CAPÍTULO 3 / TEMA 6 (REVISIÓN)

Fracciones | ¿qué aprendimos?

noción de fracción

Las fracciones son una forma de representar las partes de un todo. Tienen dos elementos: un numerador y un denominador, ambos separados por una raya fraccionaria. El denominador indica en cuántas partes dividimos el todo y el numerador es igual a las partes que se toman del mismo. Las fracciones las podemos clasificar, de acuerdo a la relación entre el numerador y el denominador, en propias, impropias o aparentes.

Cada vez que cortamos frutas y nos comemos una parte de ellas podemos utilizar una fracción, por ejemplo, “me comí media naranja”.

adición y sustracción de fracciones

Para sumar o restar fracciones homogéneas (aquellas con igual denominador) lo único que debemos hacer es sumar o restar los numeradores y mantener el denominador. En cambio, las fracciones heterogéneas (aquellas con denominadores diferentes) se suman o restan por distintos métodos. Uno consiste en calcular el mcm, otro en hallar una fracción equivalente y otro en multiplicar de forma cruzada.

Las fracciones, como parte de un todo, pueden ordenarse de mayor a menor, compararse, sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse.

Multiplicación y división de fracciones

Las multiplicaciones de fracciones son relativamente sencillas. Solo tenemos que multiplicar todos los numeradores de forma lineal y luego multiplicar de la misma manera todos los denominadores, y si es posible simplificamos. La división, en cambio, puede ser resuelta por dos métodos. El primero se trata de invertir la segunda fracción y multiplicarla por la primera, y el segundo es el de la doble c.

Las multiplicaciones y las divisiones son muy utilizadas en los problemas de reparto y porcentaje.

Fracciones y otros números

Muchas situaciones de nuestra vida cotidiana involucran no solo a los números naturales ( $\mathbb{N}$ ), sino también a los enteros ( $\mathbb{Z}$ ), los racionales ( $\mathbb{Q}$ ) y los decimales. Todos ellos, con excepción de algunos decimales, pueden ser representados como una fracción, por ejemplo, el número 25 puede ser representado como 25/1 y el número decimal 0,25 puede representarse como 2/8.

Cuando vamos a comprar podemos pedir medio kilo de pan. Eso lo podemos expresar como fracción 1/2 kg o como número decimal 0,5 kg.

Fracciones y porcentajes

Otra forma de representar fracciones son los porcentajes. Estos son iguales a una fracción con denominador igual a 100. Por ejemplo, 20 % es igual a 20/100. Asimismo, estas expresiones se pueden mostrar como un número decimal, por lo tanto, 20/100 = 0,2. Los porcentajes son muy usados en economía, estadística y tecnología, pues ayudan a simplificar relaciones de una parte de un todo de manera clara.

Los porcentajes suelen estar presentes en los comercios para promocionar un descuento.

CAPÍTULO 3 / TEMA 4

FRACCIONES MIXTAS

Las fracciones mixtas se denominan así porque están formadas por un número entero y por una fracción. Hay diversas situaciones donde se usan, unas de ellas son las recetas de cocina, donde se suelen emplear fracciones mixtas para representar cantidades: por ejemplo, “2 ½ de tazas de azúcar” hacen referencia a dos tazas y media de ese ingrediente.

¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN MIXTA?

Una fracción mixta es una forma de representar a una cantidad, y esta compuesta por una parte entera y una parte fraccionaria. La estructura general de una fracción mixta es la siguiente:

Donde:

A = es la parte entera; es decir, un número entero.

b = es el numerador de la parte fraccionaria.

c = es el denominador de la parte fraccionaria.

Una característica de estas expresiones es que la parte fraccionaria corresponde a una fracción propia, es decir, una fracción en la que su numerador es menor que el denominador.

Lectura de fracciones mixtas

Para leer fracciones de este tipo se lee primero su parte entera y luego su parte fraccionaria.

