CAPÍTULO 3 / TEMA 5 (REVISIÓN)

FRACCIONES Y PORCENTAJES |¿QUÉ APRENDIMOS?

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES

La adición y la sustracción de fracciones se realiza con diferentes métodos. El método elegido va a depender del tipo de fracción que se vaya a sumar o a restar. Si las fracciones son homogéneas, se coloca el mismo denominador y se suman o restan sus numeradores. Cuando las fracciones son heterogéneas se pueden emplear diferentes procedimientos como la multiplicación cruzada, la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) a los denominadores de las fracciones o el uso de fracciones equivalentes.

Las fracciones también se pueden sumar o restar con los números enteros, para lo cual se convierte el número entero en fracción.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES

La multiplicación de fracciones se realiza mediante la multiplicación lineal de sus factores, numerador por numerador y denominador por denominador. Por otra parte, la división de fracciones tiene tres formas de resolverse. Una de ellas es de forma cruzada, a través de la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se coloca como numerador de la fracción resultante. Luego se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y el resultado se coloca en el denominador resultante. Otra manera es intercambiar el numerador y el denominador de la segunda fracción para resolverlo de manera lineal como la multiplicación. Y por último, otra opción consiste en el método de la doble c, en el cual la segunda fracción se coloca por debajo de la primera y se multiplican los términos exteriores para obtener el numerador resultante y los interiores para obtener el denominador resultante.

Conocer cómo simplificar fracciones es muy importante para facilitar los cálculos.

FRACCIONES Y DECIMALES

Las fracciones y los números decimales se encuentran muy relacionados, ya que las fracciones se pueden representar de forma decimal y algunos decimales se pueden expresar de forma fraccionaria. Las fracciones se encuentran formadas por el numerador y el denominador separados por una línea horizontal. Los decimales tienen una parte entera y una parte decimal divididas por una coma. Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción se obtiene un número decimal (o entero cuando se trata de una fracción aparente). Por otra parte, los decimales se pueden convertir en fracciones por diferentes procedimientos, según el número decimal sea exacto, periódico puro o periódico mixto. Existen números decimales que no pueden ser convertidos en fracciones como el número pi y son denominados números irracionales.

Los números periódicos son números decimales infinitos con una o más cifras decimales denominadas período que se repiten indefinidamente.

EL PORCENTAJE

El porcentaje se representa con el símbolo “%”. Es una forma de expresar una fracción dividida entre 100. Por esta razón, los números fraccionarios, los decimales y los porcentajes se encuentran muy relacionados. Los porcentajes se pueden transforman en números decimales al dividirlos entre el 100 %. Para calcular el porcentaje de una cifra se puede realizar mediante dos procedimientos. El primero es convertir el porcentaje en una fracción decimal y multiplicarlo por la cantidad total. Y el segundo método consiste en la regla de tres simple, en la cual el valor total es equivalente al 100 % y el porcentaje buscado corresponde al valor de la incógnita que queremos conocer.

CAPÍTULO 3 / TEMA 4

EL PORCENTAJE

En nuestra vida diaria es frecuente escuchar expresiones relacionadas con porcentajes como “la población creció un 20 %” o “hay un 50 % de descuento en ropa”. El porcentaje se utiliza para representar una porción de algo y se encuentra muy relacionado con los números decimales y los fraccionarios.

RELACIÓN DEL PORCENTAJE CON LAS FRACCIONES Y LOS DECIMALES

Para poder realizar el cálculo del porcentaje primero hay que saber que este representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100, equivalente al 100 % del número entero, y el numerador es una porción de este. Analicemos el siguiente ejemplo: según la Organización Mundial de la Salud (OMS), el 80 % de las personas que se contagian con el SARS-CoV-2 y desarrollan COVID‑19 se recuperan de la enfermedad sin necesidad de tratamiento hospitalario.

El porcentaje quiere decir que de cada 100 personas que contraen coronavirus, 80 personas se recuperan sin tener que ser hospitalizadas. Por lo tanto, el numerador de la fracción representa la porción de la población que se recupera y el denominador será la población total del estudio. En esta relación de porcentajes y fracciones también es posible aplicar el método de simplificación.

