CAPÍTULO 3 / TEMA 5 (REVISIÓN)

FRACCIONES Y PORCENTAJES |¿QUÉ APRENDIMOS?

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES

La adición y la sustracción de fracciones se realiza con diferentes métodos. El método elegido va a depender del tipo de fracción que se vaya a sumar o a restar. Si las fracciones son homogéneas, se coloca el mismo denominador y se suman o restan sus numeradores. Cuando las fracciones son heterogéneas se pueden emplear diferentes procedimientos como la multiplicación cruzada, la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) a los denominadores de las fracciones o el uso de fracciones equivalentes.

Las fracciones también se pueden sumar o restar con los números enteros, para lo cual se convierte el número entero en fracción.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES

La multiplicación de fracciones se realiza mediante la multiplicación lineal de sus factores, numerador por numerador y denominador por denominador. Por otra parte, la división de fracciones tiene tres formas de resolverse. Una de ellas es de forma cruzada, a través de la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se coloca como numerador de la fracción resultante. Luego se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y el resultado se coloca en el denominador resultante. Otra manera es intercambiar el numerador y el denominador de la segunda fracción para resolverlo de manera lineal como la multiplicación. Y por último, otra opción consiste en el método de la doble c, en el cual la segunda fracción se coloca por debajo de la primera y se multiplican los términos exteriores para obtener el numerador resultante y los interiores para obtener el denominador resultante.

Conocer cómo simplificar fracciones es muy importante para facilitar los cálculos.

FRACCIONES Y DECIMALES

Las fracciones y los números decimales se encuentran muy relacionados, ya que las fracciones se pueden representar de forma decimal y algunos decimales se pueden expresar de forma fraccionaria. Las fracciones se encuentran formadas por el numerador y el denominador separados por una línea horizontal. Los decimales tienen una parte entera y una parte decimal divididas por una coma. Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción se obtiene un número decimal (o entero cuando se trata de una fracción aparente). Por otra parte, los decimales se pueden convertir en fracciones por diferentes procedimientos, según el número decimal sea exacto, periódico puro o periódico mixto. Existen números decimales que no pueden ser convertidos en fracciones como el número pi y son denominados números irracionales.

Los números periódicos son números decimales infinitos con una o más cifras decimales denominadas período que se repiten indefinidamente.

EL PORCENTAJE

El porcentaje se representa con el símbolo “%”. Es una forma de expresar una fracción dividida entre 100. Por esta razón, los números fraccionarios, los decimales y los porcentajes se encuentran muy relacionados. Los porcentajes se pueden transforman en números decimales al dividirlos entre el 100 %. Para calcular el porcentaje de una cifra se puede realizar mediante dos procedimientos. El primero es convertir el porcentaje en una fracción decimal y multiplicarlo por la cantidad total. Y el segundo método consiste en la regla de tres simple, en la cual el valor total es equivalente al 100 % y el porcentaje buscado corresponde al valor de la incógnita que queremos conocer.

CAPÍTULO 1 / TEMA 2

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros surge por la necesidad de expresar cantidades negativas. Aunque los números negativos se usan desde el siglo XV, fue en 1770 cuando Leonardo Euler justificó su uso. Luego fueron legalmente aceptados para crear un conjunto, más completo que los números naturales, denominados números enteros.

Cada región del mundo registra un clima distinto, por ejemplo, la Antártida suele tener temperaturas cercanas a los −10 °C en la costa, mientras que en Sudamérica la temperatura se acerca a los 20 °C. Estas situaciones se pueden describir gracias a los números enteros, un conjunto numérico amplio que incluye números positivos y negativos.

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS ENTEROS?

Son un conjunto de número que sirven para representar valores positivos y negativos. El conjunto se denota por $\mathbb{Z}$ y es:

$\mathbb{Z} = \left \{ ...,-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, ... \right \}$

El conjunto de los números enteros contiene otros conjuntos numéricos:

Enteros positivos ( $\mathbb{Z}^{+}$ )

$\mathbb{Z}^{+} = \left \{+1, +2, +3, +4, ...\right \} = \left \{ 1,\, 2,\, 3,\, 4, ... \right \}$

Enteros negativos ( $\mathbb{Z}^{-}$ )

$\mathbb{Z}^{-} = \left \{..., -4, -3, -2, -1\right \}$

Números naturales ( $\mathbb{N}$ )

$\mathbb{N} = \left \{0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4, ... \right \}$

¿Sabías qué?

El conjunto de los números enteros se denota con la letra Z por la palabra Zahlen, que en alemán significa “número”.

