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CAPÍTULO 7 / TEMA 2

LA RECTA NUMÉRICA

Se trata de una herramienta muy útil para representar de forma ordenada los números reales en una dimensión, de manera que podamos visualizar con facilidad aspectos como la secuencia y la relación entre varios números, así como también soluciones de inecuaciones. Fue propuesta por John Wallis y es la base para la construcción del plano cartesiano.

Al igual que en la recta numérica, los números de las escalas en los instrumentos de medición, tales como una regla o cinta métrica, se encuentran ubicados de forma ordenada y con números consecutivos equidistantes. Las divisiones pueden a su vez contener subdivisiones para expresar fracciones o decimales de una medida.

ELEMENTOS DE UNA RECTA NUMÉRICA

Los elementos que podemos incluir en una recta numérica son muy variables, ya que dependerán del uso que hagamos de ella; pero, en esencia, la recta numérica está conformada por una recta horizontal en la que se indican generalmente los números enteros (\mathbb{Z}) con un origen (0) ubicado en el centro. Sin embargo, esta recta no es exclusiva de los números enteros, ya que en ella podemos representar cualquier número real (\mathbb{R}).

A la izquierda del cero se encuentran los números negativos y hacia la derecha los positivos. Además, suponemos que la prolongación de los extremos de la recta representa el infinito tanto positivo (a la derecha) como negativo (a la izquierda).

Los valores en la recta numérica se pueden representar de uno en uno, pero también se puede seleccionar a conveniencia una escala diferente, por ejemplo, de 0,5 en 0,5; o bien, de 3 en 3. También, podemos subdividir cada espacio en la recta real para representar números decimales o fracciones.

La escala de la regla es equivalente a la sección positiva de una recta numérica con una cantidad finita de números. En este caso, los centímetros son la escala principal y las subdivisiones representan los milímetros que proporcionan la parte decimal de una medida. A la menor medida que se pueda obtener con un instrumento se le denomina apreciación.

EL ORDEN DE LOS NÚMEROS

En la recta numérica los números están ordenados en forma ascendente de izquierda a derecha, es decir, si se comparan dos números, será mayor el que se localice más a la derecha.

Como ya hemos visto, cada división puede subdividirse para representar fracciones, las cuales pertenecen al conjunto de los números racionales (\mathbb{Q}). Si para una determinada fracción realizamos la división del numerador entre el denominador, encontraremos su expresión decimal equivalente, es decir, toda fracción se puede expresar como un decimal; sin embargo, no todos los decimales tienen una fracción generatriz.

 

Los números decimales que no podemos expresar en fracciones pertenecen al conjunto de los números irracionales (\mathbb{I}), por ejemplo, el valor \sqrt{2} o la constante \pi. A su vez, los números irracionales son un subconjunto de los números reales.

¿Sabías qué?
Los números negativos fueron aceptados universalmente e incluidos en la recta numérica a finales del siglo XVIII.
La constante π (pi) es un valor que contiene infinitos dígitos no periódicos en su parte decimal, por lo que pertenece al conjunto de los números irracionales. Su ubicación exacta en la recta real supone un inconveniente, por lo que se suele realizar un redondeo, por ejemplo, hasta la centésima (3,14) al momento de representar su valor en la recta numérica.

VER INFOGRAFÍA

Adición y sustracción con la recta numérica

Podemos utilizar la longitud de segmentos de línea a escala sobre la recta numérica para efectuar operaciones de suma y resta. Por ejemplo:

Si queremos sumar 3 + 5, a partir del 0 representamos de izquierda a derecha un segmento de recta de longitud igual a 3 unidades y seguidamente dibujamos de izquierda a derecha otro segmento de longitud igual a 5 unidades. El resultado, será el valor indicado desde cero hasta donde llegue el último segmento trazado:

Ahora bien, si queremos restar 6 − 4, a partir de 0 debemos dibujar de izquierda a derecha una recta de longitud 6 unidades y luego, donde termina dicha recta, trazamos ahora de derecha a izquierda otra recta de longitud 4 unidades (quedará sobre el primer segmento dibujado). El resultado, será el valor indicado desde cero hasta el punto donde coinciden los dos segmentos de recta:

¿CÓMO UBICAR UN RADICAL EN LA RECTA NUMÉRICA?

Algunos números, en especial los radicales, resultan complicados de ubicar con precisión en la recta real, sin embargo, en algunos casos podemos hacer uso del teorema de Pitágoras y un compás, para determinar la ubicación precisa de estos valores.

Cabe destacar que este método es útil cuando podemos expresar el radical como la suma de dos términos que tienen raíces exactas, digamos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49… entre otros.

Uno de los legados más conocidos del filósofo griego Pitágoras fue el teorema que lleva su nombre, el cual establece que en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. Hasta la fecha, este se considera uno de los teoremas más utilizados en la matemática y la física clásica.

Por ejemplo, si deseamos ubicar \sqrt{13} en la recta numérica el procedimiento es el siguiente:

  • Descomponemos el número dentro del radical como la suma de dos términos con raíces enteras:

\sqrt{13}=\sqrt{9+4}

  • Expresamos cada término como la suma de dos cuadrados, es decir, cada término será la raíz de ese valor elevado al cuadrado:

\sqrt{9+4}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}

  • Si hacemos la analogía con el teorema de Pitágoras:

  • La base de cada cateto a y b son los valores de los términos que están elevados al cuadrado dentro de la raíz, es decir, 3 y 2.
  • Para representar el radical en la recta numérica, a partir del cero (0) se construye un rectángulo de base a y altura b (o viceversa); y la diagonal que parte de cero a la otra esquina será la hipotenusa del triángulo rectángulo que quedará con la medida del radical que deseas ubicar.
  • Con un compás, hacemos centro en el origen 0 y con abertura equivalente a la diagonal (hipotenusa), trazamos un arco de circunferencia hasta que corte la recta numérica y ese será el valor del radical que deseamos ubicar: \sqrt{13}.

 

VER INFOGRAFÍA

¡A practicar!

Ubica los siguientes valores en la recta numérica:

a) \frac{3}{4}

Solución

b) \frac{1}{3}

Solución

c) −0,5

Solución

d) Ubica en la recta numérica el valor de \sqrt{20}

Solución
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La recta numérica”

En este artículo encontrarás contenido relacionado con la ubicación de los diferentes conjuntos de números en la recta real, y en particular, la explicación de cómo ubicar un número irracional en dicha recta.

VER

Artículo “Recta numérica”

En este artículo se describen los pasos para ubicar un número entero, fracciones o decimales en la recta numérica.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 3

FRACCIONES Y SUS GRÁFICAS

CUANDO CONTAMOS NUESTROS JUGUETES O LÁPICES USAMOS LOS NÚMEROS NATURALES: 1, 2, 3, … PERO ¿QUÉ SUCEDE SI SOLO TENEMOS LA MITAD DE UN LÁPIZ? EN ESTOS CASOS USAMOS UN TIPO DE NÚMEROS LLAMADO FRACCIÓN. LAS FRACCIONES REPRESENTAN UNA PARTE DE UN ENTERO, ESTÁN FORMADAS POR DOS NÚMEROS NATURALES Y SON MÁS COMUNES DE LOS QUE CREES. ¡APRENDAMOS A GRAFICARLAS!

¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN?

UNA FRACCIÓN REPRESENTA LA PARTE DE UN TODO O DE UNA UNIDAD DIVIDIDA EN PARTES IGUALES.

UNA NARANJA ENTERA ES IGUAL A UNA UNIDAD O EL “TODO”. OBSERVA LA IMAGEN, ¿LA NARANJA ESTÁ ENTERA? ¡NO! ESTÁ PICADA A LA MITAD Y HAY DOS MITADES. SI COMEMOS UNA DE ESTAS PARTES, DECIMOS QUE COMIMOS “MEDIA NARANJA”. ESTO ES UN EJEMPLO DE FRACCIÓN PORQUE COMIMOS UNA PARTE DE UN TODO. PIENSA: ¿EN QUÉ OTRA OCASIÓN USAMOS FRACCIONES?

VER INFOGRAFÍA

ELEMENTOS DE UNA FRACCIÓN

LA FRACCIÓN TIENE DOS ELEMENTOS SEPARADOS POR UNA RAYA: EL NÚMERO DE ARRIBA SE LLAMA NUMERADOR Y EL DE ABAJO SE LLAMA DENOMINADOR.

