La recta numérica es un gráfico en el que podemos representar cualquier número que pertenezca al conjunto de los números reales (). Tiene intervalos que señalan las unidades y siempre tienen la misma distancia entre un número y su consecutivo. Por otra parte, los distintos tipos de relaciones que existen entre los números se pueden mostrar por medio de los símbolos “<” y “>” que significan “menor que” y “mayor que” respectivamente.
Una regla graduada es muy parecida a una recta numérica.
ORDEN DE NÚMEROS NATURALES Y DECIMALES
Para ubicar los números naturales en la recta numérica ubicamos el 0 en una posición arbitraria y luego colocamos el resto de los números naturales en intervalos regulares. Si deseamos comparar números naturales usamos los símbolos < y > o la recta numérica, pues todo número que esté más a la derecha en la recta siempre será el mayor. Para ubicar números decimales en la recta numérica, debemos agregar subdivisiones entre los números enteros. Cuando queremos compararlos, primero tomamos en cuenta la parte entera y luego comparamos las cifras decimales de izquierda a derecha.
Sí bien algunos expertos afirman que el número cero (0) no pertenece al conjunto de los números naturales, otros aseguran que sí forma parte.
ORDEN DE FRACCIONES
Las fracciones también tiene un lugar en la recta numérica, para esto tenemos que considerar si la fracción es propia o impropia. De ser propia dividimos a la unidad en tantos segmentos como indique el denominador y contamos tantos segmentos como indique el numerador, luego marcamos la fracción. Si la fracción es impropia, tenemos que convertirla primero en un número mixto, en este caso, seguimos el procedimiento anterior pero a partir de la parte entera que tenga el número mixto.
Si comparamos fracciones con igual numerador y diferente denominador, será mayor aquella que tenga menor denominador.
PROPORCIONALIDAD
La proporcionalidad es una relación que existe entre dos magnitudes que podemos medir, y puede ser directa o inversa. Dos cantidades son directamente proporcionales si cuando una aumenta la otra aumenta o si cuando una disminuye la otra también lo hace. Por otro lado, al convertir medidas lo hacemos por medio de una regla de tres, un método muy útil para saber un valor desconocido entre 2 relaciones.
Siempre que vamos a un kiosco, sabemos que mientras más compremos, más tendremos que pagar; eso es porque la “cantidad que compramos” y la “cantidad que debemos pagar” tienen una relación directamente proporcional.
RELACIONES DE TIEMPO
El tiempo es quizás la magnitud más usada y medida diariamente. Sus unidades son variadas y van desde las menores a un día, como los segundos, los minutos y las horas; hasta las que sobrepasan al día como los meses, años y décadas. Si usamos una regla de tres podemos convertir una unidad a otra sin dificultad. También podemos hacer cálculos de suma y resta con el tiempo, esto nos ayuda a saber cuando empezó un partido de fútbol o qué hora salió un tren, por ejemplo.
Los calendarios o agendas son útiles para planificar las actividades a realizar a lo largo del día.
UNA SERIE ES UNA SUCESIÓN DE ELEMENTOS O NÚMEROS QUE SIGUEN UNA REGLA O PATRÓN. CREAMOS SERIES CADA VEZ QUE ORGANIZAMOS NUESTROS CRAYONES POR COLOR, HACEMOS FILA EN LA ESCUELA POR ESTATURA, O CONTAMOS CON NUESTROS DEDOS. COMO VES, LAS SERIES ESTÁN EN CADA ASPECTO DE NUESTRO DÍA A DÍA.
SERIES Y PATRONES
OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿QUÉ FIGURAS VES?, ¿TIENEN UN ORDEN PARTICULAR?
HAY CÍRCULOS Y TRIÁNGULOS. SÍ TIENEN UN ORDEN: HAY UN CÍRCULO AZUL Y LUEGO UN TRIÁNGULO AMARILLO, DESPUÉS VIENE OTRO CÍRCULO AZUL Y OTRO TRIÁNGULO AMARILLO. ESTE ES UN EJEMPLO DE SERIE.
