CAPÍTULO 5 / TEMA 6

Aplicación de la geometría

La geometría se encuentra inmersa dentro de diferentes ciencias y situaciones de la vida. Muchos desarrollos de la actualidad no se habrían logrado sin los aportes de la geometría. La astronomía, la computación y la cartografía son algunos de los muchos campos donde la geometría es empleada.

Cálculo de área de una superficie

Para el cálculo de superficies usamos las fórmulas de área de las principales figuras geométricas. Las principales fórmulas son las siguientes:

Nombre	Figura	Área
Cuadrado		$\boldsymbol{A = l^{2}}$ Donde: A = área l = lado
Rectángulo		$\boldsymbol{A = a\times b}$ Donde: A = área a = altura b = base
Triángulo		$\boldsymbol{A = \frac{b\times h}{2}}$ Donde: A = área b = base h = altura
Rombo		$\boldsymbol{A = \frac{D\times d}{2}}$ Donde: A = área D = diagonal mayor d = diagonal menor
Paralelogramo		$\boldsymbol{A = b\times h}$ Donde: A = área b = base h = altura
Trapecio		$\boldsymbol{A = \left (\frac{a+ b}{2} \right )\times h}$ Donde: a = base menor b = base mayor h = altura
Círculo		$\boldsymbol{A = \pi \times r^{2}}$ Donde: A = área π = número pi r = radio
Polígono regular		$\boldsymbol{A = \frac{n\times b\times Ap}{2}}$ Donde: A = área n = número de lados regulares b = longitud de un lado Ap = apotema

Las figuras compuestas

Una figura compuesta es aquella que está formada por dos o más figuras geométricas más simples. Para calcular el área de estas figuras se suelen calcular las áreas de las figuras más simples por separado y la sumatoria de estas será el área total de la figura. Por otra parte, para el cálculo de perímetro suelen usarse ecuaciones trigonométricas, y teoremas como el de Pitágoras para calcular las longitudes de los lados de la figura.

Ejercicios

– Una cancha de fútbol mide 105 metros de largo y 68 metros de ancho. ¿Cuántos metros cuadrados de césped artificial se necesitarían para cubrir toda la cancha?

Es un problema de área porque al calcular los metros cuadrados de césped artificial que se necesitan, se calcula la superficie. Como todos sabemos, una cancha de fútbol tiene una forma rectangular, por lo tanto se debe aplicar la fórmula del rectángulo:

$A = a\times b$
$A = 105\, m\times 68\, m$
$A = \mathbf{7.140\, m^{2}}$

Por lo tanto, para cubrir toda la cancha se necesitarían 7.140 m² de césped artificial.

– La siguiente figura muestra el plano de una casa. ¿Cuántos metros cuadrados de cerámica se necesitan para cubrir el piso?

El piso de la casa forma una figura compuesta. Por lo tanto, antes de resolver el problema debemos separarlo en formas geométricas más simples:

La figura 1 corresponde a un rectángulo y la figura 2 a un cuadrado (ya que sus cuatro lados miden lo mismo). El área total del piso será igual a:

$A_{t} = A_{1}+A_{2}$

Donde:

A_t = área total del piso

A₁ = área de la figura 1

A₂ = área de la figura 2

Por lo tanto, para calcular el problema tenemos que resolver las áreas por separado:

En la figura 1 se cumple que:

$A_{1} = a\times b$

$A_{1} = 13\, m\times 5\, m$

$A_{1} = 65\, m^{2}$

En la figura 2 se cumple que:

$A_{2} = l^{2}$

$A_{2} = (10\, m)^{2}$

$A_{2} = 100\, m^{2}$

Al reemplazar los valores de A₁ y A₂ se tiene que:

$A_{t} = 65\, m^{2}+100\, m^{2}$

$A_{t} = \mathbf{165\, m^{2}}$

Por lo tanto, el piso de la casa necesita 165 m² de cerámica para cubrirlo.

¿Sabías qué?

La hectárea (ha) es una medida de área que equivale a 10.000 m².

