El conjunto de los números enteros surge por la necesidad de expresar cantidades negativas. Aunque los números negativos se usan desde el siglo XV, fue en 1770 cuando Leonardo Euler justificó su uso. Luego fueron legalmente aceptados para crear un conjunto, más completo que los números naturales, denominados números enteros.
Cada región del mundo registra un clima distinto, por ejemplo, la Antártida suele tener temperaturas cercanas a los −10 °C en la costa, mientras que en Sudamérica la temperatura se acerca a los 20 °C. Estas situaciones se pueden describir gracias a los números enteros, un conjunto numérico amplio que incluye números positivos y negativos.
¿QUÉ SON LOS NÚMEROS ENTEROS?
Son un conjunto de número que sirven para representar valores positivos y negativos. El conjunto se denota por y es:
El conjunto de los números enteros contiene otros conjuntos numéricos:
Enteros positivos ()
Enteros negativos ()
Números naturales ()
¿Sabías qué?
El conjunto de los números enteros se denota con la letra Z por la palabra Zahlen, que en alemán significa “número”.
¡Es tu turno!
¿Cuáles de estos números son enteros?
+4 −1,5 0 1/3 −3 −8,79 15 +0,5 7/4 −1/8 2 10,8 −9
Solución
Los números de color rojo son los números enteros.
+4 −1,5 0 1/3 −3 −8,79 15 +0,5 7/4 −1/8 2 10,8 −9
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número es igual a la distancia que existe desde cero (0) hasta ese número. Para un número , el valor absoluto se denota como .
– Ejemplo:
Un buzo se encuentra a −7 metros de profundidad. ¿Qué distancia hay desde donde está hasta el nivel del mar?
Para hallar el valor absoluto de −7, debes medir los espacios entre −7 y 0. Por lo tanto, la distancia que hay desde donde está el buzo hasta el nivel del mar es de 7 metros. Matemáticamente se expresa así:
En conclusión, podemos definir el valor absoluto de un número así:
, si
, si
, si
– Ejemplo:
¿Cómo aparecieron los números enteros?
Desde la Antigüedad, hace unos 400 años a. C., el hombre ha buscado la manera de realizar cálculos para sus actividades cotidianas. En un principio, los números naturales eran suficientes para contar. Sin embargo, con el paso de los años, se necesitó un conjunto que incluyera valores negativos para expresar el déficit de una cantidad. Esta necesidad dio origen a los números enteros , que incluye a los números naturales sin el cero, al cero y a los negativos de los números naturales.
REGLA DE LOS SIGNOS
Cuando realizamos operaciones con números enteros es probable que nos cueste identificar el signo que tendrá el resultado. Para esto existe la regla de los signos, la cual se aplica a todas las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división.
En la suma y la resta
Si sumamos dos números negativos, el resultado será un número negativo.
– Ejemplo:
(−3) + (−9) = −(3 + 9) = −12
(−5) + (−10) = −(5 + 10) = −15
Si sumamos dos números positivos, el resultado será un número positivo.
– Ejemplo:
(+8) + (+6) = +(8 + 6) = +14
(+43) + (+7) = +(43 + 7) = +50
Si sumamos un número positivo y un número negativo, ambos se restan y se mantiene el signo del número mayor.
Si , entonces
Si , entonces
– Ejemplo:
(+18) + (−4) = +(18 − 4) = +14
(−54) + (+20) = −(54 − 20) = −34
En el buceo es importante conocer hasta qué profundidad puede sumergirse un buzo. La superficie del mar se denota con el 0 y con números negativos hacia el fondo. A medida que el buzo baja, la presión sobre él aumenta y si realiza muy rápido el descenso puede ser dañino. A partir de los −50 metros hay que realizar el descenso lentamente para no correr riesgos.
En la multiplicación
Si multiplicamos dos números con signos iguales, el resultado será siempre positivo.
– Ejemplo:
(+26) × (+3) = +78
(−10) × (−5) = +50
Si multiplicamos dos números con signos diferentes, el resultado siempre será negativo.
– Ejemplo:
(−8) × (+15) = −120
(+12) × (−9) = −108
En la división
Si dividimos dos números con signos iguales, el resultado será positivo.
– Ejemplo:
(+81) ÷ (+9) = +9
(−322) ÷ (−23) = +14
Si dividimos dos números con signos diferentes, el resultado será negativo.
– Ejemplo:
(+180) ÷ (−5) = −36
(−250) ÷ (+50) = −5
APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros tienen múltiples aplicaciones, algunas de las más comunes son las siguientes:
Expresar temperaturas en diferentes épocas del año, por ejemplo, en algunas ciudades de Argentina, durante el verano la temperatura es de 22 ºC, mientras que durante el invierno llega a −3 ºC.
Indicar la altura a la que se encuentran ciertas regiones respecto al nivel del mar. Las regiones que se encuentran por encima del nivel del mar tienen altura positiva, mientras que las que se localizan por debajo tienen altura negativa, por ejemplo, la ciudad de Lagunillas en Venezuela se ubica a −12 msnm.
Especificar el tiempo antes y después de Cristo. Consideramos negativos los años antes de Cristo (a. C.) y positivos los años después de Cristo (d. C.).
Indicar el saldo en una cuenta bancaria, donde los números positivos representan un saldo a nuestro favor y los negativos representan deudas.
Si el lunes tienes disponible $ 155, el martes retiras $ 32 y te depositan $ 13, y el miércoles el banco te descuenta $ 10 por comisión, ¿cuánto dinero tienes para el jueves? Este es un problema en el que las entradas son números positivos y las salidas o descuentos son números negativos. Lo puedes plantear así: 155 − 32 + 13 −10 = 126. ¡Te quedan $ 126!
¡A practicar!
1. Resuelve estas operaciones:
5 − 12
Solución
5 − 12 = −7
−13 − 15
Solución
−13 − 15 = −28
2 − 7
Solución
2 − 7 = −5
3 × (−37)
Solución
3 × (−37) = −111
(−2) × (−15)
Solución
(−2) × (−15) = 30
−17 × 18
Solución
−17 × 18 = −306
10 ÷ (−5)
Solución
10 ÷ (−5) = −2
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “La clasificación de los números”
En este artículo encontrará una descripción general sobre la clasificación de los números, desde los naturales hasta los complejos.
Las operaciones combinadas son expresiones formadas por números que se agrupan de diferentes formas, con cálculos diversos. Estas operaciones pueden emplear símbolos como los paréntesis, que se encargan de unir un grupos de operaciones para ser resueltas primero. Los pasos son muy sencillos, ¡aprende hoy cómo resolver operaciones combinadas!
