El conjunto de los números enteros surge por la necesidad de expresar cantidades negativas. Aunque los números negativos se usan desde el siglo XV, fue en 1770 cuando Leonardo Euler justificó su uso. Luego fueron legalmente aceptados para crear un conjunto, más completo que los números naturales, denominados números enteros.
Cada región del mundo registra un clima distinto, por ejemplo, la Antártida suele tener temperaturas cercanas a los −10 °C en la costa, mientras que en Sudamérica la temperatura se acerca a los 20 °C. Estas situaciones se pueden describir gracias a los números enteros, un conjunto numérico amplio que incluye números positivos y negativos.
¿QUÉ SON LOS NÚMEROS ENTEROS?
Son un conjunto de número que sirven para representar valores positivos y negativos. El conjunto se denota por y es:
El conjunto de los números enteros contiene otros conjuntos numéricos:
Enteros positivos ()
Enteros negativos ()
Números naturales ()
¿Sabías qué?
El conjunto de los números enteros se denota con la letra Z por la palabra Zahlen, que en alemán significa “número”.
¡Es tu turno!
¿Cuáles de estos números son enteros?
+4 −1,5 0 1/3 −3 −8,79 15 +0,5 7/4 −1/8 2 10,8 −9
Solución
Los números de color rojo son los números enteros.
+4 −1,5 0 1/3 −3 −8,79 15 +0,5 7/4 −1/8 2 10,8 −9
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número es igual a la distancia que existe desde cero (0) hasta ese número. Para un número , el valor absoluto se denota como .
– Ejemplo:
Un buzo se encuentra a −7 metros de profundidad. ¿Qué distancia hay desde donde está hasta el nivel del mar?
Para hallar el valor absoluto de −7, debes medir los espacios entre −7 y 0. Por lo tanto, la distancia que hay desde donde está el buzo hasta el nivel del mar es de 7 metros. Matemáticamente se expresa así:
En conclusión, podemos definir el valor absoluto de un número así:
, si
, si
, si
– Ejemplo:
¿Cómo aparecieron los números enteros?
Desde la Antigüedad, hace unos 400 años a. C., el hombre ha buscado la manera de realizar cálculos para sus actividades cotidianas. En un principio, los números naturales eran suficientes para contar. Sin embargo, con el paso de los años, se necesitó un conjunto que incluyera valores negativos para expresar el déficit de una cantidad. Esta necesidad dio origen a los números enteros , que incluye a los números naturales sin el cero, al cero y a los negativos de los números naturales.
REGLA DE LOS SIGNOS
Cuando realizamos operaciones con números enteros es probable que nos cueste identificar el signo que tendrá el resultado. Para esto existe la regla de los signos, la cual se aplica a todas las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división.
En la suma y la resta
Si sumamos dos números negativos, el resultado será un número negativo.
– Ejemplo:
(−3) + (−9) = −(3 + 9) = −12
(−5) + (−10) = −(5 + 10) = −15
Si sumamos dos números positivos, el resultado será un número positivo.
– Ejemplo:
(+8) + (+6) = +(8 + 6) = +14
(+43) + (+7) = +(43 + 7) = +50
Si sumamos un número positivo y un número negativo, ambos se restan y se mantiene el signo del número mayor.
Si , entonces
Si , entonces
– Ejemplo:
(+18) + (−4) = +(18 − 4) = +14
(−54) + (+20) = −(54 − 20) = −34
En el buceo es importante conocer hasta qué profundidad puede sumergirse un buzo. La superficie del mar se denota con el 0 y con números negativos hacia el fondo. A medida que el buzo baja, la presión sobre él aumenta y si realiza muy rápido el descenso puede ser dañino. A partir de los −50 metros hay que realizar el descenso lentamente para no correr riesgos.
En la multiplicación
Si multiplicamos dos números con signos iguales, el resultado será siempre positivo.
– Ejemplo:
(+26) × (+3) = +78
(−10) × (−5) = +50
Si multiplicamos dos números con signos diferentes, el resultado siempre será negativo.
– Ejemplo:
(−8) × (+15) = −120
(+12) × (−9) = −108
En la división
Si dividimos dos números con signos iguales, el resultado será positivo.
– Ejemplo:
(+81) ÷ (+9) = +9
(−322) ÷ (−23) = +14
Si dividimos dos números con signos diferentes, el resultado será negativo.
– Ejemplo:
(+180) ÷ (−5) = −36
(−250) ÷ (+50) = −5
APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros tienen múltiples aplicaciones, algunas de las más comunes son las siguientes:
Expresar temperaturas en diferentes épocas del año, por ejemplo, en algunas ciudades de Argentina, durante el verano la temperatura es de 22 ºC, mientras que durante el invierno llega a −3 ºC.
Indicar la altura a la que se encuentran ciertas regiones respecto al nivel del mar. Las regiones que se encuentran por encima del nivel del mar tienen altura positiva, mientras que las que se localizan por debajo tienen altura negativa, por ejemplo, la ciudad de Lagunillas en Venezuela se ubica a −12 msnm.
Especificar el tiempo antes y después de Cristo. Consideramos negativos los años antes de Cristo (a. C.) y positivos los años después de Cristo (d. C.).
Indicar el saldo en una cuenta bancaria, donde los números positivos representan un saldo a nuestro favor y los negativos representan deudas.
Si el lunes tienes disponible $ 155, el martes retiras $ 32 y te depositan $ 13, y el miércoles el banco te descuenta $ 10 por comisión, ¿cuánto dinero tienes para el jueves? Este es un problema en el que las entradas son números positivos y las salidas o descuentos son números negativos. Lo puedes plantear así: 155 − 32 + 13 −10 = 126. ¡Te quedan $ 126!
¡A practicar!
1. Resuelve estas operaciones:
5 − 12
Solución
5 − 12 = −7
−13 − 15
Solución
−13 − 15 = −28
2 − 7
Solución
2 − 7 = −5
3 × (−37)
Solución
3 × (−37) = −111
(−2) × (−15)
Solución
(−2) × (−15) = 30
−17 × 18
Solución
−17 × 18 = −306
10 ÷ (−5)
Solución
10 ÷ (−5) = −2
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “La clasificación de los números”
En este artículo encontrará una descripción general sobre la clasificación de los números, desde los naturales hasta los complejos.
Los seres humanos tenemos la capacidad de contar cosas. Para este proceso de conteo necesitamos un conjunto de operaciones que facilitan los cálculos. La adición, la sustracción, la multiplicación y la resta son conocidas como operaciones básicas y su uso va desde lo cotidiano hasta lo científico.
Adición y sustracción por reagrupación
Las adiciones y las sustracciones las utilizamos todos los días para contar cantidades como los puntos que obtenemos en un juego o cuando necesitamos saber lo que nos tienen que dar de vuelto al hacer una compra. Existen diversos métodos para realizar estas operaciones pero el resultado siempre es el mismo.
Adición por reagrupación
A menudo hacemos uso de las adiciones para resolver distintas situaciones. Cuando los números son pequeños usamos cálculos mentales, pero cuando los números son grandes generalmente hacemos la cuenta en un papel.
Los siguientes pasos te ayudarán a resolver adiciones por reagrupación:
1. Se escriben los números a sumar uno debajo del otro, de manera que coincidan las unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc.
2. Se inicia la suma de derecha a izquierda, a partir de las unidades. Si el resultado de la suma de las unidades es mayor a 9, se anota el resultado de la unidad de dicha suma y el valor de la otra cifra se anota sobre la columna de la izquierda. De esta manera, al resultado de la columna siguiente se le suma la cifra que se anotó con antelación.
