CAPÍTULO 3 / TEMA 3

FRACCIONES Y DECIMALES

Algunos números decimales pueden ser representados a través de fracciones, por esta razón se dice que los números decimales y las fracciones se encuentran relacionados. Los números decimales que se pueden representar a través de fracciones se denominan racionales y de acuerdo a su tipo se realiza la conversión.

Los números fraccionarios están formados por el numerador y el denominador que se encuentran divididos por una raya horizontal. Por otro lado, los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal separadas por una coma. En el caso de números racionales es posible representar la misma cantidad en fracción o decimal.

LOS NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales son aquellos que están formados por una parte entera y una parte decimal. Estos están separados por una coma o un punto. Estos números son otra forma de escribir el resultado de las fracciones. Ambas expresiones representan cualquier número no entero (aunque las fracciones pueden representar cantidades enteras en el caso de las fracciones aparentes).

En este sentido, las fracciones se pueden expresar en forma de números decimales, para lo cual se debe realizar la división de la fracción, es decir, numerador entre denominador. Por ejemplo, al dividir el numerador entre el denominador de la fracción 5/4 se obtiene 1,25, que corresponde a la misma cantidad.

Convertir una fracción a número decimal

Solo existe un método para convertir una fracción a número decimal y se realiza a través de la división. Si divides el numerador entre el denominador por lo general obtienes un número decimal. Siempre y cuando no sea una fracción aparente, en la que el resultado es un número entero (como en el caso de 4/2 = 2).

Algunos ejemplos de conversión de fracciones a decimales son los siguientes:

$\frac{9}{8}=1,125$

$\frac{3}{14}=0,214$

$\frac{26}{63}= 0,4127$

Convertir un número decimal a fracción

Existen diferentes procedimientos para convertir números decimales a fracciones. Estos pasos dependen del tipo de número que se va a transformar.

Tipos de números decimales

Los números decimales pueden ser racionales o irracionales. Los racionales pueden representarse en forma de fracción y los irracionales no. Los números racionales se clasifican en decimales exactos y decimales periódicos.

Decimales exactos: son aquellos números que tiene una parte limitada o finita de cifras decimales. Los decimales finitos representan a las fracciones decimales. Por ejemplo: 2,38; 4,681; 68,98135; 9647,3543.

Decimales periódicos: son aquellos en los que toda la parte decimal o una porción de esta sigue un patrón infinito de números denominado período y se denota en forma de arco en la parte superior del mismo.

Se pueden distinguir dos tipos de decimales periódicos:

Números decimales periódicos puros

Estos números decimales tienen la parte decimal periódica inmediatamente después de la coma. La parte periódica se suele señalar usualmente con una línea horizontal o arco en la parte superior del mismo. Por ejemplo: 2,3333… = $\inline 2,\widehat{33}$ .

Números decimales periódicos mixtos

Estos números decimales poseen dos partes decimales: una parte no periódica, denominada anteperíodo, y la otra parte es la periódica, que se denota con el arco superior. Por ejemplo: 2,147151515… = $\inline 2,147\widehat{15}$ .

¿Sabías qué?

Al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro se obtiene un número irracional denominado número pi.

Convertir un número decimal exacto a fracción

Para transformar un número decimal exacto a una fracción decimal se debe escribir el decimal dividido por 1. Luego hay que multiplicar tanto el numerador como el denominador por una potencia de base diez (10, 100, 1.000, etc.) que tenga tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Si la fracción que se obtiene no es irreducible, entonces se debe simplificar para obtener el resultado

Por ejemplo:

Otro ejemplo sería:

Al igual que las demás clases de números, los decimales y los fraccionarios pueden ubicarse en la recta numérica. Estos se encuentran entre dos números enteros, por lo tanto, permiten realizar e indicar mediciones mucho más precisas. Un ejemplo de esto son las llaves mecánicas, las cuales tienen medidas fraccionarias en pulgadas y decimales en milímetros.

Convertir un decimal periódico puro a fracción

Para convertir un decimal periódico puro a fracción es necesario aplicar los siguientes pasos:

1. Se coloca en el numerador una resta entre el número formado por la parte entera y la parte periódica sin la coma, y la parte entera. Observemos el siguiente ejemplo en el que se desea convertir en fracción el número $\inline 7,\widehat{66}$ .

2. Se coloca en el denominador un número formado por tantos 9 según la cantidad de cifras en el período, es decir, si hay un número bajo la línea periódica se coloca un solo 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99 y así sucesivamente.

