CAPÍTULO 5 / TEMA 2

TABLAS

SI TIENES EN LA MESA MUCHOS LÁPICES DE COLORES, ¿PODRÍAS SABER A SIMPLE VISTA CUÁNTOS HAY DE CADA COLOR? ¡ES MUY DIFÍCIL! CUANDO TENEMOS SITUACIONES DE ESTE TIPO PODEMOS USAR UN RECURSO QUE NOS PERMITE ORGANIZAR DATOS DE MANERA SENCILLA Y RESUMIDA: LAS TABLAS DE DATOS. ¡HOY APRENDERÁS A ELABORARLAS!

¿QUÉ ES UNA TABLA DE DATOS?

LAS TABLAS DE DATOS SON ESTRUCTURAS CON COLUMNAS Y FILAS QUE EXPRESAN UNA INFORMACIÓN CLARA.

– EJEMPLO:

EN EL AULA DE 1° GRADO LOS NIÑOS DIJERON EN QUÉ MES CUMPLEN AÑOS Y LOS DATOS LOS COLOCARON EN LA SIGUIENTE TABLA:

CON LOS DATOS ORDENADOS EN UNA TABLA PODEMOS EXTRAER INFORMACIÓN CON PREGUNTAS:

¿EN QUÉ MES DEL AÑO HAY MÁS NIÑOS QUE CUMPLEN AÑOS?

EN EL MES DE MAYO HAY MÁS NIÑOS QUE CUMPLEN AÑOS.

¿CUÁLES SON LOS MESES QUE TIENEN UN SOLO CUMPLEAÑERO?

LOS MESES QUE TIENEN SOLO UN CUMPLEAÑERO SON MARZO, ABRIL, JUNIO, AGOSTO Y DICIEMBRE.

¿EN QUÉ MES CUMPLE AÑOS HUGO?

HUGO CUMPLE AÑOS EN JULIO.

¿EN QUÉ MES DEL AÑO CUMPLE AÑOS PAMELA?

PAMELA CUMPLE AÑOS EN FEBRERO.

¿PARA QUÉ SIRVEN LAS TABLAS?

LAS TABLAS SIRVEN PARA ORGANIZAR DATOS. TAMBIÉN PODEMOS OBSERVAR UNA IMAGEN Y EXTRAER INFORMACIÓN PARA COLOCARLA EN UNA TABLA. ¡VEAMOS!

OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿CUÁNTAS PERSONAS HAY? HAY 6 PERSONAS, PERO ¿TODOS SON ADULTOS?, ¿TODOS SON NIÑOS? ¡NO! ASÍ QUE PODEMOS CREAR GRUPOS A PARTIR DE UNA IMAGEN Y ESCRIBIR ESTOS GRUPOS EN UNA TABLA. POR EJEMPLO, UNA TABLA PUEDE MOSTRAR LA CANTIDAD DE PERSONAS ADULTAS Y LA DE NIÑOS; Y OTRA TABLA PUEDE MOSTRAR LA CANTIDAD DE MUJERES Y HOMBRES.

CON ESTA INFORMACIÓN CREAMOS DOS TABLAS CON CATEGORÍAS DIFERENTES:

EN ESTA TABLA EXPRESAMOS LA CANTIDAD DE PERSONAS ADULTAS Y NIÑOS.

EN ESTA TABLA EXPRESAMOS LA CANTIDAD DE MUJERES Y HOMBRES.

¿SABÍAS QUÉ?

TODAS LAS TABLAS SON CUADROS QUE ORGANIZAN Y RESUMEN UNA INFORMACIÓN RECOLECTADA.

TABLAS: UNA HERRAMIENTA DE CONTEO

LAS TABLAS NOS AYUDAN A ORGANIZAR DATOS QUE YA FUERON CONTADOS. DE ESTE MODO PODEMOS SABER FÁCILMENTE CANTIDADES Y CARACTERÍSTICAS DE UN CONJUNTO. POR EJEMPLO, EN LA IMAGEN HAY MUCHAS FIGURAS, ¿DE CUÁL FIGURA HAY MÁS CANTIDAD? ¿Y DE CUÁL HAY MENOS CANTIDAD? TODA ESTA INFORMACIÓN LA REPRESENTAMOS DE MANERA ORDENADA EN UNA TABLA:

FIGURA	ESTRELLA	CUADRADO	CÍRCULO	CORAZÓN	TRIÁNGULO
CANTIDAD	6	7	8	5	6

VEMOS QUE LA FIGURA CON MAYOR CANTIDAD ES EL CÍRCULO Y LA DE MENOR CANTIDAD ES EL CORAZÓN. ES MÁS SENCILLO VERLO EN UNA TABLA QUE EN LA IMAGEN.

LAS FILAS Y LAS COLUMNAS

LAS TABLAS DE DATOS ESTÁN COMPUESTAS POR FILAS EN FORMA HORIZONTAL Y COLUMNAS EN FORMA VERTICAL.

– EJEMPLO:

ESTA ES UNA TABLA QUE MUESTRA LA CANTIDAD DE NIÑOS Y NIÑAS DE 1º, 2º Y 3º GRADO QUE NO HICIERON LA TAREA EN UN DÍA.

LA TABLA TIENE 4 FILAS Y 3 COLUMNAS. POR LO GENERAL, LA PRIMERA FILA Y LA PRIMERA COLUMNA SE UTILIZAN PARA ESCRIBIR LAS CATEGORÍAS, POR EJEMPLO, NIÑOS, NIÑAS Y GRADOS.

LA UNIÓN DE UNA FILA Y UNA COLUMNA SE DENOMINA CELDA, LA QUE ESTÁ MARCADA EXPRESA QUE 1 NIÑA DE 2° GRADO NO HIZO LA TAREA ESE DÍA.

UNA UNIÓN DE FILA Y COLUMNA ES IGUAL A UNA INTERSECCIÓN.

¡ES TU TURNO!

OBSERVA DE NUEVO LA TABLA ANTERIOR Y RESPONDE:

¿CUÁNTOS NIÑOS DE 2° GRADO NO HICIERON LA TAREA?

SOLUCIÓN

¿CUÁNTOS NIÑAS DE 3° GRADO NO HICIERON LA TAREA?

SOLUCIÓN

¿CUÁNTOS NIÑOS Y NIÑAS DE 1° A 3° GRADO NO HICIERON LA TAREA?

SOLUCIÓN

TABLAS DE PICTOGRAMAS Y TABLAS DE DATOS

LAS TABLAS DE PICTOGRAMAS EXPRESAN LA MISMA INFORMACIÓN QUE UNA TABLA DE DATOS, LA ÚNICA DIFERENCIA ES QUE USAMOS DIBUJOS O SÍMBOLOS EN LUGAR DE NÚMEROS.

– EJEMPLO:

TABLA DE DATOS:

TABLA DE PICTOGRAMAS:

¡A PRACTICAR!

1. EXPRESAR LA INFORMACIÓN DE ESTAS SITUACIONES EN TABLA DE PICTOGRAMAS Y TABLA DE DATOS.

A) ANTONIA Y JOSÉ FUERON AL PARQUE DE DIVERSIONES. CADA UNO SE SUBIÓ VARIAS VECES A LOS JUEGOS:

ANTONIA SUBIÓ 4 VECES A LA RUEDA DE LA FORTUNA Y 3 VECES AL CARRUSEL.
JOSÉ SUBIÓ UNA VEZ A LA RUEDA DE LA FORTUNA Y 2 VECES AL CARRUSEL.

SOLUCIÓN

TABLA DE PICTOGRAMA:

	RUEDA DE LA FORTUNA	CARRUSEL
ANTONIA
JOSÉ

TABLA DE DATOS:

	RUEDA DE LA FORTUNA	CARRUSEL
ANTONIA	4	3
JOSÉ	1	2

B) OMAR Y DARÍO JUGARON UN PARTIDO DE FÚTBOL. OMAR ANOTÓ 8 GOLES Y DARÍO 5 GOLES.

