CAPÍTULO 5 / TEMA 5 (REVISIÓN)

FRACCIONES | ¿qué aprendimos?

nOCIÓN DE FRACCIÓN

Las fracciones son divisiones sin resolver. Están formadas por una raya de fracción que divide al numerador del denominador. El numerador es la parte que tomamos del entero y el denominador indica las partes en las que se divide al entero. Las fracciones pueden ser propias, impropias y aparentes. Las fracciones propias tienen un numerador menor que el denominador; las impropias tienen un numerador mayor que el denominador; y las aparentes son iguales a un entero.

La porción de pastel que se toma es igual a 1/8. El numerador es la parte tomada (1) y el denominador señala la cantidad de partes en las que se dividió el pastel (8).

representación de fracciones

Para leer una fracción solo tenemos que leer al numerador como cualquier otro número y al denominador según unas simples reglas: medios si es 2, tercios si es 3, cuartos si es 4, quintos si es 5 y así sucesivamente. A partir de números mayores a diez añadimos el sufijo –avos; como onceavos. Los gráficos de las fracciones se representan por medio de figuras divididas en tantas partes como muestra el denominador y con tantas partes pintadas como señala el numerador.

Podemos representar fracciones propias e impropias en gráficos con formas de figuras geométricas.

tipos de fracciones

Dos o más fracciones son homogéneas si comparten el mismo denominador, en cambio, si dos o más fracciones tienen distinto denominador se las llama heterogéneas. También existen las fracciones propias o puras, que son aquellas que tienen un numerador menor que el denominador y siempre son menores a un entero; y las fracciones impropias o impuras, que tienen un numerador mayor que el denominador y son mayores a uno.

Depende del país en el que nos encontramos, la fracción propia se puede llamar también fracción pura.

operaciones con fracciones homogéneas

Para sumar y restar fracciones homogéneas primero sumamos o restamos los numeradores y mantenemos el mismo denominador. Así como ordenamos números naturales, también lo podemos hacer con las fracciones, para esto usamos los símbolos de relación como > (mayor que) y < (menor que). Por otro lado, existen fracciones con distintos numeradores y denominadores pero que representan la misma cantidad, a estas se las conoce como fracciones equivalentes.

Las fracciones propias siempre tienen el numerador menor al denominador y representan una cantidad inferior a la unidad.

CAPÍTULO 1 / TEMA 6

POTENCIAS

La matemática está compuesta por numerosos tipos de operaciones que varían según su complejidad. Entre esas operaciones se encuentra la potenciación, que consiste en la multiplicación de factores iguales de acuerdo a un exponente. Al igual que otros cálculos, tiene sus propiedades y sus características particulares. ¡Las aprenderemos a continuación!

La potenciación también puede ser definida como la forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales. En muchas ocasiones, los ejercicios de potenciación pueden parecer algo complejos. Para resolverlos de manera correcta es indispensable conocer sus elementos y propiedades.

LA POTENCIA Y SUS ELEMENTOS

La potencia se define como el resultado (b) de la multiplicación de la base (a) tantas veces como lo indica el exponente (n). En esta operación, a y b son números reales y n es un número entero.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{4^{3}=4\times 4\times4 =64}$

$\boldsymbol{5^{4}=5\times 5\times 5\times 5=625}$

$\boldsymbol{8^{2}=8\times 8 = 64}$

¿Cómo se lee una potencia?

Si quieres leer una potencia es necesario que hayas aprendido bien a identificar sus elementos para luego aplicar los siguientes pasos.

Lee la base como cualquier número seguido de la expresión “elevado a la” o “elevado al” según sea el caso.
Lee el exponente como un número ordinal. A excepción del 2 y 3 que se expresan como “al cuadrado” y “al cubo” respectivamente.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{{\color{Red} 3}}}$ se lee “cinco al cubo”.

$\boldsymbol{4^{{\color{Red} 2}}}$ se lee “cuatro al cuadrado”.

se lee “nueve a la quinta”.

¿Sabías qué?

René Descartes (1596-1650) realizó contribuciones importantes a la matemática y popularizó la notación para la potenciación.

VER INFOGRAFÍA

¡A practicar!

¿Cómo se leen estas potencias?

$\boldsymbol{4^{3}}$

Solución

Cuatro al cubo.

$\boldsymbol{25^{6}}$

Solución

Veinticinco a la sexta.

$\boldsymbol{64^{9}}$

Solución

Sesenta y cuatro a la novena.

PROPIEDADES DE LA POTENCIA

Potencia de un exponente 0

Todo número elevado a la potencia cero es igual a 1.

$\boldsymbol{a^{0}=1}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{0}=1}$

$\boldsymbol{\left ( -3 \right )^{0} = 1}$

Potencia de un exponente 1

Todo número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número.

$\boldsymbol{a^{1}=a}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{1}=5}$

$\boldsymbol{\left ( -3 \right )^{1} = -3}$

Potencia de un exponente negativo

Todo número elevado a la potencia negativa es igual a la fracción de uno sobre la misma base con potencia positiva.

$\boldsymbol{a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{-1}=\frac{1}{5^{1}}=\frac{1}{5}}$

$\boldsymbol{(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^{2}} = \frac{1}{9}}$

Multiplicación de potencias de igual base

En la multiplicación de potencias de igual base se coloca la misma base y se suman los exponentes.

$\boldsymbol{a^{n}\times a^{m}=a^{n + m}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{3^{2}\times 3^{4}=3^{2 + 4}=3^{6}}$

$\boldsymbol{(-7)^{5}\times (-7)^{-3}=(-7)^{5+( - 3)}=(-7)^{2}}$

División de potencias de igual base

En la división de potencias se coloca la misma base y se restan los exponentes.

$\boldsymbol{\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{4^{6}}{4^{2}}=4^{6-2}=4^{4}}$

$\boldsymbol{\frac{(-3)^{-2}}{(-3)^{4}}=(-3)^{-2-4}= (-3)^{-6}}$

Potencia de una potencia

En toda potencia elevada a otra potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.

