POTENCIAS

La matemática está compuesta por numerosos tipos de operaciones que varían según su complejidad. Entre esas operaciones se encuentra la potenciación, que consiste en la multiplicación de factores iguales de acuerdo a un exponente. Al igual que otros cálculos, tiene sus propiedades y sus características particulares. ¡Las aprenderemos a continuación!

La potenciación también puede ser definida como la forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales. En muchas ocasiones, los ejercicios de potenciación pueden parecer algo complejos. Para resolverlos de manera correcta es indispensable conocer sus elementos y propiedades.

LA POTENCIA Y SUS ELEMENTOS

La potencia se define como el resultado (b) de la multiplicación de la base (a) tantas veces como lo indica el exponente (n). En esta operación, a y b son números reales y n es un número entero.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{4^{3}=4\times 4\times4 =64}$

$\boldsymbol{5^{4}=5\times 5\times 5\times 5=625}$

$\boldsymbol{8^{2}=8\times 8 = 64}$

¿Cómo se lee una potencia?

Si quieres leer una potencia es necesario que hayas aprendido bien a identificar sus elementos para luego aplicar los siguientes pasos.

Lee la base como cualquier número seguido de la expresión “elevado a la” o “elevado al” según sea el caso.
Lee el exponente como un número ordinal. A excepción del 2 y 3 que se expresan como “al cuadrado” y “al cubo” respectivamente.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{{\color{Red} 3}}}$ se lee “cinco al cubo”.

$\boldsymbol{4^{{\color{Red} 2}}}$ se lee “cuatro al cuadrado”.

se lee “nueve a la quinta”.

¿Sabías qué?

René Descartes (1596-1650) realizó contribuciones importantes a la matemática y popularizó la notación para la potenciación.

VER INFOGRAFÍA

¡A practicar!

¿Cómo se leen estas potencias?

$\boldsymbol{4^{3}}$

Solución

Cuatro al cubo.

$\boldsymbol{25^{6}}$

Solución

Veinticinco a la sexta.

$\boldsymbol{64^{9}}$

Solución

Sesenta y cuatro a la novena.

PROPIEDADES DE LA POTENCIA

Potencia de un exponente 0

Todo número elevado a la potencia cero es igual a 1.

$\boldsymbol{a^{0}=1}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{0}=1}$

$\boldsymbol{\left ( -3 \right )^{0} = 1}$

Potencia de un exponente 1

Todo número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número.

$\boldsymbol{a^{1}=a}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{1}=5}$

$\boldsymbol{\left ( -3 \right )^{1} = -3}$

Potencia de un exponente negativo

Todo número elevado a la potencia negativa es igual a la fracción de uno sobre la misma base con potencia positiva.

$\boldsymbol{a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{-1}=\frac{1}{5^{1}}=\frac{1}{5}}$

$\boldsymbol{(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^{2}} = \frac{1}{9}}$

Multiplicación de potencias de igual base

En la multiplicación de potencias de igual base se coloca la misma base y se suman los exponentes.

$\boldsymbol{a^{n}\times a^{m}=a^{n + m}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{3^{2}\times 3^{4}=3^{2 + 4}=3^{6}}$

$\boldsymbol{(-7)^{5}\times (-7)^{-3}=(-7)^{5+( - 3)}=(-7)^{2}}$

División de potencias de igual base

En la división de potencias se coloca la misma base y se restan los exponentes.

$\boldsymbol{\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{4^{6}}{4^{2}}=4^{6-2}=4^{4}}$

$\boldsymbol{\frac{(-3)^{-2}}{(-3)^{4}}=(-3)^{-2-4}= (-3)^{-6}}$

Potencia de una potencia

En toda potencia elevada a otra potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.

$\boldsymbol{(a^{n})^{m}=a^{n \times m}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{(9^{2})^{3}=9^{2 \times 3}=9^{6}}$

$\boldsymbol{((-8)^{2})^{3}=(-8)^{2\times 3}=(-8)^{6}}$

Potencia de un exponente racional

En una potencia con exponente fraccionario se extrae el denominador del exponente en forma de raíz y el numerador queda como exponente de la potencia.

$\boldsymbol{a^{\frac{n}{m}}= \sqrt[m]{a^{n}}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{\frac{7}{3}}= \sqrt[3]{5^{7}}}$

$\boldsymbol{(-2)^{\frac{4}{5}}= \sqrt[5]{(-2)^{4}}}$

Multiplicación de potencias con el mismo exponente

En la multiplicación de potencias de igual exponente se multiplican las bases y se coloca el mismo exponente.

$\boldsymbol{a^{n}\times b^{n}=(a\times b)^{n}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{3}\times 4^{3}=(5\times 4)^{3}=(20)^{3}}$

$\boldsymbol{(-3)^{3}\times (-6)^{3}=((-3)\times (-6))^{3}=(18)^{3}}$

División de potencias con el mismo exponente

En la división de potencias de igual exponente se coloca el mismo exponente y se dividen las bases.

