Fracciones | ¿qué aprendimos?

noción de fracción

Las fracciones son una forma de representar las partes de un todo. Tienen dos elementos: un numerador y un denominador, ambos separados por una raya fraccionaria. El denominador indica en cuántas partes dividimos el todo y el numerador es igual a las partes que se toman del mismo. Las fracciones las podemos clasificar, de acuerdo a la relación entre el numerador y el denominador, en propias, impropias o aparentes.

Cada vez que cortamos frutas y nos comemos una parte de ellas podemos utilizar una fracción, por ejemplo, “me comí media naranja”.

adición y sustracción de fracciones

Para sumar o restar fracciones homogéneas (aquellas con igual denominador) lo único que debemos hacer es sumar o restar los numeradores y mantener el denominador. En cambio, las fracciones heterogéneas (aquellas con denominadores diferentes) se suman o restan por distintos métodos. Uno consiste en calcular el mcm, otro en hallar una fracción equivalente y otro en multiplicar de forma cruzada.

Las fracciones, como parte de un todo, pueden ordenarse de mayor a menor, compararse, sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse.

Multiplicación y división de fracciones

Las multiplicaciones de fracciones son relativamente sencillas. Solo tenemos que multiplicar todos los numeradores de forma lineal y luego multiplicar de la misma manera todos los denominadores, y si es posible simplificamos. La división, en cambio, puede ser resuelta por dos métodos. El primero se trata de invertir la segunda fracción y multiplicarla por la primera, y el segundo es el de la doble c.

Las multiplicaciones y las divisiones son muy utilizadas en los problemas de reparto y porcentaje.

Fracciones y otros números

Muchas situaciones de nuestra vida cotidiana involucran no solo a los números naturales ( $\mathbb{N}$ ), sino también a los enteros ( $\mathbb{Z}$ ), los racionales ( $\mathbb{Q}$ ) y los decimales. Todos ellos, con excepción de algunos decimales, pueden ser representados como una fracción, por ejemplo, el número 25 puede ser representado como 25/1 y el número decimal 0,25 puede representarse como 2/8.

Cuando vamos a comprar podemos pedir medio kilo de pan. Eso lo podemos expresar como fracción 1/2 kg o como número decimal 0,5 kg.

Fracciones y porcentajes

Otra forma de representar fracciones son los porcentajes. Estos son iguales a una fracción con denominador igual a 100. Por ejemplo, 20 % es igual a 20/100. Asimismo, estas expresiones se pueden mostrar como un número decimal, por lo tanto, 20/100 = 0,2. Los porcentajes son muy usados en economía, estadística y tecnología, pues ayudan a simplificar relaciones de una parte de un todo de manera clara.

Los porcentajes suelen estar presentes en los comercios para promocionar un descuento.

adición y sustracción de fracciones

Las fracciones son divisiones no resueltas que representan las partes de un todo. Pertenecen a los números racionales y, como cualquier otro tipo de número, pueden ser sumadas o restadas. Las características de cada fracción hacen que las operaciones tengan reglas distintas. A continuación, aprenderás los métodos posibles para realizar estos cálculos.

Una fracción simboliza una división entre un número y otro, y a su vez indica las partes tomadas de un todo. Una fracción tiene dos partes: un numerador y un denominador separados por una línea horizontal. El denominador señala en cuántas partes se divide la unidad, y el numerador señala cuántas de esas partes se han tomado.

VER INFOGRAFÍA

adición y sustracción de fracciones homogéneas

Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador se las llama homogéneas. Para sumar y restar este tipo de fracciones solo se suman o restan lo numeradores y se mantiene el mismo denominador.

Adición

$\frac{{\color{Red} 12}}{{\color{Blue} 7}}+\frac{{\color{Red} 4}}{{\color{Blue} 7}} = \frac{{\color{Red} 12+4}}{{\color{Blue} 7}}=\boldsymbol{\frac{16}{7}}$

– Otros ejemplos:

$\frac{{\color{Red} 31}}{{\color{Blue} 17}}+\frac{{\color{Red} 41}}{{\color{Blue} 17}}=\frac{{\color{Red} 31+41}}{{\color{Blue} 17}}=\boldsymbol{\frac{72}{17}}$

$\frac{{\color{Red} 15}}{{\color{Blue} 11}}+\frac{{\color{Red} 10}}{{\color{Blue} 11}}+\frac{{\color{Red} 21}}{{\color{Blue} 11}}= \frac{{\color{Red} 15+10+21}}{{\color{Blue} 11}}=\boldsymbol{\frac{46}{11}}$