$\boldsymbol{(a^{n})^{m}=a^{n \times m}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{(9^{2})^{3}=9^{2 \times 3}=9^{6}}$

$\boldsymbol{((-8)^{2})^{3}=(-8)^{2\times 3}=(-8)^{6}}$

Potencia de un exponente racional

En una potencia con exponente fraccionario se extrae el denominador del exponente en forma de raíz y el numerador queda como exponente de la potencia.

$\boldsymbol{a^{\frac{n}{m}}= \sqrt[m]{a^{n}}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{\frac{7}{3}}= \sqrt[3]{5^{7}}}$

$\boldsymbol{(-2)^{\frac{4}{5}}= \sqrt[5]{(-2)^{4}}}$

Multiplicación de potencias con el mismo exponente

En la multiplicación de potencias de igual exponente se multiplican las bases y se coloca el mismo exponente.

$\boldsymbol{a^{n}\times b^{n}=(a\times b)^{n}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{3}\times 4^{3}=(5\times 4)^{3}=(20)^{3}}$

$\boldsymbol{(-3)^{3}\times (-6)^{3}=((-3)\times (-6))^{3}=(18)^{3}}$

División de potencias con el mismo exponente

En la división de potencias de igual exponente se coloca el mismo exponente y se dividen las bases.

$\boldsymbol{\frac{a^{n}}{b^{n}}=(\frac{a}{b})^{n}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{8^{2}}{4^{2}}=(\frac{8}{4})^{2}=2^{2}}$

$\boldsymbol{\frac{(-6)^{3}}{(-3)^{3}}=(\frac{(-6)}{(-3)})^{3}=2^{2}}$

¿Resultado par o impar?

Toda potencia de base negativa con exponente par da como resultado un número positivo. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\left ( -3 \right )^{4} = (-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)=81}$

Toda potencia de base negativa con exponente impar da como resultado un número negativo. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\left ( -2 \right )^{5} = (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=-32}$

Potencias de base 10

Las potencias de base 10 son fáciles de calcular porque el valor es igual a la base seguida de tantos ceros como indica el exponente. Estas son muy útiles para escribir de forma polinómica un número, es decir, permiten escribir números muy grandes de forma reducida.

$\boldsymbol{10^{2} = 10 \times 10 = 100}$

$\boldsymbol{10^{3} = 10 \times 10\times 10 = 1.000}$

$\boldsymbol{10^{4} = 10 \times 10\times 10\times 10 = 10.000}$

$\boldsymbol{10^{5} = 10 \times 10 \times 10\times 10\times 10 = 100.000}$

$\boldsymbol{10^{6} = 10 \times 10\times 10\times 10\times 10\times 10 = 1.000.000}$

APLICACIONES DE LAS POTENCIAS

Debido a las diversas propiedades que estas poseen pueden utilizarse para:

Aplicar el teorema de Pitágoras

Uno de los teoremas más famosos de la geometría es el teorema de Pitágoras. Este emplea potencias para expresar su fórmula, la cual dice que la hipotenusa al cuadrado de un triángulo rectángulo es igual a la suma de sus catetos al cuadrado, es decir, C²= A²+ B².

Emplear la notación científica

La notación científica utiliza potencias de base 10 para expresar números muy grandes o muy pequeños en forma reducida. Observa cómo algunos números pueden ser expresados de forma simplificada:

$\boldsymbol{0,00000465 = 465\times 10^{-8}}$

$\boldsymbol{0,00000465 = 46,5\times 10^{-7}}$

$\boldsymbol{0,00000465 = 4,65\times 10^{-6}}$

Expresar sucesiones matemáticas y progresiones geométricas

Existen series matemáticas que requieren el uso de las potencias para expresar su forma general o enésima.

Uno de los campos o áreas que usan la potenciación es la biología, específicamente en el estudio de la reproducción de virus y bacterias. Allí, para poder expresar su rápido crecimiento, es necesario emplear este tipo de operación matemática.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes potencias y aplica las propiedades necesarias:

$\boldsymbol{4^{3}+5^{2}=}$

Solución

$\boldsymbol{4^{3}+5^{2}= 4\times 4\times 4+5\times 5=64+25 = 89}$

$\boldsymbol{3^{3}\times 9^{3}=}$

Solución

$\boldsymbol{3^{3}\times 9^{3}= (3\times 9)^{3}= (27)^{3}=27\times 27\times 27=19.683}$

$\boldsymbol{\frac{8^{5}}{8^{3}}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{8^{5}}{8^{3}}= 8^{5-3}=8^{2}= 8\times 8=64}$

$\boldsymbol{(\frac{4^{3}}{4^{2}})^{2}+\frac{5^{6}\times4^{3}}{5^{5}\times4^{2}}-\frac{2^{0}\times1^{9}}{5^{0}}}$

Solución

$\boldsymbol{(\frac{4^{3}}{4^{2}})^{2}+\frac{5^{6}\times4^{3}}{5^{5}\times4^{2}}-\frac{2^{0}\times1^{9}}{5^{0}}= 4^{6-4}+5^{6-5}\times4^{3-2}-\frac{1\times1}{1}}$

$\boldsymbol{4^{2}+5^{1}\times4^{1}-\frac{1\times1}{1}=4\times4+20-1=16+19=35}$

2. Expresa los siguientes números en notación científica.

$\boldsymbol{1.320.000}$

Solución

$\boldsymbol{1.320.000=1,32\times 10^{6}=13,2\times 10^{5}=132\times 10^{4}}$

$\boldsymbol{0,000968}$

Solución

$\boldsymbol{0,000968 = 968\times 10^{-6}}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Propiedades de potencias”

En el siguiente artículo hay más estrategias para ampliar los conocimientos acerca de las propiedades de las potencias.

