CAPÍTULO 3 / TEMA 6 (REVISIÓN)

Fracciones | ¿qué aprendimos?

noción de fracción

Las fracciones son una forma de representar las partes de un todo. Tienen dos elementos: un numerador y un denominador, ambos separados por una raya fraccionaria. El denominador indica en cuántas partes dividimos el todo y el numerador es igual a las partes que se toman del mismo. Las fracciones las podemos clasificar, de acuerdo a la relación entre el numerador y el denominador, en propias, impropias o aparentes.

Cada vez que cortamos frutas y nos comemos una parte de ellas podemos utilizar una fracción, por ejemplo, “me comí media naranja”.

adición y sustracción de fracciones

Para sumar o restar fracciones homogéneas (aquellas con igual denominador) lo único que debemos hacer es sumar o restar los numeradores y mantener el denominador. En cambio, las fracciones heterogéneas (aquellas con denominadores diferentes) se suman o restan por distintos métodos. Uno consiste en calcular el mcm, otro en hallar una fracción equivalente y otro en multiplicar de forma cruzada.

Las fracciones, como parte de un todo, pueden ordenarse de mayor a menor, compararse, sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse.

Multiplicación y división de fracciones

Las multiplicaciones de fracciones son relativamente sencillas. Solo tenemos que multiplicar todos los numeradores de forma lineal y luego multiplicar de la misma manera todos los denominadores, y si es posible simplificamos. La división, en cambio, puede ser resuelta por dos métodos. El primero se trata de invertir la segunda fracción y multiplicarla por la primera, y el segundo es el de la doble c.

Las multiplicaciones y las divisiones son muy utilizadas en los problemas de reparto y porcentaje.

Fracciones y otros números

Muchas situaciones de nuestra vida cotidiana involucran no solo a los números naturales ( $\mathbb{N}$ ), sino también a los enteros ( $\mathbb{Z}$ ), los racionales ( $\mathbb{Q}$ ) y los decimales. Todos ellos, con excepción de algunos decimales, pueden ser representados como una fracción, por ejemplo, el número 25 puede ser representado como 25/1 y el número decimal 0,25 puede representarse como 2/8.

Cuando vamos a comprar podemos pedir medio kilo de pan. Eso lo podemos expresar como fracción 1/2 kg o como número decimal 0,5 kg.

Fracciones y porcentajes

Otra forma de representar fracciones son los porcentajes. Estos son iguales a una fracción con denominador igual a 100. Por ejemplo, 20 % es igual a 20/100. Asimismo, estas expresiones se pueden mostrar como un número decimal, por lo tanto, 20/100 = 0,2. Los porcentajes son muy usados en economía, estadística y tecnología, pues ayudan a simplificar relaciones de una parte de un todo de manera clara.

Los porcentajes suelen estar presentes en los comercios para promocionar un descuento.

CAPÍTULO 3 / TEMA 3

OPERACIONES CON FRACCIONES

Las fracciones son números y, como tales, su pueden sumar, restar, dividir y multiplicar. Muchas situaciones en la vida cotidiana se resuelven mediante la suma o resta de fracciones, como por ejemplo, calcular las porciones de torta que quedan luego de repartir una parte.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES

El procedimiento para sumar o restar fracciones es distinto entre fracciones homogéneas y heterogéneas. Por ello es muy importante saber reconocerlas.

Fracciones homogéneas

Las fracciones homogéneas son las que tienen el mismo denominador. En este caso, la operación de suma o resta consiste simplemente en sumar o restar los numeradores y conservar el mismo denominador.

-En el caso de la suma se cumple que:

$\frac{a}{{\color{Red} b}}+\frac{c}{{\color{Red} b}}=\frac{a+c}{{\color{Red} b}}$

Por ejemplo:

a) $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}$

En este caso se trata de una suma de dos fracciones homogéneas porque tienen igual denominador, que es 5. Para resolver la suma se coloca el mismo denominador y se suman los numeradores.

$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{1+2}{5}=\frac{3}{5}$

El denominador en ambos casos es 5. Entonces sumamos los numeradores (1 + 2 = 3) y conservamos el denominador 5.

-En el caso de la resta se cumple que:

$\frac{a}{{\color{Red} b}}-\frac{c}{{\color{Red} b}}=\frac{a-c}{{\color{Red} b}}$

Por ejemplo:

b) $\frac{7}{3}-\frac{2}{3}$

En este caso se trata de una sustracción o resta de dos fracciones homogéneas con denominar igual a 3. Para resolver el problema se coloca el mismo denominador y se restan los exponentes.

$\frac{7}{3}-\frac{2}{3}=\frac{7-2}{3}=\frac{5}{3}$

Fracciones heterogéneas

Las fracciones heterogéneas son las que entre sí tienen distinto denominador. Para el caso de la suma de fracciones heterogéneas se aplica la siguiente fórmula.

