CAPÍTULO 3 / TEMA 3

FRACCIONES Y DECIMALES

Algunos números decimales pueden ser representados a través de fracciones, por esta razón se dice que los números decimales y las fracciones se encuentran relacionados. Los números decimales que se pueden representar a través de fracciones se denominan racionales y de acuerdo a su tipo se realiza la conversión.

Los números fraccionarios están formados por el numerador y el denominador que se encuentran divididos por una raya horizontal. Por otro lado, los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal separadas por una coma. En el caso de números racionales es posible representar la misma cantidad en fracción o decimal.

LOS NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales son aquellos que están formados por una parte entera y una parte decimal. Estos están separados por una coma o un punto. Estos números son otra forma de escribir el resultado de las fracciones. Ambas expresiones representan cualquier número no entero (aunque las fracciones pueden representar cantidades enteras en el caso de las fracciones aparentes).

En este sentido, las fracciones se pueden expresar en forma de números decimales, para lo cual se debe realizar la división de la fracción, es decir, numerador entre denominador. Por ejemplo, al dividir el numerador entre el denominador de la fracción 5/4 se obtiene 1,25, que corresponde a la misma cantidad.

Convertir una fracción a número decimal

Solo existe un método para convertir una fracción a número decimal y se realiza a través de la división. Si divides el numerador entre el denominador por lo general obtienes un número decimal. Siempre y cuando no sea una fracción aparente, en la que el resultado es un número entero (como en el caso de 4/2 = 2).

Algunos ejemplos de conversión de fracciones a decimales son los siguientes:

$\frac{9}{8}=1,125$

$\frac{3}{14}=0,214$

$\frac{26}{63}= 0,4127$

Convertir un número decimal a fracción

Existen diferentes procedimientos para convertir números decimales a fracciones. Estos pasos dependen del tipo de número que se va a transformar.

Tipos de números decimales

Los números decimales pueden ser racionales o irracionales. Los racionales pueden representarse en forma de fracción y los irracionales no. Los números racionales se clasifican en decimales exactos y decimales periódicos.

Decimales exactos: son aquellos números que tiene una parte limitada o finita de cifras decimales. Los decimales finitos representan a las fracciones decimales. Por ejemplo: 2,38; 4,681; 68,98135; 9647,3543.

Decimales periódicos: son aquellos en los que toda la parte decimal o una porción de esta sigue un patrón infinito de números denominado período y se denota en forma de arco en la parte superior del mismo.

Se pueden distinguir dos tipos de decimales periódicos:

Números decimales periódicos puros

Estos números decimales tienen la parte decimal periódica inmediatamente después de la coma. La parte periódica se suele señalar usualmente con una línea horizontal o arco en la parte superior del mismo. Por ejemplo: 2,3333… = $\inline 2,\widehat{33}$ .

Números decimales periódicos mixtos

Estos números decimales poseen dos partes decimales: una parte no periódica, denominada anteperíodo, y la otra parte es la periódica, que se denota con el arco superior. Por ejemplo: 2,147151515… = $\inline 2,147\widehat{15}$ .

¿Sabías qué?

Al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro se obtiene un número irracional denominado número pi.

Convertir un número decimal exacto a fracción

Para transformar un número decimal exacto a una fracción decimal se debe escribir el decimal dividido por 1. Luego hay que multiplicar tanto el numerador como el denominador por una potencia de base diez (10, 100, 1.000, etc.) que tenga tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Si la fracción que se obtiene no es irreducible, entonces se debe simplificar para obtener el resultado

Por ejemplo:

Otro ejemplo sería:

Al igual que las demás clases de números, los decimales y los fraccionarios pueden ubicarse en la recta numérica. Estos se encuentran entre dos números enteros, por lo tanto, permiten realizar e indicar mediciones mucho más precisas. Un ejemplo de esto son las llaves mecánicas, las cuales tienen medidas fraccionarias en pulgadas y decimales en milímetros.

Convertir un decimal periódico puro a fracción

Para convertir un decimal periódico puro a fracción es necesario aplicar los siguientes pasos:

1. Se coloca en el numerador una resta entre el número formado por la parte entera y la parte periódica sin la coma, y la parte entera. Observemos el siguiente ejemplo en el que se desea convertir en fracción el número $\inline 7,\widehat{66}$ .

2. Se coloca en el denominador un número formado por tantos 9 según la cantidad de cifras en el período, es decir, si hay un número bajo la línea periódica se coloca un solo 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99 y así sucesivamente.

3. Se realizan las operaciones matemáticas necesarias para conseguir la fracción. Se simplifica si es necesario.

$7,\widehat{66}=\frac{766-7}{99}=\boldsymbol{\frac{759}{99}}$

Veamos otro ejemplo en el cual se aplicaron los mismos pasos:

$92,\widehat{35}=\frac{9235-92}{99}=\boldsymbol{\frac{9.143}{99}}$

Convertir un decimal periódico mixto a fracción.

Para llevar un número decimal mixto a fracción, seguimos los siguientes pasos:

1. Se coloca en el numerador una resta formada por el número completo sin la coma menos la parte entera y el anteperíodo. Observemos el siguiente ejemplo: $\inline 58,3\widehat{7}$ .

2. Se coloca el denominador de la fracción que será un número formado por tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo.

Por último, se realizan los cálculos necesarios para conseguir la fracción y se simplifica si la misma lo requiere.

$58,3\widehat{7}=\frac{5837-583}{90}=\frac{5.254}{90}=\boldsymbol{\frac{2.627}{45}}$

Veamos otro ejemplo con el mismo procedimiento:

$64,12\widehat{91}=\frac{641291-6412}{9900}=\boldsymbol{\frac{634.879}{9.900}}$

Los números irracionales

Este tipo de números decimales no pueden ser convertidos en fracciones, debido a que tienen cifras decimales infinitas que no pueden ser definidas como un patrón. Por lo tanto, crear una fracción de estos números sería infinita. Podemos mencionar como ejemplos de estos números al número pi = 3,1416… o al resultado de $\sqrt{7}=2,6457512110...$

VER INFOGRAFÍA

La estadística es una de las ramas de la matemática que emplea el uso de los números fraccionarios y decimales para realizar el estudio de muestras y poblaciones. Por tal motivo, tener conocimientos sobre cómo convertir un número fraccionario a decimal, y viceversa, puede ser muy útil en diversos campos.

Operaciones entre fracciones y decimales

Los números decimales y las fracciones se pueden sumar, restar, dividir, y multiplicar, entre otras operaciones, siempre y cuando se apliquen los métodos anteriormente vistos, como convertir un número decimal a fracción o una fracción a número decimal. Es importante tener presente que para resolver estos ejercicios debemos convertir todos los números a decimales o todos los números a fracciones.

– Primer método: convertir la fracción en un número decimal. Esto se realiza al dividir el numerador entre el denominador.