SOLUCIÓN

TABLA DE PICTOGRAMAS:

	GOLES
OMAR
DARÍO

TABLA DE DATOS:

	GOLES
OMAR	8
DARÍO	5

C) ANGELINA Y JULIÁN COMPRARON UNA BOLSA DE CARAMELOS. ANGELINA COMIÓ 8 Y JULIÁN COMIÓ 12.

SOLUCIÓN

TABLA DE PICTOGRAMAS:

	CARAMELOS
ANGELINA
JULIÁN

TABLA DE DATOS:

	CARAMELOS
ANGELINA	8
JULIÁN	12

2. OBSERVA LA SIGUIENTE IMAGEN Y COMPLETA LA TABLA DE DATOS:

SOLUCIÓN

GLOBOS NEGROS	GLOBOS DORADOS
9	13

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Estadística: tabla de valores”

Con este recurso podrás profundizar sobre el uso de las tablas de datos en la estadística.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 2

FRACCIONES EQUIVALENTES

Hay fracciones que aunque parezcan diferentes representan la misma cantidad. Por ejemplo, si un amigo te ofrece 1/2 de un alfajor y otro te ofrece 2/4 de un alfajor, ¿quién te ofrece más? ¡Ninguno! ¡Los dos ofrecen lo mismo! Este tipo de fracciones son conocidas como fracciones equivalentes y son muy fáciles de distinguir.

¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN EQUIVALENTE?

Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad, es decir, al mismo número. Veamos un ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{2}{3}} =$

$\boldsymbol{\frac{4}{6}}=$

Podemos observar que en ambas fracciones pintamos la misma porción del entero, lo que quiere decir que ambas fracciones representan la misma cantidad. Por lo tanto, decimos que $\frac{2}{3}$ y $\frac{4}{6}$ son fracciones equivalentes, y las podemos escribir así:

$\boldsymbol{\frac{2}{3}=\frac{4}{6}}$

¿Hay una sola fracción equivalente?

Cada fracción tiene muchas fracciones equivalentes. Por ejemplo, otra fracción equivalente de $\frac{2}{3}$ es $\frac{8}{12}$ :

Entonces, como las 3 fracciones son equivalentes entre sí, podemos escribir:

$\boldsymbol{\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{8}{12}}$

Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad, es decir, al mismo número. Por lo tanto, hay muchas formas de decir media sandía: 1/2 , 2/4 , 4/8 , 8/16 , 16/32 y muchas más. Todas ellas son fracciones equivalentes que indican la mitad de un entero.

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar sus términos en forma de cruz el resultado el mismo.

$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{8}}$ son fracciones equivalentes porque $\boldsymbol{3\times 8=4\times 6}$

$\boldsymbol{\frac{3}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{18}}$ no son equivalentes porque $\boldsymbol{3\times 18\neq 5\times 6}$

¡Es tu turno!

¿Estas fracciones son equivalentes?

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{15}}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{15}}$ son fracciones equivalentes porque $\boldsymbol{2\times 15=5\times 6}$

$\boldsymbol{\frac{4}{7}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{5}}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{4}{7}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{5}}$ no son fracciones equivalentes porque $\boldsymbol{4\times 5\neq 7\times 3}$

¿cómo CONVERTIR FRACCIONES EQUIVALENTES?

Las fracciones equivalentes se pueden obtener por medio de dos métodos: amplificación y simplificación.

Amplificación de fracciones

Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero.

Si al numerador y al denominador de la fracción $\frac{3}{5}$ los multiplicamos por 3, obtenemos $\frac{9}{15}$ y por lo tanto, ambas fracciones son equivalentes.

Así, si multiplicamos al numerador y al denominador por 4, obtenemos otra fracción equivalente: $\frac{12}{20}$ .

Y si multiplicamos por 5, obtenemos otra: $\frac{15}{25}$ .

Podemos escribir las fracciones obtenidas de la siguiente manera:

$\boldsymbol{\frac{3}{5}=\frac{9}{15}=\frac{12}{20}=\frac{15}{25}}$

¡Puedes comprobarlo!

Las fracciones equivalentes, a pesar de tener numeradores y denominadores diferentes, representan una misma cantidad. Puedes corroborar esto si divides el numerador entre el denominador.

$\boldsymbol{\frac{3}{5}=3\div 5=0.6}$

$\boldsymbol{\frac{9}{15}=9\div 15=0.6}$

$\boldsymbol{\frac{12}{20}=12\div 20=0.6}$

$\boldsymbol{\frac{15}{25}=15\div 25=0.6}$

Simplificación de fracciones

Para obtener fracciones equivalentes por simplificación debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero. Pero en este caso, el número debe ser un divisor común entre el numerador y el denominador. Es decir, tanto el numerador como el denominador se deben poder dividir por el número.

Si al numerador y al denominador de la fracción $\frac{30}{15}$ los dividimos por 3, obtenemos $\frac{10}{5}$ , que es una fracción equivalente.

Los divisores comunes entre 30 y 15 son: 3, 5, 15. Entonces, también podemos simplificar la fracción $\frac{30}{15}$ si dividimos el numerador y denominador por 5, cuyo resultado es $\frac{6}{3}$ .

Y si dividimos por 15, obtenemos $\frac{2}{1}$ , otra fracción equivalente.

Como todas representan la misma cantidad, podemos escribirlas de este modo:

$\boldsymbol{\frac{30}{15}=\frac{10}{5}=\frac{6}{3}=\frac{2}{1}}$

¿Sabías qué?

Cuando una fracción no puede simplificarse se dice que es una fracción irreducible.

Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero; y para obtener fracciones equivalentes por simplificación debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero que sea divisor común entre ambos.

APLICACIÓN DE LAS FRACCIONES EQUIVALENTES EN OPERACIONES DE FRACCIONES

Podemos usar las fracciones equivalentes para sumar y restar fracciones heterogéneas (aquellas que tienen distinto denominador). Para estos solo tenemos que convertirlas en fracciones homogéneas, es decir, en fracciones con igual denominador. Luego sumamos o restamos los numeradores y conservamos el denominador.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{2}{4}+\frac{8}{2}=}$

Los denominadores son 4 y 2. Pero si en la segunda fracción multiplicamos numerador y denominador por 2, obtenemos $\frac{16}{4}$ , que es una fracción equivalente.

$\boldsymbol{\frac{8}{2}=\frac{16}{4}}$

Entonces, la suma queda así:

$\boldsymbol{\frac{2}{4}+\frac{16}{4}=\frac{2+16}{4}=\frac{18}{4}}$

También podemos representar esta fracción final de una manera más simple si encontramos un divisor común. Como 18 y 4 son divisible por 2, su fracción equivalente es $\frac{9}{2}$ .

$\boldsymbol{\frac{18}{4}=\frac{9}{2}}$

Por lo tanto:

$\boldsymbol{\frac{2}{4}+\frac{16}{4}=\frac{2+16}{4}=\frac{18}{4}=\boldsymbol{\frac{9}{2}}}$

– Otro ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{6}{5}-\frac{1}{2}=}$

Los denominadores son 5 y 2, así que debemos encontrar el mínimo común múltiplo entre ambos, que es 10. Para llegar de 5 a 10, debemos multiplicar a 5 por 2. Entonces, amplificamos la fracción $\frac{6}{5}$ por 2:

$\boldsymbol{\frac{6}{5}=\frac{12}{10}}$

Y para llegar de 2 a 10, debemos multiplicar a 2 por 5. Amplificamos esta fracción por 5:

$\boldsymbol{\frac{1}{2}=\frac{5}{10}}$

La resta queda así:

$\boldsymbol{\frac{12}{10}-\frac{5}{10}=\frac{12-5}{10}=\frac{7}{10}}$

Las fracciones equivalentes se pueden utilizar para sumar y restar fracciones heterogéneas (que tienen distinto denominador). Para poder sumarlas o restarlas, debemos convertirlas en fracciones homogéneas, es decir, que tengan el mismo denominador. Y para convertirlas en fracciones homogéneas, utilizamos fracciones equivalentes de las originales.

