CAPÍTULO 3 / TEMA 2

Multiplicación y división de fracciones

Las fracciones son números, por lo tanto, podemos realizar operaciones aritméticas básicas con ellas. Para multiplicar fracciones se debe realizar una multiplicación lineal de todos los numeradores y denominadores. Por otro lado, la división de estos números se puede realizar a través de varios procedimientos.

Diferentes métodos para la resolución de problemas

Una de las maravillas de las matemáticas es que generalmente para resolver un problema existen varios caminos que conducen al mismo resultado. Las operaciones con fracciones son un ejemplo, especialmente al momento de dividirlas se suelen aplicar varios métodos.

Multiplicación de fracciones

La multiplicación es una de las operaciones con fracciones mas sencillas. Para resolverla se deben multiplicar de forma lineal sus factores, es decir, numerador por numerador y denominador por denominador. En el caso de multiplicar más de dos fracciones el procedimiento es el mismo.

Por ejemplo:

a) $\frac{2}{9}\times \frac{5}{9}= \frac{2\times 5}{9\times 9}=\frac{10}{81}$

b) $\frac{5}{7}\times \frac{4}{3}= \frac{5\times 4}{7\times 3}=\frac{20}{21}$

En la multiplicación de fracciones no importa si son homogéneas o heterogéneas, el procedimiento siempre es el mismo. En los ejemplos anteriores observamos la resolución de fracciones de estos dos tipos.

Los criterios de divisibilidad son muy importantes a la hora de aplicar el método de simplificación o reducción de fracciones. Estos criterios permiten resolver las fracciones con mayor rapidez. Del mismo modo, se pueden aplicar a una o más fracciones siempre y cuando estas se multipliquen entre sí.

Simplificación de fracciones

Cuando se hace una multiplicación o división de fracciones, es necesario conocer cómo simplificarlas. Esto ahorra tiempo al momento de resolver el ejercicio y permite expresar cantidades de manera más sencilla. Para realizar una simplificación debemos tener presente los criterios de divisibilidad. A continuación, puedes ver algunos criterios:

Ahora, mira el siguiente ejemplo:

$\frac{48}{16}=$

Al comparar la fracción con la tabla anterior, se puede observar que tanto el numerador como el denominador son divisibles entre 2. Por lo tanto, se puede simplificar la fracción:

La fracción que se obtuvo se puede simplificar también:

Esta fracción se pudo convertir en un número entero porque se trata de una fracción aparente, pero en otros casos la simplificación de una fracción es otra con numerador y denominador menores que los de la fracción original. También debemos considerar que hay fracciones irreducibles, lo que quiere decir que no se pueden simplificar.

Simplificación de fracciones en multiplicaciones

En los casos de multiplicaciones se pueden realizar simplificaciones de términos pertenecientes a diferentes fracciones. Para ello, se realiza el mismo procedimiento explicado y se consideran de igual forma los criterios de divisibilidad.

Por ejemplo:

$\frac{26}{15}\times \frac{13}{18}=$

Como se puede observar, las dos fracciones, si se evalúan de forma separada, son irreducibles. Sin embargo, esta multiplicación se puede simplificar porque el numerador de la primera fracción y el denominador de la segunda son divisibles entre 2. Por lo tanto, al aplicar la simplificación queda de la siguiente manera:

Ahora sí se puede aplicar la multiplicación de fracciones con números más pequeños, ya que no tenemos ninguna posibilidad de simplificar.

Se debe simplificar el resultado si es necesario. En este caso, la fracción ya es irreducible.

En la multiplicación de tres o más fracciones se sigue el mismo procedimiento: simplificar, multiplicar todos los numeradores para obtener el numerador del resultado y luego se hace lo mismo con los denominadores para obtener el denominador del resultado.

División de fracciones

Para realizar la división de fracciones existen varios métodos.

Primer método

Se gira la segunda fracción, con el propósito de invertir de posición el numerador y el denominador y se aplica el método de multiplicación de fracciones.

Por ejemplo:

Se hace el cambio de la segunda fracción y el signo de división por multiplicación.