Sustracción

$\frac{{\color{Red} 23}}{{\color{Blue} 7}}-\frac{{\color{Red} 14}}{{\color{Blue} 7}}=\frac{{\color{Red} 23-14}}{{\color{Blue} 7}}=\boldsymbol{\frac{9}{7}}$

– Otros ejemplos:

$\frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Blue} 5}}-\frac{{\color{Red} 1}}{{\color{Blue} 5}}=\frac{{\color{Red} 3-1}}{{\color{Blue} 5}}=\boldsymbol{\frac{2}{5}}$

$\frac{{\color{Red} 24}}{{\color{Blue} 13}}-\frac{{\color{Red} 8}}{{\color{Blue} 13}}-\frac{{\color{Red} 10}}{{\color{Blue} 13}}=\frac{{\color{Red} 24-8-10}}{{\color{Blue} 13}}=\boldsymbol{\frac{6}{13}}$

fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son aquellas que, a pesar de tener distintos numeradores y denominadores, representan la misma cantidad. Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar sus términos en forma de cruz el resultado es el mismo.

– Ejemplo:

$\frac{3}{6}$ y $\frac{6}{12}$ son fracciones equivalentes porque:

$3\times 12=\boldsymbol{36}$

$6\times 6=\boldsymbol{36}$

Podemos escribir las fracciones equivalentes de la siguiente manera:

$\frac{3}{6}=\frac{6}{12}$ porque $3\times 12 = 6\times 6$

– Otro ejemplo:

$\frac{8}{3}$ y $\frac{2}{4}$ no son fracciones equivalentes porque:

$8\times 4=\boldsymbol{32}$

$3\times 2=\boldsymbol{6}$

Podemos escribir las fracciones no equivalentes de la siguiente manera:

$\frac{8}{3}\neq \frac{2}{4}$ porque $8\times 4\neq 3\times 2$

¡Practiquemos!

Laura, Tomás y Daniela tienen cada uno un chocolate. Laura comió 1/2, Tomás comió 3/6 y Daniela comió 6/12. ¿Quién comió más chocolate?

Si representamos en gráficos cada fracción tenemos que:

$\boldsymbol{\frac{1}{2}=}$

$\boldsymbol{\frac{3}{6}=}$

$\boldsymbol{\frac{6}{12}=}$

Laura partió el chocolate en 2 pedazos y comió uno de esos; Tomás lo cortó en 6 pedazos y comió 3; y Daniela lo cortó en 12 pedazos y comió 6.

Sin importar la cantidad de trozos en las que se dividió el chocolate, cada uno comió lo mismo: la mitad.

Además de comprobarlo con los gráficos y por el método cruzado, podemos corroborar que una fracción es equivalente a otra si resolvemos la división. De este modo, tenemos que:

$\frac{1}{2}=\boldsymbol{0,5}$

$\frac{3}{6}=\boldsymbol{0,5}$

$\frac{6}{12}=\boldsymbol{0,5}$

Como todas las fracciones representan la misma cantidad, se pueden escribir de la siguiente forma:

$\frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{6}{12}$

¿Cómo podemos obtener fracciones equivalentes?

Por medio de dos métodos: amplificación y simplificación.

Amplificación

Consiste en multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero.

– Ejemplo:

Ambas fracciones, 2/5 y 6/15 son equivalentes. Observa que tanto el numerador como el denominador se multiplicaron por 3.

– Otro ejemplo:

Simplificación

Consiste en dividir al numerador y al denominador por un mismo número distinto de cero. Este número debe ser un divisor común entre el numerador y el denominador.

– Ejemplo:

Como el número 2 es un divisor común entre el numerador y denominador, podemos hacer una simplificación de la fracción.

– Otro ejemplos:

¿Sabías qué?

Cuando una fracción no puede simplificarse más se la llama fracción irreducible.

Juan y Carlos compraron una pizza cada uno. Si Juan comió 2/3 de pizza y Carlos 3/4 de pizza, ¿quién comió más? Hallar la fracción equivalente con igual denominador de estas fracciones puede ayudarnos a comparar las cantidades y responder la pregunta. 2/3 = 8/12 y 3/4 = 9/12, entonces comparamos los numeradores y, como 9 > 8, decimos que Carlos comió más que Juan.

adición y sustracción de fracciones heterogéneas

Las fracciones heterogéneas son las que tienen distinto denominador. Para sumar o restar fracciones heterogéneas podemos emplear tres métodos distintos.

