CAPÍTULO 1 / TEMA 2

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros surge por la necesidad de expresar cantidades negativas. Aunque los números negativos se usan desde el siglo XV, fue en 1770 cuando Leonardo Euler justificó su uso. Luego fueron legalmente aceptados para crear un conjunto, más completo que los números naturales, denominados números enteros.

Cada región del mundo registra un clima distinto, por ejemplo, la Antártida suele tener temperaturas cercanas a los −10 °C en la costa, mientras que en Sudamérica la temperatura se acerca a los 20 °C. Estas situaciones se pueden describir gracias a los números enteros, un conjunto numérico amplio que incluye números positivos y negativos.

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS ENTEROS?

Son un conjunto de número que sirven para representar valores positivos y negativos. El conjunto se denota por $\mathbb{Z}$ y es:

$\mathbb{Z} = \left \{ ...,-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, ... \right \}$

El conjunto de los números enteros contiene otros conjuntos numéricos:

Enteros positivos ( $\mathbb{Z}^{+}$ )

$\mathbb{Z}^{+} = \left \{+1, +2, +3, +4, ...\right \} = \left \{ 1,\, 2,\, 3,\, 4, ... \right \}$

Enteros negativos ( $\mathbb{Z}^{-}$ )

$\mathbb{Z}^{-} = \left \{..., -4, -3, -2, -1\right \}$

Números naturales ( $\mathbb{N}$ )

$\mathbb{N} = \left \{0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4, ... \right \}$

¿Sabías qué?

El conjunto de los números enteros se denota con la letra Z por la palabra Zahlen, que en alemán significa “número”.

¡Es tu turno!

¿Cuáles de estos números son enteros?

+4 −1,5 0 1/3 −3 −8,79 15 +0,5 7/4 −1/8 2 10,8 −9

Solución

Los números de color rojo son los números enteros.

+4 −1,5 0 1/3 −3 −8,79 15 +0,5 7/4 −1/8 2 10,8 −9

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número es igual a la distancia que existe desde cero (0) hasta ese número. Para un número $x$ , el valor absoluto se denota como $\left | x \right |$ .

– Ejemplo:

Un buzo se encuentra a −7 metros de profundidad. ¿Qué distancia hay desde donde está hasta el nivel del mar?

Para hallar el valor absoluto de −7, debes medir los espacios entre −7 y 0. Por lo tanto, la distancia que hay desde donde está el buzo hasta el nivel del mar es de 7 metros. Matemáticamente se expresa así:

$\left |-7 \right | = 7$

En conclusión, podemos definir el valor absoluto de un número $x$ así:

$\left | x \right |= x$ , si $x> 0$

$\left | x \right |=-x$ , si $x< 0$

$\left | x \right |=0$ , si $x=0$

– Ejemplo:

$\left | 9 \right |=9$

$\left | -5 \right |=-(-5)=5$

$\left | 0 \right |=0$

¿Cómo aparecieron los números enteros?

Desde la Antigüedad, hace unos 400 años a. C., el hombre ha buscado la manera de realizar cálculos para sus actividades cotidianas. En un principio, los números naturales $\mathbb{N}$ eran suficientes para contar. Sin embargo, con el paso de los años, se necesitó un conjunto que incluyera valores negativos para expresar el déficit de una cantidad. Esta necesidad dio origen a los números enteros $\mathbb{Z}$ , que incluye a los números naturales sin el cero, al cero y a los negativos de los números naturales.

REGLA DE LOS SIGNOS

Cuando realizamos operaciones con números enteros es probable que nos cueste identificar el signo que tendrá el resultado. Para esto existe la regla de los signos, la cual se aplica a todas las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división.

En la suma y la resta

Si sumamos dos números negativos, el resultado será un número negativo.

$\left ( -a \right )+\left ( -b \right ) = - \left ( a+b \right )$

– Ejemplo:

(−3) + (−9) = −(3 + 9) = −12

(−5) + (−10) = −(5 + 10) = −15

Si sumamos dos números positivos, el resultado será un número positivo.

$\left ( +a \right )+ \left ( +b \right ) = +\left ( a+b \right )$

– Ejemplo:

(+8) + (+6) = +(8 + 6) = +14

(+43) + (+7) = +(43 + 7) = +50

Si sumamos un número positivo y un número negativo, ambos se restan y se mantiene el signo del número mayor.