¡Es tu turno!

¿Cuáles de estos números son enteros?

+4 −1,5 0 1/3 −3 −8,79 15 +0,5 7/4 −1/8 2 10,8 −9

Solución

Los números de color rojo son los números enteros.

+4 −1,5 0 1/3 −3 −8,79 15 +0,5 7/4 −1/8 2 10,8 −9

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número es igual a la distancia que existe desde cero (0) hasta ese número. Para un número $x$ , el valor absoluto se denota como $\left | x \right |$ .

– Ejemplo:

Un buzo se encuentra a −7 metros de profundidad. ¿Qué distancia hay desde donde está hasta el nivel del mar?

Para hallar el valor absoluto de −7, debes medir los espacios entre −7 y 0. Por lo tanto, la distancia que hay desde donde está el buzo hasta el nivel del mar es de 7 metros. Matemáticamente se expresa así:

$\left |-7 \right | = 7$

En conclusión, podemos definir el valor absoluto de un número $x$ así:

$\left | x \right |= x$ , si $x> 0$

$\left | x \right |=-x$ , si $x< 0$

$\left | x \right |=0$ , si $x=0$

– Ejemplo:

$\left | 9 \right |=9$

$\left | -5 \right |=-(-5)=5$

$\left | 0 \right |=0$

¿Cómo aparecieron los números enteros?

Desde la Antigüedad, hace unos 400 años a. C., el hombre ha buscado la manera de realizar cálculos para sus actividades cotidianas. En un principio, los números naturales $\mathbb{N}$ eran suficientes para contar. Sin embargo, con el paso de los años, se necesitó un conjunto que incluyera valores negativos para expresar el déficit de una cantidad. Esta necesidad dio origen a los números enteros $\mathbb{Z}$ , que incluye a los números naturales sin el cero, al cero y a los negativos de los números naturales.

REGLA DE LOS SIGNOS

Cuando realizamos operaciones con números enteros es probable que nos cueste identificar el signo que tendrá el resultado. Para esto existe la regla de los signos, la cual se aplica a todas las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división.

En la suma y la resta

Si sumamos dos números negativos, el resultado será un número negativo.

$\left ( -a \right )+\left ( -b \right ) = - \left ( a+b \right )$

– Ejemplo:

(−3) + (−9) = −(3 + 9) = −12

(−5) + (−10) = −(5 + 10) = −15

Si sumamos dos números positivos, el resultado será un número positivo.

$\left ( +a \right )+ \left ( +b \right ) = +\left ( a+b \right )$

– Ejemplo:

(+8) + (+6) = +(8 + 6) = +14

(+43) + (+7) = +(43 + 7) = +50

Si sumamos un número positivo y un número negativo, ambos se restan y se mantiene el signo del número mayor.

Si $\left | a \right |> \left | -b \right |$ , entonces $\left ( +a \right ) + \left ( -b \right )= + \left ( a-b \right )$

Si $\left | -a \right |> \left | b \right |$ , entonces $\left ( -a \right )+\left (+b \right )= - \left ( a-b \right )$

– Ejemplo:

(+18) + (−4) = +(18 − 4) = +14

(−54) + (+20) = −(54 − 20) = −34

En el buceo es importante conocer hasta qué profundidad puede sumergirse un buzo. La superficie del mar se denota con el 0 y con números negativos hacia el fondo. A medida que el buzo baja, la presión sobre él aumenta y si realiza muy rápido el descenso puede ser dañino. A partir de los −50 metros hay que realizar el descenso lentamente para no correr riesgos.

En la multiplicación

Si multiplicamos dos números con signos iguales, el resultado será siempre positivo.

$(+a)\times (+b) = + (a\times b)$

$(-a)\times (-b)=+(a\times b)$

– Ejemplo:

(+26) × (+3) = +78

(−10) × (−5) = +50

Si multiplicamos dos números con signos diferentes, el resultado siempre será negativo.

$(-a)\times (+b)=-(a\times b)$

$(+a)\times (-b)=-(a\times b)$

– Ejemplo:

(−8) × (+15) = −120

(+12) × (−9) = −108

En la división

Si dividimos dos números con signos iguales, el resultado será positivo.

$(+a)\div (+b)=+(a\div b)$

$(-a)\div (-b)=+(a \div b)$

– Ejemplo:

(+81) ÷ (+9) = +9

(−322) ÷ (−23) = +14

Si dividimos dos números con signos diferentes, el resultado será negativo.