VER

Artículo “Ejercicios de propiedades de la potencia”

El siguiente recurso le brindará apoyo con ejercicios de potencias, con sus resultados y explicaciones.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 4

fracciones

SI TIENES UN ALFAJOR Y DESEAS COMPARTIRLO CON UN AMIGO ¿CÓMO LO REPARTES? LO PARTES A LA MITAD ¿CIERTO? ES NORMAL QUE DIVIDAMOS ALIMENTOS PARA COMPARTIR Y PARA ESTOS CASOS USAMOS UN TIPO ESPECIAL DE NÚMEROS: LAS FRACCIONES. SON MÁS COMUNES DE LO QUE PIENSAS Y HOY APRENDERÁS A REPRESENTARLAS.

¿EN CUÁNTOS PEDAZOS ESTÁ CORTADO ESTE PASTEL? PARA RESPONDER ESTA PREGUNTA SOLO TENEMOS QUE CONTAR DE 1 EN 1: 1, 2, 3, …¡ESTÁ CORTADA EN 10 PEDAZOS! ESOS SON NÚMEROS NATURALES. PERO SI COMEMOS UNA DE ESAS PARTES ¿CÓMO REPRESENTARÍAS ESA CANTIDAD? EN ESTE CASO TENEMOS QUE USAR FRACCIONES: NÚMEROS QUE NOS AYUDAN A EXPRESAR PARTES DE UN TODO.

LA FRACCIÓN Y SUS ELEMENTOS

UNA FRACCIÓN ES UN NÚMERO QUE REPRESENTA LA PARTE O LAS PARTES QUE SE HAN TOMADO DE UN TODO CUANDO EL TODO ESTÁ DIVIDIDO EN PARTES IGUALES.

– EJEMPLO 1:

¿EN CUÁNTAS PARTES ESTÁ DIVIDIDA ESTA FIGURA?, ¿CUÁNTAS PARTES ESTÁN PINTADAS?

ESTE CUADRADO ESTÁ DIVIDIDO EN 4 PARTES IGUALES. UNA SOLA PARTE ESTÁ PINTADA.

¿QUÉ NÚMERO USARÍAS PARA REPRESENTAR QUE UNA PARTE SE HA TOMADO DE 4 PARTES IGUALES? PARA ESO ESTÁN LAS FRACCIONES, LAS CUALES SIEMPRE TIENEN DOS ELEMENTOS: UN NUMERADOR Y UN DENOMINADOR.

EL NUMERADOR ES IGUAL A LA CANTIDAD DE PARTES QUE SE TOMARON DEL TODO.
EL DENOMINADOR ES IGUAL A LA CANTIDAD DE PARTES EN LAS QUE SE HA DIVIDO EL ENTERO.

AMBOS ELEMENTOS SE COLOCAN UNO SOBRE OTRO CON UNA RAYA EN EL MEDIO, OBSERVA:

EN ESTE EJEMPLO, EL 1 ES EL NUMERADOR PORQUE REPRESENTA LA CANTIDAD DE PARTES QUE SE TOMARON DEL TODO Y EL 4 ES EL DENOMINADOR PORQUE REPRESENTA LA CANTIDAD DE PARTES EN LA QUE SE DIVIDIÓ AL TODO.

– EJEMPLO 2:

¿EN CUÁNTAS PARTES SE DIVIDIÓ EL CÍRCULO?

EN 5 PARTES. EL DENOMINADOR ES 5.

¿CUÁNTAS PARTES ESTÁN PINTADAS?

2 PARTES ESTÁN PINTADAS. EL NUMERADOR ES 2.

¿QUÉ FRACCIÓN REPRESENTA ESTE GRÁFICO?

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$

– EJEMPLO 3:

¿EN CUÁNTAS PARTES SE DIVIDIÓ EL RECTÁNGULO?

EN 8 PARTES. EL DENOMINADOR ES 8.

¿CUÁNTAS PARTES ESTÁN PINTADAS?

3 PARTES ESTÁN PINTADAS. EL NUMERADOR ES 3.

¿QUÉ FRACCIÓN REPRESENTA ESTE GRÁFICO?

$\boldsymbol{\frac{3}{8}}$

LAS FRACCIONES SON MUY UTILIZADAS EN LA VIDA COTIDIANA. EXISTEN SITUACIONES COMUNES DONDE PODEMOS ENCONTRARLAS, POR EJEMPLO, CUANDO PEDIMOS MEDIO KILOGRAMO DE PAN O CUANDO COMEMOS PIZZA. IMAGINA QUE LA PIZZA ES EL TODO Y ESTÁ PICADA EN 4 PARTES IGUALES; SI NOS COMEMOS UN TROZO ES IGUAL A DECIR QUE NOS COMIMOS 1/4 DE PIZZA.

¿SABÍAS QUÉ?

LAS FRACCIONES TAMBIÉN SE PUEDEN REPRESENTAR CON UNA DIAGONAL, ES DECIR, $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$ ES IGUAL A 1/4.

¿CÓMO GRAFICAR FRACCIONES?

SI QUEREMOS GRAFICAR UNA FRACCIÓN COMO $\boldsymbol{\frac{5}{6}}$ DEBEMOS SEGUIR ESTOS PASOS:

1. DIBUJAMOS UNA FIGURA GEOMÉTRICA. POR EJEMPLO, UN RECTÁNGULO.

2. DIVIDIMOS EL RECTÁNGULO EN TANTAS PARTES COMO INDIQUE EL DENOMINADOR. EN ESTE CASO EL DENOMINADOR ES 6, ASÍ QUE LO DIVIDIMOS EN 6 PARTES IGUALES.

3. PINTAMOS LA CANTIDAD DE PARTES QUE INDIQUE EL NUMERADOR. AQUÍ PINTAMOS 5 PARTES. ¡ESE SERÁ EL GRÁFICO DE LA FRACCIÓN!

¡ES TU TURNO!

GRAFICA ESTAS FRACCIONES. DIBUJA UN CÍRCULO COMO EL TODO.