Recomendaciones para resolver problemas combinados
Para resolver las operaciones combinadas debemos tener en cuenta que:
Para sumar o restar dos números, ambos deben estar “sueltos”, es decir, no se pueden sumar o restar dos números si uno de ellos está unido a otra expresión mediante un símbolo u otro signo como el de la multiplicación.
Los signos de multiplicar generan una unión más fuerte que los de sumar y restar. Cuando dos o más números están unidos por un signo de multiplicación generan una unión inseparable, mientras que los que están unidos por signos de suma y resta se encuentran más “sueltos” en la operación.
Las operaciones combinadas deben resolverse paso a paso. Todo lo que se resuelve en un paso debe copiarse, sin realizar cambios al inicio del siguiente paso.
Antes de comenzar a resolver las operaciones combinadas se deben conocer las propiedades de dichas operaciones para así plantear una estrategia a seguir sin cometer errores.
Siempre se resuelve primero lo que está en el interior del paréntesis, para seguir luego con las multiplicaciones y finalmente con las sumas y restas.
¿Qué más debes saber?
Para ser un experto en resolución de cálculos combinados debes:
Ser prolijo.
Identificar los distintos términos de un ejercicio y el orden de resolución.
Revisar todos los pasos una vez terminado el ejercicio.
Practicar, practicar y practicar.
operaciones combinadas sin PARÉNTESIS
En una operación combinada sin paréntesis tenemos que respetar la jerarquía de los cálculos: primero resolvemos las multiplicaciones y divisiones, luego resolvemos las sumas y restas.
– Ejemplo:
9 − 2 × 4 + 12
Primero resolvemos la multiplicación: 2 × 4 = 8.
9 − 8 + 12
Luego resolvemos las sumas y restas:
9 − 8 + 12 = 13
Finalmente escribimos el resultado:
9 − 2 × 4 + 12 = 13
– Otro ejemplo:
81 ÷ 9 + 7 × 8 − 13 × 5
Realizamos las divisiones y multiplicaciones:
9 + 56 − 65
Resolvemos las sumas y restas:
9 + 56 − 65 = 0
Escribimos la respuestas:
81 ÷ 9 + 7 × 8 − 13 × 5 = 0
¡Es tu turno!
15 + 8 − 2 − 6
Solución
15 + 8 − 2 − 6 = 15
144 ÷ 12 − 4 × 3 − 24 ÷ 8
Solución
144 ÷ 12 − 4 × 3 − 24 ÷ 8 = −3
Podemos ver paréntesis en cualquier tipo de operación, esto nos indica que debemos realizar primero los cálculos que están dentro de ellos. Pero los paréntesis no son las únicas formas de expresar jerarquías, también están los corchetes [] y las llaves {} que simbolizan prioridad de resolución: primero se resuelven los corchetes y luego las llaves.
operaciones combinadas con paréntesis
Los paréntesis indican prioridad al momento de resolver los problemas. Esto significa que primero debemos realizar el cálculo dentro del paréntesis y luego resolver el resto de la cuenta.
– Ejemplo:
(8 − 3) × 2 + 4
Primero resolvemos la resta dentro de los paréntesis: 8 − 3 = 5.
5 × 2 + 4
Luego resolvemos la multiplicación: 5 × 2 = 10.
10 + 4
Finalmente resolvemos la suma y escribimos el resultado:
10 + 4 = 14
Por lo tanto,
(8 − 3) × 2 + 4 = 14
– Otro ejemplo:
28 − (7 + 9) + 3
Resolvemos la operación dentro de los paréntesis: 7 + 9 = 16
28 − 16 + 3
Resolvemos las sumas y restas:
28 − 16 + 3 = 15
Luego escribimos el resultado:
28 − (7 + 9) + 3 = 15
¡Es tu turno!
25 − (3 × 3 + 11) − (2 + 3)
Solución
25 − (3 × 3 +11) − (2 + 3) = 0
36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5
Solución
36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5 = 29
¿Sabías qué?
Si se suman dos números con diferente signo, la operación a realizar es una resta y se mantiene el signo del número mayor, por ejemplo, −15 + 8 = −7.
Problemas con ejercicios combinados
1. Marta fue a la tienda y compró un par de zapatos por $ 125, 2 pantalones a $ 40 cada uno y 4 camisetas a $ 25 cada una. ¿Cuánto gastó Marta?
Datos
Zapatos comprados: un par a $ 125
Pantalones comprados: 2 a $ 40 cada uno
Camisetas compradas: 4 a $ 25 cada una
Pregunta
¿Cuánto gastó Marta?
Analiza
Si multiplicamos la cantidad de prendas por el costo de cada una y luego sumamos cada resultado tendremos el total de dinero gastado.
2. José ha comprado 18 litros de jugo de naranja. Cada litro cuesta $ 5. Si después de pagar le devuelven $ 10, ¿cuánto dinero entregó al pagar?
Datos
Jugo comprado: 18 litros
Precio del litro de jugo: $ 5
Dinero devuelto: $ 10
Pregunta
¿Cuánto dinero entregó al pagar?
Analiza
El producto de la cantidad de jugo comprado y el precio de cada litro de jugo será igual a la cantidad de dinero que debía pagar. Si a eso le sumamos el dinero devuelto sabremos cuánto pagó.
Calcula
(18 × 5) + 10 = 90 + 10 = 100
Respuesta
José pagó $ 100. Gastó $ 90 en jugo de naranja y le devolvieron $ 10.
3. Pedro compró un lote de 180 donas que debe colocar en cajas de 12 donas. Si venderá cada caja a $ 3, ¿cuánto dinero obtendrá al vender todas las cajas?
Datos
Cantidad de donas: 180
Cantidad de donas por caja: 12
Precio de la caja: $ 3
Pregunta
¿Cuánto dinero obtendrá al vender todas las cajas?
Analiza
Para saber la cantidad de donas que irán en cada caja debemos dividir las 180 donas entre las 12 unidades por caja. Luego multiplicamos esa cantidad por los $ 3 que vale cada una.
Calcula
(180 ÷ 12) × 3 = 15 × 3 = 45
Respuesta
Obtendrá $ 45 al vender todas las cajas.
Es posible que te encuentres con operaciones combinadas que además de tener sumas, restas multiplicaciones y divisiones, también tengas raíces y potencias. En este caso, debemos resolver primero las raíces y potencias y luego proceder con el orden que ya conoces: primero las multiplicaciones y divisiones, después las sumas y restas.
¡A practicar!
