La adición y la sustracción de fracciones se realiza con diferentes métodos. El método elegido va a depender del tipo de fracción que se vaya a sumar o a restar. Si las fracciones son homogéneas, se coloca el mismo denominador y se suman o restan sus numeradores. Cuando las fracciones son heterogéneas se pueden emplear diferentes procedimientos como la multiplicación cruzada, la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) a los denominadores de las fracciones o el uso de fracciones equivalentes.
Las fracciones también se pueden sumar o restar con los números enteros, para lo cual se convierte el número entero en fracción.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
La multiplicación de fracciones se realiza mediante la multiplicación lineal de sus factores, numerador por numerador y denominador por denominador. Por otra parte, la división de fracciones tiene tres formas de resolverse. Una de ellas es de forma cruzada, a través de la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se coloca como numerador de la fracción resultante. Luego se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y el resultado se coloca en el denominador resultante. Otra manera es intercambiar el numerador y el denominador de la segunda fracción para resolverlo de manera lineal como la multiplicación. Y por último, otra opción consiste en el método de la doble c, en el cual la segunda fracción se coloca por debajo de la primera y se multiplican los términos exteriores para obtener el numerador resultante y los interiores para obtener el denominador resultante.
Conocer cómo simplificar fracciones es muy importante para facilitar los cálculos.
FRACCIONES Y DECIMALES
Las fracciones y los números decimales se encuentran muy relacionados, ya que las fracciones se pueden representar de forma decimal y algunos decimales se pueden expresar de forma fraccionaria. Las fracciones se encuentran formadas por el numerador y el denominador separados por una línea horizontal. Los decimales tienen una parte entera y una parte decimal divididas por una coma. Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción se obtiene un número decimal (o entero cuando se trata de una fracción aparente). Por otra parte, los decimales se pueden convertir en fracciones por diferentes procedimientos, según el número decimal sea exacto, periódicopuro o periódico mixto. Existen números decimales que no pueden ser convertidos en fracciones como el número pi y son denominados números irracionales.
Los números periódicos son números decimales infinitos con una o más cifras decimales denominadas período que se repiten indefinidamente.
EL PORCENTAJE
El porcentaje se representa con el símbolo “%”. Es una forma de expresar una fracción dividida entre 100. Por esta razón, los números fraccionarios, los decimales y los porcentajes se encuentran muy relacionados. Los porcentajes se pueden transforman en números decimales al dividirlos entre el 100 %. Para calcular el porcentaje de una cifra se puede realizar mediante dos procedimientos. El primero es convertir el porcentaje en una fracción decimal y multiplicarlo por la cantidad total. Y el segundo método consiste en la regla de tres simple, en la cual el valor total es equivalente al 100 % y el porcentaje buscado corresponde al valor de la incógnita que queremos conocer.
El porcentaje es muy utilizado en el comercio para promocionar descuentos o realizar recargos al momento de la compra.
En nuestra vida diaria es frecuente escuchar expresiones relacionadas con porcentajes como “la población creció un 20 %” o “hay un 50 % de descuento en ropa”. El porcentaje se utiliza para representar una porción de algo y se encuentra muy relacionado con los números decimales y los fraccionarios.
RELACIÓN DEL PORCENTAJE CON LAS FRACCIONES Y LOS DECIMALES
Para poder realizar el cálculo del porcentaje primero hay que saber que este representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100, equivalente al 100 % del número entero, y el numerador es una porción de este. Analicemos el siguiente ejemplo: según la Organización Mundial de la Salud (OMS), el 80 % de las personas que se contagian con el SARS-CoV-2 y desarrollan COVID‑19 se recuperan de la enfermedad sin necesidad de tratamiento hospitalario.
El porcentaje quiere decir que de cada 100 personas que contraen coronavirus, 80 personas se recuperan sin tener que ser hospitalizadas. Por lo tanto, el numerador de la fracción representa la porción de la población que se recupera y el denominador será la población total del estudio. En esta relación de porcentajes y fracciones también es posible aplicar el método de simplificación.
Con el resultado anterior concluimos que 8 de cada 10 personas contagiadas se recuperan sin necesidad de ser hospitalizadas.
Veamos otro ejemplo. La OMS dice que aproximadamente 1 de cada 5 personas que contraen la COVID‑19 presentan un cuadro grave y experimenta dificultades para respirar. Esto quiere decir:
Entonces, quiere decir que aproximadamente el 20 % de la población que se contagia con la enfermedad presenta un cuadro grave.
Asimismo, los porcentajes pueden ser convertidos en forma de números decimales al dividirse entre el 100 %, que representa al total. Y por el contrario, para convertir un número decimal a porcentaje basta con multiplicarlo por 100 %. En este sentido, los dos ejemplos anteriores se pueden expresar en forma decimal de la siguiente manera:
Porcentaje
Fracción
Número decimal
Fracción
Número decimal
Porcentaje
Los porcentajes son muy utilizados en diferentes campos, debido a que estos equivalen a una porción de un todo. Pueden ser representados en gráficos, lo que ayuda a una mejor comprensión y a un análisis más rápido de los datos. Por otra parte, los porcentajes se pueden representar en números decimales o en números fraccionarios.
CÁLCULO DE PORCENTAJE
Existen ocasiones en nuestro día a día en los que se requiere calcular el porcentaje de un total o viceversa. También hay veces que queremos conocer qué cantidad del total representa el porcentaje. En ese caso, se emplea el siguiente método:
Covertir un porcentaje a la porción que representa
Tomemos el siguiente ejemplo: un jugador de baloncesto durante toda la temporada realizó 120 lanzamientos y falló el 25 % de sus tiros. Se quiere saber cuántos lanzamientos falló durante la temporada.
Para conocer la cantidad que representa un porcentaje respecto a un total, lo primero que debemos hacer es convertir el porcentaje a una fracción decimal y luego se multiplica por el total que, en este caso, son los 120 lanzamientos que realizó el jugador.
Al transformar el porcentaje en una fracción decimal se obtiene el siguiente resultado:
Luego multiplicamos esa fracción por la cantidad de lanzamientos que realizó el jugador.
Esto quiere decir que, de los 120 lanzamientos que realizó el jugador, falló en 30 de sus lanzamientos, es decir, el 25 %.
Los porcentajes son muy empleados por los empresarios o dueños de tiendas como estrategia para generar mayores ventas y mejorar sus ingresos. Al ofrecer porcentajes de descuentos en sus productos, el índice de ventas aumenta y conlleva a un crecimiento de sus ingresos. Por otro lado, también pueden aplicar porcentajes de recargo como sucede en las compras con tarjetas de crédito.
Uso de la regla de tres
Cuando se trabaja con porcentajes, las cantidades son directamente proporcionales, por lo tanto, estos pueden ser calculados mediante el uso de la regla de tres simple. En estos casos, si una cantidad aumenta, la otra también, y en el caso de que una disminuya, la otra también lo hace. Por lo tanto, es una regla de tres directa.
Para emplear este método veamos el siguiente ejemplo: en un salón de clases hay 40 alumnos. El 30 % de ellos aprobó el examen con A, el 50 % aprobó con B y el resto obtuvo una C. ¿Cuántos alumnos obtuvieron A, B y C?
Si en el salón hay 40 alumnos, entonces ellos representan el 100 %. Entonces planteamos las reglas de la siguiente manera:
El 30 % de lo alumno obtuvieron A:
El 50 % de los alumnos obtuvieron B:
El 20 % de los alumnos obtuvieron C:
Entonces, se concluye que los 12 alumnos con A representan el 30 %, los 20 alumnos con B equivalen al 50 % y 8 de ellos obtuvieron C, el equivalente al 20 %.