$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$

SOLUCIÓN

$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$

SOLUCIÓN

$\boldsymbol{\frac{4}{6}}$

SOLUCIÓN

FRACCIONES IGUALES A LA UNIDAD

TODA FRACCIÓN QUE TENGA EL NUMERADOR IGUAL A SU DENOMINADOR SERÁ IGUAL A 1. EJEMPLO:

ESTE GRÁFICO REPRESENTA A LA FRACCIÓN $\boldsymbol{\frac{3}{3}}$ QUE ES IGUAL A 1.

ESTE GRÁFICO REPRESENTA A LA FRACCIÓN $\boldsymbol{\frac{6}{6}}$ QUE ES IGUAL A 1.

¿CÓMO LEER FRACCIONES?

LAS FRACCIONES SE LEEN DIFERENTES A LOS NÚMEROS NATURALES. ES IMPORTANTE QUE SIGAMOS ESTOS PASOS:

LEEMOS EL NUMERADOR COMO CUALQUIER NÚMERO NATURAL.
LEEMOS EL DENOMINADOR DE ACUERDO A LA SIGUIENTE TABLA:

DENOMINADOR	SE LEE
2	MEDIOS
3	TERCIOS
4	CUARTOS
5	QUINTOS
6	SEXTOS
7	SÉPTIMOS
8	OCTAVOS
9	NOVENOS
10	DÉCIMOS

– EJEMPLOS:

$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$ SE LEE “DOS CUARTOS”.

$\boldsymbol{\frac{4}{10}}$ SE LEE “CUATRO DÉCIMOS”.

$\boldsymbol{\frac{5}{7}}$ SE LEE “CINCO SÉPTIMOS”.

$\boldsymbol{\frac{1}{8}}$ SE LEE “UN OCTAVO”.

LAS PARTES DE UN TODO

CADA PARTE DE UN TODO SE PUEDE REPRESENTAR POR MEDIO DE UNA FRACCIÓN. SEGÚN EL DENOMINADOR CADA PORCIÓN TENDRÁ UN NOMBRE DISTINTO. OBSERVA ESTA IMAGEN CON UN TODO DIVIDIDO DE 1 A 10 PARTES IGUALES.

¡A PRACTICAR!

1. ¿QUÉ FRACCIÓN REPRESENTAN ESTOS GRÁFICOS?

SOLUCIÓN

$\frac{3}{4}$

SOLUCIÓN

$\frac{1}{3}$

SOLUCIÓN

$\frac{4}{6}$

SOLUCIÓN

$\frac{2}{8}$

2. ¿CÓMO SE LEEN LAS SIGUIENTES FRACCIONES:

$\frac{2}{10}$

SOLUCIÓN

DOS DÉCIMOS.

$\frac{1}{10}$

SOLUCIÓN

UN DÉCIMO.

$\frac{1}{4}$

SOLUCIÓN

UN CUARTO.

$\frac{4}{5}$

SOLUCIÓN

CUATRO QUINTOS.

$\frac{3}{6}$

SOLUCIÓN

TRES SEXTOS.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Fracciones”

En el siguiente artículo podrás encontrar un abordaje de las fracciones con diferentes estrategias didácticas.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 4

NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales son todos aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal, es decir, una cantidad menor que la unidad y mayor que cero. Estos números los podemos encontrar en todas partes, como en los precios de los productos del supermercado.

CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales están formados por dos partes separadas con una coma de la siguiente manera:

Los números decimales también son llamados números fraccionarios. Estos se utilizan para realizar mediciones con mayor precisión. Por ejemplo, al medir la estatura de una persona. Si decimos que alguien mide 1 m no sabríamos con exactitud la medida, en cambio, si usamos números decimales podemos decir que una persona mide 1,65 m o 165 cm.

Clasificación de números decimales

Números decimales exactos

Tienen un número limitado de cifras decimales. Por ejemplo:

$1,25$

Números decimales periódicos

Tienen una o más cifras decimales que se repiten de forma ilimitada o infinita. Podemos distinguir dos tipos de números decimales periódicos:

Números decimales periódicos puros: son aquellos números en los cuales la parte decimal periódica comienza inmediatamente después de la coma. La parte que se repite indefinidamente en estos números es señalada con una línea horizontal o arco en la parte superior. Por ejemplo:

$0,66666 = 0, \widehat{6}$

Números decimales periódicos mixtos: son los que están formados por dos partes decimales: una cifra que no se repite que está justo después de la coma, denominada ante-período; y la parte periódica. Por ejemplo:

$3,233333 = 3,2\widehat{3}$ Números decimales no periódicos

No tienen cifras decimales con un patrón repetido indefinidamente. Un ejemplo de estos son los números irracionales, como el número pi.

$\pi = 3,14159265...$

¡A practicar!

Ya que conoces cómo están formados los números decimales, ¡consíguelos en este cuadro!

Solución

Número de Euler

Existen números decimales famosos y uno de ellos es el número de Euler, también denominado constante de Napier. Este número decimal fue utilizado por John Napier para introducir el concepto de logaritmo. No obstante, Leonhard Euler fue quien utilizó la letra e para representar dicha constante en el año 1727. El número es utilizado en cálculo, álgebra y números complejos.

$e = 2,7182818284590452353602874713527 ...$

LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES

Podemos realizar la lectura de un número decimal de dos formas. Para ello, tomaremos como ejemplo el número 698,754980213, el cual podemos representarlo así de acuerdo a su valor posicional:

Primera forma de leer el número:

Lee la parte entera de izquierda a derecha seguida de la palabra “enteros”.
Lee toda la parte decimal como se lee la parte entera.
Menciona la posición en la que se encuentra la última cifra decimal.

Entonces, el número 698,754980213 se lee “seiscientos noventa y ocho enteros setecientos cincuenta y cuatro millones novecientos ochenta mil doscientos trece milmillonésimas“.

Segunda forma de leer el número:

Lee la parte entera de izquierda a derecha seguida de la palabra “coma”.
Lee toda la parte decimal como se lee la parte entera.