Veamos algunos ejemplos:

a) $\inline 2\tfrac{1}{3}$

La parte entera de este número es 2 y su parte fraccionaria es 1/3. Por lo tanto, esta fracción se lee como: dos enteros y un tercio.

b) $\inline 4\tfrac{5}{7}$

En este caso la parte entera del número es 4 y su parte fraccionaria es 5/7. Se lee como: cuatro enteros y siete quintos.

¿Sabías qué?

Las fracciones mixtas también son denominadas números mixtos.

Una fracción mixta es una forma de representar a una cantidad, y está compuesta por una parte entera y una parte fraccionaria que esta formada por una fracción propia. Es otra forma representar a las fracciones. La hora siempre puede ser representada por medio de una fracción mixta. Por ejemplo, en esta imagen “una hora y media” se escribiría como 1 1/2 hora.

GRÁFICA DE FRACCIONES MIXTAS

Para graficar fracciones mixtas se siguen los siguientes pasos:

Se representa al entero o la unidad dividida en tantas partes iguales como indique el denominador de la parte fraccionaria.
Se repite este gráfico tantas veces como indique la parte entera. En este caso representaríamos solo la parte entera de la fracción.
Se representa la parte fraccionaria con otro gráfico similar pero en este caso se rellenan solo las partes que indique el numerador de la fracción.

Por ejemplo, si queremos graficar la fracción mixta:

Lo primero es representar a la unidad dividida en tantas partes iguales como indique el denominador de la parte fraccionaria. En este caso como el denominador es 3 se debe dividir al entero o la unidad en 3 partes iguales:

Como la parte entera de esta fracción es 2, quiere decir que esta formada por dos enteros, entonces se debe graficar el entero nuevamente:

Finalmente, se repite el gráfico pero se rellenan únicamente las partes que indique el numerador, como el numerador es 1, señalamos una sola parte que corresponde a un tercio:

La fracción se lee como dos enteros y un tercio.

Historia de las fracciones

Las fracciones surgieron a partir de la necesidad de representar divisiones inexactas y unidades de medida. Por esta razón, no son un invento nuevo. De hecho, antiguas civilizaciones como la egipcia, la babilonia y la griega ya las conocían. Sin embargo, la manera de expresar fracciones con la raya horizontal fue introducida por los árabes y luego fue llevada a Europa por Lenorado Fibonacci en el siglo XIII. Posteriormente, su uso se expandió por el resto del mundo.

Para graficar fracciones mixtas se sigue un procedimiento similar al que utilizamos para graficar fracciones convencionales. En primer lugar, dividimos al entero en tantas partes como indique el denominador de la parte fraccionaria. Luego, rellenamos tantos enteros (completos) como indique la parte entera de la fracción mixta. Por último, se emplea un gráfico similar para la parte fraccionaria y se rellenan tantas parte como indique el numerador de la fracción.

TRANSFORMAR FRACCIONES MIXTAS A FRACCIONES CONVENCIONALES

Para transformar una fracción mixta a una fracción convencional, se debe sumar la parte entera con la parte fraccionaria. El resultado, será una fracción convencional que representa la misma cantidad que la fracción mixta original.

Por ejemplo:

– Convertir la siguiente fracción mixta a fracción convencional.

En este caso se debe sumar 2 + 1/3 pero como la parte entera que es 2 no es una fracción, se debe colocar un número 1 como denominador para poder realizar la suma de fracciones. Se debe seguir el procedimiento de suma de fracciones heterogéneas (con diferente denominador):

De esta manera el resultado es 7/3, es una fracción impropia porque su numerador es mayor que el denominador y es igual a 2 1/3.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?

Para graficar fracciones impropias se deben convertir primero a fracciones mixtas.

Para transformar una fracción mixta a una fracción convencional, se debe realizar una suma de la parte entera y la parte fraccionaria. El resultado será una fracción convencional que representa la misma cantidad que la fracción mixta original. Cuando convertimos una fracción mixta a fracción convencional, siempre obtenemos una fracción impropia, es decir, una fracción en la que el numerador es mayor al denominador, y por lo tanto, una fracción mayor a uno.

¡A practicar!