Ejemplo:

$45,18 + \frac{38}{17}= 45,18 + 2,2353 = 47,4153$

– Segundo método: convertir el número decimal en una fracción. En este caso, se utiliza la conversión del número decimal a fracción. En el ejemplo anterior, se puede notar que el número decimal es exacto, por lo tanto, se utiliza la conversión de número decimal exacto a fracción.

$45,18+\frac{38}{17}=\frac{4.518}{100}+\frac{38}{17}=\frac{2.259}{50}+ \frac{38}{17}=\frac{2.259\times 17+50\times38}{50\times 17}= \frac{38.403+1.900}{850}=$

$\boldsymbol{=\frac{40.303}{850}}$

En ambos casos se obtuvo el mismo resultado expresado de una forma diferente $\frac{40.303}{850}=47,4153$

Estos pasos previos se utilizan para realizar los otros cálculos matemáticos como la división, la multiplicación, las potencias, las raíces y las operaciones combinadas.

¡A practicar!

1. Convierte los siguientes números a decimales:

a) $\frac{15}{12}$

RESPUESTAS

$\frac{15}{12}=1,25$

b) $\frac{28}{15}$

RESPUESTAS

$\frac{28}{15}= 1,8\widehat{6}$

2. Convierte los siguientes números a fracciones:

a) $42,56\widehat{3}$

RESPUESTAS

$42,56\widehat{3}=\frac{42.563-4.256}{900}=\frac{38.307}{900}$

b) $938,\widehat{7}$

RESPUESTAS

$938,\widehat{7}=\frac{9.387-938}{9}=\frac{8.449}{9}$

c) $456,328$

RESPUESTAS

$456,328=\frac{456.328}{1.000}=\frac{228.164}{500}=\frac{114.082}{250}=\frac{57.041}{125}$

3. Resuelve las siguientes operaciones:

a) $726,328+\frac{15}{6}$

RESPUESTAS

$726,328+\frac{15}{6}=\frac{726.328}{1.000}+\frac{15}{6}=\frac{90.791}{125}+\frac{15}{6}= 728,828$

b) $415,14-\frac{425}{3}$

RESPUESTAS

$415,14-\frac{425}{3}=415,14-141,66=273,48$

c) $26,31\times\frac{18}{23}$

RESPUESTAS

$26,31\times\frac{18}{23}=\frac{2.631}{100}\times\frac{18}{23}= \frac{47.358}{2.300}=\frac{23.679}{1.150}$

d) $92,78 :\frac{87}{17}$

RESPUESTAS

$92,78 :\frac{87}{17}=\frac{9.278}{100}:\frac{87}{17}=\frac{4.639}{50}:\frac{87}{17}=\frac{\frac{4.639}{50}}{\frac{87}{17}}=\frac{78.863}{4.350}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Resolución de cálculos combinados con paréntesis, corchetes y llaves”

Este artículo explica cómo resolver operaciones matemáticas con fracciones y decimales que incluyen paréntesis, corchetes y llaves.

VER

Artículo “Cómo realizar ejercicios combinados con fracciones”

El siguiente artículo destacado se enfoca en los pasos a seguir para resolver cálculos de operaciones combinadas con fracciones.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 5

fracciones y porcentajes

¿Sabías qué el 70 % de la superficie de nuestro planeta está cubierto por agua? ¡Sí! Pero ¿qué significa 70 %? Los porcentajes son expresiones que, al igual que las fracciones, representan una parte de un todo. También los vemos a menudo en las rebajas en las tiendas del centro comercial o en los impuestos de los productos que compramos.

relación de las fracciones y el porcentaje

El porcentaje es una parte de un todo igual a 100, es decir, es una razón con denominador 100. Su símbolo es “%” y se puede expresar como una fracción o como un decimal. Por ejemplo, 70 % es igual a escribir 70/100 que a su vez es igual a 0,7.

Puedes ver la relación entre el porcentaje, las fracciones y los número decimales en esta tabla:

Porcentaje	Fracción	Decimal
Cantidad en relación a 100	Porcentaje/100	0,…

– Ejemplo:

Porcentaje	Fracción	Decimal
$70\: %$	$\frac{70}{100}$	$0,7$
$45\: %$	$\frac{45}{100}$	$0,45$

La relación no siempre es lineal, también podemos partir de una fracción y convertirla en porcentaje. Para esto, solo dividimos el numerador entre el denominador, y luego multiplicamos el cociente obtenido por 100.

Fracción	Decimal	Porcentaje
$\frac{1}{2}$	$1\div 2=0,5$	$0,5\times 100=50\: %$
$\frac{5}{6}$	$5\div 6=0,833$	$0,833\times 100=83,3\: %$

¿Sabías qué?

En los porcentajes se lee “por ciento”. Por ejemplo, el “15 % de los alumnos juegan al fútbol” se lee “el quince por ciento de los alumnos juegan al fútbol”.

Los porcentajes ya eran usados en la Antigüedad y hay registros sobre su aplicación en el Imperio romano. Aunque el símbolo original no era el que conocemos en la actualidad, este hacía alusión a los ceros del 100. De hecho, el símbolo “%” es una representación estética de los ceros de las centenas, pues un porcentaje se lee “por ciento”.

¡Es tu turno!

Convierte estas fracciones a porcentajes:

$\frac{1}{4}$

Solución

$\frac{1}{4}=1\div 4=0,25$

$0,25\times 100=\boldsymbol{25\: %}$

$\frac{2}{25}$

Solución

$\frac{2}{25}=2\div 25=0,08$

$0,08\times 100=\boldsymbol{8\: %}$

Cálculo de porcentajes

Para calcular el porcentaje de una cantidad, por ejemplo, el 15 % de 80, podemos optar por tres métodos diferentes:

1. Convierte el porcentaje a fracción. Luego multiplica.

$15\: % = \frac{15}{100}$

$\frac{15}{100}\times 80 = \boldsymbol{12}$

2. Convierte el porcentaje a decimal. Luego multiplica.

$15\: %=\frac{15}{100}=0,15$

$0,15\times 80=\boldsymbol{12}$

3. Usa la regla de tres.

$100\: %\rightarrow 80$

$\: \: 15\: %\rightarrow x$

$x=\frac{15\: %\times 80}{100\: %}=\boldsymbol{12}$

Nota que con cualquiera de los tres métodos el resultado será el mismo: 12.

¿Qué es el IVA?

El IVA o impuesto al valor agregado es un impuesto directo que pagan los consumidores al Estado por utilizar algún bien o servicio. Cada país tiene un porcentaje de IVA diferente, por ejemplo, en Argentina es de 21 %, en Colombia es de 19 %, en Costa Rica es de 13 % y en Venezuela es de 16 %.

¡Resolvamos algunos problemas!

1. En un curso hay 30 chicos y el 10 % de ellos juega al rugby, el 30 % juega al fútbol y el resto no hace ningún deporte. Responde:

a) ¿Cuántos de ellos juegan al rugby?

b) ¿Cuántos juegan al fútbol?

c) ¿Cuántos no hacen ningún deporte?