Resuelve las siguientes operaciones combinadas:
6 × 8 − 8 + 12 − 3
Solución
6 × 8 − 8 + 12 − 3 = 49
24 × 4 + 18 ÷ 9 − 26
Solución
24 × 4 + 18 ÷ 9 − 26 = 72
32 − 20 ÷ 5 + 16 × 2
Solución
32 − 20 ÷ 5 + 16 × 2 = 60
85 − 49 + 17 × 3 − 54 ÷ 3
Solución
85 − 49 + 17 × 3 − 54 ÷ 3 = 69
25 + (13 − 8 × 6 + 12) − 16
Solución
25 + (13 − 8 × 6 + 12) − 16 = −14
73 + (48 − 7 × 6) − 21 ÷ 3
Solución
73 + (48 − 7 × 6) − 21 ÷ 3 = 72
3 − 4 × 5 + (35 ÷ 7 + 8)
Solución
3 − 4 × 5 + (35 ÷ 7 + 8) = −4
36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5
Solución
36 ÷ 4 + 3 − (9 − 7 + 1) + 4 × 5 = 29
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Cálculos combinados”
Con este recurso podrás reforzar el contenido relacionado a las jerarquías en operaciones combinadas.
La adición consiste en combinar, agrupar o sumar números; la sustracción, en cambio, consiste en quitar o restar números a un grupo. Siempre que queramos resolver cualquiera de estas operaciones, debemos considerar el valor posicional de cada una de las cifras de los números. Por otro lado, la adición cumple con ciertas propiedades como la asociativa y la conmutativa que no se pueden aplicar a la sustracción.
Un ejemplo de la adición por reagrupación es la suma de dinero. Si tienes $ 1.324 y luego te dan $ 3.984, tienes en total $ 1.324 + $ 3.984 = $ 5.318.
Multiplicación
La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar varias veces un mismo número. Los factores son los números que se multiplican o suman reiteradas veces y el producto es el resultado de la multiplicación. La multiplicación sin reagrupación es un método que consiste en multiplicar las unidades, las decenas y las centenas de 2 factores entre sí cuando ninguno de los productos formados supera la decena, mientras que la multiplicación con reagrupación es un procedimiento que podemos utilizar cuando algún producto entre dos cifras es igual o mayor a 10.
La multiplicación por reagrupación es útil en muchas situaciones cotidianas, como saber la cantidad de butacas que hay en el cine. Si cuentas las que hay en una fila (6) y las multiplicas por la cantidad de filas (3) tienes que 6 x 3 = 18. Así que hay 18 butacas.
División
La división es la operación opuesta a la multiplicación. Sus elementos son el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. El dividendo es la cantidad que se quiere repartir; el divisor indica entre cuántas partes se reparte; el cociente es la cantidad que le corresponde a cada parte y también es el resultado de la división; y el resto representa lo que no se puede repartir. Cuando el resto es igual a cero (0) decimos que la división es exacta.
El cociente de una división también puede ser un número decimal, por ejemplo, si deseamos repartir 3 naranjas entre 6 personas, cada una tendrá 0,5 = 1/2, es decir, cada una tendrá media naranja.
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES
Para la adición y sustracción de números decimales procedemos igual que en el caso de los números naturales, pues debemos colocar cada elemento uno sobre otro según su valor posicional, al final nos aseguramos de que la coma esté en la misma columna. En el caso de las multiplicaciones, realizamos la operación tal y como si fuera una de números naturales, luego le colocamos al producto final la coma de acuerdo a los decimales de los factores.
Si sube la temperatura corporal un grado más allá de los 36,6° de la imagen, la persona tiene fiebre. ¿Cuál es la temperatura a la que puede tener fiebre? El cálculo es 36,6° + 1° = 37,6°. Este es un ejemplo de adición de decimales.
OPERACIONES COMBINADAS
Las operaciones combinadas son aquellas que agrupan diversos cálculos en una sola expresión. Cuando no hay paréntesis debemos seguir un orden de resolución: primero las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas. Si la operación combinada tiene paréntesis tenemos que realizar primero los cálculos que están dentro de ellos, es decir, estos tienen prioridad sobre otros.
Los paréntesis son de gran importancia si deseamos realizar operaciones en una calculadora, pues indican que son prioritarias sobre las demás.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) son operaciones que nos ayudan a simplificar cálculos más complejos. El mcm es el mínimo múltiplo que tienen en común dos o más números y el mcd es el divisor mayor que tienen en común dos o más números. Ambos pueden ser calculados por comparación de múltiplos y divisores o por descomposición de su números en factores primos.
La descomposición en factores primos consiste en dividir cada número entre su divisor mínimo para representar un número como producto de sus números primos. Algunos números primos están en esta imagen.
CONVERSIONES DE MEDIDAS
Algunas magnitudes que podemos medir son la longitud, la masa, el volumen y el tiempo. Cada una de ellas tiene una unidad básica de medida pero no son las únicas. Para medir longitudes podemos usar unidades como el metro, el kilómetro o el centímetro; para medir masas usamos unidades como el gramo, el kilogramo o el miligramo; para medir el volumen usamos unidades como el centímetro cúbico o el metro cúbico; y para medir el tiempo usamos unidades como los segundos, los minutos, las horas, los días o los años.
Hay mariposas que solo viven 1 día. Si convertimos esta unidad, también podemos decir que hay mariposas que viven 24 horas.
En toda fracción podemos distinguir dos partes principales: el numerador y el denominador, ambos se encuentran separados por una línea horizontal. El denominador indica en cuántas partes se divide la unidad y el numerador señala cuántas de esas partes se han de tomar. Las fracciones se pueden clasificar en propias, impropias y aparentes. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador y representan un número menor a uno. Las fracciones impropias son la que tienen el numerador mayor que el denominador y representan a un número mayor a uno. Las fracciones aparentes son aquellas cuyo numerador es múltiplo de su denominador.
Además de la raya horizontal también podemos representar a las fracciones con una raya diagonal “/” o con el símbolo de las divisiones “÷”.
FRACCIONES EQUIVALENTES
Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad. Las fracciones equivalentes se pueden obtener por medio de dos métodos: amplificación y simplificación. Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero. Para obtenerlas por simplificación, debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero y que sea un divisor común entre ambos. Es importante recordar que las fracciones equivalentes se pueden utilizar para sumar y restar fracciones heterogéneas (que tienen distinto denominador).
Media sandía se puede expresar como 1/2, 2/4, 4/8, 8/16, 16/32… Todas ellas son fracciones equivalentes que indican la mitad de un entero.