UNA SERIE ES UNA SECUENCIA DE ELEMENTOS QUE SIGUEN UNA REGLA QUE LLAMAMOS PATRÓN.
– EJEMPLO:
OBSERVA ESTA SERIE, ¿CUÁL ES EL PATRÓN?
PARA IDENTIFICAR EL PATRÓN VEMOS FIGURA POR FIGURA:
PRIMERO: SOL
SEGUNDO: CÍRCULO
TERCERO: TRIÁNGULO
DESPUÉS SE REPITEN LAS MISMAS FIGURAS, ASÍ QUE EL PATRÓN ES SOL-CÍRCULO-TRIÁNGULO.
– OTRO EJEMPLO:
OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿CUÁL ES EL PATRÓN?
EL PATRÓN ES CUADRADO-TRIÁNGULO-CÍRCULO.
SERIES NUMÉRICAS
LAS SERIES NO SOLO SE PUEDEN HACER CON OBJETOS Y FIGURAS, TAMBIÉN LAS PODEMOS CREAR CON NÚMEROS. DE HECHO, CADA VEZ QUE CONTAMOS DE 1 EN 1 HACEMOS UNA SERIE NUMÉRICA CON UN PATRÓN IGUAL A +1, PUES CADA NÚMERO ES UNA UNIDAD MAYOR AL ANTERIOR.
SERIES ASCENDENTES Y DESCENDENTES
LAS SERIES PUEDEN IR DE MAYOR A MENOR O DE MENOR A MAYOR.
SERIES ASCENDENTES
CUANDO EN LA SERIE UBICAMOS ELEMENTOS CON PATRONES QUE VAN DE MENOR A MAYOR, DECIMOS LA QUE LA SERIE ES ASCENDENTE. POR EJEMPLO:
ESTA ES UNA SERIE DE FIGURAS GEOMÉTRICAS. LA PRIMERA TIENE 3 LADOS, LA SEGUNDA TIENE 4 LADOS, LAS TERCERA TIENE 5 LADOS Y LA CUARTA FIGURA TIENE 6 LADOS. ASÍ QUE EL PATRÓN ES + 1 LADO.
TAMBIÉN SUCEDE CON LOS NÚMEROS, POR EJEMPLO:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ESTA ES UNA SERIE NUMÉRICA ASCENDENTE PORQUE CADA NÚMERO ES MAYOR AL ANTERIOR Y EL PATRÓN ES + 1.
SERIE DESCENDENTE
CUANDO EN LA SERIE UBICAMOS ELEMENTOS CON PATRONES QUE VAN DE MAYOR A MENOR, DECIMOS LA QUE LA SERIE ES DESCENDENTE. POR EJEMPLO:
ESTA ES UNA SERIE DE RECTÁNGULOS EN LOS QUE CADA UNO ES MÁS PEQUEÑO EN TAMAÑO QUE EL ANTERIOR. EL SEGUNDO DE IZQUIERDA A DERECHA ES MÁS PEQUEÑO QUE EL ANTERIOR, EL TERCERO MÁS PEQUEÑO QUE LOS ANTERIORES, Y ASÍ SUCESIVAMENTE.
TAMBIÉN HAY SERIES NUMÉRICAS DESCENDENTES, POR EJEMPLO:
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
ESTA ES UNA SERIE NUMÉRICA DESCENDENTE PORQUE CADA NÚMERO ES MENOR AL ANTERIOR Y EL PATRÓN ES − 1.
¡ES TU TURNO!
OBSERVA ESTAS SERIES, ¿CUÁL ES EL PATRÓN?