  • EL NUMERADOR ES IGUAL A LA CANTIDAD DE PARTES QUE SE HAN TOMADO DEL ENTERO.
  • EL DENOMINADOR ES IGUAL A LA CANTIDAD DE PARTES EN LAS QUE SE HA DIVIDIDO AL ENTERO.

TIPOS DE FRACCIONES

LAS FRACCIONES PUEDEN SER PROPIAS O IMPROPIAS.

  • LAS FRACCIONES PROPIAS TIENEN EL NUMERADOR MENOR AL DENOMINADOR.

POR EJEMPLO: \frac{1}{2}, \frac{3}{5} Y \frac{8}{10}.

  • LAS FRACCIONES IMPROPIAS TIENEN EL NUMERADOR MAYOR AL DENOMINADOR.

POR EJEMPLO: \frac{7}{5}, \frac{10}{4} Y \frac{5}{3}.

¿SABÍAS QUÉ?
LAS FRACCIONES TAMBIÉN SE PUEDEN EXPRESAR CON UNA DIAGONAL, POR EJEMPLO,\frac{1}{2} ES IGUAL A 1/2.

¿CÓMO GRAFICAR FRACCIONES?

AL SER LAS PARTES DE UN TODO O UNIDAD, PODEMOS DIBUJAR FRACCIONES POR MEDIO DE GRÁFICOS CON FIGURAS GEOMÉTRICAS.

SI QUEREMOS GRAFICAR LA FRACCIÓN \boldsymbol{\frac{1}{2}} LOS PASOS SON LOS SIGUIENTES:

1. DIBUJAMOS CUALQUIER FIGURA GEOMÉTRICA. EN ESTE CASO DIBUJAMOS UN RECTÁNGULO.

2. VEMOS EL DENOMINADOR DE LA FRACCIÓN. EL DENOMINADOR DE LA FRACCIÓN \boldsymbol{\frac{1}{{\color{Red} 2}}} ES 2, ASÍ QUE DIVIDIMOS EL RECTÁNGULO EN 2 PARTES IGUALES.

3. VEMOS EL NUMERADOR DE LA FRACCIÓN. EL NUMERADOR DE LA FRACCIÓN \boldsymbol{\frac{{\color{Red} 1}}{2}} ES 1, ASÍ QUE COLOREAMOS UNA SOLA PARTE DEL RECTÁNGULO.

 

– OTRO EJEMPLO:

GRAFIQUEMOS LA FRACCIÓN \boldsymbol{\frac{3}{4}}.

PRIMERO DIBUJAMOS LA FIGURA GEOMÉTRICA QUE REPRESENTA AL “TODO”.

¿CUÁL ES EL DE DENOMINADOR? EL DENOMINADOR ES 4. ASÍ QUE DIVIDIMOS LA FIGURA EN 4 PARTES IGUALES.

¿CUÁL ES EL NUMERADOR? EL NUMERADOR ES 3. ENTONCES, COLOREAMOS 3 PARTES DE LA FIGURA.

¡ES TU TURNO!

REALIZA EL GRÁFICO DE ESTAS FRACCIONES:

  • \boldsymbol{\frac{2}{5}}
SOLUCIÓN

  • \boldsymbol{\frac{2}{3}}
SOLUCIÓN

LAS FRACCIONES SON UN TIPO ESPECIAL DE NÚMEROS Y SE LEEN DE UNA MANERA DIFERENTE A LOS DEMÁS. PRIMERO LEEMOS EL NUMERADOR COMO CUALQUIER NÚMERO NATURAL. EL DENOMINADOR CAMBIA SEGÚN EL NÚMERO, SI ES 2 SE LEE “MEDIOS”, SI ES 3 SE LEE “TERCIOS” Y SI ES 4 SE LEE “CUARTOS”. ASÍ, LA FRACCIÓN 1/2 SE LEE “UN MEDIO” Y LA FRACCIÓN 1/3 SE LEE “UN TERCIO”.

FRACCIONES EN LA VIDA COTIDIANA

LAS FRACCIONES FORMAN PARTE DE NUESTRO DÍA A DÍA. USAMOS FRACCIONES CADA VEZ QUE COMPRAMOS PAN, FRUTAS O VEGETALES, PUES PODEMOS PEDIR MEDIO KILOGRAMO DE ALGO. TAMBIÉN USAMOS FRACCIONES CUANDO DAMOS LA HORA Y DECIMOS, POR EJEMPLO, “SON LAS DOS Y CUARTO” LO QUE SIGNIFICA QUE HA PASADO 1/4 DE HORA DESPUÉS DE LAS 2.

– OTRAS SITUACIONES:

  • AL CORTAR UNA FRUTA EN DOS PARTES Y COMER UNA: 
  • AL CORTAR UNA PIZZA EN 4 PARTES Y COMER 2: 
  • AL COMPRAR PRODUCTOS:  KILO DE HARINA.
  • AL REALIZAR UNA PARTE DE UN RECORRIDO. LAURA RECORRIÓ  DE UNA CARRERA.
EN VARIAS SITUACIONES DE NUESTRA VIDA ENCONTRAMOS FRACCIONES DE FORMA GRÁFICA. UN EJEMPLO COMÚN DE FRACCIONES ES CUANDO REPARTIMOS UN PASTEL. EN LA IMAGEN VEMOS UNO CORTADO EN 8 PARTES IGUALES, ES DECIR, EL DENOMINADOR ES 8. TAMBIÉN VEMOS QUE SE TOMA 1 PARTE, ASÍ QUE EL NUMERADOR ES 1 Y LA FRACCIÓN DE ESE PEDAZO ES 1/8. LA TORTA TIENE FORMA DE CÍRCULO Y ES SIMILAR AL GRÁFICO DE LA FRACCIÓN.

¡A PRACTICAR!

ESCRIBE LA FRACCIÓN PARA CADA GRÁFICO:

SOLUCIÓN

PARTES EN LAS QUE SE DIVIDE AL ENTERO: 2

PARTES COLOREADAS: 1

FRACCIÓN: \boldsymbol{\frac{1}{2}}

SOLUCIÓN

PARTES EN LAS QUE SE DIVIDE AL ENTERO: 5

PARTES COLOREADAS: 1

FRACCIÓN: \boldsymbol{\frac{1}{5}}

SOLUCIÓN

PARTES EN LAS QUE SE DIVIDE AL ENTERO: 3

PARTES COLOREADAS: 2

FRACCIÓN: \boldsymbol{\frac{2}{3}}

SOLUCIÓN

PARTES EN LAS QUE SE DIVIDE AL ENTERO: 4

PARTES COLOREADAS: 3

FRACCIÓN: \boldsymbol{\frac{3}{4}}

SOLUCIÓN

PARTES EN LAS QUE SE DIVIDE AL ENTERO: 4

PARTES COLOREADAS: 2

FRACCIÓN: \boldsymbol{\frac{2}{4}}

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Fracciones”

Este recurso cuenta con ejemplos didáctico sobre los tipos de fracciones y cómo graficarlos.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 5

Problemas con fracciones

La fracciones están presentes en la vida cotidiana. Su utilidad es inmensa y sin ellas muchos cálculos matemáticos serían más complejos. La resolución de operaciones como la suma, la resta, la división y la multiplicación se lleva a cabo de una manera particular cuando involucran fracciones.

Cálculo de fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma cantidad pero sus numeradores y denominadores no son iguales. Se pueden calcular por amplificación o por simplificación:

Para encontrar una fracción equivalente por amplificación tenemos que multiplicar el numerador y denominador por un mismo número. En este caso, las fracciones \frac{1}{2} y \frac{2}{4} son equivalentes porque:

Por otro lado, para calcular una fracción equivalente por simplificación, debemos hacer el procedimiento contrario, es decir, dividir el numerador y denominador por un mismo número. En este caso, ambos términos de la fracción deben tener un divisor común, de lo contrario se dice que la fracción es irreducible.

Las fracciones \frac{10}{4} y \frac{5}{2} son fracciones equivalentes porque:

¿Sabías qué?
Las fracciones irreducibles son aquellas cuyo numerador y denominador no tienen un divisor común.

Adición y sustracción de fracciones homogéneas

Sumar o restar fracciones homogéneas es sencillo. Primero se suman o restan los numeradores según indique el signo y el número obtenido será el numerador de la fracción resultante, luego se coloca el mismo denominador. Por ejemplo:

Calcula: \frac{1}{3}+\frac{4}{3}

Suma los dos numeradores, que son 1 y 4, y luego coloca el mismo denominador de las fracciones. La fracción resultante es entonces \frac{5}{3}.