Datos

Cantidad de chicos: 30

Chicos que juegan al rugby: 10 %

Chicos que juegan al fútbol: 30 %

Chicos que no hacen ningún deporte: ?

Reflexión

a. Para saber la cantidad de chicos que juegan al rugby tenemos que multiplicar la cantidad total de chicos (30) por la fracción equivalente al porcentaje, en este caso, 10 % = 10/100.

b. La cantidad de jugadores de fútbol la sabremos si multiplicamos la cantidad total de chicos por la fracción equivalente al porcentaje, en este caso, 30 % = 30/100.

c. Cuando sepamos la cantidad de chicos que juegan al rugby y al fútbol, solo tendremos que restarle esa cantidad al total, es decir, los chicos que no hacen deporte = 30 − (a + b)

Cálculo

a. $30\times \frac{10}{100}=\boldsymbol{3}$

b. $30\times \frac{30}{100}= \boldsymbol{9}$

c. $30-(3+9)=30-12=\boldsymbol{18}$

Respuestas

a. 3 chicos juegan al rugby.

b. 9 chicos juegan al fútbol.

c. 18 chicos no hacen deporte.

2. A José le hicieron un descuento del 5 % en su compra. Si gastó en ese lugar $ 3.200, ¿qué monto debe pagar?

Datos

Cuenta total: $ 3.200

Descuento: 5 %

Reflexión

a. Lo primero que tenemos que hacer es calcular el 5 % de 3.200. Para esto solo multiplicamos la cantidad de dinero por la fracción equivalente al porcentaje, que sería 5 % = 5/100.

b. Como se trata de un descuento, tenemos que “quitar” la cantidad que represente ese porcentaje al monto total, por lo tanto, tenemos que restarlo.

Cálculo

a. $3.200\times \frac{5}{100}=\boldsymbol{160}$

b. $3.200-160=\boldsymbol{3.040}$

Respuesta

José debe pagar $ 3.040.

3. Un equipo de baloncesto participó en 50 partidos este año y ganó el 30 % de ellos. ¿Cuántos partidos ganó este año?

Datos

Partidos jugados: 50

Partidos ganados: 30 %

Reflexión

Al tratarse del porcentaje de una cantidad total, basta con multiplicar la cantidad de partidos (50) por la fracción equivalente al porcentaje, es decir, 30 % = 30/100.

Cálculo

$50\times \frac{30}{100}=\boldsymbol{15}$

Respuesta

El equipo de baloncesto ganó 15 partidos de 50 jugados este año.

importancia del porcentaje

En la vida cotidiana, el porcentaje tiene distintos usos. Por ejemplo, a la hora de calcular la tasa de interés, al solicitar un crédito, al realizar una encuesta, en los descuentos y recargos en el pago de una cuenta, o cuando esperamos que una aplicación móvil se cargue y vemos una barra que muestra el porcentaje de descarga.

Los porcentajes son útiles cuando comparamos grandes partes de un todo. Por ejemplo, si de un instituto de 800 estudiantes, 360 estudiantes van a la feria de ciencias, y de otro van 360 de 600 estudiantes, es más práctico y claro decir que el 45 % de los estudiantes del primer instituto va a la feria de ciencias y que el 60 % del segundo va a la feria de ciencias.

Los gráficos circulares, también conocidos como gráficos de torta o pastel, se usan para comparar porcentajes con respecto a un total de datos. Para hallar los porcentajes parciales se dividen los 360° del círculo de acuerdo a los valores dados. Para dibujarlas en papel necesitarás un compás y un transportador para saber los grados a marcar por cada porcentaje.

¡A practicar!

1. Calcular los siguientes porcentajes:

12 % de 1.700

Solución

204

3 % de 4.400

Solución

132

15 % de 2.500

Solución

375

50 % de 45.000

Solución

22.500

78 % de 50.000

Solución

39.000

2. Resuelve:

a. Marta tiene 120 figuritas repetidas y le regaló el 20 % a su amiga. ¿Cuántas figuritas le quedan a Marta?

Solución

$120\times \frac{20}{100}=\boldsymbol{24}$

$120-24=\boldsymbol{96}$

A Marta le quedan 96 figuritas.

b. Gabriela viajó dos quintas partes de lo que debía viajar. ¿Qué porcentaje del viaje realizó?

Solución

$\frac{2}{5}=2\div 5=0,4$

$0,4\times 100 = \boldsymbol{40 \: %}$

Gabriela realizó el 40 % del viaje.

c. Se realizó una encuesta a 200 personas sobre los géneros de películas que más les gustan y representaron los resultados en este gráfico circular como porcentajes. Indica a cuántas personas les gusta cada género.

Solución

Comedia: 110 personas

Suspenso: 40 personas

Familiares: 24 personas

Terror: 10 personas

Drama: 16 personas

3. Escribe las siguientes fracciones como porcentajes:

$\frac{3}{5}$

Solución

60 %

$\frac{12}{20}$

Solución

60 %

$\frac{7}{8}$

Solución

87,5 %

RECURSOS PARA DOCENTES

Tarjeta Educativa “Porcentaje”

En esta tarjeta encontrará reglas prácticas para el cálculo de porcentajes, sus características y aplicaciones.

VER

Artículo “Porcentajes”

El artículo habla sobre la presencia de los porcentajes en la vida cotidiana y su uso.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 4

LOS NÚMEROS DECIMALES

No todos los problemas matemáticos involucran a los número enteros, muchas veces necesitamos una cantidad intermedia entre ese entero. Para eso están los números decimales. Estos tienen infinidad de aplicaciones en la vida cotidiana, como en la medida de nuestro peso o en los precios de un producto. Aquí aprenderás cuáles son y cómo leerlos.

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS DECIMALES?

Los números decimales son aquellos que están compuestos por una parte entera y una parte decimal, ambas separadas por una coma.

Los utilizamos a diario para expresar cantidades que se encuentran entre dos números enteros consecutivos, ya que, como sabemos, entre dos números enteros de una recta numérica existen infinitos valores que pueden expresarse con decimales.

Valor posicional

De acuerdo con la ubicación que ocupe cada dígito en el número decimal su valor posicional será diferente. Observa este ejemplo:

A cada cifra decimal le corresponde un único valor que depende de su posición. Para leer este número podemos optar por cualquiera de las siguientes opciones:

Lee la parte entera seguida de la palabra “enteros”. Luego lee la parte decimal como si fuera un número natural y nombra la posición de la última cifra decimal. Ejemplo:

138,451067 se lee “ciento treinta y ocho enteros cuatrocientos cincuenta y un mil sesenta y siete millonésimas“.

Lee la parte entera seguida de la palabra “coma”. Después lee la parte decimal como si fuera un número natural. Ejemplo:

138,451067 se lee “ciento treinta y ocho coma cuatrocientos cincuenta y un mil sesenta y siete”.

DECIMALES EXACTOS

Son los números decimales que contienen una cantidad limitada o finita de dígitos en su parte decimal.