¿Sabías qué?
Se tienen registros que señalan que el porcentaje se ha usado desde el siglo XV.
APLICACIÓN DEL PORCENTAJE EN EL COMERCIO
El porcentaje es muy utilizado de diferentes formas en el comercio, por ejemplo, para realizar descuentos o recargos a las compras.
Descuentos
Cuando se habla de descuento, quiere decir que a la cantidad total que se va a pagar hay que restarle el porcentaje. Por lo tanto, la cantidad que se obtiene como resultado es menor que la cantidad dada. Por ejemplo:
Una tienda de bicicletas eléctricas vende uno de sus modelos en 2.500 $ con un descuento de 30 % si se paga con tarjeta de crédito. ¿Cuánto será el costo de la bicicleta si se paga con tarjeta de crédito?
Para realizar este ejercicio utilizaremos el primer método visto anteriormente.
Se convierte el porcentaje en fracción.
Se multiplica por el costo de la bicicleta.
Se resta el porcentaje de descuento (750 $) al total del costo de la bicicleta.
El costo de la bicicleta con descuento, por el pago con tarjeta de crédito, será de 1.750 $. Observa que, como era de esperarse, la cantidad con el descuento es menor que el precio inicial.
La estadística es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de individuos o acontecimientos a través de la recolección y organización de datos. Esta emplea procedimientos que permiten obtener resultados de manera gráfica para la elaboración de conclusiones. En este sentido, la estadística se vuelve una herramienta muy útil para muchas ciencias y actividades humanas, como la sociología, la psicología, la geografía, y la economía.
Recargos
Otro de los usos que se le puede dar al porcentaje es para realizar recargos. Esto se ve mucho cuando se quiere realizar compras de artículos y no se tiene el monto total del mismo. El monto es divido en varias cuotas mas pequeñas, pero al final el costo total aumenta.
Imaginemos que se desea comprar un auto de 350.000 $ y el concesionario permite pagarlo en 12 cuotas con un recargo del 8 % sobre su costo. ¿Cuánto será el costo real del auto?
Para este ejercicio aplicaremos el segundo método visto: la regla de tres simple. Así que el 8 % de aumento por las 12 cuotas se plantea de la siguiente forma:
Luego, al tener el 8 % de aumento, se le suma al costo del auto 28.000 $ de aumento. Eso da un total de 378.000 $. Este es el costo del auto si se paga en 12 cuotas. Como era de esperarse, el costo del auto con recargo es mayor que el costo inicial.
¡A practicar!
1. ¿Cuánto es el 38 % de 12.583?
RESPUESTAS
El 38 % de 12.583 es 4.781,54.
2. El costo de unos zapatos para jugar al fútbol tienen un valor de 130 $. Si se pagan en efectivo se realiza un descuento del 23 %. ¿Cuánto se ahorra si se pagan en efectivo?
RESPUESTAS
Se ahorrarían 29,90 $.
3. Si se realiza un viaje en auto con un motor usado se consumen 56 litros de gasolina. Si con un motor nuevo se ahorra 26 % de gasolina, ¿cuántos litros de gasolina ahorra el motor nuevo?
RESPUESTAS
El motor nuevo ahorra 14,56 litros de gasolina.
4. Desde el 2010 hasta el 2018, 7.954 personas han intentado subir al Monte Everest. Durante esa travesía, 72 personas no pudieron completar el viaje. ¿Cuánto fue el porcentaje de personas que no pudieron completar el viaje?
RESPUESTAS
El porcentaje de personas que no pudieron completar el viaje fue del 0,9 %.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Porcentajes”
Este artículo permite analizar diferentes ejercicios en los que se aplican los porcentajes.
Algunos números decimales pueden ser representados a través de fracciones, por esta razón se dice que los números decimales y las fracciones se encuentran relacionados. Los números decimales que se pueden representar a través de fracciones se denominan racionales y de acuerdo a su tipo se realiza la conversión.
Los números fraccionarios están formados por el numerador y el denominador que se encuentran divididos por una raya horizontal. Por otro lado, los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal separadas por una coma. En el caso de números racionales es posible representar la misma cantidad en fracción o decimal.
LOS NÚMEROS DECIMALES
Los números decimales son aquellos que están formados por una parte entera y una parte decimal. Estos están separados por una coma o un punto. Estos números son otra forma de escribir el resultado de las fracciones. Ambas expresiones representan cualquier número no entero (aunque las fracciones pueden representar cantidades enteras en el caso de las fracciones aparentes).
En este sentido, las fracciones se pueden expresar en forma de números decimales, para lo cual se debe realizar la división de la fracción, es decir, numerador entre denominador. Por ejemplo, al dividir el numerador entre el denominador de la fracción 5/4 se obtiene 1,25, que corresponde a la misma cantidad.
Convertir una fracción a número decimal
Solo existe un método para convertir una fracción a número decimal y se realiza a través de la división. Si divides el numerador entre el denominador por lo general obtienes un número decimal. Siempre y cuando no sea una fracción aparente, en la que el resultado es un número entero (como en el caso de 4/2 = 2).
Algunos ejemplos de conversión de fracciones a decimales son los siguientes:
Convertir un número decimal a fracción
Existen diferentes procedimientos para convertir números decimales a fracciones. Estos pasos dependen del tipo de número que se va a transformar.
Tipos de números decimales
Los números decimales pueden ser racionales o irracionales. Los racionales pueden representarse en forma de fracción y los irracionales no. Los números racionales se clasifican en decimales exactos y decimales periódicos.
Decimales exactos: son aquellos números que tiene una parte limitada o finita de cifras decimales. Los decimales finitos representan a las fracciones decimales. Por ejemplo: 2,38; 4,681; 68,98135; 9647,3543.
Decimales periódicos: son aquellos en los que toda la parte decimal o una porción de esta sigue un patrón infinito de números denominado período y se denota en forma de arco en la parte superior del mismo.
Se pueden distinguir dos tipos de decimales periódicos:
Números decimales periódicos puros
Estos números decimales tienen la parte decimal periódica inmediatamente después de la coma. La parte periódica se suele señalar usualmente con una línea horizontal o arco en la parte superior del mismo. Por ejemplo: 2,3333… = .
Números decimales periódicos mixtos
Estos números decimales poseen dos partes decimales: una parte no periódica, denominada anteperíodo, y la otra parte es la periódica, que se denota con el arco superior. Por ejemplo: 2,147151515… = .
¿Sabías qué?
Al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro se obtiene un número irracional denominado número pi.
Convertir un número decimal exacto a fracción
Para transformar un número decimal exacto a una fracción decimal se debe escribir el decimal dividido por 1. Luego hay que multiplicar tanto el numerador como el denominador por una potencia de base diez (10, 100, 1.000, etc.) que tenga tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Si la fracción que se obtiene no es irreducible, entonces se debe simplificar para obtener el resultado
Por ejemplo:
Otro ejemplo sería:
Al igual que las demás clases de números, los decimales y los fraccionarios pueden ubicarse en la recta numérica. Estos se encuentran entre dos números enteros, por lo tanto, permiten realizar e indicar mediciones mucho más precisas. Un ejemplo de esto son las llaves mecánicas, las cuales tienen medidas fraccionarias en pulgadas y decimales en milímetros.