OPERACIONES CON FRACCIONES
La suma y resta de fracciones depende del tipo de estas. En las fracciones homogéneas (mismo denominador) se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador. En las fracciones heterogéneas (diferente denominador) se debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se suma o se resta al producto del numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera, el número obtenido es el numerador de la fracción resultante; luego se multiplican ambos denominadores y el número obtenido corresponderá al denominador de la fracción resultante. Para la multiplicación se multiplican los numeradores y denominadores de forma lineal. Para la división, se debe multiplicar en forma de cruz: el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda es igual al numerador de la fracción resultante y el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera es igual al denominador de la fracción resultante.
Algunas fracciones se pueden simplificar, es decir, pueden expresarse en fracciones equivalentes más sencillas
FRACCIONES MIXTAS
Una fracción mixta o número mixto es una forma de representar a una cantidad compuesta por una parte entera y una parte fraccionaria. Para graficarla, dividimos al entero en tantas partes como indique el denominador de la parte fraccionaria. Luego, pintamos tantos enteros (completos) como indique el número entero de la fracción mixta. Por último, dibujamos otro entero y pintamos tantas partes de este como indique el numerador de la fracción mixta. Para transformar una fracción mixta a una fracción convencional, lo que se realiza es sumar la parte entera con la parte fraccionaria. Siempre se debe obtener una fracción impropia.
En este caso la parte entera de la fracción mixta es 2, y la parte fraccionaria es 1/3. Se lee “dos enteros y un tercio”.
PORCENTAJES
Un porcentaje, al igual que una fracción, es una forma de indicar una parte de un todo. Un porcentaje siempre representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100. El símbolo que utilizamos para indicar un porcentaje es %. Para calcular el porcentaje de una cantidad conocida se multiplican ambos valores y se divide entre 100. Para convertir cualquier fracción a porcentaje, debemos dividir el numerador con el denominador, y luego multiplicar dicho resultado por cien. Por otro lado, para convertir un porcentaje a fracción, simplemente colocamos el porcentaje en el numerador y 100 como denominador, posteriormente se realiza una simplificación.
Los porcentajes se utilizan para indicar descuentos y recargos. También se utilizan en la estadística y en la economía.
CUANDO UNA CANTIDAD SE REPITE VARIAS VECES PODEMOS ACUDIR A UNA OPERACIÓN BÁSICA DE LAS MATEMÁTICAS: LA MULTIPLICACIÓN. ESTA ES IGUAL A UNA SUMA RESUMIDA Y LA USAMOS CADA VEZ COMPRAMOS VARIOS PRODUCTOS IGUALES, POR EJEMPLO, 4 HELADOS A $ 2 ES IGUAL A 4 × 2 Y SE LEE “CUATRO POR DOS”.
TANTA VECES TANTO
SI TENEMOS LA MISMA CANTIDAD DE ELEMENTOS EN VARIOS GRUPOS PODEMOS SABER LA CANTIDAD TOTAL SI CONTAMOS CUÁNTOS GRUPOS HAY Y LUEGO CONTAMOS CUÁNTO HAY EN CADA GRUPO.
– EJEMPLO 1:
¿CUÁNTOS GRUPOS HAY?, ¿CUÁNTAS CEREZAS HAY EN CADA GRUPOS?, ¿CUÁNTAS CEREZAS HAY EN TOTAL?
HAY 3 GRUPOS.
HAY 2 CEREZAS EN CADA GRUPO.
HAY 6 CEREZAS EN TOTAL PORQUE 2 + 2 + 2 = 6
PODEMOS DECIR QUE:
3 VECES 2 ES IGUAL A 6
– EJEMPLO 2:
¿CUÁNTOS GRUPOS HAY?, ¿CUÁNTAS PALETAS HAY EN CADA GRUPO?, ¿CUÁNTAS PALETAS HAY EN TOTAL?
HAY 2 GRUPOS.
HAY 4 PALETAS EN CADA GRUPO.
HAY 8 PALETAS EN TOTAL PORQUE 4 + 4 = 8
PODEMOS DECIR QUE:
2VECES 4 ES IGUAL A 8
¡ES TU TURNO!
¿CUÁNTOS GRUPOS HAY?, ¿CUÁNTAS BANANAS HAY EN CADA GRUPO?, ¿CUÁNTAS BANANAS HAY EN TOTAL?
SOLUCIÓN
HAY 3 GRUPOS.
HAY 3 BANANAS EN CADA GRUPO.
HAY 9 BANANAS EN TOTAL PORQUE 3 + 3 + 3 = 9
ASÍ QUE:
3 VECES 3 ES IGUAL A 9
LA MULTIPLICACIÓN Y SUS ELEMENTOS
CUANDO SABEMOS LA CANTIDAD DE GRUPOS Y LA CANTIDAD DE ELEMENTOS EN CADA GRUPO PODEMOS HACER UNA OPERACIÓN LLAMADA MULTIPLICACIÓN. LA USAMOS CADA VEZ QUE LA CANTIDAD DENTRO DE CADA GRUPO SEA LA MISMA. LA MULTIPLICACIÓN ESTÁ FORMADA POR FACTORES Y UN PRODUCTO.
¿SABÍAS QUÉ?
EL SIGNO DE MULTIPLICACIÓN ES × Y SE LEE “POR”.
– EJEMPLO 1:
¿CUÁNTAS FRESAS HAY EN TOTAL?
LA CANTIDAD TOTAL DE FRESAS EN ESTA IMAGEN LA PODEMOS REPRESENTAR ASÍ:
3 + 3 + 3 + 3 = 12
4 VECES 3 ES IGUAL A 12
O COMO UNA MULTIPLICACIÓN:
4 × 3 = 12
EL 4 REPRESENTA LA CANTIDAD DE GRUPOS. ES UN FACTOR.
EL 3 REPRESENTA LA CANTIDAD DE FRESAS EN CADA GRUPO. ES UNA FACTOR.
EL 12 REPRESENTA EL TOTAL DE FRESAS. ES EL PRODUCTO O RESULTADO.
RESPUESTA: HAY 12 FRESAS.
– EJEMPLO 2:
¿CUÁNTAS LAZOS HAY EN TOTAL?
4 + 4 + 4 + 4 = 16
4 VECES 4 ES IGUAL A 16
4 × 4 = 16
RESPUESTA: HAY 16 LAZOS.