Cálculo de volumen de un cuerpo

Todo cuerpo ocupa un lugar en el espacio. Se denomina volumen. Como ya sabemos, los principales cuerpos geométricos se calculan a través de fórmulas:

Nombre	Figura	Fórmula de volumen
Cubo		$\boldsymbol{V=l^{3}}$ Donde: V = volumen l = lado
Prisma		$\boldsymbol{V = A_{b}\times h}$ Donde: V = volumen *A_b* = área basal h = altura
Pirámide		$\boldsymbol{V = \frac{A_{b}\times h}{3}}$ Donde: V = volumen *A_b* = área basal h = altura
Cilindro		$\boldsymbol{V =\pi \times r^{2}\times h}$ Donde: V = volumen π = número pi (3,14…) r = radio h = altura
Cono		$\boldsymbol{V =\frac{\pi \times r^{2}\times h}{3}}$ Donde: V = volumen π = número pi (3,14…) r = radio h = altura
Esfera		$\boldsymbol{V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}}$ Donde: V = volumen π = número pi (3,14…) r = radio

En el caso de las pirámides y los primas, las formas de sus bases pueden ser diferentes.

Estas ecuaciones pueden aplicarse a figuras similares para resolver diferentes problemas.

Ejercicios

– Calcula el volumen de la Gran Pirámide de Guiza, cuya base es un cuadrado de aproximadamente 230 m cada lado y de altura mide aproximadamente 186 m.

La fórmula para calcular el volumen de una pirámide es la siguiente:

$V = \frac{A_{b}\times h}{3}$

Lo primero es calcular el valor de A_b que es el área de la base. En este caso, su base es un cuadrado de 230 metros de cada lado. Por lo tanto:

$A_{b} = l^{2}$

$A_{b} = (230\, m)^{2}$

$A_{b} = 52.900 \, m^{2}$

Reemplazamos el valor del área de la base y el de la altura (que es 186 m) en la fórmula:

$V = \frac{52.900\, m^{2}\times 186\, m}{3}$

$V = \frac{9.839.400\, m^{3}}{3}$

$V = \mathbf{3.279.800\, m^{3}}$

El volumen aproximado de la pirámide de Guiza es de 3.279.800 m³ (si se considera la pirámide como un cuerpo rígido sin cámaras interiores).

– Calcula el volumen de una canica de 2 centímetros de diámetro.

La forma de una canica es igual a la de una esfera por lo tanto se utiliza la siguiente ecuación:

$V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}$

El problema nos dice que el diámetro de la canica es de 2 cm, pero la fórmula está expresada en función del radio. Como ya sabemos, el radio es la mitad del diámetro, por lo tanto, el radio de la canica es de 1 cm.

$V =\frac{4}{3}\times \3,14 \times (1\, cm)^{3}$

$V =\frac{4}{3}\times \3,14 \times 1\, cm^{3}$

$V =\mathbf{4,18\, cm^{3}}$

La leyenda de la corona

Hay una leyenda popular que cuenta cómo el rey Hieron II de Siracusa le encomendó al reconocido matemático griego Arquímedes que comprobara si la corona que había mandado a hacer era de oro puro o no. Arquímedes pasó mucho tiempo sin resolver el misterio y estaba frustrado hasta que un día, al meterse a la bañera, se percató que el agua que se desplazaba tenía el mismo volumen de su cuerpo. Enseguida dio un salto al tiempo que decía la frase “¡Eureka!”.

Posteriormente le demostró al rey que el volumen desplazado por la corona debía ser el mismo que el desplazado por un lingote de oro puro de la misma masa. Cuando realizó el experimento, la cantidad de agua desplazada no fue la misma y concluyó que la corona no era de oro puro.

Otros usos

Desde su aparición, la geometría ha permitido al ser humano destacarse en varios campos como la arquitectura, la escultura, la pintura y, por su puesto, en las ciencias aplicadas como la física o la química. Disciplinas como la ingeniería aplican la geometría para el cálculo de ángulo y otras medidas. La química emplea la geometría para entender las estructuras moleculares, la agrupación de los átomos y la forma de los cristales de algunos compuestos, entre otros usos.

En el ámbito de la cartografía y la agronomía, se aplica la geometría para determinar áreas, calcular perímetros y planos de terrenos. La astronomía y la computación son otras áreas que emplean conocimientos geométricos.

La geometría y la arquitectura

La arquitectura clásica no habría podido lograr obras de singular belleza o armonía sin hacer uso de conocimientos geométricos. En la actualidad, los arquitectos emplean la geometría para lograr estructuras que se vean bien estéticamente, que permitan un ahorro de materiales y un mejor aprovechamiento de los espacios.