– Ejemplo:

−0,375 (contiene decimales hasta la milésima).
735.743,84653 (contiene decimales hasta la cienmilésima).
921,6 (contiene decimales hasta la décima).

¿Sabías qué?

Todos los números decimales exactos y periódicos pueden transformarse en una fracción equivalente.

A diario nos encontramos con cifras que son representadas a través de números decimales. Por ejemplo, cuando vamos al mercado hay una gran cantidad de precios expresados en números decimales, para lo cual se puede emplear una coma o un punto. El uso de la coma o el punto decimal dependerá del país en el que te encuentres.

NÚMEROS PERIÓDICOS

Son los números decimales que poseen una cantidad infinita de dígitos en su parte decimal y muestran un patrón de repetición. Los podemos clasificar en periódicos puros y periódicos mixtos.

Números decimales periódicos puros

Son los números decimales en los cuales la parte decimal se repite inmediatamente después de la coma. Se denotan con una línea horizontal o con una arco en la parte superior del dígito o los dígitos que se repitan.

– Ejemplo:

$\frac{4}{3}=1,333...=1,\overline{3}$

$\frac{2}{3}=0,666...=0,\overline{6}$

¿Cómo convertir un número decimal periódico puro a fracción?

Para convertir un número decimal periódico puro a su fracción equivalente tenemos que seguir estos pasos:

Escribe todo el número sin la coma.
Resta a esa cantidad la parte entera del número decimal.
Divide entre tantos nueves como decimales periódicos tenga el número.

– Ejemplo:

$1,\overline{12}=\frac{112-1}{99}=\frac{111}{99}=\boldsymbol{\frac{37}{33}}$
$0,\overline{3}=\frac{3-0}{9}=\frac{3}{9}=\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
$34,\overline{36}=\frac{3.436-34}{99}=\frac{3.402}{99}=\boldsymbol{\frac{378}{11}}$

Nota que todas las fracciones fueron simplificadas.

Números decimales periódicos mixtos

Son los números cuya parte decimal contienen uno o más dígitos antes de los números periódicos. A los números que se encuentran antes del período se los denomina anteperíodo.

– Ejemplo:

$\frac{17}{15}=1,1333...=1,1\overline{3}$

$\frac{7}{12}=0,58333...=0,58\overline{3}$

¿Cómo convertir un número decimal periódico mixto a fracción?

Para convertir un número decimal periódico mixto a su fracción equivalente tenemos que seguir estos pasos:

Escribe todo el número sin la coma.
Resta a esa cantidad el número decimal sin la coma y sin el período.
Divide entre tantos nueves como decimales periódicos tenga el número junto a tantos ceros como tenga el anteperíodo.

– Ejemplo:

$7,0\overline{5}=\frac{705-70}{90}=\frac{635}{90}=\boldsymbol{\frac{127}{18}}$
$3,2\overline{45}=\frac{3.245-32}{990}=\frac{3.213}{990}=\boldsymbol{\frac{357}{110}}$
$6,53\overline{1}=\frac{6.531-653}{900}=\frac{5.878}{900}=\boldsymbol{\frac{2.939}{450}}$

DECIMALES NO EXACTOS Y NO PERIÓDICOS

Son todos los números decimales con infinitos dígitos no periódicos en su parte decimal. Este tipo de números decimales conforman el conjunto de los números irracionales.

– Ejemplo:

$\pi =3,1415...$

$\sqrt{2}=1,4142...$

El número pi (π) es un número decimal que contiene infinitos dígitos no periódicos en su parte decimal, por lo tanto, pertenece al conjunto de los números irracionales. Este valor es una constante que se obtiene si dividimos el perímetro de cualquier circunferencia entre su diámetro. Se suele aproximar su parte decimal hasta la centésima, por ejemplo, π = 3,14.

¡A practicar!

1. ¿Cómo se leen estos números?

a) 45,98

Solución

Cuarenta y cinco enteros noventa y ocho centésimas.

b) 903,65322

Solución

Novecientos tres enteros sesenta y cinco mil trescientos veintidós cienmilésimas.

c) 0,07

Solución

Siete centésimas.

2. Escribe en forma de número decimal las siguientes fracciones. Señala si son exactos o periódicos. Si son periódicos indica si son puros o mixtos.

a) $\frac{19}{15}$

Solución

$\frac{19}{15}=1,2\overline{6}$

Número decimal periódico mixto.

b) $\frac{4}{11}$

Solución

$\frac{4}{11}=0,\overline{36}$

Número decimal periódico puro.

c) $\frac{57}{20}$

Solución

$\frac{57}{20}=2,85$

Número decimal exacto.

d) $\frac{13}{6}$

Solución

$\frac{13}{6}=2,1\overline{6}$

Número decimal periódico mixto.

e) $\frac{4}{3}$

Solución

$\frac{4}{3}=1,\overline{3}$

Número decimal periódico puro.

f) $\frac{43}{8}$

Solución

$\frac{43}{8}=5,375$

Número decimal exacto.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Números decimales”

En este artículo encontrará información sobre las características de los números decimales, el sistema de numeración posicional y la clasificación de los números decimales.

VER

Artículo “¿Cómo Transformar un número decimal a fracción?”

Este contenido ofrece una detallada explicación sobre el procedimiento para obtener fracciones equivalentes de algunas expresiones decimales.

VER

Artículo “¿Qué es un número decimal?”

Este artículo ofrece información completa sobre los números decimales: su composición, sistema de numeración posicional y operaciones aritméticas con los números decimales.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 7

Conversiones de medidas

Los números fueron creados para contar y para cuantificar cantidades y medidas. En este sentido, la medición se ha transformado en una de las cuestiones más importantes de las matemáticas en todas sus ramas. Longitud, masa, volumen y tiempo son solo algunas de las magnitudes que podemos medir y que tienen diferentes unidades que podemos usar y convertir.

medidas de longitud

La longitud es una magnitud que nos permite saber la distancia que hay entre dos puntos. Gracias a esta sabemos qué tan largo es una lápiz o qué distancia hay de la casa a la escuela. Si las distancias son cortas, usamos los submúltiplos del metro, pero si son largas usamos los múltiplos; por ejemplo, una carrera de larga distancia puede tener más de 42 kilómetros.

El metro (m) es la unidad principal para medir la longitud. Con el metro podemos medir objetos cotidianos como la altura de un edificio, el largo de una mesa o las dimensiones de un campo de fútbol. Sin embargo, esta unidad no siempre es la más apropiada; por ejemplo, si un carpintero necesita medir la longitud de un tornillo debe utilizar unidades más pequeñas que el metro, pero si una corredor de fórmula 1 quiere saber la distancia que recorrió tiene que usar unidades más grandes que el metro.

Las unidades más pequeñas al metro se llaman submúltiplos y las más grandes se llama múltiplos. Las equivalencias entre estas unidades y el metro son las siguientes:

1 kilómetro = 1.000 metros
1 hectómetro = 100 metros
1 decámetro = 10 metros
1 metro = 1 metros
1 decímetro = 0,1 metros
1 centímetro = 0,01 metros
1 milímetro = 0,001 metros

Si queremos pasar de una unidad mayor a una menor debemos multiplicar por 10 tantas veces como unidades de medida haya de diferencia. Por el contrario, si deseamos pasar de una unidad menor a una mayor debemos dividir por 10 tantas veces como unidades de medida haya de diferencia. Observa este esquema:

– Ejemplo 1:

Convierte 7,8 metros a centímetros.

Para llegar de metros a centímetros debemos multiplicar dos veces por 10. Recuerda que 10 × 10 = 100. Entonces, podemos multiplicar por 100.

7,8 × 100 = 780

Por lo tanto,

7,8 cm = 780 m

– Ejemplo 2:

Convierte 0,85 kilómetros a metros.

Debemos multiplicar tres veces por 10, es decir, 10 × 10 × 10 = 1.000.

0,85 × 1.000 = 850

Por lo tanto,

0,85 km = 850 m

– Ejemplo 3:

Convierte 690 milímetros a metros.

Tenemos que dividir el número tres veces por 10, lo que es igual a dividir entre 1.000.

690 ÷ 1.000 = 0,69

Así que:

690 mm = 0,69 m

Medidas de masa

La masa es una magnitud física que determina la cantidad de materia que tiene un cuerpo u objeto. La medimos con una balanza por medio de un proceso que se llama “pesaje”, así que cuando decimos que, por ejemplo, compramos medio kilogramo de papas, nos referimos a la cantidad de materia que tiene una determinada cantidad de papa.

El gramo es la unidad de medida de masa, la cual sirve para saber la cantidad de un determinado material. Con el gramo podemos saber la masa de una cuchara, pero si necesitamos saber la masa de una saco de papas tenemos que usar un múltiplo, es decir, una unidad mayor al gramo. Si lo que necesitamos es saber la masa de una hoja, podemos usar unidades más pequeñas que el gramo, es decir, un submúltiplo.

Los múltiplos y los submúltiplos del gramos junto con sus equivalencias son los siguientes:

1 kilogramo = 1.000 gramos
1 hectogramo = 100 gramos
1 decagramo = 10 gramos
1 gramo = 1 gramo
1 decigramo = 0,1 gramos
1 centigramo = 0,01 gramos
1 miligramo = 0,001 gramos

¿Sabías qué?

El prefijo “kilo” significa 1.000, por eso un kilogramo son 1.000 gramos.

Si queremos pasar de una unidad mayor a una menor debemos multiplicar por 10 según la cantidad de espacios entre las unidades que transformaremos. Si vamos a pasar de una unidad menor a una mayor el procedimiento es similar, con la diferencia de que no multiplicamos sino que dividimos. Observa este esquema:

– Ejemplo 1

Convierte 9,4 decagramos a centigramos.

Hay tres espacios entre dag y cg, así que multiplicamos por 1.000 porque 1.000 = 10 × 10 × 10.

9,4 × 1.000 = 9.400

9,4 dag = 9.400 cg

– Ejemplo 2

Convierte 125 gramos a hectogramos.

Hay dos espacios entre g y hag, así que dividimos dos veces entre 10, lo que es igual a dividir entre 100.

125 ÷ 100 = 1,25

125 g = 1,25 hg

– Ejemplo 3

Convierte 10.589 centigramos a kilogramos.

Hay cinco espacios entre cg y kg, por lo tanto dividimos entre 100.000.

10.589 ÷ 100.000 = 0,10589

10.589 cg = 0,10589 kg

La balanza

Para determinar la masa de un cuerpo se usa como medio de comparación la masa definida de otro cuerpo. A esta operación se la denomina pesaje y el instrumento utilizado para ello es uno de los más comunes en cualquier laboratorio: la balanza. Hay muchos tipos de balanzas pero las más usadas son las mecánicas y las electrónicas.

VER INFOGRAFÍA

medidas de volumen

El concepto de volumen no debe confundirse con el de capacidad. El volumen corresponde al espacio ocupado por un cuerpo, su unidad de medida en el Sistema Internacional de Unidades es el m³; en cambio, la capacidad es la propiedad que tiene un objeto de contener cierta cantidad de materia, su unidad principal de medida es el litro (L).

Las unidades de volumen miden la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. El metro cúbico (m³) es la unidad de medida de volumen y equivale al espacio ocupado por un cubo que mide 1 m de largo, 1 m de ancho y 1 m de alto.

Las conversiones entre las distintas unidades de volumen se muestran en el siguiente esquema:

El procedimiento para hacer conversiones de unidades es el mismo que en los casos de masa y longitud.

– Ejemplo 1:

Convierte 5 centímetros cúbicos a milímetros cúbicos.

5 × 1.000 = 5.000

5 cm³ = 5.000 mm³

– Ejemplo 2:

Convierte 6,2 kilómetros cúbicos a decámetro cúbicos.

6,2 × 1.000.000 = 6.200.000

6,2 km³ = 6.200.000 dam³

– Ejemplo 3:

Convierte 79 centímetros cúbicos a metro cúbico.

79 ÷ 100.000 = 0,00079

79 cm³ = 0,00079 m³

¿Sabías qué?

1 litro es igual a 1 dm³ y 1 mililitro es igual a 1 cm³

medidas de tiempo

El tiempo es una magnitud que nos señala la duración de un suceso. Existen varias formas de medir el tiempo, ya sea con un cronómetro, un reloj o un calendario. A diferencia de otras magnitudes, el tiempo puede ser medido con unidades que van de 60 en 60, como los segundos, minutos y horas. También puede ser medido la cantidad de días o años.

Las unidades de tiempo pueden ser menores o mayores, según el período que se quiera medir. Por ejemplo, las unidades de tiempo respecto a un día son:

1 día = 24 horas
1 hora = 60 minutos
1 minutos = 60 segundos

El esquema para hacer conversiones es el siguiente:

Para convertir unidades de tiempo multiplicamos o dividimos por 60 tantas veces como espacios entre unidades hayan.

– Ejemplo 1:

Convierte 54.000 segundos a horas.

Como hay dos espacios entre los segundos y las horas, dividimos dos veces entre 60, lo que es igual a dividir entre 3.600.

54.000 ÷ 3.600 = 15

54.000 segundos = 15 horas

– Ejemplo 2:

Convierte 120 minutos a horas.

Como solo hay un espacio, dividimos entre 60.

120 ÷ 60 = 2

120 minutos = 2 horas

– Ejemplo 3:

Convierte 120 minutos a segundo.

Como solo hay un espacio, multiplicamos por 60.

120 × 60 = 7.200

120 minutos = 7.200 segundos

También hay unidades de tiempo mayores a un día como las siguientes:

1 año = 365 días
1 lustro = 5 años
1 década = 10 años
1 siglo= 100 años
1 milenio = 1.000 años

¡A practicar!

