CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros surge por la necesidad de expresar cantidades negativas. Aunque los números negativos se usan desde el siglo XV, fue en 1770 cuando Leonardo Euler justificó su uso. Luego fueron legalmente aceptados para crear un conjunto, más completo que los números naturales, denominados números enteros.

Cada región del mundo registra un clima distinto, por ejemplo, la Antártida suele tener temperaturas cercanas a los −10 °C en la costa, mientras que en Sudamérica la temperatura se acerca a los 20 °C. Estas situaciones se pueden describir gracias a los números enteros, un conjunto numérico amplio que incluye números positivos y negativos.

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS ENTEROS?

Son un conjunto de número que sirven para representar valores positivos y negativos. El conjunto se denota por $\mathbb{Z}$ y es:

$\mathbb{Z} = \left \{ ...,-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, ... \right \}$

El conjunto de los números enteros contiene otros conjuntos numéricos:

Enteros positivos ( $\mathbb{Z}^{+}$ )

$\mathbb{Z}^{+} = \left \{+1, +2, +3, +4, ...\right \} = \left \{ 1,\, 2,\, 3,\, 4, ... \right \}$

Enteros negativos ( $\mathbb{Z}^{-}$ )

$\mathbb{Z}^{-} = \left \{..., -4, -3, -2, -1\right \}$

Números naturales ( $\mathbb{N}$ )

$\mathbb{N} = \left \{0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4, ... \right \}$

¿Sabías qué?

El conjunto de los números enteros se denota con la letra Z por la palabra Zahlen, que en alemán significa “número”.

¡Es tu turno!

¿Cuáles de estos números son enteros?

+4 −1,5 0 1/3 −3 −8,79 15 +0,5 7/4 −1/8 2 10,8 −9

Solución

Los números de color rojo son los números enteros.

+4 −1,5 0 1/3 −3 −8,79 15 +0,5 7/4 −1/8 2 10,8 −9

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número es igual a la distancia que existe desde cero (0) hasta ese número. Para un número $x$ , el valor absoluto se denota como $\left | x \right |$ .

– Ejemplo:

Un buzo se encuentra a −7 metros de profundidad. ¿Qué distancia hay desde donde está hasta el nivel del mar?

Para hallar el valor absoluto de −7, debes medir los espacios entre −7 y 0. Por lo tanto, la distancia que hay desde donde está el buzo hasta el nivel del mar es de 7 metros. Matemáticamente se expresa así:

$\left |-7 \right | = 7$

En conclusión, podemos definir el valor absoluto de un número $x$ así:

$\left | x \right |= x$ , si $x> 0$

$\left | x \right |=-x$ , si $x< 0$

$\left | x \right |=0$ , si $x=0$

– Ejemplo:

$\left | 9 \right |=9$

$\left | -5 \right |=-(-5)=5$

$\left | 0 \right |=0$

¿Cómo aparecieron los números enteros?

Desde la Antigüedad, hace unos 400 años a. C., el hombre ha buscado la manera de realizar cálculos para sus actividades cotidianas. En un principio, los números naturales $\mathbb{N}$ eran suficientes para contar. Sin embargo, con el paso de los años, se necesitó un conjunto que incluyera valores negativos para expresar el déficit de una cantidad. Esta necesidad dio origen a los números enteros $\mathbb{Z}$ , que incluye a los números naturales sin el cero, al cero y a los negativos de los números naturales.

REGLA DE LOS SIGNOS

Cuando realizamos operaciones con números enteros es probable que nos cueste identificar el signo que tendrá el resultado. Para esto existe la regla de los signos, la cual se aplica a todas las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división.

En la suma y la resta

Si sumamos dos números negativos, el resultado será un número negativo.

$\left ( -a \right )+\left ( -b \right ) = - \left ( a+b \right )$

– Ejemplo:

(−3) + (−9) = −(3 + 9) = −12

(−5) + (−10) = −(5 + 10) = −15

Si sumamos dos números positivos, el resultado será un número positivo.

$\left ( +a \right )+ \left ( +b \right ) = +\left ( a+b \right )$

– Ejemplo:

(+8) + (+6) = +(8 + 6) = +14

(+43) + (+7) = +(43 + 7) = +50

Si sumamos un número positivo y un número negativo, ambos se restan y se mantiene el signo del número mayor.

Si $\left | a \right |> \left | -b \right |$ , entonces $\left ( +a \right ) + \left ( -b \right )= + \left ( a-b \right )$

Si $\left | -a \right |> \left | b \right |$ , entonces $\left ( -a \right )+\left (+b \right )= - \left ( a-b \right )$

– Ejemplo:

(+18) + (−4) = +(18 − 4) = +14

(−54) + (+20) = −(54 − 20) = −34

En el buceo es importante conocer hasta qué profundidad puede sumergirse un buzo. La superficie del mar se denota con el 0 y con números negativos hacia el fondo. A medida que el buzo baja, la presión sobre él aumenta y si realiza muy rápido el descenso puede ser dañino. A partir de los −50 metros hay que realizar el descenso lentamente para no correr riesgos.

En la multiplicación

Si multiplicamos dos números con signos iguales, el resultado será siempre positivo.

$(+a)\times (+b) = + (a\times b)$

$(-a)\times (-b)=+(a\times b)$

– Ejemplo:

(+26) × (+3) = +78

(−10) × (−5) = +50

Si multiplicamos dos números con signos diferentes, el resultado siempre será negativo.

$(-a)\times (+b)=-(a\times b)$

$(+a)\times (-b)=-(a\times b)$

– Ejemplo:

(−8) × (+15) = −120

(+12) × (−9) = −108

En la división

Si dividimos dos números con signos iguales, el resultado será positivo.

$(+a)\div (+b)=+(a\div b)$

$(-a)\div (-b)=+(a \div b)$

– Ejemplo:

(+81) ÷ (+9) = +9

(−322) ÷ (−23) = +14

Si dividimos dos números con signos diferentes, el resultado será negativo.

$(+a)\div (-b)=-(a\div b)$

$(-a)\div (+b)=-(a\div b)$

– Ejemplo:

(+180) ÷ (−5) = −36

(−250) ÷ (+50) = −5

APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros tienen múltiples aplicaciones, algunas de las más comunes son las siguientes:

Expresar temperaturas en diferentes épocas del año, por ejemplo, en algunas ciudades de Argentina, durante el verano la temperatura es de 22 ºC, mientras que durante el invierno llega a −3 ºC.
Indicar la altura a la que se encuentran ciertas regiones respecto al nivel del mar. Las regiones que se encuentran por encima del nivel del mar tienen altura positiva, mientras que las que se localizan por debajo tienen altura negativa, por ejemplo, la ciudad de Lagunillas en Venezuela se ubica a −12 msnm.
Especificar el tiempo antes y después de Cristo. Consideramos negativos los años antes de Cristo (a. C.) y positivos los años después de Cristo (d. C.).
Indicar el saldo en una cuenta bancaria, donde los números positivos representan un saldo a nuestro favor y los negativos representan deudas.

Si el lunes tienes disponible $ 155, el martes retiras $ 32 y te depositan $ 13, y el miércoles el banco te descuenta $ 10 por comisión, ¿cuánto dinero tienes para el jueves? Este es un problema en el que las entradas son números positivos y las salidas o descuentos son números negativos. Lo puedes plantear así: 155 − 32 + 13 −10 = 126. ¡Te quedan $ 126!

¡A practicar!

1. Resuelve estas operaciones:

5 − 12
Solución
5 − 12 = −7
−13 − 15
Solución
−13 − 15 = −28
2 − 7
Solución
2 − 7 = −5
3 × (−37)
Solución
3 × (−37) = −111
(−2) × (−15)
Solución
(−2) × (−15) = 30
−17 × 18
Solución
−17 × 18 = −306
10 ÷ (−5)
Solución
10 ÷ (−5) = −2

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La clasificación de los números”

En este artículo encontrará una descripción general sobre la clasificación de los números, desde los naturales hasta los complejos.

VER

Artículo “Regla de los signos”

Este artículo explica cómo utilizar la regla de los signos, tanto para la suma y la resta, como para la multiplicación y la división.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 2

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS ENTEROS?

Valor absoluto de un número entero

REGLA DE LOS SIGNOS

En la suma y la resta

En la multiplicación

En la división

APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Artículo “La clasificación de los números”

Artículo “Regla de los signos”