Si $\left | a \right |> \left | -b \right |$ , entonces $\left ( +a \right ) + \left ( -b \right )= + \left ( a-b \right )$

Si $\left | -a \right |> \left | b \right |$ , entonces $\left ( -a \right )+\left (+b \right )= - \left ( a-b \right )$

– Ejemplo:

(+18) + (−4) = +(18 − 4) = +14

(−54) + (+20) = −(54 − 20) = −34

En el buceo es importante conocer hasta qué profundidad puede sumergirse un buzo. La superficie del mar se denota con el 0 y con números negativos hacia el fondo. A medida que el buzo baja, la presión sobre él aumenta y si realiza muy rápido el descenso puede ser dañino. A partir de los −50 metros hay que realizar el descenso lentamente para no correr riesgos.

En la multiplicación

Si multiplicamos dos números con signos iguales, el resultado será siempre positivo.

$(+a)\times (+b) = + (a\times b)$

$(-a)\times (-b)=+(a\times b)$

– Ejemplo:

(+26) × (+3) = +78

(−10) × (−5) = +50

Si multiplicamos dos números con signos diferentes, el resultado siempre será negativo.

$(-a)\times (+b)=-(a\times b)$

$(+a)\times (-b)=-(a\times b)$

– Ejemplo:

(−8) × (+15) = −120

(+12) × (−9) = −108

En la división

Si dividimos dos números con signos iguales, el resultado será positivo.

$(+a)\div (+b)=+(a\div b)$

$(-a)\div (-b)=+(a \div b)$

– Ejemplo:

(+81) ÷ (+9) = +9

(−322) ÷ (−23) = +14

Si dividimos dos números con signos diferentes, el resultado será negativo.

$(+a)\div (-b)=-(a\div b)$

$(-a)\div (+b)=-(a\div b)$

– Ejemplo:

(+180) ÷ (−5) = −36

(−250) ÷ (+50) = −5

APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros tienen múltiples aplicaciones, algunas de las más comunes son las siguientes:

Expresar temperaturas en diferentes épocas del año, por ejemplo, en algunas ciudades de Argentina, durante el verano la temperatura es de 22 ºC, mientras que durante el invierno llega a −3 ºC.
Indicar la altura a la que se encuentran ciertas regiones respecto al nivel del mar. Las regiones que se encuentran por encima del nivel del mar tienen altura positiva, mientras que las que se localizan por debajo tienen altura negativa, por ejemplo, la ciudad de Lagunillas en Venezuela se ubica a −12 msnm.
Especificar el tiempo antes y después de Cristo. Consideramos negativos los años antes de Cristo (a. C.) y positivos los años después de Cristo (d. C.).
Indicar el saldo en una cuenta bancaria, donde los números positivos representan un saldo a nuestro favor y los negativos representan deudas.

Si el lunes tienes disponible $ 155, el martes retiras $ 32 y te depositan $ 13, y el miércoles el banco te descuenta $ 10 por comisión, ¿cuánto dinero tienes para el jueves? Este es un problema en el que las entradas son números positivos y las salidas o descuentos son números negativos. Lo puedes plantear así: 155 − 32 + 13 −10 = 126. ¡Te quedan $ 126!

¡A practicar!

1. Resuelve estas operaciones:

5 − 12
Solución
5 − 12 = −7
−13 − 15
Solución
−13 − 15 = −28
2 − 7
Solución
2 − 7 = −5
3 × (−37)
Solución
3 × (−37) = −111
(−2) × (−15)
Solución
(−2) × (−15) = 30
−17 × 18
Solución
−17 × 18 = −306
10 ÷ (−5)
Solución
10 ÷ (−5) = −2

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La clasificación de los números”

En este artículo encontrará una descripción general sobre la clasificación de los números, desde los naturales hasta los complejos.

VER

Artículo “Regla de los signos”

Este artículo explica cómo utilizar la regla de los signos, tanto para la suma y la resta, como para la multiplicación y la división.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 3

¿QUÉ ES LA MULTIPLICACIÓN?

CUANDO UNA CANTIDAD SE REPITE VARIAS VECES PODEMOS ACUDIR A UNA OPERACIÓN BÁSICA DE LAS MATEMÁTICAS: LA MULTIPLICACIÓN. ESTA ES IGUAL A UNA SUMA RESUMIDA Y LA USAMOS CADA VEZ COMPRAMOS VARIOS PRODUCTOS IGUALES, POR EJEMPLO, 4 HELADOS A $ 2 ES IGUAL A 4 × 2 Y SE LEE “CUATRO POR DOS”.

TANTA VECES TANTO

SI TENEMOS LA MISMA CANTIDAD DE ELEMENTOS EN VARIOS GRUPOS PODEMOS SABER LA CANTIDAD TOTAL SI CONTAMOS CUÁNTOS GRUPOS HAY Y LUEGO CONTAMOS CUÁNTO HAY EN CADA GRUPO.