LA MULTIPLICACIÓN ES UNA OPERACIÓN QUE SE UTILIZA PARA ABREVIAR SUMAS REPETIDAS. LA SUMA 4 + 4 ES IGUAL QUE 2 × 4, YA QUE SON 2 VECES LAS QUE SE REPITE EL 4. POR EJEMPLO, SI TENEMOS 5 CAJAS DE ALFAJORES CON 9 EN CADA UNA. LA SUMA REPETIDA SERÍA: 9 + 9 + 9 + 9 + 9 Y EN MULTIPLICACIÓN 9 × 5. AMBAS EXPRESIONES DARÁN EL MISMO RESULTADO: 45 ALFAJORES EN TOTAL.
EL ORDEN DE LOS FACTORES NO MODIFICA EL PRODUCTO
NO IMPORTA EN QUÉ ORDEN ESCRIBAS LOS FACTORES EN UNA MULTIPLICACIÓN, EL RESULTADO SIEMPRE SERÁ EL MISMO. EJEMPLO:
3 × 4 = 12 PORQUE 4 + 4 + 4 = 12
4 × 3 = 12 PORQUE 3 + 3 + 3 + 3 = 12
EL DOBLE
EL DOBLE DE UNA CANTIDAD ES IGUAL A ESA CANTIDAD MULTIPLICADA POR 2.
– EJEMPLO 1:
SI TENEMOS 5 MANZANAS, ¿CUÁL ES EL DOBLE?
PRIMERO DIBUJAMOS LAS 5 MANZANAS:
COMO DEBEMOS SABER EL DOBLE, REPETIMOS EL CONJUNTO PARA TENERLO 2 VECES:
CONTAMOS LAS MANZANAS O REPRESENTAMOS COMO UNA MULTIPLICACIÓN:
5 + 5 = 10
2 VECES 5 ES IGUAL A 10
2 × 5 = 10
LUEGO RESPONDEMOS:
EL DOBLE DE 5 MANZANAS SON 10 MANZANAS.
– EJEMPLO 2:
¿CUÁL ES EL DOBLE DE 8?
COMO YA SABEMOS EL PROCESO, BASTA CON QUE SUMEMOS DOS VECES EL MISMO NÚMERO (8) O QUE MULTIPLIQUEMOS 8 POR 2.
8 + 8 = 16
2 × 8 = 16
EL DOBLE DE 8 ES 16.
– EJEMPLO 3:
¿CUÁL ES EL DOBLE DE 7?
7 + 7 = 14
2 × 7 = 14
EL DOBLE DE 7 ES 14.
LAS TABLAS DE MULTIPLICAR
SON UN RECURSO EXPRESADO EN UNA CUADRÍCULA DONDE PODEMOS VER LA RELACIÓN DE LOS PRODUCTOS ENTRE DOS FACTORES. LAS TABLAS DE MULTIPLICAR MUESTRAN DE FORMA RESUMIDA EL RESULTADO DE LAS MULTIPLICACIONES.
¡CONSTRUYAMOS LA TABLA DEL 2!
EN CADA CUADRO HAY 2 PELOTAS.
2 × 1 = 2
2 × 2 = 4
2 × 3 = 6
2 × 4 = 8
2 × 5 = 10
2 × 6 = 12
2 × 7 = 14
2 × 8 = 16
2 × 9 = 18
OBSERVA LOS PRODUCTOS (2, 4, 6, 8, 10, …). TODOS AUMENTAN DE 2 EN 2.
¡ES TU TURNO!
CONSTRUYE LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 3.
EN CADA CUADRO HAY 3 NUECES.
3 × 1 = 3
SOLUCIÓN
3 × 1 = 3
3 × 2 = 6
3 × 3 = 9
3 × 4 = 12
3 × 5 = 15
3 × 6 = 18
3 × 7 = 21
3 × 8 = 24
3 × 9 = 27
UNA GRAN HERRAMIENTA
PARA HACER CÁLCULOS DE MULTIPLICACIONES SE IDEARON LAS TABLAS DE MULTIPLICAR, QUE NO SON MÁS QUE UN ATAJO PARA REALIZAR SUMAS LARGAS DE FORMA RÁPIDA. LA FORMA MÁS COMÚN DE REPRESENTAR LAS TABLAS DE MULTIPLICACIÓN ES, COMO SU NOMBRE LO INDICA, A TRAVÉS DE TABLAS. NORMALMENTE SE MUESTRAN LAS TABLAS DEL 1 AL 10 Y CADA UNA DE ELLAS INDICA LAS MULTIPLICACIONES DEL NÚMERO QUE REPRESENTAN DEL 1 AL 10 O DEL 0 AL 10.
¡A PRACTICAR!
1. OBSERVA LOS GRUPOS. RESUELVE COMO SUMA REPETIDA, TANTAS VECES TANTO Y MULTIPLICACIÓN.
SOLUCIÓN
5 + 5 + 5 = 15
3 VECES 5 ES IGUAL A 15
3 × 5 = 15
SOLUCIÓN
2 + 2 + 2 + 2 = 8
4 VECES 2 ES IGUAL A 8
4 × 2 = 8
SOLUCIÓN
4 + 4 + 4 + 4 = 16
4 VECES 4 ES IGUAL A 16
4 × 4 = 16
2. RESPONDE:
¿CUÁL ES EL DOBLE DE 9?
SOLUCIÓN
18
¿CUÁL ES EL DOBLE DE 2?
SOLUCIÓN
4
¿CUÁL ES EL DOBLE DE 6?
SOLUCIÓN
12
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”
En el siguiente artículo encontrarás un conjuntos de consejos para aprender las tablas de multiplicar.
Una fracción está formada por dos términos principales: el numerador y el denominador. Estos son números enteros que están separados por una línea horizontal denominada raya divisoria o raya fraccionaria. Una fracción es la división de un entero o una unidad en partes iguales. El numerador indica las partes a considerar de esa división y el denominador indica las partes en las que se dividió el entero o unidad. Estos números son más antiguos que lo que se piensa y están relacionados con la división.
Las fracciones están presentes en la vida cotidiana, sobre todo en las mediciones usadas en la cocina, pero también están presentes en algunas monedas.
Fracciones diversas
De acuerdo a la relación que exista entre el numerador y el denominador, las fracciones pueden ser propias o impropias. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador, contrario a las fracciones impropias, en las que el numerador es mayor que el denominador. Por otro lado, si comparamos dos o más fracciones, estas pueden ser homogéneas o heterogéneas. Las fracciones homogéneas son las que poseen el mismo denominador, las heterogéneas, en cambio, presentan diferentes denominadores.
Las fracciones pueden expresarse en forma de gráfica o viceversa. Lo emocionante de ellas es que las usamos a diario para dividir cosas o cantidades.