¡A practicar!

1. Indica si estas equivalencias son verdaderas o falsas.

$\boldsymbol{\frac{8}{11}=\frac{33}{44}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 8 × 44 ≠ 11 × 33.

$\boldsymbol{\frac{1}{5}=\frac{3}{15}}$

Solución

Verdadero. Estas fracciones sí son equivalentes porque 1 × 15 = 5 × 3.

$\boldsymbol{\frac{4}{12}=\frac{20}{24}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 4 × 24 ≠ 12 × 20.

$\boldsymbol{\frac{9}{10}=\frac{36}{30}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 9 × 30 ≠ 10 × 36.

$\boldsymbol{\frac{7}{8}=\frac{14}{16}}$

Solución

Verdadero. Estas fracciones sí son equivalentes porque 7 × 16 = 8 × 14.

$\boldsymbol{\frac{6}{9}=\frac{24}{36}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 9 × 24 ≠ 6 × 36.

2. Realiza los siguientes cálculos. Utiliza sus fracciones equivalentes:

$\boldsymbol{\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{1}{4}+\frac{6}{4}=\frac{6+1}{4}=\frac{7}{4}}$

$\boldsymbol{\frac{2}{3}+\frac{6}{4}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{8}{12}+\frac{18}{12}=\frac{8+18}{12}=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}}$

$\boldsymbol{\frac{7}{5}-\frac{2}{2}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{14}{10}-\frac{10}{10}=\frac{14-10}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}}$

$\boldsymbol{\frac{8}{3}-\frac{2}{5}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{40}{15}-\frac{6}{15}=\frac{40-6}{15}=\frac{34}{15}}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Fracciones equivalentes”

En este artículo podrás ahondar en los conceptos de amplificación y simplificación de fracciones, hasta llegar al concepto de fracción irreducible.

VER

Micrositio “Operaciones matemáticas”

En este micrositio, las tarjetas te ayudarán a profundizar en el procedimiento que debe realizarse en las operaciones matemáticas de adición, resta, multiplicación y división de fracciones homogéneas y heterogéneas.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 7

RELACIONES

LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS QUE USAMOS PARA CONTAR, POR EJEMPLO, LA CANTIDAD DE JUGUETES QUE TENEMOS O LAS HORAS QUE FALTAN PARA SALIR A JUGAR. TODOS ELLOS TIENEN UNA RELACIÓN CON LOS DEMÁS NÚMEROS. PARA ESCRIBIR ESTAS RELACIONES USAMOS ALGUNOS SÍMBOLOS ESPECIALES QUE APRENDERÁS HOY.

RELACIONES ENTRE NÚMEROS

TODOS LOS NÚMEROS NATURALES TIENEN UNA RELACIÓN. EN LA IMAGEN VEMOS UN ORDEN DE 1 EN 1 PORQUE CADA NÚMERO A LA DERECHA TIENE UNA UNIDAD MÁS QUE EL ANTERIOR. SI QUEREMOS SABER QUÉ NÚMERO ES MAYOR O MENOR QUE OTRO PODEMOS UTILIZAR UNA RECTA NUMÉRICA. MIENTRAS MÁS A LA DERECHA DE LA RECTA ESTÉ EL NÚMERO, MAYOR SERÁ SU VALOR.

HAY NÚMEROS QUE REPRESENTAN MÁS CANTIDAD QUE OTROS Y POR LO TANTO, TAMBIÉN HAY NÚMEROS QUE REPRESENTAN MENOS CANTIDAD QUE OTROS. ESTA RELACIÓN SE LLAMA ORDEN Y LA USAMOS CADA VEZ QUE CONTAMOS O COMPARAMOS CIFRAS.

ENTRE DOS NÚMEROS, UNO PUEDE SER MAYOR QUE OTRO, IGUAL A OTRO O MENOR QUE OTRO. CADA RELACIÓN TIENE UN SÍMBOLO ÚNICO PARA QUE PUEDAS DIFERENCIARLO.

MAYOR QUE

CUANDO ESCRIBIMOS NÚMEROS PODEMOS VER QUE UNOS REPRESENTAN MÁS CANTIDADES QUE OTROS. POR EJEMPLO:

¿CUÁNTOS CANGREJOS HAY EN LA CAJA ROJA?

HAY 24 CANGREJOS.

¿CUÁNTO CANGREJOS HAY EN LA CAJA AZUL?

HAY 12 CANGREJOS.

¿CUÁL CAJA TIENE MAYOR CANTIDAD DE CANGREJOS?

LA CAJA ROJA TIENE MAYOR CANTIDAD DE CANGREJOS PORQUE 24 ES MAYOR QUE 12.

ESTA RELACIÓN ENTRE DOS NÚMEROS LA PODEMOS ESCRIBIR CON EL SÍMBOLO > QUE SIGNIFICA “MAYOR QUE”.

24 > 12

SI UBICAMOS CADA NÚMERO EN LA RECTA NUMÉRICA TENEMOS QUE:

EL NÚMERO 24 ES MAYOR QUE 12 PORQUE SE ENCUENTRA MÁS A LA DERECHA EN LA RECTA NUMÉRICA.

OTRO EJEMPLO:

OBSERVA ESTOS NÚMEROS, ¿CUÁL ES MAYOR?

365 357

PARA RESPONDER LA PREGUNTA DEBEMOS REPRESENTAR EN LA RECTA NUMÉRICA CADA NÚMERO Y COMPARARLOS:

COMO EL 365 ESTÁ MÁS A LA DERECHA EN LA RECTA, 365 ES MAYOR QUE 357. ENTONCES:

365 > 357

¡A ORDENAR NÚMEROS!

ORDENA DE MAYOR A MENOR ESTOS NÚMEROS. USA EL SÍMBOLO “MAYOR QUE” PARA REPRESENTAR LA RELACIÓN ENTRE CADA UNO DE ELLOS.

125 – 89 – 856 – 632

SOLUCIÓN

856 > 632 > 125 > 89

IGUAL QUE

ES POSIBLE QUE DOS CANTIDADES SEAN IGUALES. POR EJEMPLO:

CADA CAJA TIENE CARACOLAS MARINAS, ¿CUÁNTAS HAY EN LA CAJA ROJA?, ¿CUÁNTAS HAY EN LA CAJA AZUL?

EN LAS DOS CAJAS HAY LO MISMO: 15 CARACOLAS MARINAS.

CUANDO DOS NÚMEROS SON IGUALES USAMOS EL SÍMBOLO = QUE SIGNIFICA “IGUAL A “.

15 = 15

EL SÍMBOLO DE IGUALDAD TAMBIÉN SIRVE PARA DEMOSTRAR QUE UN NÚMERO ES IGUAL A LA SUMA DE OTROS. EJEMPLO:

15 = 10 + 5

15 = 5 + 5 + 5

15 = 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3

SI BUSCAMOS REPRESENTAR LA IGUALDAD EN UNA RECTA NUMÉRICA, LOS DOS NÚMEROS SERÁN REPRESENTADOS EN EL MISMO LUGAR.

¡COMPAREMOS NÚMEROS!

INDICA SI ESTAS IGUALDADES SON CORRECTAS:

543 = 500 + 40 + 3

SOLUCIÓN

CORRECTO.

