CAPÍTULO 4 / TEMA 2

COMPARACIÓN DE CANTIDADES

Día a día comparamos números. Lo hacemos al ver que un precio es más bajo que otro, que los grados aumentan o disminuyen en el termómetro de acuerdo a la temperatura, o que un compañero tuvo una calificación diferente a la nuestra. Todos los números pueden compararse entre sí y para hacerlo existen algunas reglas y símbolos especiales.

Los números de nuestro sistema decimal poseen valores absolutos y relativos. El valor absoluto no considera la posición de la cifra, mientras que el relativo sí. De este modo, y en su función de representar cantidades, podemos hallar números que son mayores que otros. Esta relación nos permite establecer un orden entre ellos.

USO DE LOS SÍMBOLOS DE RELACIÓN

¿Qué son los símbolos de relación?

Son aquellos que permiten comparar números según el valor que estos tengan. Así, al observar dos cantidades podemos determinar si una es mayor, menor o igual que la otra. Para indicar estas relaciones colocamos los siguientes símbolos:

>, se lee “mayor que”.
<, se lee “menor que”.
=, se lee “igual a”.

Mayor que (>)

Todo número ubicado a la izquierda del símbolo “>“ será mayor que el número ubicado a su derecha, entonces, si el símbolo se encuentra entre dos números, significa que el primero es mayor que el segundo.

Menor que (<)

Todo número ubicado a la izquierda del símbolo “<“ será menor que el número ubicado a su derecha, entonces, si el símbolo se encuentra entre dos números, significa que el primero es menor que el segundo.

Igual a (=)

Los números ubicados tanto a la derecha como a la izquierda del símbolo “=” son iguales.

¿Sabías qué?

El matemático inglés Robert Recorde fue quien inventó el símbolo de igualdad. Le dio esta forma porque decía que “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”.

Existe una manera sencilla de memorizar los símbolos de relación y su función, consiste en fijarse en sus extremos. “Mayor que” y “menor que” apuntan su parte más ancha y abierta hacia el número mayor y su parte más cerrada y fina hacia el número menor. Ya que leemos de izquierda a derecha, el primero de los dos extremos que veamos nos dirá cuál símbolo es.

ESTABLECER ORDEN ENTRE DIFERENTES CANTIDADES

Orden de los números naturales

Los números naturales son los números que usamos para contar y con los que estamos más familiarizados. El orden de estos números comienza con sus unidades básicas, que se distribuyen de la siguiente manera:

Posterior al número 9 comienzan los números de dos cifras, formados por decenas y unidades:

El orden de los números naturales continúa en crecimiento hasta alcanzar el número 100, momento en el que se llega a las 3 cifras y aparece la primera centena de la sucesión:

El proceso se repite mientras se suman más y más cifras a la izquierda del número, cada una en representación de un valor mayor:

Esto indica que mientras más cifras tenga un número natural, mayor será su valor. Sin embargo, si dos números poseen la misma cantidad de cifras, hay que diferenciar los valores de cada dígito.

Observa estos ejemplos:

– Compara los números 110 y 120.

Primero vemos sus centenas. En este caso, las dos centenas son iguales (1), así que pasamos a las decenas. Estas son distintas y, por lo tanto, comparamos esos dos dígitos. Como 1 es menor que 2, entonces 110 es menor que 120.

– Compara los números 122 y 123.

Estos números tienen centenas y decenas iguales, así que pasamos a comparar las unidades. Como 2 es menor que 3, decimos que 122 es menor que 123.

– Compara los números 5.392.897 y 5.403.121.

La primera cifra corresponde a las unidades de millón y es la misma en los dos números. Comparamos entonces la siguiente cifra: la centena de mil. Como 3 es menor que 4, decimos que 5.392.897 es menor que 5.403.121.

– Compara los números 25.072.518 y 25.072.523.

Al igual que los casos anteriores, comparamos de izquierda a derecha cada cifra hasta ubicar las que tienen distinto valor. En este ejemplo, las decenas son distintas. Como 1 es menor que 2, decimos que 25.072.518 es menor que 25.072.523.