La expresión anterior lo que quiere decir es que para sumar dos fracciones heterogéneas, el numerador de la fracción resultante es igual a la suma del producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. El denominador de la fracción resultante es igual al producto de los denominadores de las fracciones originales.

En el caso de la resta de las fracciones se aplica casi la misma fórmula pero al momento de calcular el numerador resultante se deben restar los productos del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

Veamos algunos ejemplos con números:

Otro método

El método explicado anteriormente es el más utilizado, aunque también se pueden sumar y restar fracciones heterogéneas a través de fracciones equivalentes. Para ello, se calcula el mínimo común múltiplo entre los dos denominadores, y se amplifican ambas fracciones de manera de que ambas tengan como denominador al mínimo común múltiplo. Una vez que tienen el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y conservamos el denominador.

En procedimiento para sumar o a restar fracciones varía, y depende de si se trata de fracciones homogéneas o heterogéneas. En el caso de las fracciones homogéneas el procedimiento es más sencillo porque se mantiene el mismo denominador y se suman o restan los numeradores según la operación. En las operaciones heterogéneas el procedimiento es más largo.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES

Otras operaciones que se pueden realizar con fracciones son la multiplicación y la división. Ambas llevan procedimientos diferentes.

Multiplicación

La multiplicación de fracciones es una de las operaciones más sencillas. Para resolverla solamente se debe multiplicar de forma lineal. Es decir, numerador por numerador y denominador por denominador. De la siguiente forma:

$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d} = \frac{a\times c}{b\times d}$

Observa el siguiente ejemplo:

$\frac{3}{5}\times \frac{2}{7}$

Para resolver esta multiplicación primero tenemos que multiplicar el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda: el resultado será el numerador de la fracción resultante. Luego multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y el número que se obtiene será el denominador de la fracción resultante.

$\frac{3}{5}\times \frac{2}{7} =\frac{3\times 2}{5\times 7}=\frac{6}{35}$

División

Para dividir fracciones, el método que más se utiliza es multiplicar en forma de cruz. Es decir, primero se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el producto de estos números sera el denominador de la fracción resultante. Luego se multiplica el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera y el producto de estos números será igual al denominador de la fracción resultante.

$\frac{{\color{Blue} a}}{{\color{Red} b}}:\frac{{\color{Red} c}}{{\color{Blue} d}}=\frac{{\color{Blue} a\times d}}{{\color{Red} b\times c}}$

Observa el siguiente ejemplo:

a) $\frac{7}{4}:\frac{3}{5}$

En este caso procedemos a realizar la multiplicación en cruz del primer numerador, que es 7, por el denominador de la segunda fracción, que es 5:

$\frac{7}{4}:\frac{3}{5}=\frac{7\times 5}{}$

Luego multiplicamos el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción:

$\frac{7}{4}:\frac{3}{5}=\frac{7\times 5}{3\times 4}$

Finalmente, se resuelven los productos:

$\frac{7}{4}:\frac{3}{5}=\frac{7\times 5}{3\times 4}=\frac{35}{12}$

Algunas fracciones se pueden simplificar, es decir, pueden expresarse en fracciones equivalentes más sencillas (que representan la misma cantidad). La simplificación es un proceso usado comúnmente en los cálculos porque permite manejar expresiones más sencillas. Las fracciones que no se pueden simplificar se denominan fracciones irreducibles.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Existen problemas cotidianos que pueden resolverse a través de operaciones con fracciones. Los siguientes ejemplos indican cómo usar las fracciones en estos casos.

1. Juan comió 3/8 de pizza y Luis comió 4/8 de la misma pizza. ¿Cuánto comieron los dos en total?

Análisis: Debemos sumar ambas fracciones. Como los denominadores son los mismos, son fracciones homogéneas. Entonces, sumamos los numeradores y conservamos el denominador.

Cálculos: $\frac{3}{8}+\frac{4}{8}= \frac{3+4}{8}= \frac{7}{8}$

Respuesta: Entre Juan y Luis comieron 7/8 de la pizza.

2. Un científico tiene 6/5 partes de una sustancia, si pierde 2/3 de esa sustancia, ¿cuánta sustancia le queda?

Análisis: Para saber cuánta sustancia le queda al científico hay que restar ambas fracciones. Como los denominadores son diferentes, son fracciones heterogéneas. Entonces, seguimos el procedimiento explicado anteriormente:

Cálculos: $\frac{6}{5}-\frac{2}{3}= \frac{(6\times 3)-(5\times 2)}{5\times 3}= \frac{18-10}{15}=\frac{8}{15}$

Respuesta: Al científico le quedan 8/15 de sustancia.

3. Una modista tiene una tela que mide 5/7 de metro, si la dividió en trozos de 1/8 de metros, ¿cuántos trozos obtuvo?

Análisis: Para saber el número de trozos que obtuvo la modista se deben dividir ambas fracciones.