SOLUCIÓN
PATRÓN: CÍRCULO AZUL-CÍRCULO ROJO
SOLUCIÓN
PATRÓN: TRIÁNGULO-SOL-CUADRADO
TODOS LOS NÚMEROS TIENEN UN ORDEN, Y EN SU FUNCIÓN DE REPRESENTAR CANTIDADES, HAY UNOS QUE SON MAYORES QUE OTROS. SI TENEMOS QUE AGRUPAR FIGURAS, NOS DAMOS CUENTA QUE 4 ES MAYOR QUE 2; 5 ES MAYOR QUE 2; 3 ES MENOR QUE 4; O 3 ES MENOR QUE 5. ESTAS RELACIONES LAS MOSTRAMOS CON SIGNOS DE RELACIÓN COMO MENOR QUE “<” O MAYOR QUE “>”.
RELACIONES DE MENOR Y MAYOR QUE
OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿CUÁL ÁRBOL TIENE MAYOR ALTURA?
EL ÁRBOL DE LA DERECHA TIENE UNA ALTURA MAYOR QUE EL DE LA IZQUIERDA.
LO MISMO SUCEDE CON LOS NÚMEROS Y PARA ESO USAMOS LOS SIGNOS DE RELACIÓN < Y >.
MENOR QUE “< “
CON ESTE SÍMBOLO < INDICAMOS QUE EL NÚMERO DE LA IZQUIERDA ES MENOR QUE EL DE LA DERECHA. POR EJEMPLO:
3 < 5 SE LEE “TRES ES MENOR QUE CINCO”.
8 < 10 SE LEE “OCHO ES MENOR QUE DIEZ”.
1 < 9 SE LEE “UNO ES MENOR QUE NUEVE”.
MAYOR “>”
CON ESTE SÍMBOLO < INDICAMOS QUE EL NÚMERO DE LA IZQUIERDA ES MAYOR QUE EL DE LA DERECHA. POR EJEMPLO:
7 > 1 SE LEE “SIETE ES MAYOR QUE UNO”.
10 > 8 SE LEE “DIEZ ES MAYOR QUE OCHO”.
5 > 4 SE LEE “CINCO ES MAYOR QUE CUATRO”.
USO DE ORDINALES PARA LA UBICACIÓN DE OBJETOS
LOS NÚMEROS ORDINALES SIRVEN PARA SABER LA POSICIÓN Y ORDEN DE LOS ELEMENTOS EN UN CONJUNTO. PUEDEN SER FEMENINOS Y MASCULINOS Y SE REPRESENTAN CON UN SÍMBOLO DEL LADO DERECHO. OBSERVA LA SIGUIENTE TABLA CON LOS PRIMEROS DIEZ NÚMERO ORDINALES:
MASCULINO
FEMENINO
1.º
PRIMERO
1.ª
PRIMERA
2.º
SEGUNDO
2.ª
SEGUNDA
3.º
TERCERO
3.ª
TERCERA
4.º
CUARTO
4.ª
CUARTA
5.º
QUINTO
5.ª
QUINTA
6.º
SEXTO
6.ª
SEXTA
7.º
SÉPTIMO
7.ª
SÉPTIMA
8.º
OCTAVO
8.ª
OCTAVA
9.º
NOVENO
9.ª
NOVENA
10.º
DÉCIMO
10.ª
DÉCIMA
– EJEMPLO:
ESTOS NIÑOS ESTÁN ORGANIZADOS SEGÚN SU ESTATURA, ¿REPRESENTAN UNA SERIE?
SÍ, ES UNA SERIE DESCENDENTE PORQUE VAN DE MAYOR A MENOR. JUAN ES EL PRIMERO Y EL MÁS ALTO; DIEGO ES EL DÉCIMO Y EL MÁS BAJO.
¡ES TU TURNO!
OBSERVA LA IMAGEN Y ESCRIBE EL ORDEN DE LAS PERSONAS.
SOLUCIÓN
EL LUGAR DE JUAN ES EL PRIMERO
EL LUGAR DE LOLO ES EL SEGUNDO.
EL LUGAR DE ANA ES EL TERCERO.
EL LUGAR DE SOFÍA ES EL CUARTO.
EL LUGAR DE NICO ES EL QUINTO.
EL LUGAR DE MAXI ES EL SEXTO.