¡Es tu turno!

– Compara estos números.

9.854.125.369 y 9.854.311.003

Solución

9.854.125.369 < 9.854.311.003

658.899.157.021 y 658.899.157.001

Solución

658.899.157.021 > 658.899.157.001

Desigualdades

Las desigualdades, también llamadas inecuaciones, son expresiones algebraicas que contienen incógnitas y emplean símbolos para expresar la relación entre las partes. Los símbolos usados son:

< menor que

> mayor que

≤ menor o igual que

≥ mayor o igual que

≠ no es igual a

Orden de los números enteros

Los números enteros están formados por los números naturales y los números negativos. Los números negativos poseen una peculiaridad que los diferencia de los positivos: sus valores actúan de forma completamente opuesta. A partir de cero hacia la derecha, los números naturales se hacen cada vez mayores; en cambio, a partir de cero hacia la izquierda, los números negativos se hacen cada vez menores.

Esto quiere decir que si 2 es mayor que 1, −2 es menor que −1.

Es así como los números negativos siguen las mismas reglas de jerarquía que los naturales, pero de forma opuesta. Por ejemplo:

Los dos números tienen la misma cantidad de centenas y de decenas, pero las unidades son distintas. Como −4 es menor que −3, decimos que −424 es menor que −423.

¡Colócalos en orden!

– Ordena los siguientes números enteros de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente.

4, 26, −26, 572, 54, −175, 274, −265, 675, 345, −98, 213, 0, 9, 73, −44

Solución

−265 < −175 < −98 < −44 < −26 < 0 < 4 < 9 < 26 < 54 < 73 < 213 < 274 < 345 < 572 < 675

El orden entre los números decimales

Los números decimales son aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal, es decir, una cantidad inferior a la unidad. Ambas partes son separadas por una coma.

El orden que siguen los números decimales es parecido a los explicados anteriormente. Observa este ejemplo:

1,4 es menor que 2,4 porque solo se consideraron sus partes enteras.

Si la parte entera de los números es la misma, empezamos a considerar la parte decimal, la cual se divide en cifras con nombres específicos: décimas, centésimas y milésimas. Estas tres unidades decimales son las más comunes, pero la cantidad de cifras puede extenderse hasta el infinito.

Lo más importante a saber para poder ordenar números decimales es que las décimas tienen mayor valor que las centésimas, y estas, a su vez, valen más que las milésimas. Observa las equivalencias:

1 décima = 0,1 unidades
1 centésima = 0,01 unidades
1 milésima = 0,001 unidades

Por lo tanto: 0,1 > 0,01 > 0,001

Ejemplo:

– Compara los números 2,3462 y 2,35.

La parte entera del número es la misma, así que pasamos a la parte decimal. Las décimas son iguales, pero las centésimas no. Como 4 es menor que 5, decimos que 2,3462 es menor que 2,35.

¿Sabías qué?

A diferencia de los números enteros, la cantidad de decimales no determina el valor del número.

¡Colócalos en orden!

– Ordena los siguientes números decimales de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente.

2,4398; 57,3; 42,45; 17,58; 17,123; 17,982; 17,512; 17,244935; 4,87; 17,983

Solución

2,4398 < 4,87 < 17,123 < 17,244935 < 17,512 < 17,58 < 17,982 < 17,983 < 42,45 < 57,3

Orden de números fraccionarios

Los números fraccionarios o fracciones son aquellos números que representan una división o la separación de algo en varias partes. Están formados por un numerador y denominador, ambos separados por una barra horizontal.

VER INFOGRAFÍA

La comparación de fracciones dependerá del numerador y el denominador. Los casos pueden ser los siguientes:

Fracciones con igual denominador.
Fracciones con igual numerador.
Fracciones con diferentes numeradores y denominadores.

Fracciones con igual denominador

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la mayor fracción será aquella con mayor numerador. Por ejemplo:

¿Por qué $\frac{2}{8}$ es menor que $\frac{4}{8}$ ?

Observa las gráficas:

Las dos gráficas están divididas en 8 partes, como lo indica el denominador. En la primera tomamos 2 partes de las 8 (2/8), y en la segunda tomamos 4 partes (4/8). Hay más partes tomadas en la segunda gráfica.

