CAPÍTULO 6 / TEMA 2

INTERPRETACIÓN DE DATOS

Existen diversas maneras de recopilar datos, por ejemplo, en un censo demográfico se hacen encuestas a nivel nacional para saber el tamaño de la población y composición del hogar. Cuando la cantidad de datos es numerosa, necesitamos un valor que sea característico de ese conjunto, para eso empleamos la media, la moda y la mediana.

Las medidas de tendencia central también son llamadas medidas de posición o de centralización. Estas hacen referencia a los valores centrales de una determinada distribución de datos. La moda, media aritmética y mediana comprenden este grupo de medidas. Es usual que las usemos junto a gráficos para comprender el comportamiento de un conjunto de elementos.

media aritmética

La media aritmética o promedio es utilizada con frecuencia en la vida cotidiana, este sencillo cálculo permite determinar el valor característico de un grupo. Dado un conjunto de números (n): x₁, x₂, x₃,…, x_n, la media aritmética es igual a la suma de todos los datos entre la cantidad total de estos. La fórmula es la siguiente:

$\overline{x}=\frac{x_{1}+\: x_{2}+\: x_{3}+\: ...\: +x_{n}}{n}$

– Ejemplo 1:

Pedro vendió galletas durante una semana y registró sus ventas en una tabla. ¿Cuántas galletas en promedio vendió Pedro por día?

Días	Galletas vendidas
Lunes	12
Martes	6
Miércoles	7
Jueves	8
Viernes	4
Sábado	7
Domingo	12

Para saber la cantidad de galletas que se vendieron en promedio solo tenemos que aplicar la fórmula. Sumamos todos los valores y dividimos entre la cantidad de días.

$\overline{x}=\frac{12+6+7+8+4+7+12}{7}=\frac{56}{7}=\boldsymbol{8}$

En promedio, Pedro vendió 8 galletas diarias.

– Ejemplo 2:

María obtuvo las siguientes calificaciones en cada corte del año: 15, 17, 18 y 16. ¿Cuál es su calificación promedio?

$\overline{x}=\frac{15+17+18+16}{4}=\frac{66}{4}=\boldsymbol{16,5}$

El promedio de calificaciones de María es 16,5 puntos.

¡Es tu turno!

Las estaturas de un grupo de alumnos son: 155 cm, 152 cm, 158 cm, 162 cm, 158 cm y 163 cm. ¿Cuál es la estatura promedio?

Solución

$\overline{x}=\frac{155+152+158+162+158+163}{6}=\frac{948}{6}=\boldsymbol{158}$

Este grupo de alumnos tiene una estatura promedio de 158 cm.

¿Sabías qué?

Los docentes suelen utilizar el cálculo del promedio o media aritmética para informar las calificaciones finales de sus alumnos.

LA MODA

La moda (Mo) es el valor que se presenta con mayor frecuencia en una muestra, es decir, es el valor que más se repite. Para hallar la moda es recomendable ordenar los datos y verificar la cantidad de veces que aparece cada uno.

– Ejemplo:

En una venta de helados se anotaron los sabores más vendidos durante la semana. El registro está en esta tabla. Obsérvala y responde: ¿cuál es la moda de los sabores?

Sabor del helado	Cantidad de helados vendidos
Fresa	45
Chocolate	56
Vainilla	34
Colita	29

La moda es el valor con mayor frecuencia, en este caso el sabor de helado que más se vendió fue el de chocolate porque 56 > 45 > 34 > 29. Así que:

Mo = 56

¡Es tu turno!

¿Cuál es la moda de los siguientes conjuntos de datos?

8, 5, 7, 8, 6, 10, 9, 7, 2 y 7.
Solución
Mo = 7

8, 10, 6, 10, 2, 5, 7, 8, 10, 10 y 8.
Solución
Mo = 10

Distribución bimodal

La moda es el valor con mayor frecuencia en las distribuciones de los datos y en gráfico estadístico es fácil de distinguir porque representa la punta más alta. Sin embargo, puede suceder que se encuentren dos modas, en este caso la distribución de los datos se llama “bimodal”. En la imagen podemos ver una distribución normal (izquierda) y una bimodal (derecha).

LA MEDIANA

La mediana (Me), tal como su nombre lo indica, corresponde a un punto medio, equidistante de los extremos. Esta corresponde al valor para el cual la cantidad de datos menores y mayores a él es igual. Cuando los elementos del conjunto de datos son un número impar, la mediana queda definida. Si la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio entre los dos datos centrales.