Cálculos: $\frac{5}{7}:\frac{1}{8}=\frac{5\times 8}{1\times 7}=\frac{40}{7}$

Respuesta: El número de trozos que obtuvo la modista fue de 40/7.

Muchas situaciones de la vida cotidiana implican la utilización de fracciones. Los casos en que dividimos una torta, una pizza o un terreno, entre otros, son algunas de las situaciones más comunes donde podemos utilizar estos números. Al partir una torta en porciones, cada porción representa una cantidad del total. En esta imagen falta 1/4 de la torta y quedan 3/4 de la misma.

¡A practicar!

Realiza los siguientes cálculos.

a) $\frac{5}{3}+\frac{13}{3}$

b) $\frac{8}{5}-\frac{2}{5}$

c) $\frac{8}{5}+\frac{2}{4}$

d) $\frac{7}{3}\times \frac{9}{5}$

e) $\frac{5}{2}:\frac{10}{3}$

RESPUESTAS

a) $\frac{5}{3}+\frac{13}{3}=\frac{5+13}{3}=\frac{18}{3}$

b) $\frac{8}{5}-\frac{2}{5}=\frac{8-2}{5}=\frac{6}{5}$

c) $\frac{8}{5}+\frac{2}{4}=\frac{(8\times 4)+(2\times5)}{5\times4}=\frac{32+10}{20}=\frac{42}{20}$

d) $\frac{7}{3}\times \frac{9}{5}=\frac{7\times9}{3\times5}=\frac{63}{15}$

e) $\frac{5}{2}:\frac{10}{3}=\frac{5\times 3}{2\times 10}=\frac{15}{20}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Adición y sustracción de fracciones”

Este artículo profundiza la información sobre el proceso de resolución de sumas y restas de fracciones a través de fracciones equivalentes.

VER

Artículo “Multiplicación y división de fracciones”

Este artículo, además de mostrar cómo resolver multiplicaciones y divisiones con fracciones, muestra cuáles son los criterios de divisibilidad usados para simplificarlas.

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Micrositio “Operaciones matemáticas”

El siguiente micrositio ofrece una serie de tarjetas educativas que muestran un resumen de las formulas generales para la sustracción, la adición, la multiplicación y la división de fracciones.

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CAPÍTULO 3 / TEMA 2

adición y sustracción de fracciones

Las fracciones son divisiones no resueltas que representan las partes de un todo. Pertenecen a los números racionales y, como cualquier otro tipo de número, pueden ser sumadas o restadas. Las características de cada fracción hacen que las operaciones tengan reglas distintas. A continuación, aprenderás los métodos posibles para realizar estos cálculos.

Una fracción simboliza una división entre un número y otro, y a su vez indica las partes tomadas de un todo. Una fracción tiene dos partes: un numerador y un denominador separados por una línea horizontal. El denominador señala en cuántas partes se divide la unidad, y el numerador señala cuántas de esas partes se han tomado.

VER INFOGRAFÍA

adición y sustracción de fracciones homogéneas

Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador se las llama homogéneas. Para sumar y restar este tipo de fracciones solo se suman o restan lo numeradores y se mantiene el mismo denominador.

Adición

$\frac{{\color{Red} 12}}{{\color{Blue} 7}}+\frac{{\color{Red} 4}}{{\color{Blue} 7}} = \frac{{\color{Red} 12+4}}{{\color{Blue} 7}}=\boldsymbol{\frac{16}{7}}$

– Otros ejemplos:

$\frac{{\color{Red} 31}}{{\color{Blue} 17}}+\frac{{\color{Red} 41}}{{\color{Blue} 17}}=\frac{{\color{Red} 31+41}}{{\color{Blue} 17}}=\boldsymbol{\frac{72}{17}}$

$\frac{{\color{Red} 15}}{{\color{Blue} 11}}+\frac{{\color{Red} 10}}{{\color{Blue} 11}}+\frac{{\color{Red} 21}}{{\color{Blue} 11}}= \frac{{\color{Red} 15+10+21}}{{\color{Blue} 11}}=\boldsymbol{\frac{46}{11}}$

Sustracción

$\frac{{\color{Red} 23}}{{\color{Blue} 7}}-\frac{{\color{Red} 14}}{{\color{Blue} 7}}=\frac{{\color{Red} 23-14}}{{\color{Blue} 7}}=\boldsymbol{\frac{9}{7}}$

– Otros ejemplos:

$\frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Blue} 5}}-\frac{{\color{Red} 1}}{{\color{Blue} 5}}=\frac{{\color{Red} 3-1}}{{\color{Blue} 5}}=\boldsymbol{\frac{2}{5}}$

$\frac{{\color{Red} 24}}{{\color{Blue} 13}}-\frac{{\color{Red} 8}}{{\color{Blue} 13}}-\frac{{\color{Red} 10}}{{\color{Blue} 13}}=\frac{{\color{Red} 24-8-10}}{{\color{Blue} 13}}=\boldsymbol{\frac{6}{13}}$

fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son aquellas que, a pesar de tener distintos numeradores y denominadores, representan la misma cantidad. Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar sus términos en forma de cruz el resultado es el mismo.