Calcula: \frac{7}{5}-\frac{3}{5}

Resta los numeradores, 7 y 3, y el número obtenido será el numerador de la fracción resultante cuyo denominador será el mismo de las fracciones originales. En este caso, el resultado es \frac{4}{5}.

En la práctica simplificamos fracciones hasta su mínima expresión, es decir, obtenemos fracciones equivalentes que no tengan divisores comunes entre su numerador y su denominador. Hacemos esto porque dichas fracciones simplifican la escritura y los cálculos. Por lo general, para reducir fracciones empleamos los criterios de la divisibilidad.

VER INFOGRAFÍA

Adición y sustracción de fracciones heterogéneas

Las fracciones heterogéneas son aquellas que tienen distinto denominador. Un método para resolver adiciones y sustracciones de este tipo de fracciones es el método en cruz, el cual consiste en calcular fracciones equivalentes con el mismo denominador y luego sumar o restar según indique el signo.

Pasos para resolver sumas y restas de fracciones heterogéneas

  1. Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, luego coloca el signo según indique la operación y seguido de eso multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. La suma o resta de esos dos productos será el numerador de la fracción resultante.
  2. Multiplica el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda, el resultado de esa multiplicación será el denominador de la fracción resultante.

Calcula: \frac{4}{3}+\frac{5}{2}

Se aplican los pasos anteriores, es decir: multiplicamos el numerador de la primera fracción (4) por el denominador de la segunda (2), colocamos el signo más (+) y luego multiplicamos el denominador de la primera fracción (3) por el numerador de la segunda fracción (5). Ambos productos forman parte del numerador de la fracción resultante.

Luego multiplicamos los denominadores y el producto formará parte del denominador de la fracción resultante.

Resolvemos los productos.

Finalmente, resolvemos la suma en el denominador y obtenemos el resultado:

 

Calcula: \frac{5}{2}-\frac{1}{4}

El procedimiento es el mismo que el anterior, pero al momento de realizar los productos cruzados colocamos el signo menos (−) y luego restamos. El procedimiento sería el siguiente:

Simplificación

Podemos simplificar la fracción \frac{18}{8} y llevarla a su mínima expresión, para esto solo dividimos el numerador y el denominador por dos (2). Por lo tanto:

\frac{18}{8}=\frac{9}{4}

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de fracciones se realiza de forma lineal entre sus elementos, es decir, primero multiplicamos todos los numeradores y el producto será el numerador resultante. Luego multiplicamos todos los denominadores y el producto será el denominador de la fracción resultante.

Calcular: \frac{5}{3}\times \frac{3}{2}.

Simplificación

Podemos simplificar la fracción \frac{15}{6} y llevarla a su mínima expresión, para esto solo dividimos el numerador y el denominador por tres (3). Por lo tanto:

\frac{15}{6}=\frac{5}{2}

La inversa de una fracción es aquella en la que su numerador es igual al denominador y el denominador es igual al numerador de la primera fracción en ambos casos. La inversa de la fracción 3/2 es 2/3 y la inversa de 5/8 es 8/5. Si multiplicamos una fracción por su inversa, el resultado siempre va a ser la unidad. En este sentido 3/2 x 2/3 = 1 y 5/8 x 8/5 = 1.
¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de fracciones:

a) \frac{7}{9}+\frac{1}{9}

Solución
\frac{8}{9}

b) \frac{3}{5}-\frac{1}{2}

Solución
\frac{1}{10}

c) \frac{9}{7}+\frac{5}{7}

Solución
\frac{14}{7}

La fracción simplificada es \frac{2}{1}=2

d) \frac{13}{20}-\frac{8}{20}

Solución
\frac{5}{20}

La fracción simplificada es \frac{1}{4}. 

e) \frac{4}{5}+\frac{6}{9}

Solución
\frac{66}{45}

La fracción simplificada es \frac{22}{15}.

2. Resuelve las siguientes multiplicaciones:

a) \frac{3}{5}\times \frac{4}{9}

Solución
\frac{12}{45}

La fracción simplificada es \frac{4}{15}. 

b) \frac{5}{8}\times \frac{3}{9}

Solución
\frac{15}{72}

La fracción simplificada es \frac{5}{24}.

c) \frac{1}{8}\times \frac{7}{2}

Solución
\frac{7}{16}

d) \frac{3}{8}\times \frac{4}{7}

Solución
\frac{12}{56}

La fracción simplificada es \frac{3}{14}.

e) \frac{9}{4}\times \frac{8}{3}

Solución
\frac{72}{12}

La fracción equivalente es \frac{6}{1}=6

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Adición y sustracción de fracciones”

En este artículo destacado se exponen diferentes formas de resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual o diferente denominador.

VER

Artículo “Multiplicación y división de fracciones”

En este artículo se expone cómo resolver problemas de multiplicación de fracciones. También describe como realizar la simplificación de estos números y ayuda a comenzar a trabajar con problemas de división de fracciones.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 6 (REVISIÓN)

Fracciones | ¿Qué aprendimos?

¿Qué son las fracciones?

Una fracción está formada por dos términos principales: el numerador y el denominador. Estos son números enteros que están separados por una línea horizontal denominada raya divisoria o raya fraccionaria. Una fracción es la división de un entero o una unidad en partes iguales. El numerador indica las partes a considerar de esa división y el denominador indica las partes en las que se dividió el entero o unidad. Estos números son más antiguos que lo que se piensa y están relacionados con la división.

Las fracciones están presentes en la vida cotidiana, sobre todo en las mediciones usadas en la cocina, pero también están presentes en algunas monedas.

Fracciones diversas

De acuerdo a la relación que exista entre el numerador y el denominador, las fracciones pueden ser propias o impropias. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador, contrario a las fracciones impropias, en las que el numerador es mayor que el denominador. Por otro lado, si comparamos dos o más fracciones, estas pueden ser homogéneas o heterogéneas. Las fracciones homogéneas son las que poseen el mismo denominador, las heterogéneas, en cambio, presentan diferentes denominadores.

Las fracciones pueden expresarse en forma de gráfica o viceversa. Lo emocionante de ellas es que las usamos a diario para dividir cosas o cantidades.

Gráficas de fracciones

Las fracciones suelen expresarse en gráficos para interpretar de manera más sencilla los datos. La forma para representar estos gráficos dependen del tipo de fracción. Si la fracción es propia elegimos cualquier figura, la dividimos en partes iguales según el denominador y señalamos las partes que indique el numerador. Cuando se trata de una fracción impropia dividimos una figura geométrica en las partes que señale el denominador, pero debido a que en este tipo de fracción el numerador es mayor que el denominador, serán necesarias más de una figuras.

Los números mixtos son un tipo de número fraccionario que posee una parte entera y otra fraccionaria.

Orden de fracción

Las fracciones presentan un sentido de orden, es decir, hay fracciones que son mayores o menores que otras. Una herramienta muy útil para reconocer este orden es la recta numérica. Se trata de un gráfico en forma de línea horizontal en el que los números están ordenados de menor a mayor. Para ubicar fracciones propias en la recta numérica dividimos la unidad en segmentos iguales según indique el denominador y la fracción se ubicaría en el número de segmento indicado por el numerador. Las fracciones impropias, por su parte, deben ser transformadas en números mixtos.

En la recta numérica, si se toma un número como referencia, los números de su izquierda son menores a él y los de la derecha mayores.

Problemas con fracciones

Las fracciones, además de ayudarnos a resolver problemas que impliquen proporciones, nos permiten resolver las operaciones básicas matemáticas como la adición, la sustracción, la multiplicación y al división. En el caso de la adición y la sustracción de fracciones debemos tener en cuenta su tipo: si las fracciones son homogéneas sumamos o restamos los numeradores y colocamos el denominador, si son heterogéneas usamos el método de cruz para resolverlas. Las multiplicaciones se resuelven de forma lineal, al multiplicar los numeradores y los denominadores.

La adición y sustracción de fracciones heterogéneas suele realizarse por el método en cruz que permite calcular de manera directa fracciones equivalentes.

CAPÍTULO 3 / TEMA 4

Orden de Fracción

Las fracciones forman parte del conjunto de números racionales. Estos números pueden ser expresados como cociente de un número entero y un número natural. Todos los números siguen una secuencia, por lo tanto, es posible ordenarlos en la recta numérica y determinar cuál número es mayor, menor o igual a otro.

Ordenar fracciones en la recta numérica

La recta numérica es un recurso muy útil para comparar números. Consiste en un gráfico en forma de línea en el que se ordenan los números de menor a mayor en sentido de izquierda a derecha.