Puedes comprobarlo por medio de divisiones:

$\frac{2}{8} = 2 : 8 = \mathbf{0,25}$

$\frac{4}{8} = 4 : 8 = \mathbf{0,5}$

Si comparamos estos números decimales, tenemos que:

$0,25 < 0,5$

Que es igual a:

$\frac{2}{8}< \frac{4}{8}$

Fracciones con igual numerador

Si dos fracciones tienen el mismo numerador, la mayor fracción será aquella con menor denominador. Por ejemplo:

¿Por qué $\frac{2}{6}$ es menor que $\frac{2}{4}$ ?

Observa las gráficas:

En las dos gráficas tomamos 2 partes, como lo indica el numerador. La primera se dividió en 6 partes totales y la otra en 4 partes totales. A pesar de que el número 6 es mayor que 4, aquí el 6 indica una mayor cantidad de divisiones y esto le resta valor a la fracción.

Puedes comprobarlo por medio de divisiones:

$\frac{2}{6} = 2 : 6 = 0,\bar{\mathbf{33}}$

$\frac{2}{4} = 2 : 4 = \mathbf{0,5}$

Si comparamos estos números decimales, tenemos que:

$0,\bar{33} < 0,5$

Que es igual a:

$\frac{2}{6}< \frac{2}{4}$

Si tienes dificultades para encontrar el orden de las fracciones, puedes probar este otro método: simplemente divide el numerador entre el denominador, y obtendrás un número entero o un número decimal. Luego sólo tienes que ordenar estos resultados. Su orden será el mismo que el de las fracciones iniciales.

Fracciones con diferente numerador y denominador

Para conocer el orden que tienen estas fracciones no basta con observarlas a simple vista. Para lograrlo debemos seguir dos pasos:

Hallar una fracción equivalente a la que deseamos comparar. Ambas deben tener el mismo denominador.
Comparar las fracciones resultantes según el método ya explicado para las fracciones con igual denominador.

¿Cómo comparar estas fracciones: $\frac{8}{5}$ y $\frac{5}{9}$ ?

1. Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello, debes descomponer cada número en sus factores primos.

m.c.m (5; 9) = 5 x 3² = 5 x 9 = 45

2. Multiplica el denominador por un número cuyo producto sea el m.c.m. Luego multiplica el numerador por ese mismo número. El resultado será su fracción equivalente.

$\frac{8\times {\color{Red} 9}}{5\times {\color{Red} 9}}= \frac{72}{\mathbf{45}}$

$\frac{5\times {\color{Red} 5}}{9\times {\color{Red} 5}} = \frac{25}{\mathbf{45}}$

Observa que en la primera fracción 5 x 9 = 45. Por eso, toda la fracción se multiplica por 9/9. Lo mismo sucede con la fracción 5/9, como 9 x 5 = 45, toda la fracción se multiplica por 5/5.

3. Compara las nuevas fracciones con igual denominador. La mayor fracción será aquella con mayor numerador, y como 72 > 25, entonces:

$\frac{72}{45}> \frac{25}{45}$

Ejercicios

1. Coloca el símbolo correcto entre los siguientes números.

10 ____ 9
4 ____ 4
8 ____ 27
46 ____ 6
59 ____ 59
40 ____ 70
2 ____ 22
100 ____ 1
23 ____ 32
85 ____ 85

Solución

10 > 9
4 = 4
8 < 27
46 > 6
59 = 59
40 < 70
2 < 22
100 > 1
23 < 32
85 = 85

2. Ordena los siguientes números naturales de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente para ello.

3.546, 12, 53, 4.080, 25.892, 634, 4, 824, 1.450, 234, 73, 896. 111, 724, 1.898, 246, 1, 11, 4.800, 424, 125, 353, 55, 2.