Gráficas de fracciones
Las fracciones suelen expresarse en gráficos para interpretar de manera más sencilla los datos. La forma para representar estos gráficos dependen del tipo de fracción. Si la fracción es propia elegimos cualquier figura, la dividimos en partes iguales según el denominador y señalamos las partes que indique el numerador. Cuando se trata de una fracción impropia dividimos una figura geométrica en las partes que señale el denominador, pero debido a que en este tipo de fracción el numerador es mayor que el denominador, serán necesarias más de una figuras.
Los números mixtos son un tipo de número fraccionario que posee una parte entera y otra fraccionaria.
Orden de fracción
Las fracciones presentan un sentido de orden, es decir, hay fracciones que son mayores o menores que otras. Una herramienta muy útil para reconocer este orden es la recta numérica. Se trata de un gráfico en forma de línea horizontal en el que los números están ordenados de menor a mayor. Para ubicar fracciones propias en la recta numérica dividimos la unidad en segmentos iguales según indique el denominador y la fracción se ubicaría en el número de segmento indicado por el numerador. Las fracciones impropias, por su parte, deben ser transformadas en números mixtos.
En la recta numérica, si se toma un número como referencia, los números de su izquierda son menores a él y los de la derecha mayores.
Problemas con fracciones
Las fracciones, además de ayudarnos a resolver problemas que impliquen proporciones, nos permiten resolver las operaciones básicas matemáticas como la adición, la sustracción, la multiplicación y al división. En el caso de la adición y la sustracción de fracciones debemos tener en cuenta su tipo: si las fracciones son homogéneas sumamos o restamos los numeradores y colocamos el denominador, si son heterogéneas usamos el método de cruz para resolverlas. Las multiplicaciones se resuelven de forma lineal, al multiplicar los numeradores y los denominadores.
La adición y sustracción de fracciones heterogéneas suele realizarse por el método en cruz que permite calcular de manera directa fracciones equivalentes.
La matemática presenta cuatro operaciones básicas: adición o suma, sustracción o resta, multiplicación y división. La adición consiste en combinar dos o más números para obtener un total. Esta operación emplea el símbolo “+” y tiene dos elementos: los sumandos, que son los números que se van a sumar, y la suma, que consiste en el resultado en sí. La sustracción, por su parte, es una operación que consiste en quitar una cantidad a otra, por esto es considerada como la operación inversa a la adición, y emplea el símbolo “−”. Los elementos de una resta son: el minuendo que es el número al que se le va a quitar la cantidad, el sustraendo que es el número que resta y la diferencia que es el resultado de la operación.
El método por reagrupación permite resolver problemas de adición y sustracción en función de los valores posicionales de los números.
Multiplicación y división
La multiplicación y la división son otras operaciones fundamentales de la matemática. Se dice que la multiplicación es una suma abreviada porque permite sumar tantas veces un número como indique otro, a menudo se usa la equis (x) para indicar esta operación pero también se usa el punto (·). Está formada por los factores, que son los números que se multiplican y por el producto que es el resultado de dicha operación. Por otro lado, la división es la operación opuesta a la multiplicación y consiste en repartir grupos de elementos en partes iguales. Su símbolo es “÷” y sus elementos principales son: el dividendo, que es el número que se reparte; el divisor, que es el número que indica las partes en las que se va a dividir el dividendo; el cociente, que es el resultado; y el resto, que es la cantidad que no se puede dividir.
Para resolver divisiones es muy importante dominar muy bien las multiplicaciones.
Operaciones combinadas
Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen dos o más operaciones matemáticas. Aunque pueden incluir símbolos como los paréntesis, corchetes y llaves, cuando se aplican a números naturales estos símbolos no son necesarios. Para resolver cálculos combinados de suma y resta, se resuelven los números de izquierda a derecha en función de la operación que se indique. Cuando existan operaciones combinadas que además de suma o resta incluyan multiplicación, división o ambas, se resuelven las multiplicaciones y divisiones primero para luego sumar o restar de la manera mencionada anteriormente.
En las operaciones combinadas primero se resuelven las multiplicaciones y divisiones, después se resuelven sumas o restas.
Hay ocasiones en las que pueden aparecer varias operaciones matemáticas en un mismo problema: estas expresiones se conocen como operaciones combinadas. Para resolverlas, es importante que tengas buenas bases en las propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la división, así como también que sepas priorizar entre ellas.
¿Qué es una operación combinada?
Es una expresión que contiene dos o más operaciones matemáticas, como la suma, la resta, la división y la multiplicación. Algunas veces puede aparecer con paréntesis para separar términos dentro de la expresión.
Para estos problemas se deben tener en cuenta dos cosas:
La regla de los signos.
La prioridad de operaciones, lo que significa que hay operaciones que deben resolverse antes que otras.
Ley de los signos en suma y resta
Para resolver operaciones combinadas es indispensable comprender ciertos criterios que cumplen los números en relación a su signo, a estos criterios se los conoce como “ley de los signos”. A continuación, te mostramos aquellos orientados únicamente a operaciones de suma y resta.
Cuando se suman números positivos, el resultado es otro número con signo positivo:
10 + 13 = 23
Cuando se suman números negativos, se mantiene el signo negativo y suman los números:
(−3) + (−2) = −5
Cuando se tienen números con diferente signo, se restan y se coloca el signo que corresponda al número mayor:
15 − 3 = 12 → El número mayor es 15 y como no tiene signo se entiende que es positivo, ya que por convención los números que no presentan signo se asumen como números positivos, así que al resultado no se le coloca signo.
3 − 7 = −4 → El número mayor es el 7 y, por tener el signo menos, el resultado debe ser negativo.
¿Sabías qué?
El símbolo “÷” algunas veces es reemplazado por dos puntos “:” para indicar una división.
Ejercicios combinados de sumas y restas
Las operaciones combinadas de sumas y restas con números naturales son fáciles de reconocer porque no llevan paréntesis. En los ejercicios de este tipo, la resolución se hace de izquierda a derecha en el orden en que aparecen los números.
– Por ejemplo:
458 − 352 + 157 − 235 + 784 − 568
Primero debes resolver los dos primeros términos: 458 − 352 = 106, y colocar el resultado como reemplazo de esos números. Luego escribe los números siguientes con sus signos:
106 + 157 − 235 + 784 − 568
Suma el resultado anterior con el siguiente término:
106 + 157 − 235 + 784 − 568
Como el resultado de 106 + 157 es igual a 263, sustituye esos números y anota los números siguientes:
263 − 235 + 784 − 568
Debido a que el número que le sigue a 263 está precedido por un signo menos, la operación a realizar es una resta, es decir, 263 − 235, cuyo resultado es 28. Anota este resultado y resuelve con el número siguiente:
28 + 784 − 568
De 28 + 784 resulta 812, entonces, escribe este resultado junto con el último número que queda y resuelve:
812 − 568 = 244
Con esta última operación obtendrás el resultado del ejercicio. También puedes escribir la solución de esta forma:
458 − 352 + 157 − 235 + 784 − 568 = 244
En los ejercicios combinados de sumas y restas es importante conocer el valor posicional de los números y dominar correctamente estas operaciones. Aunque no es necesario mantener estrictamente el orden de resolución de izquierda a derecha (se pueden resolver los números positivos primero y los negativos después), se sugiere hacerlo para evitar errores.