Luego se resuelve la multiplicación resultante.

Segundo método

Otra forma de realizar la división de fracciones es multiplicar en forma cruzada, de la siguiente forma:

Al igual que con las multiplicaciones, se debe revisar si el resultado es una fracción irreducible. Si no lo es, se procede a simplificar.

Tercer método

Otro método aplicado en la división de fracciones es la doble c. En este procedimiento, la segunda fracción se coloca debajo de la primera de la siguiente manera:Luego se procede a multiplicar los extremos de la fracción y el resultado de esa multiplicación se coloca como numerador. Luego se multiplican los números internos y el resultado de esta última multiplicación se coloca como denominador.Al igual que en los métodos anteriores, debemos asegurarnos que el resultado sea una fracción irreducible. Si no lo es, debemos aplicar la simplificación hasta obtenerla.

¿Sabías qué?

La multiplicación de fracciones cumple con las propiedades conmutativa y asociativa. Por otro lado, la división de fracciones no cumple con las propiedades asociativa ni distributiva.

VER INFOGRAFÍA

Multiplicación y división de fracciones con números enteros

El procedimiento para la multiplicación o división de fracciones con números enteros es muy sencillo. Para ello, es necesario representar primero al entero en forma de fracción y luego se resuelve la operación a través de los procedimientos explicados anteriormente.

Para expresar un entero en forma de fracción se debe colocar a la unidad como su denominador. Esto se hace ya que el número (1) como denominador no modifica el entero existente, porque todo número divido entre (1) es el mismo número.

Por ejemplo:

$\frac{5}{16}\times 18 =$

$\frac{5}{16}\times \frac{18}{{\mathbf{\color{Cyan} 1}}} =$
Ahora se procede a aplicar el método de la multiplicación como se explicó anteriormente. Numerador por numerador y denominador por denominador.Recuerda simplificar el resultado de la fracción.Este paso previo para convertir un número entero en fracción, también se aplica para la división de fracciones.

$\frac{3}{2}\div 2 =\frac{3}{2}\div\frac{2}{{\color{Red} \mathbf{}1}}=\frac{3}{2}\times \frac{2}{1}=\frac{6}{2}=3$

¡A practicar!

$\frac{17}{3}\times\frac{13}{5}=$

RESPUESTAS

$\frac{17}{3}\times \frac{13}{5}=\frac{221}{15}$

$\frac{26}{15}\times\frac{18}{28}=$

RESPUESTAS

$\frac{26}{15}\times \frac{18}{28}=\frac{26}{15}\times \frac{9}{14}= \frac{13}{5}\times \frac{3}{7}=\frac{39}{35}$

$\frac{41}{15} : \frac{20}{28}=$

RESPUESTAS

$\frac{41}{15} : \frac{20}{28}=\frac{\frac{41}{15}}{\frac{20}{28}}=\frac{\frac{41}{15}}{\frac{10}{14}}= \frac{574}{150}=\frac{287}{75}$

$\frac{36}{29} : \frac{58}{82}=$

RESPUESTAS

$\frac{36}{29} : \frac{58}{82}=\frac{\frac{36}{29}}{\frac{58}{82}}=\frac{\frac{36}{29}}{\frac{29}{41}}= \frac{1476}{841}$

$\frac{42}{43} : \frac{12}{13}=$

RESPUESTAS

$\frac{42}{43} : \frac{12}{13}=\frac{42}{43} \times \frac{13}{12}=\frac{546}{516}=\frac{273}{258}=\frac{91}{86}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Multiplicación y división de fracciones”

Este artículo explica cómo resolver multiplicaciones y divisiones de fracciones. También se enfoca en el procedimiento para su simplificación y ofrece una serie de ejercicios resueltos que facilitan su comprensión.