123 = 10 + 2 + 3

SOLUCIÓN

INCORRECTO. LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE 123 = 100 + 20 + 3.

LA IGUALDAD

SIEMPRE QUE DOS EXPRESIONES SEAN IGUALES DECIMOS QUE HAY UNA IGUALDAD MATEMÁTICA. EL SIGNO USADO ES =. ESTE SIGNO FUE CREADO POR ROBERT RECORDE EN 1557. ÉL USÓ DOS RECTAS PARALELAS PARA REPRESENTARLO.

MENOR QUE

ALGUNOS NÚMEROS REPRESENTAN MENOS CANTIDADES QUE OTROS. POR EJEMPLO:

¿CUÁNTOS PECES HAY EN LA CAJA ROJA?

HAY 18 PECES.

¿CUÁNTOS PECES HAY EN LA CAJA AZUL?

HAY 21 PECES.

¿CUÁL CAJA TIENE MENOR CANTIDAD DE PECES?

LA CAJA ROJA TIENE MENOR CANTIDAD DE PECES PORQUE 18 ES MENOR QUE 21.

ESTA RELACIÓN ENTRE DOS NÚMEROS LA PODEMOS ESCRIBIR CON EL SÍMBOLO < QUE SIGNIFICA “MENOR QUE”.

18 < 21

SI UBICAMOS CADA NÚMERO EN LA RECTA NUMÉRICA TENEMOS QUE:

EL NÚMERO 18 ES MENOR QUE 21 PORQUE SE ENCUENTRA MÁS A LA IZQUIERDA EN LA RECTA NUMÉRICA.

OTRO EJEMPLO:

OBSERVA ESTOS NÚMEROS, ¿CUÁL ES MENOR?

433 448

PARA RESPONDER LA PREGUNTA DEBEMOS REPRESENTAR EN LA RECTA NUMÉRICA CADA NÚMERO Y COMPARARLOS:

COMO EL 433 ESTÁ MÁS A LA IZQUIERDA EN LA RECTA, 433 ES MENOR QUE 448. ENTONCES:

433 < 448

¿SABÍAS QUÉ?

LA ABERTURA DE LOS SÍMBOLOS < Y > SIEMPRE IRÁ HACIA EL NÚMERO MAYOR, Y LA PUNTA IRÁ HACIA EL NÚMERO MENOR.

¡A ORDENAR NÚMEROS!

ORDENA DE MENOR A MAYOR ESTOS NÚMEROS. USA EL SÍMBOLO “MENOR QUE” PARA REPRESENTAR LA RELACIÓN ENTRE CADA UNO DE ELLOS.

489 – 511 – 263 – 384

SOLUCIÓN

263 < 384 < 489 < 511

LOS SÍMBOLOS DE RELACIÓN SIRVEN PARA QUE COMPAREMOS CANTIDADES. ES POSIBLE QUE NO NOS DEMOS CUENTA, PERO SIEMPRE LOS USAMOS. POR EJEMPLO, MIENTRAS MÁS AÑOS TENEMOS, MÁS ALTOS SOMOS. SI MARCAMOS EN LA PARED NUESTRA ESTATURA VEREMOS QUE CADA AÑO LA MEDIDA ES MAYOR QUE LA ANTERIOR, O VISTO DE OTRO MODO, QUE LA ESTATURA ANTERIOR ES MENOR QUE LA ACTUAL.

¡A PRACTICAR!

1. COLOCA EL SÍMBOLO DE RELACIÓN QUE CORRESPONDA:

64 ___ 89

SOLUCIÓN

64 < 89

159 ___ 685

SOLUCIÓN

159 < 685

745 ___ 700 + 40 + 5

SOLUCIÓN

745 = 700 + 40 + 5

4 + 40 ___ 20 + 7

SOLUCIÓN

4 + 40 = 44 > 27 = 20 + 7

999 ___ 654

SOLUCIÓN

999 > 654

80 + 4 ___ 84

SOLUCIÓN

80 + 4 = 84

2. ESCRIBE SI LA RELACIÓN ES VERDADERA O FALSA.

5 = 8

SOLUCIÓN

FALSO. 5 < 8

85 < 85

SOLUCIÓN

FALSO. 85 = 85

196 < 852

SOLUCIÓN

VERDADERO.

458 > 655

SOLUCIÓN

FALSO. 458 < 655

351 < 536

SOLUCIÓN

VERDADERO.

758 = 663

SOLUCIÓN

FALSO. 758 > 663

3. ORDENA DE MENOR A MAYOR:

78 – 96 – 499 – 164 – 8 – 968 – 781 – 63 – 19 – 82

SOLUCIÓN

8 < 19 < 63 < 78 < 82 < 96 < 164 < 499 < 781 < 968

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Comparar y ordenar números”

En el siguiente artículo hay más ejercicios para la práctica de la relación de números: mayor que y menor que.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 2

TABLAS

SI QUEREMOS INFORMAR SOBRE UN TEMA ESPECÍFICO TENEMOS QUE RECOLECTAR DATOS, POR EJEMPLO, PARA SABER LA CANTIDAD DE HOMBRES Y MUJERES EN UNA ESCUELA DEBEMOS CONTARLOS UNO POR UNO. ESTA INFORMACIÓN SE PUEDE GRAFICAR DE FORMA RESUMIDA Y CLARA EN UNA TABLA. LAS TABLAS PUEDEN SER CON NÚMEROS, PICTOGRAMAS O DE DOBLE ENTRADA.

¿QUÉ ES UNA TABLA?

ES UN GRÁFICO CON FORMA CUADRADA O RECTANGULAR. SIRVE PARA ORGANIZAR Y RESUMIR INFORMACIÓN. ESTÁ FORMADA POR FILAS, COLUMNAS Y CELDAS.

GRADO	NOMBRE Y APELLIDO	EDAD
2º	MARÍA PÉREZ	8
2º	JOSÉ COLINA	7
2º	CARLA GONZÁLEZ	8

LAS FILAS SON LAS HILERAS HORIZONTALES.

LAS COLUMNAS SON LAS HILERAS VERTICALES.

LAS CELDAS SON LAS CASILLAS QUE RESULTAN DE LA UNIÓN ENTRE UNA FILA Y UNA COLUMNA.

TABLA DE DATOS

LAS TABLAS DE DATOS EXPONEN INFORMACIÓN RECOLECTADA. VEAMOS UNA TABLA SIMPLE CON UNA INFORMACIÓN SOBRE UNA FAMILIA.

– EJEMPLO:

PRIMOS DE LUCAS	EDAD
ANGÉLICA	5
JOSÉ	9
MARIO	13
CARLA	15

ESTA TABLA EXPRESA UNA INFORMACIÓN SENCILLA, LAS EDADES DE LO PRIMOS DE LUCAS: 5, 9, 13 Y 15. AL MISMO TIEMPO PODEMOS LEER OTRA INFORMACIÓN: LUCAS TIENE 4 PRIMOS.

TAMBIÉN PODEMOS EXPRESAR UNA MAYOR CANTIDAD DE DATOS DE MANERA ORGANIZADA.

– EJEMPLO:

OBSERVA ESTA IMAGEN. ¿QUÉ CANTIDAD HAY DE CADA FRUTA Y VEGETAL?

LA CANTIDAD DE FRUTAS Y VEGETALES LA PODEMOS REPRESENTAR EN UNA TABLA COMO ESTA:

FRUTA O VEGETAL	CANTIDAD
MANZANAS	6
PERAS	4
ZANAHORIAS	9
FRESAS	9

¿SABÍAS QUÉ?

LAS COLUMNAS TAMBIÉN SON LLAMADAS “CAMPOS”.

¿CÓMO LEER UNA TABLA DE DATOS?