De este manera, el número 698,754980213 se lee “seiscientos noventa y ocho coma setecientos cincuenta y cuatro millones novecientos ochenta mil doscientos trece”.

¡Es tu turno!

Utiliza el primer método para leer estos números decimales:

456,268435
Solución
456,268435 = cuatrocientos cincuenta y seis enteros doscientos sesenta y ocho mil cuatrocientos treinta y cinco millonésimas.
35.413,9346103
Solución
35.413,9346103 = treinta y cinco mil cuatrocientos trece enteros nueve millones trescientos cuarenta y seis mil ciento tres diezmillonésimas.
58,79516428
Solución
58,79516428 = cincuenta y ocho enteros setenta y nueve millones quinientos dieciséis mil cuatrocientos veintiocho cienmillonésimas.

REDONDEO DE NÚMEROS DECIMALES

Todo número decimal puede ser redondeado. El redondeo se refiere a reducir la cantidad de cifras de un número para tener un valor similar. Las reglas son las siguientes:

Redondeo por defecto: si la última cifra del número que deseamos redondear es 1, 2, 3 o 4, la sustituimos por 0, y no variamos la penúltima cifra. Por ejemplo, el número 18,3.

Redondeo por exceso: si la última cifra es 5, 6, 7, 8 o 9, también sustituimos por 0, pero en este caso aumentamos la penúltima cifra en 1. Por ejemplo, el número 45,8.

El símbolo (≈) significa aproximado.

Todo número decimal puede ser redondeado. El redondeo se refiere a reducir la cantidad de cifras de un número para tener un valor similar. Saber esta práctica puede ser muy útil en nuestro día a día, pues cuando vamos a pagar una cuenta hacemos un redondeo de la cifra de forma mental para saber con qué billete vamos a pagar.

Redondeo por aproximación

Podemos aproximar los números decimales a la unidad más cercana, es decir, acercarlo a un número de la recta numérica que tenga menos decimales que este por medio de las mismas reglas. También los podemos aproximar a las décimas, centésimas, milésimas, etc., más cercanas. Por ejemplo, observa los siguientes números y redondéalos: 18,82653 y 45,73286.

El primer número lo aproximamos mediante la regla de redondeo por defecto, ya que la última cifra está entre 0 y 4. Aquí la cifra se aproximó a la diezmilésima más cercana.

Y para el segundo número seguimos la regla de exceso, ya que la última cifra está entre 5 y 9. Aquí la cifra se aproximó a la a la diezmilésima más cercana.

¡A practicar!

Convierte los siguientes números decimales a enteros por redondeo:

465,568
Solución
466
84,91
Solución
85
14,3
Solución
14
9.214,12
Solución
9.214

Aproxima estos números a las décimas, centésimas o milésimas más cercanas:

326,3462
Solución
326,346
486,945
Solución
486,95
45,87
Solución
45,9

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Números decimales”

Este artículo ayuda a complementar la información sobre los números decimales.

VER

Artículo “Operaciones con decimales”

Con este recurso podrá obtener conocimiento sobre las operaciones con los números decimales y profundizar al respecto.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 1

LECTURA Y CONTEO

LA NECESIDAD DE CONTAR ES CASI TAN ANTIGUA COMO LA EXISTENCIA DE LOS HUMANOS EN LA TIERRA. EL CONTEO Y LOS NÚMEROS SURGIERON POR LA NECESIDAD DEL HOMBRE DE CONTROLAR LA CANTIDAD DE ELEMENTOS QUE ERAN DE SU PROPIEDAD, COMO LOS ALIMENTOS, LOS ANIMALES O LAS TIERRAS.

NO SABEMOS CON EXACTITUD EL ORIGEN DE LOS NÚMEROS, PERO SÍ SABEMOS QUE NO HAN SIDO COMO LOS CONOCEMOS HOY DÍA. CONTAR CUÁNTAS PERSONAS HABÍA EN UNA CUEVA, EXPRESAR A QUÉ DISTANCIA ESTABA EL RÍO O CUÁNTAS FRUTAS SE RECOLECTARON FUERON ALGUNAS DE LAS INQUIETUDES DEL HOMBRE PRIMITIVO Y LA RAZÓN POR LA EMPEZÓ A BUSCAR MÉTODOS PARA EXPRESAR CANTIDADES.

Escritura y lectura de números

NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN ES DECIMAL Y POSICIONAL.

ES DECIMAL PORQUE SOLO TIENE DIEZ CIFRAS. CADA CIFRA SE EXPRESA CON UN SÍMBOLO:

0: CERO

1: UNO

2: DOS

3: TRES

4: CUATRO

5: CINCO

6: SEIS

7: SIETE

8: OCHO

9: NUEVE

ES POSICIONAL PORQUE CADA CIFRA TIENE UN VALOR DIFERENTE SEGÚN SU POSICIÓN.

POR EJEMPLO, EN EL NÚMERO 111 CADA CIFRA TIENE UNA VALOR DISTINTO. OBSERVA:

1 UNIDAD ES IGUAL A 1 UNIDAD.
1 DECENA ES IGUAL A 10 UNIDADES.
1 CENTENA ES IGUAL A 100 UNIDADES.

¿QUÉ ES EL ÁBACO?

EL ÁBACO ES UN INSTRUMENTO DIDÁCTICO ELABORADO EN MADERA QUE SE UTILIZA PARA CONTAR O PARA REALIZAR SUMAS O RESTAS. POR LO GENERAL TIENE DIEZ TIRAS CON ESFERAS DE COLORES QUE SE MUEVEN DE UN LADO A OTRO. VARIAS CULTURAS LO CONSIDERAN UNA HERRAMIENTA DE CÁLCULO UNIVERSAL. ES UN RECURSO MUY DIVERTIDO, ÚTIL Y FÁCIL DE USAR.

¿CÓMO LEER Y ESCRIBIR NÚMEROS DE DOS CIFRAS?