– Ejemplo 1:

Las calificaciones de 7 alumnos son: 12, 15, 12, 11, 16, 19 y 12. ¿Cuál es la mediana?

Primero organizamos de menor a mayor los datos, luego ubicamos el valor central.

11, 12, 12, 12, 15, 16, 19

Nota que hay tres valores tanto a la derecha como a la izquierda del centro. Por lo tanto:

Me = 12

– Ejemplo 2:

En un grupo de baile hay 8 alumnos cuyas edades son: 22, 16, 18, 21, 20, 21, 14, 17. ¿Cuál es la mediana?

Organizamos lo datos y ubicamos los valores centrales:

14, 16, 17, 18, 20, 21, 21, 22

Como la cantidad de datos es par, hay dos valores centrales: 18 y 20. Para saber la mediana calculamos la media aritmética de ambos valores:

$\overline{x}=\frac{18+20}{2}=\boldsymbol{19}$

Por lo tanto,

Me = 19

¡Es tu turno!

14, 16, 12, 12, 10, 18, 20, 14
Solución
Me = 14

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Solución
Me =16

TABLAS DE DOBLE ENTRADA

Las tablas de doble entrada son un recurso muy útil a la hora de organizar la información. Las mismas posibilitan presentar los datos de forma clara. Se trata de un conjunto de filas y columnas que representan la interacción entre dos o más variables.

– Ejemplo:

Esta tabla muestra la cantidad de veces que Marcos, Pedro y Lucía fueron al museo en tres meses:

	Febrero	Marzo	Abril
Marcos	1	2	3
Pedro	4	5	1
Lucía	5	4	2

De la tabla podemos concluir que:

Lucía visitó el museo más veces en febrero.
Pedro visitó el museo más veces en marzo.
Marcos visitó el museo más veces en abril.

¡Es tu turno!

1. Calcula el promedio de las visitas por persona.

Solución

Marcos: {1, 2, 3}

$\overline{x}=\boldsymbol{2}$

Pedro: {4, 5, 1}

$\overline{x}=\boldsymbol{3,33}$

Lucía: {5, 4, 2}

$\overline{x}=\boldsymbol{3,66}$

2. Calcula el promedio de las visitas por mes.

Solución

Febrero: {1, 4, 5}

$\overline{x}=\boldsymbol{3,33}$

Marzo: {2, 5, 4}

$\overline{x}=\boldsymbol{3,66}$

Abril: {3,1, 2}

$\overline{x}=\boldsymbol{2}$

Para presentar los datos recopilados se utilizan tablas que permiten apreciar en forma organizada los valores obtenidos. Estas tablas cuentan con algunos elementos como la frecuencia o la amplitud de la variable. Una vez confeccionada una tabla de valores estadísticos se puede realizar un gráfico para visualizar con mayor facilidad los resultados.

¡A practicar!

1. Un grupo de 11 alumnos recibió sus calificaciones de música: 7, 2, 5, 6 ,8 ,9 ,6, 5, 4, 6 y 8. ¿Cuál es el promedio, la moda y la mediana?

Solución

$\overline{x}=6$

$Mo=6$

$Me=6$

2. Las estaturas en centímetros de un grupo de alumnos son las siguientes: 139, 134, 128, 135, 129, 139. ¿Cuál es el promedio, la moda y la mediana?

Solución

$\overline{x}=134$

$Mo=139$

$Me=134,5$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Las medidas de tendencia central”

En el siguiente artículo encontrarás detalladas las principales medidas de tendencia central explicadas con ejercicios adecuados para la edad de los alumnos.

VER

CAPÍTULO 6 / TEMA 2

TABLAS Y GRÁFICOS

Las tablas y los gráficos son herramientas usadas para representar datos. Se emplean en votaciones electorales, en empresas e incluso en etiquetas de productos. Estos recursos son muy útiles, porque su diseño permite entender un problema de manera más clara y hace que el análisis de los datos sea más rápido.

tablas de frecuencia

Las tablas de frecuencia o estadísticas nos permiten organizar datos con su frecuencia respectiva. La frecuencia es el número de veces que se repite un dato. Están formadas por filas que son hileras de datos horizontales y por columnas que son hileras de datos verticales. Para leer una tabla hay que leer primero la columna del dato de interés y luego desplazarse horizontalmente hasta la frecuencia que existe para ese dato.