3. Se realizan las operaciones matemáticas necesarias para conseguir la fracción. Se simplifica si es necesario.

$7,\widehat{66}=\frac{766-7}{99}=\boldsymbol{\frac{759}{99}}$

Veamos otro ejemplo en el cual se aplicaron los mismos pasos:

$92,\widehat{35}=\frac{9235-92}{99}=\boldsymbol{\frac{9.143}{99}}$

Convertir un decimal periódico mixto a fracción.

Para llevar un número decimal mixto a fracción, seguimos los siguientes pasos:

1. Se coloca en el numerador una resta formada por el número completo sin la coma menos la parte entera y el anteperíodo. Observemos el siguiente ejemplo: $\inline 58,3\widehat{7}$ .

2. Se coloca el denominador de la fracción que será un número formado por tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo.

Por último, se realizan los cálculos necesarios para conseguir la fracción y se simplifica si la misma lo requiere.

$58,3\widehat{7}=\frac{5837-583}{90}=\frac{5.254}{90}=\boldsymbol{\frac{2.627}{45}}$

Veamos otro ejemplo con el mismo procedimiento:

$64,12\widehat{91}=\frac{641291-6412}{9900}=\boldsymbol{\frac{634.879}{9.900}}$

Los números irracionales

Este tipo de números decimales no pueden ser convertidos en fracciones, debido a que tienen cifras decimales infinitas que no pueden ser definidas como un patrón. Por lo tanto, crear una fracción de estos números sería infinita. Podemos mencionar como ejemplos de estos números al número pi = 3,1416… o al resultado de $\sqrt{7}=2,6457512110...$

VER INFOGRAFÍA

La estadística es una de las ramas de la matemática que emplea el uso de los números fraccionarios y decimales para realizar el estudio de muestras y poblaciones. Por tal motivo, tener conocimientos sobre cómo convertir un número fraccionario a decimal, y viceversa, puede ser muy útil en diversos campos.

Operaciones entre fracciones y decimales

Los números decimales y las fracciones se pueden sumar, restar, dividir, y multiplicar, entre otras operaciones, siempre y cuando se apliquen los métodos anteriormente vistos, como convertir un número decimal a fracción o una fracción a número decimal. Es importante tener presente que para resolver estos ejercicios debemos convertir todos los números a decimales o todos los números a fracciones.

– Primer método: convertir la fracción en un número decimal. Esto se realiza al dividir el numerador entre el denominador.

Ejemplo:

$45,18 + \frac{38}{17}= 45,18 + 2,2353 = 47,4153$

– Segundo método: convertir el número decimal en una fracción. En este caso, se utiliza la conversión del número decimal a fracción. En el ejemplo anterior, se puede notar que el número decimal es exacto, por lo tanto, se utiliza la conversión de número decimal exacto a fracción.

$45,18+\frac{38}{17}=\frac{4.518}{100}+\frac{38}{17}=\frac{2.259}{50}+ \frac{38}{17}=\frac{2.259\times 17+50\times38}{50\times 17}= \frac{38.403+1.900}{850}=$

$\boldsymbol{=\frac{40.303}{850}}$

En ambos casos se obtuvo el mismo resultado expresado de una forma diferente $\frac{40.303}{850}=47,4153$

Estos pasos previos se utilizan para realizar los otros cálculos matemáticos como la división, la multiplicación, las potencias, las raíces y las operaciones combinadas.

¡A practicar!

1. Convierte los siguientes números a decimales:

a) $\frac{15}{12}$

RESPUESTAS

$\frac{15}{12}=1,25$

b) $\frac{28}{15}$

RESPUESTAS

$\frac{28}{15}= 1,8\widehat{6}$

2. Convierte los siguientes números a fracciones:

a) $42,56\widehat{3}$

RESPUESTAS

$42,56\widehat{3}=\frac{42.563-4.256}{900}=\frac{38.307}{900}$

b) $938,\widehat{7}$

RESPUESTAS

$938,\widehat{7}=\frac{9.387-938}{9}=\frac{8.449}{9}$

c) $456,328$

RESPUESTAS

$456,328=\frac{456.328}{1.000}=\frac{228.164}{500}=\frac{114.082}{250}=\frac{57.041}{125}$

3. Resuelve las siguientes operaciones:

a) $726,328+\frac{15}{6}$

RESPUESTAS

$726,328+\frac{15}{6}=\frac{726.328}{1.000}+\frac{15}{6}=\frac{90.791}{125}+\frac{15}{6}= 728,828$

b) $415,14-\frac{425}{3}$

RESPUESTAS

$415,14-\frac{425}{3}=415,14-141,66=273,48$

c) $26,31\times\frac{18}{23}$

RESPUESTAS

$26,31\times\frac{18}{23}=\frac{2.631}{100}\times\frac{18}{23}= \frac{47.358}{2.300}=\frac{23.679}{1.150}$

d) $92,78 :\frac{87}{17}$

RESPUESTAS

$92,78 :\frac{87}{17}=\frac{9.278}{100}:\frac{87}{17}=\frac{4.639}{50}:\frac{87}{17}=\frac{\frac{4.639}{50}}{\frac{87}{17}}=\frac{78.863}{4.350}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Resolución de cálculos combinados con paréntesis, corchetes y llaves”

Este artículo explica cómo resolver operaciones matemáticas con fracciones y decimales que incluyen paréntesis, corchetes y llaves.

VER

Artículo “Cómo realizar ejercicios combinados con fracciones”

El siguiente artículo destacado se enfoca en los pasos a seguir para resolver cálculos de operaciones combinadas con fracciones.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 1

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES

Los números fraccionarios están en nuestra vida cotidiana, por lo tanto, es de mucha importancia conocer cómo realizar adiciones y sustracciones con ellos. Para realizar estas operaciones se usan diferentes métodos que requieren realizar a su vez otras operaciones como el mcm.

Diferentes métodos para la resolución de problemas

Para resolver problemas de fracciones es necesario compararlas y conocer el tipo de fracción. De esta manera, podemos elegir qué tipo de método usar para resolver la operación.

Fracciones homogéneas

Son aquellas fracciones que poseen el mismo denominador. Debido a esto, para la suma y la resta de fracciones se coloca el mismo denominador y se suman o restan los numeradores de la siguiente manera:

Suma de fracciones homogéneas

$\frac{6}{3}+\frac{4}{3}=\frac{6+4}{3}=\frac{10}{3}$

Resta de fracciones homogéneas

$\frac{9}{5}-\frac{8}{5}=\frac{9-8}{5}=\frac{1}{5}$

Muchas de las fórmulas matemáticas empleadas en la resolución de problemas contienen sumas y restas de fracciones. En este sentido, es necesario conocer los diferentes métodos que se pueden aplicar de acuerdo al tipo de fracción presente en los ejercicios. Entre estos métodos están: la multiplicación cruzada o el cálculo del mínimo común múltiplo.

Fracciones Heterogéneas

Son aquellas fracciones que poseen distinto denominador. Para este tipo, existen diferentes métodos o formas de resolver adiciones y sustracciones.

Primer método: multiplicar en forma cruzada.

Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y se coloca en el numerador. $\frac{{\color{Blue} 3}}{5}+\frac{6}{{\color{Blue} 4}}=\frac{({\color{Blue} 3\times 4})}{}$

Luego se multiplica el numerador de la segunda por el denominador de la primera y se suma con el numerador resultante de la multiplicación anterior.
$\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Red} 6}}{{\color{Blue} 4}}=\frac{({\color{Blue} 3\times 4})+({\color{Red} 5\times 6})}{}$

Se procede a multiplicar los denominadores de ambas fracciones.

$\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Red} 6}}{{\color{Blue} 4}}=\frac{({\color{Blue} 3\times 4})+({\color{Red} 5\times 6})}{{\color{Red} 5}\times {\color{Blue} 4}}$

Se realizan los cálculos necesarios y se obtiene la fracción resultante.

$\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Red} 6}}{{\color{Blue} 4}}=\frac{({\color{Blue} 3\times 4})+({\color{Red} 5\times 6})}{{\color{Red} 5}\times {\color{Blue} 4}}=\frac{12+30}{20}=\mathbf{\frac{42}{20}}$

Segundo método: hallar el mínimo común múltiplo (mcm).

Se obtiene el mcm de los denominadores de la siguiente manera:

$\frac{5}{8}+\frac{7}{6}=$

Se coloca el mcm como denominador resultante y se divide entre el denominador de la primera fracción y se multiplica por el numerador de la misma fracción. El resultado se coloca de numerador.

$24\div 8={\color{Red} 3}$

${\color{Red} 3}\times 5={\color{Blue} 15}$

$\frac{5}{8}+\frac{7}{6}=\frac{{\color{Blue} 15}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }{24}$

Se realiza el mismo procedimiento con la segunda fracción.