VER

Video “Fracciones decimales. Concepto y pasaje de fracción a número decimal”

En el siguiente video se explican los conceptos básicos de una fracción y se explica cómo se relacionan estos números con los decimales.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 5

APLICACIÓN DE LA POTENCIA Y DE LA RADICACIÓN

La potenciación y la radicación son operaciones estrechamente relacionadas. Mientras que la primera es una multiplicación condensada de un número por sí mismo n cantidad de veces, la segunda busca ese número que multiplicado por sí mismo resulte en el radicando. Si bien sus propiedades ya se trataron en temas anteriores, aquí aprenderás otras aplicaciones de estos cálculos.

operaciones que simplifican

Tanto la potenciación como la radicación son operaciones útiles para mostrar números de manera más simple. Por ejemplo, dentro del conjunto de los números reales encontramos otros tipos de números que no son sencillos de representar, como los números irracionales, cuyas expresiones decimales son ilimitadas y no periódicas, por lo que es más fácil mostrarlo como una raíz:

$\boldsymbol{\sqrt{2}=1,414213562...}$

$\boldsymbol{\sqrt{3}=1,732050807...}$

$\boldsymbol{\sqrt{5}=2,236067977...}$

Por su parte, la potencia nos ayuda a expresar números muy grandes o muy pequeños de manera resumida, pues la potencia no es más que una multiplicación abreviada.

La descomposición en factores primos y la notación científica son solo dos de los procesos que pueden verse involucrados con la potenciación y la radicación. Ambas operaciones son empleadas en múltiples cálculos cotidianos y en diversas áreas como la astronomía, la ingeniería o la biología.

Las bacterias son microorganismos que crecen con un ritmo acelerado. Este crecimiento suele expresarse en forma de potencia con exponente positivo y se grafica en forma de línea curva ascendente. Saber que tan rápida puede ser la reproducción de una bacteria puede prevenir focos de infección en un paciente y evitar que este sea una víctima mortal.

descomposición en factores primos

También conocida como descomposición factorial o factorización, consiste en escribir un número como producto de sus números primos. Cada vez que un factor se repita en la descomposición, este se convertirá en la base de una potencia y la cantidad de veces que se repita será el exponente.

– Ejemplo:

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un número natural que tiene dos divisores positivos: al uno y a sí mismo. Esta tabla muestra los primero números primos en color azul.

¿Sabías qué?

Las factorización es un paso indispensable para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de un número.

Las raíces también se pueden obtener por medio de la descomposición del radicando en sus números primos.

– Ejemplo:

Halla la raíz cuadrada de 625 por descomposición de sus factores primos.

1. Descomponemos al número 625 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cuadrada con producto de la descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt{625}=\sqrt{5^{4}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt{5^{4}}=5^{\frac{4}{2}}=5^{2}=25}$

4. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt{625}=25}$

– Otro ejemplo:

Halla la raíz cuadrada de 196 por descomposición de sus factores primos.

1. Descomponemos al número 196 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cuadrada con su radicando igual al producto de su descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt{196}=\sqrt{2^{2}\times 7^{2}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.

$\boldsymbol{\sqrt{2^{2}\times 7^{2}}=\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{7^{2}}}$

4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{7^{2}}=2^{\frac{2}{2}}\times 7^{\frac{2}{2}}=2\times 7=14}$

5. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt{196}=14}$

– Otro ejemplo:

Halla la raíz cúbica de 1.728 por descomposición de sus factores primos.

Descomponemos el número 1.728 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cúbica con su radicando igual al producto de su descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{1.728}=\sqrt[3]{2^{6}\times 3^{3}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{2^{6}\times 3^{3}}=\sqrt[3]{2^{6}}\times \sqrt[3]{3^{3}}}$

4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{2^{6}}\times \sqrt[3]{3^{3}}=2^{\frac{6}{3}}\times 3^{\frac{3}{3}}=2^{2}\times 3=4\times 3=12}$

5. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{1.728}=12}$

Velocidad de un auto en un accidente

Cuando ocurre una accidente de tránsito, por lo general las llantas de los autos dejan una marca sobre el pavimento al frenar. Esta marca es de gran utilidad para los fiscales de tránsito, pues la raíz cuadrada del producto entre la aceleración y la longitud de la marca de frenado es igual a la velocidad del vehículo al momento del choque.