Con el resultado anterior concluimos que 8 de cada 10 personas contagiadas se recuperan sin necesidad de ser hospitalizadas.

Veamos otro ejemplo. La OMS dice que aproximadamente 1 de cada 5 personas que contraen la COVID‑19 presentan un cuadro grave y experimenta dificultades para respirar. Esto quiere decir:

Entonces, quiere decir que aproximadamente el 20 % de la población que se contagia con la enfermedad presenta un cuadro grave.

Asimismo, los porcentajes pueden ser convertidos en forma de números decimales al dividirse entre el 100 %, que representa al total. Y por el contrario, para convertir un número decimal a porcentaje basta con multiplicarlo por 100 %. En este sentido, los dos ejemplos anteriores se pueden expresar en forma decimal de la siguiente manera:

Porcentaje	Fracción	Número decimal
$80\: %$	$\frac{80}{100}$	$0,8$

Fracción	Número decimal	Porcentaje
$\frac{1}{5}$	$0,2$	$0,2\times 100 = 20 \: %$

Los porcentajes son muy utilizados en diferentes campos, debido a que estos equivalen a una porción de un todo. Pueden ser representados en gráficos, lo que ayuda a una mejor comprensión y a un análisis más rápido de los datos. Por otra parte, los porcentajes se pueden representar en números decimales o en números fraccionarios.

CÁLCULO DE PORCENTAJE

Existen ocasiones en nuestro día a día en los que se requiere calcular el porcentaje de un total o viceversa. También hay veces que queremos conocer qué cantidad del total representa el porcentaje. En ese caso, se emplea el siguiente método:

Covertir un porcentaje a la porción que representa

Tomemos el siguiente ejemplo: un jugador de baloncesto durante toda la temporada realizó 120 lanzamientos y falló el 25 % de sus tiros. Se quiere saber cuántos lanzamientos falló durante la temporada.

Para conocer la cantidad que representa un porcentaje respecto a un total, lo primero que debemos hacer es convertir el porcentaje a una fracción decimal y luego se multiplica por el total que, en este caso, son los 120 lanzamientos que realizó el jugador.

Al transformar el porcentaje en una fracción decimal se obtiene el siguiente resultado:

$25\, % =\frac{25}{100} = \frac{5}{20}= \frac{1}{4}$

Luego multiplicamos esa fracción por la cantidad de lanzamientos que realizó el jugador.

$\frac{1}{4}\times 120=\frac{1}{4}\times \frac{120}{1}= \frac{120}{4}=30$

Esto quiere decir que, de los 120 lanzamientos que realizó el jugador, falló en 30 de sus lanzamientos, es decir, el 25 %.

Los porcentajes son muy empleados por los empresarios o dueños de tiendas como estrategia para generar mayores ventas y mejorar sus ingresos. Al ofrecer porcentajes de descuentos en sus productos, el índice de ventas aumenta y conlleva a un crecimiento de sus ingresos. Por otro lado, también pueden aplicar porcentajes de recargo como sucede en las compras con tarjetas de crédito.

Uso de la regla de tres

Cuando se trabaja con porcentajes, las cantidades son directamente proporcionales, por lo tanto, estos pueden ser calculados mediante el uso de la regla de tres simple. En estos casos, si una cantidad aumenta, la otra también, y en el caso de que una disminuya, la otra también lo hace. Por lo tanto, es una regla de tres directa.

Para emplear este método veamos el siguiente ejemplo: en un salón de clases hay 40 alumnos. El 30 % de ellos aprobó el examen con A, el 50 % aprobó con B y el resto obtuvo una C. ¿Cuántos alumnos obtuvieron A, B y C?

Si en el salón hay 40 alumnos, entonces ellos representan el 100 %. Entonces planteamos las reglas de la siguiente manera:

El 30 % de lo alumno obtuvieron A:

$100\: %\rightarrow 40$

$30\: % \rightarrow x$

$x=\frac{30\: % \times 40}{100\: %}$

$\boldsymbol{x=12}$

El 50 % de los alumnos obtuvieron B:

$100\: %\rightarrow 40$

$50\: %\rightarrow x$

$x=\frac{50\: %\times 40}{100\: %}$

$\boldsymbol{x=20}$

El 20 % de los alumnos obtuvieron C:

$100\: %\rightarrow 40$

$20\: %\rightarrow x$

$x=\frac{20\: %\times 40}{100\: %}$

$\boldsymbol{x=8}$

Entonces, se concluye que los 12 alumnos con A representan el 30 %, los 20 alumnos con B equivalen al 50 % y 8 de ellos obtuvieron C, el equivalente al 20 %.