Convertir un decimal periódico puro a fracción
Para convertir un decimal periódico puro a fracción es necesario aplicar los siguientes pasos:
1. Se coloca en el numerador una resta entre el número formado por la parte entera y la parte periódica sin la coma, y la parte entera. Observemos el siguiente ejemplo en el que se desea convertir en fracción el número .
2. Se coloca en el denominador un número formado por tantos 9 según la cantidad de cifras en el período, es decir, si hay un número bajo la línea periódica se coloca un solo 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99 y así sucesivamente.
3. Se realizan las operaciones matemáticas necesarias para conseguir la fracción. Se simplifica si es necesario.
Veamos otro ejemplo en el cual se aplicaron los mismos pasos:
Convertir un decimal periódico mixto a fracción.
Para llevar un número decimal mixto a fracción, seguimos los siguientes pasos:
1. Se coloca en el numerador una resta formada por el número completo sin la coma menos la parte entera y el anteperíodo. Observemos el siguiente ejemplo: .
2. Se coloca el denominador de la fracción que será un número formado por tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo.
Por último, se realizan los cálculos necesarios para conseguir la fracción y se simplifica si la misma lo requiere.
Veamos otro ejemplo con el mismo procedimiento:
Los números irracionales
Este tipo de números decimales no pueden ser convertidos en fracciones, debido a que tienen cifras decimales infinitas que no pueden ser definidas como un patrón. Por lo tanto, crear una fracción de estos números sería infinita. Podemos mencionar como ejemplos de estos números al número pi = 3,1416… o al resultado de
La estadística es una de las ramas de la matemática que emplea el uso de los números fraccionarios y decimales para realizar el estudio de muestras y poblaciones. Por tal motivo, tener conocimientos sobre cómo convertir un número fraccionario a decimal, y viceversa, puede ser muy útil en diversos campos.
Operaciones entre fracciones y decimales
Los números decimales y las fracciones se pueden sumar, restar, dividir, y multiplicar, entre otras operaciones, siempre y cuando se apliquen los métodos anteriormente vistos, como convertir un número decimal a fracción o una fracción a número decimal. Es importante tener presente que para resolver estos ejercicios debemos convertir todos los números a decimales o todos los números a fracciones.
– Primer método: convertir la fracción en un número decimal. Esto se realiza al dividir el numerador entre el denominador.
Ejemplo:
– Segundo método: convertir el número decimal en una fracción. En este caso, se utiliza la conversión del número decimal a fracción. En el ejemplo anterior, se puede notar que el número decimal es exacto, por lo tanto, se utiliza la conversión de número decimal exacto a fracción.
En ambos casos se obtuvo el mismo resultado expresado de una forma diferente
Estos pasos previos se utilizan para realizar los otros cálculos matemáticos como la división, la multiplicación, las potencias, las raíces y las operaciones combinadas.
¡A practicar!
1. Convierte los siguientes números a decimales:
a)
RESPUESTAS
b)
RESPUESTAS
2. Convierte los siguientes números a fracciones:
a)
RESPUESTAS
b)
RESPUESTAS
c)
RESPUESTAS
3. Resuelve las siguientes operaciones:
a)
RESPUESTAS
b)
RESPUESTAS
c)
RESPUESTAS
d)
RESPUESTAS
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Resolución de cálculos combinados con paréntesis, corchetes y llaves”
Este artículo explica cómo resolver operaciones matemáticas con fracciones y decimales que incluyen paréntesis, corchetes y llaves.
Las fracciones son números, por lo tanto, podemos realizar operaciones aritméticas básicas con ellas. Para multiplicar fracciones se debe realizar una multiplicación lineal de todos los numeradores y denominadores. Por otro lado, la división de estos números se puede realizar a través de varios procedimientos.
Diferentes métodos para la resolución de problemas
Una de las maravillas de las matemáticas es que generalmente para resolver un problema existen varios caminos que conducen al mismo resultado. Las operaciones con fracciones son un ejemplo, especialmente al momento de dividirlas se suelen aplicar varios métodos.
Multiplicación de fracciones
La multiplicación es una de las operaciones con fracciones mas sencillas. Para resolverla se deben multiplicar de forma lineal sus factores, es decir, numerador por numerador y denominador por denominador. En el caso de multiplicar más de dos fracciones el procedimiento es el mismo.
Por ejemplo:
a)
b)
En la multiplicación de fracciones no importa si son homogéneas o heterogéneas, el procedimiento siempre es el mismo. En los ejemplos anteriores observamos la resolución de fracciones de estos dos tipos.
Los criterios de divisibilidad son muy importantes a la hora de aplicar el método de simplificación o reducción de fracciones. Estos criterios permiten resolver las fracciones con mayor rapidez. Del mismo modo, se pueden aplicar a una o más fracciones siempre y cuando estas se multipliquen entre sí.
Simplificación de fracciones
Cuando se hace una multiplicación o división de fracciones, es necesario conocer cómo simplificarlas. Esto ahorra tiempo al momento de resolver el ejercicio y permite expresar cantidades de manera más sencilla. Para realizar una simplificación debemos tener presente los criterios de divisibilidad. A continuación, puedes ver algunos criterios:
Ahora, mira el siguiente ejemplo:
Al comparar la fracción con la tabla anterior, se puede observar que tanto el numerador como el denominador son divisibles entre 2. Por lo tanto, se puede simplificar la fracción:
La fracción que se obtuvo se puede simplificar también:
Esta fracción se pudo convertir en un número entero porque se trata de una fracción aparente, pero en otros casos la simplificación de una fracción es otra con numerador y denominador menores que los de la fracción original. También debemos considerar que hay fracciones irreducibles, lo que quiere decir que no se pueden simplificar.
Simplificación de fracciones en multiplicaciones
En los casos de multiplicaciones se pueden realizar simplificaciones de términos pertenecientes a diferentes fracciones. Para ello, se realiza el mismo procedimiento explicado y se consideran de igual forma los criterios de divisibilidad.
Por ejemplo:
Como se puede observar, las dos fracciones, si se evalúan de forma separada, son irreducibles. Sin embargo, esta multiplicación se puede simplificar porque el numerador de la primera fracción y el denominador de la segunda son divisibles entre 2. Por lo tanto, al aplicar la simplificación queda de la siguiente manera:
Ahora sí se puede aplicar la multiplicación de fracciones con números más pequeños, ya que no tenemos ninguna posibilidad de simplificar.
Se debe simplificar el resultado si es necesario. En este caso, la fracción ya es irreducible.
En la multiplicación de tres o más fracciones se sigue el mismo procedimiento: simplificar, multiplicar todos los numeradores para obtener el numerador del resultado y luego se hace lo mismo con los denominadores para obtener el denominador del resultado.
La división de fracciones se puede realizar mediante el uso de cualquiera de los diferentes métodos existentes y el resultado siempre debe ser el mismo. Aplicar un segundo método de resolución puede resultar muy útil porque nos permite comprobar si el resultado obtenido es el correcto, o si se ha aplicado mal uno de los procedimientos.
División de fracciones
Para realizar la división de fracciones existen varios métodos.
Primer método
Se gira la segunda fracción, con el propósito de invertir de posición el numerador y el denominador y se aplica el método de multiplicación de fracciones.
Por ejemplo:
Se hace el cambio de la segunda fracción y el signo de división por multiplicación.
Luego se resuelve la multiplicación resultante.