Convierte las siguientes unidades de medida:

0,6 cm a mm.

Solución

0,6 cm = 6 mm.

1,5 m a dm.

Solución

1,5 m = 15 dm.

1,7 m a cm.

Solución

1,7 m = 170 cm.

7,5 kg a g.

Solución

7,5 kg = 7.500 g.

6,9 hg a a dg.

Solución

6,9 hg a = 6.900 dg.

196 dg a a dag.

Solución

196 dg = 1,96 dag.

8 horas a minutos.

Solución

8 horas = 480 minutos.

720 minutos a horas.

Solución

720 minutos = 12 horas.

3 horas a segundos.

Solución

3 horas = 10.800 segundos.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Conversión de unidades de volumen”

En este artículo encontrarás distintos problemas para ejercitar la conversión de unidades de volumen.

VER

Artículo “Conversión de unidades de longitud”

En este artículo hay información complementaria y ejercicios referidos a las unidades de longitud.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 3

MASA

UNA DE LAS PROPIEDADES QUE SE PUEDEN MEDIR DE LOS CUERPOS ES LA MASA. UN ESCRITORIO, UN GATO, UN GLOBO, UN JUGO O UNA HORMIGA SON CUERPOS CON MASA. LA MANERA MÁS SENCILLA DE MEDIRLA ES CON UNA BALANZA Y ES PROBABLE QUE TENGAS UNA EN CASA PORQUE TAMBIÉN SON NECESARIAS PARA SABER NUESTRO PESO A MEDIDA QUE CRECEMOS.

¿QUÉ ES LA MASA?

LA MASA ES LA CANTIDAD DE MATERIA QUE CONTIENE UN CUERPO. TODOS LOS OBJETOS O CUERPOS TIENEN MASA, YA SEA EN ESTADO SÓLIDO, LÍQUIDO O GASEOSO. POR EJEMPLO, UN LÁPIZ, EL AGUA Y EL AIRE TIENEN MASA.

TODOS LOS CUERPOS ESTÁN HECHOS DE MATERIA Y ALGUNOS TIENEN MÁS O MENOS QUE OTROS. POR EJEMPLO, UN CARRO TIENE MÁS MASA QUE UNA PELOTA, O UN HOMBRE ADULTO TIENE MÁS MASA QUE UN BEBÉ RECIÉN NACIDO. NO SIEMPRE PODEMOS SABER QUÉ CUERPO ES MÁS PESADO POR OBSERVACIÓN, EN ESOS CASOS USAMOS INSTRUMENTOS COMO LA BALANZA O LA BÁSCULA.

CUANDO ALGUIEN PREGUNTA CUÁL ES EL PESO DE UNA PERSONA, ESTE SE EXPRESA EN KILOGRAMOS. ESTO SUCEDE PORQUE LA ACCIÓN DE DETERMINAR LA MASA DE UN CUERPO EN UNA BALANZA SE LLAMA “PESAR”.

¿SABÍAS QUÉ?

EL PESO Y LA MASA NO SON LO MISMO. LA MASA ES INDEPENDIENTE DEL LUGAR DONDE LA MIDAMOS, SIN EMBARGO, EL PESO NO. CUANTO MÁS ALEJADOS DEL CENTRO DE LA TIERRA NOS ENCONTREMOS, MENOR SERÁ NUESTRO PESO.

¿CON QUÉ SE MIDE LA MASA?

LA MASA SE MIDE CON UN INSTRUMENTO LLAMADO BALANZA. LA BALANZA MIDE LA MASA DE CUERPOS Y OBJETOS. TAMBIÉN SE UTILIZAN OTROS INSTRUMENTOS COMO LOS PLATILLOS EN LOS LABORATORIOS O LAS BALANZAS ELECTRÓNICAS PARA PESAR ALIMENTOS.

LAS BALANZAS SE UTILIZAN PARA PESAR LOS ALIMENTOS QUE SE VENDEN EN LOS COMERCIOS, YA SEA CARNE, PESCADO O FRUTAS. TAMBIÉN SE EMPLEAN EN LOS LABORATORIOS PARA PESAR PEQUEÑAS CANTIDADES SUSTANCIAS, Y EN LOS HOGARES PARA PESAR LOS ALIMENTOS QUE COMPONEN UNA RECETA. HAY MUCHOS TIPOS DE BALANZA, UNAS MÁS PRECISAS QUE OTRAS.

LAS BALANZAS DE DOS PLATILLOS SON DE MUCHA AYUDA PARA COMPARAR MASAS, POR EJEMPLO:

LAS DOS MACETAS TIENEN IGUAL MASA PORQUE LA BALANZA ESTÁ EN EQUILIBRIO.

LA PIÑA TIENE MAYOR MASA QUE LA FRESA PORQUE LA BALANZA ESTÁ INCLINADA HACIA SU LADO.

LA CALABAZA TIENE MAYOR MASA QUE EL LIMÓN PORQUE LA BALANZA ESTÁ INCLINADA HACIA SU LADO.

TIPOS DE BALANZA

LA BALANZA ES UN INSTRUMENTO QUE PODEMOS VER EN LOS COMERCIOS, EN LOS CONSULTORIOS MÉDICOS, EN LOS LABORATORIOS O HASTA EN NUESTRAS CASAS. HAY MUCHOS TIPOS, PERO LAS MÁS COMUNES SON LAS MECÁNICAS, CON PLATILLOS Y ESFERAS O REGLAS CON MARCAS; Y LAS ELECTRÓNICAS CON PANTALLAS QUE MUESTRAN DIRECTAMENTE EL VALOR DE LA MASA.

KILOGRAMO Y GRAMO

EL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS SOSTIENE QUE LA UNIDAD DE MEDIDA PRINCIPAL DE LA MASA ES EL KILOGRAMO. EN ALGUNOS CASOS TAMBIÉN SE UTILIZAN SUS UNIDADES DERIVADAS MENORES, COMO LO SON EL GRAMO O EL MILIGRAMO.

¿SABÍAS QUÉ?

LA ABREVIATURA DEL KILOGRAMO ES “kg” Y LA DE LOS GRAMOS ES “g”.

UN PERRO PUEDE PESAR 20 KILOGRAMOS.

UNA BANANA PUEDE PESAR 150 GRAMOS.

UNA HORMIGA PUEDE PESAR 3 MILIGRAMOS.

ALGUNAS EQUIVALENCIAS DE INTERÉS SON LAS SIGUIENTES:

1 KILOGRAMOS ES IGUAL A DOS MEDIOS KILOS.

1 KILOGRAMO ES IGUAL A CUATRO CUARTOS DE KILO.

OTRAS EQUIVALENCIAS

1 KILOGRAMO = 1.000 GRAMOS
½ KILOGRAMOS = 500 GRAMOS
¼ KILOGRAMOS = 250 GRAMOS

¿CÓMO CONVERTIR KILOGRAMOS A GRAMOS?