Ejercicios combinados de multiplicación y división
Los ejercicios combinados que involucran multiplicación y división sin paréntesis se resuelven en este orden:
Realiza las multiplicaciones y las divisiones primero.
Realiza las sumas y restas de la manera en la que fue explicado en el punto anterior.
– Por ejemplo:
112 + 3 x 15 − 85
Resuelve primero la multiplicación 3 x 15:
112 + 3 x 15 − 85
Como 3 x 15 = 45, coloca el 45 como reemplazo de la expresión y respeta el orden de los demás números:
112 + 45 − 85
Ahora tenemos una operación combinada de suma y resta que puedes solucionar de izquierda a derecha como se explicó anteriormente:
112 + 45 − 85
157 − 85 = 72
El resultado es el siguiente:
112 + 3 x 15 − 85 = 72
– Otro ejemplo:
21 + 25 ÷ 5 − 12 + 8 x 6
Primero debes identificar los números que multiplican y dividen:
21 + 25 ÷ 5 − 12 + 8 x 6
Resuelve las operaciones de multiplicación y división y reemplaza por sus respectivos resultados. El orden y los signos del resto de los números se mantiene. Recuerda que 25 ÷ 5 = 5 y que 8 x 6 = 48. Al sustituir estos números queda:
21 + 5 − 12 + 48
Ya puedes resolver la operación combinada de suma y resta de la manera explicada anteriormente:
21 + 5 − 12 + 48
26 − 12 + 48
14 + 48 = 62
Expresa el resultado de la siguiente manera:
21 + 25 ÷ 5 − 12 + 8 x 6 = 62
Al momento de resolver ejercicios combinados, se debe prestar atención a los signos. Un signo que no sea correcto se traduce, en la mayoría de los casos, en un resultado erróneo. De igual forma se debe tener presente el orden de las operaciones a resolver, es decir, primero resolver multiplicaciones y divisiones, después resolver sumas y restas.
¡A practicar!
1. Resuelve las siguientes operaciones combinadas de sumas y restas sin paréntesis:
a) 115 − 94 + 525 − 32 =
Solución
514
b) 350 − 257 − 50 + 117 =
Solución
160
c) 450 − 358 + 15 + 452 − 527 + 13 =
Solución
45
d) 1.975 − 1.875 + 252 =
Solución
352
e) 759 − 651 + 875 − 532=
Solución
451
2. Resuelve las siguientes operaciones combinadas con multiplicaciones y divisiones sin paréntesis:
a) 14 − 6 x 3 − 11 =
Solución
−15
b) 28 − 12 ÷ 3 + 10 =
Solución
34
c) 42 + 5 x 5 − 48 + 42 ÷ 6 =
Solución
26
d) 272 − 105 + 6 x 6 − 15 + 2 x 2 =
Solución
192
e) 3.615 ÷ 15 + 9 − 90 + 5 x 2 =
Solución
170
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Ley de los signos: suma y resta”
Este artículo explica la ley de los signos para la suma y la resta. También muestra ejemplos de ejercicios para cada caso.
Este artículo ayuda a ampliar el conocimiento sobre los números negativos y algunas de sus aplicaciones. También incluye una serie de ejercicios para resolver.
La multiplicación y la división son operaciones básicas de la matemática. La primera consiste básicamente en sumar varias veces un mismo número y la segunda, en cambio, consiste en repartir cantidades. Ambas están muy relacionadas entre sí y su manejo es necesario para resolver otros tipos de problemas.
Elementos de la multiplicación
La multiplicación es una operación en la que se suma tantas veces un número como indica otro número, por ejemplo, 3 x 4 = 12 se puede representar como 3 + 3 + 3 + 3 = 12. El signo usado en la multiplicación es “x” y se lee “por”. Los elementos principales de una multiplicación son:
Factores o coeficientes: son los números que se multiplican, estos son multiplicando y multiplicador. El multiplicando es el número a sumar y el multiplicador es el número de veces que se suma al multiplicando. En la multiplicación 3 x 4 = 12, el número 3 es el multiplicando y el 4 corresponde al multiplicador.
Producto: es el resultado de la multiplicación de dos o más factores. Hay ocasiones en las que las multiplicaciones son largas y deben realizarse por medio de la suma de productos parciales.
¿Sabías qué?
En la multiplicación además de la equis también suele usarse el punto “·” como símbolo.
La multiplicación tiene la finalidad de calcular el producto o resultado que se obtiene de sumar el multiplicando tantas veces por sí mismo como indique el multiplicador. En estas operaciones, cuando el multiplicador es mayor a una cifra se requieren de productos parciales que se sumarán para obtener el resultado final de la multiplicación.
Propiedades de la multiplicación
Son cuatro propiedades: la conmutativa, la asociativa, la distributiva y la del elemento neutro.
Propiedad conmutativa
Esta propiedad permite que al multiplicar dos números el resultado sea el mismo sin importar el orden de los factores. Por ejemplo:
3 x 10 = 30
10 x 3 = 30
Por lo tanto, 3 x 10 = 10 x 3. Observa:
Propiedad asociativa
Esta propiedad permite que al multiplicar tres o más factores el producto siempre sea el mismo, sin importar como se agrupen estos. Por ejemplo, 2 x 4 x 6 se puede agrupar de estas formas:
(2 x 4) x 6 = 8 x 6 = 48
2 x (4 x 6) = 2 x 24 = 48
Por lo tanto, (2 x 4) x 6 = 2 x (4 x 6). Observa:
Propiedad distributiva
Esta propiedad permite que la suma de dos o más números multiplicada por otro número sea igual a la multiplicación de ese número por cada elemento de la suma. Por ejemplo:
Elemento neutro
El uno es el elemento neutro de la multiplicación, cualquier número multiplicado por él será igual a sí mismo. Por ejemplo:
0 x 1 = 0
3 x 1= 3
10 x 1 =10
113 x 1 = 113
¿Sabías qué?
La propiedad distributiva también puede aplicarse a números que se restan.
