

Como −4 multiplica a la variable, esta pasa al otro miembro de la inecuación a dividir. Mantenemos el signo negativo e invertimos el signo de la desigualdad.

$x\leq -\frac{6}{4}$

La solución de esta inecuaçión incluye a todos los números menores o iguales a −6/4.

Solución: (−∞,−6/4]

En la recta numérica lo representamos así:

Comprobamos el resultado con números iguales y menores a −6/4.

$-4\left ( \boldsymbol{-\frac{6}{4}} \right )-8\geq -2\Rightarrow 6-8\geq -2\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{-2\geq -2}}$

$-4\left ( \boldsymbol{-\frac{7}{4}} \right )-8\geq -2\Rightarrow 7-8\geq -2\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{-1\geq -2}}$

$-4\left ( \boldsymbol{-\frac{8}{4}} \right )-8\geq -2\Rightarrow 8-8\geq -2\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{0\geq -2}}$

– Ejemplo 3:

$-3x+5> 15+2x$

Unimos términos semejantes en cada miembro. Los que están como suma pasan al otro lado de la igualdad a restar.

$-3x-2x> 15-5$

Resolvemos las operaciones.

$-5x> 10$

Como −5 multiplica a la variable, este número pasa al otro miembro de la inecuación a dividir. Mantenemos el signo negativo e invertimos el signo de la desigualdad.

$x< -\frac{10}{5}$

$x< -2$

La solución incluye a todos los números menores a −2.

Solución: (−∞,−2)

En la recta numérica lo representamos así:

Comprobamos el resultado al sustituir la variable con números menores a −2.

$-3(\boldsymbol{-3})+5> 15+2(\boldsymbol{-3})\Rightarrow 9+5> 15-6\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{14> 9}}$

$-3(\boldsymbol{-4})+5> 15+2(\boldsymbol{-4})\Rightarrow 12+5> 15-8\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{17>7}}$

$-3(\boldsymbol{-5})+5> 15+2(\boldsymbol{-5})\Rightarrow 15+5> 15-10\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{20>5}}$

DIFERENCIA ENTRE ECUACIÓN E INECUACIÓN

Una de las principales diferencias entre las ecuaciones y las inecuaciones se debe a que la primera emplea igualdad entre sus miembros, mientras que la segunda utiliza la desigualdad. Esto quiere decir que la solución de una ecuación representa un valor puntual en la recta real, mientras que en las inecuaciones, las soluciones se expresan mediante intervalos, lo que significa que entre los dos extremos del intervalo hay infinitos números que satisfacen la inecuación.

Las operaciones para despejar las variables en las inecuaciones obedecen las mismas reglas que con las ecuaciones, pero adicionalmente, debemos tener especial atención cuando multiplicamos o dividimos ambos miembros por un número negativo, ya que al hacerlo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad.

USOS DE LAS INECUACIONES

Las inecuaciones tienen infinidades de usos, que van desde situaciones cotidianas hasta aplicaciones más avanzadas a nivel universitario como la programación lineal. Casi cualquier situación que implique un valor o intervalo límite dentro de los cuales pueda tomar valor una variable, puede ser formulado a partir de una inecuación. Por ejemplo:

Para expresar el tiempo máximo que disponemos para llegar a un lugar.
Para representar el saldo disponible en nuestro teléfono celular para realizar llamadas.
Para indicar el peso máximo que puede registrar una balanza.
Para expresar el límite máximo de velocidad en una autopista.
Para expresar costos totales máximos o utilidades mínimas en una empresa.

¡A practicar!

Resuelve las siguientes inecuaciones.