Segundo método
Otra forma de realizar la división de fracciones es multiplicar en forma cruzada, de la siguiente forma:
Al igual que con las multiplicaciones, se debe revisar si el resultado es una fracción irreducible. Si no lo es, se procede a simplificar.
Tercer método
Otro método aplicado en la división de fracciones es la doble c. En este procedimiento, la segunda fracción se coloca debajo de la primera de la siguiente manera:Luego se procede a multiplicar los extremos de la fracción y el resultado de esa multiplicación se coloca como numerador. Luego se multiplican los números internos y el resultado de esta última multiplicación se coloca como denominador.Al igual que en los métodos anteriores, debemos asegurarnos que el resultado sea una fracción irreducible. Si no lo es, debemos aplicar la simplificación hasta obtenerla.
¿Sabías qué?
La multiplicación de fracciones cumple con las propiedades conmutativa y asociativa. Por otro lado, la división de fracciones no cumple con las propiedades asociativa ni distributiva.
Multiplicación y división de fracciones con números enteros
El procedimiento para la multiplicación o división de fracciones con números enteros es muy sencillo. Para ello, es necesario representar primero al entero en forma de fracción y luego se resuelve la operación a través de los procedimientos explicados anteriormente.
Para expresar un entero en forma de fracción se debe colocar a la unidad como su denominador. Esto se hace ya que el número (1) como denominador no modifica el entero existente, porque todo número divido entre (1) es el mismo número.
Por ejemplo:
Ahora se procede a aplicar el método de la multiplicación como se explicó anteriormente. Numerador por numerador y denominador por denominador.Recuerda simplificar el resultado de la fracción.Este paso previo para convertir un número entero en fracción, también se aplica para la división de fracciones.
¡A practicar!
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RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Multiplicación y división de fracciones”
Este artículo explica cómo resolver multiplicaciones y divisiones de fracciones. También se enfoca en el procedimiento para su simplificación y ofrece una serie de ejercicios resueltos que facilitan su comprensión.
Los números fraccionarios están en nuestra vida cotidiana, por lo tanto, es de mucha importancia conocer cómo realizar adiciones y sustracciones con ellos. Para realizar estas operaciones se usan diferentes métodos que requieren realizar a su vez otras operaciones como el mcm.
Diferentes métodos para la resolución de problemas
Para resolver problemas de fracciones es necesario compararlas y conocer el tipo de fracción. De esta manera, podemos elegir qué tipo de método usar para resolver la operación.
Fracciones homogéneas
Son aquellas fracciones que poseen el mismo denominador. Debido a esto, para la suma y la resta de fracciones se coloca el mismo denominador y se suman o restan los numeradores de la siguiente manera:
Suma de fracciones homogéneas
Resta de fracciones homogéneas
Muchas de las fórmulas matemáticas empleadas en la resolución de problemas contienen sumas y restas de fracciones. En este sentido, es necesario conocer los diferentes métodos que se pueden aplicar de acuerdo al tipo de fracción presente en los ejercicios. Entre estos métodos están: la multiplicación cruzada o el cálculo del mínimo común múltiplo.
Fracciones Heterogéneas
Son aquellas fracciones que poseen distinto denominador. Para este tipo, existen diferentes métodos o formas de resolver adiciones y sustracciones.
Primer método: multiplicar en forma cruzada.
Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y se coloca en el numerador.
Luego se multiplica el numerador de la segunda por el denominador de la primera y se suma con el numerador resultante de la multiplicación anterior.
Se procede a multiplicar los denominadores de ambas fracciones.
Se realizan los cálculos necesarios y se obtiene la fracción resultante.
Segundo método: hallar el mínimo común múltiplo (mcm).
Se obtiene el mcm de los denominadores de la siguiente manera:
Se coloca el mcm como denominador resultante y se divide entre el denominador de la primera fracción y se multiplica por el numerador de la misma fracción. El resultado se coloca de numerador.
Se realiza el mismo procedimiento con la segunda fracción.
Se realizan las operaciones correspondientes para obtener el resultado final.
Para encontrar el resultado de una suma o una resta de fracciones muchas veces se recomienda simplificar los términos para tener un mejor resultado. Esta técnica consiste en dividir ambos términos entre el mismo número. Por lo general, se utilizan los números primos para llegar a una fracción irreducible. Para simplificar fracciones rápidamente se recomienda tener presente los criterios de divisibilidad de un número.
¿Sabías qué?
Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar.
Otros tipos de fracciones
Fracciones aparentes: son aquellas que cumplen la condición de que al dividir el numerador entre el denominador, el resultado es un número entero. Por ejemplo, las fracciones y son fracciones aparentes.
Fracciones equivalentes: son aquellas que se obtienen al multiplicar al numerador y al denominador por un mismo número. A este procedimiento también se lo denomina amplificación. Las fracciones y son fracciones equivalentes.Otro método para obtener fracciones equivalentes es por simplificación. En dicho caso, se divide tanto al numerador como al denominador por el mismo número. Las fracciones y son fracciones equivalentes.
Tercer método: utilizar las fracciones equivalentes.
Se convierten las fracciones en homogéneas mediante el uso de las fracciones equivalentes. Para hallar las equivalentes se multiplica una de las fracciones por una fracción aparente, cuyo resultado sea 1, como por ejemplo , , que permite hallar una fracción equivalente de la primera. En la sumatoria de , para convertir en una equivalente de igual denominador de la segunda (10), se multiplicó por la fracción aparente .
Se reescribe la adición de fracciones con la nueva fracción equivalente. De esta manera, las fracciones son homogéneas, por lo que pueden realizarse los cálculos para dichas fracciones, es decir, se suman los numeradores y se coloca el mismo denominador común (10).
La sustracción o resta de fracciones se realiza con el mismo procedimiento que la adición o suma, con la diferencia que, en vez de sumarlas, se restan.
En matemáticas es posible representar los números enteros como una suma de fracciones. Asimismo, aunque parezca difícil, existen procedimientos como convertir un entero en fracción, que se utiliza para resolver combinaciones de números enteros y fraccionarios. En estos casos, se coloca 1 como denominador del número entero.
adición y sustracción de fracciones con números enteros
Existen problemas en los cuales se pueden conseguir fracciones con números enteros. Aunque parece más complicado resolver este tipo de ejercicios, no lo es. Para sumar lo primero que debemos hacer es identificar el tipo de números involucrados en la operación.
Luego se convierte el número entero en una fracción para lo cual colocamos como denominador del número entero la unidad (1). Esto se debe a que el número (1) como denominador no modifica el entero existente, porque todo número divido entre (1) es igual al mismo número.
Se procede a realizar los cálculos con cualquier método de fracciones heterogéneas visto anteriormente. En este caso, se aplicará el método cruzado.
Por último, se realizan las operaciones matemáticas necesarias para hallar el resultado.
De esta forma, se pueden resolver las sustracciones o restas de números enteros y fracciones.
¿Sabías qué?
Se estima que en el 1650 a. C. se emplearon por primera vez fracciones con denominadores enteros positivos para representar las partes de un todo.
¡A practicar!
a)
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b)
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RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Clasificación de fracciones”
Este artículo permite obtener información más amplia sobre cómo se clasifican las fracciones.
La encuesta es una técnica de investigación estadística que consiste en aplicar un cuestionario a un grupo de personas para obtener información sobre un tema específico. Las preguntas en un cuestionario pueden ser abiertas cuando el encuestado tiene la libertad de dar cualquier respuesta, o cerradas cuando solo se contestan a partir de varias opciones. A través de esta herramienta se puede conocer la opinión de las personas sobre algún tema y se pueden recabar datos específicos para una investigación. Los resultados de las encuestas a menudo se representan en tablas o en gráficas.