¡A practicar!

1. Una fábrica de quesos compró una granja de 14.300 m². ¿Cuáles son las medidas de la granja?

a) 150 m × 100 m
b) 130 m × 110 m
c) 40 m × 10 m
d) 280 m × 100 m

Solución

b) 130 m × 110 m

2. Un tablero de ajedrez mide 44 cm de alto y 44 cm de ancho, ¿cuál es el área del tablero?

a) 88 cm²
b) 1.936 cm²
c) 4.404 cm²
d) 3.854 cm²

Solución

b) 1.936 cm²

3. Una empresa inmobiliaria trabaja con propiedades que no superan los 20.000 m². ¿Cuál de las siguientes propiedades no cumple con este requisito de la empresa inmobiliaria?

a) Casa de playa de 155 m de ancho por 84 m de alto.
b) Departamento en la ciudad de 18 m de ancho por 14 m de alto.
c) Cabaña en la montaña de 320 m de ancho por 124 m de alto.
d) Chalet de 24 m de ancho por 20 m de alto.

Solución

c) Cabaña en la montaña de 320 m de ancho por 124 m de alto. El área de esta propiedad es de 39.680 m², por lo tanto, supera los 20.000 m² aceptados por la inmobiliaria.

4. Una pelota de fútbol tiene 22 cm de diámetro, ¿cuál es su volumen?

a) 2026,34 cm³
b) 44 cm³
c) 220 cm³
d) 5.572,45 cm³

Solución

d) 5.572,45 cm³

5. Una lata de tomates es cilíndrica y tiene una altura de 9 cm y un radio de 3 cm, ¿cuál es su volumen?

a) 384,35 cm³
b) 127,17 cm³
c) 954.44 cm³
d) 506,58 cm³

Solución

c) 254.34 cm³

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Los números ocultos en el universo”

El artículo trata de mostrar cómo la mayoría de los fenómenos del universo pueden explicarse a través de los números. También explica algunas formas geométricas que podemos encontrar en nuestro planeta.

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Enciclopedia “Nana y Enriqueta en el país de las matemáticas”

En este tomo, se platean los principales elementos de la geometría de una manera didáctica y sencilla. También se dan ejemplos y aplicaciones de la geometría.

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Artículo “Superficies de figuras geométricas”

El artículo plantea el cálculo de superficie de las principales figuras geométricas. También resuelve una serie de ejercicios y muestra al final algunos problemas propuestos.

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CAPITULO 5 / TEMA 5

Circunferencia y círculo

El círculo es la superficie contenida dentro de una circunferencia. En algunas ocasiones suelen confundirse estos términos por error, pero lo cierto es que gozan de características únicas que desde tiempos antiguos han cautivado a los matemáticos. Su conocimiento es importante para entender conceptos como el número pi.

Diferencia entre la circunferencia y el círculo

Aunque son conceptos que están estrechamente relacionados, circunferencia y círculo son dos cosas geométricamente diferentes. La circunferencia es la línea o perímetro que bordea y delimita la superficie de un círculo. Todos los puntos de la circunferencia se encuentran a una misma distancia del centro. El círculo, por otra parte, es una figura geométrica que está delimitada por una circunferencia.

¿Sabías qué?

El matemático griego Eratóstenes de Cirene fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra en el 230 a. C.

En este sentido, cuando hablamos de circunferencia nos referimos a una curva cerrada y cuando hablamos de círculo nos referimos a una superficie o área que está contenida dentro de una circunferencia.

Instrumento muy útil

Desde su invención en el año 200 a. C. por parte de los chinos, el compás ha sido uno de los inventos más usados en la geometría y en otras áreas. Su utilidad ha ido más allá del trazado de arcos y circunferencias, también permite transportar medidas y puede emplearse en la construcción de polígonos y en el cálculo de distancias empleado por la navegación.

Elementos de la circunferencia

Los elementos principales de una circunferencia se detallan a continuación:

Centro: es el punto que se ubica a la misma distancia de todos los puntos que conforman la circunferencia.
Radio: es el segmento de recta que une al centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia.
Cuerda: es la recta que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro: es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. Su longitud es igual al doble del radio.
Semicircunferencia: es la mitad de la circunferencia. El diámetro divide a la circunferencia en dos semicircunferencias.
Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra delimitada por una cuerda. Generalmente, a cada cuerda se le asocia el menor arco que delimita.