1. OBSERVA LA PRIMERA FILA. ESTA ES LA FILA DE ENCABEZADO Y MUESTRA LAS CATEGORÍAS DE LOS DATOS. POR EJEMPLO, EN ESTA TABLA LAS CATEGORÍAS SON “DEPORTE FAVORITO” Y “CANTIDAD DE ESTUDIANTES”.

DEPORTE FAVORITO	CANTIDAD DE ESTUDIANTES
FÚTBOL	12
BALONCESTO	8
NATACIÓN	5
TENIS	2
BÉISBOL	10
NINGUNO	5

2. CADA DATO DE UNA COLUMNA CORRESPONDE AL DATO DE LA OTRA COLUMNA. ASÍ, POR EJEMPLO, SI QUEREMOS SABER LA CANTIDAD DE ESTUDIANTES QUE PREFIEREN EL BALONCESTO, SOLO TENEMOS QUE OBSERVAR LA FILA DE ESE DEPORTE: PARA 8 ESTUDIANTES EL BALONCESTO ES SU DEPORTE FAVORITO.

DEPORTE FAVORITO	CANTIDAD DE ESTUDIANTES
FÚTBOL	12
BALONCESTO	8
NATACIÓN	5
TENIS	2
BÉISBOL	10
NINGUNO	5

¡ES TU TURNO!

OBSERVA DE NUEVO LA TABLA ANTERIOR Y RESPONDE:

¿CUÁNTOS ESTUDIANTES PREFIEREN JUGAR BÉISBOL?
SOLUCIÓN
10

¿CUÁL ES EL DEPORTE FAVORITO DE LA MAYORÍA DE ESTUDIANTES?
SOLUCIÓN
FÚTBOL

¿CUÁNTOS ESTUDIANTES NO TIENEN ALGÚN DEPORTE FAVORITO?
SOLUCIÓN
5

¿CUÁNTOS ESTUDIANTES HAY EN TOTAL?
SOLUCIÓN
12 + 8 + 5 + 2 + 10 + 5 = 42
HAY 42 ESTUDIANTES.

TABLA DE PICTOGRAMAS

ASÍ COMO COLOCAMOS LOS DATOS EN FORMA DE NÚMEROS, TAMBIÉN PODEMOS COLOCAR PICTOGRAMAS PARA REPRESENTAR LOS DATOS. POR EJEMPLO: CELESTE, ARIEL, LETICIA Y RAMIRO CONTARON LAS MONEDAS QUE LES QUEDARON PARA LOS JUEGOS. LOS RESULTADOS FUERON LOS SIGUIENTES:

NOMBRE	MONEDAS
CELESTE
ARIEL
LETICIA
RAMIRO

CLAVE

= 1 MONEDA

¡ES TU TURNO!

OBSERVA LA TABLA DE PICTOGRAMAS Y RESPONDE LAS PREGUNTAS:

¿CUÁNTAS MONEDAS TIENE CELESTE?
SOLUCIÓN
6

¿CUÁNTAS MONEDAS TIENE ARIEL?
SOLUCIÓN
3

¿CUÁNTAS MONEDAS TIENE LETICIA?
SOLUCIÓN
5

¿CUÁNTAS MONEDAS TIENE RAMIRO?
SOLUCIÓN
6

¿QUIÉNES TIENEN MÁS MONEDAS?
SOLUCIÓN
CELESTE Y RAMIRO.

¿QUIÉN TIENE MENOS MONEDAS?
SOLUCIÓN
ARIEL.

TABLA DE DOBLE ENTRADA

LAS TABLAS DE DOBLE ENTRADA MUESTRAN LA RELACIÓN ENTRE DOS O MÁS CATEGORÍAS.

– EJEMPLO:

EN EL SALÓN DE 2º GRADO SE LE PREGUNTARON A TODOS LOS ALUMNOS SI LES GUSTABA O NO LES GUSTABA EL ARTE. LAS RESPUESTAS SE GRAFICARON EN ESTA TABLA:

	LES GUSTA EL ARTE	NO LES GUSTA EL ARTE
NIÑOS	10	5
NIÑAS	12	8

EN ESTA TABLA PODEMOS VER LA CANTIDAD DE NIÑOS Y NIÑAS A LOS QUE LES GUSTA EL ARTE. TAMBIÉN PODEMOS VER LA CANTIDAD DE NIÑOS Y NIÑAS A LOS QUE NO LES GUSTA EL ARTE.

¡ES TU TURNO!

OBSERVA LA TABLA DE DOBLE ENTRADA Y RESPONDE LAS PREGUNTAS:

¿A CUÁNTAS NIÑAS LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
12

¿A CUÁNTOS NIÑOS LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
10

¿A CUÁNTOS NIÑOS NO LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
5

¿A CUÁNTAS NIÑAS NO LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
8

¿A CUÁNTOS NIÑOS Y NIÑAS LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
10 + 12 = 22
A 22 NIÑAS NO LES GUSTA EL ARTE.

¿A CUÁNTOS NIÑOS Y NIÑAS NO LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
8 + 5 = 13
A 13 NIÑOS Y NIÑAS NO LES GUSTA EL ARTE.

¿CUÁNTAS NIÑAS HAY EN EL SALÓN DE 2º GRADO?
SOLUCIÓN
12 + 8 = 20
HAY 20 NIÑAS.

¿CUÁNTOS NIÑOS HAY EN EL SALÓN DE 2º GRADO?
SOLUCIÓN
10 + 5 = 15
HAY 15 NIÑOS.

¿CUÁNTOS NIÑOS Y NIÑAS HAY EN EL SALÓN DE 2º GRADO?
SOLUCIÓN
10 + 12 + 5 + 8 = 35
HAY 35 NIÑOS Y NIÑAS.

TABLAS CON OPERACIONES

LAS TABLAS TAMBIÉN SON MUY ÚTILES PARA REPRESENTAR OPERACIONES MATEMÁTICAS COMO LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN. EN ESTA TABLA VEMOS QUE CADA CELDA DE COLOR ES EL RESULTADO DE LA SUMA ENTRE UN DATO DE LA FILA DE ENCABEZADO Y LA COLUMNA DE ENCABEZADO. POR EJEMPLO, 3 + 6 = 9.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Estadística: tabla de valores”

Con este recurso se podrá profundizar sobre el uso de las tablas de datos en la estadística.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 2

MULTIPLICACIÓN

Si queremos comprar 8 chocolates y cada uno cuesta $ 6, ¿cuánto dinero tenemos que pagar? Para responder esta pregunta debemos hacer una multiplicación. Esta es una operación que simplifica la tarea de sumar varias veces un mismo número. Así que, en lugar de contar 8 veces 6, lo podemos representar como 8 × 6 = 48. A continuación aprenderás cómo hacer estos cálculos con números grandes.

¿Qué es la multiplicación?

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar varias veces un mismo número.

Los elementos de la multiplicación son:

Factores: son los números que se multiplican o suman reiteradas veces.
Producto: es el resultado de la multiplicación. Cuando las multiplicaciones son largas el producto final se obtiene por la suma de los productos parciales.

Multiplicaciones en la Fórmula 1

Las multiplicaciones se utilizan en una gran variedad de situaciones y las carreras de automóviles son un ejemplo. Supongamos que una vuelta completa a la pista de carrera es de 4 kilómetros y para realizar toda carrera el vehículo tiene que dar 52 vueltas. Si multiplicamos la cantidad de vueltas por los kilómetros de cada vuelta sabremos la distancia total recorrida por el vehículo, es decir, 52 × 4 = 208. Entonces, el vehículo recorre 208 kilómetros en toda la carrera.

multiplicación sin reagrupación

Es un método que consiste en multiplicar las unidades, las decenas y las centenas de 2 factores entre sí cuando ninguno de los productos formados supera la decena.