$(+a)\div (-b)=-(a\div b)$

$(-a)\div (+b)=-(a\div b)$

– Ejemplo:

(+180) ÷ (−5) = −36

(−250) ÷ (+50) = −5

APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros tienen múltiples aplicaciones, algunas de las más comunes son las siguientes:

Expresar temperaturas en diferentes épocas del año, por ejemplo, en algunas ciudades de Argentina, durante el verano la temperatura es de 22 ºC, mientras que durante el invierno llega a −3 ºC.
Indicar la altura a la que se encuentran ciertas regiones respecto al nivel del mar. Las regiones que se encuentran por encima del nivel del mar tienen altura positiva, mientras que las que se localizan por debajo tienen altura negativa, por ejemplo, la ciudad de Lagunillas en Venezuela se ubica a −12 msnm.
Especificar el tiempo antes y después de Cristo. Consideramos negativos los años antes de Cristo (a. C.) y positivos los años después de Cristo (d. C.).
Indicar el saldo en una cuenta bancaria, donde los números positivos representan un saldo a nuestro favor y los negativos representan deudas.

Si el lunes tienes disponible $ 155, el martes retiras $ 32 y te depositan $ 13, y el miércoles el banco te descuenta $ 10 por comisión, ¿cuánto dinero tienes para el jueves? Este es un problema en el que las entradas son números positivos y las salidas o descuentos son números negativos. Lo puedes plantear así: 155 − 32 + 13 −10 = 126. ¡Te quedan $ 126!

¡A practicar!

1. Resuelve estas operaciones:

5 − 12
Solución
5 − 12 = −7
−13 − 15
Solución
−13 − 15 = −28
2 − 7
Solución
2 − 7 = −5
3 × (−37)
Solución
3 × (−37) = −111
(−2) × (−15)
Solución
(−2) × (−15) = 30
−17 × 18
Solución
−17 × 18 = −306
10 ÷ (−5)
Solución
10 ÷ (−5) = −2

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La clasificación de los números”

En este artículo encontrará una descripción general sobre la clasificación de los números, desde los naturales hasta los complejos.

VER

Artículo “Regla de los signos”

Este artículo explica cómo utilizar la regla de los signos, tanto para la suma y la resta, como para la multiplicación y la división.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 4

problemas con números enteros

A menudo usamos los números naturales para contar, pero hay ocasiones en las que presentan limitaciones y no nos permiten representar ciertos valores como las cantidades negativas. Los números naturales, sus opuestos y el cero conforman un conjunto de números que siguen sus propias reglas aritméticas: los enteros.

regla de los signos

La regla de los signos es una herramienta útil para determinar el signo del resultado de una operación. Es muy importante que tengas presente que para cada tipo de operación existen reglas particulares. Las veremos a continuación:

Operación	Regla de los signos	Ejemplo
Multiplicación	El resultado de multiplicar dos números enteros positivos es igual a un número entero positivo. $\mathbf{(+)\cdot (+)=+}$	$(2)\cdot (3)=6$
	El resultado de multiplicar dos números enteros negativos es igual a un número entero positivo. $\mathbf{(-)\cdot (-)=+}$	$(-4)\cdot (-2)=8$
	El resultado de multiplicar un número entero positivo por otro negativo es igual a un número entero negativo. $\mathbf{(+)\cdot (-)=-}$	$(4)\cdot (-3)=-12$
	El resultado de multiplicar un número entero negativo por otro positivo es igual a un número entero negativo. $\mathbf{(-)\cdot (+)=-}$	$(-5)\cdot (2)=-10$
División	El resultado de dividir dos números enteros positivos es igual a un número entero positivo. $\mathbf{(+): (+)=+}$	$(6): (3)=2$
	El resultado de dividir dos números enteros negativos es igual a un número entero positivo. $\mathbf{(-): (-)=+}$	$(-8): (-2)=4$
	El resultado de dividir un número entero positivo entre otro negativo es igual a un número entero negativo. $\mathbf{(+): (-)=-}$	$(12): (-2)=-6$
	El resultado de dividir un número entero negativo entre otro positivo es igual a un número entero negativo. $\mathbf{(-): (+)=-}$	$(-10): (2)=-5$
Adición y sustracción	Si los dos números enteros son positivos, se suman y el resultado es un número entero positivo.	$3+1= 4$
	Si los dos números enteros son negativos, se suman y el resultado es un número entero negativo.	$-5-3= -8$
	Si los dos números enteros tienen signos diferentes diferentes, se restan y el resultado tendrá el signo del número mayor.	$-5+3= -2$ $-5+10= 5$

En este tipo de números, cuando no se indique el signo, se asume que es un número positivo.