– Ejemplo:

$\frac{3}{6}$ y $\frac{6}{12}$ son fracciones equivalentes porque:

$3\times 12=\boldsymbol{36}$

$6\times 6=\boldsymbol{36}$

Podemos escribir las fracciones equivalentes de la siguiente manera:

$\frac{3}{6}=\frac{6}{12}$ porque $3\times 12 = 6\times 6$

– Otro ejemplo:

$\frac{8}{3}$ y $\frac{2}{4}$ no son fracciones equivalentes porque:

$8\times 4=\boldsymbol{32}$

$3\times 2=\boldsymbol{6}$

Podemos escribir las fracciones no equivalentes de la siguiente manera:

$\frac{8}{3}\neq \frac{2}{4}$ porque $8\times 4\neq 3\times 2$

¡Practiquemos!

Laura, Tomás y Daniela tienen cada uno un chocolate. Laura comió 1/2, Tomás comió 3/6 y Daniela comió 6/12. ¿Quién comió más chocolate?

Si representamos en gráficos cada fracción tenemos que:

$\boldsymbol{\frac{1}{2}=}$

$\boldsymbol{\frac{3}{6}=}$

$\boldsymbol{\frac{6}{12}=}$

Laura partió el chocolate en 2 pedazos y comió uno de esos; Tomás lo cortó en 6 pedazos y comió 3; y Daniela lo cortó en 12 pedazos y comió 6.

Sin importar la cantidad de trozos en las que se dividió el chocolate, cada uno comió lo mismo: la mitad.

Además de comprobarlo con los gráficos y por el método cruzado, podemos corroborar que una fracción es equivalente a otra si resolvemos la división. De este modo, tenemos que:

$\frac{1}{2}=\boldsymbol{0,5}$

$\frac{3}{6}=\boldsymbol{0,5}$

$\frac{6}{12}=\boldsymbol{0,5}$

Como todas las fracciones representan la misma cantidad, se pueden escribir de la siguiente forma:

$\frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{6}{12}$

¿Cómo podemos obtener fracciones equivalentes?

Por medio de dos métodos: amplificación y simplificación.

Amplificación

Consiste en multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero.

– Ejemplo:

Ambas fracciones, 2/5 y 6/15 son equivalentes. Observa que tanto el numerador como el denominador se multiplicaron por 3.

– Otro ejemplo:

Simplificación

Consiste en dividir al numerador y al denominador por un mismo número distinto de cero. Este número debe ser un divisor común entre el numerador y el denominador.

– Ejemplo:

Como el número 2 es un divisor común entre el numerador y denominador, podemos hacer una simplificación de la fracción.

– Otro ejemplos:

¿Sabías qué?

Cuando una fracción no puede simplificarse más se la llama fracción irreducible.

Juan y Carlos compraron una pizza cada uno. Si Juan comió 2/3 de pizza y Carlos 3/4 de pizza, ¿quién comió más? Hallar la fracción equivalente con igual denominador de estas fracciones puede ayudarnos a comparar las cantidades y responder la pregunta. 2/3 = 8/12 y 3/4 = 9/12, entonces comparamos los numeradores y, como 9 > 8, decimos que Carlos comió más que Juan.

adición y sustracción de fracciones heterogéneas

Las fracciones heterogéneas son las que tienen distinto denominador. Para sumar o restar fracciones heterogéneas podemos emplear tres métodos distintos.

Método 1: con fracciones equivalentes

En este método hallamos la fracción equivalente de las fracciones para que todas tengan el mismo denominador, es decir, para que sean homogéneas. Luego las sumamos como se explicó al inicio: sumamos los numeradores y mantenemos el mismo denominador.

– Ejemplo:

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

1. Hallamos la fracción equivalente a 1/2 con denominador igual a 4.

Ya sabemos que el producto cruzado de los términos debe ser el mismo. Así que multiplicamos el primer numerador por el segundo denominador, el cual necesitamos que sea 4.

$\frac{{\color{Red} 1}}{2}=\frac{a}{{\color{Red} 4}}\; \; \; \; \;\; \; 1\times 4=\boldsymbol{4}$

Luego planteamos la segunda multiplicación como una ecuación. Esta corresponde a la del primer denominador con el primer numerador.

$\frac{1}{{\color{Blue} 2}}=\frac{{\color{Blue} a}}{4}\; \; \; \; \;\; \; 2\times a=\boldsymbol{4}$

Despejamos la incógnita a y obtenemos el numerador de la fracción equivalente.