– Ejemplo: 234 × 21

Lo primero que tenemos que hacer es ubicar los factores uno arriba del otro, de manera tal que las unidades estén sobre las unidades, las decenas sobre las decenas y las centenas sobre las centenas.

Luego multiplicamos las unidades del factor de abajo por todas las cifras del factor de arriba (1 × 324 = 324). Colocamos el resultado en la fila inferior desde la derecha hacia la izquierda.

Después multiplicamos las decenas del factor de abajo por cada cifra del factor de arriba (2 × 324 = 648). Escribimos este resultado debajo del obtenido anteriormente y dejamos un espacio a la derecha.

Finalmente realizamos una suma de los productos parciales.

– Ejemplo: 122 × 332

Ubicamos los factores uno sobre otro.

Multiplicamos las unidades del segundo factor por todas las cifras del primer factor (2 x 122 = 244) y escribimos el resultado en la última fila.

Multiplicamos las decenas del segundo factor por cada cifra del primer factor (3 × 122 = 366). Escribimos el resultado y dejamos un espacio a la derecha.

Repetimos el procedimiento anterior, esta vez con las centenas del segundo factor (3 × 122 = 366).

Al final sumamos las tres filas. Ese será el resultado de nuestra multiplicación.

El área de un rectángulo es igual a una multiplicación de dos de sus lados. Por ejemplo, un campo de fútbol puede llegar a tener 120 metros de largo y 90 metros de ancho. Para saber el área del campo solo tenemos que multiplicar ambas medidas, es decir, 120 m x 90 m = 10.800 m². Por lo tanto, el campo tiene un área de 10.800 metros cuadrados.

¡A practicar!

Realiza las siguientes multiplicaciones:

231 × 32

Solución

321 x 123

Solución

MULTIPLICACIÓN CON REAGRUPACIÓN

Es un procedimiento que podemos utilizar cuando algún producto es igual o mayor a 10. Aquí reagrupamos decenas o centenas según sea el caso.

– Ejemplo: 469 x 73

Al igual que en el caso anterior, colocamos los factores uno sobre otros y nos aseguramos de que las unidades, decenas y centenas de cada factor estén en las mismas columnas.

Multiplicamos las unidades del factor ubicado debajo por todas las cifras del factor de arriba. En este caso comenzamos con 3 y lo multiplicamos por 9. Como 3 × 9 = 27, colocamos el 7 en la fila de los resultados y el 2 lo ubicamos en la columna de las decenas de los factores.

Ahora multiplicamos 3 x 6 = 18, pero debemos agrupar este resultado con el 2 que colocamos antes. Entonces, el resultado es 18 + 2 = 20. Escribimos el 0 en la fila del resultado y colocamos el 2 en la columna de las centenas.

El siguiente producto es 3 x 4 = 12 y agrupamos con el 2 de las centenas. Así que 12 + 2 = 14. En la fila del resultado colocamos las dos cifras del número.

Repetimos el mismo procedimiento con las decenas del factor de abajo y lo multiplicamos por cada cifra del primer factor (7 × 469 = 3.283).

Luego sumamos las dos filas y obtenemos el resultado de la multiplicación.

Tabla pitagórica

Es otro modelo de tabla de multiplicar. Fue construida por Pitágoras, filósofo y matemático griego del siglo V a. C., para enseñarles a multiplicar a los más pequeños. La primera columna y fila dispone de los números que van ser multiplicados, y cada una de las celdas internas de la tabla representa la multiplicación entre los números de la primera fila y columna.

– Ejemplo: 423 x 514

Cuando los dos factores tienen tres cifras el procedimiento es el mismo. Ubicamos los factores uno sobre otro, y multiplicamos las unidades del segundo factor por el primero (4 × 423 = 1.692).

Multiplicamos las decenas del segundo factor por cada cifra del primer factor (1 × 423 = 423).

Repetimos el procedimiento con las centenas del factor de abajo (5 × 423 = 2.115).

Sumamos las filas con los productos parciales.

¡A practicar!

Realiza esta multiplicación:

721 × 166

Solución

721 × 166 = 119.686

MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR 10, 100 Y 1.000

Veamos estas 3 multiplicaciones:

473 × 10 = 4.730
473 × 100 = 47.300
473 × 1.000 = 473.000

Como ves, cuando se multiplica un número natural por 10, 100 y 1.000 basta con agregar ceros al número original como se resume en la siguiente tabla:

Para multiplicar un número natural por…	Agregamos…	Ejemplo
10	un cero	912 × 10 = 9.120
100	dos ceros	411 × 100 = 41.100
1.000	tres ceros	746 × 1.000 = 746.000

LA MULTIPLICACIÓN Y LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

La propiedad distributiva establece que si multiplicamos un número por una suma es igual a multiplicar ese número por cada sumando y luego sumar los productos finales.

– Ejemplo:

Esta propiedad también se cumple en la resta:

¿Sabías qué?

Puedes resolver primero la suma o resta que esté dentro de los paréntesis y luego hacer la multiplicación. El resultado será el mismo.

Las multiplicaciones forman parte de nuestro día a día. Las usamos cada vez que hacemos compras, contamos las butacas de un cine o jugamos con nuestros amigos. Por lo general hacemos esta operación cuando manejamos dinero, pues si tenemos 6 billetes de $ 100 es más fácil solo multiplicar 6 x 100 = 600 en lugar de contar de 100 en 100 hasta llegar a 600.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones:

414 x 24 =
Solución
414 x 24 = 9.936
121 x 38 =
Solución
121 x 38 = 4.598
741 x 51 =
Solución
741 x 51 = 37.791
620 x 324 =
Solución
620 x 324 = 200.880
496 x 531 =
Solución
496 x 531 = 263.376
589 x 10 =
Solución
589 x 10= 5.890
144 x 100 =
Solución
144 x 100 = 14.400
378 x 1.000 =
Solución
378 x 1.000 = 378.000

2. Usa la propiedad distributiva para resolver estas operaciones:

(25 + 30) x 2 =
Solución
(25 + 30) x 2 = 110
(10 + 9) x 4 =
Solución
(10 + 9) x 4 = 76
(15 − 8 ) x 100 =
Solución
(15 − 8) × 100 = 700
(24 − 22) × 5 =
Solución
(24 − 22) × 5 = 10

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Multiplicación por dos o más cifras”

En este artículo podrás acceder a información complementaria sobre algunos métodos de multiplicación

VER

Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”

Este artículo brinda los recursos necesarios para estudiar las tablas de multiplicar.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 6

Volumen y capacidad

El volumen y la capacidad son dos conceptos que empleamos a diario. A veces necesitamos medir la cantidad de agua para una receta y otras veces necesitamos saber cuánto puede contener un molde para tortas. En el primer caso hablamos de volumen y en el segundo de capacidad. A pesar de estar relacionados, cada magnitud emplea distintas unidades de medida para los cálculos.

Cálculo de volumen de cubos

Así como en área empleamos cuadrados como referencia para medir una superficie, en la medición del volumen empleamos cubos como referencia.

El volumen es el espacio ocupado por un objeto. Por ejemplo, si una caja tiene un volumen de 200 cm³ (centímetros cúbicos) quiere decir que está formado por 200 cubos que miden 1 cm en cada lado, cada uno.

Para comprender mejor el concepto de volumen, debemos aprender cómo calcularlo en cubos. La fórmula es la siguiente:

$V=a\times a\times a$

Donde:

V = volumen.

a = longitud de los lados del cubo.

La fórmula de volumen también puede expresarse como $V=a^{3}$

– Ejemplo:

Calcula el volumen del siguiente cubo:

Como es un cubo, cada lado mide 3 cm y hay que aplicar la fórmula de volumen, es decir, multiplicar la longitud de un lado tres veces:

$V = 3\, cm\times 3\, cm\times3\, cm = \mathbf{27\, cm^{3}}$

Observa que la unidad centímetro se multiplicó tres veces, por lo tanto, al final se expresa en cm³.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?