EL LUGAR DE REINA ES EL SÉPTIMO.
EL LUGAR DE PABLO ES EL OCTAVO.
EL LUGAR DE LUNA ES EL NOVENO.
EL LUGAR DE DIEGO ES EL DÉCIMO.
¡A PRACTICAR!
1. COMPLETA LOS PATRONES.
SOLUCIÓN
2. COMPLETA LA SERIE NUMÉRICA. ¿CUÁL ES EL PATRÓN?
SOLUCIÓN
EL PATRÓN ES + 1.
3. COLOCA EL SIGNO > O < SEGÚN CORRESPONDA.
10 ____ 5
SOLUCIÓN
10 > 5
14 ____ 6
SOLUCIÓN
14 > 6
16 ____ 11
SOLUCIÓN
16 > 11
7 ____ 10
SOLUCIÓN
7 < 10
7 ____ 20
SOLUCIÓN
7 < 20
11 ____ 10
SOLUCIÓN
11 > 10
4 ____ 2
SOLUCIÓN
4 > 2
11 ____ 9
SOLUCIÓN
11 > 9
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Comparar y ordenar números”
Este artículo detalla cómo comprar y ordenar números por medio de los símbolos de relación.
LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS QUE USAMOS PARA CONTAR, POR EJEMPLO, LA CANTIDAD DE JUGUETES QUE TENEMOS O LAS HORAS QUE FALTAN PARA SALIR A JUGAR. TODOS ELLOS TIENEN UNA RELACIÓN CON LOS DEMÁS NÚMEROS. PARA ESCRIBIR ESTAS RELACIONES USAMOS ALGUNOS SÍMBOLOS ESPECIALES QUE APRENDERÁS HOY.
RELACIONES ENTRE NÚMEROS
TODOS LOS NÚMEROS NATURALES TIENEN UNA RELACIÓN. EN LA IMAGEN VEMOS UN ORDEN DE 1 EN 1 PORQUE CADA NÚMERO A LA DERECHA TIENE UNA UNIDAD MÁS QUE EL ANTERIOR. SI QUEREMOS SABER QUÉ NÚMERO ES MAYOR O MENOR QUE OTRO PODEMOS UTILIZAR UNA RECTA NUMÉRICA. MIENTRAS MÁS A LA DERECHA DE LA RECTA ESTÉ EL NÚMERO, MAYOR SERÁ SU VALOR.
HAY NÚMEROS QUE REPRESENTAN MÁS CANTIDAD QUE OTROS Y POR LO TANTO, TAMBIÉN HAY NÚMEROS QUE REPRESENTAN MENOS CANTIDAD QUE OTROS. ESTA RELACIÓN SE LLAMA ORDEN Y LA USAMOS CADA VEZ QUE CONTAMOS O COMPARAMOS CIFRAS.
ENTRE DOS NÚMEROS, UNO PUEDE SER MAYOR QUE OTRO, IGUAL A OTRO O MENOR QUE OTRO. CADA RELACIÓN TIENE UN SÍMBOLO ÚNICO PARA QUE PUEDAS DIFERENCIARLO.
MAYOR QUE
CUANDO ESCRIBIMOS NÚMEROS PODEMOS VER QUE UNOS REPRESENTAN MÁS CANTIDADES QUE OTROS. POR EJEMPLO:
¿CUÁNTOS CANGREJOS HAY EN LA CAJA ROJA?
HAY 24 CANGREJOS.
¿CUÁNTO CANGREJOS HAY EN LA CAJA AZUL?
HAY 12 CANGREJOS.
¿CUÁL CAJA TIENE MAYOR CANTIDAD DE CANGREJOS?
LA CAJA ROJA TIENE MAYOR CANTIDAD DE CANGREJOS PORQUE 24 ES MAYOR QUE 12.
ESTA RELACIÓN ENTRE DOS NÚMEROS LA PODEMOS ESCRIBIR CON EL SÍMBOLO > QUE SIGNIFICA “MAYOR QUE”.
