CAPÍTULO 3 / TEMA 6 (REVISIÓN)

Fracciones | ¿qué aprendimos?

noción de fracción

Las fracciones son una forma de representar las partes de un todo. Tienen dos elementos: un numerador y un denominador, ambos separados por una raya fraccionaria. El denominador indica en cuántas partes dividimos el todo y el numerador es igual a las partes que se toman del mismo. Las fracciones las podemos clasificar, de acuerdo a la relación entre el numerador y el denominador, en propias, impropias o aparentes.

Cada vez que cortamos frutas y nos comemos una parte de ellas podemos utilizar una fracción, por ejemplo, “me comí media naranja”.

adición y sustracción de fracciones

Para sumar o restar fracciones homogéneas (aquellas con igual denominador) lo único que debemos hacer es sumar o restar los numeradores y mantener el denominador. En cambio, las fracciones heterogéneas (aquellas con denominadores diferentes) se suman o restan por distintos métodos. Uno consiste en calcular el mcm, otro en hallar una fracción equivalente y otro en multiplicar de forma cruzada.

Las fracciones, como parte de un todo, pueden ordenarse de mayor a menor, compararse, sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse.

Multiplicación y división de fracciones

Las multiplicaciones de fracciones son relativamente sencillas. Solo tenemos que multiplicar todos los numeradores de forma lineal y luego multiplicar de la misma manera todos los denominadores, y si es posible simplificamos. La división, en cambio, puede ser resuelta por dos métodos. El primero se trata de invertir la segunda fracción y multiplicarla por la primera, y el segundo es el de la doble c.

Las multiplicaciones y las divisiones son muy utilizadas en los problemas de reparto y porcentaje.

Fracciones y otros números

Muchas situaciones de nuestra vida cotidiana involucran no solo a los números naturales ( $\mathbb{N}$ ), sino también a los enteros ( $\mathbb{Z}$ ), los racionales ( $\mathbb{Q}$ ) y los decimales. Todos ellos, con excepción de algunos decimales, pueden ser representados como una fracción, por ejemplo, el número 25 puede ser representado como 25/1 y el número decimal 0,25 puede representarse como 2/8.

Cuando vamos a comprar podemos pedir medio kilo de pan. Eso lo podemos expresar como fracción 1/2 kg o como número decimal 0,5 kg.

Fracciones y porcentajes

Otra forma de representar fracciones son los porcentajes. Estos son iguales a una fracción con denominador igual a 100. Por ejemplo, 20 % es igual a 20/100. Asimismo, estas expresiones se pueden mostrar como un número decimal, por lo tanto, 20/100 = 0,2. Los porcentajes son muy usados en economía, estadística y tecnología, pues ayudan a simplificar relaciones de una parte de un todo de manera clara.

Los porcentajes suelen estar presentes en los comercios para promocionar un descuento.

CAPÍTULO 5 / TEMA 3

TIPOS DE FRACCIONES

Aunque todas las fracciones se caracterizan por tener dos números divididos con una raya fraccionaria, no todas son iguales. Hay clasificaciones de fracciones que dependen de la relación que existe entre sus denominadores, entre ellas están las fracciones homogéneas y las fracciones heterogéneas. Otras clasificaciones dependen de la relación que existe entre los numeradores y denominadores, y pueden ser fracciones propias e impropias.

Las fracciones representan la parte de un todo que ha sido dividida en partes iguales. Todas ellas tienen un denominador, que indica el número de partes iguales en las que está dividido un todo; y un numerador, que indica qué partes de ese todo hemos considerado. En este ejemplo, 2 es el numerador y 8 es el denominador.

VER INFOGRAFÍA

fracciones homogéneas

Dos o más fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador. En estas fracciones el entero está dividido en la misma cantidad de partes.

$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{4}}$ son fracciones homogéneas porque tienen el mismo denominador: 4.

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{8}{10}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{10}}$

$\boldsymbol{\frac{12}{9}}$ ; $\boldsymbol{\frac{7}{9}}$ y $\boldsymbol{\frac{20}{9}}$

$\boldsymbol{\frac{4}{20}}$ ; $\boldsymbol{\frac{9}{20}}$ y $\boldsymbol{\frac{1}{20}}$

fracciones heterogéneas

Dos o más fracciones son heterogéneas si tienen diferentes denominadores, es por esto que el entero estará dividido en distintas partes según la fracción.

$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{6}}$ son fracciones heterogéneas porque sus denominadores son diferentes.

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{10}{12}}$ ; $\boldsymbol{\frac{8}{9}}$ y $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$

$\boldsymbol{\frac{20}{3}}$ ; $\boldsymbol{\frac{8}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{12}}$

$\boldsymbol{\frac{2}{9}}$ y $\boldsymbol{\frac{8}{18}}$

El ying y el yang en las fracciones

Los chinos representaban las fracciones con varillas, estas podían ser de bambú, hueso u otros materiales. A los elementos de una fracción le asignaban un rol femenino y otro masculino. Se referían al numerador como “el hijo” y al denominador como “la madre”. Este uso del ying y el yang los hacía seguir a la perfección las clasificaciones de fracciones y ser expertos conocedores de las operaciones con fracciones.

fracciones propias

Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador. Estas fracciones también reciben el nombre de fracciones puras. Las fracciones de este tipo son menores a un entero y se encuentran entre el 0 y el 1.

Para comprender mejor que estas fracciones siempre se encuentran entre el 0 y el 1 mostramos algunos ejemplos representados en una recta numérica:

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{5}{12}}$

$\boldsymbol{\frac{12}{20}}$

$\boldsymbol{\frac{9}{15}}$

¿Sabías qué?

El símbolo “<” significa “menor que” y el símbolo “>” significa “mayor que”.

Cuando seguimos las instrucciones de una receta de cocina, usualmente fraccionamos los ingredientes, por ejemplo, media taza de leche (½) o tres cuartos de azúcar (¾). También usamos fracciones cuando ordenamos alimentos, como un cuarto de kilo de café (¼), medio kilo de queso (½) o litro y medio de gaseosa (1 ½).

fracciones impropias

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Se las conoce también como fracciones impuras. Estas fracciones siempre son mayores a un entero, es decir mayores a 1.

En una recta numérica las fracciones impropias o impuras siempre se ubican del 1 en adelante porque son mayores a este, para entender mejor, observa los siguientes ejemplos:

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{10}{8}}$

$\boldsymbol{\frac{25}{9}}$

$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$

Hay expresiones que en cada país se dicen de maneras distintas pero que significan lo mismo, como por ejemplo “fresa” y “frutilla”. En el ámbito de la matemática sucede lo mismo, depende del país se utilizarán los términos “fracción propia” o “fracción pura” para el mismo tipo de fracción; y “fracción impropia” o “fracción impura” para el mismo tipo de fracción.

¡A practicar!

Determina si la siguientes fracciones son homogéneas o heterogéneas.

$\boldsymbol{\frac{3}{7}}$ y $\boldsymbol{\frac{5}{9}}$

Solución

Heterogéneas

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{16}{5}}$

Solución

Homogéneas

$\boldsymbol{\frac{62}{6}}$ ; $\boldsymbol{\frac{95}{66}}$ y $\boldsymbol{\frac{17}{36}}$

Solución

Heterogéneas

$\boldsymbol{\frac{33}{13}}$ ; $\boldsymbol{\frac{57}{13}}$ y $\boldsymbol{\frac{25}{13}}$

Solución

Homogéneas

2. Determina si las fracciones a continuación son propias o impropias.

$\boldsymbol{\frac{11}{12}}$

Solución

Propia

$\boldsymbol{\frac{8}{5}}$

Solución

Impropia

$\boldsymbol{\frac{7}{3}}$

Solución

Impropia

$\boldsymbol{\frac{21}{18}}$

Solución

Impropia

3. Observa las fracciones en la recta numérica y responde.

a) ¿Cuál o cuáles son las fracciones que están entre 0 y 1? ¿Qué tipo de fracciones son?