$\boldsymbol{\sqrt{-2ax}}$

Donde:

a = aceleración

x = longitud de las marcas de frenado

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica es la expresión de números a partir de potencias de base 10. De forma general se representan así:

a × 10ⁿ

Donde:

a: es el número entero o decimal que multiplica a la potencia de base 10. Su módulo debe tener un valor igual o mayor que 1 pero menor que 10.

n: es un número entero distinto de cero que corresponde al exponente de la potencia de base 10. Es conocido también como “orden de magnitud”.

Se escriben de la siguientes manera:

10⁻⁵= 0,00001
10⁻⁴ = 0,0001
10⁻³ = 0,001
10⁻² = 0,01
10⁻¹ = 0,1
10⁰ = 1
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1.000
10⁴ = 10.000
10⁵ = 100.000

Signos del exponente

Cuando los números son muy pequeños o menores a 1 el exponente es negativo, mientras que si el número es muy grande o mayores a 1 el exponente es positivo.

Los exponentes positivos indican la cantidad de ceros que se encuentran a la derecha del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 2.000.000 representado en notación científica es 2 × 10⁶ en donde el exponente 6 indica la cantidad de ceros que están después del dos.
Los exponentes negativos indican la cantidad de ceros a la izquierda del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 0,00000004 representado en notación científica es 4 × 10⁻⁸. En este caso el signo menos indica que hay 8 ceros delante del 4.

Nuestro planeta Tierra se encuentra en la galaxia espiral llamada Vía Láctea, la cual tiene unos 100.000 años luz de diámetro. Los científicos estiman que hay alrededor de 400.000.000.000 estrellas en esta galaxia. Estos número tan grandes podemos expresarlos por medio de notación científica como 1 × 10⁵ años luz de diámetro y 4 × 10¹¹ estrellas.

– Otros ejemplos:

3,2 × 10⁻³ = 0,0032
4 × 10⁻⁴ = 0,0004
1,05 × 10⁶ = 1.050.000
6,78 × 10⁻¹ = 0,678
9,43 × 10² = 943

¿Sabías qué?

En el caso de números muy grandes, lo primero que se debe hacer es mover la coma decimal a un número que esté comprendido entre 1 y 10. El número de espacios recorridos hasta dicho número corresponderá al exponente de la potencia de base 10.

8.956.000.000.000 = 8,956 × 10¹²
243.000 = 2,43 × 10⁵
90.000 = 9 × 10⁴
0,00000045 = 4,5 × 10⁻⁷
0,007 = 7 × 10⁻³

¡A practicar!

1. Expresa los siguientes números como producto de sus factores primos.

Solución

520 = 2³ × 5 × 13

Solución

156 = 2² × 3 × 13

Solución

200 = 2³ × 5²

Solución

86 = 2 × 43

Solución

22 = 2 × 11

2. Calcula las siguientes raíces por descomposición de sus factores primos.

$\sqrt[3]{729}$

Solución

$\sqrt[3]{729}=9$

$\sqrt[3]{64}$

Solución

$\sqrt[3]{64}=4$

$\sqrt[3]{343}$

Solución

$\sqrt[3]{343}=7$

$\sqrt{324}$

Solución

$\sqrt{324}=18$

$\sqrt{400}$

Solución

$\sqrt{400}=20$

3. Calcula:

6 × 10⁸

Solución

6 × 10⁸ = 600.000.000

3 × 10⁻⁵

Solución

3 × 10⁻⁵ = 0,00003

1,26 × 10⁻⁶

Solución

1,26 × 10⁻⁶ = 0,00000126

1,78 × 10⁵

Solución

1,78 × 10⁵ = 178.000

2 × 10⁴

Solución

2 × 10⁴ = 20.000

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Notación científica”

Este recurso audiovisual le permitirá poner en práctica lo aprendido sobre la notación científica.

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Artículo “Factorización de números”

Este artículo detalla cómo descomponer números en sus factores primos y su relación con el cálculo del mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

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