Método 1: con fracciones equivalentes

En este método hallamos la fracción equivalente de las fracciones para que todas tengan el mismo denominador, es decir, para que sean homogéneas. Luego las sumamos como se explicó al inicio: sumamos los numeradores y mantenemos el mismo denominador.

– Ejemplo:

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

1. Hallamos la fracción equivalente a 1/2 con denominador igual a 4.

Ya sabemos que el producto cruzado de los términos debe ser el mismo. Así que multiplicamos el primer numerador por el segundo denominador, el cual necesitamos que sea 4.

$\frac{{\color{Red} 1}}{2}=\frac{a}{{\color{Red} 4}}\; \; \; \; \;\; \; 1\times 4=\boldsymbol{4}$

Luego planteamos la segunda multiplicación como una ecuación. Esta corresponde a la del primer denominador con el primer numerador.

$\frac{1}{{\color{Blue} 2}}=\frac{{\color{Blue} a}}{4}\; \; \; \; \;\; \; 2\times a=\boldsymbol{4}$

Despejamos la incógnita a y obtenemos el numerador de la fracción equivalente.

$2\times a=4\: \Rightarrow a=4\div 2=\boldsymbol{2}$

Por lo tanto,

$\frac{1}{2}=\frac{\boldsymbol{2}}{4}$

2. Reescribimos la suma con la nueva fracción equivalente. En lugar de la fracción 1/2 escribimos su fracción equivalente 2/4.

$\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$

3. Resolvemos la suma de fracciones homogéneas.

$\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{2+3}{4}=\boldsymbol{\frac{5}{4}}$

El procedimiento es igual con la sustracción, solo cambiamos el signo más (+) por el signo menos (−).

Método 2: con mínimo común múltiplo

Consiste en hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones, el cual será el nuevo denominador. El cociente entre este valor y los denominadores se multiplica con los numeradores.

– Ejemplo:

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

1. Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ese será el denominador de la fracción resultante.

mcm (2, 4) = 2 × 2 = 4

2. Dividimos al mcm con el denominador de la primera fracción (4 ÷ 2 = 2) y multiplicamos ese resultado por su numerador.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4} = \frac{{\color{Red} 2} \times 1\:}{4}+$

3. Realizamos el mismo procedimiento con la segunda fracción. Esta vez dividimos el mcm entre el segundo denominador (4 ÷ 4 = 1) y multiplicamos ese resultado por el segundo numerador. Sumamos este resultado con el obtenido anteriormente.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4} = \frac{{\color{Red} 2}\times 1}{4}+\frac{{\color{Blue} 1}\times 3}{4}$

4. Resolvemos las operaciones y obtenemos el resultado final.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4} = \frac{{\color{Red} 2}\times 1}{4}+\frac{{\color{Blue} 1}\times 3}{4}=\frac{2+3}{4}=\boldsymbol{\frac{5}{4}}$

El procedimiento es igual con la sustracción, solo cambiamos el signo más (+) por el signo menos (−).

Método 3: con productos cruzados

En este método multiplicamos de manera cruzada los numeradores y denominadores de las fracciones. Sumamos los resultados y los colocamos en el numerador resultante. El denominador de la fracción final será igual al producto de la multiplicación de los denominadores.

– Ejemplo:

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

1. Multiplicamos el primer numerador por el segundo denominador.

$\frac{{\color{Red} 1}}{2}+\frac{3}{{\color{Red} 4}}=\frac{{\color{Red} 1\times 4}}{}$

2. Multiplicamos el primer denominador por el segundo numerador. Sumamos esta operación con la primera.

$\frac{{\color{Red} 1}}{{\color{Blue} 2}}+\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 4}}=\frac{{\color{Red} 1\times 4}+{\color{Blue} 2\times 3}}{}$

3. Multiplicamos los denominadores. El resultado lo colocamos en el lugar del denominador.

$\frac{{\color{Red} 1}}{{\color{Blue} 2}}+\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 4}}=\frac{{\color{Red} 1\times 4}+{\color{Blue} 2\times 3}}{{\color{Blue} 2}\times {\color{Red} 4}}$

4. Resolvemos las operaciones y obtenemos el resultado final.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{1\times 4+2\times 3}{2\times 4}=\frac{4+6}{8}=\frac{10}{8}=\boldsymbol{\frac{5}{4}}$

Observa que al resolver las operaciones el resultado es 10/8, pero esta fracción se puede simplificar al dividir ambos términos entre 2, el cual es un divisor común.

El procedimiento es igual con la sustracción, solo cambiamos el signo más (+) por el signo menos (−).