Solución

1 < 2 < 4 < 11 < 12 < 53 < 55 < 73 < 125 < 234 < 246 < 353 < 424 < 634 < 724 < 824 < 1.450 < 1.898 < 3.546 < 3.643 < 4.080 < 4.800 < 25.892 < 896.111

3. Compara estas fracciones. Coloca el signo que corresponda en cada caso.

$\frac{35}{4}$ y $\frac{24}{8}$

Solución

$\frac{35}{4} > \frac{24}{8}$

$\frac{3}{7}$ y $\frac{12}{28}$

Solución

$\frac{3}{7} = \frac{12}{28}$

$\frac{13}{12}$ y $\frac{2}{6}$

Solución

$\frac{13}{12} > \frac{2}{6}$

$\frac{11}{4}$ y $\frac{11}{6}$

Solución

$\frac{11}{4}> \frac{11}{6}$

$\frac{64}{89}$ y $\frac{56}{48}$

Solución

$\frac{64}{89} < \frac{56}{48}$

$\frac{25}{8}$ y $\frac{25}{9}$

Solución

$\frac{25}{8}> \frac{25}{9}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Comparar y ordenar números”

Este recurso, orientado hacia los más pequeños de la casa, es ideal para repasar las bases de lo explicado aquí.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 1

los números en la recta numérica

Una recta numérica, también llamada recta real, representa de forma gráfica el orden y la sucesión de un conjunto de números. Sin embargo, estos conjuntos no siempre son iguales y, como verás a continuación, se clasifican de acuerdo a sus características.

Cada día, el ser humano maneja números de diferentes conjuntos sin darse cuenta; por ejemplo, al contar los días de la semana, cortar un pastel en varias porciones o sumar los céntimos que forman parte del dinero. Todos estos números tienen una representación gráfica en un espacio coordenado unidimensional. Es decir, todos ellos se pueden mostrar en una recta numérica.

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un grupo dado; gracias a ellos puedes saber cuántos dedos tienen las manos o cuántos integrantes hay en tu familia. Estos son los números más utilizados y su conjunto es representado con la letra ℕ.

Debido a que se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos, por lo tanto, el conjunto de los números naturales se presenta de dos maneras:

$\mathbb{N} = \left \{ 1,\, 2,\, 3,\, 4,... \right \}$

$\mathbb{N} = \left \{0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,... \right \}$

¿Sabías qué?

Los números naturales fueron los primeros en ser utilizados por los seres humanos para contar y determinar cantidades.

En una recta numérica, los números naturales se colocan de tal forma que a medida que avanzas hacia la derecha, encuentras los números más grandes.

¿Cómo elaborar una recta numérica con números naturales?

Dibuja una semirrecta.
Señala el origen que corresponde al cero.
Coloca una flecha en la punta derecha de la recta. Esto indica que la recta se extiende hasta el infinito.
Escribe los números naturales en intervalos regulares. El intervalo entre números consecutivos siempre será el mismo.

Los intervalos en una recta numérica no solo representan a las unidades, sino también a las decenas y las centenas.

¡A practicar!

Ubica en la recta numérica los siguientes números: 5, 20, 35 y 48.

SOLUCIÓN

NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros son aquellos que comprenden tanto a los números naturales como a sus opuestos, es decir, a los números negativos, y al número 0. Este conjunto se representa con la letra ℤ, que por definición es:

$\mathbb{Z}=\left \{ ...,-4,\, -3,\, -2,\, -1,\,0,\, +1,\, +2,\, +3,\, +4,... \right \}$

¿Sabías qué?

Los negativos se utilizan en casos comunes de la vida como, por ejemplo, una deuda o las temperaturas bajo cero.

En una recta numérica, los números enteros se distribuyen a partir del cero: a su izquierda se ubican los negativos y a su derecha se ubican los positivos.

Recuerda que …

1. Dados dos números enteros de signos distintos, +a y –a, con a > 0, el negativo es menor que el positivo: −a < +a.

−5 < +5

2. Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:

El de menor valor absoluto, si el signo común es “+“.

+8 < +10

El de mayor valor absoluto, si el signo común es “−”.

−10 < −8

3. El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

−1 < 0 < +1

¡A practicar!

Ubica en la recta numérica los siguientes números: 15, −15, −35 y −39.