$2\times a=4\: \Rightarrow a=4\div 2=\boldsymbol{2}$

Por lo tanto,

$\frac{1}{2}=\frac{\boldsymbol{2}}{4}$

2. Reescribimos la suma con la nueva fracción equivalente. En lugar de la fracción 1/2 escribimos su fracción equivalente 2/4.

$\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$

3. Resolvemos la suma de fracciones homogéneas.

$\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{2+3}{4}=\boldsymbol{\frac{5}{4}}$

El procedimiento es igual con la sustracción, solo cambiamos el signo más (+) por el signo menos (−).

Método 2: con mínimo común múltiplo

Consiste en hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones, el cual será el nuevo denominador. El cociente entre este valor y los denominadores se multiplica con los numeradores.

– Ejemplo:

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

1. Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ese será el denominador de la fracción resultante.

mcm (2, 4) = 2 × 2 = 4

2. Dividimos al mcm con el denominador de la primera fracción (4 ÷ 2 = 2) y multiplicamos ese resultado por su numerador.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4} = \frac{{\color{Red} 2} \times 1\:}{4}+$

3. Realizamos el mismo procedimiento con la segunda fracción. Esta vez dividimos el mcm entre el segundo denominador (4 ÷ 4 = 1) y multiplicamos ese resultado por el segundo numerador. Sumamos este resultado con el obtenido anteriormente.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4} = \frac{{\color{Red} 2}\times 1}{4}+\frac{{\color{Blue} 1}\times 3}{4}$

4. Resolvemos las operaciones y obtenemos el resultado final.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4} = \frac{{\color{Red} 2}\times 1}{4}+\frac{{\color{Blue} 1}\times 3}{4}=\frac{2+3}{4}=\boldsymbol{\frac{5}{4}}$

El procedimiento es igual con la sustracción, solo cambiamos el signo más (+) por el signo menos (−).

Método 3: con productos cruzados

En este método multiplicamos de manera cruzada los numeradores y denominadores de las fracciones. Sumamos los resultados y los colocamos en el numerador resultante. El denominador de la fracción final será igual al producto de la multiplicación de los denominadores.

– Ejemplo:

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

1. Multiplicamos el primer numerador por el segundo denominador.

$\frac{{\color{Red} 1}}{2}+\frac{3}{{\color{Red} 4}}=\frac{{\color{Red} 1\times 4}}{}$

2. Multiplicamos el primer denominador por el segundo numerador. Sumamos esta operación con la primera.

$\frac{{\color{Red} 1}}{{\color{Blue} 2}}+\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 4}}=\frac{{\color{Red} 1\times 4}+{\color{Blue} 2\times 3}}{}$

3. Multiplicamos los denominadores. El resultado lo colocamos en el lugar del denominador.

$\frac{{\color{Red} 1}}{{\color{Blue} 2}}+\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 4}}=\frac{{\color{Red} 1\times 4}+{\color{Blue} 2\times 3}}{{\color{Blue} 2}\times {\color{Red} 4}}$

4. Resolvemos las operaciones y obtenemos el resultado final.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{1\times 4+2\times 3}{2\times 4}=\frac{4+6}{8}=\frac{10}{8}=\boldsymbol{\frac{5}{4}}$

Observa que al resolver las operaciones el resultado es 10/8, pero esta fracción se puede simplificar al dividir ambos términos entre 2, el cual es un divisor común.

El procedimiento es igual con la sustracción, solo cambiamos el signo más (+) por el signo menos (−).

Las fracciones heterogéneas son las que tienen distinto denominador. Para sumar o restar este tipo de fracciones podemos emplear tres métodos diferentes: por medio de fracciones equivalentes, mínimo común múltiplo o productos cruzados. Sin importar el método que escojas el resultado será el mismo.

¡A practicar!

1. ¿Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes a $\frac{2}{5}$ ?

$\frac{6}{15}\ ,\ \frac{6}{9}\ ,\ \frac{10}{25}\ ,\ \frac{14}{30}\ ,\ \frac{8}{20}$

Solución

$\frac{6}{15}\ ,\ \frac{10}{25}\ ,\ \frac{8}{20}$

2. ¿Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes a $\frac{25}{40}$ ?

$\frac{50}{80}\ ,\ \frac{5}{8}\ ,\ \frac{75}{110}\ ,\ \frac{75}{120}\ ,\ \frac{5}{4}$

Solución

$\frac{50}{80}\ , \frac{5}{8}\ , \frac{75}{120}$

3. ¿Cuál es la fracción equivalente? Coloca el numerador que falta.

$\frac{1}{2}=\frac{?}{8}$

Solución

$\frac{1}{2}=\frac{{\color{Red} 4}}{8}$

$\frac{3}{5}=\frac{?}{25}$

Solución

$\frac{3}{5}=\frac{{\color{Red} 15}}{25}$

$\frac{4}{5}=\frac{?}{12}$

Solución

No es posible conseguir una fracción equivalente de denominador 12 porque el 12 no es múltiplo del 5.