Por ejemplo, imaginemos que la maestra realiza esta pregunta a sus estudiantes: ¿qué edad tienes? Luego representa los resultados en la siguiente tabla:Como podrás observar, en la tabla aparecen organizadas las edades y el número de niños que tienen esa edad. De la misma podemos concluir lo siguiente:

Hay 14 niños que tienen 8 años.
Hay 19 niños que tienen 9 años.
hay 1 niño que tiene 10 años.

Las tablas nos suministran información y permiten relacionar los datos que en ellos se encuentran (edad y número de niños).

Las tablas y los gráficos se utilizan en varias áreas de la ciencia como la biología, la química, la geografía, la economía, la medicina, etc. La mayoría de las veces, los datos que son mostrados en tablas o gráficos que se obtienen a partir de encuestas y resultados de experimentos. Se suelen usar para representar la información obtenida de manera más clara.

tablas de frecuencia de doble entrada

Una tabla de frecuencia de doble entrada es una herramienta que ayuda a organizar datos y comparar varios elementos referentes al mismo tema.

Al igual que en las tablas de frecuencia, los datos se ordenan en filas y columnas. Se llaman tablas de doble entrada porque incluyen dos variables diferentes. La primera se sitúa en la parte superior y se ordena de forma horizontal, mientras que la segunda se suele ubicar en la primera columna y se ordena de forma vertical.

¿Sabías qué?

Una variable es toda característica que puede medirse y que puede adoptar diferentes valores.

– Veamos un ejemplo:

Roberto y Camila registraron en una tabla el número de películas que vieron cada día en una semana y estos fueron los resultados que obtuvieron:

xxxxxxxxxx	Lunes	Martes	Miércoles	Jueves	Viernes	Sábado	Domingo
Roberto	2	4	2	3	2	4	1
Camila	3	2	4	3	3	1	2

-¿Cuántas películas vio Roberto el lunes?

Para conocer cuántas películas vio Roberto el lunes, debemos ubicar la fila donde aparece el nombre de Roberto y luego ubicar la columna del día lunes. La intersección entre dicha fila y dicha columna será la respuesta:

xxxxxxxxxx	Lunes	Martes	Miércoles	Jueves	Viernes	Sábado	Domingo
Roberto	2	4	2	3	2	4	1
Camila	3	2	4	3	3	1	2

Roberto vio 2 películas el día lunes.

-¿Cuántas películas vio Camila el día viernes?

Para responder esta pregunta nos ubicamos en la fila donde aparece el nombre de Camila y luego nos desplazamos hasta la columna del día viernes, la respuesta será la intersección entre dicha fila y dicha columna.

xxxxxxxxxx	Lunes	Martes	Miércoles	Jueves	Viernes	Sábado	Domingo
Roberto	2	4	2	3	2	4	1
Camila	3	2	4	3	3	1	2

Camila vio 3 películas el día viernes.

gráficos de barra

Un gráfico de barra es una forma de representar un conjunto de datos a través de barras del mismo ancho, es uno de los gráficos más sencillos y uno de los más utilizados, seguramente lo has visto en el periódico o en la televisión cuando se habla de la variación de un fenómeno.

Este tipo de gráficos está formado por barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores que se indican en la escala. Sirven para comparar dos o más valores y están compuestos por dos ejes:

El eje horizontal: en este eje se coloca la variable, es decir; una característica o cualidad del elemento que se estudia y puede medirse. Por ejemplo, la edad de una persona, su peso, el lugar de nacimiento, su estatura, etc.
El eje vertical: en este eje se coloca la frecuencia del dato.

– Por ejemplo:

Se realizó una encuesta a 20 niños sobre su asignatura preferida, 7 respondieron Ciencias Naturales, 8 eligieron Lengua y 5 escogieron Matemáticas. De esta forma, sabemos que la frecuencia de la asignatura Ciencias Naturales es 7, la de la Lengua es 8 y la variable Matemáticas es 5. La representación gráfica es la siguiente:

Si invertimos los ejes y colocamos la variable en el eje vertical y la frecuencia en el eje horizontal, tendremos un diagrama de barras horizontal, es decir; las barras estarían en posición horizontal.

¿Sabías qué?

Los gráficos son herramientas necesarias para la comprensión de diferentes disciplinas como la demografía.

¿Cómo se elabora un gráfico de barra?