Las encuestas se pueden hacer de forma presencial, por vía telefónica, por correo o por Internet.
TABLAS Y GRÁFICOS
Los datos se pueden organizar de forma más clara y ordenada a través de las tablas de frecuencia, de los gráficos de barra y de los pictogramas. Una tabla de frecuencia permite la organización de los datos de acuerdo su frecuencia respectiva, es decir, el número de veces que se repiten. Estas tablas pueden ser simples o de doble entrada si representan uno o dos conjuntos de datos respectivamente. Por otra parte, un gráfico de barra emplea barras rectangulares para representar la frecuencia de un dato. Finalmente, un pictograma es un diagrama que al igual que las tablas y los gráficos de barra, representa las frecuencias de los datos pero a través de imágenes.
La longitud de los rectángulos en los gráficos de barra indica la frecuencia de la variable.
PROBABILIDAD
Hay eventos en los que no se puede saber con exactitud cuál será su resultado porque dependen del azar: lanzar una moneda, sacar una carta de un mazo, lanzar un dado, etc. Estos son ejemplos de eventos aleatorios que pueden ser más, menos o igual de probables que otros. De acuerdo a la posibilidad u ocurrencia de un fenómeno podemos clasificar los eventos en seguros, cuando siempre ocurren; posibles, cuando podrían ocurrir; e imposibles, cuando nunca ocurren. A menudo practicamos juegos como piedra, papel o tijera donde podemos observar eventos aleatorios.
En un juego aleatorio, el resultado de ganar o no depende de la destreza del jugador y del azar.
Lanzar un dado, sacar un número de una esfera de bingo o tomar una carta de un mazo sin ver son algunos eventos en los que no conocemos con certeza qué resultado se va a obtener. Sin embargo, gracias a la probabilidad, sí podemos conocer qué tan probable es que sucedan.
evento aleatorio
Un evento es el resultado o conjunto de resultados que pueden ocurrir en un experimento. Se dice que un evento es aleatorio cuando no es posible determinarlo con exactitud y por ello, está sujeto al azar.
En un experimento aleatorio no se conoce con seguridad cuál será el resultado. Por ejemplo, un evento aleatorio puede ser lanzar una moneda y observar si cae la cara o la cruz. Esto se debe a que en los eventos aleatorios interviene el azar. Aunque nunca conoceremos con certeza cuál será el resultado, sí conocemos los posibles resultados, en este caso sería cara o cruz.
En ocasiones realizamos acciones como lanzar un dado, en donde conocemos de antemano los posibles resultados que se pueden dar (1, 2, 3, 4, 5 o 6), sin embargo; no sabemos exactamente cuál de ellos va a ocurrir.
Los resultados de estas acciones son eventos aleatorios.
Por ejemplo, observa los colores de las esferas que contiene la bolsa:
Al sacar al azar una esfera de la bolsa, puede suceder que la esfera sea verde, roja, violeta o azul, pero no puede suceder que la esfera sea de color amarillo, porque no hay en la bolsa esferas de color amarillo.
Regla de Laplace
El análisis de las probabilidades fue definido por el matemático francés Pierre de Laplace, quien la definió como el cociente entre los casos favorables entre los casos posibles.
El estudio de la probabilidad es usado desde una fábrica hasta las empresas de juegos de lotería. En la ciencia, las probabilidades han tenido una importancia incalculable porque permiten realizar estimaciones de eventos en donde participa el azar.
Los eventos pueden ser seguros, posibles o imposibles. Un evento seguro siempre sucede, por ejemplo, lanzar una moneda y que se obtenga cara o sello. Un evento imposible nunca ocurre, como por ejemplo lanzar un dado y obtener el número siete. Un evento posible es el que podría suceder, como sacar una carta de póquer de un mazo y que sea una reina.
OCURRENCIA de un suceso
Los eventos aleatorios pueden ser eventos o sucesos seguros, posibles e imposibles de que ocurran.
En un evento seguro el resultado siempre se va a dar.
En un eventoposible el resultado podría darse.
En un eventoimposible el resultado no podría darse.
Por ejemplo, observa las frutas que hay en la cesta:
Imagina que tienes los ojos vendados y tomas unas frutas, se pueden dar los diferentes tipos de eventos a continuación:
Un evento seguro es agarrar una manzana.
Un evento posible es agarrar una manzana roja.
Un evento imposible es agarrar una fresa.
Probabilidades de los eventos
Dentro de los posibles eventos podemos distinguir:
Evento igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los demás. Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda, el evento “cara” tiene las mismas probabilidades que el evento “cruz”.
Evento muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse. Por ejemplo, en una caja con 10 tarjetas, 9 de color amarillo y 1 de color rojo, el evento “sacar una tarjeta amarilla” tiene muchas probabilidades de ocurrir.
Evento poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse. Por ejemplo, en una caja con 10 tarjetas, 9 de color azul y 1 de color verde, el suceso “sacar una tarjeta verde” tiene pocas probabilidades de ocurrir.
¿Sabías qué?
Si reúnes 23 personas al azar es muy probable que una ellas cumpla el mismo día que tú.
juegos aleatorios
Los juegos aleatorios populares en los casinos, como la ruleta y las cartas, son juegos en donde las posibilidades de ganar o perder no solo dependen de la habilidad que tenga el jugador, sino que además interviene el azar, esto se debe a que la probabilidad de ganar o perder es algo que no se puede predecir pero sí calcular de acuerdo a las probabilidades.
Juego de los dados
En este juego participan dos personas, las reglas son muy sencillas: cada jugador tira un dado y el jugador con la puntuación más alta gana.
La probabilidad de victoria es la misma para cada uno de los jugadores.
Para visualizarlo, imaginemos que el dado de un jugador es de color azul y el del oponente verde. Esto nos permite representar de un modo muy visual los 36 posibles desenlaces de una mano. Representamos en azul las victorias del dado azul y en verde las victorias del dado verde, y en blanco los empates. Observa:
Observamos que de los 36 posibles desenlaces 15 son victorias azules y 15 victorias verdes. Es decir, la probabilidad de que gane cada uno de los jugadores es la misma (15/36) y por lo tanto, ninguno tiene ventaja.
Pares o nones
Este es un juego que se utiliza para elegir entre dos personas a una de las dos, mediante un evento aleatorio: uno de los jugadores escoge “pares” y el otro “nones”, cada uno representa un número del 1 al 5 con una mano en la espalda, cuentan hasta tres y la sacan con cualquier número de dedos extendidos
Las tablas y los gráficos son herramientas usadas para representar datos. Se emplean en votaciones electorales, en empresas e incluso en etiquetas de productos. Estos recursos son muy útiles, porque su diseño permite entender un problema de manera más clara y hace que el análisis de los datos sea más rápido.
tablas de frecuencia
Las tablas de frecuencia o estadísticas nos permiten organizar datos con su frecuencia respectiva. La frecuencia es el número de veces que se repite un dato. Están formadas por filas que son hileras de datos horizontales y por columnas que son hileras de datos verticales. Para leer una tabla hay que leer primero la columna del dato de interés y luego desplazarse horizontalmente hasta la frecuencia que existe para ese dato.