24 > 12
SI UBICAMOS CADA NÚMERO EN LA RECTA NUMÉRICA TENEMOS QUE:
EL NÚMERO 24 ES MAYOR QUE 12 PORQUE SE ENCUENTRA MÁS A LA DERECHA EN LA RECTA NUMÉRICA.
OTRO EJEMPLO:
OBSERVA ESTOS NÚMEROS, ¿CUÁL ES MAYOR?
365 357
PARA RESPONDER LA PREGUNTA DEBEMOS REPRESENTAR EN LA RECTA NUMÉRICA CADA NÚMERO Y COMPARARLOS:
COMO EL 365 ESTÁ MÁS A LA DERECHA EN LA RECTA, 365 ES MAYOR QUE 357. ENTONCES:
365 > 357
¡A ORDENAR NÚMEROS!
ORDENA DE MAYOR A MENOR ESTOS NÚMEROS. USA EL SÍMBOLO “MAYOR QUE” PARA REPRESENTAR LA RELACIÓN ENTRE CADA UNO DE ELLOS.
125 – 89 – 856 – 632
SOLUCIÓN
856 > 632 > 125 > 89
IGUAL QUE
ES POSIBLE QUE DOS CANTIDADES SEAN IGUALES. POR EJEMPLO:
CADA CAJA TIENE CARACOLAS MARINAS, ¿CUÁNTAS HAY EN LA CAJA ROJA?, ¿CUÁNTAS HAY EN LA CAJA AZUL?
EN LAS DOS CAJAS HAY LO MISMO: 15 CARACOLAS MARINAS.
CUANDO DOS NÚMEROS SON IGUALES USAMOS EL SÍMBOLO = QUE SIGNIFICA “IGUAL A “.
15 = 15
EL SÍMBOLO DE IGUALDAD TAMBIÉN SIRVE PARA DEMOSTRAR QUE UN NÚMERO ES IGUAL A LA SUMA DE OTROS. EJEMPLO:
15 = 10 + 5
15 = 5 + 5 + 5
15= 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3
SI BUSCAMOS REPRESENTAR LA IGUALDAD EN UNA RECTA NUMÉRICA, LOS DOS NÚMEROS SERÁN REPRESENTADOS EN EL MISMO LUGAR.
¡COMPAREMOS NÚMEROS!
INDICA SI ESTAS IGUALDADES SON CORRECTAS:
543 = 500 + 40 + 3
SOLUCIÓN
CORRECTO.
123 = 10 + 2 + 3
SOLUCIÓN
INCORRECTO. LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE 123 = 100 + 20 + 3.
LA IGUALDAD
SIEMPRE QUE DOS EXPRESIONES SEAN IGUALES DECIMOS QUE HAY UNA IGUALDAD MATEMÁTICA. EL SIGNO USADO ES =. ESTE SIGNO FUE CREADO POR ROBERT RECORDE EN 1557. ÉL USÓ DOS RECTAS PARALELAS PARA REPRESENTARLO.
MENOR QUE
ALGUNOS NÚMEROS REPRESENTAN MENOS CANTIDADES QUE OTROS. POR EJEMPLO:
¿CUÁNTOS PECES HAY EN LA CAJA ROJA?
HAY 18 PECES.
¿CUÁNTOS PECES HAY EN LA CAJA AZUL?
HAY 21 PECES.
¿CUÁL CAJA TIENE MENOR CANTIDAD DE PECES?
LA CAJA ROJA TIENE MENOR CANTIDAD DE PECES PORQUE 18 ES MENOR QUE 21.
ESTA RELACIÓN ENTRE DOS NÚMEROS LA PODEMOS ESCRIBIR CON EL SÍMBOLO < QUE SIGNIFICA “MENOR QUE”.
18 < 21
SI UBICAMOS CADA NÚMERO EN LA RECTA NUMÉRICA TENEMOS QUE:
EL NÚMERO 18 ES MENOR QUE 21 PORQUE SE ENCUENTRA MÁS A LA IZQUIERDA EN LA RECTA NUMÉRICA.