Solución

Las fracciones que están entre 0 y 1 son 1/3 y 2/3. Son fracciones propias.

b) ¿Cuál o cuáles son las fracciones mayores que 1? ¿Qué tipo de fracciones son?

Solución

Las fracciones mayores a 1 son 5/3 y 7/3. Son fracciones impropias.

c) ¿Hay fracciones heterogéneas? ¿Cuáles?

Solución

No hay fracciones heterogéneas.

d) ¿Hay fracciones homogéneas? ¿Cuáles?

Solución

Sí, todas las fracciones de la recta son homogéneas.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Clasificación de fracciones”

Este recurso te permitirá profundizar las características y los criterios para clasificar las fracciones.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 1

noción de fracción

En la vida diaria usamos números para decir nuestra edad, dar la hora o para contar. Todos estos números son los que conocemos como números naturales, pero no siempre son útiles. Por ejemplo, si nos comemos medio alfajor, un cuarto de torta, o compramos medio kilo de naranjas, necesitamos emplear otro tipo de números: los fraccionarios.

¿Qué es una fracción?

Una fracción es la forma de representar una parte de un todo. Así, si queremos decir que nos comimos medio alfajor, lo podemos pensar como que a nuestro todo, el alfajor, lo cortamos en dos y de esas dos partes nos comimos una. En forma de fracción lo escribimos como:

En el numerador escribimos la cantidad que nos comimos y en el denominador la cantidad en la que cortamos el alfajor.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?

Los egipcios trabajaban con fracciones para indicar la distribución del pan, para la construcción de las pirámides y para estudiar las medidas de la Tierra. Ellos usaban fracciones llamadas “unitarias” porque todas tenían numerador 1.

Para resolver el problema de repartir 6 panes entre 10 hombres ellos decían que a cada uno le tocaba panes. Esto significaba que cada pan lo dividían en mitades y el último lo hacían en décimos.

¡A practicar!

Escribe las fracciones que están representadas por los gráficos:

Solución

$\boldsymbol{\frac{3}{8}}$

Cantidad de divisiones: 8

Partes sombreadas: 3

Solución

$\boldsymbol{\frac{4}{8}}$

Cantidad de divisiones: 8

Partes sombreadas: 4

Solución

$\boldsymbol{\frac{5}{8}}$

Cantidad de divisiones: 8

Partes sombreadas: 5

Una fracción nos indica dos cosas: las partes en las que se ha dividido un todo y las partes que se han tomado de ese todo. Al primero lo llamamos denominador y al segundo lo llamamos numerador. Por ejemplo, en la imagen vemos un círculo que está dividido en 6 partes iguales, pero solo una, la parte azul, fue tomada. Esa pieza azul representa 1/6 del total.

Tipos de fracciones

Las fracciones se pueden clasificar en:

Propias: son las que tienen numerador menor al denominador. Esto quiere decir que representan un número menor a 1 entero. Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}=$

Impropias: son las que tienen el numerador mayor al denominador y representan números mayores a 1 entero. Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{9}{4}}=$

Aparentes: son aquellas en las que el numerador es múltiplo del denominador, por lo cual, al dividirlos resulta un número entero. Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{10}{5}}=$

También podemos clasificarlas en:

Puras: son las que se representan únicamente con una fracción.

Ejemplo: $\frac{2}{5}$ o $\frac{3}{8}$

Mixtas: son las que se representan con una parte entera y una parte fraccionaria. Para esto, es necesario que la fracción sea más grande que 1 entero.

Ejemplo: $2\frac{3}{8}$ o $4\frac{1}{7}$

¡A practicar!

Clasifica las siguientes fracciones en propias, impropias o aparentes

Solución

Propias

Impropias

Aparentes

¿Cómo convertimos una fracción impropia pura a una fracción impropia mixta y viceversa?