Por ejemplo, imaginemos que la maestra realiza esta pregunta a sus estudiantes: ¿qué edad tienes? Luego representa los resultados en la siguiente tabla:Como podrás observar, en la tabla aparecen organizadas las edades y el número de niños que tienen esa edad. De la misma podemos concluir lo siguiente:
Hay 14 niños que tienen 8 años.
Hay 19 niños que tienen 9 años.
hay 1 niño que tiene 10 años.
Las tablas nos suministran información y permiten relacionar los datos que en ellos se encuentran (edad y número de niños).
Las tablas y los gráficos se utilizan en varias áreas de la ciencia como la biología, la química, la geografía, la economía, la medicina, etc. La mayoría de las veces, los datos que son mostrados en tablas o gráficos que se obtienen a partir de encuestas y resultados de experimentos. Se suelen usar para representar la información obtenida de manera más clara.
tablas de frecuencia de doble entrada
Una tabla de frecuencia de doble entrada es una herramienta que ayuda a organizar datos y comparar varios elementos referentes al mismo tema.
Al igual que en las tablas de frecuencia, los datos se ordenan en filas y columnas. Se llaman tablas de doble entrada porque incluyen dos variables diferentes. La primera se sitúa en la parte superior y se ordena de forma horizontal, mientras que la segunda se suele ubicar en la primera columna y se ordena de forma vertical.
¿Sabías qué?
Una variable es toda característica que puede medirse y que puede adoptar diferentes valores.
– Veamos un ejemplo:
Roberto y Camila registraron en una tabla el número de películas que vieron cada día en una semana y estos fueron los resultados que obtuvieron:
xxxxxxxxxx
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
Roberto
2
4
2
3
2
4
1
Camila
3
2
4
3
3
1
2
-¿Cuántas películas vio Roberto el lunes?
Para conocer cuántas películas vio Roberto el lunes, debemos ubicar la fila donde aparece el nombre de Roberto y luego ubicar la columna del día lunes. La intersección entre dicha fila y dicha columna será la respuesta:
xxxxxxxxxx
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
Roberto
2
4
2
3
2
4
1
Camila
3
2
4
3
3
1
2
Roberto vio 2 películas el día lunes.
-¿Cuántas películas vio Camila el día viernes?
Para responder esta pregunta nos ubicamos en la fila donde aparece el nombre de Camila y luego nos desplazamos hasta la columna del día viernes, la respuesta será la intersección entre dicha fila y dicha columna.
xxxxxxxxxx
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
Roberto
2
4
2
3
2
4
1
Camila
3
2
4
3
3
1
2
Camila vio 3 películas el día viernes.
gráficos de barra
Un gráfico de barra es una forma de representar un conjunto de datos a través de barras del mismo ancho, es uno de los gráficos más sencillos y uno de los más utilizados, seguramente lo has visto en el periódico o en la televisión cuando se habla de la variación de un fenómeno.
Los gráficos de barras están formados por columnas o barras que contienen el mismo ancho y su altura indica un valor que se encuentra asociado a una escala de frecuencia. Los elementos principales, además de la escala, son el nombre del gráfico, el nombre de las variables y las unidades de medida. Estos gráficos son muy usados en los análisis de resultados de investigaciones.
Este tipo de gráficos está formado por barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores que se indican en la escala. Sirven para comparar dos o más valores y están compuestos por dos ejes:
El eje horizontal: en este eje se coloca la variable, es decir; una característica o cualidad del elemento que se estudia y puede medirse. Por ejemplo, la edad de una persona, su peso, el lugar de nacimiento, su estatura, etc.
El eje vertical: en este eje se coloca la frecuencia del dato.
– Por ejemplo:
Se realizó una encuesta a 20 niños sobre su asignatura preferida, 7 respondieron Ciencias Naturales, 8 eligieron Lengua y 5 escogieron Matemáticas. De esta forma, sabemos que la frecuencia de la asignatura Ciencias Naturales es 7, la de la Lengua es 8 y la variable Matemáticas es 5. La representación gráfica es la siguiente:
Si invertimos los ejes y colocamos la variable en el eje vertical y la frecuencia en el eje horizontal, tendremos un diagrama de barras horizontal, es decir; las barras estarían en posición horizontal.
¿Sabías qué?
Los gráficos son herramientas necesarias para la comprensión de diferentes disciplinas como la demografía.
¿Cómo se elabora un gráfico de barra?
Para elaborar gráficos de barra podemos utilizar la información que nos suministra la tabla de frecuencia. Una vez analizada:
Une dos líneas, una vertical y otra horizontal, hazlas coincidir en un punto en forma de L que será el origen de ambas. Estas serán los ejes. La línea vertical representará la escala o el eje de la frecuencia. La línea horizontal se empleará para describir a las variables estudiadas.
Dibuja las barras en su variable correspondiente de forma tal que cada barra tenga la misma longitud de su frecuencia.
Escribe el nombre del gráfico, las variables y las unidades de medida.
Tipos de gráficos de barra
Existen dos tipos principales:
Gráfico de barra sencillo: representa los datos de una única serie o conjunto de datos. El ejemplo que vimos anteriormente es de este tipo.
Gráfico de barra agrupado: compara los datos de dos o más series o conjuntos de datos, con este gráfico se pueden representar las tablas de frecuencia de doble entrada. Veamos un ejemplo de este tipo:
Supongamos que la encuesta del ejemplo anterior sobre las asignaturas favoritas se realizó en dos clases diferentes de primaria (3º y 4º grado). Vamos a representar cada grado con un color diferente. Sobre una misma variable se representan las frecuencia que obtuvo en cada grado. Para facilitar la lectura se suelen usar colores diferentes para cada conjunto de datos. En este caso el diagrama sería así:
pictogramas con escala
Un pictograma es un tipo de gráfico donde la información se grafica a través de dibujos o figuras, al igual que el gráfico de barra su propósito es representar datos.
Este tipo de gráficos está formado por dibujos o figuras que son proporcionales a los valores que representan. Está compuesto por dos ejes:
El eje horizontal: en este eje se coloca la variable, es decir, una característica o cualidad de un individuo o elemento.
El eje vertical: en este eje se coloca la frecuencia del dato.
¿Cómo se elaboran los pictogramas con escala?
Para elaborar pictogramas podemos utilizar la información que nos suministra la tabla de frecuencia. Y debemos realizar los siguientes pasos:
Une dos líneas: dibuja los ejes horizontales y verticales en forma de L.
Registra en la línea vertical una escala numérica a partir de cero (0) que servirá para representar la frecuencia.
Debajo de la línea horizontal escribe los nombres de las variables.
Haz que coincidan los datos en estudio con su frecuencia, a través de dibujos. Se suelen usar dibujos asociados al problema de estudio.
Escribe el título del gráfico, escala y el nombre de las variables.
Veamos un ejemplo:
Se hizo una encuesta a 12 niños sobre su preferencia de animales domésticos, 6 niños eligieron a los perros, 2 eligieron a los conejos y 4 eligieron a los gatos. El pictograma que se obtuvo fue el siguiente:
Cada dibujo o figura representa un niño que eligió esa opción.
Los resultados de una encuesta se ordenan en una tabla de frecuencia, que según el caso, puede ser simple o de doble entradas. Los resultados se pueden graficar mediante gráficos de barra o pictogramas. El tipo de gráfico depende de la investigación. Por ejemplo, una empresa o laboratorio se suelen usar gráficos de barra porque las escalas son más precisas y son más formales. Los pictogramas se suelen usar en la prensa escrita porque permiten que el contenido sea captado de manera más simple y su diseño es más amigable.