AL TENER EN CUENTA LAS UNIDADES, ES IMPORTANTE COMPRENDER LA COMPOSICIÓN DE LAS DECENAS EXACTAS. ESTAS ESTÁN FORMADAS POR LAS CIFRAS BÁSICAS SEGUIDAS DE UN CERO. SE ESCRIBEN ASÍ:

10: DIEZ

20: VEINTE

30: TREINTA

40: CUARENTA

50: CINCUENTA

60: SESENTA

70: SETENTA

80: OCHENTA

90: NOVENTA

LOS NÚMEROS DEL 0 AL 99

OBSERVA ESTA CUADRÍCULA. LAS UNIDADES ESTÁN CON COLOR ROJO Y LAS DECENAS CON COLOR AZUL.

¿TE ANIMAS A COMPLETARLA?

COMO VES, LAS DECENAS SE MANTIENEN IGUALES Y DE MANERA ORDENADA SE MODIFICA LA UNIDAD.

SI QUEREMOS ESCRIBIR O LEER LOS NÚMEROS DEL 11 AL 19 Y DEL 21 AL 29, ES IMPORTANTE SABER QUE SE NOMBRAN CON UNA SOLA PALABRA. OBSERVA:

11: ONCE

12: DOCE

13: TRECE

14: CATORCE

15: QUINCE

16: DIECISÉIS

17: DIECISIETE

18: DIECIOCHO

19: DIECINUEVE

21: VEINTIUNO

22: VEINTIDÓS

23: VEINTITRÉS

24: VEINTICUATRO

25: VEINTICINCO

26: VEINTISÉIS

27: VEINTISIETE

28: VEINTIOCHO

29: VEINTINUEVE

LOS NÚMEROS DEL 31 EN ADELANTE SE NOMBRAN CON TRES PALABRAS, EXCEPTO LAS DECENAS EXACTAS. PARA LEERLOS SIGUE ESTOS PASOS:

LEE EL NOMBRE DE LA DECENA EXACTA SEGUIDA DE LA PALABRA “Y”.
LEE EL NOMBRE DE LA UNIDAD.

POR EJEMPLO:

¿CÓMO SE LEE EL NÚMERO 34?

30 SE LEE “TREINTA”.

4 SE LEE “CUATRO”.

POR LO TANTO, EL NÚMERO 34 SE LEE “TREINTA Y CUATRO”.

¿CÓMO SE LEE EL NÚMERO 46?

40 SE LEE “CUARENTA”.

6 SE LEE “SEIS”.

POR LO TANTO, EL NÚMERO 46 SE LEE “CUARENTA Y SEIS”.

¡A PRACTICAR!

¿CÓMO SE LEEN ESTOS NÚMEROS?

SOLUCIÓN

50 SE LEE “CINCUENTA”.

5 SE LEE “CINCO”.

EL NÚMERO 55 SE LEE “CINCUENTA Y CINCO”.

SOLUCIÓN

60 SE LEE “SESENTA”.

3 SE LEE “TRES”.

EL NÚMERO 63 SE LEE “SESENTA Y TRES”.

NUESTRO SISTEMA NUMÉRICO ESTÁ CONFORMADO POR SOLO DIEZ CIFRAS: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Y 9. CON ESTAS PODEMOS CREAR INFINIDAD DE NÚMEROS. LOS NÚMEROS CON UNA CIFRA SE DENOMINAN UNIDADES; CUANDO TIENEN DOS CIFRAS, A LA PRIMERA DE IZQUIERDA A DERECHA SE LA LLAMA DECENA; Y CUANDO TIENEN TRES CIFRAS, A LA PRIMERA DE IZQUIERDA A DERECHA SE LA LLAMA CENTENA.

¿CÓMO LEER Y ESCRIBIR NÚMEROS DE TRES CIFRAS?

AQUELLOS NÚMEROS CON TRES CIFRAS ESTÁN FORMADOS POR UNIDADES, DECENAS Y CENTENAS. LAS CENTENAS EXACTAS SE COMPONEN DE LAS UNIDADES BÁSICAS SEGUIDAS DE DOS CERO. SE ESCRIBEN ASÍ:

100: CIEN

200: DOSCIENTOS

300: TRESCIENTOS

400: CUATROCIENTOS

500: QUINIENTOS

600: SEISCIENTOS

700: SETECIENTOS

800: OCHOCIENTOS

900: NOVECIENTOS

PARA ESCRIBIR Y LEER NÚMEROS DE TRES CIFRAS SE SIGUEN LOS SIGUIENTES PASOS:

LEE EL NOMBRE DE LA CENTENA EXACTA.
LEE EL NOMBRE DE LA DECENA EXACTA SEGUIDA DE LA PALABRA “Y”.
LEE EL NOMBRE DE LA UNIDAD.

POR EJEMPLO:

¿CÓMO SE LEE EL NÚMERO 548?

500 SE LEE “QUINIENTOS”.

40 SE LEE “CUARENTA”.

8 SE LEE “OCHO”.

POR LO TANTO, EL NÚMERO 548 SE LEE “QUINIENTOS CUARENTA Y OCHO”.

¿CÓMO SE LEE EL NÚMERO 612?

600 SE LEE “SEISCIENTOS”.

12 SE LEE “DOCE”.

POR LO TANTO, 612 SE LEE “SEISCIENTOS DOCE”.

¡A PRACTICAR!

¿CÓMO SE LEEN ESTOS NÚMEROS?

768

SOLUCIÓN

700 SE LEE “SETECIENTOS”.

60 SE LEE “SESENTA”.

8 SE LEE “OCHO”.

EL NÚMERO 768 SE LEE “SETECIENTOS SESENTA Y OCHO”.

842

SOLUCIÓN

800 SE LEE “OCHOCIENTOS”.

40 SE LEE “CUARENTA”.

2 SE LEE “DOS”.

EL NÚMERO 842 SE LEE “OCHOCIENTOS CUARENTA Y DOS”.

NÚMEROS PARES

LOS NÚMEROS PARES SON AQUELLOS QUE TERMINAN EN 0, 2, 4, 6 Y 8.