Las fracciones propias (las que tienen el numerador menor que el denominador) son las más fáciles de graficar porque solo tienes que dividir la unidad en tantos segmentos iguales como indique el denominador y luego, según el numerador, contar los segmentos y ubicar la fracción en la recta.

Por ejemplo, si queremos graficar la fracción \frac{5}{6}, tenemos que dividir la unidad en seis segmentos iguales:

Para ubicar la fracción contamos los segmentos que nos indique el numerador, como en este caso el numerador es cinco (5), se cuentan cinco segmentos a partir del cero:

Por medio del diagrama anterior también podemos graficar la fracción \frac{1}{6} , que es una fracción que comparte el mismo denominador con la fracción \frac{5}{6} ya ubicada en la gráfica. Al seguir los mismos pasos anteriores se obtiene:

Las fracciones con el mismo denominador se pueden comparar fácilmente, la que tenga el numerador mayor será también la mayor fracción. Es por eso que \frac{5}{6} es mayor que \frac{1}{6}.

¿Sabías qué?
En la recta numérica, un número es mayor a los números ubicados a su izquierda y menor a los ubicados a su derecha.

¿Qué hacer si tenemos dos fracciones con denominadores diferentes?

Cuando existan dos fracciones con denominadores diferentes multiplicamos el numerador y denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, y así, tendremos una fracción equivalente. Luego se hace lo mismo con la segunda fracción pero se multiplica su numerador y denominador por el denominador de la primera fracción.

Las dos fracciones obtenidas tendrán el mismo denominador y de esta manera, solo queda ubicar la fracción en la recta tal como se explicó en el punto anterior.

Por ejemplo, si queremos ubicar las fracciones \frac{1}{2} y \frac{3}{4} en la recta numérica, no podemos dividir la recta en segmentos iguales porque no comparten el mismo denominador. Entonces determinamos fracciones equivalentes de cada una, es decir, calculamos fracciones que con diferente valor de numerador y denominador representan la misma cantidad.

Para calcular la fracción equivalente de \frac{1}{2} multiplicamos su numerador y denominador por el denominador de la segunda fracción que es cuatro (4):

\frac{1\times 4}{2\times 4}= \frac{4}{8}

En este sentido, la fracción \frac{4}{8} es equivalente a \frac{1}{2}.

Calculamos ahora la fracción equivalente de \frac{3}{4} que se obtiene al multiplicar su numerador y denominador por el denominador de la primera fracción que es dos (2).

\frac{3\times 2}{4\times 2}= \frac{6}{8}

De esta manera obtenemos la fracción \frac{6}{8} que es equivalente con \frac{3}{4}.

Las fracciones \frac{4}{8} y \frac{6}{8} son equivalentes con las fracciones anteriores. Observemos que tienen el mismo denominador y para poder ubicarlas en la recta numérica debemos dividir la unidad en 8 segmentos iguales, después escribimos cada fracción en el número de segmento que indique su respectivo numerador. El gráfico quedaría:

Como \frac{4}{8} representa la misma cantidad que \frac{1}{2}, y \frac{6}{8} representa la misma cantidad que \frac{3}{4}. Estas fracciones pueden ser sustituidas en la recta numérica anterior:

De la imagen anterior se puede que concluir que \frac{3}{4} es mayor que \frac{1}{2} por estar ubicado a su derecha.

La recta numérica es una herramienta muy usada para ordenar y observar de manera más sencilla los datos. Este simple gráfico, además de los números naturales, permite ubicar números negativos, números racionales y números irracionales. Hay disciplinas como la física que emplean este tipo de diagrama para resolver problemas de cuerpos en movimiento.

¿Qué hacer si la fracción es impropia?

Si la fracción es impropia (aquella que su numerador es mayor que el denominador) se debe transformar a un número mixto: un número formado por una parte entera y una fracción. En la gráfica, la fracción impropia estará ubicada entre el número entero del número mixto y el número siguiente de la recta. La ubicación exacta la proporciona la parte fraccionaria y la graficamos como se explicó en los casos anteriores.

Pasos para transformar una fracción impropia a un número mixto

1. Divide el numerador entre el denominador.

2. Escribe el cociente de la división anterior, el mismo será la parte entera del número mixto.

3. Escribe al lado de la parte entera la fracción del número mixto. En esta, el numerador será igual al resto de la división y el denominador será el mismo de la fracción original.

– Grafiquemos la fracción \frac{5}{3}

Lo primero es transformar la fracción a número mixto, para esto solo debes dividir el numerador entre el denominador:

El número mixto será 1\frac{2}{3}. Observa que:

  • La parte entera es el cociente de la división: 1.
  • El numerador de la parte fraccionaria es el resto: 2.
  • El denominador de la parte fraccionaria es el mismo de la fracción original: 3.

Ahora que tenemos nuestro número mixto sabemos que la fracción se encuentra ubicada entre el 1 y el 2 de la recta numérica, pero no sabemos en qué lugar. Para ello debemos hacer los mismos pasos que hicimos inicialmente para graficar fracciones, es decir, dividir el entero o unidad (que en este caso será el intervalo comprendido entre 1 y 2. Como el divisor es tres (3) entonces dividimos el intervalo en tres segmentos iguales:

Luego ubicamos la fracción de acuerdo a la cantidad de segmentos que indique el numerador. De esta manera, el número mixto que es igual a la fracción original se ubicaría así:

Relación de orden entre fracciones y naturales

Los números que se representan en la recta numérica cumplen el mismo criterio: los números de la izquierda de un número son menores a este y los de su derecha son mayores. Es por ello que representar las fracciones en la recta es de gran utilidad, pues permite relacionar los números de manera más fácil.
En el ejemplo anterior, la fracción \frac{5}{3} se ubica en la gráfica entre el número 1 y el número 2. De esta manera, la fracción es mayor a 1 por estar a su derecha pero es menor que 2 por estar a su izquierda.

Uso de los símbolos “>” y “<“

Hay números naturales o fraccionarios que representan una mayor cantidad que otros. Por ejemplo, no es lo mismo decir 3 computadoras que decir 1.500 computadoras. Esta relación entre los números se denomina orden y nos permite diferenciar números mayores o menores.

En la práctica se emplean los símbolos “>” y “<” para denotar el orden de los números:

Símbolo Significado
> Mayor que
< Menor que

Por ejemplo, el 5 es mayor que el 2, entonces, se puede expresar como 5> 2. Por otro lado, el número 3 es menor que el 9, en este caso se expresaría como 3<9.

La misma teoría es aplicada a las fracciones. De los ejemplos anteriores tenemos que:

a) \frac{3}{4}> \frac{1}{2}

b) \frac{5}{3}<2

¿Cómo reconocer cuando una fracción es menor o mayor que otra?

Si las fracciones tienen el mismo denominador, se comparan los numeradores, el numerador mayor corresponde a la fracción mayor. Por ejemplo:

a) \frac{5}{2}> \frac{3}{2}

b) \frac{2}{7}< \frac{6}{7}

Si las fracciones tienen denominadores diferentes, se convierten ambas en fracciones equivalentes con el mismo denominador. Por ejemplo, las fracciones \frac{3}{5} y \frac{5}{2}

\frac{3}{5}\rightarrow \frac{3\times 2}{5\times 2}= {\color{Red} \frac{6}{10}}

\frac{5}{2}\rightarrow \frac{5\times 5}{2\times 5}= {\color{Red} \frac{25}{10}}

En este ejemplo, como \frac{6}{10}< \frac{25}{10}, entonces \frac{3}{5}< \frac{5}{2}.

 

Las fracciones equivalentes son aquellas que aunque tengan diferente numerador y denominador, representan la misma cantidad. Son útiles para comparar fracciones y también para simplificar operaciones, como la suma de fracciones con diferentes denominadores. Existen varias formas de calcularlas, como el método del mínimo común múltiplo.
¡A practicar!