¡A practicar!
1. Se encuestó a un grupo de 20 niños y 20 niñas para determinar qué tipo de publicaciones eran sus favoritas y se obtuvieron los siguientes resultados:
Los niños:
9 niños eligieron los cuentos.
7 niños eligieron las historietas.
4 niños eligieron las revistas.
Las niñas:
8 niñas eligieron los cuentos.
5 niñas eligieron las historietas.
7 niñas eligieron las revistas.
Representa los datos en una tabla de frecuencia y en un gráfico de barras.
Solución
2. Se encuestaron a un grupo de 15 personas sobre sus actividades preferidas y se obtuvieron los siguientes resultados:
7 personas seleccionaron el baile.
5 personas seleccionaron el canto.
3 personas seleccionaron la actuación.
Ordena los datos en una tabla de frecuencia y represéntalos en un pictograma.
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Gráficos estadísticos”
El siguiente material explica qué son los gráficos estadísticos y sus diferentes tipos.
El artículo explica qué son las variables y se enfoca en cómo construir una tabla de valores. También propone una serie de ejercicio con respuestas para practicar.
La adición es una de las cuatro operaciones básicas que utilizamos de forma habitual y se caracteriza porque nos permite añadir una cantidad a otra. Los términos de la adición son los sumandos y la suma. Para resolver adiciones usamos el algoritmo de la suma que consiste ordenar los sumando de manera que las unidades de mil, las centenas, las decenas y las unidades se encuentren en una misma columna. Si la suma de una columna es un número de dos cifras (mayor a 9), se coloca el valor de la segunda cifra y el valor de la primera se suma al resultado de la siguiente columna a la izquierda. Esta operación cumple varias propiedades como la conmutativa, la asociativa y la del elemento neutro.
La propiedad conmutativa explica que no importa cómo ordenemos los sumandos, el resultado es siempre el mismo.
SUSTRACCIÓN
La sustracción es una operación matemática que consiste en quitar o restar una cantidad a otra para determinar la diferencia. Esta operación es inversa a la suma y está formada por el minuendo, elsustraendo y la diferencia. El minuendo es la cantidad a la que se le va a restar, el sustraendo es la cantidad que se resta y la diferencia es el resultado de la sustracción. En la sustracciones los números se agrupan en columnas al igual que en la adición. Si el minuendo es mayor al sustraendo restamos de forma convencional. En caso contrario, debemos desagrupar la cifra de la columna siguiente y canjear un valor posicional.
Una forma de comprobar una sustracción es sumar el sustraendo y la diferencia, el resultado debe ser igual al minuendo.
OPERACIONES COMBINADAS
Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias cálculos aritméticos. Para este tipo de problemas resolvemos primero las operaciones que están entre paréntesis y luego resolvemos las operaciones en el orden que aparecen de izquierda a derecha. En caso de que la operación combinada no tenga paréntesis resolvemos de acuerdo al orden que aparecen los términos de izquierda a derecha.
Los cálculos mentales permiten resolver operaciones sin usar herramientas como un lápiz, una hoja o una calculadora.
multiplicación
La multiplicación es sumar un mismo números tantas veces como indique otro. Por esta razón, esta operación se encuentra estrechamente relacionada con la adición. De hecho, toda adición iterada (adición que posee todos sus sumandos iguales) puede ser representada a través de la multiplicación. Su elementos principales son los factores y el producto. Los primeros son los números que se multiplican y el segundo corresponde al resultado. Para multiplicaciones de una cifra se ordenan los factores de forma vertical, se multiplica la unidad del segundo factor por la unidad del primero y luego se anota el resultado en la parte inferior, después se multiplica la unidad del segundo factor por la decena del primero y se anota el resultado.
Al multiplicar un número por la unidad seguida de cero se añade a la derecha de este la misma cantidad de ceros que acompañen a la unidad.
división
La división es una operación matemática que consiste en realizar reparticiones equitativas o formar grupos con la misma cantidad de elementos. Es una operación inversa a la multiplicación y puede considerarse una sustracción sucesiva. Los elementos de la división son el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo o resto. El dividendo es la cantidad que se va a repartir, el divisor es la cantidad en la que se va a dividir, el cociente es el resultado y el residuo o resto es la parte que no se puede dividir. Para resolver divisiones buscamos un número que al ser multiplicado por el divisor sea igual o cercano al valor del dividendo.
Cada vez que compartimos alimentos hacemos una división, por ejemplo, esta pizza se dividió en 6 porciones, lo que es igual a 1 ÷ 6.
Cuando queremos saber la opinión o las preferencias de un grupo de personas, la encuesta es la técnica más práctica de aplicar. Esta consiste en hacer preguntas a una población determinada con el fin de recaudar datos precisos sobre una situación. ¿Te gustaría hacer una encuesta en clase? Con este artículo sabrás cómo hacerlo.
¿QUÉ ES LA ENCUESTA?
Una encuesta es una técnica de investigación que consiste en aplicar el mismo conjunto de preguntas a un grupo de personas con un instrumento llamado cuestionario. Este se utiliza para obtener resultados sobre un tema y saber sus preferencias.
Las preguntas pueden aplicarse en forma de entrevista personal, entrevista en línea, mediante páginas web, aplicaciones, correo electrónico, vía telefónica o de forma escrita. Las preguntas deben ser pensadas para obtener información específica que nos ayude en la investigación.
La encuesta es una recopilación de datos obtenidos mediante consulta o interrogatorio a varias personas sobre un tema determinado. Se pueden hacer en persona, por teléfono, por correo o a través de aplicaciones para dispositivos móviles. Las encuestas permiten conocer la opinión de las personas sobre un tema o recabar datos sobre la población.
Los datos que arroje la encuesta se representan mediante tablas de frecuencia y gráficos para resumir la información obtenida y observar de manera más clara el fenómeno de estudio.
¿Qué es un cuestionario?
Los cuestionarios se componen de preguntas que se escriben con signos de interrogación al principio y al final como ¿qué?, ¿quién?, ¿cómo?, ¿dónde?, ¿cuál?, ¿cuándo? Por ejemplo, ¿cuál es tu deporte favorito?
La formulación de las respuestas correctas te permitirá obtener los resultados que necesitas.
Tipos de preguntas en un cuestionario
Preguntas abiertas: dan la libertad de dar cualquier respuesta.
Preguntas cerradas: se contestan a partir de varias opciones.
– Ejemplo:
Pregunta abierta
¿Cuál es tu fruta favorita?
________________________
Pregunta cerrada
¿Te gustan las fresas?
Sí
No
Elementos de un cuestionario
Las encuestas tienen cinco elementos principales:
Introducción: corta pero precisa, allí se explica para qué se hace la encuesta.
Presentación: debe especificarse a quién va dirigida la encuesta y el método empleado para la aplicación del cuestionario, ya sea de forma personal, telefónica o por correo.
Instrucciones para responder: indica la forma en la que se responderán las preguntas que pueden ser abiertas o cerradas.
Secciones de preguntas y respuestas: si son abiertas se debe responder con sus propias palabras, si son cerradas el encuestado deben elegir las opciones. También puede ser mixta.
Datos del encuestado: proporciona información de la persona que participó en la encuesta.
– Ejemplo:
María quiere vender helados y pasteles, pero desea conocer cuáles son los sabores preferidos de los niños, para ello ha decidido hacer una encuesta y su cuestionario consta de los siguientes elementos:
Cuestionario
Introducción
La encuesta tiene como objetivo determinar cuáles son los pasteles y sabores de helado preferidos por los niños.