Relaciones entre rectas y circunferencias

Entre una circunferencia y una recta pueden darse tres tipos diferentes de relación:

Recta exterior: es aquella recta que nunca corta a la circunferencia.
Recta tangente: es aquella recta que corta a la circunferencia en uno de sus puntos.
Recta secante: es aquella recta que corta a la circunferencia en dos de sus puntos.

VER INFOGRAFÍA

Desde la Antigüedad, los geómetras se enfocaron en calcular la longitud de la circunferencia. Esta línea curva cerrada sin importar su tamaño siempre mide algo más que el triple de su diámetro. En este contexto, se emplea el número pi (π), un número con infinitos decimales que se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia por su diámetro.

Trazado de circunferencias

Para trazar circunferencias empleamos el compás y debemos seguir los siguientes pasos:

Conocer la distancia que hay desde el centro de la circunferencia hasta alguno de sus puntos (el radio). Para esto puedes usar una regla y abrir el compás a dicha distancia. Otra forma de hacerlo es trazar el segmento de recta igual a la longitud del radio deseado, colocar la aguja de acero sobre uno de los extremos y abrir el compás hasta que la mina de grafito toque el otro extremo.
Apretar con suavidad la aguja de acero contra el papel para que no se mueva y girar el otro brazo de forma firme para trazar la circunferencia.
Marcar el centro de la circunferencia que será el mismo punto donde se apoyó la aguja de acero durante el trazado de la circunferencia.

Área del círculo

Para calcular el área de un círculo simplemente necesitamos conocer la longitud de su radio. La fórmula es la siguiente:

$A=\pi \times r^{2}$

Donde:

A = área del círculo
π = número pi
r = longitud del radio

Como el número pi (π) es un número irracional, sus decimales son infinitos (3,141592653589793238…), por lo tanto, para efectos de cálculo de área se suele aproximar a 3,14.

¿Sabías qué?

Existe otra fórmula para calcular el área del círculo en función de su diámetro: $A = \frac{\pi }{4}\times d^{2}$ .

– Calcula el área del siguiente círculo.

De acuerdo a la figura, la longitud del radio es 5 cm, por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de área.

$A=\pi \times r^{2}$

$A=3,14 \times (5 \, cm)^{2}$

$A=3,14 \times 25 \, cm^{2}$

$A=\mathbf{78,5 \, cm^{2}}$

El sistema sexagesimal es uno de los sistemas usados para medir ángulos y tiempo. En el caso de los ángulos, el sistema emplea una circunferencia para establecer sus unidades de medición. Un grado (°) equivale a la 360 parte de una circunferencia, un minuto (′) equivale a la 60 parte de un grado y un segundo (″) equivale a la 60 parte de un minuto.

¡A practicar!

1. Calcula el área de los siguientes círculos.

Solución

A = 50,24 cm²

Solución

A = 254,34 cm²

Solución

A = 12,56 m²

Solución

A = 314 mm²

Solución

A =153,86 cm²

2. ¿Cuánto debe medir el radio de una circunferencia para que su área sea igual a 113,04 cm²?
a) 5 cm
b) 3 cm
c) 6 cm
d) 11 cm

Solución

c) 6 cm

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Circunferencia”

El artículo explica los elementos principales de la circunferencia y la relación que tiene esta con el número pi. En el artículo también se explica como calcular la longitud de una circunferencia y determinar el área de un círculo.

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Artículo “Círculo”

El artículo plantea de forma resumida cada uno de los elementos de un círculo como el semicírculo y el segmento circular. También presenta ilustraciones de cada uno para explicar el concepto de manera más clara.

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Infografía “Número pi (π)”

En esta infografía se explica más a detalle qué es el número pi, su desarrollo a través del tiempo y las diferentes aplicaciones del mismo.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 1

Perímetro

El contorno de una figura geométrica se denomina perímetro. De acuerdo al tipo de figura, el contorno puede ser calculado por medio de la suma de sus lados o a través de diferentes fórmulas. Estas operaciones tienen muchas aplicaciones en la vida cotidiana: por ejemplo, sirven para determinar la longitud de la cerca de una casa.

Cálculo de perímetro en figuras planas

El perímetro es la longitud del contorno de una figura. Para calcular el perímetro de una figura, simplemente tenemos que sumar cada uno de sus lados.

Es importante tener presente que existen figuras con lados regulares como el cuadrado, y figuras con lados irregulares como en el caso de un rectángulo. Las figuras regulares son conocidas como polígonos regulares y los más comunes son:

POLÍGONO	NÚMERO DE LADOS
Triángulo equilátero	3
Cuadrado	4
Pentágono	5
Hexágono	6
Heptágono	7
Octágono	8
Eneágono	9
Decágono	10

¿Sabías qué?

De acuerdo a sus lados, los triángulos son clasificados en: equiláteros (tres lados iguales), isósceles (dos lados iguales) y escalenos (ningún lado igual).

VER INFOGRAFÍA

La ventaja de los polígonos regulares es que al tener todos sus lados iguales su perímetro es igual a la longitud de uno de sus lados multiplicada por la cantidad de lados que este tiene. La fórmula sería:

$P=n\times L$

Donde:
P = perímetro.
n = número de lados de la figura.
L = longitud de un lado de la figura.

Un ejemplo de cálculo de perímetro

– Calcula el perímetro de un cuadrado cuyos lados miden 5 cm:

El cuadrado es un polígono regular de cuatro lados iguales, por lo tanto, calculamos su perímetro de la siguiente forma:

P = 4 × 5 cm

Resolvemos la multiplicación y el resultado obtenido es:

P = 20 cm

Observa que al final añadimos la unidad de longitud inicial, que son centímetros (cm), pero puede ser cualquier otra unidad de medida, los pasos en estos casos siempre son los mismos.

Otro camino

Aunque las fórmulas permiten realizar cálculos más sencillos, el perímetro también puede determinarse a través de la suma de cada uno de los lados. En el caso del ejemplo anterior sabemos que cada lado mide 5 cm, de manera que tenemos que sumar los cuatro lados para obtener el perímetro:

P = 5 cm + 5 cm + 5 cm + 5 cm = 20 cm

Esta forma de calcular el perímetro suele aplicarse a figuras que tienen al menos un lado diferente, pues al no tener sus lados iguales, no es posible aplicar la fórmula de polígonos regulares. Un ejemplo sería:

– Calcula el perímetro del siguiente triángulo:

Al sumar cada uno de sus lados obtenemos que:

P = 6 cm + 7 cm + 5 cm = 18 cm

Este triángulo escaleno tiene un perímetro de 18 cm.

El perímetro de un círculo

El perímetro de un círculo se denomina circunferencia, y para calcularlo empleamos un número matemático muy particular: el número pi, llamado así porque se escribe con la letra π del alfabeto griego, que lleva ese mismo nombre. Este número es irracional, por lo tanto es infinito. Se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro. Los primeros 10 números decimales del número pi son 3,1415926535…

La fórmula para determinar el perímetro de un círculo es:

P = π × d

Donde:

π = número pi (en los cálculos generalmente se redondea hasta los dos decimales).

d = la longitud del diámetro de la circunferencia.

Perímetro de figuras compuestas

Primero que todo, es importante saber que una figura compuesta está formada por dos o más figuras geométricas, por lo que tienen un arreglo irregular de lados y ángulos. En el caso de estas figuras, realizamos el cálculo del perímetro de la misma forma que en el ejemplo anterior del triángulo.

Observemos esta figura:

Es una figura compuesta porque está formada por un cuadrado y un triángulo:

Determinamos el perímetro de esta figura al sumar solo los lados exteriores de la figura:

P = 5 cm + 5 cm + 1 cm + 7 cm + 9 cm = 27 cm

El perímetro de la figura es 27 cm.

Las figuras compuestas pueden estar formadas por triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, círculos, etc. Conocer sus diferentes elementos es importante al momento de resolver problemas de perímetros y de áreas, ya que no se puede aplicar una fórmula en común: es necesario identificar las figuras geométricas que integran la figura compuesta.

Aplicaciones del perímetro

Debido a que el perímetro y el área representan las magnitudes fundamentales al momento de trabajar con figuras geométricas y polígonos, sus usos en la vida cotidiana son frecuentes.