OTRO EJEMPLO:
OBSERVA ESTOS NÚMEROS, ¿CUÁL ES MENOR?
433 448
PARA RESPONDER LA PREGUNTA DEBEMOS REPRESENTAR EN LA RECTA NUMÉRICA CADA NÚMERO Y COMPARARLOS:
COMO EL 433 ESTÁ MÁS A LA IZQUIERDA EN LA RECTA, 433 ES MENOR QUE 448. ENTONCES:
433 < 448
¿SABÍAS QUÉ?
LA ABERTURA DE LOS SÍMBOLOS < Y > SIEMPRE IRÁ HACIA EL NÚMERO MAYOR, Y LA PUNTA IRÁ HACIA EL NÚMERO MENOR.
¡A ORDENAR NÚMEROS!
ORDENA DE MENOR A MAYOR ESTOS NÚMEROS. USA EL SÍMBOLO “MENOR QUE” PARA REPRESENTAR LA RELACIÓN ENTRE CADA UNO DE ELLOS.
489 – 511 – 263 – 384
SOLUCIÓN
263 < 384 < 489 < 511
LOS SÍMBOLOS DE RELACIÓN SIRVEN PARA QUE COMPAREMOS CANTIDADES. ES POSIBLE QUE NO NOS DEMOS CUENTA, PERO SIEMPRE LOS USAMOS. POR EJEMPLO, MIENTRAS MÁS AÑOS TENEMOS, MÁS ALTOS SOMOS. SI MARCAMOS EN LA PARED NUESTRA ESTATURA VEREMOS QUE CADA AÑO LA MEDIDA ES MAYOR QUE LA ANTERIOR, O VISTO DE OTRO MODO, QUE LA ESTATURA ANTERIOR ES MENOR QUE LA ACTUAL.
Día a día comparamos números. Lo hacemos al ver que un precio es más bajo que otro, que los grados aumentan o disminuyen en el termómetro de acuerdo a la temperatura, o que un compañero tuvo una calificación diferente a la nuestra. Todos los números pueden compararse entre sí y para hacerlo existen algunas reglas y símbolos especiales.
Los números de nuestro sistema decimal poseen valores absolutos y relativos. El valor absoluto no considera la posición de la cifra, mientras que el relativo sí. De este modo, y en su función de representar cantidades, podemos hallar números que son mayores que otros. Esta relación nos permite establecer un orden entre ellos.
USO DE LOS SÍMBOLOS DE RELACIÓN
¿Qué son los símbolos de relación?
Son aquellos que permiten comparar números según el valor que estos tengan. Así, al observar dos cantidades podemos determinar si una es mayor, menor o igual que la otra. Para indicar estas relaciones colocamos los siguientes símbolos:
>, se lee “mayor que”.
<, se lee “menor que”.
=, se lee “igual a”.
Mayor que (>)
Todo número ubicado a la izquierda del símbolo “>“ será mayor que el número ubicado a su derecha, entonces, si el símbolo se encuentra entre dos números, significa que el primero es mayor que el segundo.
Menor que (<)
Todo número ubicado a la izquierda del símbolo “<“ será menor que el número ubicado a su derecha, entonces, si el símbolo se encuentra entre dos números, significa que el primero es menor que el segundo.
Igual a (=)
Los números ubicados tanto a la derecha como a la izquierda del símbolo “=” son iguales.
¿Sabías qué?
El matemático inglés Robert Recorde fue quien inventó el símbolo de igualdad. Le dio esta forma porque decía que “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”.
Existe una manera sencilla de memorizar los símbolos de relación y su función, consiste en fijarse en sus extremos. “Mayor que” y “menor que” apuntan su parte más ancha y abierta hacia el número mayor y su parte más cerrada y fina hacia el número menor. Ya que leemos de izquierda a derecha, el primero de los dos extremos que veamos nos dirá cuál símbolo es.