– EJEMPLO 1:

¿CUÁNTOS GRUPOS HAY?, ¿CUÁNTAS CEREZAS HAY EN CADA GRUPOS?, ¿CUÁNTAS CEREZAS HAY EN TOTAL?

HAY 3 GRUPOS.
HAY 2 CEREZAS EN CADA GRUPO.
HAY 6 CEREZAS EN TOTAL PORQUE 2 + 2 + 2 = 6

PODEMOS DECIR QUE:

3 VECES 2 ES IGUAL A 6

– EJEMPLO 2:

¿CUÁNTOS GRUPOS HAY?, ¿CUÁNTAS PALETAS HAY EN CADA GRUPO?, ¿CUÁNTAS PALETAS HAY EN TOTAL?

HAY 2 GRUPOS.
HAY 4 PALETAS EN CADA GRUPO.
HAY 8 PALETAS EN TOTAL PORQUE 4 + 4 = 8

PODEMOS DECIR QUE:

2 VECES 4 ES IGUAL A 8

¡ES TU TURNO!

¿CUÁNTOS GRUPOS HAY?, ¿CUÁNTAS BANANAS HAY EN CADA GRUPO?, ¿CUÁNTAS BANANAS HAY EN TOTAL?

SOLUCIÓN

HAY 3 GRUPOS.
HAY 3 BANANAS EN CADA GRUPO.
HAY 9 BANANAS EN TOTAL PORQUE 3 + 3 + 3 = 9

ASÍ QUE:

3 VECES 3 ES IGUAL A 9

LA MULTIPLICACIÓN Y SUS ELEMENTOS

CUANDO SABEMOS LA CANTIDAD DE GRUPOS Y LA CANTIDAD DE ELEMENTOS EN CADA GRUPO PODEMOS HACER UNA OPERACIÓN LLAMADA MULTIPLICACIÓN. LA USAMOS CADA VEZ QUE LA CANTIDAD DENTRO DE CADA GRUPO SEA LA MISMA. LA MULTIPLICACIÓN ESTÁ FORMADA POR FACTORES Y UN PRODUCTO.

¿SABÍAS QUÉ?

EL SIGNO DE MULTIPLICACIÓN ES × Y SE LEE “POR”.

– EJEMPLO 1:

¿CUÁNTAS FRESAS HAY EN TOTAL?

LA CANTIDAD TOTAL DE FRESAS EN ESTA IMAGEN LA PODEMOS REPRESENTAR ASÍ:

3 + 3 + 3 + 3 = 12

4 VECES 3 ES IGUAL A 12

O COMO UNA MULTIPLICACIÓN:

4 × 3 = 12

EL 4 REPRESENTA LA CANTIDAD DE GRUPOS. ES UN FACTOR.
EL 3 REPRESENTA LA CANTIDAD DE FRESAS EN CADA GRUPO. ES UNA FACTOR.
EL 12 REPRESENTA EL TOTAL DE FRESAS. ES EL PRODUCTO O RESULTADO.

RESPUESTA: HAY 12 FRESAS.

– EJEMPLO 2:

¿CUÁNTAS LAZOS HAY EN TOTAL?

4 + 4 + 4 + 4 = 16

4 VECES 4 ES IGUAL A 16

4 × 4 = 16

RESPUESTA: HAY 16 LAZOS.

LA MULTIPLICACIÓN ES UNA OPERACIÓN QUE SE UTILIZA PARA ABREVIAR SUMAS REPETIDAS. LA SUMA 4 + 4 ES IGUAL QUE 2 × 4, YA QUE SON 2 VECES LAS QUE SE REPITE EL 4. POR EJEMPLO, SI TENEMOS 5 CAJAS DE ALFAJORES CON 9 EN CADA UNA. LA SUMA REPETIDA SERÍA: 9 + 9 + 9 + 9 + 9 Y EN MULTIPLICACIÓN 9 × 5. AMBAS EXPRESIONES DARÁN EL MISMO RESULTADO: 45 ALFAJORES EN TOTAL.

EL ORDEN DE LOS FACTORES NO MODIFICA EL PRODUCTO

NO IMPORTA EN QUÉ ORDEN ESCRIBAS LOS FACTORES EN UNA MULTIPLICACIÓN, EL RESULTADO SIEMPRE SERÁ EL MISMO. EJEMPLO:

3 × 4 = 12 PORQUE 4 + 4 + 4 = 12

4 × 3 = 12 PORQUE 3 + 3 + 3 + 3 = 12

EL DOBLE

EL DOBLE DE UNA CANTIDAD ES IGUAL A ESA CANTIDAD MULTIPLICADA POR 2.