SOLUCIÓN

NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales están formados por dos partes: una entera y una decimal, ambas separadas por una coma. A la izquierda de la coma se ubica la parte entera, y a la derecha de la coma está la parte decimal.

En una recta numérica, los números decimales se ubican entre dos números enteros. Para esto, se divide en diez partes la distancia entre los números y se incorporan los decimales que hay entre ellos.

Para representar a los decimales ubicados entre el 1 y el 2, la recta numérica se presenta así:

También puedes identificar los decimales entre dos decimales menos precisos. Por ejemplo, al dividir el espacio entre los decimales 1,1 y 1,2 en otras 10 partes iguales, tendrás las posiciones de los números del 1,11 al 1,19.

¡A seguir con la práctica!

Ubica en la recta numérica los siguientes números decimales: 20,2; 20,5; 20,8 y 20,95.

SOLUCIÓN

El número pi

El número pi es tal vez el número decimal más famoso. Este es un número con decimales infinitos, pero popularmente se simplifica como 3,1416. Solo estos dígitos permiten saber que pi se encuentra entre el 3 y el 4 en la recta numérica.

VER INFOGRAFÍA

NúMEROS FRACCIONARIOS

También conocidos simplemente como fracciones, son aquellos que representan una división entre números. Un ejemplo de fracción lo puedes ver al pedir medio kilo de pan o al cortar una torta en partes iguales.

Toda fracción está formada por dos partes: un numerador y un denominador separados por una línea horizontal.

Al igual que los números decimales, los números fraccionarios se encuentran entre dos números enteros o dos números decimales en una recta numérica. Para hallar su ubicación se siguen dos métodos diferentes según el tipo de fracción: propia o impropia.

Fracciones propias

Las fracciones propias poseen un numerador menor a su denominador. La división entre estos dos dígitos dará como resultado un número decimal menor a 1. Para saber la posición en la recta numérica se debe segmentar el espacio entre 0 y 1 la cantidad de veces que indique el denominador, y la fracción se ubicará al final del segmento que indique el numerador.

Por ejemplo, para hallar en la recta numérica la fracción $\frac{2}{3}$ debes seguir estos pasos:

Dividir el espacio entre 0 y 1 en 3 segmentos iguales.
Ubicar la fracción al final del segundo segmento.

Los números decimales y fraccionarios son diferentes a los números naturales y enteros, ya que, a diferencia de estos últimos, representan números “incompletos”. No obstante, todos ellos pertenecen al mismo conjunto numérico: el de los números racionales, un subconjunto de los números reales.

Fracciones impropias

Las fracciones impropias poseen un numerador mayor a su denominador. La división entre estos dos dígitos siempre dará como resultado un número mayor a 1. Para saber la posición de una fracción impropiar en la recta real se deben seguir dos pasos:

Convertir la fracción impropia en un número mixto, es decir, la combinación entre un número entero y una fracción propia.
Ubicar el número mixto en la recta numérica. El número entero indicará por dónde empezar a segmentar, mientras que el resto de la fracción se ubicará de la misma forma que una fracción propia: número de segmentos según el denominador y la ubicación de la fracción según el numerador.

¿Cómo convertir la fracción $\frac{27}{4}$ en un número mixto?

1. Divide el numerador por el denominador.

2. El resto de la división se convertirá en el nuevo numerador de la parte fraccionaria. El divisor será el denominador de la parte fraccionaria y el cociente será la parte entera del número mixto.

3. Construye el número mixto.

¡Pon en práctica lo aprendido!

¿Cómo conviertes la fracción $\frac{8}{5}$ en número mixto?

Para ubicar la fracción $\frac{8}{5}$ en la recta numérica, primero se dividen entre sí ambas cifras. Esta división tiene como cociente el número 1, como resto el número 3 y como divisor el número 5, por lo tanto el número mixto es:

Ahora solo debes dividir en 5 segmentos iguales (denominador de la parte fraccionaria) el espacio entre el número 1 y el número 2. Luego, marcar el final del tercer segmento (numerador de la parte fraccionaria). Allí está ubicada la fracción $\frac{8}{5}$ .