ESTABLECER ORDEN ENTRE DIFERENTES CANTIDADES
Orden de los números naturales
Los números naturales son los números que usamos para contar y con los que estamos más familiarizados. El orden de estos números comienza con sus unidades básicas, que se distribuyen de la siguiente manera:
Posterior al número 9 comienzan los números de dos cifras, formados por decenas y unidades:
El orden de los números naturales continúa en crecimiento hasta alcanzar el número 100, momento en el que se llega a las 3 cifras y aparece la primera centena de la sucesión:
El proceso se repite mientras se suman más y más cifras a la izquierda del número, cada una en representación de un valor mayor:
Esto indica que mientras más cifras tenga un número natural, mayor será su valor. Sin embargo, si dos números poseen la misma cantidad de cifras, hay que diferenciar los valores de cada dígito.
Observa estos ejemplos:
– Compara los números 110 y 120.
Primero vemos sus centenas. En este caso, las dos centenas son iguales (1), así que pasamos a las decenas. Estas son distintas y, por lo tanto, comparamos esos dos dígitos. Como 1 es menor que 2, entonces 110 es menor que 120.
– Compara los números 122 y 123.
Estos números tienen centenas y decenas iguales, así que pasamos a comparar las unidades. Como 2 es menor que 3, decimos que 122 es menor que 123.
– Compara los números 5.392.897 y 5.403.121.
La primera cifra corresponde a las unidades de millón y es la misma en los dos números. Comparamos entonces la siguiente cifra: la centena de mil. Como 3 es menor que 4, decimos que 5.392.897 es menor que 5.403.121.
– Compara los números 25.072.518 y 25.072.523.
Al igual que los casos anteriores, comparamos de izquierda a derecha cada cifra hasta ubicar las que tienen distinto valor. En este ejemplo, las decenas son distintas. Como 1 es menor que 2, decimos que 25.072.518 es menor que 25.072.523.
¡Es tu turno!
– Compara estos números.
9.854.125.369 y 9.854.311.003
Solución
9.854.125.369 < 9.854.311.003
658.899.157.021 y 658.899.157.001
Solución
658.899.157.021 > 658.899.157.001
Desigualdades
Las desigualdades, también llamadas inecuaciones, son expresiones algebraicas que contienen incógnitas y emplean símbolos para expresar la relación entre las partes. Los símbolos usados son:
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
≠ no es igual a
Orden de los números enteros
Los números enteros están formados por los números naturales y los números negativos. Los números negativos poseen una peculiaridad que los diferencia de los positivos: sus valores actúan de forma completamente opuesta. A partir de cero hacia la derecha, los números naturales se hacen cada vez mayores; en cambio, a partir de cero hacia la izquierda, los números negativos se hacen cada vez menores.
Esto quiere decir que si 2 es mayor que 1, −2 es menor que −1.
Es así como los números negativos siguen las mismas reglas de jerarquía que los naturales, pero de forma opuesta. Por ejemplo:
Los dos números tienen la misma cantidad de centenas y de decenas, pero las unidades son distintas. Como −4 es menor que −3, decimos que −424 es menor que −423.
¡Colócalos en orden!
– Ordena los siguientes números enteros de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente.
Los números decimales son aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal, es decir, una cantidad inferior a la unidad. Ambas partes son separadas por una coma.
El orden que siguen los números decimales es parecido a los explicados anteriormente. Observa este ejemplo:
1,4 es menor que 2,4 porque solo se consideraron sus partes enteras.
Si la parte entera de los números es la misma, empezamos a considerar la parte decimal, la cual se divide en cifras con nombres específicos: décimas, centésimas y milésimas. Estas tres unidades decimales son las más comunes, pero la cantidad de cifras puede extenderse hasta el infinito.