$24\div 6={\color{Red} 4}$

${\color{Red} 4}\times 7={\color{DarkGreen} 28}$

$\frac{5}{8}+\frac{7}{6}=\frac{{\color{Blue} 15}+{\color{DarkGreen} 28}}{24}$

Se realizan las operaciones correspondientes para obtener el resultado final.

$\frac{5}{8}+\frac{7}{6}=\frac{15+28}{24}=\mathbf{\frac{43}{24}}$

Para encontrar el resultado de una suma o una resta de fracciones muchas veces se recomienda simplificar los términos para tener un mejor resultado. Esta técnica consiste en dividir ambos términos entre el mismo número. Por lo general, se utilizan los números primos para llegar a una fracción irreducible. Para simplificar fracciones rápidamente se recomienda tener presente los criterios de divisibilidad de un número.

¿Sabías qué?

Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar.

Otros tipos de fracciones

Fracciones aparentes: son aquellas que cumplen la condición de que al dividir el numerador entre el denominador, el resultado es un número entero. Por ejemplo, las fracciones $\inline \frac{8}{4},\frac{2}{2}$ y $\inline \frac{9}{3}$ son fracciones aparentes.

$8\div 4=2$

$2\div 2=1$

$9\div 3=3$

Fracciones equivalentes: son aquellas que se obtienen al multiplicar al numerador y al denominador por un mismo número. A este procedimiento también se lo denomina amplificación. Las fracciones $\inline \frac{3}{2}$ y $\inline \frac{15}{10}$ son fracciones equivalentes.Otro método para obtener fracciones equivalentes es por simplificación. En dicho caso, se divide tanto al numerador como al denominador por el mismo número. Las fracciones $\inline \frac{33}{15}$ y $\inline \frac{11}{5}$ son fracciones equivalentes.

Tercer método: utilizar las fracciones equivalentes.

Se convierten las fracciones en homogéneas mediante el uso de las fracciones equivalentes. Para hallar las equivalentes se multiplica una de las fracciones por una fracción aparente, cuyo resultado sea 1, como por ejemplo $\inline \frac{2}{2}$ , $\inline \frac{5}{5}$ , $\inline \frac{7}{7}$ que permite hallar una fracción equivalente de la primera. En la sumatoria de $\inline \frac{3}{2}+\frac{9}{10}$ , para convertir $\inline \frac{3}{2}$ en una equivalente de igual denominador de la segunda (10), se multiplicó por la fracción aparente $\frac{5}{5}$ .

Se reescribe la adición de fracciones con la nueva fracción equivalente. De esta manera, las fracciones son homogéneas, por lo que pueden realizarse los cálculos para dichas fracciones, es decir, se suman los numeradores y se coloca el mismo denominador común (10).

La sustracción o resta de fracciones se realiza con el mismo procedimiento que la adición o suma, con la diferencia que, en vez de sumarlas, se restan.

En matemáticas es posible representar los números enteros como una suma de fracciones. Asimismo, aunque parezca difícil, existen procedimientos como convertir un entero en fracción, que se utiliza para resolver combinaciones de números enteros y fraccionarios. En estos casos, se coloca 1 como denominador del número entero.

adición y sustracción de fracciones con números enteros

Existen problemas en los cuales se pueden conseguir fracciones con números enteros. Aunque parece más complicado resolver este tipo de ejercicios, no lo es. Para sumar $\inline \frac{4}{5}+3$ lo primero que debemos hacer es identificar el tipo de números involucrados en la operación.

$\frac{4}{5}+3=$

Luego se convierte el número entero en una fracción para lo cual colocamos como denominador del número entero la unidad (1). Esto se debe a que el número (1) como denominador no modifica el entero existente, porque todo número divido entre (1) es igual al mismo número.

Se procede a realizar los cálculos con cualquier método de fracciones heterogéneas visto anteriormente. En este caso, se aplicará el método cruzado.

$\frac{{\color{Blue} 4}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Blue} 1}}=\frac{({\color{Blue} 4\times 1})+({\color{Red} 5\times 3})}{{\color{Red} 5}\times {\color{Blue} 1}}$

Por último, se realizan las operaciones matemáticas necesarias para hallar el resultado.

$\frac{{\color{Blue} 4}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Blue} 1}}=\frac{({\color{Blue} 4\times 1})+({\color{Red} 5\times 3})}{{\color{Red} 5}\times {\color{Blue} 1}}=\frac{4+15}{5}=\mathbf{\frac{19}{5}}$