$\frac{2}{7}=\frac{?}{21}$

Solución

$\frac{2}{7}=\frac{{\color{Red} 6}}{21}$

4. Realizar los siguientes cálculos con fracciones:

$\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}=$

Solución

$\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}=\boldsymbol{\frac{2}{5}}$

$\frac{4}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=$

Solución

$\frac{4}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\boldsymbol{\frac{49}{30}}$

$\frac{3}{10}-\frac{1}{12}=$

Solución

$\frac{3}{10}-\frac{1}{12}=\boldsymbol{\frac{13}{60}}$

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{5} \right )=$

Solución

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{5} \right )=\boldsymbol{\frac{23}{60}}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Adición y sustracción de fracciones”

Puedes realizar la adición o la sustracción de fracciones por medio de varios métodos. Este recurso le permitirá ampliar información sobre estos.

VER

Artículo “Fracciones equivalentes”

Con este artículo podrá profundizar sobre las fracciones y cómo obtenerlas por amplificación y simplificación.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 5 (REVISIÓN)

FRACCIONES | ¿qué aprendimos?

nOCIÓN DE FRACCIÓN

Las fracciones son divisiones sin resolver. Están formadas por una raya de fracción que divide al numerador del denominador. El numerador es la parte que tomamos del entero y el denominador indica las partes en las que se divide al entero. Las fracciones pueden ser propias, impropias y aparentes. Las fracciones propias tienen un numerador menor que el denominador; las impropias tienen un numerador mayor que el denominador; y las aparentes son iguales a un entero.

La porción de pastel que se toma es igual a 1/8. El numerador es la parte tomada (1) y el denominador señala la cantidad de partes en las que se dividió el pastel (8).

representación de fracciones

Para leer una fracción solo tenemos que leer al numerador como cualquier otro número y al denominador según unas simples reglas: medios si es 2, tercios si es 3, cuartos si es 4, quintos si es 5 y así sucesivamente. A partir de números mayores a diez añadimos el sufijo –avos; como onceavos. Los gráficos de las fracciones se representan por medio de figuras divididas en tantas partes como muestra el denominador y con tantas partes pintadas como señala el numerador.

Podemos representar fracciones propias e impropias en gráficos con formas de figuras geométricas.

tipos de fracciones

Dos o más fracciones son homogéneas si comparten el mismo denominador, en cambio, si dos o más fracciones tienen distinto denominador se las llama heterogéneas. También existen las fracciones propias o puras, que son aquellas que tienen un numerador menor que el denominador y siempre son menores a un entero; y las fracciones impropias o impuras, que tienen un numerador mayor que el denominador y son mayores a uno.

Depende del país en el que nos encontramos, la fracción propia se puede llamar también fracción pura.

operaciones con fracciones homogéneas

Para sumar y restar fracciones homogéneas primero sumamos o restamos los numeradores y mantenemos el mismo denominador. Así como ordenamos números naturales, también lo podemos hacer con las fracciones, para esto usamos los símbolos de relación como > (mayor que) y < (menor que). Por otro lado, existen fracciones con distintos numeradores y denominadores pero que representan la misma cantidad, a estas se las conoce como fracciones equivalentes.

Las fracciones propias siempre tienen el numerador menor al denominador y representan una cantidad inferior a la unidad.

CAPÍTULO 5 / TEMA 3

TIPOS DE FRACCIONES

Aunque todas las fracciones se caracterizan por tener dos números divididos con una raya fraccionaria, no todas son iguales. Hay clasificaciones de fracciones que dependen de la relación que existe entre sus denominadores, entre ellas están las fracciones homogéneas y las fracciones heterogéneas. Otras clasificaciones dependen de la relación que existe entre los numeradores y denominadores, y pueden ser fracciones propias e impropias.

Las fracciones representan la parte de un todo que ha sido dividida en partes iguales. Todas ellas tienen un denominador, que indica el número de partes iguales en las que está dividido un todo; y un numerador, que indica qué partes de ese todo hemos considerado. En este ejemplo, 2 es el numerador y 8 es el denominador.

VER INFOGRAFÍA

fracciones homogéneas

Dos o más fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador. En estas fracciones el entero está dividido en la misma cantidad de partes.

$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{4}}$ son fracciones homogéneas porque tienen el mismo denominador: 4.

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{8}{10}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{10}}$

$\boldsymbol{\frac{12}{9}}$ ; $\boldsymbol{\frac{7}{9}}$ y $\boldsymbol{\frac{20}{9}}$

$\boldsymbol{\frac{4}{20}}$ ; $\boldsymbol{\frac{9}{20}}$ y $\boldsymbol{\frac{1}{20}}$

fracciones heterogéneas

Dos o más fracciones son heterogéneas si tienen diferentes denominadores, es por esto que el entero estará dividido en distintas partes según la fracción.

