CAPÍTULO 3 / TEMA 2

Multiplicación y división de fracciones

Las fracciones son números, por lo tanto, podemos realizar operaciones aritméticas básicas con ellas. Para multiplicar fracciones se debe realizar una multiplicación lineal de todos los numeradores y denominadores. Por otro lado, la división de estos números se puede realizar a través de varios procedimientos.

Diferentes métodos para la resolución de problemas

Una de las maravillas de las matemáticas es que generalmente para resolver un problema existen varios caminos que conducen al mismo resultado. Las operaciones con fracciones son un ejemplo, especialmente al momento de dividirlas se suelen aplicar varios métodos.

Multiplicación de fracciones

La multiplicación es una de las operaciones con fracciones mas sencillas. Para resolverla se deben multiplicar de forma lineal sus factores, es decir, numerador por numerador y denominador por denominador. En el caso de multiplicar más de dos fracciones el procedimiento es el mismo.

Por ejemplo:

a) \frac{2}{9}\times \frac{5}{9}= \frac{2\times 5}{9\times 9}=\frac{10}{81}

b) \frac{5}{7}\times \frac{4}{3}= \frac{5\times 4}{7\times 3}=\frac{20}{21}

En la multiplicación de fracciones no importa si son homogéneas o heterogéneas, el procedimiento siempre es el mismo. En los ejemplos anteriores observamos la resolución de fracciones de estos dos tipos.

Los criterios de divisibilidad son muy importantes a la hora de aplicar el método de simplificación o reducción de fracciones. Estos criterios permiten resolver las fracciones con mayor rapidez. Del mismo modo, se pueden aplicar a una o más fracciones siempre y cuando estas se multipliquen entre sí.

Simplificación de fracciones

Cuando se hace una multiplicación o división de fracciones, es necesario conocer cómo simplificarlas. Esto ahorra tiempo al momento de resolver el ejercicio y permite expresar cantidades de manera más sencilla. Para realizar una simplificación debemos tener presente los criterios de divisibilidad. A continuación, puedes ver algunos criterios:

Ahora, mira el siguiente ejemplo:

\frac{48}{16}=

Al comparar la fracción con la tabla anterior, se puede observar que tanto el numerador como el denominador son divisibles entre 2. Por lo tanto, se puede simplificar la fracción:

La fracción que se obtuvo se puede simplificar también:

Esta fracción se pudo convertir en un número entero porque se trata de una fracción aparente, pero en otros casos la simplificación de una fracción es otra con numerador y denominador menores que los de la fracción original. También debemos considerar que hay fracciones irreducibles, lo que quiere decir que no se pueden simplificar.

Simplificación de fracciones en multiplicaciones

En los casos de multiplicaciones se pueden realizar simplificaciones de términos pertenecientes a diferentes fracciones. Para ello, se realiza el mismo procedimiento explicado y se consideran de igual forma los criterios de divisibilidad.

Por ejemplo:

\frac{26}{15}\times \frac{13}{18}=

Como se puede observar, las dos fracciones, si se evalúan de forma separada, son irreducibles. Sin embargo, esta multiplicación se puede simplificar porque el numerador de la primera fracción y el denominador de la segunda son divisibles entre 2. Por lo tanto, al aplicar la simplificación queda de la siguiente manera:

Ahora sí se puede aplicar la multiplicación de fracciones con números más pequeños, ya que no tenemos ninguna posibilidad de simplificar.

Se debe simplificar el resultado si es necesario. En este caso, la fracción ya es irreducible.

En la multiplicación de tres o más fracciones se sigue el mismo procedimiento: simplificar, multiplicar todos los numeradores para obtener el numerador del resultado y luego se hace lo mismo con los denominadores para obtener el denominador del resultado.

La división de fracciones se puede realizar mediante el uso de cualquiera de los diferentes métodos existentes y el resultado siempre debe ser el mismo. Aplicar un segundo método de resolución puede resultar muy útil porque nos permite comprobar si el resultado obtenido es el correcto, o si se ha aplicado mal uno de los procedimientos.

División de fracciones

Para realizar la división de fracciones existen varios métodos.

  • Primer método

Se gira la segunda fracción, con el propósito de invertir de posición el numerador y el denominador y se aplica el método de multiplicación de fracciones.

Por ejemplo:

Se hace el cambio de la segunda fracción y el signo de división por multiplicación.

Luego se resuelve la multiplicación resultante.

  • Segundo método

Otra forma de realizar la división de fracciones es multiplicar en forma cruzada, de la siguiente forma:

Al igual que con las multiplicaciones, se debe revisar si el resultado es una fracción irreducible. Si no lo es, se procede a simplificar.

  • Tercer método

Otro método aplicado en la división de fracciones es la doble c. En este procedimiento, la segunda fracción se coloca debajo de la primera de la siguiente manera:Luego se procede a multiplicar los extremos de la fracción y el resultado de esa multiplicación se coloca como numerador. Luego se multiplican los números internos y el resultado de esta última multiplicación se coloca como denominador.Al igual que en los métodos anteriores, debemos asegurarnos que el resultado sea una fracción irreducible. Si no lo es, debemos aplicar la simplificación hasta obtenerla.

¿Sabías qué?
La multiplicación de fracciones cumple con las propiedades conmutativa y asociativa. Por otro lado, la división de fracciones no cumple con las propiedades asociativa ni distributiva.