1. ¿Qué fracción representa la siguiente gráfica?

a) \frac{6}{2}

b) \frac{3}{1}

c) \frac{3}{6}

d) \frac{3}{2}

Solución
c) \frac{3}{6}

2. ¿Cuál de las siguientes imágenes representa la gráfica de la fracción \frac{5}{9}?
a)

b)

c)

d)

Solución
c)

3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?

a) \frac{9}{10} y \frac{7}{10}

Solución
\frac{9}{10}

b) \frac{3}{2} y \frac{1}{4}

Solución
\frac{3}{2}

4. ¿Cuál de las siguientes fracciones es menor?

a) \frac{2}{5} y \frac{1}{2}

Solución
\frac{2}{5}

b) \frac{7}{4} y \frac{9}{6}

Solución
\frac{9}{6}

5. Completa la expresión con los símbolos “>” y “<“.

a) \frac{3}{2}\sqsubset \sqsupset \frac{1}{2}

Solución
>

b) \frac{5}{9}\sqsubset \sqsupset \frac{8}{9}

Solución
<

c) \frac{5}{2}\sqsubset \sqsupset \frac{7}{4}

Solución
>

d) \frac{1}{9}\sqsubset \sqsupset \frac{3}{8}

Solución
<

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La recta numérica”

En este artículo destacado se explica con mayor detalle qué es la recta numérica y cómo representar en ella varios tipos de números como los fraccionarios.

VER

Artículo “Comparar y ordenar números”

El presente artículo permite conocer los símbolos usados en la comparación de números y muestra una serie de ejemplos de acuerdo a la cantidad de dígitos o cifras.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 3

Gráficas de fracciones

Las gráficas son recursos visuales que permiten representar datos numéricos, como las fracciones. En este tipo de problemas podemos usar gran variedad de figuras para expresar una fracción de manera más sencilla, y así facilitar su interpretación. Los pasos para poder graficar una fracción dependen de su tipo.

Graficar una fracción propia

Podemos expresar fracciones a través de diagramas, pero para comprender cómo realizar un gráfico es importante recordar que una fracción es la representación de una o varias partes iguales de la unidad, donde:

El denominador representa el número de partes que se dividen de la unidad.

El numerador es el número de partes que se toman o se consideran de la unidad.

Toda fracción propia cumple una condición: el numerador siempre es menor que el denominador.

Pasos para graficar una fracción propia

  1. Elige la figura en la que se va a representar la fracción. Puede ser un triángulo, círculo, cuadrado, rectángulo, etc.
  2. Divide la figura elegida en tantas partes como indique el denominador de la fracción. Todas las partes deben ser iguales.
  3. Señala el número de partes que indique el numerador de la fracción.

– Grafica la fracción \frac{3}{4}

La figura que seleccionaremos en este caso será un triángulo, pero recuerda que puede ser cualquier figura. Como el denominador de la fracción es cuatro (4), la figura debe estar dividida en cuatro partes iguales:

Luego señalamos el número de partes que indique el numerador, en este caso serían tres (3) partes:

De manera gráfica es más fácil entender la representación de la fracción “tres cuartos”.

Otros ejemplos:

¿Sabías qué?
Las fracciones no solo pueden representarse con figuras geométricas, también lo pueden hacer en la recta numérica.

¿Cómo graficar fracciones cuyo numerador es igual al denominador?

A este tipo de fracción se lo denomina fracción igual la unidad porque, al ser iguales el numerador y el denominador, el cociente de ambos siempre va a ser uno (1). Por esta razón la representamos como toda la figura geométrica:

VER INFOGRAFÍA

Graficar una fracción impropia

En las fracciones impropias el numerador siempre es mayor al denominador y, como su resultado es mayor a la unidad, se requiere más de una figura geométrica para representarlas.

Pasos para graficar una fracción impropia

  1. Elige la figura en la que se va a representar la fracción.
  2. Divide la figura elegida en tantas partes como indique el denominador de la fracción. Todas las partes deben ser iguales.
  3. Señala el número de partes que indique el numerador de la fracción. Como es una fracción impropia van a faltar partes para señalar.
  4. Realiza tantas figuras geométricas hasta que el número de partes del numerador pueda ser señalado.

– Grafica la fracción \frac{10}{6}

Primero se divide la figura en 6 partes iguales:

Como el numerador es igual a 10, nos hace falta otra figura idéntica para completar las 10 partes que se van a seleccionar. Recuerda que se pueden agregar tantas figuras como sean necesarias hasta poder representar el número de partes del numerador.

Como las fracciones impropias tienen el numerador mayor al denominador, siempre van a estar representadas con más de una figura, porque representan a “algo” mayor que la unidad. Por esta razón, las fracciones de este tipo también pueden representarse como números mixtos. Por ejemplo la fracción 10/6 en número mixto se representa como 1 4/6.

 

Problemas cotidianos

Expresiones como “un cuarto de hora”, “media taza de té”, “tres cuartas partes de la población”, son algunos ejemplos en los que se emplean las fracciones dentro del lenguaje cotidiano. Por eso es común encontrarnos con fracciones y resolver problemas habituales. Algunos ejemplos son los siguientes:

– En una escuela solo la cuarta parte de los estudiantes practica fútbol, ¿cuál sería la representación gráfica de esa proporción?

Las expresión “cuarta parte” hace referencia a la fracción un cuarto: \frac{1}{4}. Entonces, lo que debemos hacer es graficar dicha fracción y responder así la interrogante del problema:

– En una fiesta compraron 3 pizzas del mismo tamaño que estaban cortadas en 4 partes iguales cada una. Uno de los invitados se comió una de las porciones, ¿cómo se puede expresar en forma de fracción al número de porciones de pizza que quedaron?

Lo primero que tenemos que hacer es imaginarnos las pizzas con el número total de porciones:

De la imagen determinamos que originalmente habían 12 porciones. Luego tenemos que imaginar cuántas porciones quedaron después de que el invitado se comiera una de ellas:

La imagen anterior representaría la gráfica del problema, ahora lo que debemos hacer es determinar la fracción de ella. Recordemos que el denominador es el número en el que se divide la unidad, en este caso la unidad es cada pizza y cada una de ellas está cortada o dividida en cuatro porciones, por lo tanto, el denominador es 4.

Como el numerador es el número de partes que se considera de la unidad, en este caso serían las porciones que quedaron, por lo tanto, el numerador es 11.

De esta manera se concluye que quedaron \frac{11}{4} de porciones de pizza.

Observa que \frac{11}{4} es una fracción impropia y por eso la unidad (la pizza) fue graficada más de una vez.

¡A practicar!

1. ¿Qué fracción representan las siguientes gráficas?

a)

Solución
\frac{2}{6}
b) 
Solución
\frac{3}{4}
c) 
Solución
\frac{5}{7}
d) 
Solución
\frac{2}{4}
e) 
Solución
\frac{7}{3}
e) 
Solución
\frac{2}{2}

2. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa al siguiente gráfico?


a) Un quinto de taza de café.
b) Cinco medios de cucharadas de azúcar.
c) Tres medios de harina.
d) Tres quintas partes de agua.
e) Dos terceras partes de vinagre.

Solución
d) Tres quintas partes de agua \left ( \frac{3}{5} \right ).

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Fracciones”

El presente artículo destacado explica los elementos de una fracción y la forma de graficarlas de acuerdo a sus tipos. También presenta una serie de ejemplos que facilitan su comprensión.

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Enciclopedia “Recursos para docentes”

La enciclopedia muestra algunas herramientas para ayudar el proceso de aprendizaje de los estudiantes en todas las áreas de estudio.

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CAPÍTULO 3 / TEMA 2

Fracciones diversas

Las fracciones pueden clasificarse en dos grupos: fracciones propias y fracciones impropias. Estas clasificaciones dependen de la relación que exista entre el numerador y el denominador. Por otro lado, el denominador de una fracción también permite compararla con otra para saber si es homogénea o heterogénea.

Fracciones propias e impropias

Una fracción propia es aquella donde el denominador es mayor que el numerador. A este tipo de fracción también se la conoce como fracción pura. Las siguientes fracciones son ejemplos de fracciones propias o puras:

\frac{1}{8}; \frac{5}{33}; \frac{9}{10}; \frac{97}{99}

Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción propia el resultado siempre estará comprendido entre cero (0) y uno (1), es decir:

\frac{1}{8}= 0,125

\frac{5}{33}=0,\widehat{15}

\frac{1}{9} = 0,\widehat{1}

\frac{97}{99}=0,\widehat{97}

 

¿Sabías qué?
De acuerdo a cada país se pueden usar los términos fracción propia o pura e impropia o impura para referirse a los mismos tipos de fracciones.

Una fracción impropia es aquella cuyo numerador siempre es mayor que el denominador. Se la conoce también como fracción impura y algunos ejemplos son los siguientes:

\frac{5}{2}; \frac{7}{3}; \frac{14}{5}; \frac{3}{2}

Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción impropia el resultado siempre será mayor a uno (1). Por ejemplo:

\frac{5}{2}=2,5

\frac{7}{3}=2,\widehat{3}

\frac{14}{5}=2,8

\frac{3}{2}=1,5

 

Fracciones aparentes

Son fracciones en las cuales la división entre el numerador y denominador es igual a un número entero. La fracción \frac{8}{2} es una fracción aparente porque 8 ÷ 2 = 4 y el cuatro (4) es un número entero. Las fracciones aparentes se distinguen porque el numerador siempre es un múltiplo del denominador.

Fracciones homogéneas y heterogéneas

Como ya sabemos, el denominador en una fracción determina en cuántas partes está dividido el entero. Sin importar su numerador, dos fracciones son homogéneas si comparten el mismo denominador:

\frac{1}{3} y \frac{2}{3} son fracciones homogéneas porque su denominador es el mismo: 3. En las fracciones homogéneas el entero se ha dividido por la misma cantidad de partes:

Por otro lado, dos fracción son heterogéneas si sus denominadores son diferentes, es decir, el entero se dividió en partes diferentes para cada caso:

¿Qué es una fracción equivalente?

Equivalente quiere decir “de igual valor”, en este sentido, las fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma cantidad. Las fracciones \frac{1}{2}; \frac{2}{4} y \frac{3}{6} son equivalentes:

Pasos para determinar si dos fracciones son equivalentes

1. Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.

2. Multiplica el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera.

3. Si los productos anteriores son iguales, entonces las fracciones son equivalentes.

– Determina si las fracciones \frac{1}{3} y \frac{3}{9} son equivalentes.

Lo primero que debemos hacer es multiplicar el numerador de la primera fracción que es 1 por el denominador de la segunda fracción que es 9. Luego multiplicamos el numerador de la segunda fracción que es 3 por el denominador de la primera fracción que también es 3.

En este caso ambas fracciones son equivalentes porque los productos cruzados son iguales.

– Determina si las fracciones \frac{2}{5} y \frac{3}{4} son equivalentes.

Realizamos los productos cruzados y comparamos los resultado:

Como el producto cruzado dio diferente, entonces, las fracciones no son equivalentes.

Existen otras maneras para comprobar fracciones equivalentes, una de las más conocidas es transformar las fracciones a decimales, es decir; dividir el numerador de cada una entre su denominador correspondiente, ambos resultados deben ser iguales para que sean consideradas fracciones equivalentes; por ejemplo; 1/2 y 2/4 son equivalentes porque 1 ÷ 2 = 0,5 y 2 ÷ 4 =0,5.
¡A practicar!

1. Determina si la fracción mostrada es propia o impropia.

a) \frac{23}{40}

Solución
Propia.

b) \frac{3}{2}

Solución
Impropia.

c) \frac{2}{5}

Solución
Propia.

d) \frac{12}{11}

Solución
Impropia.

2. Determina si las siguientes fracciones son homogéneas o heterogéneas.

a) \frac{7}{10} y \frac{9}{10}

Solución
Son fracciones homogéneas.

b) \frac{11}{6} y \frac{14}{9}

Solución
Son fracciones heterogéneas.

c) \frac{13}{4} y \frac{9}{4}

Solución
Son fracciones homogéneas.

d) \frac{58}{7} y \frac{58}{17}

Solución
Son fracciones heterogéneas.

3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a \frac{5}{2}?

a) \frac{2}{5}

b) \frac{10}{2}

c) \frac{52}{10}

d) \frac{15}{6}

Solución
d) \frac{15}{6}

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Clasificación de fracciones”

Este artículo destacado trata sobre las características principales de las fracciones y los diferentes criterios para clasificarlas. También se muestran una serie de ejemplos que facilitan su comprensión.

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Micrositio “Tarjetas educativas – Operaciones matemáticas”

En el siguiente micrositio se presentan las principales operaciones matemáticas, especialmente las operaciones básicas realizadas con fracciones.

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Video “Fracciones decimales”

Este video permite convertir números decimales en fracciones y con ello se puede establecer una relación con las fracciones propias.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 2

COMPARACIÓN DE CANTIDADES

Día a día comparamos números. Lo hacemos al ver que un precio es más bajo que otro, que los grados aumentan o disminuyen en el termómetro de acuerdo a la temperatura, o que un compañero tuvo una calificación diferente a la nuestra. Todos los números pueden compararse entre sí y para hacerlo existen algunas reglas y símbolos especiales.

Los números de nuestro sistema decimal poseen valores absolutos y relativos. El valor absoluto no considera la posición de la cifra, mientras que el relativo sí. De este modo, y en su función de representar cantidades, podemos hallar números que son mayores que otros. Esta relación nos permite establecer un orden entre ellos.

USO DE LOS SÍMBOLOS DE RELACIÓN

¿Qué son los símbolos de relación?

Son aquellos que permiten comparar números según el valor que estos tengan. Así, al observar dos cantidades podemos determinar si una es mayor, menor o igual que la otra. Para indicar estas relaciones colocamos los siguientes símbolos:

  • >, se lee “mayor que”.
  • <, se lee “menor que”.
  • =, se lee “igual a”.

Mayor que (>)

Todo número ubicado a la izquierda del símbolo “>“ será mayor que el número ubicado a su derecha, entonces, si el símbolo se encuentra entre dos números, significa que el primero es mayor que el segundo.

Menor que (<)

Todo número ubicado a la izquierda del símbolo “<“ será menor que el número ubicado a su derecha, entonces, si el símbolo se encuentra entre dos números, significa que el primero es menor que el segundo.

Igual a (=)

Los números ubicados tanto a la derecha como a la izquierda del símbolo “=” son iguales.

¿Sabías qué?
El matemático inglés Robert Recorde fue quien inventó el símbolo de igualdad. Le dio esta forma porque decía que “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”.
Existe una manera sencilla de memorizar los símbolos de relación y su función, consiste en fijarse en sus extremos. “Mayor que” y “menor que” apuntan su parte más ancha y abierta hacia el número mayor y su parte más cerrada y fina hacia el número menor. Ya que leemos de izquierda a derecha, el primero de los dos extremos que veamos nos dirá cuál símbolo es.

ESTABLECER ORDEN ENTRE DIFERENTES CANTIDADES

Orden de los números naturales

Los números naturales son los números que usamos para contar y con los que estamos más familiarizados. El orden de estos números comienza con sus unidades básicas, que se distribuyen de la siguiente manera:

Posterior al número 9 comienzan los números de dos cifras, formados por decenas y unidades:

El orden de los números naturales continúa en crecimiento hasta alcanzar el número 100, momento en el que se llega a las 3 cifras y aparece la primera centena de la sucesión:

El proceso se repite mientras se suman más y más cifras a la izquierda del número, cada una en representación de un valor mayor:

Esto indica que mientras más cifras tenga un número natural, mayor será su valor. Sin embargo, si dos números poseen la misma cantidad de cifras, hay que diferenciar los valores de cada dígito.

Observa estos ejemplos:

– Compara los números 110 y 120.

Primero vemos sus centenas. En este caso, las dos centenas son iguales (1), así que pasamos a las decenas. Estas son distintas y, por lo tanto, comparamos esos dos dígitos. Como 1 es menor que 2, entonces 110 es menor que 120.

– Compara los números 122 y 123.

Estos números tienen centenas y decenas iguales, así que pasamos a comparar las unidades. Como 2 es menor que 3, decimos que 122 es menor que 123.

– Compara los números 5.392.897 y 5.403.121.

La primera cifra corresponde a las unidades de millón y es la misma en los dos números. Comparamos entonces la siguiente cifra: la centena de mil. Como 3 es menor que 4, decimos que 5.392.897 es menor que 5.403.121.

– Compara los números 25.072.518 y 25.072.523.

Al igual que los casos anteriores, comparamos de izquierda a derecha cada cifra hasta ubicar las que tienen distinto valor. En este ejemplo, las decenas son distintas. Como 1 es menor que 2, decimos que 25.072.518 es menor que 25.072.523.

¡Es tu turno!

– Compara estos números.

  • 9.854.125.369 y 9.854.311.003

Solución
9.854.125.369 < 9.854.311.003
  • 658.899.157.021 y 658.899.157.001

Solución
658.899.157.021 > 658.899.157.001
Desigualdades

Las desigualdades, también llamadas inecuaciones, son expresiones algebraicas que contienen incógnitas y emplean símbolos para expresar la relación entre las partes. Los símbolos usados son:

<   menor que

>   mayor que

≤   menor o igual que

≥   mayor o igual que

≠   no es igual a

Orden de los números enteros

Los números enteros están formados por los números naturales y los números negativos. Los números negativos poseen una peculiaridad que los diferencia de los positivos: sus valores actúan de forma completamente opuesta. A partir de cero hacia la derecha, los números naturales se hacen cada vez mayores; en cambio, a partir de cero hacia la izquierda, los números negativos se hacen cada vez menores.