En el caso del perímetro, disciplinas como la arquitectura lo emplean para determinar la frontera de un objeto como en el caso de la cerca de una edificación o la valla de un campo. Sus usos también se extiende al ámbito militar, donde permite delimitar las áreas de interés ofensivo o de defensa.

La geometría

Es una rama de la matemática encargada del estudio de las figuras, sus propiedades y medidas en el plano y en el espacio. Su origen no es reciente, de hecho, antiguas civilizaciones como las del Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia ya la empleaban en mediciones de terrenos y en la construcción de edificaciones. Mucho tiempo después, los antiguos griegos la empezaron a perfeccionar y hoy en día es una disciplina fundamental.

¡A practicar!

1. Calcular el perímetro de las siguientes figuras:

Solución

P = 15 cm

Solución

P = 12 cm

Solución

P = 48 cm

Solución

P = 18 cm

Solución

P = 34 cm

2. ¿Cuál de las siguientes figuras es un polígono regular?

Solución

Es un polígono regular porque tiene 6 lados iguales y se denomina hexágono.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Áreas y perímetro”

En este cuadro comparativo se muestra una tabla con las fórmulas de área y perímetro para las principales figuras geométricas.

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Artículo “Perímetro de polígonos”

En este artículo se explica cómo realizar el cálculo de perímetro en el caso específico de los diferentes tipos de polígonos.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 1

los números en la recta numérica

Una recta numérica, también llamada recta real, representa de forma gráfica el orden y la sucesión de un conjunto de números. Sin embargo, estos conjuntos no siempre son iguales y, como verás a continuación, se clasifican de acuerdo a sus características.

Cada día, el ser humano maneja números de diferentes conjuntos sin darse cuenta; por ejemplo, al contar los días de la semana, cortar un pastel en varias porciones o sumar los céntimos que forman parte del dinero. Todos estos números tienen una representación gráfica en un espacio coordenado unidimensional. Es decir, todos ellos se pueden mostrar en una recta numérica.

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un grupo dado; gracias a ellos puedes saber cuántos dedos tienen las manos o cuántos integrantes hay en tu familia. Estos son los números más utilizados y su conjunto es representado con la letra ℕ.

Debido a que se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos, por lo tanto, el conjunto de los números naturales se presenta de dos maneras:

$\mathbb{N} = \left \{ 1,\, 2,\, 3,\, 4,... \right \}$

$\mathbb{N} = \left \{0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,... \right \}$

¿Sabías qué?

Los números naturales fueron los primeros en ser utilizados por los seres humanos para contar y determinar cantidades.

En una recta numérica, los números naturales se colocan de tal forma que a medida que avanzas hacia la derecha, encuentras los números más grandes.

¿Cómo elaborar una recta numérica con números naturales?

Dibuja una semirrecta.
Señala el origen que corresponde al cero.
Coloca una flecha en la punta derecha de la recta. Esto indica que la recta se extiende hasta el infinito.
Escribe los números naturales en intervalos regulares. El intervalo entre números consecutivos siempre será el mismo.

Los intervalos en una recta numérica no solo representan a las unidades, sino también a las decenas y las centenas.

¡A practicar!

Ubica en la recta numérica los siguientes números: 5, 20, 35 y 48.

SOLUCIÓN

NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros son aquellos que comprenden tanto a los números naturales como a sus opuestos, es decir, a los números negativos, y al número 0. Este conjunto se representa con la letra ℤ, que por definición es:

$\mathbb{Z}=\left \{ ...,-4,\, -3,\, -2,\, -1,\,0,\, +1,\, +2,\, +3,\, +4,... \right \}$

¿Sabías qué?

Los negativos se utilizan en casos comunes de la vida como, por ejemplo, una deuda o las temperaturas bajo cero.

En una recta numérica, los números enteros se distribuyen a partir del cero: a su izquierda se ubican los negativos y a su derecha se ubican los positivos.

Recuerda que …

1. Dados dos números enteros de signos distintos, +a y –a, con a > 0, el negativo es menor que el positivo: −a < +a.

−5 < +5

2. Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:

El de menor valor absoluto, si el signo común es “+“.

+8 < +10

El de mayor valor absoluto, si el signo común es “−”.