1. Representa gráficamente los siguientes números mixtos.

a. $1\frac{1}{3}$

b. $3\frac{3}{2}$

c. $2\frac{3}{4}$

RESPUESTAS

2. Transforma las siguientes fracciones mixtas en fracciones convencionales.

a. $1\frac{2}{3}$

b. $3\frac{1}{2}$

c. $1\frac{4}{3}$

d. $2\frac{4}{5}$

e. $3\frac{2}{7}$

RESPUESTAS

a. $\frac{5}{3}$

b. $\frac{7}{2}$

c. $\frac{7}{3}$

d. $\frac{14}{5}$

e. $\frac{23}{7}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Clasificación de fracciones”

En este artículo se explican los diferentes tipos de fracciones, como las fracciones propias, las impropias, las homogéneas, las heterogéneas, las reducibles y las irreducibles.

VER

Enciclopedia “Matemática primaria”

En el tomo 2 de esta enciclopedia se abordan con mayor detalle temas relacionados con fracciones, números mixtos y números decimales.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 1

noción de fracción

En la vida diaria usamos números para decir nuestra edad, dar la hora o para contar. Todos estos números son los que conocemos como números naturales, pero no siempre son útiles. Por ejemplo, si nos comemos medio alfajor, un cuarto de torta, o compramos medio kilo de naranjas, necesitamos emplear otro tipo de números: los fraccionarios.

¿Qué es una fracción?

Una fracción es la forma de representar una parte de un todo. Así, si queremos decir que nos comimos medio alfajor, lo podemos pensar como que a nuestro todo, el alfajor, lo cortamos en dos y de esas dos partes nos comimos una. En forma de fracción lo escribimos como:

En el numerador escribimos la cantidad que nos comimos y en el denominador la cantidad en la que cortamos el alfajor.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?

Los egipcios trabajaban con fracciones para indicar la distribución del pan, para la construcción de las pirámides y para estudiar las medidas de la Tierra. Ellos usaban fracciones llamadas “unitarias” porque todas tenían numerador 1.

Para resolver el problema de repartir 6 panes entre 10 hombres ellos decían que a cada uno le tocaba panes. Esto significaba que cada pan lo dividían en mitades y el último lo hacían en décimos.

¡A practicar!

Escribe las fracciones que están representadas por los gráficos:

Solución

$\boldsymbol{\frac{3}{8}}$

Cantidad de divisiones: 8

Partes sombreadas: 3

Solución

$\boldsymbol{\frac{4}{8}}$

Cantidad de divisiones: 8

Partes sombreadas: 4

Solución

$\boldsymbol{\frac{5}{8}}$

Cantidad de divisiones: 8

Partes sombreadas: 5

Una fracción nos indica dos cosas: las partes en las que se ha dividido un todo y las partes que se han tomado de ese todo. Al primero lo llamamos denominador y al segundo lo llamamos numerador. Por ejemplo, en la imagen vemos un círculo que está dividido en 6 partes iguales, pero solo una, la parte azul, fue tomada. Esa pieza azul representa 1/6 del total.

Tipos de fracciones

Las fracciones se pueden clasificar en:

Propias: son las que tienen numerador menor al denominador. Esto quiere decir que representan un número menor a 1 entero. Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}=$

Impropias: son las que tienen el numerador mayor al denominador y representan números mayores a 1 entero. Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{9}{4}}=$

Aparentes: son aquellas en las que el numerador es múltiplo del denominador, por lo cual, al dividirlos resulta un número entero. Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{10}{5}}=$

También podemos clasificarlas en:

Puras: son las que se representan únicamente con una fracción.

Ejemplo: $\frac{2}{5}$ o $\frac{3}{8}$

Mixtas: son las que se representan con una parte entera y una parte fraccionaria. Para esto, es necesario que la fracción sea más grande que 1 entero.

Ejemplo: $2\frac{3}{8}$ o $4\frac{1}{7}$

¡A practicar!

Clasifica las siguientes fracciones en propias, impropias o aparentes

Solución

Propias

Impropias

Aparentes

¿Cómo convertimos una fracción impropia pura a una fracción impropia mixta y viceversa?