Luego se procede a sumar las siguientes columnas junto con los números de las llevadas que se hayan podido generar en sumas de columnas anteriores.
Sustracción por reagrupación
Para resolver las sustracciones por reagrupación se pueden seguir los siguientes pasos:
1. Se escriben los números a restar uno debajo del otro, de manera que coincidan las unidades, decenas, centenas, etc.
2. Igual que en la adición, la sustracción se resuelve de derecha a izquierda. Si el número de la cifra superior es menor que el de la cifra inferior, no se puede restar de forma directa. En este caso, se coloca un 1 delante del número de arriba y se resuelve la resta. A este tipo de operación se la conoce como “resta con llevada” porque al resolver la siguiente columna se le debe restar el 1 que se tomó prestado anteriormente.
3. Se repite el procedimiento hasta abarcar todas las columnas.
Multiplicación
Las multiplicaciones nos sirven para simplificar situaciones en las que tendríamos que sumar reiteradamente un mismo número. De hecho, la multiplicación consiste en calcular el resultado de sumar un número por sí mismo tantas veces como indique otro número o multiplicador. Existen dos tipos de multiplicación: sin reagrupación y con reagrupación.
Multiplicación sin reagrupación
Las multiplicaciones sin reagrupación son aquellas que no tienen llevada, es decir, que cuando multiplicamos cada una de las cifras del multiplicador por el multiplicando da como resultado un número de una cifra.
Para resolver estas multiplicaciones se siguen estos pasos:
1. Primero se calculan los productos intermedios. Se comienza con la multiplicación de las unidades del multiplicador por todas las cifras del multiplicando de derecha a izquierda y se anotan las cifras correspondientes en cada columna. En este caso se multiplica 3 × 62.312 = 186.936.
2. Luego se multiplica la decena del multiplicador por las cifras del multiplicando, se deja un espacio y se anota el número obtenido debajo del resultado anterior. Aquí se multiplica 1 × 62.312 = 62.312.
3. Luego de obtener los productos intermedios, estos se suman para obtener el resultado de la multiplicación.
Observemos ahora un ejemplo en donde el multiplicador posee tres cifras:
1. Igual que en el ejemplo anterior, lo primero que hacemos es multiplicar las unidades del multiplicador (2) por cada una de las cifras.
2. Luego dejamos un espacio en la fila de abajo y anotamos el resultado de la multiplicación de las decenas del multiplicador y el multiplicando.
3. Después dejamos dos espacios y anotamos el resultado de multiplicar las centenas del multiplicador y el multiplicando.
4. Finalmente sumamos los tres productos obtenidos y obtenemos el resultado 45.245.252.
¿Sabías qué?
La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales. El resultado de la multiplicación se llama producto.
La multiplicación presenta varias propiedades, como la del elemento neutro, en la que todo número multiplicado por 1 es igual al mismo número. Otra propiedad es la conmutativa que explica que el orden de los factores no altera el resultado. También presenta la propiedad distributiva la cual indica que no importan cómo se reagrupen los factores, el resultado siempre será el mismo.
Multiplicación con reagrupación
A diferencia de los ejemplos anteriores, las multiplicaciones por reagrupación tienen llevadas. Se resuelven con los mismos pasos anteriores, pero esta vez las llevadas se suman al resultado de cada multiplicación al momento de anotar los productos intermedios.
Para resolver este tipo de multiplicación se siguen estos pasos:
1. Primero se calculan los productos intermedios. Se comienza con la multiplicación de las unidades del multiplicador por todas las cifras del multiplicando de derecha a izquierda y se anotan las cifras correspondientes en cada columna. Cuando el producto de una cifra del multiplicador por una cifra del multiplicando tiene dos cifras, se anota la unidad de dicho número y la cifra correspondiente a las decenas se suma al producto siguiente.
Nota que 5 × 5 = 25. Así que colocamos la unidad (5) en la columna de los resultados y la decena (2) sobre la columna de la izquierda. Por lo tanto, al multiplicar 5 × 0 = 0 y 0 + 2 = 2.
2. Luego se multiplica la decena del multiplicador por las cifras del multiplicando, se deja un espacio y se anota el número obtenido debajo del resultado anterior.
3. Repetimos el paso anterior con las centenas del multiplicador.
4. Finalmente sumamos los productos parciales y obtenemos el resultado de la multiplicación.
división
Muchas veces tenemos la necesidad de hacer repartos de manera equitativa. La operación que nos permite hacerlo es la división. Esta puede ser exacta o inexacta.
Si la resta es la operación opuesta a la suma, la división es la opuesta a la multiplicación. Para expresar una división se pueden emplear los símbolos de “÷”, “:” y “/”. Esta operación nos sirve para repartir cantidades en partes iguales y pueden ser de dos tipos: divisiones exactas cuando el resto es igual a cero y divisiones inexactas cuando no lo es.
Divisiones exactas
Las divisiones exactas son aquellas cuyo resto es igual a cero. Esto lo determinamos al resolver la división por medio de los siguientes pasos:
Para dividir 323 ÷ 17 lo primero que debemos hacer es escribir los datos en su respectiva ubicación para poder comenzar a realizar cálculos:
2. Como tenemos dos cifras de divisor, tomamos dos de dividendo para comenzar la división y comprobamos que la cantidad sea menor a la del divisor.
3. Pensamos un número que multiplicado por 17 se acerque lo máximo posible a 32. Sabemos que 1 × 17 = 17 y 2 × 17 = 34 y es mayor que 32. Así que colocamos el 1 en el cociente, escribimos el producto debajo del 32 y restamos 32 − 17 = 15.
4. Bajamos el siguiente dígito del dividendo, en este caso el 3:
5. Buscamos un número que multiplicado por 17 sea igual o se acerque lo máximo posible a 153. En este caso sería 9, porque 17 × 9 = 153. Luego restamos el producto. Como 153 − 153 = 0 no seguimos la división y el resto de esta es cero, lo que significa que es exacta.
Podemos escribir que 323 ÷ 17 = 19.
Divisiones no exactas
Las divisiones no exactas son aquellas que tienen un resto distinto de cero. El procedimiento para resolverlas es igual al anterior lo único que cambia es que la división termina cuando el resto obtenido es menor al divisor. Observemos el siguiente ejemplo:
Podemos escribir esta división de la siguiente forma:
5.584 ÷ 24 = 232 y resto = 16.
Historia de los símbolos matemáticos
Muchos países en la Antigüedad utilizaban abreviaturas para indicar algunas operaciones matemáticas. Los italianos, por ejemplo, utilizaban una “p” y una “m” para indicar la suma y la resta (plus y minus, en latín). Luego se impuso el uso de la abreviatura alemana ”+” y “−”. Estos símbolos se usaron por primera vez en un libro alemán de Widman en 1489.
El primer símbolo que se utilizó para la multiplicación fue “×”, utilizado por Oughtred en 1631. Varios años después Leibniz impuso el punto “·” como símbolo de la multiplicación porque decía que el símbolo que se usaba era fácil de confundir con la letra equis “x”.
Fibonacci, en el siglo XIII, creó la barra horizontal para las fracciones. Esta separaba el numerador del denominador. En 1845, De Morgan ideó la barra oblicua (/) para denotar a la división. Antes de la barra oblicua, Rahn inventó para la división el signo ÷. Los dos puntos (:) los introdujo Leibniz en el caso de que se quisiese escribir una división en una sola línea.
¡A practicar!
1. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.
a) 3.005.078 + 5.119.839 =
Solución
8.124.917
b) 4.313.528 − 499.999 =
Solución
3.813.529
c) 27.521.666 − 14.124.917 =
Solución
13.396.739
d) 187.324.949 + 153.286.084 =
Solución
340.611.033
2. Resuelve las siguientes multiplicaciones.
a) 2.321.231 × 231 =
Solución
536.204.361
b) 1.639.121 × 452 =
Solución
740.882.692
c) 3.141.243 × 221 =
Solución
694.214.703
d) 796.467 × 734 =
Solución
584.606.778
3. Resuelve las siguientes divisiones.
a) 48.321.564 : 12 =
Solución
4.026.797
b) 240.526 : 18 =
Solución
13.362 y su resto es 10.
c) 451.542 : 42 =
Solución
10.751
d) 2.795.615 : 26 =
Solución
107.523 y su resto es 17.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Operaciones básicas de los números naturales y sus propiedades”
El siguiente artículo destacado explica cuáles son las principales propiedades de las operaciones básicas en números naturales.
Artículo “Suma y resta utilizando el algoritmo de descomposición”
Este artículo explica uno de los métodos para resolver sumas y restas que se fundamenta en la descomposición de un número de acuerdo a los valores posicionales de sus cifras.
MUCHAS SITUACIONES DE NUESTRO DÍA A DÍA SE RESUELVEN POR MEDIO DE CÁLCULOS MATEMÁTICOS, PERO PARA LLEGAR A SU RESPUESTA ES NECESARIO QUE REALICEMOS UNA SERIE DE PASOS: ORGANIZAR LOS DATOS, REFLEXIONAR SOBRE EL PROCESO, HACER LAS OPERACIONES Y FINALMENTE HALLAR LA RESPUESTA. MUCHAS OTRAS VECES TENEMOS QUE HACERLO MENTALMENTE. ¡APRENDE CÓMO SE HACEN!
problemas de suma y resta
1. JUANA TIENE 12 LÁPICES DE COLORES Y CATALINA 6. ¿CUÁNTOS LÁPICES DE COLORES TIENEN ENTRE LAS DOS?
DATOS
LÁPICES DE JUANA: 12
LÁPICES DE CATALINA: 6
PREGUNTA
¿CUÁNTOS LÁPICES DE COLORES TIENEN ENTRE LAS DOS?
REFLEXIONA
HAY QUE SUMAR LAS DOS CANTIDADES DE LÁPICES DE COLORES PARA SABER EL TOTAL. PRIMERO SUMAS LAS UNIDADES Y LUEGO SUMA LAS DECENAS. SI UNO DE LOS SUMANDOS NO TIENE DECENAS SE CONSIDERA COMO UN CERO (0).
CALCULA
RESPUESTA
ENTRE LAS DOS TIENEN 18 LÁPICES.
2. JUAN TENÍA 54 FIGURITAS PARA JUGAR EN EL RECREO. COMPITIÓ CON CELINA Y PERDIÓ 13 FIGURITAS. ¿CUÁNTAS FIGURITAS LE QUEDAN A JUAN AHORA?
DATOS
FIGURITAS DE JUAN: 54
FIGURITAS QUE PERDIÓ: 13
PREGUNTA
¿CUÁNTAS FIGURITAS LE QUEDAN A JUAN AHORA?
REFLEXIONA
PARA SABER CUÁNTAS FIGURITAS LE QUEDARON A JUAN TENEMOS QUE RESTAR LA CANTIDAD QUE TENÍA AL INICIO CON LA CANTIDAD QUE PERDIÓ. PARA ESTO COLOCAMOS EL MINUENDO (54) SOBRE EL SUSTRAENDO (13). RESTAMOS PRIMERO LAS UNIDADES Y LUEGO LAS DECENAS.
CALCULA
RESPUESTA
A JUAN LE QUEDAN 41 FIGURITAS.
3. ILEANA LLEVÓ UN PAQUETE DE GALLETAS DE FRUTILLA PARA COMPARTIR. EL PAQUETE TENÍA 15 GALLETAS Y ELLA CONVIDÓ 5. ¿CUÁNTAS GALLETAS LE QUEDAN A ILEANA AHORA?
DATOS
GALLETAS DE ILEANA: 15
GALLETAS CONVIDADAS: 5
PREGUNTA
¿CUÁNTAS GALLETAS LE QUEDAN A ILEANA AHORA?
REFLEXIONA
ESTE PROBLEMA PODEMOS RESOLVERLO POR MEDIO DE UNA RESTA. SI LE “QUITAMOS” LA CANTIDAD DE GALLETAS CONVIDADAS A LA CANTIDAD TOTAL QUE TIENE EL PAQUETE TENDREMOS COMO RESULTADO LAS GALLETAS QUE QUEDARON.
CALCULA
RESPUESTA
A ILEANA LE QUEDAN AHORA 10 GALLETITAS.
TODO PROBLEMA MATEMÁTICO PUEDE SER RESUELTO POR MEDIO DE UNA OPERACIÓN, LAS MÁS COMUNES SON LAS DE SUMA Y RESTA. PARA RESOLVER PROBLEMAS TIENES QUE SEGUIR UNOS PASOS: ORGANIZAR LOS DATOS, OBSERVAR LA PREGUNTA, PENSAR SOBRE SU RESPUESTA PARA DAR EL RESULTADO A LA PREGUNTA. ESTOS PASOS TE AYUDARÁN A SOLUCIONAR PROBLEMAS DE MANERA RÁPIDA Y SENCILLA.
4. COMO FALTÓ LA MAESTRA DE UN PRIMER GRADO, UNIERON A TODOS LOS NIÑOS EN UN AULA. SI EN 1º A HAY 25 ALUMNOS Y EN 1º B HAY 23, ¿CUÁNTOS ALUMNOS HAY AHORA EN EL AULA?
DATOS
ALUMNOS DE 1º A: 25
ALUMNOS DE 1º B: 23
PREGUNTA
¿CUÁNTOS ALUMNOS HAY AHORA EN EL AULA?
REFLEXIONA
HAY QUE HACER UNA SUMA O ADICIÓN EN LAS QUE LOS SUMANDOS SON LAS CANTIDADES DE ALUMNOS EN CADA GRADO. COLOCA LOS SUMANDOS UNO SOBRE OTRO. SUMA PRIMERO LAS UNIDADES Y LUEGO LAS DECENAS.
CALCULA
RESPUESTA
AHORA EN EL AULA HAY 48 ALUMNOS.
5. EN 1º A HAY 25 ALUMNOS Y HOY FALTARON 4, ¿CUÁNTOS ALUMNOS DE 1º A ESTÁN EN LA ESCUELA?
DATOS
ALUMNOS TOTALES DE 1º A: 25
ALUMNOS DE 1º A QUE FALTARON: 4
PREGUNTA
¿CUÁNTOS ALUMNOS DE 1º A ESTÁN EN LA ESCUELA?
REFLEXIONA
TENEMOS QUE RESTAR LA CANTIDAD DE ALUMNOS QUE NO FUERON A LA ESCUELA A LA CANTIDAD TOTAL DE ALUMNOS DE 1º A. RECUERDA QUE EL SUSTRAENDO ES EL MENOR DE LOS NÚMEROS Y VA DEBAJO DEL MINUENDO QUE ES 25. RESTA LAS UNIDADES Y LUEGO LAS DECENAS.
CALCULA
RESPUESTA
EN LA ESCUELA ESTÁN 21 ALUMNOS DE 1º A
6. ANGÉLICA COMPRÓ UN PANTALÓN EN $ 50 Y PAGÓ CON $ 80. ¿CUÁNTO DINERO RECIBIÓ DE VUELTO?
DATOS
PRECIO DEL PANTALÓN: $ 50
PAGO DE ANGÉLICA: $ 80
PREGUNTA
¿CUÁNTO DINERO RECIBIÓ DE VUELTO?
REFLEXIONA
ESTE PROBLEMA LO PODEMOS RESOLVER POR MEDIO DE UNA RESTA, PUES SI SUSTRAEMOS EL PRECIO DEL PANTALÓN COMPRADO A LA CANTIDAD DE DINERO QUE SE PAGÓ, EL RESULTADO SERÁ EL DINERO QUE LE DIERON A ANGÉLICA DE VUELTO.
CALCULA
RESPUESTA
ANGÉLICA RECIBIÓ $ 30 DE VUELTO.
SI TIENES 1 PALETA Y TE REGALAN 4 PALETAS MÁS, ¿CUÁNTAS PALETAS TIENES? ESTA ES UNA OPERACIÓN QUE RESOLVEMOS CON UNA SUMA O ADICIÓN: 1 + 4 = 5. LA OPERACIÓN INVERSA DE LA SUMA ES LA RESTA, PUES MIENTRAS QUE EN LA SUMA AGRUPAMOS CANTIDADES, EN LA RESTA QUITAMOS UNA CANTIDAD A OTRA. ASÍ, QUE SI DE 4 PALETAS REGALAMOS 2, TENEMOS QUE HACER: 4 − 2 = 2. ¡QUEDAN 2 PALETAS!
LAS CALCULADORAS
LAS CALCULADORAS SON DISPOSITIVOS DISEÑADOS PARA REALIZAR CÁLCULOS MATEMÁTICOS DESDE LOS MÁS SIMPLES COMO UNA SUMA O UNA RESTA, HASTA OTROS MÁS COMPLICADOS COMO LA MULTIPLICACIÓN O LA DIVISIÓN. TAMBIÉN HACEN MUCHA OTRAS OPERACIONES. PUEDES VERLAS EN LOS COMERCIOS PORQUE AYUDAN A RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS DE FORMA EXACTA MUY RÁPIDA, COMO LA CUENTA QUE DEBEMOS PAGAR.
¿SABÍAS QUÉ?
CUANDO PRACTICAS LO SUFICIENTE PUEDES HACER ESTOS CÁLCULOS DE MANERA MENTAL.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Situaciones problemáticas 1º grado”
Este recurso te brindará una serie de situaciones problemáticas que puedes compartir con tus alumnos.
DÍA A DÍA NOS ENCONTRAMOS CON SITUACIONES EN LAS QUE TENEMOS QUE HACER CÁLCULOS, POR EJEMPLO, CUANDO COMPARTIMOS NUESTROS DULCES O CUANDO AGRUPAMOS NUESTROS JUGUETES. COMO VES, SIEMPRE RESOLVEMOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS. PARA ELLO ES ÚTIL SEGUIR ALGUNOS CONSEJOS Y UTILIZAR SÍMBOLOS ESPECIALES.
¿QUÉ ES UN CÁLCULO MATEMÁTICO?
UN CÁLCULO MATEMÁTICO ES UNA OPERACIÓN QUE REALIZAMOS PARA CONOCER EL RESULTADO, VALOR O MEDIDA DE ALGO EXPRESADO EN NÚMEROS. LAS OPERACIONES QUE UTILIZAMOS CON MAYOR FRECUENCIA PARA CALCULAR SON LA SUMA Y LA RESTA.
ES POSIBLE QUE CADA DÍA SOLUCIONES PROBLEMAS MATEMÁTICOS SIN DARTE CUENTA. ESTOS CÁLCULOS SON MUY SENCILLOS CUANDO DOMINAS LOS SÍMBOLOS ADECUADOS. POR EJEMPLO, SI TIENES UNA CAJA CON DOCE ROSQUILLAS Y TE COMES DOS, PUEDES CONTAR UNA POR UNA LAS QUE QUEDARÍA O PUEDES EXPRESARLO COMO UNA CÁLCULO: 12 − 2 = 10. ¡QUEDARÍAN 10 ROSQUILLAS!
¿por qué es importante la matemática?
LA MATEMÁTICA NOS PERMITE ADQUIRIR HABILIDADES MUY ÚTILES PARA NUESTRA VIDA. NOS AYUDA A PENSAR, RAZONAR Y AGILIZAR NUESTRA MENTE. EN LA VIDA COTIDIANA ESTO TE AYUDARÁ A RESOLVER JUEGOS CON AMIGOS, ADMINISTRAR TUS AHORROS, UTILIZAR BIEN TU TIEMPO, UBICARTE EN EL ESPACIO Y NUNCA DEJAR DE APRENDER.
LA MATEMÁTICA Y LA MÚSICA
A SIMPLE VISTA LA MATEMÁTICA Y LA MÚSICA PUEDEN PARECER QUE NO TIENEN RELACIÓN. SIN EMBARGO, LOS MÚSICOS UTILIZAN CONSTANTEMENTE ELEMENTOS MATEMÁTICOS PARA CREAR Y EJECUTAR SUS PRODUCCIONES. LA UTILIZAN PARA INDICAR LA DURACIÓN DE LAS NOTAS, EL RITMO, EL VOLUMEN, LOS TONOS. ¡YA VES! LA MATEMÁTICA ESTÁ PRESENTE AÚN DONDE NO PODEMOS VERLA.
¿SABÍAS QUÉ?
EN TODOS LOS DEPORTES ES NECESARIA LA MATEMÁTICA. YA SEA PARA CONTAR LOS GOLES APUNTADOS, LA CANTIDAD DE JUGADORES O EL TAMAÑO DE LA CANCHA DE JUEGO.
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
EN MATEMÁTICA LOS SÍMBOLOS SIRVEN PARA EXPRESAR OPERACIONES O RELACIONES ENTRE LOS NÚMEROS. LA SUMA Y LA RESTA SON LAS OPERACIONES QUE UTILIZAMOS CON MAYOR FRECUENCIA.
= ESTE ES EL SÍMBOLO “IGUAL”.
EL SÍMBOLO = ES USADO PARA DAR EL RESULTADO DE UN CÁLCULO COMO LA SUMA O LA RESTA.
+ ESTE ES EL SÍMBOLO “MÁS”.
EL SÍMBOLO + ES USADO PARA HACER SUMAS O ADICIONES. LA SUMA ES UN CÁLCULO EN EL QUE AGRUPAMOS CANTIDADES.
− ESTE ES EL SÍMBOLO “MENOS”.
EL SÍMBOLO − ES USADO PARA HACER RESTAS O SUSTRACCIONES. LA RESTA ES UNA CÁLCULO EN QUE QUITAMOS UNA CANTIDAD A OTRA.
– EJEMPLO:
SI MARÍA TIENE 4 LIMONES Y SU MAMÁ LE DA 3 LIMONES, ¿CUÁNTOS LIMONES TIENE AHORA?
MARÍA TIENE 7 LIMONES.
SI LUEGO LE REGALA 5 LIMONES A JOSÉ, ¿CUÁNTOS LIMONES LE QUEDAN?
LE QUEDAN 2 LIMONES.
LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS REPRESENTAN LAS DISTINTAS OPERACIONES O RELACIONES ENTRE NÚMEROS. ALGUNOS SÍMBOLOS COMO “+” Y “−” REPRESENTAN LAS OPERACIONES DE SUMA Y RESTA, OTROS COMO “>” Y “<” REPRESENTAN RELACIONES DE “MAYOR QUE” O “MENOR QUE”. EXISTEN MUCHOS SÍMBOLOS ADEMÁS DE ESTOS. A MEDIDA QUE APRENDAS MÁS OPERACIONES APRENDERÁS MÁS SÍMBOLOS.
CONSEJOS PARA RESOLVER PROBLEMAS
PIENSA SI YA HAS RESUELTO UN PROBLEMA PARECIDO.
ANOTA LA INFORMACIÓN O LOS DATOS QUE EL PROBLEMA TE PROPORCIONA.
REALIZA DIBUJOS O ESQUEMAS.
PIENSA SI ALGUNA OPERACIÓN MATEMÁTICA TE AYUDARÍA A RESOLVERLO.
REALIZA LOS CÁLCULOS.
TOMA NOTA DE TODO LO QUE CONSIDERES NECESARIO.
ESCRIBE EL RESULTADO.
¡SIGUE LOS CONSEJOS!
JUAN TIENE 6 LÁPICES DE COLOR ROJO Y 3 LÁPICES DE COLOR AMARILLO. ¿CUÁNTOS LÁPICES TIENE EN TOTAL?
DATOS
LÁPICES DE COLOR ROJO:
LÁPICES DE COLOR AMARILLO: 3
DIBUJO
CÁLCULOS
RESULTADO
JUAN TIENE 9 LÁPICES EN TOTAL. 6 DE COLOR ROJO Y 3 DE COLOR AMARILLO.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Matemáticas en las vida cotidiana”
Este artículo ofrece información sobre el uso diario de la matemática, lo que te servirá para analizar con tus alumnos la importancia de la misma.
La adición consiste en combinar, agrupar o sumar números; la sustracción, en cambio, consiste en quitar o restar números a un grupo. Siempre que queramos resolver cualquiera de estas operaciones, debemos considerar el valor posicional de cada una de las cifras de los números. Por otro lado, la adición cumple con ciertas propiedades como la asociativa y la conmutativa que no se pueden aplicar a la sustracción.
Un ejemplo de la adición por reagrupación es la suma de dinero. Si tienes $ 1.324 y luego te dan $ 3.984, tienes en total $ 1.324 + $ 3.984 = $ 5.318.
Multiplicación
La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar varias veces un mismo número. Los factores son los números que se multiplican o suman reiteradas veces y el producto es el resultado de la multiplicación. La multiplicación sin reagrupación es un método que consiste en multiplicar las unidades, las decenas y las centenas de 2 factores entre sí cuando ninguno de los productos formados supera la decena, mientras que la multiplicación con reagrupación es un procedimiento que podemos utilizar cuando algún producto entre dos cifras es igual o mayor a 10.
La multiplicación por reagrupación es útil en muchas situaciones cotidianas, como saber la cantidad de butacas que hay en el cine. Si cuentas las que hay en una fila (6) y las multiplicas por la cantidad de filas (3) tienes que 6 x 3 = 18. Así que hay 18 butacas.
División
La división es la operación opuesta a la multiplicación. Sus elementos son el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. El dividendo es la cantidad que se quiere repartir; el divisor indica entre cuántas partes se reparte; el cociente es la cantidad que le corresponde a cada parte y también es el resultado de la división; y el resto representa lo que no se puede repartir. Cuando el resto es igual a cero (0) decimos que la división es exacta.
El cociente de una división también puede ser un número decimal, por ejemplo, si deseamos repartir 3 naranjas entre 6 personas, cada una tendrá 0,5 = 1/2, es decir, cada una tendrá media naranja.
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES
Para la adición y sustracción de números decimales procedemos igual que en el caso de los números naturales, pues debemos colocar cada elemento uno sobre otro según su valor posicional, al final nos aseguramos de que la coma esté en la misma columna. En el caso de las multiplicaciones, realizamos la operación tal y como si fuera una de números naturales, luego le colocamos al producto final la coma de acuerdo a los decimales de los factores.
Si sube la temperatura corporal un grado más allá de los 36,6° de la imagen, la persona tiene fiebre. ¿Cuál es la temperatura a la que puede tener fiebre? El cálculo es 36,6° + 1° = 37,6°. Este es un ejemplo de adición de decimales.
OPERACIONES COMBINADAS
Las operaciones combinadas son aquellas que agrupan diversos cálculos en una sola expresión. Cuando no hay paréntesis debemos seguir un orden de resolución: primero las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas. Si la operación combinada tiene paréntesis tenemos que realizar primero los cálculos que están dentro de ellos, es decir, estos tienen prioridad sobre otros.
Los paréntesis son de gran importancia si deseamos realizar operaciones en una calculadora, pues indican que son prioritarias sobre las demás.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) son operaciones que nos ayudan a simplificar cálculos más complejos. El mcm es el mínimo múltiplo que tienen en común dos o más números y el mcd es el divisor mayor que tienen en común dos o más números. Ambos pueden ser calculados por comparación de múltiplos y divisores o por descomposición de su números en factores primos.
La descomposición en factores primos consiste en dividir cada número entre su divisor mínimo para representar un número como producto de sus números primos. Algunos números primos están en esta imagen.
CONVERSIONES DE MEDIDAS
Algunas magnitudes que podemos medir son la longitud, la masa, el volumen y el tiempo. Cada una de ellas tiene una unidad básica de medida pero no son las únicas. Para medir longitudes podemos usar unidades como el metro, el kilómetro o el centímetro; para medir masas usamos unidades como el gramo, el kilogramo o el miligramo; para medir el volumen usamos unidades como el centímetro cúbico o el metro cúbico; y para medir el tiempo usamos unidades como los segundos, los minutos, las horas, los días o los años.
Hay mariposas que solo viven 1 día. Si convertimos esta unidad, también podemos decir que hay mariposas que viven 24 horas.
En toda fracción podemos distinguir dos partes principales: el numerador y el denominador, ambos se encuentran separados por una línea horizontal. El denominador indica en cuántas partes se divide la unidad y el numerador señala cuántas de esas partes se han de tomar. Las fracciones se pueden clasificar en propias, impropias y aparentes. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador y representan un número menor a uno. Las fracciones impropias son la que tienen el numerador mayor que el denominador y representan a un número mayor a uno. Las fracciones aparentes son aquellas cuyo numerador es múltiplo de su denominador.
Además de la raya horizontal también podemos representar a las fracciones con una raya diagonal “/” o con el símbolo de las divisiones “÷”.
FRACCIONES EQUIVALENTES
Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad. Las fracciones equivalentes se pueden obtener por medio de dos métodos: amplificación y simplificación. Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero. Para obtenerlas por simplificación, debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero y que sea un divisor común entre ambos. Es importante recordar que las fracciones equivalentes se pueden utilizar para sumar y restar fracciones heterogéneas (que tienen distinto denominador).
Media sandía se puede expresar como 1/2, 2/4, 4/8, 8/16, 16/32… Todas ellas son fracciones equivalentes que indican la mitad de un entero.
OPERACIONES CON FRACCIONES
La suma y resta de fracciones depende del tipo de estas. En las fracciones homogéneas (mismo denominador) se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador. En las fracciones heterogéneas (diferente denominador) se debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se suma o se resta al producto del numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera, el número obtenido es el numerador de la fracción resultante; luego se multiplican ambos denominadores y el número obtenido corresponderá al denominador de la fracción resultante. Para la multiplicación se multiplican los numeradores y denominadores de forma lineal. Para la división, se debe multiplicar en forma de cruz: el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda es igual al numerador de la fracción resultante y el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera es igual al denominador de la fracción resultante.
Algunas fracciones se pueden simplificar, es decir, pueden expresarse en fracciones equivalentes más sencillas
FRACCIONES MIXTAS
Una fracción mixta o número mixto es una forma de representar a una cantidad compuesta por una parte entera y una parte fraccionaria. Para graficarla, dividimos al entero en tantas partes como indique el denominador de la parte fraccionaria. Luego, pintamos tantos enteros (completos) como indique el número entero de la fracción mixta. Por último, dibujamos otro entero y pintamos tantas partes de este como indique el numerador de la fracción mixta. Para transformar una fracción mixta a una fracción convencional, lo que se realiza es sumar la parte entera con la parte fraccionaria. Siempre se debe obtener una fracción impropia.
En este caso la parte entera de la fracción mixta es 2, y la parte fraccionaria es 1/3. Se lee “dos enteros y un tercio”.
PORCENTAJES
Un porcentaje, al igual que una fracción, es una forma de indicar una parte de un todo. Un porcentaje siempre representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100. El símbolo que utilizamos para indicar un porcentaje es %. Para calcular el porcentaje de una cantidad conocida se multiplican ambos valores y se divide entre 100. Para convertir cualquier fracción a porcentaje, debemos dividir el numerador con el denominador, y luego multiplicar dicho resultado por cien. Por otro lado, para convertir un porcentaje a fracción, simplemente colocamos el porcentaje en el numerador y 100 como denominador, posteriormente se realiza una simplificación.
Los porcentajes se utilizan para indicar descuentos y recargos. También se utilizan en la estadística y en la economía.
Los números desde su invención han servido para contar cosas y por eso existen diferentes sistemas y tipos de números que permiten un mejor conocimiento de las cantidades. Para comprender el sentido numérico, dentro del universo de los números se utilizan diversas clasificaciones. Un tipo de números son los ordinales que sirven para establecer un orden. Por otro lado, existen los cardinales que indican cantidades numéricas de elementos que pertenecen a un grupo o conjunto. Actualmente, el sistema más usado es el sistema numérico decimal pero no es el único que existe. Otras culturas crearon sistemas de numeración distintos al decimal, como por ejemplo, los mayas y los romanos.
El sistema de numeración binario se utiliza principalmente en la informática. Está conformado solo por dos cifras: el 0 y el 1.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
De acuerdo a la cantidad de divisores que poseen los número, los podemos clasificar en primos y compuestos. Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. En cambio, los números compuestos son aquellos que además de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números, es decir, tienen más de dos divisores. Todos los números compuestos pueden expresarse como un producto de factores primos.
Para determinar los factores primos de un número compuesto se emplean los criterios de divisibilidad.
VALOR POSICIONAL
Una de las principales características de nuestro sistema de numeración decimal es que el valor de los dígitos varía de acuerdo a su ubicación dentro del número. Esta característica se denomina valor posicional y aplica tanto en los números enteros como en los fraccionarios. Una herramienta que nos permite observar directamente el valor de cada dígito de acuerdo al lugar que ocupa es la tabla posicional.
Según la posición de cada dígito, los números pueden descomponerse en forma de suma (descomposición aditiva) o de multiplicación (descomposición multiplicativa).
NÚMEROS DECIMALES
Hay números que se ubican entre dos números enteros consecutivos, estos números se denominan números decimales y se caracterizan porque presentan una parte entera y una decimal, que se encuentran separadas por una coma o punto de acuerdo a la convención del país. Los números decimales se clasifican en racionales y en irracionales. Los racionales se pueden representar en forma de fracción, y los irracionales son números infinitos cuya parte decimal no sigue ningún patrón, como sucede en el caso del número pi.
A menudo se pueden aplicar redondeos en las cifras decimales de un número para simplificar los cálculos.
POTENCIAS
La potenciación es una operación compuesta de tres partes fundamentales: el exponente, la base y la potencia. El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar la base por si misma. La base es el número que se multiplica por sí mismo las veces que indique el exponente. La potencia es el resultado de la operación de potenciación. Como toda operación matemática, las potencias cumplen con algunas propiedades. Por ejemplo, todo número elevado a 0 es igual a 1. Para resolver potencias se aplican sus propiedades y se realizan multiplicaciones sucesivas de la base.
Cuando el exponente es 1, la potencia es siempre igual a la base.
RAÍZ DE UN NÚMERO
La radicación es la operación inversa a la potenciación y por ello se encuentran estrechamente relacionadas. Esta operación emplea el símbolo (√) denominado radical. Sus elementos principales son el radicando, el índice y la raíz. El radicando es el número al cual se le va a calcular la raíz y se encuentra en la parte inferior del radical. El índice es el número que índica la cantidad de veces en las que debe multiplicarse un número por sí mismo para que el resultado sea igual al radicando, y se ubica en la parte izquierda del radical. La raíz es el resultado de la operación. Para calcular una raíz se debe buscar un número que multiplicado por sí mismo las veces que indique el índice dé como resultado el mismo valor del radicando.
En las raíces cuadradas, el índice 2 no se coloca en el radical: simplemente se denotan como (√).
El sistema de numeración decimal se caracteriza por ser de base 10 y por ser posicional. Esto significa que solo usa diez dígitos y que la posición de cada uno de ellos determina el valor que tienen. La tablas posicionales y la descomposición son algunas técnicas que podemos emplear para escribir y leer números con más de cinco cifras de manera sencilla. A continuación verás lo fácil que es.
VALOR POSICIONAL DE CIFRAS HASTA 1.000.000
En el sistema de numeración decimal contamos con los siguientes dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos podemos formar todos los números del sistema ya que si variamos la posición de las cifras dentro del número, también cambiamos su valor. Esta característica se denomina valor posicional.
Como podemos observar en este ejemplo, todas las cifras que componen el número 999.999 son las mismas: 9, pero cada una tiene un valordiferente debido a su posición dentro del número.
Como ya sabemos, luego de 3 cifras debemos colocar un punto. En este caso, dicho punto separa a los miles de los millones. El número que le sigue al 999.999 es el millón, que se escribe de la siguiente manera:
1.000.000
¿Sabías qué?
Si empiezas a contar de uno en uno no terminarás nunca porque los números no tienen un final, es decir, son infinitos.
Cuando algo no termina decimos que es infinito, y los números son un ejemplo de ello. No hay un límite final para los números, pero tampoco hay un comienzo, ya que antes del 0 hay una infinidad de número negativos. Cuando queramos expresar que una cuenta es infinita podemos utilizar el símbolo que lo representa: ∞.
LA TABLA POSICIONAL
Existe una clasificación según la posición que tengan las cifras dentro del número. Cada posición recibe el nombre de un orden, como las unidades, decenas y centenas. Cada tres órdenes se forma una clase, que va desde las unidades, miles, millones, millares de millón, billones, etc. Podemos observar toda esta información en una tabla posicional.
– Ejemplo:
Según la tabla posicional, los valores de cada cifra de derecha a izquierda son los siguientes:
2 unidades = 2 se lee “dos”.
3 decenas = 30 se lee “treinta”
5 centenas = 500 se lee “quinientos”.
9 unidades de mil = 9.000 se lee “nueve mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
8 centenas de mil = 800.000 se lee “ochocientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”
Por lo tanto, el número 1.849.532 se lee “un millón ochocientos cuarenta y nueve mil quinientos treinta y dos”.
– Otro ejemplo:
Según la tabla posicional, los valores son:
5 unidades = 5 se lee “cinco”.
8 decenas = 80 se lee “ochenta”.
9 centenas = 900 se lee “novecientos”.
2 unidades de mil = 2.000 se lee “dos mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
6 centenas de mil = 600.000 se lee “seiscientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”.
Entonces, el número 1.642.985 se lee “un millón seiscientos cuarenta y dos mil novecientos ochenta y cinco”.
¡Es tu turno!
Coloca los siguientes números en sus tablas posicionales:
1.022.467
Solución
270.628
Solución
896.501
Solución
VALOR POSICIONAL DE DECIMALES
Los números decimales se componen de una parte entera y una parte decimal que van separadas por una coma. Esto quiere decir que de un lado de la coma vamos a tener la parte de los números enteros con unidades, decenas, centenas, etc.; y del otro lado, la parte decimal que también tiene valores posicionales conocidos como décimas, centésimas, milésimas, etc.
La parte decimal de los números decimales también puede ser representada en una tabla posicional. Al igual que la parte entera, el valor cambia de acuerdo a la posición de la cifra.
Unidades decimales
Son las que obtenemos al dividir la unidad en partes iguales. Las primeras unidades decimales son las décimas, las centésimas y las milésimas.
Décimas
Centésimas
Milésimas
1 unidad = 10 décimas
1 décima = 0,1 unidades
1 unidad = 100 centésimas
1 centésima = 0,01 unidades
1 unidad = 1.000 milésimas
1 milésima = 0,001 unidades
– Ejemplo:
Podemos leer los números decimales de dos formas:
Leemos la parte entera seguida de la palabra “enteros”. Luego leemos la parte decimal como se lee la parte entera y mencionamos la posición en la que está la última cifra.
Leemos la parte entera seguida de la palabra “coma”. Después leemos la parte decimal de la misma forma en la que lees la parte entera.
De este modo, el número 5.897,234 puede ser leído de dos formas, ambas correctas:
“Cinco mil ochocientos noventa y siete enteros doscientos treinta y cuatro milésimas“.
“Cinco mil ochocientos noventa y siete coma doscientos treinta y cuatro”.
DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE UN NÚMERO
Todos los números pueden descomponerse de diversas maneras. Una de ellas es la descomposición aditiva, la cual consiste en representar números como la suma de otros.
Por ejemplo, podemos descomponer el número 128 de forma aditiva y representarlo así:
128 = 100 + 20 + 8
Observa que sumamos los valores posicionales de cada cifra.
Cualquier número puede ser expresado a través de la suma, en lo que se conoce como descomposición aditiva. Este tipo de descomposición considera el valor posicional de cada una de sus cifras, pero también es posible verlo como la suma de diferentes cifras, por ejemplo, 15 = 10 + 5, pero también lo podemos escribir como 15 = 7 + 8.
DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DE UN NÚMERO
Es otro tipo de descomposición en el que representamos números por medio de multiplicaciones. Aquí tomamos en cuenta el valor del dígito por el valor de su posición.
LA ADICIÓN ES UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA QUE UNE O AGRUPA DOS O MÁS CANTIDADES. EN DICHA UNIÓN SE FORMA OTRA CANTIDAD QUE ES DENOMINADA SUMA O RESULTADO. LOS ELEMENTOS DE LA ADICIÓN SON LOS SUMANDOS Y LA SUMA. LA ADICIÓN ES UNA DE LAS CUATRO OPERACIONES BÁSICAS DE LAS MATEMÁTICAS.
EL SIGNO USADO PARA LA SUMA ES + Y SE LEE “MÁS”. EN LA IMAGEN VEMOS QUE “UNO MÁS TRES ES IGUAL A CUATRO”.
SUSTRACCIÓN
LA RESTA, TAMBIÉN LLAMADA SUSTRACCIÓN, ES UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA EN LA QUE QUITAMOS UNA CANTIDAD LLAMADA SUSTRAENDO A OTRA LLAMADA MINUENDO. SIEMPRE EL SUSTRAENDO DEBE SER MENOR AL MINUENDO Y EL RESULTADO QUE SE OBTIENE SE DENOMINA RESTA. LA RESTA ES UNA DE LAS CUATRO OPERACIONES MATEMÁTICAS MÁS IMPORTANTES.
UNA MANERA SENCILLA DE RESTAR CANTIDADES PEQUEÑAS ES CON LOS DEDOS. CUENTA 4 DEDOS Y LUEGO QUITA 3 DEDOS, ¿CUÁNTOS QUEDAN? ¡1! ES DECIR: 4 V 3 = 1.
¿QUÉ ES LA MULTIPLICACIÓN?
LA MULTIPLICACIÓN ES UNA SUMA REPETIDA. ESTA OPERACIÓN CONSISTE EN SUMAR UN NÚMERO TANTAS VECES COMO INDICA OTRO NÚMERO, POR EJEMPLO, 3 × 5 ES IGUAL A SUMAR 3 VECES EL NÚMERO 5, ASÍ QUE 5 + 5 + 5 = 15 Y POR LO TANTO 3 × 5 = 15. SUS ELEMENTOS SE DENOMINAN FACTORES, Y EL RESULTADO OBTENIDO PRODUCTO.
LA MULTIPLICACIÓN SIRVE PARA ABREVIAR SUMAS REPETIDAS CON IGUALES CANTIDADES. 2 × 2 ES IGUAL A 2 VECES 2 QUE ES IGUAL A 4.
FRACCIONES
CADA VEZ QUE CONTAMOS OBJETOS USAMOS LOS NÚMEROS NATURALES: 1, 2, 3, 4,… PERO NO SIEMPRE ES POSIBLE USARLOS, PUES SI TENEMOS UNA PARTE DE UN ENTERO TENEMOS QUE USAR UN TIPO ESPECIAL DE NÚMERO LLAMADO FRACCIÓN. LAS FRACCIONES REPRESENTAN UNA PARTE DE UN TODO QUE SE HA DIVIDIDO EN PARTES IGUALES Y TIENEN DOS ELEMENTOS: UN NUMERADOR Y UN DENOMINADOR.
EL REPARTO ES LA BASE DE LAS FRACCIONES Y SURGE DE LA NECESIDAD DE PARTIR ALIMENTOS.
CUANDO UNA CANTIDAD SE REPITE VARIAS VECES PODEMOS ACUDIR A UNA OPERACIÓN BÁSICA DE LAS MATEMÁTICAS: LA MULTIPLICACIÓN. ESTA ES IGUAL A UNA SUMA RESUMIDA Y LA USAMOS CADA VEZ COMPRAMOS VARIOS PRODUCTOS IGUALES, POR EJEMPLO, 4 HELADOS A $ 2 ES IGUAL A 4 × 2 Y SE LEE “CUATRO POR DOS”.
TANTA VECES TANTO
SI TENEMOS LA MISMA CANTIDAD DE ELEMENTOS EN VARIOS GRUPOS PODEMOS SABER LA CANTIDAD TOTAL SI CONTAMOS CUÁNTOS GRUPOS HAY Y LUEGO CONTAMOS CUÁNTO HAY EN CADA GRUPO.
– EJEMPLO 1:
¿CUÁNTOS GRUPOS HAY?, ¿CUÁNTAS CEREZAS HAY EN CADA GRUPOS?, ¿CUÁNTAS CEREZAS HAY EN TOTAL?
HAY 3 GRUPOS.
HAY 2 CEREZAS EN CADA GRUPO.
HAY 6 CEREZAS EN TOTAL PORQUE 2 + 2 + 2 = 6
PODEMOS DECIR QUE:
3 VECES 2 ES IGUAL A 6
– EJEMPLO 2:
¿CUÁNTOS GRUPOS HAY?, ¿CUÁNTAS PALETAS HAY EN CADA GRUPO?, ¿CUÁNTAS PALETAS HAY EN TOTAL?
HAY 2 GRUPOS.
HAY 4 PALETAS EN CADA GRUPO.
HAY 8 PALETAS EN TOTAL PORQUE 4 + 4 = 8
PODEMOS DECIR QUE:
2VECES 4 ES IGUAL A 8
¡ES TU TURNO!
¿CUÁNTOS GRUPOS HAY?, ¿CUÁNTAS BANANAS HAY EN CADA GRUPO?, ¿CUÁNTAS BANANAS HAY EN TOTAL?
SOLUCIÓN
HAY 3 GRUPOS.
HAY 3 BANANAS EN CADA GRUPO.
HAY 9 BANANAS EN TOTAL PORQUE 3 + 3 + 3 = 9
ASÍ QUE:
3 VECES 3 ES IGUAL A 9
LA MULTIPLICACIÓN Y SUS ELEMENTOS
CUANDO SABEMOS LA CANTIDAD DE GRUPOS Y LA CANTIDAD DE ELEMENTOS EN CADA GRUPO PODEMOS HACER UNA OPERACIÓN LLAMADA MULTIPLICACIÓN. LA USAMOS CADA VEZ QUE LA CANTIDAD DENTRO DE CADA GRUPO SEA LA MISMA. LA MULTIPLICACIÓN ESTÁ FORMADA POR FACTORES Y UN PRODUCTO.
¿SABÍAS QUÉ?
EL SIGNO DE MULTIPLICACIÓN ES × Y SE LEE “POR”.
– EJEMPLO 1:
¿CUÁNTAS FRESAS HAY EN TOTAL?
LA CANTIDAD TOTAL DE FRESAS EN ESTA IMAGEN LA PODEMOS REPRESENTAR ASÍ:
3 + 3 + 3 + 3 = 12
4 VECES 3 ES IGUAL A 12
O COMO UNA MULTIPLICACIÓN:
4 × 3 = 12
EL 4 REPRESENTA LA CANTIDAD DE GRUPOS. ES UN FACTOR.
EL 3 REPRESENTA LA CANTIDAD DE FRESAS EN CADA GRUPO. ES UNA FACTOR.
EL 12 REPRESENTA EL TOTAL DE FRESAS. ES EL PRODUCTO O RESULTADO.
RESPUESTA: HAY 12 FRESAS.
– EJEMPLO 2:
¿CUÁNTAS LAZOS HAY EN TOTAL?
4 + 4 + 4 + 4 = 16
4 VECES 4 ES IGUAL A 16
4 × 4 = 16
RESPUESTA: HAY 16 LAZOS.
LA MULTIPLICACIÓN ES UNA OPERACIÓN QUE SE UTILIZA PARA ABREVIAR SUMAS REPETIDAS. LA SUMA 4 + 4 ES IGUAL QUE 2 × 4, YA QUE SON 2 VECES LAS QUE SE REPITE EL 4. POR EJEMPLO, SI TENEMOS 5 CAJAS DE ALFAJORES CON 9 EN CADA UNA. LA SUMA REPETIDA SERÍA: 9 + 9 + 9 + 9 + 9 Y EN MULTIPLICACIÓN 9 × 5. AMBAS EXPRESIONES DARÁN EL MISMO RESULTADO: 45 ALFAJORES EN TOTAL.
EL ORDEN DE LOS FACTORES NO MODIFICA EL PRODUCTO
NO IMPORTA EN QUÉ ORDEN ESCRIBAS LOS FACTORES EN UNA MULTIPLICACIÓN, EL RESULTADO SIEMPRE SERÁ EL MISMO. EJEMPLO:
3 × 4 = 12 PORQUE 4 + 4 + 4 = 12
4 × 3 = 12 PORQUE 3 + 3 + 3 + 3 = 12
EL DOBLE
EL DOBLE DE UNA CANTIDAD ES IGUAL A ESA CANTIDAD MULTIPLICADA POR 2.
– EJEMPLO 1:
SI TENEMOS 5 MANZANAS, ¿CUÁL ES EL DOBLE?
PRIMERO DIBUJAMOS LAS 5 MANZANAS:
COMO DEBEMOS SABER EL DOBLE, REPETIMOS EL CONJUNTO PARA TENERLO 2 VECES:
CONTAMOS LAS MANZANAS O REPRESENTAMOS COMO UNA MULTIPLICACIÓN:
5 + 5 = 10
2 VECES 5 ES IGUAL A 10
2 × 5 = 10
LUEGO RESPONDEMOS:
EL DOBLE DE 5 MANZANAS SON 10 MANZANAS.
– EJEMPLO 2:
¿CUÁL ES EL DOBLE DE 8?
COMO YA SABEMOS EL PROCESO, BASTA CON QUE SUMEMOS DOS VECES EL MISMO NÚMERO (8) O QUE MULTIPLIQUEMOS 8 POR 2.
8 + 8 = 16
2 × 8 = 16
EL DOBLE DE 8 ES 16.
– EJEMPLO 3:
¿CUÁL ES EL DOBLE DE 7?
7 + 7 = 14
2 × 7 = 14
EL DOBLE DE 7 ES 14.
LAS TABLAS DE MULTIPLICAR
SON UN RECURSO EXPRESADO EN UNA CUADRÍCULA DONDE PODEMOS VER LA RELACIÓN DE LOS PRODUCTOS ENTRE DOS FACTORES. LAS TABLAS DE MULTIPLICAR MUESTRAN DE FORMA RESUMIDA EL RESULTADO DE LAS MULTIPLICACIONES.
¡CONSTRUYAMOS LA TABLA DEL 2!
EN CADA CUADRO HAY 2 PELOTAS.
2 × 1 = 2
2 × 2 = 4
2 × 3 = 6
2 × 4 = 8
2 × 5 = 10
2 × 6 = 12
2 × 7 = 14
2 × 8 = 16
2 × 9 = 18
OBSERVA LOS PRODUCTOS (2, 4, 6, 8, 10, …). TODOS AUMENTAN DE 2 EN 2.
¡ES TU TURNO!
CONSTRUYE LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 3.
EN CADA CUADRO HAY 3 NUECES.
3 × 1 = 3
SOLUCIÓN
3 × 1 = 3
3 × 2 = 6
3 × 3 = 9
3 × 4 = 12
3 × 5 = 15
3 × 6 = 18
3 × 7 = 21
3 × 8 = 24
3 × 9 = 27
UNA GRAN HERRAMIENTA
PARA HACER CÁLCULOS DE MULTIPLICACIONES SE IDEARON LAS TABLAS DE MULTIPLICAR, QUE NO SON MÁS QUE UN ATAJO PARA REALIZAR SUMAS LARGAS DE FORMA RÁPIDA. LA FORMA MÁS COMÚN DE REPRESENTAR LAS TABLAS DE MULTIPLICACIÓN ES, COMO SU NOMBRE LO INDICA, A TRAVÉS DE TABLAS. NORMALMENTE SE MUESTRAN LAS TABLAS DEL 1 AL 10 Y CADA UNA DE ELLAS INDICA LAS MULTIPLICACIONES DEL NÚMERO QUE REPRESENTAN DEL 1 AL 10 O DEL 0 AL 10.
¡A PRACTICAR!
1. OBSERVA LOS GRUPOS. RESUELVE COMO SUMA REPETIDA, TANTAS VECES TANTO Y MULTIPLICACIÓN.
SOLUCIÓN
5 + 5 + 5 = 15
3 VECES 5 ES IGUAL A 15
3 × 5 = 15
SOLUCIÓN
2 + 2 + 2 + 2 = 8
4 VECES 2 ES IGUAL A 8
4 × 2 = 8
SOLUCIÓN
4 + 4 + 4 + 4 = 16
4 VECES 4 ES IGUAL A 16
4 × 4 = 16
2. RESPONDE:
¿CUÁL ES EL DOBLE DE 9?
SOLUCIÓN
18
¿CUÁL ES EL DOBLE DE 2?
SOLUCIÓN
4
¿CUÁL ES EL DOBLE DE 6?
SOLUCIÓN
12
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”
En el siguiente artículo encontrarás un conjuntos de consejos para aprender las tablas de multiplicar.
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