De impropia pura a mixta

Dividimos el numerador con el denominador y, según los valores obtenidos, los representamos de la siguiente manera:

De impropia mixta a pura

Multiplicamos el denominador por el entero y le sumamos el numerador. Este valor nos da el numerador de la fracción pura, mientras que el denominador de ambas es el mismo.

Una fracción mixta nos da una información más visible que una fracción impropia. Por ejemplo, si nosotros tenemos 7 galletitas para compartir entre tres amigos, sabemos que 7 dividido 3 nos da 2, o sea, 2 galletitas para cada uno. Pero la que nos sobra la partimos en tres partes y nos toca 1 parte a cada uno. Es decir, cada uno comerá 2 1/3 de galletitas.

Fracción irreducible

Una fracción es irreducible cuando su numerador y su denominador solo tienen como divisor común al 1.

Recordemos el mcd

Para calcularlo descomponemos los números en sus factores primos.

– Ejemplo: halla el mcd entre 15 y 18.

Ahora solo debemos elegir los factores que se repiten en ambos y la menor cantidad de veces que aparece. En este caso, el que se repite es el 3 y aparece una sola vez en el 15.

Entonces:

$mcd(15, 18) = \boldsymbol{3}$

Veamos algunas fracciones para ver si son irreducibles:

– Ejemplo 1:

$\frac{15}{4}$

Como ya vimos, podemos escribir los números como descomposición de sus factores primos y calcular su mcd:

$15 = 5\: \times 3$

$4 = 2^{2}$

Entonces, los números 15 y 4 no tienen factores en común por lo tanto la fracción es irreducible.

– Ejemplo 2:

$\frac{6}{8}$

Descomponemos cada número en sus factores primos y calculamos el mcd.

$6 = 2\: \times 3$

$8 = 2^{3}$

Los números 6 y 8 tienen un factor en común, el número 2, por lo tanto la fracción no es irreducible. Para convertirla en una fracción irreducible lo único que tenemos que hacer es dividir al numerador y denominador por el factor que tienen en común.

Y ahora la fracción que se obtuvo es irreducible.

¡A practicar!

Señala cuáles de las siguientes fracciones son irreducibles

Solución

simplificación de fracciones

Simplificar una fracción significa “achicarla” tanto como podamos, o sea, hacerla irreducible. Como lo vimos antes, para convertir una fracción en irreducible hay que dividir el numerador y el denominador por un número que sea divisor de ambos (mcd).

Este valor lo podemos buscar por medio de los factores primos, o si nos damos cuenta, podemos calcular por cuáles números se pueden dividir ambos. Podemos dividir tantas veces como consideremos necesarias hasta lograr la fracción irreducible.

También usamos las fracciones para decir la hora. Por ejemplo, si dividimos el reloj a la mitad como en la foto, podemos decir que son las nueve y media. Pero también lo podemos dividir en cuatro partes. Entonces, cuando la aguja de los minutos esté en el 3 diremos que son las nueve y cuarto, y cuando esté en el 9 diremos que falta un cuarto de hora para la diez.

Hagamos algunos ejemplos:

– Ejemplo 1:

$\frac{25}{35} = \frac{5}{7}$

Ambas fracciones fueron divididas por 5.

– Ejemplo 2:

$\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$

Ambas fracciones fueron divididas por 2.

– Ejemplo 3:

$\frac{45}{105}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}$

Ambas fracciones fueron divididas primero por 5 y después por 3.

¡A practicar!

1. Simplifica las siguientes fracciones hasta su fracción irreducible.

$\boldsymbol{\frac{24}{36}}$

Solución

$\frac{2}{3}$

$\boldsymbol{\frac{40}{24}}$

Solución

$\frac{5}{3}$

$\boldsymbol{\frac{18}{63}}$

Solución

$\frac{2}{7}$

2. Clasifica las siguientes fracciones, en caso de que sea impropia escríbela como fracción mixta. Luego, indica si la fracción es irreducible. Si no lo es, simplifica.