Un cubo tiene tres dimensiones: alto, ancho y profundidad.

Cuando medimos, relacionamos una cantidad con una unidad de medida base, en otras palabras, medir es un proceso de comparación. El volumen es una característica muy importante de los cuerpos porque permite saber cuánto ocupa el mismo en el espacio. Los científicos suelen medir volúmenes de muestras en sus diferentes estudios y ensayos a través de equipos especializados.

Comparación de volúmenes

Todos los objetos ocupan un lugar en el espacio, por lo tanto tienen volumen. Ese espacio ocupado depende de las características del material, por eso, para realizar comparaciones entre objetos usamos medidas de volumen.

Cuanto mayor sea el lugar que ocupe un cuerpo en el espacio, mayor será su volumen. Por ejemplo, el volumen que ocupa un grano de arroz no es igual al volumen que ocupa un edificio.

Observa las siguientes figuras:

Imaginemos que cada cubo equivale a 1 cm³, ¿cuántos cubos de 1 cm³ tiene la figura 1?, ¿y la figura 2?, ¿cuál figura tiene mayor volumen?

La figura 1 tiene 5 cubos de 1 cm³, así que su volumen es de 5 cm³.
La figura 2 tiene 15 cubos de 1 cm³, así que su volumen es de 15 cm³.

La figura 2 tiene mayor volumen que la figura 1 y, por lo tanto, ocupa mayor espacio.

Otras unidades de volumen

La unidad empleada por el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico (m³), sin embargo, esta unidad tiene múltiplos y submúltiplos que en situaciones cotidianas suelen emplearse, por ejemplo, el milímetro cúbico (mm³), el decímetro cúbico (dm³), el centímetro cúbico (cm³), etc.

También existen otras unidades de volumen como pulgada cúbica (pulg³) y pie cúbico (pie³).

El litro y las unidades de capacidad

La capacidad es la propiedad que tienen los objeto de contener a otras sustancias dentro de él. Por ejemplo, es común ver en el supermercado diferentes productos con envases en los que hay cierto volumen en su interior, ya sea de gaseosas, aceites o detergentes. El litro (L) es la medida de capacidad que vemos en las etiquetas de estos artículos.

Al ocupar un lugar en el espacio, todos los objetos tienen volumen pero no todos tienen capacidad. Por ejemplo, un objeto sólido como una barra de metal, tiene volumen pero no tiene capacidad.

Relación entre capacidad y volumen

La capacidad que tiene un recipiente es equivalente al volumen del objeto. De este modo, si construimos un cubo de 10 cm en cada lado y lo llenamos con agua en su interior, notaremos que la capacidad de ese cubo es igual a 1 litro ya que su volumen es igual a 1.000 cm^3.

Recordemos que:

$V=10 \, cm\times 10 \, cm\times 10 \, cm = 1.000\,\, cm^{3}$

$1\: L = 1.000\: cm^{3}$

Algunas equivalencias útiles

1 litro es igual a 2 medios litros.

$1\: L = \left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \right )\: L$

1 litro es igual a 4 cuartos de litro.

$1\: L = \left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \right )\: L$

Medio litro es igual a 2 cuartos de litro.

$\frac{1}{2}\: L = \left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \right )\: L$

¡A practicar!

Calcula el volumen de los siguientes cubos.

Solución

V = 2 x 2 x 2 = 8 cm³.

Solución

V = 1 x 1 x 1 = 1 cm³.

Solución

V = 4 x 4 x 4 = 64 cm³.

Solución

V = 5 x 5 x 5 =125 cm³.

2. ¿Cuál de los siguientes cubos tiene un volumen igual a 343 cm³?

Solución

Porque $V = 7\, cm\times 7\, cm\times7\, cm = \mathbf{343\, cm^{3}}$ .

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Volumen de los cuerpos sólidos”

Este video muestra cómo se forman los cuerpos geométricos y explica las diferentes fórmulas de volumen en cada caso.

VER

Artículo “Volumen y capacidad: aplicaciones”

Este artículo explica las diferentes unidades de medición de volumen, al igual que las diferentes situaciones en las que puedes aplicarlo.

VER

Artículo “Sistemas de medición”

En este artículo destacado se explica qué es un sistema de medición, sus aplicaciones y los diferentes tipos de instrumentos para medir algunas unidades.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 2

COMPARACIÓN DE CANTIDADES

Día a día comparamos números. Lo hacemos al ver que un precio es más bajo que otro, que los grados aumentan o disminuyen en el termómetro de acuerdo a la temperatura, o que un compañero tuvo una calificación diferente a la nuestra. Todos los números pueden compararse entre sí y para hacerlo existen algunas reglas y símbolos especiales.

Los números de nuestro sistema decimal poseen valores absolutos y relativos. El valor absoluto no considera la posición de la cifra, mientras que el relativo sí. De este modo, y en su función de representar cantidades, podemos hallar números que son mayores que otros. Esta relación nos permite establecer un orden entre ellos.

USO DE LOS SÍMBOLOS DE RELACIÓN

¿Qué son los símbolos de relación?

Son aquellos que permiten comparar números según el valor que estos tengan. Así, al observar dos cantidades podemos determinar si una es mayor, menor o igual que la otra. Para indicar estas relaciones colocamos los siguientes símbolos:

>, se lee “mayor que”.
<, se lee “menor que”.
=, se lee “igual a”.

Mayor que (>)

Todo número ubicado a la izquierda del símbolo “>“ será mayor que el número ubicado a su derecha, entonces, si el símbolo se encuentra entre dos números, significa que el primero es mayor que el segundo.

Menor que (<)

Todo número ubicado a la izquierda del símbolo “<“ será menor que el número ubicado a su derecha, entonces, si el símbolo se encuentra entre dos números, significa que el primero es menor que el segundo.

Igual a (=)

Los números ubicados tanto a la derecha como a la izquierda del símbolo “=” son iguales.

¿Sabías qué?

El matemático inglés Robert Recorde fue quien inventó el símbolo de igualdad. Le dio esta forma porque decía que “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”.

Existe una manera sencilla de memorizar los símbolos de relación y su función, consiste en fijarse en sus extremos. “Mayor que” y “menor que” apuntan su parte más ancha y abierta hacia el número mayor y su parte más cerrada y fina hacia el número menor. Ya que leemos de izquierda a derecha, el primero de los dos extremos que veamos nos dirá cuál símbolo es.

ESTABLECER ORDEN ENTRE DIFERENTES CANTIDADES

Orden de los números naturales

Los números naturales son los números que usamos para contar y con los que estamos más familiarizados. El orden de estos números comienza con sus unidades básicas, que se distribuyen de la siguiente manera:

Posterior al número 9 comienzan los números de dos cifras, formados por decenas y unidades:

El orden de los números naturales continúa en crecimiento hasta alcanzar el número 100, momento en el que se llega a las 3 cifras y aparece la primera centena de la sucesión:

El proceso se repite mientras se suman más y más cifras a la izquierda del número, cada una en representación de un valor mayor:

Esto indica que mientras más cifras tenga un número natural, mayor será su valor. Sin embargo, si dos números poseen la misma cantidad de cifras, hay que diferenciar los valores de cada dígito.

Observa estos ejemplos:

– Compara los números 110 y 120.

Primero vemos sus centenas. En este caso, las dos centenas son iguales (1), así que pasamos a las decenas. Estas son distintas y, por lo tanto, comparamos esos dos dígitos. Como 1 es menor que 2, entonces 110 es menor que 120.

– Compara los números 122 y 123.

Estos números tienen centenas y decenas iguales, así que pasamos a comparar las unidades. Como 2 es menor que 3, decimos que 122 es menor que 123.