¿Sabías qué?

Se tienen registros que señalan que el porcentaje se ha usado desde el siglo XV.

APLICACIÓN DEL PORCENTAJE EN EL COMERCIO

El porcentaje es muy utilizado de diferentes formas en el comercio, por ejemplo, para realizar descuentos o recargos a las compras.

Descuentos

Cuando se habla de descuento, quiere decir que a la cantidad total que se va a pagar hay que restarle el porcentaje. Por lo tanto, la cantidad que se obtiene como resultado es menor que la cantidad dada. Por ejemplo:

Una tienda de bicicletas eléctricas vende uno de sus modelos en 2.500 $ con un descuento de 30 % si se paga con tarjeta de crédito. ¿Cuánto será el costo de la bicicleta si se paga con tarjeta de crédito?

Para realizar este ejercicio utilizaremos el primer método visto anteriormente.

Se convierte el porcentaje en fracción.

$30\, %=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$

Se multiplica por el costo de la bicicleta.

$\frac{3}{10}\times 2.500 = \frac{7.500}{10}= 750$

Se resta el porcentaje de descuento (750 $) al total del costo de la bicicleta.

$2.500 -750= 1.750$

El costo de la bicicleta con descuento, por el pago con tarjeta de crédito, será de 1.750 $. Observa que, como era de esperarse, la cantidad con el descuento es menor que el precio inicial.

La estadística es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de individuos o acontecimientos a través de la recolección y organización de datos. Esta emplea procedimientos que permiten obtener resultados de manera gráfica para la elaboración de conclusiones. En este sentido, la estadística se vuelve una herramienta muy útil para muchas ciencias y actividades humanas, como la sociología, la psicología, la geografía, y la economía.

Recargos

Otro de los usos que se le puede dar al porcentaje es para realizar recargos. Esto se ve mucho cuando se quiere realizar compras de artículos y no se tiene el monto total del mismo. El monto es divido en varias cuotas mas pequeñas, pero al final el costo total aumenta.

Imaginemos que se desea comprar un auto de 350.000 $ y el concesionario permite pagarlo en 12 cuotas con un recargo del 8 % sobre su costo. ¿Cuánto será el costo real del auto?

Para este ejercicio aplicaremos el segundo método visto: la regla de tres simple. Así que el 8 % de aumento por las 12 cuotas se plantea de la siguiente forma:

$100\: %\rightarrow \$ \: 350.000$

$8\: %\rightarrow x$

$x=\frac{8\: %\times \$ \: 350.000}{100\: %}$

$\boldsymbol{x= \$ \: 28.000}$

Luego, al tener el 8 % de aumento, se le suma al costo del auto 28.000 $ de aumento. Eso da un total de 378.000 $. Este es el costo del auto si se paga en 12 cuotas. Como era de esperarse, el costo del auto con recargo es mayor que el costo inicial.

¡A practicar!

1. ¿Cuánto es el 38 % de 12.583?

RESPUESTAS

El 38 % de 12.583 es 4.781,54.

2. El costo de unos zapatos para jugar al fútbol tienen un valor de 130 $. Si se pagan en efectivo se realiza un descuento del 23 %. ¿Cuánto se ahorra si se pagan en efectivo?

RESPUESTAS

Se ahorrarían 29,90 $.

3. Si se realiza un viaje en auto con un motor usado se consumen 56 litros de gasolina. Si con un motor nuevo se ahorra 26 % de gasolina, ¿cuántos litros de gasolina ahorra el motor nuevo?

RESPUESTAS

El motor nuevo ahorra 14,56 litros de gasolina.

4. Desde el 2010 hasta el 2018, 7.954 personas han intentado subir al Monte Everest. Durante esa travesía, 72 personas no pudieron completar el viaje. ¿Cuánto fue el porcentaje de personas que no pudieron completar el viaje?

RESPUESTAS

El porcentaje de personas que no pudieron completar el viaje fue del 0,9 %.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Porcentajes”

Este artículo permite analizar diferentes ejercicios en los que se aplican los porcentajes.

VER

Tarjeta Educativa “Porcentaje”

Esta tarjeta educativa sirve para resumir los aspectos básicos del porcentaje como sus aplicaciones, características y ejemplos.

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Artículo “Regla de tres”

Este artículo permite entender qué es una regla de tres, sus tipos y cómo resolverla.

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CAPÍTULO 3 / TEMA 1

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES

Los números fraccionarios están en nuestra vida cotidiana, por lo tanto, es de mucha importancia conocer cómo realizar adiciones y sustracciones con ellos. Para realizar estas operaciones se usan diferentes métodos que requieren realizar a su vez otras operaciones como el mcm.

Diferentes métodos para la resolución de problemas

Para resolver problemas de fracciones es necesario compararlas y conocer el tipo de fracción. De esta manera, podemos elegir qué tipo de método usar para resolver la operación.

Fracciones homogéneas

Son aquellas fracciones que poseen el mismo denominador. Debido a esto, para la suma y la resta de fracciones se coloca el mismo denominador y se suman o restan los numeradores de la siguiente manera:

Suma de fracciones homogéneas

$\frac{6}{3}+\frac{4}{3}=\frac{6+4}{3}=\frac{10}{3}$

Resta de fracciones homogéneas

$\frac{9}{5}-\frac{8}{5}=\frac{9-8}{5}=\frac{1}{5}$

Muchas de las fórmulas matemáticas empleadas en la resolución de problemas contienen sumas y restas de fracciones. En este sentido, es necesario conocer los diferentes métodos que se pueden aplicar de acuerdo al tipo de fracción presente en los ejercicios. Entre estos métodos están: la multiplicación cruzada o el cálculo del mínimo común múltiplo.

Fracciones Heterogéneas

Son aquellas fracciones que poseen distinto denominador. Para este tipo, existen diferentes métodos o formas de resolver adiciones y sustracciones.

Primer método: multiplicar en forma cruzada.

Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y se coloca en el numerador. $\frac{{\color{Blue} 3}}{5}+\frac{6}{{\color{Blue} 4}}=\frac{({\color{Blue} 3\times 4})}{}$

Luego se multiplica el numerador de la segunda por el denominador de la primera y se suma con el numerador resultante de la multiplicación anterior.
$\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Red} 6}}{{\color{Blue} 4}}=\frac{({\color{Blue} 3\times 4})+({\color{Red} 5\times 6})}{}$

Se procede a multiplicar los denominadores de ambas fracciones.

$\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Red} 6}}{{\color{Blue} 4}}=\frac{({\color{Blue} 3\times 4})+({\color{Red} 5\times 6})}{{\color{Red} 5}\times {\color{Blue} 4}}$

Se realizan los cálculos necesarios y se obtiene la fracción resultante.

$\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Red} 6}}{{\color{Blue} 4}}=\frac{({\color{Blue} 3\times 4})+({\color{Red} 5\times 6})}{{\color{Red} 5}\times {\color{Blue} 4}}=\frac{12+30}{20}=\mathbf{\frac{42}{20}}$

Segundo método: hallar el mínimo común múltiplo (mcm).

Se obtiene el mcm de los denominadores de la siguiente manera:

$\frac{5}{8}+\frac{7}{6}=$

Se coloca el mcm como denominador resultante y se divide entre el denominador de la primera fracción y se multiplica por el numerador de la misma fracción. El resultado se coloca de numerador.

$24\div 8={\color{Red} 3}$

${\color{Red} 3}\times 5={\color{Blue} 15}$

$\frac{5}{8}+\frac{7}{6}=\frac{{\color{Blue} 15}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }{24}$

Se realiza el mismo procedimiento con la segunda fracción.

$24\div 6={\color{Red} 4}$

${\color{Red} 4}\times 7={\color{DarkGreen} 28}$

$\frac{5}{8}+\frac{7}{6}=\frac{{\color{Blue} 15}+{\color{DarkGreen} 28}}{24}$

Se realizan las operaciones correspondientes para obtener el resultado final.

$\frac{5}{8}+\frac{7}{6}=\frac{15+28}{24}=\mathbf{\frac{43}{24}}$

Para encontrar el resultado de una suma o una resta de fracciones muchas veces se recomienda simplificar los términos para tener un mejor resultado. Esta técnica consiste en dividir ambos términos entre el mismo número. Por lo general, se utilizan los números primos para llegar a una fracción irreducible. Para simplificar fracciones rápidamente se recomienda tener presente los criterios de divisibilidad de un número.

¿Sabías qué?

Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar.

Otros tipos de fracciones

Fracciones aparentes: son aquellas que cumplen la condición de que al dividir el numerador entre el denominador, el resultado es un número entero. Por ejemplo, las fracciones $\inline \frac{8}{4},\frac{2}{2}$ y $\inline \frac{9}{3}$ son fracciones aparentes.

$8\div 4=2$

$2\div 2=1$

$9\div 3=3$

Fracciones equivalentes: son aquellas que se obtienen al multiplicar al numerador y al denominador por un mismo número. A este procedimiento también se lo denomina amplificación. Las fracciones $\inline \frac{3}{2}$ y $\inline \frac{15}{10}$ son fracciones equivalentes.Otro método para obtener fracciones equivalentes es por simplificación. En dicho caso, se divide tanto al numerador como al denominador por el mismo número. Las fracciones $\inline \frac{33}{15}$ y $\inline \frac{11}{5}$ son fracciones equivalentes.

Tercer método: utilizar las fracciones equivalentes.

Se convierten las fracciones en homogéneas mediante el uso de las fracciones equivalentes. Para hallar las equivalentes se multiplica una de las fracciones por una fracción aparente, cuyo resultado sea 1, como por ejemplo $\inline \frac{2}{2}$ , $\inline \frac{5}{5}$ , $\inline \frac{7}{7}$ que permite hallar una fracción equivalente de la primera. En la sumatoria de $\inline \frac{3}{2}+\frac{9}{10}$ , para convertir $\inline \frac{3}{2}$ en una equivalente de igual denominador de la segunda (10), se multiplicó por la fracción aparente $\frac{5}{5}$ .

Se reescribe la adición de fracciones con la nueva fracción equivalente. De esta manera, las fracciones son homogéneas, por lo que pueden realizarse los cálculos para dichas fracciones, es decir, se suman los numeradores y se coloca el mismo denominador común (10).

La sustracción o resta de fracciones se realiza con el mismo procedimiento que la adición o suma, con la diferencia que, en vez de sumarlas, se restan.

En matemáticas es posible representar los números enteros como una suma de fracciones. Asimismo, aunque parezca difícil, existen procedimientos como convertir un entero en fracción, que se utiliza para resolver combinaciones de números enteros y fraccionarios. En estos casos, se coloca 1 como denominador del número entero.

adición y sustracción de fracciones con números enteros

Existen problemas en los cuales se pueden conseguir fracciones con números enteros. Aunque parece más complicado resolver este tipo de ejercicios, no lo es. Para sumar $\inline \frac{4}{5}+3$ lo primero que debemos hacer es identificar el tipo de números involucrados en la operación.

$\frac{4}{5}+3=$

Luego se convierte el número entero en una fracción para lo cual colocamos como denominador del número entero la unidad (1). Esto se debe a que el número (1) como denominador no modifica el entero existente, porque todo número divido entre (1) es igual al mismo número.

Se procede a realizar los cálculos con cualquier método de fracciones heterogéneas visto anteriormente. En este caso, se aplicará el método cruzado.

$\frac{{\color{Blue} 4}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Blue} 1}}=\frac{({\color{Blue} 4\times 1})+({\color{Red} 5\times 3})}{{\color{Red} 5}\times {\color{Blue} 1}}$

Por último, se realizan las operaciones matemáticas necesarias para hallar el resultado.

$\frac{{\color{Blue} 4}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Blue} 1}}=\frac{({\color{Blue} 4\times 1})+({\color{Red} 5\times 3})}{{\color{Red} 5}\times {\color{Blue} 1}}=\frac{4+15}{5}=\mathbf{\frac{19}{5}}$