Esto quiere decir que si 2 es mayor que 1, −2 es menor que −1.

Es así como los números negativos siguen las mismas reglas de jerarquía que los naturales, pero de forma opuesta. Por ejemplo:

Los dos números tienen la misma cantidad de centenas y de decenas, pero las unidades son distintas. Como −4 es menor que −3, decimos que −424 es menor que −423.

 ¡Colócalos en orden!

– Ordena los siguientes números enteros de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente.

4, 26, −26, 572, 54, −175, 274, −265, 675, 345, −98, 213, 0, 9, 73, −44

Solución
−265 < −175 < −98 < −44 < −26 < 0 < 4 < 9 < 26 < 54 < 73 < 213 < 274 < 345 < 572 < 675

El orden entre los números decimales

Los números decimales son aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal, es decir, una cantidad inferior a la unidad. Ambas partes son separadas por una coma.

El orden que siguen los números decimales es parecido a los explicados anteriormente. Observa este ejemplo:

1,4 es menor que 2,4 porque solo se consideraron sus partes enteras.

Si la parte entera de los números es la misma, empezamos a considerar la parte decimal, la cual se divide en cifras con nombres específicos: décimas, centésimas y milésimas. Estas tres unidades decimales son las más comunes, pero la cantidad de cifras puede extenderse hasta el infinito.

Lo más importante a saber para poder ordenar números decimales es que las décimas tienen mayor valor que las centésimas, y estas, a su vez, valen más que las milésimas. Observa las equivalencias:

  • 1 décima = 0,1 unidades
  • 1 centésima = 0,01 unidades
  • 1 milésima = 0,001 unidades

Por lo tanto: 0,1 > 0,01 > 0,001

Ejemplo:

– Compara los números 2,3462 y 2,35.

La parte entera del número es la misma, así que pasamos a la parte decimal. Las décimas son iguales, pero las centésimas no. Como 4 es menor que 5, decimos que 2,3462 es menor que 2,35.

¿Sabías qué?
A diferencia de los números enteros, la cantidad de decimales no determina el valor del número.

¡Colócalos en orden!

– Ordena los siguientes números decimales de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente.

2,4398; 57,3; 42,45; 17,58; 17,123; 17,982; 17,512; 17,244935; 4,87; 17,983

Solución
2,4398 < 4,87 < 17,123 < 17,244935 < 17,512 < 17,58 < 17,982 < 17,983 < 42,45 < 57,3

Orden de números fraccionarios

Los números fraccionarios o fracciones son aquellos números que representan una división o la separación de algo en varias partes. Están formados por un numerador y denominador, ambos separados por una barra horizontal.

VER INFOGRAFÍA

La comparación de fracciones dependerá del numerador y el denominador. Los casos pueden ser los siguientes:

  • Fracciones con igual denominador.
  • Fracciones con igual numerador.
  • Fracciones con diferentes numeradores y denominadores.

Fracciones con igual denominador

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la mayor fracción será aquella con mayor numerador. Por ejemplo:

¿Por qué \frac{2}{8} es menor que \frac{4}{8}?

Observa las gráficas:

Las dos gráficas están divididas en 8 partes, como lo indica el denominador. En la primera tomamos 2 partes de las 8 (2/8), y en la segunda tomamos 4 partes (4/8). Hay más partes tomadas en la segunda gráfica.

Puedes comprobarlo por medio de divisiones:

\frac{2}{8} = 2 : 8 = \mathbf{0,25}

\frac{4}{8} = 4 : 8 = \mathbf{0,5}

Si comparamos estos números decimales, tenemos que:

0,25 < 0,5

Que es igual a:

\frac{2}{8}< \frac{4}{8}

Fracciones con igual numerador

Si dos fracciones tienen el mismo numerador, la mayor fracción será aquella con menor denominador. Por ejemplo:

¿Por qué \frac{2}{6} es menor que \frac{2}{4}?

Observa las gráficas:

En las dos gráficas tomamos 2 partes, como lo indica el numerador. La primera se dividió en 6 partes totales y la otra en 4 partes totales. A pesar de que el número 6 es mayor que 4, aquí el 6 indica una mayor cantidad de divisiones y esto le resta valor a la fracción.

Puedes comprobarlo por medio de divisiones:

\frac{2}{6} = 2 : 6 = 0,\bar{\mathbf{33}}

\frac{2}{4} = 2 : 4 = \mathbf{0,5}

Si comparamos estos números decimales, tenemos que:

0,\bar{33} < 0,5

Que es igual a:

\frac{2}{6}< \frac{2}{4}

Si tienes dificultades para encontrar el orden de las fracciones, puedes probar este otro método: simplemente divide el numerador entre el denominador, y obtendrás un número entero o un número decimal. Luego sólo tienes que ordenar estos resultados. Su orden será el mismo que el de las fracciones iniciales.

Fracciones con diferente numerador y denominador

Para conocer el orden que tienen estas fracciones no basta con observarlas a simple vista. Para lograrlo debemos seguir dos pasos:

  1. Hallar una fracción equivalente a la que deseamos comparar. Ambas deben tener el mismo denominador.
  2. Comparar las fracciones resultantes según el método ya explicado para las fracciones con igual denominador.

¿Cómo comparar estas fracciones: \frac{8}{5} y \frac{5}{9}?

1. Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello, debes descomponer cada número en sus factores primos.

m.c.m (5; 9) = 5 x 32 = 5 x 9 = 45

2. Multiplica el denominador por un número cuyo producto sea el m.c.m. Luego multiplica el numerador por ese mismo número. El resultado será su fracción equivalente.

\frac{8\times {\color{Red} 9}}{5\times {\color{Red} 9}}= \frac{72}{\mathbf{45}}

 

\frac{5\times {\color{Red} 5}}{9\times {\color{Red} 5}} = \frac{25}{\mathbf{45}}

 

Observa que en la primera fracción 5 x 9 = 45. Por eso, toda la fracción se multiplica por 9/9. Lo mismo sucede con la fracción 5/9, como 9 x 5 = 45, toda la fracción se multiplica por 5/5.

3. Compara las nuevas fracciones con igual denominador. La mayor fracción será aquella con mayor numerador, y como 72 > 25, entonces:

\frac{72}{45}> \frac{25}{45}

Ejercicios

1. Coloca el símbolo correcto entre los siguientes números.

  1. 10 ____ 9
  2. 4 ____ 4
  3. 8 ____ 27
  4. 46 ____ 6
  5. 59 ____ 59
  6. 40 ____ 70
  7. 2 ____ 22
  8. 100 ____ 1
  9. 23 ____ 32
  10. 85 ____ 85
Solución
  1. 10 > 9
  2. 4 = 4
  3. 8 < 27
  4. 46 > 6
  5. 59 = 59
  6. 40 < 70
  7. 2 < 22
  8. 100 > 1
  9. 23 < 32
  10. 85 = 85

2. Ordena los siguientes números naturales de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente para ello.

3.546, 12, 53, 4.080, 25.892, 634, 4, 824, 1.450, 234, 73, 896. 111, 724, 1.898, 246, 1, 11, 4.800, 424, 125, 353, 55, 2.

Solución

1 < 2 < 4 < 11 < 12 < 53 < 55 < 73 < 125 < 234 < 246 < 353 < 424 < 634 < 724 < 824 < 1.450 < 1.898 < 3.546 < 3.643 < 4.080 < 4.800 < 25.892 < 896.111

3. Compara estas fracciones. Coloca el signo que corresponda en cada caso.

  • \frac{35}{4} y \frac{24}{8}
Solución

\frac{35}{4} > \frac{24}{8}

  • \frac{3}{7} y \frac{12}{28}
Solución

\frac{3}{7} = \frac{12}{28}

  • \frac{13}{12} y \frac{2}{6}
Solución

\frac{13}{12} > \frac{2}{6}

  • \frac{11}{4} y \frac{11}{6}
Solución

\frac{11}{4}> \frac{11}{6}

  • \frac{64}{89} y \frac{56}{48}
Solución

\frac{64}{89} < \frac{56}{48}

  • \frac{25}{8} y \frac{25}{9}
Solución

\frac{25}{8}> \frac{25}{9}

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Comparar y ordenar números”

Este recurso, orientado hacia los más pequeños de la casa, es ideal para repasar las bases de lo explicado aquí.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 1

los números en la recta numérica

Una recta numérica, también llamada recta real, representa de forma gráfica el orden y la sucesión de un conjunto de números. Sin embargo, estos conjuntos no siempre son iguales y, como verás a continuación, se clasifican de acuerdo a sus características.