Para elaborar gráficos de barra podemos utilizar la información que nos suministra la tabla de frecuencia. Una vez analizada:

Une dos líneas, una vertical y otra horizontal, hazlas coincidir en un punto en forma de L que será el origen de ambas. Estas serán los ejes. La línea vertical representará la escala o el eje de la frecuencia. La línea horizontal se empleará para describir a las variables estudiadas.
Dibuja las barras en su variable correspondiente de forma tal que cada barra tenga la misma longitud de su frecuencia.
Escribe el nombre del gráfico, las variables y las unidades de medida.

Tipos de gráficos de barra

Existen dos tipos principales:

Gráfico de barra sencillo: representa los datos de una única serie o conjunto de datos. El ejemplo que vimos anteriormente es de este tipo.
Gráfico de barra agrupado: compara los datos de dos o más series o conjuntos de datos, con este gráfico se pueden representar las tablas de frecuencia de doble entrada. Veamos un ejemplo de este tipo:

Supongamos que la encuesta del ejemplo anterior sobre las asignaturas favoritas se realizó en dos clases diferentes de primaria (3º y 4º grado). Vamos a representar cada grado con un color diferente. Sobre una misma variable se representan las frecuencia que obtuvo en cada grado. Para facilitar la lectura se suelen usar colores diferentes para cada conjunto de datos. En este caso el diagrama sería así:

pictogramas con escala

Un pictograma es un tipo de gráfico donde la información se grafica a través de dibujos o figuras, al igual que el gráfico de barra su propósito es representar datos.

Este tipo de gráficos está formado por dibujos o figuras que son proporcionales a los valores que representan. Está compuesto por dos ejes:

El eje horizontal: en este eje se coloca la variable, es decir, una característica o cualidad de un individuo o elemento.
El eje vertical: en este eje se coloca la frecuencia del dato.

¿Cómo se elaboran los pictogramas con escala?

Para elaborar pictogramas podemos utilizar la información que nos suministra la tabla de frecuencia. Y debemos realizar los siguientes pasos:

Une dos líneas: dibuja los ejes horizontales y verticales en forma de L.
Registra en la línea vertical una escala numérica a partir de cero (0) que servirá para representar la frecuencia.
Debajo de la línea horizontal escribe los nombres de las variables.
Haz que coincidan los datos en estudio con su frecuencia, a través de dibujos. Se suelen usar dibujos asociados al problema de estudio.
Escribe el título del gráfico, escala y el nombre de las variables.

Veamos un ejemplo:

Se hizo una encuesta a 12 niños sobre su preferencia de animales domésticos, 6 niños eligieron a los perros, 2 eligieron a los conejos y 4 eligieron a los gatos. El pictograma que se obtuvo fue el siguiente:

Cada dibujo o figura representa un niño que eligió esa opción.

VER INFOGRAFÍA

¿cómo graficar los resultados de una encuesta

Los resultados de una encuesta se ordenan en una tabla de frecuencia, que según el caso, puede ser simple o de doble entradas. Los resultados se pueden graficar mediante gráficos de barra o pictogramas. El tipo de gráfico depende de la investigación. Por ejemplo, una empresa o laboratorio se suelen usar gráficos de barra porque las escalas son más precisas y son más formales. Los pictogramas se suelen usar en la prensa escrita porque permiten que el contenido sea captado de manera más simple y su diseño es más amigable.

¡A practicar!

1. Se encuestó a un grupo de 20 niños y 20 niñas para determinar qué tipo de publicaciones eran sus favoritas y se obtuvieron los siguientes resultados:

Los niños:

9 niños eligieron los cuentos.
7 niños eligieron las historietas.
4 niños eligieron las revistas.

Las niñas:

8 niñas eligieron los cuentos.
5 niñas eligieron las historietas.
7 niñas eligieron las revistas.

Representa los datos en una tabla de frecuencia y en un gráfico de barras.

Solución

2. Se encuestaron a un grupo de 15 personas sobre sus actividades preferidas y se obtuvieron los siguientes resultados:

7 personas seleccionaron el baile.
5 personas seleccionaron el canto.
3 personas seleccionaron la actuación.

Ordena los datos en una tabla de frecuencia y represéntalos en un pictograma.

Solución

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Gráficos estadísticos”

El siguiente material explica qué son los gráficos estadísticos y sus diferentes tipos.

VER

Artículo “Estadística: tabla de valores”

El artículo explica qué son las variables y se enfoca en cómo construir una tabla de valores. También propone una serie de ejercicio con respuestas para practicar.

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