De impropia pura a mixta

Dividimos el numerador con el denominador y, según los valores obtenidos, los representamos de la siguiente manera:

De impropia mixta a pura

Multiplicamos el denominador por el entero y le sumamos el numerador. Este valor nos da el numerador de la fracción pura, mientras que el denominador de ambas es el mismo.

Una fracción mixta nos da una información más visible que una fracción impropia. Por ejemplo, si nosotros tenemos 7 galletitas para compartir entre tres amigos, sabemos que 7 dividido 3 nos da 2, o sea, 2 galletitas para cada uno. Pero la que nos sobra la partimos en tres partes y nos toca 1 parte a cada uno. Es decir, cada uno comerá 2 1/3 de galletitas.

Fracción irreducible

Una fracción es irreducible cuando su numerador y su denominador solo tienen como divisor común al 1.

Recordemos el mcd

Para calcularlo descomponemos los números en sus factores primos.

– Ejemplo: halla el mcd entre 15 y 18.

Ahora solo debemos elegir los factores que se repiten en ambos y la menor cantidad de veces que aparece. En este caso, el que se repite es el 3 y aparece una sola vez en el 15.

Entonces:

$mcd(15, 18) = \boldsymbol{3}$

Veamos algunas fracciones para ver si son irreducibles:

– Ejemplo 1:

$\frac{15}{4}$

Como ya vimos, podemos escribir los números como descomposición de sus factores primos y calcular su mcd:

$15 = 5\: \times 3$

$4 = 2^{2}$

Entonces, los números 15 y 4 no tienen factores en común por lo tanto la fracción es irreducible.

– Ejemplo 2:

$\frac{6}{8}$

Descomponemos cada número en sus factores primos y calculamos el mcd.

$6 = 2\: \times 3$

$8 = 2^{3}$

Los números 6 y 8 tienen un factor en común, el número 2, por lo tanto la fracción no es irreducible. Para convertirla en una fracción irreducible lo único que tenemos que hacer es dividir al numerador y denominador por el factor que tienen en común.

Y ahora la fracción que se obtuvo es irreducible.

¡A practicar!

Señala cuáles de las siguientes fracciones son irreducibles

Solución

simplificación de fracciones

Simplificar una fracción significa “achicarla” tanto como podamos, o sea, hacerla irreducible. Como lo vimos antes, para convertir una fracción en irreducible hay que dividir el numerador y el denominador por un número que sea divisor de ambos (mcd).

Este valor lo podemos buscar por medio de los factores primos, o si nos damos cuenta, podemos calcular por cuáles números se pueden dividir ambos. Podemos dividir tantas veces como consideremos necesarias hasta lograr la fracción irreducible.

También usamos las fracciones para decir la hora. Por ejemplo, si dividimos el reloj a la mitad como en la foto, podemos decir que son las nueve y media. Pero también lo podemos dividir en cuatro partes. Entonces, cuando la aguja de los minutos esté en el 3 diremos que son las nueve y cuarto, y cuando esté en el 9 diremos que falta un cuarto de hora para la diez.

Hagamos algunos ejemplos:

– Ejemplo 1:

$\frac{25}{35} = \frac{5}{7}$

Ambas fracciones fueron divididas por 5.

– Ejemplo 2:

$\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$

Ambas fracciones fueron divididas por 2.

– Ejemplo 3:

$\frac{45}{105}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}$

Ambas fracciones fueron divididas primero por 5 y después por 3.

¡A practicar!

1. Simplifica las siguientes fracciones hasta su fracción irreducible.

$\boldsymbol{\frac{24}{36}}$

Solución

$\frac{2}{3}$

$\boldsymbol{\frac{40}{24}}$

Solución

$\frac{5}{3}$

$\boldsymbol{\frac{18}{63}}$

Solución

$\frac{2}{7}$

2. Clasifica las siguientes fracciones, en caso de que sea impropia escríbela como fracción mixta. Luego, indica si la fracción es irreducible. Si no lo es, simplifica.