Lo más importante a saber para poder ordenar números decimales es que las décimas tienen mayor valor que las centésimas, y estas, a su vez, valen más que las milésimas. Observa las equivalencias:
1 décima = 0,1 unidades
1 centésima = 0,01 unidades
1 milésima = 0,001 unidades
Por lo tanto: 0,1 > 0,01 > 0,001
Ejemplo:
– Compara los números 2,3462 y 2,35.
La parte entera del número es la misma, así que pasamos a la parte decimal. Las décimas son iguales, pero las centésimas no. Como 4 es menor que 5, decimos que 2,3462 es menor que 2,35.
¿Sabías qué?
A diferencia de los números enteros, la cantidad de decimales no determina el valor del número.
¡Colócalos en orden!
– Ordena los siguientes números decimales de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente.
Los números fraccionarios o fracciones son aquellos números que representan una división o la separación de algo en varias partes. Están formados por un numerador y denominador, ambos separados por una barra horizontal.
La comparación de fracciones dependerá del numerador y el denominador. Los casos pueden ser los siguientes:
Fracciones con igual denominador.
Fracciones con igual numerador.
Fracciones con diferentes numeradores y denominadores.
Fracciones con igual denominador
Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la mayor fracción será aquella con mayor numerador. Por ejemplo:
¿Por qué es menor que ?
Observa las gráficas:
Las dos gráficas están divididas en 8 partes, como lo indica el denominador. En la primera tomamos 2 partes de las 8 (2/8), y en la segunda tomamos 4 partes (4/8). Hay más partes tomadas en la segunda gráfica.
Puedes comprobarlo por medio de divisiones:
Si comparamos estos números decimales, tenemos que:
Que es igual a:
Fracciones con igual numerador
Si dos fracciones tienen el mismo numerador, la mayor fracción será aquella con menor denominador. Por ejemplo:
¿Por qué es menor que ?
Observa las gráficas:
En las dos gráficas tomamos 2 partes, como lo indica el numerador. La primera se dividió en 6 partes totales y la otra en 4 partes totales. A pesar de que el número 6 es mayor que 4, aquí el 6 indica una mayor cantidad de divisiones y esto le resta valor a la fracción.
Puedes comprobarlo por medio de divisiones:
Si comparamos estos números decimales, tenemos que:
Que es igual a:
Si tienes dificultades para encontrar el orden de las fracciones, puedes probar este otro método: simplemente divide el numerador entre el denominador, y obtendrás un número entero o un número decimal. Luego sólo tienes que ordenar estos resultados. Su orden será el mismo que el de las fracciones iniciales.
Fracciones con diferente numerador y denominador
Para conocer el orden que tienen estas fracciones no basta con observarlas a simple vista. Para lograrlo debemos seguir dos pasos:
Hallar una fracción equivalente a la que deseamos comparar. Ambas deben tener el mismo denominador.
Comparar las fracciones resultantes según el método ya explicado para las fracciones con igual denominador.
¿Cómo comparar estas fracciones:y ?
1. Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello, debes descomponer cada número en sus factores primos.
m.c.m (5; 9) = 5 x 32 = 5 x 9 = 45
2. Multiplica el denominador por un número cuyo producto sea el m.c.m. Luego multiplica el numerador por ese mismo número. El resultado será su fracción equivalente.
Observa que en la primera fracción 5 x 9 = 45. Por eso, toda la fracción se multiplica por 9/9. Lo mismo sucede con la fracción 5/9, como 9 x 5 = 45, toda la fracción se multiplica por 5/5.
3. Compara las nuevas fracciones con igual denominador. La mayor fracción será aquella con mayor numerador, y como 72 > 25, entonces:
Ejercicios
1. Coloca el símbolo correcto entre los siguientes números.
10 ____ 9
4 ____ 4
8 ____ 27
46 ____ 6
59 ____ 59
40 ____ 70
2 ____ 22
100 ____ 1
23 ____ 32
85 ____ 85
Solución
10 > 9
4 = 4
8 < 27
46 > 6
59 = 59
40 < 70
2 < 22
100 > 1
23 < 32
85 = 85
2. Ordena los siguientes números naturales de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente para ello.