Modelos de multiplicación
Una multiplicación es una suma abreviada y puede ser representada a través del modelo grupal, modelo lineal y modelo geométrico. Estas son diferentes formas de dar sentido a las multiplicaciones y se pueden aplicar en situaciones simples de la vida.
Modelo grupal
En este modelo se construyen secuencias con la misma cantidad de elementos, estos grupos de elementos representan la multiplicación.
Observa la representación del modelo en los siguientes ejemplos:
4 pelotas de tenis = 4
1 vez 4 = 4 1 x 4 = 4
4 + 4 = 8 raquetas de tenis
2 veces 4 = 8 2 x 4 = 8
4 + 4 + 4 = 12 pelotas de baloncesto
3 veces 4 = 12 3 x 4 = 12
¿Sabías qué?
En el modelo grupal, 3 x 4 se lee como “tres veces cuatro”.
Modelo lineal
En este modelo se emplea la semirrecta numérica para representar las multiplicaciones. Se comienza desde cero y se cuenta de acuerdo al número de elementos que tenga el conjunto a estudiar y al número de conjuntos. Por ejemplo:
Un árbol crece 2 metros cada año. ¿Cuántos metros crecerá en 4 años?
Planteado el sistema en la gráfica sería:
4 veces 2 = 8 metros 4 x 2 = 8
Modelo geométrico
En este método se comparan las cuadrículas en columnas y filas para representar una multiplicación. Se colocan tantas filas como indique el primer factor y el número de columnas será igual al segundo factor. Por ejemplo:
La multiplicación 3 x 4 = 12 se representa geométricamente de la siguiente manera:
Si se cuentan cada una de las cuadrículas se obtiene el resultado: 3 x 4 = 12
Pasos para resolver ejercicios con el algoritmo de la multiplicación
Multiplica las unidades del multiplicador por cada una de las cifras del multiplicando y coloca el resultado en la fila de abajo. Será el primer producto parcial.
Multiplica las decenas del multiplicador por cada una de las cifras del multiplicando y coloca el resultado en la fila de abajo pero con la diferencia que se debe desplazar una posición hacia la izquierda. Este será el segundo producto parcial.
Suma los dos productos parciales. El número que obtengas será el total de la multiplicación.
– Resuelve la multiplicación 453 x 24
Por tratarse de una multiplicación con números grandes no sería tan fácil de resolver a través de los modelos grupal, lineal y geométrico. En estos casos debes emplear el algoritmo de la multiplicación y seguir los pasos mencionados anteriormente.
Para iniciar, el multiplicando y el multiplicador tienen que estar uno debajo del otro:
Luego multiplica las unidades del multiplicador por el multiplicando, es decir, multiplica 4 por 453:
Después multiplica las decenas del multiplicador por el multiplicando, es decir, 2 por 453:
Por último, suma los dos productos parciales que se calcularon para obtener el resultado de la multiplicación:
Elementos de la división
La división consiste en repartir grupos de elementos en partes iguales. Sus elementos principales son:
Dividendo: es el número que se va a dividir, es decir, la cantidad que se quiere repartir.
Divisor: es el número que divide, este indica cuántas veces se va a repartir el dividendo.
Cociente: es el resultado de la división.
Resto: es la cantidad que sobra de la división o la que no se puede repartir por ser menor que el divisor.
La división también se expresa con el símbolo “÷“, por ejemplo:
Método para comprobar una división
En una división se cumple la relación:
Dividendo = (cociente x divisor) + resto
De esta manera es muy fácil comprobar que una división esté correcta, solo se debe multiplicar el cociente que se obtuvo por el divisor y luego sumarle el resto. Si el resultado que se obtiene es igual al número del dividendo, entonces la división es correcta.
¿Sabías qué?
Cuando el resto de una división es igual a cero la división es exacta y cuando no lo es se denomina división inexacta.
Algoritmo de división
Los pasos para resolver una división son los siguientes:
– Resuelve la división 3.654 ÷ 25
Lo primero que hay que hacer es tomar las dos primeras cifras del dividendo, si estas dos cifras forman un número menor que el divisor entonces se toman tres cifras del dividendo. En este caso, las dos primeras cifras son 36 y como es mayor que 25 se puede continuar.
Divide el primer número del dividendo (si tomaste tres cifras, entonces divide los dos primero) entre el primer número del divisor. Coloca el número resultado en el cociente. Como el primer número del dividendo es 3 y el primer número del divisor es 2, el resultado de dividirlo es 1.
Multiplica el número del cociente por el divisor y coloca el resultado debajo de los dos números seleccionados al principio del dividendo. Luego haz la resta y anota el resultado:
Baja la cifra siguiente del dividendo. 5. Si divides 11 entre 2, el resultado es 5; y cuando multiplicas 5 por 25 se obtiene 125 que no puede restarse con 115. Por esta razón, coloca 4 en el cociente y continúa con los pasos anteriores.
Baja la cifra siguiente del dividendo.
Si divides 15 entre 2, obtienes 6. Colócalo en el cociente y repite los pasos anteriores. Como no existen más cifras del dividendo para bajar y el número que se obtuvo de la resta es menor que el divisor, entonces se culmina el ejercicios: 3.654 ÷ 25 = 146 y sobraron 4 unidades sin repartir (resto).
¡A practicar!
1. Resuelve las siguientes multiplicaciones:
a) 296 x 18
Solución
5.328
b) 593 x 29
Solución
17.197
c) 332 x 74
Solución
24.568
d) 375 x 16
Solución
6.000
e) 613 x 59
Solución
36.167
2. Resuelve las siguientes divisiones:
a) 4.739 ÷ 88
Solución
Cociente = 53; Resto = 75
b) 7.049 ÷ 41
Solución
Cociente = 171; Resto = 38
c) 9.370 ÷ 58
Solución
Cociente = 161; Resto = 32
d) 3.830 ÷ 40
Solución
Cociente = 95; Resto = 30
e) 5.378 ÷ 65
Solución
Cociente = 82; Resto = 48
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”
El siguiente artículo muestra algunas sugerencias para que el aprendizaje de las tablas de multiplicar sea más sencillo y significativo.
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5. Si divides 11 entre 2, el resultado es 5; y cuando multiplicas 5 por 25 se obtiene 125 que no puede restarse con 115. Por esta razón, coloca 4 en el cociente y continúa con los pasos anteriores.
Como no existen más cifras del dividendo para bajar y el número que se obtuvo de la resta es menor que el divisor, entonces se culmina el ejercicios: 3.654 ÷ 25 = 146 y sobraron 4 unidades sin repartir (resto).