– EJEMPLO 1:

SI TENEMOS 5 MANZANAS, ¿CUÁL ES EL DOBLE?

PRIMERO DIBUJAMOS LAS 5 MANZANAS:

COMO DEBEMOS SABER EL DOBLE, REPETIMOS EL CONJUNTO PARA TENERLO 2 VECES:

CONTAMOS LAS MANZANAS O REPRESENTAMOS COMO UNA MULTIPLICACIÓN:

5 + 5 = 10

2 VECES 5 ES IGUAL A 10

2 × 5 = 10

LUEGO RESPONDEMOS:

EL DOBLE DE 5 MANZANAS SON 10 MANZANAS.

– EJEMPLO 2:

¿CUÁL ES EL DOBLE DE 8?

COMO YA SABEMOS EL PROCESO, BASTA CON QUE SUMEMOS DOS VECES EL MISMO NÚMERO (8) O QUE MULTIPLIQUEMOS 8 POR 2.

8 + 8 = 16

2 × 8 = 16

EL DOBLE DE 8 ES 16.

– EJEMPLO 3:

¿CUÁL ES EL DOBLE DE 7?

7 + 7 = 14

2 × 7 = 14

EL DOBLE DE 7 ES 14.

LAS TABLAS DE MULTIPLICAR

SON UN RECURSO EXPRESADO EN UNA CUADRÍCULA DONDE PODEMOS VER LA RELACIÓN DE LOS PRODUCTOS ENTRE DOS FACTORES. LAS TABLAS DE MULTIPLICAR MUESTRAN DE FORMA RESUMIDA EL RESULTADO DE LAS MULTIPLICACIONES.

¡CONSTRUYAMOS LA TABLA DEL 2!

EN CADA CUADRO HAY 2 PELOTAS.

	2 × 1 = 2
	2 × 2 = 4
	2 × 3 = 6
	2 × 4 = 8
	2 × 5 = 10
	2 × 6 = 12
	2 × 7 = 14
	2 × 8 = 16
	2 × 9 = 18

OBSERVA LOS PRODUCTOS (2, 4, 6, 8, 10, …). TODOS AUMENTAN DE 2 EN 2.

¡ES TU TURNO!

CONSTRUYE LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 3.

EN CADA CUADRO HAY 3 NUECES.

3 × 1 = 3

SOLUCIÓN

	3 × 1 = 3
	3 × 2 = 6
	3 × 3 = 9
	3 × 4 = 12
	3 × 5 = 15
	3 × 6 = 18
	3 × 7 = 21
	3 × 8 = 24
	3 × 9 = 27

UNA GRAN HERRAMIENTA

PARA HACER CÁLCULOS DE MULTIPLICACIONES SE IDEARON LAS TABLAS DE MULTIPLICAR, QUE NO SON MÁS QUE UN ATAJO PARA REALIZAR SUMAS LARGAS DE FORMA RÁPIDA. LA FORMA MÁS COMÚN DE REPRESENTAR LAS TABLAS DE MULTIPLICACIÓN ES, COMO SU NOMBRE LO INDICA, A TRAVÉS DE TABLAS. NORMALMENTE SE MUESTRAN LAS TABLAS DEL 1 AL 10 Y CADA UNA DE ELLAS INDICA LAS MULTIPLICACIONES DEL NÚMERO QUE REPRESENTAN DEL 1 AL 10 O DEL 0 AL 10.

¡A PRACTICAR!

1. OBSERVA LOS GRUPOS. RESUELVE COMO SUMA REPETIDA, TANTAS VECES TANTO Y MULTIPLICACIÓN.

SOLUCIÓN

5 + 5 + 5 = 15

3 VECES 5 ES IGUAL A 15

3 × 5 = 15

SOLUCIÓN

2 + 2 + 2 + 2 = 8

4 VECES 2 ES IGUAL A 8

4 × 2 = 8

SOLUCIÓN

4 + 4 + 4 + 4 = 16

4 VECES 4 ES IGUAL A 16

4 × 4 = 16

2. RESPONDE:

¿CUÁL ES EL DOBLE DE 9?

SOLUCIÓN

¿CUÁL ES EL DOBLE DE 2?

SOLUCIÓN

¿CUÁL ES EL DOBLE DE 6?

SOLUCIÓN

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”

En el siguiente artículo encontrarás un conjuntos de consejos para aprender las tablas de multiplicar.

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