Los números enteros contienen al conjunto de los números naturales y sus opuestos, es decir, contienen los números positivos y los negativos. Son muy importantes al momento de representar situaciones que los números naturales no podrían. Por ejemplo, algunas escalas representan temperaturas negativas y algunos sistemas de referencia también emplean números enteros.

¿Sabías qué?

El cero es el único número entero que no es ni positivo ni negativo, así que no sigue la regla de los signos.

adición y sustracción de números enteros

El conjunto de los números enteros están conformados por los números negativos, el cero y los números positivos. Con ellos se pueden resolver operaciones matemáticas, como la adición y la sustracción.

Adición

Para sumar números enteros existen tres casos distintos:

Si todos los números son positivos, el resultado de la suma será un número positivo:

Si todos los números son negativos, estos se suman y el resultado es un número negativo:

Si se suman números positivos y negativos, los positivos se suman con los positivos y los negativos con los negativos. Al final se restan ambos números resultantes y el resultado tendrá el signo del número mayor.

El número 3 quedó negativo porque el 11 era el número mayor y su signo era negativo.

¿Sabías qué?

Hace 2.400 años los chinos utilizaban varillas negras para representar a los números negativos y varillas rojas para los números positivos.

Sustracción

Para algunas sustracciones, como también para la suma, puede ser útil el siguiente recordatorio:

Hay que tener presente que el símbolo de resta cambia el signo al número que sigue. Entonces, si el número que sucede al signo menos es positivo, se convierte en negativo. Si el número que se resta es negativo, se convierte en positivo. Observemos los siguientes casos:

A un número positivo se le resta otro número positivo:

A un número positivo se le resta un número negativo:

A un número negativo se le resta otro número negativo:

A un número negativo se le resta un número positivo:

Los números negativos

Anteriormente a los números negativos se los conocía como “números deudos” o “números absurdos”. Se los empezó a utilizar en Asia durante el siglo V y en Europa en el siglo XVI. En Asia se operaban los números positivos y negativos a través del uso de ábacos, tablillas o bolas de colores. Los indios fueron los primeros en diferenciar los números positivos de los negativos ya que los interpretaban como créditos y débitos. Los símbolos de suma (+) y resta (-) como los conocemos en la actualidad fueron creados por el matemático alemán Michael Stifel.

En la vida cotidiana se nos presentan situaciones que no se pueden representar con números naturales, como por ejemplo, las temperaturas bajo cero, los pisos subterráneos de los edificios, las deudas y los gastos, entre otros.

multiplicación y división de números enteros

A los números enteros también se los puede operar a través de la multiplicación y de la división.

Multiplicación

Para multiplicar números enteros se pueden seguir los siguientes pasos:

Se multiplican los números para obtener el resultado.
Se determina el signo del resultado a través de la regla de los signos.

Veamos un ejemplo:

En este caso, el problema se resolvió a través de los pasos anteriores. Como se trata de enteros con diferente signo el resultado es negativo.

Observemos otro caso:

$(-5)\cdot (-3)=15$

En esta operación, al tratarse de una multiplicación de dos números negativos, el resultado es positivo.

División

Para dividir los números enteros se pueden seguir los siguientes pasos:

Se dividen los números para obtener el resultado.
Se determina el signo del resultado a través de la regla de los signos.

Veamos un ejemplo:

Al ser una división entre dos números con signo diferente el resultado es un número negativo.

Observemos otro ejemplo:

En este caso, al ser una división de números negativos el resultado es positivo.

Conjunto de los números enteros

Está formado por los números positivos, negativos y el cero. Este conjunto de números no considera a los números decimales y se denota con la letra Z. Las operaciones con los números enteros obedecen reglas aritméticas particulares como la regla de los signos.

¿Sabías qué?

Los números que utilizamos se denominan arábigos porque fueron introducidos a Europa por los árabes.

¡A practicar!

Resuelve las siguientes operaciones:

RESPUESTAS

a) 1

b) −5

c) 14

d) −1

e) −36

f) 18

g) 7

h) −10

i) −80

j) −10

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Regla de los signos”

El siguiente recurso permite profundizar en la regla de los signos a través de ejercicios basados en situaciones en las que puede aplicarse.

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Artículo “Suma algebraica”

Este artículo explica qué es una suma algebraica, sus principales características y su influencia en el desarrollo de operaciones con números enteros.

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