−10 < −8

3. El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

−1 < 0 < +1

¡A practicar!

Ubica en la recta numérica los siguientes números: 15, −15, −35 y −39.

SOLUCIÓN

NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales están formados por dos partes: una entera y una decimal, ambas separadas por una coma. A la izquierda de la coma se ubica la parte entera, y a la derecha de la coma está la parte decimal.

En una recta numérica, los números decimales se ubican entre dos números enteros. Para esto, se divide en diez partes la distancia entre los números y se incorporan los decimales que hay entre ellos.

Para representar a los decimales ubicados entre el 1 y el 2, la recta numérica se presenta así:

También puedes identificar los decimales entre dos decimales menos precisos. Por ejemplo, al dividir el espacio entre los decimales 1,1 y 1,2 en otras 10 partes iguales, tendrás las posiciones de los números del 1,11 al 1,19.

¡A seguir con la práctica!

Ubica en la recta numérica los siguientes números decimales: 20,2; 20,5; 20,8 y 20,95.

SOLUCIÓN

El número pi

El número pi es tal vez el número decimal más famoso. Este es un número con decimales infinitos, pero popularmente se simplifica como 3,1416. Solo estos dígitos permiten saber que pi se encuentra entre el 3 y el 4 en la recta numérica.

VER INFOGRAFÍA

NúMEROS FRACCIONARIOS

También conocidos simplemente como fracciones, son aquellos que representan una división entre números. Un ejemplo de fracción lo puedes ver al pedir medio kilo de pan o al cortar una torta en partes iguales.

Toda fracción está formada por dos partes: un numerador y un denominador separados por una línea horizontal.

Al igual que los números decimales, los números fraccionarios se encuentran entre dos números enteros o dos números decimales en una recta numérica. Para hallar su ubicación se siguen dos métodos diferentes según el tipo de fracción: propia o impropia.

Fracciones propias

Las fracciones propias poseen un numerador menor a su denominador. La división entre estos dos dígitos dará como resultado un número decimal menor a 1. Para saber la posición en la recta numérica se debe segmentar el espacio entre 0 y 1 la cantidad de veces que indique el denominador, y la fracción se ubicará al final del segmento que indique el numerador.

Por ejemplo, para hallar en la recta numérica la fracción $\frac{2}{3}$ debes seguir estos pasos:

Dividir el espacio entre 0 y 1 en 3 segmentos iguales.
Ubicar la fracción al final del segundo segmento.

Los números decimales y fraccionarios son diferentes a los números naturales y enteros, ya que, a diferencia de estos últimos, representan números “incompletos”. No obstante, todos ellos pertenecen al mismo conjunto numérico: el de los números racionales, un subconjunto de los números reales.

Fracciones impropias

Las fracciones impropias poseen un numerador mayor a su denominador. La división entre estos dos dígitos siempre dará como resultado un número mayor a 1. Para saber la posición de una fracción impropiar en la recta real se deben seguir dos pasos:

Convertir la fracción impropia en un número mixto, es decir, la combinación entre un número entero y una fracción propia.
Ubicar el número mixto en la recta numérica. El número entero indicará por dónde empezar a segmentar, mientras que el resto de la fracción se ubicará de la misma forma que una fracción propia: número de segmentos según el denominador y la ubicación de la fracción según el numerador.

¿Cómo convertir la fracción $\frac{27}{4}$ en un número mixto?

1. Divide el numerador por el denominador.

2. El resto de la división se convertirá en el nuevo numerador de la parte fraccionaria. El divisor será el denominador de la parte fraccionaria y el cociente será la parte entera del número mixto.

3. Construye el número mixto.

¡Pon en práctica lo aprendido!

¿Cómo conviertes la fracción $\frac{8}{5}$ en número mixto?

Para ubicar la fracción $\frac{8}{5}$ en la recta numérica, primero se dividen entre sí ambas cifras. Esta división tiene como cociente el número 1, como resto el número 3 y como divisor el número 5, por lo tanto el número mixto es:

Ahora solo debes dividir en 5 segmentos iguales (denominador de la parte fraccionaria) el espacio entre el número 1 y el número 2. Luego, marcar el final del tercer segmento (numerador de la parte fraccionaria). Allí está ubicada la fracción $\frac{8}{5}$ .