$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{6}}$ son fracciones heterogéneas porque sus denominadores son diferentes.

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{10}{12}}$ ; $\boldsymbol{\frac{8}{9}}$ y $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$

$\boldsymbol{\frac{20}{3}}$ ; $\boldsymbol{\frac{8}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{12}}$

$\boldsymbol{\frac{2}{9}}$ y $\boldsymbol{\frac{8}{18}}$

El ying y el yang en las fracciones

Los chinos representaban las fracciones con varillas, estas podían ser de bambú, hueso u otros materiales. A los elementos de una fracción le asignaban un rol femenino y otro masculino. Se referían al numerador como “el hijo” y al denominador como “la madre”. Este uso del ying y el yang los hacía seguir a la perfección las clasificaciones de fracciones y ser expertos conocedores de las operaciones con fracciones.

fracciones propias

Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador. Estas fracciones también reciben el nombre de fracciones puras. Las fracciones de este tipo son menores a un entero y se encuentran entre el 0 y el 1.

Para comprender mejor que estas fracciones siempre se encuentran entre el 0 y el 1 mostramos algunos ejemplos representados en una recta numérica:

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{5}{12}}$

$\boldsymbol{\frac{12}{20}}$

$\boldsymbol{\frac{9}{15}}$

¿Sabías qué?

El símbolo “<” significa “menor que” y el símbolo “>” significa “mayor que”.

Cuando seguimos las instrucciones de una receta de cocina, usualmente fraccionamos los ingredientes, por ejemplo, media taza de leche (½) o tres cuartos de azúcar (¾). También usamos fracciones cuando ordenamos alimentos, como un cuarto de kilo de café (¼), medio kilo de queso (½) o litro y medio de gaseosa (1 ½).

fracciones impropias

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Se las conoce también como fracciones impuras. Estas fracciones siempre son mayores a un entero, es decir mayores a 1.

En una recta numérica las fracciones impropias o impuras siempre se ubican del 1 en adelante porque son mayores a este, para entender mejor, observa los siguientes ejemplos:

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{10}{8}}$

$\boldsymbol{\frac{25}{9}}$

$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$

Hay expresiones que en cada país se dicen de maneras distintas pero que significan lo mismo, como por ejemplo “fresa” y “frutilla”. En el ámbito de la matemática sucede lo mismo, depende del país se utilizarán los términos “fracción propia” o “fracción pura” para el mismo tipo de fracción; y “fracción impropia” o “fracción impura” para el mismo tipo de fracción.

¡A practicar!

Determina si la siguientes fracciones son homogéneas o heterogéneas.

$\boldsymbol{\frac{3}{7}}$ y $\boldsymbol{\frac{5}{9}}$

Solución

Heterogéneas

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{16}{5}}$

Solución

Homogéneas

$\boldsymbol{\frac{62}{6}}$ ; $\boldsymbol{\frac{95}{66}}$ y $\boldsymbol{\frac{17}{36}}$

Solución

Heterogéneas

$\boldsymbol{\frac{33}{13}}$ ; $\boldsymbol{\frac{57}{13}}$ y $\boldsymbol{\frac{25}{13}}$

Solución

Homogéneas

2. Determina si las fracciones a continuación son propias o impropias.

$\boldsymbol{\frac{11}{12}}$

Solución

Propia

$\boldsymbol{\frac{8}{5}}$

Solución

Impropia

$\boldsymbol{\frac{7}{3}}$

Solución

Impropia

$\boldsymbol{\frac{21}{18}}$

Solución

Impropia

3. Observa las fracciones en la recta numérica y responde.

a) ¿Cuál o cuáles son las fracciones que están entre 0 y 1? ¿Qué tipo de fracciones son?

Solución

Las fracciones que están entre 0 y 1 son 1/3 y 2/3. Son fracciones propias.

b) ¿Cuál o cuáles son las fracciones mayores que 1? ¿Qué tipo de fracciones son?

Solución

Las fracciones mayores a 1 son 5/3 y 7/3. Son fracciones impropias.

c) ¿Hay fracciones heterogéneas? ¿Cuáles?

Solución

No hay fracciones heterogéneas.

d) ¿Hay fracciones homogéneas? ¿Cuáles?

Solución

Sí, todas las fracciones de la recta son homogéneas.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Clasificación de fracciones”

Este recurso te permitirá profundizar las características y los criterios para clasificar las fracciones.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 1

NOCIÓN DE FRACCIÓN

Así como usamos los números naturales para representar cantidades y decir que, por ejemplo, tenemos 3 pelotas; también existen otros números que nos permiten expresar partes de un todo. Estos números son conocidos como fracciones, hay varios tipos y tienen más usos de los que te imaginas.