$\boldsymbol{\frac{a^{n}}{b^{n}}=(\frac{a}{b})^{n}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{8^{2}}{4^{2}}=(\frac{8}{4})^{2}=2^{2}}$

$\boldsymbol{\frac{(-6)^{3}}{(-3)^{3}}=(\frac{(-6)}{(-3)})^{3}=2^{2}}$

¿Resultado par o impar?

Toda potencia de base negativa con exponente par da como resultado un número positivo. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\left ( -3 \right )^{4} = (-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)=81}$

Toda potencia de base negativa con exponente impar da como resultado un número negativo. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\left ( -2 \right )^{5} = (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=-32}$

Potencias de base 10

Las potencias de base 10 son fáciles de calcular porque el valor es igual a la base seguida de tantos ceros como indica el exponente. Estas son muy útiles para escribir de forma polinómica un número, es decir, permiten escribir números muy grandes de forma reducida.

$\boldsymbol{10^{2} = 10 \times 10 = 100}$

$\boldsymbol{10^{3} = 10 \times 10\times 10 = 1.000}$

$\boldsymbol{10^{4} = 10 \times 10\times 10\times 10 = 10.000}$

$\boldsymbol{10^{5} = 10 \times 10 \times 10\times 10\times 10 = 100.000}$

$\boldsymbol{10^{6} = 10 \times 10\times 10\times 10\times 10\times 10 = 1.000.000}$

APLICACIONES DE LAS POTENCIAS

Debido a las diversas propiedades que estas poseen pueden utilizarse para:

Aplicar el teorema de Pitágoras

Uno de los teoremas más famosos de la geometría es el teorema de Pitágoras. Este emplea potencias para expresar su fórmula, la cual dice que la hipotenusa al cuadrado de un triángulo rectángulo es igual a la suma de sus catetos al cuadrado, es decir, C²= A²+ B².

Emplear la notación científica

La notación científica utiliza potencias de base 10 para expresar números muy grandes o muy pequeños en forma reducida. Observa cómo algunos números pueden ser expresados de forma simplificada:

$\boldsymbol{0,00000465 = 465\times 10^{-8}}$

$\boldsymbol{0,00000465 = 46,5\times 10^{-7}}$

$\boldsymbol{0,00000465 = 4,65\times 10^{-6}}$

Expresar sucesiones matemáticas y progresiones geométricas

Existen series matemáticas que requieren el uso de las potencias para expresar su forma general o enésima.

Uno de los campos o áreas que usan la potenciación es la biología, específicamente en el estudio de la reproducción de virus y bacterias. Allí, para poder expresar su rápido crecimiento, es necesario emplear este tipo de operación matemática.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes potencias y aplica las propiedades necesarias:

$\boldsymbol{4^{3}+5^{2}=}$

Solución

$\boldsymbol{4^{3}+5^{2}= 4\times 4\times 4+5\times 5=64+25 = 89}$

$\boldsymbol{3^{3}\times 9^{3}=}$

Solución

$\boldsymbol{3^{3}\times 9^{3}= (3\times 9)^{3}= (27)^{3}=27\times 27\times 27=19.683}$

$\boldsymbol{\frac{8^{5}}{8^{3}}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{8^{5}}{8^{3}}= 8^{5-3}=8^{2}= 8\times 8=64}$

$\boldsymbol{(\frac{4^{3}}{4^{2}})^{2}+\frac{5^{6}\times4^{3}}{5^{5}\times4^{2}}-\frac{2^{0}\times1^{9}}{5^{0}}}$

Solución

$\boldsymbol{(\frac{4^{3}}{4^{2}})^{2}+\frac{5^{6}\times4^{3}}{5^{5}\times4^{2}}-\frac{2^{0}\times1^{9}}{5^{0}}= 4^{6-4}+5^{6-5}\times4^{3-2}-\frac{1\times1}{1}}$

$\boldsymbol{4^{2}+5^{1}\times4^{1}-\frac{1\times1}{1}=4\times4+20-1=16+19=35}$

2. Expresa los siguientes números en notación científica.

$\boldsymbol{1.320.000}$

Solución

$\boldsymbol{1.320.000=1,32\times 10^{6}=13,2\times 10^{5}=132\times 10^{4}}$

$\boldsymbol{0,000968}$

Solución

$\boldsymbol{0,000968 = 968\times 10^{-6}}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Propiedades de potencias”

En el siguiente artículo hay más estrategias para ampliar los conocimientos acerca de las propiedades de las potencias.

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Artículo “Ejercicios de propiedades de la potencia”

El siguiente recurso le brindará apoyo con ejercicios de potencias, con sus resultados y explicaciones.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 6

POTENCIAS

LA POTENCIA Y SUS ELEMENTOS

PROPIEDADES DE LA POTENCIA

Potencia de un exponente 0

Potencia de un exponente 1

Potencia de un exponente negativo

Multiplicación de potencias de igual base

División de potencias de igual base

Potencia de una potencia

Potencia de un exponente racional

Multiplicación de potencias con el mismo exponente

División de potencias con el mismo exponente

Potencias de base 10

APLICACIONES DE LAS POTENCIAS

Artículo “Propiedades de potencias”

Artículo “Ejercicios de propiedades de la potencia”