¿QUÉ PASA SI TENEMOS NÚMEROS MÁS GRANDES, COMO POR EJEMPLO UN NÚMERO DE DOS O TRES CIFRAS? EN ESE CASO, SOLO DEBEMOS TENER EN CUENTA LA UNIDAD.

EL NÚMERO 58 ES PAR PORQUE TERMINA EN 8.

¿SABIAS QUÉ?

PARA DARTE CUENTA QUÉ NÚMEROS SON PARES TAMBIÉN PUEDES CONTAR DE DOS EN DOS. POR EJEMPLO: 12, 14, 16, 18…

EJEMPLOS:

EL NÚMERO 150 ES PAR PORQUE TERMINA EN 0.

EL NÚMERO 476 ES PAR PORQUE TERMINA EN 6.

NÚMEROS IMPARES

LOS NÚMEROS IMPARES SON AQUELLOS QUE TERMINAN EN 1, 3, 5, 7 Y 9.

PARA DARNOS CUENTA DE ESTO, SI TENEMOS UN NÚMERO DE DOS CIFRAS, SOLO DEBEMOS CONSIDERAR LA UNIDAD.

EL NÚMERO 65 ES IMPAR PORQUE TERMINA EN 5.

EJEMPLOS:

EL NÚMERO 261 ES UN NÚMERO IMPAR PORQUE TERMINA EN 1.

EL NÚMERO 969 ES UN NÚMERO IMPAR PORQUE TERMINA EN 9.

LOS NÚMEROS PARES E IMPARES

SI VOLVEMOS A LA CUADRÍCULA, LOS NÚMEROS PARES Y LOS NÚMEROS IMPARES COMPARTEN LA MISMA COLUMNA.

COMO PODRÁS VER, EN LAS COLUMNAS CELESTES ESTÁN LOS NÚMEROS PARES QUE TERMINAN EN 0, 2, 4, 6 Y 8 Y EN LAS COLUMNAS AMARILLAS ESTÁN LOS NÚMEROS IMPARES QUE TERMINAN EN 1, 3, 5, 7 Y 9.

EJERCICIOS

1. PIENSA Y RESPONDE.

¿CUÁLES SON LOS NÚMEROS PARES MAYORES QUE 15 Y MENORES QUE 20?

SOLUCIÓN

16 Y 18.

¿CUÁLES SON LOS NÚMEROS IMPARES MENORES QUE 100 PERO MAYORES QUE 90?

SOLUCIÓN

91, 93, 95, 97 Y 99.

¿CUÁLES SON LOS NÚMEROS PARES MAYORES QUE 580 Y MENORES QUE 585?

SOLUCIÓN

582 Y 584.

¿CUÁLES SON LOS NÚMEROS IMPARES MAYORES QUE 440 Y MENORES QUE 445?

SOLUCIÓN

441 Y 443.

2. ESCRIBE LOS SIGUIENTES NÚMEROS EN LETRA.

SOLUCIÓN

DIECISIETE.

SOLUCIÓN

DIECINUEVE.

SOLUCIÓN

VEINTICUATRO.

SOLUCIÓN

CUARENTA Y UNO.

SOLUCIÓN

CINCUENTA Y SIETE.

SOLUCIÓN

DOSCIENTOS SESENTA Y NUEVE.

SOLUCIÓN

SETECIENTOS SETENTA Y SIETE.

SOLUCIÓN

SETECIENTOS OCHENTA Y DOS.

SOLUCIÓN

NOVECIENTOS NOVENTA Y OCHO.

3. ¿ES UN NÚMERO PAR O IMPAR? COMPLETA.

21 ES UN NÚMERO ____.

SOLUCIÓN

IMPAR

45 ES UN NÚMERO ____.

SOLUCIÓN

IMPAR

56 ES UN NÚMERO ____.

SOLUCIÓN

PAR

484 ES UN NÚMERO ____.

SOLUCIÓN

PAR

499 ES UN NÚMERO ____.

SOLUCIÓN

IMPAR

687 ES UN NÚMERO ____.

SOLUCIÓN

IMPAR

225 ES UN NÚMERO ____.

SOLUCIÓN

IMPAR

738 ES UN NÚMERO ____.

SOLUCIÓN

PAR

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Situaciones problemáticas”

Este artículo ayudará a afianzar el conteo de números y ejercitar con situaciones problemáticas, números ya abordados.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 1

¿Qué son las fracciones?

Las fracciones, a diferencia de los números enteros, permiten expresar proporciones de algo. Son útiles en la vida cotidiana y se usan con más frecuencia de lo que piensas. Frases como “un cuarto de kilo” o “un tercio de taza” son algunos ejemplos. En matemática son tan relevantes que forman su propio conjunto de números: los racionales.

Partes de una fracción

Una fracción resulta de dividir un número entero en partes iguales. En matemática es representada por dos números enteros ,denominados términos, que están separados por una línea horizontal, denominada raya de división o raya fraccionaria.

Los números que componen a una fracción se denominan numerador y denominador. El primero está ubicado en la parte superior de la raya de división y el segundo está en la parte inferior de esta. El numerador indica el número de partes que se han tomado de un entero, mientras que el denominador representa el número de partes en que se ha dividido el entero.

Podemos expresar las fracciones con una línea divisoria horizontal o diagonal. En este sentido, a la fracción $\frac{1}{2}$ también la podríamos expresar como 1/2.

Para entender el significado de la fracción anterior imaginemos que una pizza representa el “todo”, es decir, sería el entero que queremos dividir, el denominador de una fracción representa el número de partes que se ha dividido el entero, lo que nos permite concluir que la pizza se ha dividido en dos parte. Por otro lado, el numerador representa el número de partes que se ha tomado, en este ejemplo es 1, lo que quiere decir que 1/2 de pizza sería una de las dos porciones de la pizza.

La expresión 1/2 de pizza sería lo mismo que dividir la pizza en dos partes iguales y tomar una de esas partes. En la cocina se emplean fracciones para hablar de unidades de medición como tazas de ingrediente, por ejemplo: 1/2 de taza de harina, 1/3 de taza de agua, etc. Recuerda que el denominador indica cuántas veces se ha dividido algo en partes iguales (una taza, un litro, una naranja…).

¿Sabías qué?

El denominador de una fracción nunca es igual a cero (0).

VER INFOGRAFÍA

Lectura de fracciones

Como ya sabemos, el denominador indica en cuántas partes se dividió un número entero. Cada una de esas partes recibe un nombre, por ejemplo, si dividimos en dos son medios, si dividimos en tres son tercios, si dividimos en cuatro son cuartos y así hasta el número once, a partir de ese número añadimos el sufijo –avos al número: onceavos, doceavos, treceavos y así sucesivamente.

Esta tabla muestra el nombre de cada una de las partes en las que se puede dividir un entero hasta el cien:

Partes que se divide del entero	Nombre
2	Medios
3	Tercios
4	Cuartos
5	Quintos
6	Sextos
7	Séptimos
8	Octavos
9	Novenos
10	Décimos
11	Onceavos
12	Doceavos
13	Treceavos
14	Catorceavos
15	Quinceavos
16	Dieciseisavos
17	Diecisieteavos
18	Dieciochoavos
19	Diecinueveavos
20	Veinteavos
30	Treintavos
40	Cuarentavos
50	Cincuentavos
60	Sesentavos
70	Setentavos
80	Ochentavos
90	Noventavos
100	Centavo

Para leer una fracción primero indicamos el número del numerador y luego las partes en las que está dividido el entero de acuerdo a la tabla anterior. Por ejemplo, $\frac{}{}$ $\frac{1}{2}$ se lee como “un medio”. Observemos otros ejemplos:

a) $\frac{2}{3}$ se lee “dos tercios”.

b) $\frac{6}{8}$ se lee “seis octavos”.

c) $\frac{15}{30}$ se lee “quince treintavos”.

d) $\frac{12}{23}$ se lee “doce veintitresavos”.

e) $\frac{32}{40}$ se lee “treinta y dos cuarentavos”.

f) $\frac{97}{100}$ se lee “noventa y siete centavos”.

¿Sabías qué?

Los centavos también son llamados céntimos.

Origen muy antiguo

Las antiguas civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la griega usaban las fracciones en sus cálculos. Cada una tenía una manera particular de expresarlas y no fue sino hasta el siglo XIII cuando el matemático italiano Leonardo Fibonacci difundió el uso de la línea horizontal, símbolo que se emplea en la actualidad para separar el numerador y denominador en una fracción.

Relación de las fracciones y la división

Las fracciones representan porciones de un todo, es por ello que de alguna manera están estrechamente relacionadas con la división. De hecho, toda fracción es una división sin resolver, es decir; $\frac{a}{b}$ es equivalente a $a\div b$ . Por lo tanto, $\frac{1}{2}$ es igual a $1\div 2$ .

En algunas ocasiones podemos expresar operaciones en forma de fracción, pero también podemos hacerlo como división y resolver la misma.

¿Sabías qué?

Existen fracciones que están formadas por una parte entera y una fraccionaria, a ellas se las conoce como fracciones mixtas.

Aplicación en la vida cotidiana de las fracciones

El ser humano siempre ha tenido la necesidad de contar, medir y repartir; razón por la que inventó los números. Las fracciones no están lejos de esta realidad y son usadas para entender porciones de cosas.

Están presentes en recetas de cocinas, en mediciones de telas y de volúmenes de productos (como en las gaseosas de medio litro o 1/2 L). Hay autos donde los indicadores del nivel de gasolina son expresados en fracciones para saber si el tanque está lleno, tiene la mitad o un cuarto de su capacidada.

Incluso, están presentes en algunas monedas como el dólar, donde existe una denominación llamada “centavo de dólar”, es decir, si el valor de un dólar lo pudiéramos dividir en 100 partes iguales, una de esas partes sería el centavo.

En resumen, las fracciones permiten expresar cantidades cotidianas de manera más sencilla.

Además de sus múltiples aplicaciones en los cálculos matemáticos, las fracciones se emplean en situaciones cotidianas de la vida como lo son las mediciones. También se usan en gráficos que permiten comprender datos de manera más simple. Muchos países del mundo las emplean en sus monedas y ciertos dispositivos usan escalas expresadas en fracciones.

¡A practicar!

1. ¿Cómo se leen las siguientes fracciones?

a) $\frac{5}{3}$

Solución

Cinco tercios.

b) $\frac{1}{100}$

Solución

Un centavo.

c) $\frac{23}{40}$

Solución

Veintitrés cuarentavos.

d) $\frac{3}{2}$

Solución

Tres medios.

e) $\frac{2}{5}$

Solución

Dos quintos.

f) $\frac{12}{11}$

Solución

Doce onceavos.

g) $\frac{7}{10}$

Solución

Siete décimos.

h) $\frac{11}{6}$

Solución

Once sextos.

i) $\frac{13}{4}$

Solución

Trece cuartos.

j) $\frac{58}{7}$

Solución

Cincuenta y ocho séptimos.

2. ¿Cómo se escriben en número estas fracciones?

a) Nueve décimos.

Solución

$\frac{9}{10}$

b) Catorce novenos.

Solución

$\frac{14}{9}$

c) Setenta y tres centavos.

Solución

$\frac{73}{100}$

d) Ochenta y ocho novenos.

Solución

$\frac{88}{9}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Fracciones decimales”

Este video ayuda a entender la relación entre las fracciones y los números decimales así como la manera en transformar una fracción en decimal.

VER

Artículo “La clasificación de los números”

El presente artículo permite indagar más sobre los diferentes tipos de números y sus características principales.

VER

Enciclopedia “Matemáticas Primaria”

En el presente tomo de la Enciclopedia Matemáticas Primaria tendrás acceso a información más detallada sobre las fracciones, así como la posibilidad de obtener diferentes recursos educativos sobre este tema.

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