¿qUÉ ES UNA FRACCIÓN?

Una fracción es una división e indica las partes de un entero. Por ejemplo, cuando cortamos una torta en varias partes hacemos una división de un entero, es decir, la torta es el entero y cada una de las partes en las que la cortamos puede ser representada con una fracción.

Si cortas en cuatro partes iguales una pizza y te comes una parte, ¿con qué número representarías ese pedazo? ¡Es muy fácil! Solo debes colocar un número sobre otro con una raya en medio: el número de pedazos que comemos va arriba, y el número de veces que dividimos la pizza va abajo. Entonces, ese pedazo de pizza es igual a 1/4.

¿Sabías qué?

En las culturas babilónicas y egipcias aparecieron inscripciones simbólicas que representaban el uso de fracciones.

Elementos de una fracción

Todas las fracciones están formadas por un numerador y un denominador separados por una línea horizontal llamada raya fraccionaria.

El numerador es el número de partes que tomamos del entero.
El denominador es el número de partes iguales en las que dividimos al entero.

Observa este gráfico:

El denominador es 4 porque el cuadrado está dividido en 4 partes iguales.
El numerador es 3 porque solo 3 cuadros están coloreados de rojo.

VER INFOGRAFÍA

Raya fraccionaria: ¿quién la creó?

Las fracciones eran empleadas en la antigüedad por los babilonios, romanos y egipcios. No obstante, fue hasta el siglo XIII que empezaron a usarse tal y como las conocemos en la actualidad. Esto sucedió gracias a los trabajos de Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci. Él fue quien creó la raya para separar al numerador y denominador.

tipos de fracciones

Las fracciones pueden ser propias, impropias y aparentes.

Fracciones propias

Son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador. La fracción propia representa un número menor que el entero.

– Ejemplo:

El cuadrado totalmente pintado de verde representa al número entero 1, mientras que el cuadrado con una sola parte pintada de verde representa a la fracción 1/2, es decir, la mitad de 1.

Observa que el gráfico de la fracción tiene menos partes verdes que el de la unidad, es decir, es menor que 1.

Símbolos de relación

Son los que usamos para indicar que una cantidad es mayor, menor o igual a otra. Estos son:

Símbolo	Significado
<	Menor que
>	Mayor que
=	Igual a

Fracciones impropias

Son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador. La fracción impropia representa un número mayor que el entero.

– Ejemplo:

El cuadrado totalmente pintado de morado representa al número 1. Para representar la fracción 4/3 fue necesario una unidad (un cuadrado morado) y 1/3 de otra unidad (tomar una parte de otro cuadrado).

Observa que el gráfico de la fracción tiene más partes moradas que el de la unidad, es decir, es mayor que 1.

¡Dibuja una fracción impropia!

$\frac{5}{2}$ es una fracción impropia porque su numerador es mayor a su denominador. Para graficar la fracción seguimos estos pasos:

1. Tomamos una figura como la unidad, por ejemplo un cuadrado.

2. Como el denominador es 2, dividimos en dos partes iguales el cuadrado.

3. Como el numerador es 5, debemos pintar cinco partes, pero cada figura de la unidad solo tiene 2 partes. Por ello, añadimos más figuras idénticas para poder pintar las cinco partes.

Observa que la fracción $\frac{5}{2}$ es mayor a 1 porque hicieron falta dos unidades completas y la mitad de otra para poder representarla.

Fracciones aparentes

Son aquellas en las que el resultado es igual a un número entero.

– Ejemplo:

Al ver el gráfico nos damos cuenta que 4/2 es igual a 2 enteros.

¿De qué tipo son estas fracciones?

Observa estas fracciones y responde:

¿Cuáles fracciones son impropias?

Solución

$\frac{9}{2}$ y $\frac{10}{6}$

¿Cuáles fracciones son propias?

Solución

$\frac{3}{6}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{1}{2}$ y $\frac{6}{7}$

¿Cuáles fracciones son aparentes?

Solución

$\frac{8}{2}$ y $\frac{6}{3}$

Fracciones egipcias

Hace miles de años los egipcios escribieron cómo utilizaban las fracciones en el papiro de Rhind. Este documento muestra cómo clasificaban y sumaban las fracciones en su época.

fracciones en la vida cotidiana

En muchas actividades que realizamos en el día utilizamos fracciones. Cuando ayudamos en la cocina vemos como una receta tiene sus ingredientes con fracciones, por ejemplo, 1/2 taza de azúcar. También usamos este tipo de números cuando vamos a la panadería y nos venden 3/4 kilo de pan, o en la verdulería 1/4 kilo de tomates. Al repartir comida, golosinas y otras cosas empleamos una parte del todo para que el reparto sea igualitario.

¡A practicar!

1. Observa estas fracciones y responde las preguntas: