Los números fraccionarios están en nuestra vida cotidiana, por lo tanto, es de mucha importancia conocer cómo realizar adiciones y sustracciones con ellos. Para realizar estas operaciones se usan diferentes métodos que requieren realizar a su vez otras operaciones como el mcm.
Diferentes métodos para la resolución de problemas
Para resolver problemas de fracciones es necesario compararlas y conocer el tipo de fracción. De esta manera, podemos elegir qué tipo de método usar para resolver la operación.
Fracciones homogéneas
Son aquellas fracciones que poseen el mismo denominador. Debido a esto, para la suma y la resta de fracciones se coloca el mismo denominador y se suman o restan los numeradores de la siguiente manera:
Suma de fracciones homogéneas
Resta de fracciones homogéneas
Muchas de las fórmulas matemáticas empleadas en la resolución de problemas contienen sumas y restas de fracciones. En este sentido, es necesario conocer los diferentes métodos que se pueden aplicar de acuerdo al tipo de fracción presente en los ejercicios. Entre estos métodos están: la multiplicación cruzada o el cálculo del mínimo común múltiplo.
Fracciones Heterogéneas
Son aquellas fracciones que poseen distinto denominador. Para este tipo, existen diferentes métodos o formas de resolver adiciones y sustracciones.
Primer método: multiplicar en forma cruzada.
Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y se coloca en el numerador.
Luego se multiplica el numerador de la segunda por el denominador de la primera y se suma con el numerador resultante de la multiplicación anterior.
Se procede a multiplicar los denominadores de ambas fracciones.
Se realizan los cálculos necesarios y se obtiene la fracción resultante.
Segundo método: hallar el mínimo común múltiplo (mcm).
Se obtiene el mcm de los denominadores de la siguiente manera:
Se coloca el mcm como denominador resultante y se divide entre el denominador de la primera fracción y se multiplica por el numerador de la misma fracción. El resultado se coloca de numerador.
Se realiza el mismo procedimiento con la segunda fracción.
Se realizan las operaciones correspondientes para obtener el resultado final.
Para encontrar el resultado de una suma o una resta de fracciones muchas veces se recomienda simplificar los términos para tener un mejor resultado. Esta técnica consiste en dividir ambos términos entre el mismo número. Por lo general, se utilizan los números primos para llegar a una fracción irreducible. Para simplificar fracciones rápidamente se recomienda tener presente los criterios de divisibilidad de un número.
¿Sabías qué?
Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar.
Otros tipos de fracciones
Fracciones aparentes: son aquellas que cumplen la condición de que al dividir el numerador entre el denominador, el resultado es un número entero. Por ejemplo, las fracciones y son fracciones aparentes.
Fracciones equivalentes: son aquellas que se obtienen al multiplicar al numerador y al denominador por un mismo número. A este procedimiento también se lo denomina amplificación. Las fracciones y son fracciones equivalentes.Otro método para obtener fracciones equivalentes es por simplificación. En dicho caso, se divide tanto al numerador como al denominador por el mismo número. Las fracciones y son fracciones equivalentes.
Tercer método: utilizar las fracciones equivalentes.
Se convierten las fracciones en homogéneas mediante el uso de las fracciones equivalentes. Para hallar las equivalentes se multiplica una de las fracciones por una fracción aparente, cuyo resultado sea 1, como por ejemplo , , que permite hallar una fracción equivalente de la primera. En la sumatoria de , para convertir en una equivalente de igual denominador de la segunda (10), se multiplicó por la fracción aparente .
Se reescribe la adición de fracciones con la nueva fracción equivalente. De esta manera, las fracciones son homogéneas, por lo que pueden realizarse los cálculos para dichas fracciones, es decir, se suman los numeradores y se coloca el mismo denominador común (10).
La sustracción o resta de fracciones se realiza con el mismo procedimiento que la adición o suma, con la diferencia que, en vez de sumarlas, se restan.
En matemáticas es posible representar los números enteros como una suma de fracciones. Asimismo, aunque parezca difícil, existen procedimientos como convertir un entero en fracción, que se utiliza para resolver combinaciones de números enteros y fraccionarios. En estos casos, se coloca 1 como denominador del número entero.
adición y sustracción de fracciones con números enteros
Existen problemas en los cuales se pueden conseguir fracciones con números enteros. Aunque parece más complicado resolver este tipo de ejercicios, no lo es. Para sumar lo primero que debemos hacer es identificar el tipo de números involucrados en la operación.
Luego se convierte el número entero en una fracción para lo cual colocamos como denominador del número entero la unidad (1). Esto se debe a que el número (1) como denominador no modifica el entero existente, porque todo número divido entre (1) es igual al mismo número.
Se procede a realizar los cálculos con cualquier método de fracciones heterogéneas visto anteriormente. En este caso, se aplicará el método cruzado.
Por último, se realizan las operaciones matemáticas necesarias para hallar el resultado.
De esta forma, se pueden resolver las sustracciones o restas de números enteros y fracciones.
¿Sabías qué?
Se estima que en el 1650 a. C. se emplearon por primera vez fracciones con denominadores enteros positivos para representar las partes de un todo.
¡A practicar!
a)
RESPUESTAS
b)
RESPUESTAS
c)
RESPUESTAS
d)
RESPUESTAS
e)
RESPUESTAS
f)
RESPUESTAS
RESPUESTAS
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Clasificación de fracciones”
Este artículo permite obtener información más amplia sobre cómo se clasifican las fracciones.
Todos los días utilizamos operaciones básicas como la adición, la sustracción, la multiplicación y la división. Las adiciones con reagrupación de dos o más números se caracterizan por tener “llevadas” cuando sumamos sus unidades, decenas, centenas, etc. Las sustracciones con reagrupación son restas en las que existen cifras del minuendo que son menores a las del sustraendo. Por esta razón, hay que “pedirle” una unidad al dígito de al lado para así poder resolver el ejercicio. En el caso de la multiplicación, al igual que en la adición y en la sustracción, se observan dos tipos de operaciones: sin reagrupación y con reagrupación. Las multiplicaciones sin reagrupación son aquellas que no contienen llevadas cuando multiplicamos un dígito con otro. En cambio, las multiplicaciones con reagrupación sí poseen llevadas. En el caso de las divisiones, encontramos las exactas cuando el resto es igual a cero y las no exactas cuando el resto es diferente de cero.
Leibniz impuso el uso del punto como símbolo de la multiplicación e introdujo los dos puntos como símbolo de la división.
múltiplos y divisores
El múltiplo de un número es el resultado de multiplicar ese número por otro. Por otra parte, el divisor de un número es aquel que lo divide de manera exacta. Hay números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el uno, a estos números se los conoce como números primos. Por otro lado, los números que poseen más de dos divisores se denominan números compuestos y pueden descomponerse en factores primos.
El número 1 no es ni primo ni compuesto porque solo tiene un divisor que es él mismo.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Todo número natural se puede descomponer como una multiplicación de sus factores primos. Este tipo de expresión permite calcular el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) entre dos o más números. El mínimo común múltiplo (también llamado múltiplo común menor) de dos o más números es el menor múltiplo común de dos o más números distintos de cero. Para calcularlo, hay que descomponer los números en sus factores primos y luego elegir los números que tienen y no tienen en común a mayor potencia. El número que resulta del producto es el menor múltiplo en común. El máximo común divisor (también conocido como divisor común mayor) es el mayor divisor entre dos o más números distintos de cero. Para calcularlo también se descomponen los números en sus factores primos y luego se eligen solo los números que tienen en común a menor potencia. El producto de estos es el mayor divisor en común.
Si calculamos el mcd entre dos números de la secuencia de Fibonacci obtenemos otro número de Fibonacci. Por ejemplo, el mcd de (2, 8) = 2.
problemas con los números enteros
Una de las características de los números enteros es que permiten representar cantidades positivas y negativas, por esta razón se emplea la regla de los signos para saber qué signo tendrá un número al realizar una operación con enteros. En una adición, cuando todos los números son negativos, se suman y el resultado que se obtiene es un número negativo. Si se suman números positivos y negativos, los números de igual signo se suman y al final los dos números obtenidos se restan y se coloca el signo del número mayor. Para sustraer números enteros, hay que tener en cuenta que el símbolo de la resta cambia el signo al número que sigue según la regla. Para multiplicar y dividir números enteros primero se operan los signos mediante la regla de los signos y luego se multiplican o dividen los números según corresponda.
En Oriente se operaba con números positivos y negativos a través de ábacos, tablillas o bolas de colores. A los números negativos se los conocía como “números deudos” o “números absurdos”.
problemas con números decimales
Cuando vamos al supermercado la mayoría de los precios de los productos están marcados con números decimales. Con estos números también se pueden desarrollar las operaciones básicas de la aritmética. Para sumar números decimales tienen que coincidir la parte entera, la coma y la parte decimal de los números de acuerdo a sus valores posicionales. También podemos sumar números decimales con enteros siempre y cuando coincidan sus valores posicionales. Para sustraer también deben coincidir los valores posicionales y se pueden restar dos decimales o un decimal y un número entero. Para multiplicar dos números decimales se multiplican los números como si fuesen números naturales y el producto final será un número decimal que tendrá la cantidad de decimales igual a la suma de todos los decimales de ambos números. Si se multiplica un decimal con un natural el producto final tendrá tantos decimales como tenga el número decimal que se multiplicó inicialmente. Para dividir a estos números, ya sea por otro decimal o por un entero, hay que convertir a los números decimales en enteros. Para esto, se debe multiplicar al dividendo y al divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el número con la parte decimal de más cifras. Luego se realiza la división de manera habitual.
A comienzos del siglo XV, un matemático árabe desarrolló el conjunto de los números decimales y sus usos.
operaciones combinadas
Las operaciones combinadas son aquellas que involucran dos o más operaciones aritméticas agrupadas por diferentes símbolos. Los símbolos de agrupamiento son: los paréntesis (), los corchetes [] y las llaves {}. En una operación con estos símbolos primero se eliminan los paréntesis, luego los corchetes y, por último, las llaves. En los ejercicios combinados se pueden encontrar agrupados números enteros, fracciones, números decimales, potencias y raíces. A la hora de resolverlos, se tiene que tener en cuenta el orden de eliminación de los símbolos de agrupamiento como también el de las operaciones: primero se resuelven las potencias y las raíces, luego las multiplicaciones y las divisiones, y por último, las sumas y las restas.
El símbolo de igual “=” fue creado por el matemático inglés Robert Recorde en 1557 para evitar la expresión textual “es igual a”.
La presencia de los decimales en nuestras vidas ha permitido en ciertas ocasiones representar cantidades con mayor exactitud, por ejemplo, valores que se encuentran entre dos números enteros. Con este tipo de números podemos realizar operaciones básicas de la matemáticas a través de algoritmos similares a los usados en los números enteros.
Adición y sustracción de decimales
Los decimales se usan a diario. Un claro ejemplo son las cajas registradoras de los supermercados que suman y restan decimales todos los días, suman los productos que compramos y restan cuando obtenemos un descuento por alguna oferta. Como verás, los decimales son muy importantes para realizar operaciones en la vida cotidiana.
Adición
En el caso de la adición de números decimales, lo primero que se debe hacer es hacer coincidir los valores posicionales de los números, tanto de su parte entera (unidades, decenas, centenas, etc.) como de su parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc.).
Una manera simple de ordenar los decimales es colocar uno debajo del otro de manera que la coma quede en una misma columna al igual que los valores de la izquierda. Si uno de los números tiene menos decimales que el otro, se completa con cero su parte decimal hasta que la cantidad de cifras decimales en ambos números sea la misma.
Finalmente, luego de ordenar los números, se suman con el mismo algoritmo de la suma usado en los números enteros. La única diferencia es que se debe colocar la coma del resultado en su columna correspondiente.
Por ejemplo:
-Resolver 10,357 + 7,23.
Al ordenar los números de acuerdo a sus valores posicionales y después de aplicar el algoritmo de la suma se obtuvo el siguiente resultado:
Observa que como 7,23 tiene dos decimales y 10,357 tiene tres, se agregó un cero en los decimales de 7,23 para poder sumarlos.
De esta manera, 10,357 + 7,23 es igual a 17,587.
Sumar números decimales y números enteros
Para sumar decimales y números enteros lo único que hay que hacer es transformar los enteros a decimales. Para ello, se deben agregar tantos ceros a estos como cifras decimales tenga el número decimal. Luego se ordenan los números de la manera explicada anteriormente.
Por ejemplo:
-Resolver 169 + 34,93.
En este caso, el número 34,93 tiene dos decimales, por lo tanto, al transformar el 169 a decimal quedaría expresado como 169,00. Luego se ordenan ambos números de acuerdo a sus valores posicionales. Observa que, en este caso, se trata de una suma “con llevada” y se realiza de la misma forma que una suma de este tipo con números enteros:
De esta manera, 169 + 34,93 es igual a 203,93.
A menudo se suelen convertir números decimales a fracciones para simplificar las operaciones. Los decimales que se pueden convertir de manera más fácil a fracción son los que tienen un cero antes de la coma. En estos casos, el denominador sería la unidad seguida de la cantidad de ceros consecutivos que tenga el decimal a la izquierda, y los números restantes serán iguales al denominador. De esta manera 0,037 es igual a 37/100.
Sustracción
La sustracción con decimales se realiza de manera similar a la sustracción de números enteros. En este caso, se deben hacer coincidir los valores posicionales del minuendo y del sustraendo. En caso de que alguno de los dos números tenga menor cantidad de decimales se completa con ceros.
Por ejemplo:
-Resolver 27,45 − 10,3
En este caso, completamos los decimales del 10,3 para que sean iguales, por lo tanto, se agrega un cero a la derecha. Luego posicionamos los números uno debajo del otro de manera que cada valor posicional se encuentre en una misma columna. Luego se resuelve la resta como lo hacemos con los números enteros. Al final, se debe anotar la coma en su columna correspondiente.
De esta forma, 27,45 − 10,3 es igual a 17,15.
Restar decimales y números enteros
La sustracción también se puede realizar entre números enteros y decimales. Para realizar los cálculos, el número entero se debe convertir a decimal y luego se resuelve la operación de la forma explicada anteriormente.
Por ejemplo:
-Resolver 973 − 632,38
En este caso, como el número decimal tiene dos decimales, debemos agregar dos ceros al número entero. De esta forma, el número 973 queda expresado como 973,00. Luego se posicionan ambos números uno debajo del otro, de manera que sus valores posicionales estén en una misma columna, y se resuelve la resta con decimal. De esta forma, el procedimiento es el siguiente:
El resultado de 973 − 632,38 es 340,62.
multiplicación y división de decimales
Otras de las operaciones básicas que podemos realizar con números decimales son la multiplicación y la división. La multiplicación permite realizar sumas reiteradas de manera rápida y la división permite repartir cantidades en partes iguales.
Multiplicación
Para multiplicar dos números decimales se pueden seguir los siguientes pasos:
Multiplicar los números decimales de la misma manera que se multiplican los números enteros.
El producto final será un número decimal que tendrá la cantidad de decimales igual a la suma de los decimales que tengan el multiplicando y el multiplicador. Por ejemplo, si el multiplicando tiene dos decimales y el multiplicador tiene un decimal, el resultado será un número con tres decimales porque 2 + 1 = 3.
Por ejemplo:
-Resolver 46,5 × 8,6.
Se resuelve la multiplicación de la misma forma en la que se resuelven multiplicaciones con números enteros. El resultado que se obtiene al sumar los dos productos parciales es 39990, como 46,5 tiene un decimal y 8,6 tiene un decimal también, el resultado debe tener dos decimales, es decir; dos números después de la coma, de esta forma el resultado será: 399,90. Observa el procedimiento:
Multiplicar decimales y números enteros
La multiplicación de decimales y números enteros se realiza de la misma forma que con los números enteros. Al final, el resultado tendrá la misma cantidad de decimales que el número decimal que se multiplica.
Por ejemplo:
-Resolver 7,809 × 4.
Al resolver la multiplicación se obtiene 31236, como 7,809 tiene tres decimales, el resultado de esta multiplicación tiene la misma cantidad de decimales, es decir, el resultado es 31,236. El procedimiento aplicado fue el siguiente:
Los decimales son tan usados que podemos encontrarlos en desde una factura de compra hasta una escala de medición. De acuerdo al país, se puede usar la coma o el punto para representarlos. Por ejemplo, en México y en varios países del Caribe se emplea al punto como símbolo para separar decimales, mientras que en España y en gran parte de los países del Cono Sur se usa la coma.
División
Dividir un número entero entre un número decimal
Para dividir un número entero entre un decimal se pueden seguir los siguientes pasos:
Convertir el número decimal en un número entero. Para esto, se va a multiplicar el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el número. Por ejemplo, imagina que tenemos la división 278 : 3,6. En este caso, al convertir el decimal a entero se obtiene: 3,6 x 10 = 36.
Multiplicar al dividendo por el mismo número que se haya multiplicado al divisor. En el ejemplo anterior sería: 278 x 10 = 2.780
Dividir los números obtenidos. En este caso serían 2.780 : 36.
El resultado de la división sería el siguiente:
Cuando se restó 260 − 252 se obtuvo 8. Agregamos una coma en el cociente que era 77 y luego colocamos un 0 al lado del 8 para luego continuar con la división. En este caso, observa que el resto seguirá siempre con el mismo valor, esto se debe a que el resultado de esta división particular es un número infinito periódico (77,22222222222…), es decir, es un número en el que se repite de manera infinita un patrón en su parte decimal.
¿Sabías qué?
Los números decimales pueden ser finitos o infinitos. Dentro de estos últimos están los periódicos y los irracionales.
Dividir un número decimal entre un número entero
Para dividir un número decimal por un número entero se divide de la misma manera, como si fuesen enteros. Al bajar el primer número decimal, se agrega una coma en el cociente y se continúa la división.
El ejemplo a continuación indica el procedimiento para resolver la división 77,5 : 25. Observa que después de resolver la parte entera (77) se agrega la coma en el cociente y se continúa con la operación.
Dividir dos números decimales
Para dividir un decimal con otro decimal se pueden seguir los siguientes pasos (278,1 : 2,52):
Convertir el dividendo y el divisor en números enteros. Para esto, se multiplican ambos números por la unidad seguida de tantos ceros como sea la mayor cantidad de decimales que tengan los números. Por ejemplo, imagina que tenemos 278,1 : 2,52. El número con mayor cantidad de decimales es 2,52 que tiene dos decimales, por lo tanto tenemos que multiplicar ambos números por 100:
278,1 × 100 = 27.810
2,52 × 100 = 252
Luego se dividen los dos números obtenidos. En este caso es 27.810 : 252 y el resultado es 110,3. El procedimiento se observa a continuación:
¿Sabías qué?
Los números decimales se pueden escribir como fracciones y viceversa.
Los números decimales en la historia
A comienzos del siglo XV, un matemático árabe organizó el conjunto de los números decimales y sus usos. Un siglo más tarde, Stevin desarrolló números decimales que expresaban las décimas, centésimas, milésimas, etc., pero utilizaba una forma complicada de escritura. Por ejemplo, al número 456,765 lo escribía como 456 (0) 7 (1) 6 (2) 5 (3).
En el siglo XVII, los números decimales se empezaron a escribir con punto o coma para separar la parte entera de la parte decimal del número. En 1792, los decimales se empezaron a utilizar en todos los países al extenderse el Sistema Métrico Decimal.
¡A resolver!
Resuelve las siguientes operaciones:
a) 32,98 + 16,2 =
RESPUESTAS
49,18
b) 1.589 + 6,98 =
RESPUESTAS
1.595,98
c) 2.549,8 – 1.563,89 =
RESPUESTAS
985,91
d) 450,64 – 315,5 =
RESPUESTAS
135,14
e) 1.330,6 + 906,8 =
RESPUESTAS
2.237,4
f) 23,369 – 3,963 =
RESPUESTAS
19,406
g) 190,3 x 15 =
RESPUESTAS
2.854,5
h) 987 x 3,118 =
RESPUESTAS
3.077,466
i) 73,24 x 5,1 =
RESPUESTAS
373,524
j) 14,57 x 8,29 =
RESPUESTAS
120,7853
k) 73,8 : 6 =
RESPUESTAS
12,3
l) 885,6 : 12 =
RESPUESTAS
73,8
m) 5.462,5 : 23 =
RESPUESTAS
237,5
n) 29,095 : 5,29 =
RESPUESTAS
5,5
o) 799,46 : 1,29 =
RESPUESTAS
619,73
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Números decimales”
El siguiente artículo destacado explica que es un número decimal y describe sus diferentes tipos.
Los seres humanos tenemos la capacidad de contar cosas. Para este proceso de conteo necesitamos un conjunto de operaciones que facilitan los cálculos. La adición, la sustracción, la multiplicación y la resta son conocidas como operaciones básicas y su uso va desde lo cotidiano hasta lo científico.
Adición y sustracción por reagrupación
Las adiciones y las sustracciones las utilizamos todos los días para contar cantidades como los puntos que obtenemos en un juego o cuando necesitamos saber lo que nos tienen que dar de vuelto al hacer una compra. Existen diversos métodos para realizar estas operaciones pero el resultado siempre es el mismo.
Adición por reagrupación
A menudo hacemos uso de las adiciones para resolver distintas situaciones. Cuando los números son pequeños usamos cálculos mentales, pero cuando los números son grandes generalmente hacemos la cuenta en un papel.
Los siguientes pasos te ayudarán a resolver adiciones por reagrupación:
1. Se escriben los números a sumar uno debajo del otro, de manera que coincidan las unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc.
2. Se inicia la suma de derecha a izquierda, a partir de las unidades. Si el resultado de la suma de las unidades es mayor a 9, se anota el resultado de la unidad de dicha suma y el valor de la otra cifra se anota sobre la columna de la izquierda. De esta manera, al resultado de la columna siguiente se le suma la cifra que se anotó con antelación.
Luego se procede a sumar las siguientes columnas junto con los números de las llevadas que se hayan podido generar en sumas de columnas anteriores.
Sustracción por reagrupación
Para resolver las sustracciones por reagrupación se pueden seguir los siguientes pasos:
1. Se escriben los números a restar uno debajo del otro, de manera que coincidan las unidades, decenas, centenas, etc.
2. Igual que en la adición, la sustracción se resuelve de derecha a izquierda. Si el número de la cifra superior es menor que el de la cifra inferior, no se puede restar de forma directa. En este caso, se coloca un 1 delante del número de arriba y se resuelve la resta. A este tipo de operación se la conoce como “resta con llevada” porque al resolver la siguiente columna se le debe restar el 1 que se tomó prestado anteriormente.
3. Se repite el procedimiento hasta abarcar todas las columnas.
Multiplicación
Las multiplicaciones nos sirven para simplificar situaciones en las que tendríamos que sumar reiteradamente un mismo número. De hecho, la multiplicación consiste en calcular el resultado de sumar un número por sí mismo tantas veces como indique otro número o multiplicador. Existen dos tipos de multiplicación: sin reagrupación y con reagrupación.
Multiplicación sin reagrupación
Las multiplicaciones sin reagrupación son aquellas que no tienen llevada, es decir, que cuando multiplicamos cada una de las cifras del multiplicador por el multiplicando da como resultado un número de una cifra.
Para resolver estas multiplicaciones se siguen estos pasos:
1. Primero se calculan los productos intermedios. Se comienza con la multiplicación de las unidades del multiplicador por todas las cifras del multiplicando de derecha a izquierda y se anotan las cifras correspondientes en cada columna. En este caso se multiplica 3 × 62.312 = 186.936.
2. Luego se multiplica la decena del multiplicador por las cifras del multiplicando, se deja un espacio y se anota el número obtenido debajo del resultado anterior. Aquí se multiplica 1 × 62.312 = 62.312.
3. Luego de obtener los productos intermedios, estos se suman para obtener el resultado de la multiplicación.
Observemos ahora un ejemplo en donde el multiplicador posee tres cifras:
1. Igual que en el ejemplo anterior, lo primero que hacemos es multiplicar las unidades del multiplicador (2) por cada una de las cifras.
2. Luego dejamos un espacio en la fila de abajo y anotamos el resultado de la multiplicación de las decenas del multiplicador y el multiplicando.
3. Después dejamos dos espacios y anotamos el resultado de multiplicar las centenas del multiplicador y el multiplicando.
4. Finalmente sumamos los tres productos obtenidos y obtenemos el resultado 45.245.252.
¿Sabías qué?
La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales. El resultado de la multiplicación se llama producto.
La multiplicación presenta varias propiedades, como la del elemento neutro, en la que todo número multiplicado por 1 es igual al mismo número. Otra propiedad es la conmutativa que explica que el orden de los factores no altera el resultado. También presenta la propiedad distributiva la cual indica que no importan cómo se reagrupen los factores, el resultado siempre será el mismo.
Multiplicación con reagrupación
A diferencia de los ejemplos anteriores, las multiplicaciones por reagrupación tienen llevadas. Se resuelven con los mismos pasos anteriores, pero esta vez las llevadas se suman al resultado de cada multiplicación al momento de anotar los productos intermedios.
Para resolver este tipo de multiplicación se siguen estos pasos:
1. Primero se calculan los productos intermedios. Se comienza con la multiplicación de las unidades del multiplicador por todas las cifras del multiplicando de derecha a izquierda y se anotan las cifras correspondientes en cada columna. Cuando el producto de una cifra del multiplicador por una cifra del multiplicando tiene dos cifras, se anota la unidad de dicho número y la cifra correspondiente a las decenas se suma al producto siguiente.
Nota que 5 × 5 = 25. Así que colocamos la unidad (5) en la columna de los resultados y la decena (2) sobre la columna de la izquierda. Por lo tanto, al multiplicar 5 × 0 = 0 y 0 + 2 = 2.
2. Luego se multiplica la decena del multiplicador por las cifras del multiplicando, se deja un espacio y se anota el número obtenido debajo del resultado anterior.
3. Repetimos el paso anterior con las centenas del multiplicador.
4. Finalmente sumamos los productos parciales y obtenemos el resultado de la multiplicación.
división
Muchas veces tenemos la necesidad de hacer repartos de manera equitativa. La operación que nos permite hacerlo es la división. Esta puede ser exacta o inexacta.
Si la resta es la operación opuesta a la suma, la división es la opuesta a la multiplicación. Para expresar una división se pueden emplear los símbolos de “÷”, “:” y “/”. Esta operación nos sirve para repartir cantidades en partes iguales y pueden ser de dos tipos: divisiones exactas cuando el resto es igual a cero y divisiones inexactas cuando no lo es.
Divisiones exactas
Las divisiones exactas son aquellas cuyo resto es igual a cero. Esto lo determinamos al resolver la división por medio de los siguientes pasos:
Para dividir 323 ÷ 17 lo primero que debemos hacer es escribir los datos en su respectiva ubicación para poder comenzar a realizar cálculos:
2. Como tenemos dos cifras de divisor, tomamos dos de dividendo para comenzar la división y comprobamos que la cantidad sea menor a la del divisor.
3. Pensamos un número que multiplicado por 17 se acerque lo máximo posible a 32. Sabemos que 1 × 17 = 17 y 2 × 17 = 34 y es mayor que 32. Así que colocamos el 1 en el cociente, escribimos el producto debajo del 32 y restamos 32 − 17 = 15.
4. Bajamos el siguiente dígito del dividendo, en este caso el 3:
5. Buscamos un número que multiplicado por 17 sea igual o se acerque lo máximo posible a 153. En este caso sería 9, porque 17 × 9 = 153. Luego restamos el producto. Como 153 − 153 = 0 no seguimos la división y el resto de esta es cero, lo que significa que es exacta.
Podemos escribir que 323 ÷ 17 = 19.
Divisiones no exactas
Las divisiones no exactas son aquellas que tienen un resto distinto de cero. El procedimiento para resolverlas es igual al anterior lo único que cambia es que la división termina cuando el resto obtenido es menor al divisor. Observemos el siguiente ejemplo:
Podemos escribir esta división de la siguiente forma:
5.584 ÷ 24 = 232 y resto = 16.
Historia de los símbolos matemáticos
Muchos países en la Antigüedad utilizaban abreviaturas para indicar algunas operaciones matemáticas. Los italianos, por ejemplo, utilizaban una “p” y una “m” para indicar la suma y la resta (plus y minus, en latín). Luego se impuso el uso de la abreviatura alemana ”+” y “−”. Estos símbolos se usaron por primera vez en un libro alemán de Widman en 1489.
El primer símbolo que se utilizó para la multiplicación fue “×”, utilizado por Oughtred en 1631. Varios años después Leibniz impuso el punto “·” como símbolo de la multiplicación porque decía que el símbolo que se usaba era fácil de confundir con la letra equis “x”.
Fibonacci, en el siglo XIII, creó la barra horizontal para las fracciones. Esta separaba el numerador del denominador. En 1845, De Morgan ideó la barra oblicua (/) para denotar a la división. Antes de la barra oblicua, Rahn inventó para la división el signo ÷. Los dos puntos (:) los introdujo Leibniz en el caso de que se quisiese escribir una división en una sola línea.
¡A practicar!
1. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.
a) 3.005.078 + 5.119.839 =
Solución
8.124.917
b) 4.313.528 − 499.999 =
Solución
3.813.529
c) 27.521.666 − 14.124.917 =
Solución
13.396.739
d) 187.324.949 + 153.286.084 =
Solución
340.611.033
2. Resuelve las siguientes multiplicaciones.
a) 2.321.231 × 231 =
Solución
536.204.361
b) 1.639.121 × 452 =
Solución
740.882.692
c) 3.141.243 × 221 =
Solución
694.214.703
d) 796.467 × 734 =
Solución
584.606.778
3. Resuelve las siguientes divisiones.
a) 48.321.564 : 12 =
Solución
4.026.797
b) 240.526 : 18 =
Solución
13.362 y su resto es 10.
c) 451.542 : 42 =
Solución
10.751
d) 2.795.615 : 26 =
Solución
107.523 y su resto es 17.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Operaciones básicas de los números naturales y sus propiedades”
El siguiente artículo destacado explica cuáles son las principales propiedades de las operaciones básicas en números naturales.
Artículo “Suma y resta utilizando el algoritmo de descomposición”
Este artículo explica uno de los métodos para resolver sumas y restas que se fundamenta en la descomposición de un número de acuerdo a los valores posicionales de sus cifras.
LOS CÁLCULOS MATEMÁTICOS SON OPERACIONES QUE REALIZAMOS PARA CONOCER EL RESULTADO DE ALGO EXPRESADO EN NÚMEROS. LAS OPERACIONES QUE UTILIZAMOS CON MAYOR FRECUENCIA SON LA SUMA Y LA RESTA. PARA REGISTRARLAS EN FORMA ESCRITA UTILIZAMOS EL SÍMBOLO + (QUE SE LEE “MÁS”) Y EL SÍMBOLO − (QUE SE LEE “MENOS”). REALIZAMOS CÁLCULOS MATEMÁTICOS EN NUESTRA VIDA DIARIA: CUANDO PAGAMOS ALGO, AL MEDIR EL TIEMPO, PARA CONOCER UNA DISTANCIA Y HASTA PARA HACER MÚSICA.
LA MATEMÁTICA NO SOLO NOS SIRVE PARA LA ESCUELA, SINO QUE LA UTILIZAMOS A DIARIO EN NUESTRA VIDA COTIDIANA.
ADICIÓN O SUMA
LA ADICIÓN O SUMA ES LA OPERACIÓN DE AGREGAR O AGRUPAR CANTIDADES PARA OBTENER UN RESULTADO. ESAS CANTIDADES LLEVAN EL NOMBRE DE SUMANDOS, EL RESULTADO SE DENOMINA SUMA. AL SUMAR NÚMEROS DE DOS DÍGITOS A VECES ES CONVENIENTE ESCRIBIR LA OPERACIÓN EN FORMA VERTICAL. EN ESE CASO ES IMPORTANTE UBICAR EN LA COLUMNA DE LA DERECHA LAS UNIDADES Y EN LA DE LA IZQUIERDA LAS DECENAS.
CUANDO LOS NÚMEROS SON PEQUEÑOS PODEMOS USAR PALITOS O LOS DEDOS PARA HACER LA SUMA.
SUSTRACCIÓN O RESTA
LA SUSTRACCIÓN O RESTA ES LA OPERACIÓN CONTRARIA A LA SUMA. CONSISTE EN EXTRAER O QUITAR A UNA CANTIDAD MAYOR A UNA MENOR. AL NÚMERO MAYOR LO LLAMAMOS MINUENDO Y AL MENOR LO LLAMAMOS SUSTRAENDO, EL RESULTADO DE LA RESTA SE CONOCE COMO DIFERENCIA O RESTA.
EN LA RESTA USAMOS EL SIGNO − QUE SE LEE “MENOS”. POR EJEMPLO, 4 − 3 = 1 SE LEE “CUATRO MENOS TRES ES IGUAL A UNO”.
SITUACIONES PROBLEMÁTICAS
LAS SUMAS Y RESTAS SON LAS OPERACIONES MATEMÁTICAS MÁS USADAS POR TODOS DÍA A DÍA, ASÍ QUE ES POSIBLE QUE MUCHAS SITUACIONES LAS TENGAS QUE RESOLVER CON CÁLCULOS. CUANDO ESTO SUCEDE, ES IMPORTANTE QUE SIGAMOS UNA SERIE DE PASOS QUE NOS AYUDEN A RAZONAR Y ORGANIZAR LA INFORMACIÓN PARA RESOLVER EL PROBLEMA. ALGUNOS DE ESTOS PASOS SON IDENTIFICAR LOS DATOS, PENSAR EN EL PROCEDIMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN, HACER LA OPERACIÓN Y DAR LA RESPUESTA.
AUNQUE NO LO CREAS, LAS OPERACIONES MATEMÁTICAS LAS USAS SIEMPRE, ASÍ QUE DE TANTO PRACTICAR PODRÁS HACER TODOS ESTOS CÁLCULOS MENTALMENTE, ES DECIR, SIN NECESIDAD DE LÁPIZ Y PAPEL.
Los números decimales son aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal, separadas por una coma; son comunes en los precios de los productos del supermercado o en nuestro peso y altura. Los problemas con este tipo de números se resuelven casi de la misma forma que los que tienen números naturales. A continuación, aprenderás las reglas para resolver dichos cálculos.
suma de números decimales
Cuando sumamos número decimales el procedimiento es similar al de los números naturales. Colocamos las unidades, decenas y centenas una sobre otra; de este modo, las comas, décimas, centésimas y milésimas también estarán en las mismas columnas.
– Ejemplo:
432,61 + 54,3
Donde:
C = centena
D = decena
U = unidad
d = décima
c = centésima
m = milésima
Si la suma de las cifras de una columna es mayor a 9, colocamos el dígito de la unidad debajo de dicha columna y el dígito de la decena en la columna de la izquierda.
– Ejemplo:
523,4 + 74,86
¡Es tu turno!
Resuelve estas sumas de números decimales.
0,816 + 26,5
10,5 + 10,5
129,836 + 345,26
64,68 + 22,129
Solución
¿Sabías qué?
Además de la coma, también se puede usar un punto para separar la parte entera de la parte decimal. Todo depende de la convención del país en el que estés.
¿Notaste que la adición de los números decimales es muy similar a la adición de los números naturales? Lo más importante en esta operación es que las cifras estén en las mismas columnas según su valor posicional: unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas. De este modo, la coma siempre estará en el lugar adecuado.
resta de números decimales
Para restar números decimales colocamos cada números en las mismas columnas según el orden de cada cifra: unidades con unidades, décimas con décimas, etc. De ser necesario añadimos ceros para que ambos números tengan la misma cantidad de dígitos. Luego restamos como si fueran números naturales y colocamos la coma en el resultado.
– Ejemplo:
360,84 − 246,013
1. Colocamos los números uno sobre otro y agregamos un cero al minuendo.
2. Como no podemos restarle 3 a 0, tomamos “prestada” una décima de la columna de la izquierda. Ahora el 0 se transforma en 10 y el 4 de las centésimas se convierte en 3. Luego hacemos la resta: 10 − 3 = 7.
3. Restamos las centésimas: 3 − 1 = 2.
4. Restamos las décimas: 8 − 0 = 8.
5. Restamos las unidades. Como no podemos restarle 6 a 0, tomamos una decena de la columna de la izquierda. Así que el 0 se convierte en 10 y el 6 se transforma en 5. Luego restamos: 10 − 6 = 4.
6. Restamos las decenas: 5 − 4 = 1.
7. Restamos las centenas y colocamos la coma en la misma columna en la que están las comas.
¡Es tu turno!
Resuelve las siguientes restas de números decimales.
95,371 − 24,98
137 − 45,290
348,6 − 26,696
67,4 − 0,16
Solución
Décimas en una regla
La regla graduada es un instrumento de medición con el que también podemos trazar líneas rectas. Por lo general viene con marcas con números que indican los centímetros y marcas más pequeñas entre estas que muestran los milímetros. Recuerda que 1 milímetro es igual a 0,1 centímetros.
Multiplicación con números decimales
Cuando multiplicamos un número decimal por un número natural colocamos los factores uno sobre otro alineados a la derecha, luego multiplicamos tal como si ambos fueran números naturales. Al final colocamos la coma decimal de acuerdo a la cantidad de decimales que tenga el factor decimal.
– Ejemplo:
1,27 × 36
1. Colocamos los factores uno sobre otro.
2. Multiplicamos como hacemos con los números naturales.
3. Colocamos la coma decimal en el resultado. Como el 1,27 tiene dos números decimales, movemos dos espacios en el resultado y colocamos la coma.
Por lo tanto,
1,27 × 36 = 45,72
¡Es tu turno!
Resuelve la siguientes multiplicaciones.
3,1 × 21
132 × 5,3
2,65 × 68
Solución
Los números decimales también se pueden representar como una fracción. Para esto colocamos un denominador con la unidad seguida de tantos ceros como sean necesarios para que el numerador sea un entero. Recuerda que se multiplican ambas partes de la fracción. Luego simplificamos. Por ejemplo, si amplificamos por 10 la expresión 0,5/1 nos queda 5/10 = 1/2.
¡A practicar!
Resuelve las siguientes operaciones.
421,78 + 100,1
Solución
421,78 + 100,1 = 521,88
500,999 − 500,159
Solución
500,999 − 500,159 = 0,84
131 × 12,4
Solución
131 × 12,4 = 1.624,4
0,92 × 53
Solución
0,92 × 53 = 48,76
0,578 + 0,9
Solución
0,578 + 0,9 = 1,478
36,9 − 0,806
Solución
36,9 − 0,806 = 36,094
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Números decimales”
Con este artículo podrás ampliar la información relacionada con los números decimales, su clasificación y las operaciones que los involucran.
La adición es una de las cuatro operaciones básicas que utilizamos de forma habitual y se caracteriza porque nos permite añadir una cantidad a otra. Los términos de la adición son los sumandos y la suma. Para resolver adiciones usamos el algoritmo de la suma que consiste ordenar los sumando de manera que las unidades de mil, las centenas, las decenas y las unidades se encuentren en una misma columna. Si la suma de una columna es un número de dos cifras (mayor a 9), se coloca el valor de la segunda cifra y el valor de la primera se suma al resultado de la siguiente columna a la izquierda. Esta operación cumple varias propiedades como la conmutativa, la asociativa y la del elemento neutro.
La propiedad conmutativa explica que no importa cómo ordenemos los sumandos, el resultado es siempre el mismo.
SUSTRACCIÓN
La sustracción es una operación matemática que consiste en quitar o restar una cantidad a otra para determinar la diferencia. Esta operación es inversa a la suma y está formada por el minuendo, elsustraendo y la diferencia. El minuendo es la cantidad a la que se le va a restar, el sustraendo es la cantidad que se resta y la diferencia es el resultado de la sustracción. En la sustracciones los números se agrupan en columnas al igual que en la adición. Si el minuendo es mayor al sustraendo restamos de forma convencional. En caso contrario, debemos desagrupar la cifra de la columna siguiente y canjear un valor posicional.
Una forma de comprobar una sustracción es sumar el sustraendo y la diferencia, el resultado debe ser igual al minuendo.
OPERACIONES COMBINADAS
Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias cálculos aritméticos. Para este tipo de problemas resolvemos primero las operaciones que están entre paréntesis y luego resolvemos las operaciones en el orden que aparecen de izquierda a derecha. En caso de que la operación combinada no tenga paréntesis resolvemos de acuerdo al orden que aparecen los términos de izquierda a derecha.
Los cálculos mentales permiten resolver operaciones sin usar herramientas como un lápiz, una hoja o una calculadora.
multiplicación
La multiplicación es sumar un mismo números tantas veces como indique otro. Por esta razón, esta operación se encuentra estrechamente relacionada con la adición. De hecho, toda adición iterada (adición que posee todos sus sumandos iguales) puede ser representada a través de la multiplicación. Su elementos principales son los factores y el producto. Los primeros son los números que se multiplican y el segundo corresponde al resultado. Para multiplicaciones de una cifra se ordenan los factores de forma vertical, se multiplica la unidad del segundo factor por la unidad del primero y luego se anota el resultado en la parte inferior, después se multiplica la unidad del segundo factor por la decena del primero y se anota el resultado.
Al multiplicar un número por la unidad seguida de cero se añade a la derecha de este la misma cantidad de ceros que acompañen a la unidad.
división
La división es una operación matemática que consiste en realizar reparticiones equitativas o formar grupos con la misma cantidad de elementos. Es una operación inversa a la multiplicación y puede considerarse una sustracción sucesiva. Los elementos de la división son el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo o resto. El dividendo es la cantidad que se va a repartir, el divisor es la cantidad en la que se va a dividir, el cociente es el resultado y el residuo o resto es la parte que no se puede dividir. Para resolver divisiones buscamos un número que al ser multiplicado por el divisor sea igual o cercano al valor del dividendo.
Cada vez que compartimos alimentos hacemos una división, por ejemplo, esta pizza se dividió en 6 porciones, lo que es igual a 1 ÷ 6.
La adición y la sustracción están presentes en múltiples situaciones de nuestra vida cotidiana, son operaciones inversas que en muchas ocasiones pueden emplearse de forma combinadas. Para este tipo de problemas usamos ciertos símbolos como el paréntesis que permiten una resolución más sencilla.
OPERACIONES COMBINADAS
Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias cálculos aritméticos para resolver.
La adición y la sustracción, además de ser operaciones básicas de las matemáticas, son dos operaciones inversas, por lo tanto, una adición puede ser comprobada a través de la sustracción y de igual modo, al resolver una sustracción, sus resultados pueden comprobarse a través de la adición. Conocer bien el desarrollo de las sumas y restas es fundamental para resolver cálculos combinados.
Para resolver operaciones combinadas de adición y sustracción debemos seguir ciertos pasos:
Operaciones con paréntesis
Resolvemos las operaciones que están entre paréntesis.
Resolvemos las demás según el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
– Ejemplo:
Observa que en primer lugar resolvimos lo que estaba dentro de los paréntesis y luego según el orden de izquierda a derecha.
Operaciones sin paréntesis
Si las operaciones combinadas de adición y sustracción no tienen operaciones entre paréntesis “()” debemos resolver según el orden en que aparecen de izquierda a derecha.
– Ejemplo:
Tal como lo muestra el ejemplo, resolvimos las operaciones en el orden que aparecen de izquierda a derecha.
¿Sabías qué?
Uno de los signos más usados en operaciones matemáticas es el paréntesis. Permite determinar el orden y prioridad de las operaciones.
¡Es tu turno!
(354 + 689) − 798
Solución
El resultado es 245.
1.340 − 1.120 + 250
Solución
El resultado es 470.
(8.932 − 5670) + 990 − (459 + 615)
Solución
El resultado es 3.178.
9.980 − 8.760 − 130 + 2700
Solución
El resultado es 3.790.
CÁLCULOS MENTALES
El cálculo mental, como su nombre lo indica, permite realizar cálculos sin que sea necesario un lápiz, una hoja o una calculadora. Para resolver problemas de forma mental usamos estrategias que aplican propiedades de los números y de las operaciones matemáticas.
Una de las mejores formas de desarrollar y ejercitar la comprensión numérica es a través de los cálculos mentales. Además de resolver problemas más rápido, permiten mejorar la concentración y la agilidad mental para otras situaciones. Con la práctica se pueden resolver cálculos más complejos en los cuales un papel y un lápiz no serían necesarios.
Para realizar cálculos mentales podemos hacer uso de diferentes estrategias:
Descomponer
La descomposición de un número mentalmente permite resolver adiciones y sustracciones de forma más sencilla. Para esto, se descompone el primero de los términos de acuerdo al valor posicional de sus cifras y luego se le suma o resta al número no descompuesto un valor posicional a la vez. Por ejemplo:
35 − 12 = ?
Descomponemos el número 12 de la siguiente forma:
12 = 10 + 2
Luego restamos un valor posicional a la vez al término no descompuesto, en este caso el término no descompuesto es el número 35.
35 − 10 = 25
25 − 2 = 23
Entonces:
35 − 12 = 23
Completar la decena
Una estrategia que se puede emplear para resolver adiciones y sustracciones es completar la decena. Veamos un ejemplo:
35 + 8 = ?
El número 35 está entre las decenas 30 y 40, entonces sumamos las 5 unidades que faltan para que llegue a 40:
35 + 5 = 40
Luego, esas 5 unidades se las restamos al sumando 8:
8 − 5 = 3
Finalmente sumamos los dos resultados:
40 + 3 = 43
– Otro ejemplo:
22 − 12 = ?
El número 22 está entre la decenas 20 y 30, entonces restamos los 2 que es lo que faltan para llegar a 20:
22 − 2 = 20
Luego, restamos esas 2 unidades al sustraendo:
12 − 2 = 10
Al final hacemos la resta con esos resultados:
20 − 10 = 10
Aplicar la propiedad asociativa
Esta es una estrategia que permite resolver adiciones. La propiedad asociativa establece que al sumar tres o más sumandos, no importa el orden en que se realicen las operaciones, la suma es la misma. Por lo tanto, los sumandos pueden agruparse de forma que faciliten tus cálculos. Veamos un ejemplo:
320 + 300 + 80 = ?
En este caso, vamos a agrupar los siguientes términos:
320 + 300 + 80
(320 + 80) + 300
400 + 300 = 700
¿Sabías qué?
La palabra “cálculo” proviene del término latino calculus que significa “piedra”. Anteriormente se usaban las piedras para contar.
PROBLEMAS
Para resolver problemas aditivos es necesario comprender la situación y seleccionar los datos que permitan elegir una estrategia para encontrar la solución, y así dar una respuesta al problema. Veamos algunos:
1. En un maratón se deben correr 5.000 metros. Pablo avanzó 1.335 metros y se detuvo a tomar agua para refrescarse. Luego avanzó 1.280 metros más y volvió a tomar agua. ¿Cuántos metros de la maratón le faltan correr a Pablo?
Datos
Distancia que debe correr Pablo: 5.000 metros
Distancia 1 que recorrió Pablo: 1.335 metros
Distancia 2 que recorrió Pablo: 1.280 metros
Pregunta
¿Cuántos metros de la maratón le faltan correr a Pablo?
Reflexiona
Para conocer cuántos metros le faltan a Pablo por recorrer debemos restar a la distancia total, la suma de la distancia 1 y la distancia 2.
Resuelve
5.000 − (1.335 + 1.280)
5.000 − 2.615
2.385
Respuesta
A Pablo le faltan por correr 2.385 metros del maratón.
2. Daniela y su familia salieron de excursión a la montaña, durante su visita tomaron 243 fotografías de los paisajes y 125 fotografías de ellos mismos. Si en la excursión pasada tomaron 42 fotografías menos, ¿cuántas fotografías tomaron en la excursión anterior?
Datos
Fotografías de los paisajes: 243
Fotografías de ellos mismos: 125
Fotografías de la excursión anterior: 42
Pregunta
¿Cuántas fotografías tomaron en la excursión anterior?
Reflexiona
Para saber cuántas fotografías tomaron en la excursión pasada debemos sumar las fotografías de paisajes y de la familia que tomaron durante esta excursión y luego restar las 42 fotografías menos.
Resuelve
(243 + 125) − 42
368 − 42
326
Respuesta
La familia de Daniela tomó durante la excursión anterior 326 fotografías.
3. Un autobús se desplaza por la ciudad. En su primera parada recoge 12 pasajeros, en la segunda se suben 3 y se bajan 6, en la tercera se suben 9 y se bajan 8. Al llegar a la cuarta parada, ¿cuántos pasajeros lleva el bus?
Datos
Primera parada: suben 12 pasajeros
Segunda parada: suben 3 y se bajan 6 pasajeros
Tercera parada: suben 9 y se bajan 8 pasajeros
Pregunta
¿Cuántos pasajeros lleva el bus al llegar a la cuarta parada?
Reflexiona
Para resolver este tipo de problemas debemos asociar que cuando el bus recoge pasajeros, se realiza la operación sumar, y cuando se bajan pasajeros del bus, se realiza la operación restar. Así al traducir el problema al lenguaje matemático obtenemos: 12 + 3 − 6 + 9 − 8.
Una forma más fácil de resolverlo es contar primero el número de personas que se subieron al bus: (12 + 3 + 9) y después restarle el número de personas que se bajaron: (6 + 8). Obtenemos en ese caso la expresión: (12 + 3 + 9) − (6 + 8).
Resuelve
(12 + 3 + 9) − (6 + 8)
24 − 14
10
Respuesta
El bus al llegar a la cuarta parada lleva 10 pasajeros.
¿Por qué importan los cálculos combinados?
Resolver adiciones y sustracciones permite desarrollar la capacidad de solucionar situaciones en nuestra vida cotidiana y de esta forma crear, adaptar y resolver problemas matemáticos en un contexto familiar, escolar y social. Una de las situaciones en las que aplicamos esto es al momento de hacer una compra, pues si sumamos todos los precios de productos y luego lo restamos a la cantidad de dinero que tenemos, podremos saber cuánto dinero tendremos al final de una compra.
¡A practicar!
1. Resuelve los siguientes problemas:
a) Miguel tiene 25 años y Camila tiene 10 años más que él. Si Alejandro tiene 15 años menos que Camila, ¿cuántos años tiene Alejandro?
Solución
• Datos
Edad de Miguel: 25 años
Edad de Camila : 10 años más que Miguel
Edad de Alejandro: 15 años menos que Camila
• Pregunta
¿Cuántos años tiene Alejandro?
• Reflexiona
Para resolver el problema debemos sumar los años de más que tiene Camila a la edad de Miguel y luego restar los 15 años que tiene de diferencia la edad de Alejandro con la de Camila.
• Resuelve
(25 + 10) − 15
35 − 15
20
Respuesta
Alejandro tiene 20 años.
b) En una pequeña granja se recolectan aproximadamente 2.500 litros de leche de vaca, de ese total 1.800 litros se venden, 680 litros se emplean para elaborar postres y el resto, los granjeros lo dejan para su consumo. ¿Cuántos litros de leche de vaca dejan los granjeros para consumir?
Solución
• Datos
Litros de leche recolectada: 2.500
Litros de leche que se venden: 1.800
Litros de leche que se emplean para postres: 680
• Pregunta
¿Cuántos litros de leche de vaca dejan los granjeros para consumir?
• Reflexiona
Para resolver el problema debemos restar a la cantidad de leche recolectada, la cantidad de litros vendidos más los empleados para los postres.
• Resolvemos
2.500 − (1.800 + 680)
2.500 − 2.480
20
Respuesta
Los granjeros dejan 20 litros de leche de vaca para su consumo.
2. Resuelve las operaciones mentalmente con las estrategias mencionadas anteriormente:
410 + 600 + 9
Solución
El resultado es 1.019.
74 − 63
Solución
El resultado es 11.
97 − 77
Solución
El resultado es 20.
25 + 36
Solución
El resultado es 61.
39 − 18
Solución
El resultado es 21.
39 + 15
Solución
El resultado es 54.
74 − 44
Solución
El resultado es 30.
57 − 22
Solución
El resultado es 35.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Operaciones combinadas”
El siguiente material proporciona información sobre cómo resolver problemas de operaciones combinadas y los pasos para resolver sumas y restas con y sin paréntesis.
El artículo profundiza en algunas otras estrategias usadas para resolver cálculos mentales, también muestra algunos elementos útiles al momento de resolver problemas de forma mental.
La adición o suma es una de las operaciones básicas de las matemáticas. La usamos casi todos los días y gracias a ella sabemos cuántos alumnos hay en una escuela, cuántas pelotas hay en la cancha o cuántos libros tenemos. Como verás, sumar números de 4 cifras implica un orden y podemos hacerlo de acuerdo a sus propiedades.
La adición es una operación matemática que nos permite agregar o reunir dos o más cantidades en un mismo número. Los términos de la adición son los sumandos y suma. Las cantidades que se suman son los sumandos y el resultado es la suma. Cuando los números son pequeños podemos hacer sumas con los dedos y escribirlo de forma horizontal.
la adición y sus elementos
La adición es una operación que consiste en añadir una cantidad a otra. Los términos de la adición son los sumandos y la suma.
¿CÓMO resolver una adición?
Si un número tiene más de tres cifras conviene usar el algoritmo de la suma. Esto consiste en ordenar los sumandos de tal manera que las unidades, las decenas, las centenas y las unidades de mil están en las mismas columnas. Luego sumamos cada posición desde la derecha. Los pasos son los siguientes:
1. Sumamos las unidades: 8 + 1 = 9.
2. Sumamos las decenas: 7 + 2 = 9.
3. Sumamos las centenas: 4 + 3 = 7.
4. Sumamos las unidades de mil: 3 + 3 = 6.
– Otros ejemplos:
¡Es tu turno!
Realiza esta sumas:
8.605 + 1.382
5.074 + 4.523
1.841 + 7.106
Solución
Equivalencia de interés
1 unidad de mil = 1.000 unidades
1 centena = 100 unidades
1 decena = 10 unidades
1 unidad = 1 unidad
¿Sabías qué?
La operación opuesta a la adición es la sustracción o resta.
Cuando colocamos los sumandos uno sobre otro y hacemos coincidir las posiciones, empleamos el algoritmo de la suma. En este proceso sumamos primero las unidades, luego las decenas, las centenas y finalmente las unidades de mil. Cuando un resultado es mayor a 9, se coloca la decena en la columna de la izquierda y se reagrupan las cifras.
¿cómo resolver una adición con llevadas?
Las adiciones o sumas con llevadas las podemos resolver de la misma manera que las adiciones anteriores, la única diferencia es que debemos reagrupar las decenas, centenas o unidades de mil cuando una de las sumas de las posiciones sea superior a 9. Para sumas de números de cuatro cifras los pasos son estos:
1. Sumamos las unidades: 2 + 5 = 7.
2. Sumamos las decenas: 3 + 6 = 9.
3. Sumamos las centenas: 6 + 6 = 12. Como el resultado es mayor a 9 colocamos la unidad (2) en la casilla debajo de la suma de centenas y el 1 lo colocamos en la columna de las unidades de mil.
4. Sumamos las unidades de mil y consideramos el 1 agregado antes: 1 + 2 + 3 = 6.
– Otros ejemplos:
¿Sabías qué?
En una adición o suma podemos hacer llevadas en una o más cifras.
La adición está presente en muchas situaciones de la vida diaria. Si observas a tu alrededor, hay muchas cosas en las que podemos utilizar esta operación. Uno de los casos más frecuentes es cuando compramos productos en el supermercado. Allí debemos sumar todos los precios de cada artículo para pagar un total. Las máquinas registradoras hacen este cálculo rápidamente.
propiedades de la adición
La adición tiene algunas propiedades que la caracterizan. Estas son: la propiedad conmutativa, la propiedadasociativa y el elemento neutro.
Propiedad conmutativa
Al invertir o cambiar de lugar los sumandos el resultado es el mismo, es decir, el orden de los sumandos no altera la suma obtenida.
Propiedad asociativa
Sin importar la agrupación de los términos el resultado será el mismo.
Elemento neutro
La suma de todo número más cero es igual al mismo número, de manera que 0 es el elemento neutro de la suma.
1.568 + 0 = 1.568
El ábaco es un instrumento que sirve para efectuar operaciones matemáticas sencillas. Este es un cuadro de madera con barras paralelas por las que corren bolas movibles. El ábaco no solo nos ayuda a sumar y restar con mayor fluidez, sino que además podemos resolver operaciones más complejas como la multiplicación y la división.
¡A practicar!
1. Resuelve las siguientes adiciones:
5.328 + 2.419
Solución
3.686 + 5.607
Solución
4.368 + 5.177
Solución
8.645 + 480
Solución
5.502 + 3.199
Solución
6.098 + 2.174
Solución
2. Resuelve estas adiciones y aplica la propiedad conmutativa:
560 + 199
Solución
560 + 199 = 759
199 + 560 = 759
1.795 + 528
Solución
1.795 + 528 = 2.323
528 + 1.795 = 2.323
237 + 797
Solución
237 + 797 = 1.034
797 + 237 = 1.034
1.300 + 788
Solución
1.300 + 788 = 2.088
788 + 1.300 = 2.088
3. Realiza la siguientes sumas y aplica la propiedad distributiva.
150 + 430 + 670
Solución
(150 + 430) + 670 = 580 + 670 = 1.250
150 + (430 + 670) = 150 + 1.100 = 1.250
720 + 340 + 480
Solución
(720 + 340) + 480 = 1.060 + 480 = 1.540
720 + (340 + 480) = 720 + 820 = 1.540
500 + 200 + 400
Solución
(500 + 200) + 400 = 700 + 400 = 1.100
500 + (200 + 400) = 500 + 600 = 1.100
6.000 + 500 + 1.000
Solución
(6.000 + 500) + 1.000 = 6.500 + 1.000 = 7.500
6.000 + (500 + 1.000) = 6.000 + 1.500 = 7.500
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Cómo enseñar a sumar y a restar”
El siguiente material le brindará orientaciones generales para enseñar a sus alumnos a sumar y a restar.
La adición y la sustracción son dos operaciones muy usadas en la cotidianidad. La primera consiste en combinar o agrupar números; y la segunda, en cambio, consiste en quitar números a un grupo. Saber los valores posicionales de cada cifra nos ayudan a hacer sumas y restas con números grandes por reagrupación de sus unidades, decenas y centenas.
Las primeras operaciones básicas que todos aprendemos son la adición y la sustracción. Estas nos ayudan día a día en cálculos cotidianos, como saber cuántos juguetes tenemos en total, cuánto dinero gastamos en el desayuno, cuánta tarea nos falta por hacer o cuántas horas faltan para ver nuestro programa favorito.
ADICIÓN POR REAGRUPACIÓN
La adición es una operación básica en la que combinamos dos o más números para obtener una cantidad final o total. El símbolo empleado para hacer esta operación es “+“.
Toda adición consta de dos partes:
Sumandos: son los números que vamos a sumar.
Suma: es el resultado de la suma.
La adición por reagrupación es un método que consiste en agrupar las unidades, decenas y centenas del número. Para sumar dos números como 12.468 y 147.314, los pasos son los siguientes:
1. Ubica los sumandos uno arriba del otro de tal manera que los valores posicionales estén en una misma columna, es decir, unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, y así sucesivamente.
2. Suma cada columna a partir de las unidades. Escribe en la parte inferior de la columna el resultado. Si el resultado de la suma en una columna es de dos cifras, coloca el número de la unidad de dicho número en la parte inferior y la decena la sumanos a la columna siguiente.
Propiedades de la adición
Propiedad conmutativa
Esta propiedad indica que el orden de los números no afecta el resultado de la suma.
– Ejemplo:
12.046 + 71 = 71 + 12.046
Observa que sin importar la ubicación de los sumandos, el resultado es el mismo.
¡Hay otra solución!
Podemos representar la propiedad conmutativa de otra manera. Para la suma anterior es así:
Propiedad asociativa
Esta propiedad indica que la forma en la que agrupemos los sumandos no afecta el resultado.
– Ejemplo:
(856.127 + 12.713) + 82.311 = 951.151
Primero resolvemos la suma que está dentro de los paréntesis y al final sumamos 82.311.
856.127 + (12.713 + 82.311) = 951.151
Primero resolvemos las sumas que están dentro de los paréntesis y al final sumamos 856.127.
En ambas ocasiones el resultado es el mismo sin importar la manera en la que se agruparon.
¡Hay otra solución!
Podemos representar la propiedad asociativa de otra manera. Para la suma anterior es así:
Elemento neutro
Esta propiedad indica que si a cualquier número le sumamos cero el resultado será el mismo número.
– Ejemplo:
148.583 + 0 = 148.583
Ábaco: una herramienta para contar
El ábaco es una herramienta o instrumento que se utiliza para realizar cálculos manuales a través de contadores o marcadores que representan ciertas cantidades. Es uno de los objetos más antiguos utilizados por el hombre para realizar sus operaciones matemáticas y quizás el de mayor distribución a nivel mundial.
sustracción por reagrupación
La sustracción, al igual que la adición, es una operación básica. Es considerada una operación opuesta a la adición, ya que consiste en quitar una cantidad a otra. Se representa con el símbolo “−“.
Las partes de esta operación son:
Minuendo: es el número al cual le quitamos una cantidad.
Sustraendo: es el número que resta al minuendo.
Diferencia: es el resultado de la operación.
La sustracción por reagrupación es un método que consiste en agrupar las unidades, decenas y centenas del número. Para restar dos números como 549.763 y 95.126, los pasos son los siguientes:
1. Ubica el minuendo sobre el sustraendo y verifica que los valores posicionales de cada cifra coincidan en la misma columna.
2. Comienza a restar desde la columna de las unidades, de derecha a izquierda. Cuando en una columna una cifra del minuendo es menor que la del sustraendo, esta toma una decena del minuendo de la izquierda. En estos casos, el minuendo que prestó una decena se reduce y debemos considerar el valor de la nueva cifra.
¿Sabías qué?
En la sustracción no existen las mismas propiedades que en la adición.
Propiedades de la sustracción
Elemento neutro
Si a un número se le resta 0, el resultado es el mismo número.
– Ejemplo:
245.630 − 0 = 245.630
Elemento simétrico
Si dos números iguales se restan, el resultado siempre es 0.
– Ejemplo:
983.124 − 983.124 = 0
En una ciudad se recolectaron 55.879 botellas de plástico para reciclar. Si solo se han reciclado 48.250 botellas, ¿cuántas botellas faltan para terminar la tarea? Responder esta pregunta es fácil cuando sabemos las restas por reagrupación. Así que restamos: 55.879 – 49.250 = 6.629. Entonces, aún faltan 6.629 botellas por reciclar.
Problemas de adición y sustracción
Para resolver problemas matemáticos debemos seguir una serie de pasos. Observa estos ejemplos:
1. Juan tenía en el banco $ 132.798 y le pagaron por la venta de su vehículo $ 369.000. ¿Cuánto dinero tiene Juan ahora?
Datos
Dinero en el banco: $ 132.798
Pago por el vehículo: $ 369.000
Pregunta
¿Cuánto dinero tiene Juan ahora?
Piensa
Para saber la cantidad total de dinero que Juan tiene ahora debemos sumar el dinero que tenía en el banco y el dinero que le pagaron.
Calcula
Solución
Juan tiene $ 501.798 en el banco.
2. Gabriel jugaba un videojuego. En un día obtuvo 412.312 puntos en el primer partido, 469.142 puntos en el segundo partido y 111.222 en el tercero. ¿Cuántos puntos obtuvo en total ese día?
Datos
Puntos en el primer partido: 412.312
Puntos en el segundo partido: 469.142
Puntos en el tercer partido: 111.222
Pregunta
¿Cuántos puntos obtuvo en total?
Piensa
Para hallar la cantidad total de puntos solo debemos sumar todos los puntos que obtuve en los tres partidos. Según la propiedad asociativa, no importa cómo se agrupen los números, el resultado siempre será el mismo.
Calcula
Solución
Gabriel obtuvo 992.676 puntos ese día en el videojuego.
3. Carla y Pedro tomaban fotografías en el parque. Carla tomó 2.546 fotografía y Pedro tomó 620 fotografía menos que ella. ¿Cuántas fotografía tomaron los dos?
Datos
Fotografía tomadas por Carla: 2.546
Fotografía tomadas por Pedro: 620 menos que Carla
Pregunta
¿Cuántas fotografía tomaron los dos?
Piensa
Hay que hallar las fotos que tomó Pedro. Para esto restamos 620 a la cantidad de fotos que tomó Carla.
Para saber el total de fotos tomadas entre los dos solo debemos sumar la cantidad de foto que tomaron ambos.
Calcula
1. Fotos tomadas por Pedro:
2. Fotos tomadas por los dos:
Solución
Carla y Pedro tomaron 4.472 fotografías.
¡A practicar!
Resuelve las siguientes operaciones:
18.654 + 987 =
Solución
18.654 + 987 = 19.641
546.821 + 12.547 =
Solución
546.821 + 12.547 = 559.368
452.365 − 0 =
Solución
452.365 − 0 = 452.365
89.546 + 6.547 + 3.245 =
Solución
89.546 + 6.547 + 3.245 = 99.338
81.974 − 9.634 =
Solución
81.974 − 9.634 = 72.340
15.689 − 15.689 =
Solución
15.689 − 15.689 = 0
35.785 + 54.753 + 56.852 =
Solución
35.785 + 54.753 + 56.852 =147.390
258.369 + 0 =
Solución
258.369 + 0 = 258.369
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Operaciones básicas de los número naturales y sus propiedades”
Este artículo explica las propiedades de las operaciones básicas con los números naturales, lo que te permitirá ampliar el tema.
Otro método para obtener fracciones equivalentes es por simplificación. En dicho caso, se divide tanto al numerador como al denominador por el mismo número. Las fracciones 
Se procede a realizar los cálculos con cualquier método de fracciones heterogéneas visto anteriormente. En este caso, se aplicará el método cruzado.