Cada día, el ser humano maneja números de diferentes conjuntos sin darse cuenta; por ejemplo, al contar los días de la semana, cortar un pastel en varias porciones o sumar los céntimos que forman parte del dinero. Todos estos números tienen una representación gráfica en un espacio coordenado unidimensional. Es decir, todos ellos se pueden mostrar en una recta numérica.

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un grupo dado; gracias a ellos puedes saber cuántos dedos tienen las manos o cuántos integrantes hay en tu familia. Estos son los números más utilizados y su conjunto es representado con la letra ℕ.

Debido a que se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos, por lo tanto, el conjunto de los números naturales se presenta de dos maneras:

\mathbb{N} = \left \{ 1,\, 2,\, 3,\, 4,... \right \}

\mathbb{N} = \left \{0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,... \right \}

¿Sabías qué?
Los números naturales fueron los primeros en ser utilizados por los seres humanos para contar y determinar cantidades.

En una recta numérica, los números naturales se colocan de tal forma que a medida que avanzas hacia la derecha, encuentras los números más grandes.

¿Cómo elaborar una recta numérica con números naturales?

  1. Dibuja una semirrecta.
  2. Señala el origen que corresponde al cero.
  3. Coloca una flecha en la punta derecha de la recta. Esto indica que la recta se extiende hasta el infinito.
  4. Escribe los números naturales en intervalos regulares. El intervalo entre números consecutivos siempre será el mismo.

Los intervalos en una recta numérica no solo representan a las unidades, sino también a las decenas y las centenas.

¡A practicar!

Ubica en la recta numérica los siguientes números: 5, 20, 35 y 48.

SOLUCIÓN

NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros son aquellos que comprenden tanto a los números naturales como a sus opuestos, es decir, a los números negativos, y al número 0. Este conjunto se representa con la letra ℤ, que por definición es:

\mathbb{Z}=\left \{ ...,-4,\, -3,\, -2,\, -1,\,0,\, +1,\, +2,\, +3,\, +4,... \right \}

¿Sabías qué?
Los negativos se utilizan en casos comunes de la vida como, por ejemplo, una deuda o las temperaturas bajo cero.

En una recta numérica, los números enteros se distribuyen a partir del cero: a su izquierda se ubican los negativos y a su derecha se ubican los positivos. 

Recuerda que …

1. Dados dos números enteros de signos distintos, +a y –a, con a > 0, el negativo es menor que el positivo: −a < +a.

−5 < +5

2. Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:

  • El de menor valor absoluto, si el signo común es “+“.

+8 < +10

  • El de mayor valor absoluto, si el signo común es “−”.

−10 < −8

3. El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

−1 < 0 < +1 

 

¡A practicar!

Ubica en la recta numérica los siguientes números: 15, −15, −35 y −39.

SOLUCIÓN

NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales están formados por dos partes: una entera y una decimal, ambas separadas por una coma. A la izquierda de la coma se ubica la parte entera, y a la derecha de la coma está la parte decimal.

Los números decimales son usados para mostrar aquellos valores que se necesitan conocer con exactitud y precisión, por lo que indicarlos solo con una unidad no es suficiente. Las medidas de altura, el peso de un bebé y el precio de los productos de un supermercado, son algunos ejemplos de cifras decimales.

En una recta numérica, los números decimales se ubican entre dos números enteros. Para esto, se divide en diez partes la distancia entre los números y se incorporan los decimales que hay entre ellos.

Para representar a los decimales ubicados entre el 1 y el 2, la recta numérica se presenta así:

También puedes identificar los decimales entre dos decimales menos precisos. Por ejemplo, al dividir el espacio entre los decimales 1,1 y 1,2 en otras 10 partes iguales, tendrás las posiciones de los números del 1,11 al 1,19.

¡A seguir con la práctica!

Ubica en la recta numérica los siguientes números decimales: 20,2; 20,5; 20,8 y 20,95.

SOLUCIÓN

El número pi

El número pi es tal vez el número decimal más famoso. Este es un número con decimales infinitos, pero popularmente se simplifica como 3,1416. Solo estos dígitos permiten saber que pi se encuentra entre el 3 y el 4 en la recta numérica. 

VER INFOGRAFÍA

NúMEROS FRACCIONARIOS

También conocidos simplemente como fracciones, son aquellos que representan una división entre números. Un ejemplo de fracción lo puedes ver al pedir medio kilo de pan o al cortar una torta en partes iguales.

Toda fracción está formada por dos partes: un numerador y un denominador separados por una línea horizontal.

Al igual que los números decimales, los números fraccionarios se encuentran entre dos números enteros o dos números decimales en una recta numérica. Para hallar su ubicación se siguen dos métodos diferentes según el tipo de fracción: propia o impropia.

Fracciones propias

Las fracciones propias poseen un numerador menor a su denominador. La división entre estos dos dígitos dará como resultado un número decimal menor a 1. Para saber la posición en la recta numérica se debe segmentar el espacio entre 0 y 1 la cantidad de veces que indique el denominador, y la fracción se ubicará al final del segmento que indique el numerador.

Por ejemplo, para hallar en la recta numérica la fracción \frac{2}{3} debes seguir estos pasos:

  1. Dividir el espacio entre 0 y 1 en 3 segmentos iguales.
  2. Ubicar la fracción al final del segundo segmento.

Los números decimales y fraccionarios son diferentes a los números naturales y enteros, ya que, a diferencia de estos últimos, representan números “incompletos”. No obstante, todos ellos pertenecen al mismo conjunto numérico: el de los números racionales, un subconjunto de los números reales.

Fracciones impropias

Las fracciones impropias poseen un numerador mayor a su denominador. La división entre estos dos dígitos siempre dará como resultado un número mayor a 1. Para saber la posición de una fracción impropiar en la recta real se deben seguir dos pasos:

  1. Convertir la fracción impropia en un número mixto, es decir, la combinación entre un número entero y una fracción propia.
  2. Ubicar el número mixto en la recta numérica. El número entero indicará por dónde empezar a segmentar, mientras que el resto de la fracción se ubicará de la misma forma que una fracción propia: número de segmentos según el denominador y la ubicación de la fracción según el numerador.
¿Cómo convertir la fracción \frac{27}{4} en un número mixto?

1. Divide el numerador por el denominador. 

2. El resto de la división se convertirá en el nuevo numerador de la parte fraccionaria. El divisor será el denominador de la parte fraccionaria y el cociente será la parte entera del número mixto.

3. Construye el número mixto.

¡Pon en práctica lo aprendido!

¿Cómo conviertes la fracción \frac{8}{5} en número mixto?

Para ubicar la fracción \frac{8}{5} en la recta numérica, primero se dividen entre sí ambas cifras. Esta división tiene como cociente el número 1, como resto el número 3 y como divisor el número 5, por lo tanto el número mixto es:

Ahora solo debes dividir en 5 segmentos iguales (denominador de la parte fraccionaria) el espacio entre el número 1 y el número 2. Luego, marcar el final del tercer segmento (numerador de la parte fraccionaria). Allí está ubicada la fracción \frac{8}{5}.

 ¡A practicar!

Ubica en la recta numérica las fracciones propias 1/2 y 6/10.

SOLUCIÓN

Ubica en la recta numérica las fracciones impropias 3/2 y 9/8.

SOLUCIÓN

¡A practicar!

1. Responde las siguientes preguntas:

a. ¿A cuál conjunto numérico pertenecen las notas que obtienes de tus exámenes en clase?

b. ¿Entre cuáles números se ubica el −8 en la recta numérica?

c. ¿Qué tipo de número es el 3,33?

d. ¿Qué número mixto se construye con la fracción 9/5?

2. Ubica los siguientes números en la recta numérica que se muestra a continuación:

  1. 4
  2. −3
  3. 2,5
  4. 1/2
  5. 5/4

SOLUCIÓN

1a. Números naturales.

1b. Entre el −7 y el −9.

1c. Número decimal.

1d. 1\frac{4}{5}

2.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Recta numérica”

Con este recurso podrás complementar la información explicada y brindar ejercitación.

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