– Compara los números 5.392.897 y 5.403.121.

La primera cifra corresponde a las unidades de millón y es la misma en los dos números. Comparamos entonces la siguiente cifra: la centena de mil. Como 3 es menor que 4, decimos que 5.392.897 es menor que 5.403.121.

– Compara los números 25.072.518 y 25.072.523.

Al igual que los casos anteriores, comparamos de izquierda a derecha cada cifra hasta ubicar las que tienen distinto valor. En este ejemplo, las decenas son distintas. Como 1 es menor que 2, decimos que 25.072.518 es menor que 25.072.523.

¡Es tu turno!

– Compara estos números.

9.854.125.369 y 9.854.311.003

Solución

9.854.125.369 < 9.854.311.003

658.899.157.021 y 658.899.157.001

Solución

658.899.157.021 > 658.899.157.001

Desigualdades

Las desigualdades, también llamadas inecuaciones, son expresiones algebraicas que contienen incógnitas y emplean símbolos para expresar la relación entre las partes. Los símbolos usados son:

< menor que

> mayor que

≤ menor o igual que

≥ mayor o igual que

≠ no es igual a

Orden de los números enteros

Los números enteros están formados por los números naturales y los números negativos. Los números negativos poseen una peculiaridad que los diferencia de los positivos: sus valores actúan de forma completamente opuesta. A partir de cero hacia la derecha, los números naturales se hacen cada vez mayores; en cambio, a partir de cero hacia la izquierda, los números negativos se hacen cada vez menores.

Esto quiere decir que si 2 es mayor que 1, −2 es menor que −1.

Es así como los números negativos siguen las mismas reglas de jerarquía que los naturales, pero de forma opuesta. Por ejemplo:

Los dos números tienen la misma cantidad de centenas y de decenas, pero las unidades son distintas. Como −4 es menor que −3, decimos que −424 es menor que −423.

¡Colócalos en orden!

– Ordena los siguientes números enteros de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente.

4, 26, −26, 572, 54, −175, 274, −265, 675, 345, −98, 213, 0, 9, 73, −44

Solución

−265 < −175 < −98 < −44 < −26 < 0 < 4 < 9 < 26 < 54 < 73 < 213 < 274 < 345 < 572 < 675

El orden entre los números decimales

Los números decimales son aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal, es decir, una cantidad inferior a la unidad. Ambas partes son separadas por una coma.

El orden que siguen los números decimales es parecido a los explicados anteriormente. Observa este ejemplo:

1,4 es menor que 2,4 porque solo se consideraron sus partes enteras.

Si la parte entera de los números es la misma, empezamos a considerar la parte decimal, la cual se divide en cifras con nombres específicos: décimas, centésimas y milésimas. Estas tres unidades decimales son las más comunes, pero la cantidad de cifras puede extenderse hasta el infinito.

Lo más importante a saber para poder ordenar números decimales es que las décimas tienen mayor valor que las centésimas, y estas, a su vez, valen más que las milésimas. Observa las equivalencias:

1 décima = 0,1 unidades
1 centésima = 0,01 unidades
1 milésima = 0,001 unidades

Por lo tanto: 0,1 > 0,01 > 0,001

Ejemplo:

– Compara los números 2,3462 y 2,35.

La parte entera del número es la misma, así que pasamos a la parte decimal. Las décimas son iguales, pero las centésimas no. Como 4 es menor que 5, decimos que 2,3462 es menor que 2,35.

¿Sabías qué?

A diferencia de los números enteros, la cantidad de decimales no determina el valor del número.

¡Colócalos en orden!

– Ordena los siguientes números decimales de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente.

2,4398; 57,3; 42,45; 17,58; 17,123; 17,982; 17,512; 17,244935; 4,87; 17,983

Solución

2,4398 < 4,87 < 17,123 < 17,244935 < 17,512 < 17,58 < 17,982 < 17,983 < 42,45 < 57,3

Orden de números fraccionarios

Los números fraccionarios o fracciones son aquellos números que representan una división o la separación de algo en varias partes. Están formados por un numerador y denominador, ambos separados por una barra horizontal.

VER INFOGRAFÍA

La comparación de fracciones dependerá del numerador y el denominador. Los casos pueden ser los siguientes:

Fracciones con igual denominador.
Fracciones con igual numerador.
Fracciones con diferentes numeradores y denominadores.

Fracciones con igual denominador

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la mayor fracción será aquella con mayor numerador. Por ejemplo:

¿Por qué $\frac{2}{8}$ es menor que $\frac{4}{8}$ ?

Observa las gráficas:

Las dos gráficas están divididas en 8 partes, como lo indica el denominador. En la primera tomamos 2 partes de las 8 (2/8), y en la segunda tomamos 4 partes (4/8). Hay más partes tomadas en la segunda gráfica.

Puedes comprobarlo por medio de divisiones:

$\frac{2}{8} = 2 : 8 = \mathbf{0,25}$

$\frac{4}{8} = 4 : 8 = \mathbf{0,5}$

Si comparamos estos números decimales, tenemos que:

$0,25 < 0,5$

Que es igual a:

$\frac{2}{8}< \frac{4}{8}$

Fracciones con igual numerador

Si dos fracciones tienen el mismo numerador, la mayor fracción será aquella con menor denominador. Por ejemplo:

¿Por qué $\frac{2}{6}$ es menor que $\frac{2}{4}$ ?

Observa las gráficas:

En las dos gráficas tomamos 2 partes, como lo indica el numerador. La primera se dividió en 6 partes totales y la otra en 4 partes totales. A pesar de que el número 6 es mayor que 4, aquí el 6 indica una mayor cantidad de divisiones y esto le resta valor a la fracción.

Puedes comprobarlo por medio de divisiones:

$\frac{2}{6} = 2 : 6 = 0,\bar{\mathbf{33}}$

$\frac{2}{4} = 2 : 4 = \mathbf{0,5}$

Si comparamos estos números decimales, tenemos que:

$0,\bar{33} < 0,5$

Que es igual a:

$\frac{2}{6}< \frac{2}{4}$

Si tienes dificultades para encontrar el orden de las fracciones, puedes probar este otro método: simplemente divide el numerador entre el denominador, y obtendrás un número entero o un número decimal. Luego sólo tienes que ordenar estos resultados. Su orden será el mismo que el de las fracciones iniciales.

Fracciones con diferente numerador y denominador

Para conocer el orden que tienen estas fracciones no basta con observarlas a simple vista. Para lograrlo debemos seguir dos pasos:

Hallar una fracción equivalente a la que deseamos comparar. Ambas deben tener el mismo denominador.
Comparar las fracciones resultantes según el método ya explicado para las fracciones con igual denominador.

¿Cómo comparar estas fracciones: $\frac{8}{5}$ y $\frac{5}{9}$ ?

1. Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello, debes descomponer cada número en sus factores primos.

m.c.m (5; 9) = 5 x 3² = 5 x 9 = 45

2. Multiplica el denominador por un número cuyo producto sea el m.c.m. Luego multiplica el numerador por ese mismo número. El resultado será su fracción equivalente.

$\frac{8\times {\color{Red} 9}}{5\times {\color{Red} 9}}= \frac{72}{\mathbf{45}}$

$\frac{5\times {\color{Red} 5}}{9\times {\color{Red} 5}} = \frac{25}{\mathbf{45}}$

Observa que en la primera fracción 5 x 9 = 45. Por eso, toda la fracción se multiplica por 9/9. Lo mismo sucede con la fracción 5/9, como 9 x 5 = 45, toda la fracción se multiplica por 5/5.

3. Compara las nuevas fracciones con igual denominador. La mayor fracción será aquella con mayor numerador, y como 72 > 25, entonces:

$\frac{72}{45}> \frac{25}{45}$