LA MASA DE MUCHOS PRODUCTOS DEL MERCADO PUEDEN ESTAR MEDIDAS EN KILOGRAMOS, POR EJEMPLO, 2 KILOGRAMOS DE HARINA. PERO SI NECESITAMOS LA MASA EN GRAMOS PARA PREPARAR UNA RECETA, ¿CÓMO HACEMOS?

CAMBIAR UNA MISMA CANTIDAD A OTRA UNIDAD ES MUY FÁCIL. PARA CONVERTIR KILOGRAMOS A GRAMOS SOLO TIENES QUE AGREGAR TRES CEROS A LA CIFRA DE LOS KILOGRAMOS. POR EJEMPLO:

1 KILOGRAMO = 1.000 GRAMOS

2 KILOGRAMOS = 2.000 GRAMOS

3 KILOGRAMOS = 3.000 GRAMOS

OBSERVA ESTAS CAJAS, ¿CUÁNTOS GRAMOS PESAN EN TOTAL?

HAY DOS CAJAS. CADA CAJA PESA 1 KILOGRAMO.

YA SABEMOS QUE:

1 KILOGRAMO = 1.000 GRAMOS

ASÍ QUE:

2 KILOGRAMOS = 2.000 GRAMOS

RESPUESTA: EN TOTAL LAS CAJAS PESAN 2 KILOGRAMOS.

HAY DOS CAJAS. UNA CAJA PESA 1 KILOGRAMO Y LA OTRA PESA ½ KILOGRAMO.

YA SABEMOS QUE:

1 KILOGRAMO = 1.000 GRAMOS

½ KILOGRAMO = 500 GRAMOS

ASÍ QUE:

1.000 GRAMOS + 500 GRAMOS = 1.500 GRAMOS

RESPUESTA: EN TOTAL LAS CAJAS PESAN 1.500 GRAMOS.

HAY TRES CAJAS. UNA CAJA PESA 1 KILOGRAMO Y LAS OTRAS DOS PESAN ¼ DE KILOGRAMO CADA UNA.

YA SABEMOS QUE:

1 KILOGRAMOS = 1.000 GRAMOS

¼ DE KILOGRAMO = 250 GRAMOS

ASÍ QUE:

1.000 GRAMOS + 250 GRAMOS + 250 GRAMOS = 1.500 GRAMOS

RESPUESTA: EN TOTAL LAS CAJAS PESAN 1.500 GRAMOS.

¡A PRACTICAR!

1. ¿CUÁNTOS GRAMOS PESAN EN TOTAL ESTAS CAJAS?

SOLUCIÓN

HAY TRES CAJAS.

1 CAJA DE 1 KILOGRAMO = 1.000 GRAMOS

1 CAJA DE ½ KILOGRAMO = 500 GRAMOS

1 CAJA DE ¼ DE KILOGRAMO = 250 GRAMOS

ASÍ QUE:

1.000 GRAMOS + 500 GRAMOS + 250 GRAMOS = 1.750 GRAMOS

EN TOTAL LAS CAJAS PESAN 1.750 GRAMOS.

2. CONVIERTE LOS KILOGRAMOS A GRAMOS:

7 KILOGRAMOS Y MEDIO = _____ GRAMOS

SOLUCIÓN

7.500

8 KILOGRAMOS = _____ GRAMOS

SOLUCIÓN

8.000

9 KILOGRAMOS = _____ GRAMOS

SOLUCIÓN

9.000

9 KILOGRAMOS Y MEDIO = ____ GRAMOS

SOLUCIÓN

9.500

CAPÍTULO 3 / TEMA 4

Orden de Fracción

Las fracciones forman parte del conjunto de números racionales. Estos números pueden ser expresados como cociente de un número entero y un número natural. Todos los números siguen una secuencia, por lo tanto, es posible ordenarlos en la recta numérica y determinar cuál número es mayor, menor o igual a otro.

Ordenar fracciones en la recta numérica

La recta numérica es un recurso muy útil para comparar números. Consiste en un gráfico en forma de línea en el que se ordenan los números de menor a mayor en sentido de izquierda a derecha.

Las fracciones propias (las que tienen el numerador menor que el denominador) son las más fáciles de graficar porque solo tienes que dividir la unidad en tantos segmentos iguales como indique el denominador y luego, según el numerador, contar los segmentos y ubicar la fracción en la recta.

Por ejemplo, si queremos graficar la fracción $\frac{5}{6}$ , tenemos que dividir la unidad en seis segmentos iguales:

Para ubicar la fracción contamos los segmentos que nos indique el numerador, como en este caso el numerador es cinco (5), se cuentan cinco segmentos a partir del cero:

Por medio del diagrama anterior también podemos graficar la fracción $\frac{1}{6}$ , que es una fracción que comparte el mismo denominador con la fracción $\frac{5}{6}$ ya ubicada en la gráfica. Al seguir los mismos pasos anteriores se obtiene:

Las fracciones con el mismo denominador se pueden comparar fácilmente, la que tenga el numerador mayor será también la mayor fracción. Es por eso que $\frac{5}{6}$ es mayor que $\frac{1}{6}$ .

¿Sabías qué?

En la recta numérica, un número es mayor a los números ubicados a su izquierda y menor a los ubicados a su derecha.

¿Qué hacer si tenemos dos fracciones con denominadores diferentes?

Cuando existan dos fracciones con denominadores diferentes multiplicamos el numerador y denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, y así, tendremos una fracción equivalente. Luego se hace lo mismo con la segunda fracción pero se multiplica su numerador y denominador por el denominador de la primera fracción.

Las dos fracciones obtenidas tendrán el mismo denominador y de esta manera, solo queda ubicar la fracción en la recta tal como se explicó en el punto anterior.

Por ejemplo, si queremos ubicar las fracciones $\frac{1}{2}$ y $\frac{3}{4}$ en la recta numérica, no podemos dividir la recta en segmentos iguales porque no comparten el mismo denominador. Entonces determinamos fracciones equivalentes de cada una, es decir, calculamos fracciones que con diferente valor de numerador y denominador representan la misma cantidad.

Para calcular la fracción equivalente de $\frac{1}{2}$ multiplicamos su numerador y denominador por el denominador de la segunda fracción que es cuatro (4):

$\frac{1\times 4}{2\times 4}= \frac{4}{8}$

En este sentido, la fracción $\frac{4}{8}$ es equivalente a $\frac{1}{2}$ .

Calculamos ahora la fracción equivalente de $\frac{3}{4}$ que se obtiene al multiplicar su numerador y denominador por el denominador de la primera fracción que es dos (2).

$\frac{3\times 2}{4\times 2}= \frac{6}{8}$

De esta manera obtenemos la fracción $\frac{6}{8}$ que es equivalente con $\frac{3}{4}$ .

Las fracciones $\frac{4}{8}$ y $\frac{6}{8}$ son equivalentes con las fracciones anteriores. Observemos que tienen el mismo denominador y para poder ubicarlas en la recta numérica debemos dividir la unidad en 8 segmentos iguales, después escribimos cada fracción en el número de segmento que indique su respectivo numerador. El gráfico quedaría:

Como $\frac{4}{8}$ representa la misma cantidad que $\frac{1}{2}$ , y $\frac{6}{8}$ representa la misma cantidad que $\frac{3}{4}$ . Estas fracciones pueden ser sustituidas en la recta numérica anterior:

De la imagen anterior se puede que concluir que $\frac{3}{4}$ es mayor que $\frac{1}{2}$ por estar ubicado a su derecha.

La recta numérica es una herramienta muy usada para ordenar y observar de manera más sencilla los datos. Este simple gráfico, además de los números naturales, permite ubicar números negativos, números racionales y números irracionales. Hay disciplinas como la física que emplean este tipo de diagrama para resolver problemas de cuerpos en movimiento.

¿Qué hacer si la fracción es impropia?

Si la fracción es impropia (aquella que su numerador es mayor que el denominador) se debe transformar a un número mixto: un número formado por una parte entera y una fracción. En la gráfica, la fracción impropia estará ubicada entre el número entero del número mixto y el número siguiente de la recta. La ubicación exacta la proporciona la parte fraccionaria y la graficamos como se explicó en los casos anteriores.

Pasos para transformar una fracción impropia a un número mixto

1. Divide el numerador entre el denominador.

2. Escribe el cociente de la división anterior, el mismo será la parte entera del número mixto.

3. Escribe al lado de la parte entera la fracción del número mixto. En esta, el numerador será igual al resto de la división y el denominador será el mismo de la fracción original.

– Grafiquemos la fracción $\frac{5}{3}$

Lo primero es transformar la fracción a número mixto, para esto solo debes dividir el numerador entre el denominador:

El número mixto será $1\frac{2}{3}$ . Observa que:

La parte entera es el cociente de la división: 1.
El numerador de la parte fraccionaria es el resto: 2.
El denominador de la parte fraccionaria es el mismo de la fracción original: 3.

Ahora que tenemos nuestro número mixto sabemos que la fracción se encuentra ubicada entre el 1 y el 2 de la recta numérica, pero no sabemos en qué lugar. Para ello debemos hacer los mismos pasos que hicimos inicialmente para graficar fracciones, es decir, dividir el entero o unidad (que en este caso será el intervalo comprendido entre 1 y 2. Como el divisor es tres (3) entonces dividimos el intervalo en tres segmentos iguales:

Luego ubicamos la fracción de acuerdo a la cantidad de segmentos que indique el numerador. De esta manera, el número mixto que es igual a la fracción original se ubicaría así:

Relación de orden entre fracciones y naturales

Los números que se representan en la recta numérica cumplen el mismo criterio: los números de la izquierda de un número son menores a este y los de su derecha son mayores. Es por ello que representar las fracciones en la recta es de gran utilidad, pues permite relacionar los números de manera más fácil.
En el ejemplo anterior, la fracción $\frac{5}{3}$ se ubica en la gráfica entre el número 1 y el número 2. De esta manera, la fracción es mayor a 1 por estar a su derecha pero es menor que 2 por estar a su izquierda.

Uso de los símbolos “>” y “<“

Hay números naturales o fraccionarios que representan una mayor cantidad que otros. Por ejemplo, no es lo mismo decir 3 computadoras que decir 1.500 computadoras. Esta relación entre los números se denomina orden y nos permite diferenciar números mayores o menores.

En la práctica se emplean los símbolos “>” y “<” para denotar el orden de los números:

Símbolo	Significado
>	Mayor que
<	Menor que

Por ejemplo, el 5 es mayor que el 2, entonces, se puede expresar como $5> 2$ . Por otro lado, el número 3 es menor que el 9, en este caso se expresaría como $3<9$ .

La misma teoría es aplicada a las fracciones. De los ejemplos anteriores tenemos que:

a) $\frac{3}{4}> \frac{1}{2}$

b) $\frac{5}{3}<2$

¿Cómo reconocer cuando una fracción es menor o mayor que otra?

Si las fracciones tienen el mismo denominador, se comparan los numeradores, el numerador mayor corresponde a la fracción mayor. Por ejemplo:

a) $\frac{5}{2}> \frac{3}{2}$

b) $\frac{2}{7}< \frac{6}{7}$

Si las fracciones tienen denominadores diferentes, se convierten ambas en fracciones equivalentes con el mismo denominador. Por ejemplo, las fracciones $\frac{3}{5}$ y $\frac{5}{2}$

$\frac{3}{5}\rightarrow \frac{3\times 2}{5\times 2}= {\color{Red} \frac{6}{10}}$

$\frac{5}{2}\rightarrow \frac{5\times 5}{2\times 5}= {\color{Red} \frac{25}{10}}$

En este ejemplo, como $\frac{6}{10}< \frac{25}{10}$ , entonces $\frac{3}{5}< \frac{5}{2}$ .

Las fracciones equivalentes son aquellas que aunque tengan diferente numerador y denominador, representan la misma cantidad. Son útiles para comparar fracciones y también para simplificar operaciones, como la suma de fracciones con diferentes denominadores. Existen varias formas de calcularlas, como el método del mínimo común múltiplo.

¡A practicar!

1. ¿Qué fracción representa la siguiente gráfica?

a) $\frac{6}{2}$

b) $\frac{3}{1}$

c) $\frac{3}{6}$

d) $\frac{3}{2}$

Solución

c) $\frac{3}{6}$

2. ¿Cuál de las siguientes imágenes representa la gráfica de la fracción $\frac{5}{9}$ ?
a)

Solución

3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?

a) $\frac{9}{10}$ y $\frac{7}{10}$

Solución

$\frac{9}{10}$

b) $\frac{3}{2}$ y $\frac{1}{4}$

Solución

$\frac{3}{2}$

4. ¿Cuál de las siguientes fracciones es menor?

a) $\frac{2}{5}$ y $\frac{1}{2}$

Solución

$\frac{2}{5}$

b) $\frac{7}{4}$ y $\frac{9}{6}$

Solución

$\frac{9}{6}$

5. Completa la expresión con los símbolos “>” y “<“.

a) $\frac{3}{2}\sqsubset \sqsupset \frac{1}{2}$

Solución

b) $\frac{5}{9}\sqsubset \sqsupset \frac{8}{9}$

Solución

c) $\frac{5}{2}\sqsubset \sqsupset \frac{7}{4}$

Solución

d) $\frac{1}{9}\sqsubset \sqsupset \frac{3}{8}$

Solución

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La recta numérica”

En este artículo destacado se explica con mayor detalle qué es la recta numérica y cómo representar en ella varios tipos de números como los fraccionarios.

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Artículo “Comparar y ordenar números”

El presente artículo permite conocer los símbolos usados en la comparación de números y muestra una serie de ejemplos de acuerdo a la cantidad de dígitos o cifras.

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