VER INFOGRAFÍA

Multiplicación y división de fracciones con números enteros

El procedimiento para la multiplicación o división de fracciones con números enteros es muy sencillo. Para ello, es necesario representar primero al entero en forma de fracción y luego se resuelve la operación a través de los procedimientos explicados anteriormente.

Para expresar un entero en forma de fracción se debe colocar a la unidad como su denominador. Esto se hace ya que el número (1) como denominador no modifica el entero existente, porque todo número divido entre (1) es el mismo número.

Por ejemplo:

\frac{5}{16}\times 18 =

\frac{5}{16}\times \frac{18}{{\mathbf{\color{Cyan} 1}}} =
Ahora se procede a aplicar el método de la multiplicación como se explicó anteriormente. Numerador por numerador y denominador por denominador.Recuerda simplificar el resultado de la fracción.Este paso previo para convertir un número entero en fracción, también se aplica para la división de fracciones.

\frac{3}{2}\div 2 =\frac{3}{2}\div\frac{2}{{\color{Red} \mathbf{}1}}=\frac{3}{2}\times \frac{2}{1}=\frac{6}{2}=3

¡A practicar!

\frac{17}{3}\times\frac{13}{5}=

RESPUESTAS

\frac{17}{3}\times \frac{13}{5}=\frac{221}{15}

\frac{26}{15}\times\frac{18}{28}=

RESPUESTAS

\frac{26}{15}\times \frac{18}{28}=\frac{26}{15}\times \frac{9}{14}= \frac{13}{5}\times \frac{3}{7}=\frac{39}{35}

\frac{41}{15} : \frac{20}{28}=

RESPUESTAS

\frac{41}{15} : \frac{20}{28}=\frac{\frac{41}{15}}{\frac{20}{28}}=\frac{\frac{41}{15}}{\frac{10}{14}}= \frac{574}{150}=\frac{287}{75}

\frac{36}{29} : \frac{58}{82}=

RESPUESTAS

\frac{36}{29} : \frac{58}{82}=\frac{\frac{36}{29}}{\frac{58}{82}}=\frac{\frac{36}{29}}{\frac{29}{41}}= \frac{1476}{841}

\frac{42}{43} : \frac{12}{13}=

RESPUESTAS

\frac{42}{43} : \frac{12}{13}=\frac{42}{43} \times \frac{13}{12}=\frac{546}{516}=\frac{273}{258}=\frac{91}{86}

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Multiplicación y división de fracciones”

Este artículo explica cómo resolver multiplicaciones y divisiones de fracciones. También se enfoca en el procedimiento para su simplificación y ofrece una serie de ejercicios resueltos que facilitan su comprensión.

VER

Video “Fracciones decimales. Concepto y pasaje de fracción a número decimal”

En el siguiente video se explican los conceptos básicos de una fracción y se explica cómo se relacionan estos números con los decimales.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 6 (REVISIÓN)

Fracciones | ¿qué aprendimos?

noción de fracción

Las fracciones son una forma de representar las partes de un todo. Tienen dos elementos: un numerador y un denominador, ambos separados por una raya fraccionaria. El denominador indica en cuántas partes dividimos el todo y el numerador es igual a las partes que se toman del mismo. Las fracciones las podemos clasificar, de acuerdo a la relación entre el numerador y el denominador, en propias, impropias o aparentes.

Cada vez que cortamos frutas y nos comemos una parte de ellas podemos utilizar una fracción, por ejemplo, “me comí media naranja”.

adición y sustracción de fracciones

Para sumar o restar fracciones homogéneas (aquellas con igual denominador) lo único que debemos hacer es sumar o restar los numeradores y mantener el denominador. En cambio, las fracciones heterogéneas (aquellas con denominadores diferentes) se suman o restan por distintos métodos. Uno consiste en calcular el mcm, otro en hallar una fracción equivalente y otro en multiplicar de forma cruzada.

Las fracciones, como parte de un todo, pueden ordenarse de mayor a menor, compararse, sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse.

Multiplicación y división de fracciones

Las multiplicaciones de fracciones son relativamente sencillas. Solo tenemos que multiplicar todos los numeradores de forma lineal y luego multiplicar de la misma manera todos los denominadores, y si es posible simplificamos. La división, en cambio, puede ser resuelta por dos métodos. El primero se trata de invertir la segunda fracción y multiplicarla por la primera, y el segundo es el de la doble c.

Las multiplicaciones y las divisiones son muy utilizadas en los problemas de reparto y porcentaje.

Fracciones y otros números

Muchas situaciones de nuestra vida cotidiana involucran no solo a los números naturales (\mathbb{N}), sino también a los enteros (\mathbb{Z}), los racionales (\mathbb{Q}) y los decimales. Todos ellos, con excepción de algunos decimales, pueden ser representados como una fracción, por ejemplo, el número 25 puede ser representado como 25/1 y el número decimal 0,25 puede representarse como 2/8.

Cuando vamos a comprar podemos pedir medio kilo de pan. Eso lo podemos expresar como fracción 1/2 kg o como número decimal 0,5 kg.

Fracciones y porcentajes

Otra forma de representar fracciones son los porcentajes. Estos son iguales a una fracción con denominador igual a 100. Por ejemplo, 20 % es igual a 20/100. Asimismo, estas expresiones se pueden mostrar como un número decimal, por lo tanto, 20/100 = 0,2. Los porcentajes son muy usados en economía, estadística y tecnología, pues ayudan a simplificar relaciones de una parte de un todo de manera clara.

Los porcentajes suelen estar presentes en los comercios para promocionar un descuento.