Presentación
Está dirigida a niños entre 4 y 11 años de edad. El cuestionario se aplicará en forma presencial.
Instrucciones para responder
Instrucciones: marca con una equis (x) tu opción preferida.
Preguntas y respuestas
1. ¿Cuál pastel es tu preferido?
a) Vainilla ( )
b) Chocolate ( )
c) Limón ( )
2. ¿Cuál es tu sabor de helado preferido?
a) Vainilla ( )
b) Chocolate ( )
c) Fresa ( )
d) Naranja ( )
e) Limón ( )
3. ¿Cuál preferirías para cubrir tu helado?
a) Chocolate ( )
b) Dulce de leche ( )
c) Maní ( )
Datos del encuestado
Nombre: _________________________________
Edad: _________________
María en su encuesta solo formuló preguntas cerradas.
pasos para realizar una encuesta
Hay cinco pasos a seguir para realizar una encuesta:
Escoger el tema.
Elegir la población encuestada.
Elaborar las preguntas del cuestionario. Estas pueden ser abiertas o cerradas, el cuestionario también puede ser mixto, es decir; puede contener tanto preguntas abiertas como cerradas.
Recopilar la información, esto se refiere a la aplicación del cuestionario.
Llegar a las conclusiones. Es la parte final y en la que se conocen cuáles fueron los resultados de la encuesta.
– Ejemplo:
Jorge es un granjero que desea sembrar frutas pero en su huerto pero solo tiene espacio para sembrar de tres tipos. El granjero debe escoger entre plantar sandía, fresa, banana, uva, manzana o pera. Para decidir, el granjero realizará una encuesta que le permitirá saber cuáles de las seis frutas son las preferidas por sus vecinos.
Los pasos a seguir son:
1. Elegir el tema.
En este caso, el tema es determinar cuáles son las frutas preferidas de los vecinos de la granja.
2. Elegir a quién se aplicará la encuesta.
El granjero aplicará un cuestionario a los niños y adultos de la granja.
3. Elaborar las preguntas.
El granjero debe decidir si hacer su cuestionario con preguntas abiertas o cerradas. Si hace un pregunta abierta, como por ejemplo “¿cuál es su fruta favorita?”, los encuestados pueden responder cualquier tipo de fruta de todas las que existen en el planeta; en cambio, si el granjero hace una pregunta cerrada, él puede brindar solo las opciones que le interesan para cultivar. Por lo tanto, este es el tipo de pregunta que debe emplearse en el cuestionario.
Entonces, la pregunta que el granjero realizará en su encuesta es la siguiente:
¿Cuál de las siguientes frutas es su favorita?
Sandía ( )
Fresa ( )
Banana ( )
Uva ( )
Manzana ( )
Pera ( )
4. Recopilar los datos.
Una vez formulada la pregunta, el granjero debe aplicar el cuestionario.
5. Llegar a las conclusiones.
Tras su aplicación los resultados fueron los siguientes:
Fruta
Personas que la seleccionaron
Sandía
3
Fresa
6
Banana
2
Uva
2
Manzana
8
Pera
4
El granjero debe contar los resultados de la encuesta, para determinar cuáles son las tres frutas preferidas por sus vecinos y así poder sembrarlas en su huerto. Para el análisis de los resultados se utilizan las tablas de frecuencia y los gráficos.
Al observar la tabla anterior, podemos concluir que la mayoría de las personas prefirieron la manzana, la fresa y la pera. De esta manera, el granjero pudo determinar cuáles frutas cultivar de acuerdo a lo que prefiere la mayoría.
¿Sabías qué?
La frecuencia es el número de veces que se repite un dato.
Tablas de frecuencia
La tabla de frecuencias es una herramienta que permite ordenar los datos de manera que se presentan numéricamente.
Las tablas representan e interpretan información procedente de diferentes fuentes de forma clara, precisa y ordenada. Casi todo tipo de información puede organizarse en una tabla de datos y ser representada en algún tipo de gráfico.
En la tabla puedes observar pequeñas líneas que representan el conteo de las personas que eligieron esa fruta. Los números en la tabla representan el total de personas que eligieron cada fruta, esto es lo que se denomina frecuencia; en este caso, la fruta preferida es la manzana, ya que fue elegida por 8 personas.
usos de la encuesta
Usamos la encuesta para:
Medir las preferencias políticas de los ciudadanos.
Medir los efectos de ciertas medicinas.
Saber la opinión de las personas sobre un tema.
Conocer los niveles educativos de la población.
Calcular la preferencia de un producto sobre otro.
Saber a qué tipo de persona irá destinado un producto o servicio.
Saber si al público le ha gustado un servicio o producto.
Calcular a qué grupo de la población le afecta más un fenómeno.
Conocer cómo se encuentra compuesta la población de un país.
Saber los resultados de un programa.
Predecir la reacción de las personas ante algún cambio.
Las encuestas son herramientas usadas para recolectar información durante una investigación. Por esta razón, son usadas en diferentes contextos. Por ejemplo, antes de lanzar nuevo producto a la venta, las compañías realizan encuestas entre los consumidores para predecir si ese producto será aceptado o no por los compradores y evitar así posibles pérdidas.
¡A practicar!
1. Determina si las siguientes preguntas son abiertas o cerradas.
a) ¿Cuál es tu color favorito?
Solución
Pregunta abierta.
b) ¿Le tienes miedo a las alturas? Sí ( ) No ( )
Solución
Pregunta cerrada.
c) ¿Quién es tu personaje histórico favorito?
Solución
Pregunta abierta.
d) ¿Alguna vez has volado en avión? Sí( ) No ( )
Solución
Pregunta cerrada.
2. María hizo una encuesta a sus compañeros de clases sobre a qué lugares preferían ir de vacaciones y obtuvo la siguiente tabla de frecuencia:
Lugar preferido
Personas que lo eligieron
Montaña
7
Playa
9
Selva
2
Desierto
1
De acuerdo a la tabla responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál fue el destino de vacaciones más elegido?
Solución
La playa.
b) ¿Cuál fue el destino menos elegido?
Solución
El desierto.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Instrumentos de medición”
El siguiente material le brindará información más detallada sobre las encuestas y su aplicación. También explica las ventajas y desventajas de este método de recolección de datos.
El artículo explica las características de la tabla de valores y su importante papel en la estadística. También se explican otros conceptos relacionados y se proponen algunos ejercicios.
Luego se resuelve la multiplicación resultante.
Luego se procede a multiplicar los extremos de la fracción y el resultado de esa multiplicación se coloca como numerador. Luego se multiplican los números internos y el resultado de esta última multiplicación se coloca como denominador.
Al igual que en los métodos anteriores, debemos asegurarnos que el resultado sea una fracción irreducible. Si no lo es, debemos aplicar la simplificación hasta obtenerla.
Recuerda simplificar el resultado de la fracción.
Este paso previo para convertir un número entero en fracción, también se aplica para la división de fracciones.
Otro método para obtener fracciones equivalentes es por simplificación. En dicho caso, se divide tanto al numerador como al denominador por el mismo número. Las fracciones 
Se procede a realizar los cálculos con cualquier método de fracciones heterogéneas visto anteriormente. En este caso, se aplicará el método cruzado.
Como podrás observar, en la tabla aparecen organizadas las edades y el número de niños que tienen esa edad. De la misma podemos concluir lo siguiente:
