Los gráficos son representaciones visuales de alguna información numérica resultante de un proceso estadístico. Son muy efectivos para mostrar relaciones entre diferentes valores y permiten comprender fácilmente distintas situaciones de la realidad. Los datos disponibles de una población se presentan de tal manera que los mismos puedan ser visualizados sistemática y resumidamente. Los gráficos pueden ser de barras, circulares o lineales.
Los gráficos son una gran herramienta visual, porque captan la atención, dan información puntual de los datos y permiten una comparación eficaz.
INTERPRETACIÓN DE DATOS
Los cuadros, los gráficos y las tablas nos brindan información muy valiosa sobre una población determinada. Sin embargo, cuando la cantidad de datos es muy numerosa conviene buscar un valor característico del conjunto, como las que aportan las medidas de tendencia central. La media aritmética o promedio es igual a cociente entre la suma de todos los valores entre la cantidad de valores; la moda es el valor que se presenta con mayor frecuencia; y la mediana, tal como su nombre lo indica, corresponde a un punto medio, equidistante de los extremos.
Un conjunto de datos sin el análisis adecuado solo son valores o números. Requieren de lectura e interpretación adecuada para volverse útiles.
PROBABILIDAD
La probabilidad es un mecanismo matemático que nos permite estudiar sucesos aleatorios, es decir, operaciones cuyos resultados no pueden ser anticipados con seguridad, como lanzar un dado, lanzar una moneda o sacar una carta específica de un mazo. A través del cálculo de probabilidad se puede conocer cuántas posibilidades existen de que un fenómeno tenga lugar o no. A cada una de estas posibilidades se las denomina evento o suceso. El conjunto de eventos posibles constituye lo que se denomina espacio muestral.
Las probabilidades no predicen el futuro, únicamente valoran las diferentes posibilidades de un evento. Esta valoración es producto de un cálculo matemático que va de 0 (imposible) a 1 (totalmente posible).
¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA?
La estadística es una ciencia dentro del área de las matemáticas que se encarga de interpretar los datos obtenidos de la observación de un fenómeno en particular. Busca reunir información sobre determinados individuos o grupos, organizar datos y permitir una correcta interpretación. La finalidad de este proceso es tomar decisiones en base a las predicciones que pueden realizarse.
Los procedimientos estadísticos se hacen sobre el total de una población o sobre una muestra. Por ejemplo, cuando nos hacen un análisis de sangre no toman toda nuestra sangre, solo un poco de esta, es decir, una muestra.
Existen diversas maneras de recopilar datos, por ejemplo, en un censo demográfico se hacen encuestas a nivel nacional para saber el tamaño de la población y composición del hogar. Cuando la cantidad de datos es numerosa, necesitamos un valor que sea característico de ese conjunto, para eso empleamos la media, la moda y la mediana.
Las medidas de tendencia central también son llamadas medidas de posición o de centralización. Estas hacen referencia a los valores centrales de una determinada distribución de datos. La moda, media aritmética y mediana comprenden este grupo de medidas. Es usual que las usemos junto a gráficos para comprender el comportamiento de un conjunto de elementos.
media aritmética
La media aritmética o promedio es utilizada con frecuencia en la vida cotidiana, este sencillo cálculo permite determinar el valor característico de un grupo. Dado un conjunto de números (n): x1, x2, x3,…, xn, la media aritmética es igual a la suma de todos los datos entre la cantidad total de estos. La fórmula es la siguiente:
– Ejemplo 1:
Pedro vendió galletas durante una semana y registró sus ventas en una tabla. ¿Cuántas galletas en promedio vendió Pedro por día?
Días
Galletas vendidas
Lunes
12
Martes
6
Miércoles
7
Jueves
8
Viernes
4
Sábado
7
Domingo
12
Para saber la cantidad de galletas que se vendieron en promedio solo tenemos que aplicar la fórmula. Sumamos todos los valores y dividimos entre la cantidad de días.
En promedio, Pedro vendió 8 galletas diarias.
– Ejemplo 2:
María obtuvo las siguientes calificaciones en cada corte del año: 15, 17, 18 y 16. ¿Cuál es su calificación promedio?
El promedio de calificaciones de María es 16,5 puntos.
¡Es tu turno!
Las estaturas de un grupo de alumnos son: 155 cm, 152 cm, 158 cm, 162 cm, 158 cm y 163 cm. ¿Cuál es la estatura promedio?
Solución
Este grupo de alumnos tiene una estatura promedio de 158 cm.
¿Sabías qué?
Los docentes suelen utilizar el cálculo del promedio o media aritmética para informar las calificaciones finales de sus alumnos.
LA MODA
La moda (Mo) es el valor que se presenta con mayor frecuencia en una muestra, es decir, es el valor que más se repite. Para hallar la moda es recomendable ordenar los datos y verificar la cantidad de veces que aparece cada uno.
– Ejemplo:
En una venta de helados se anotaron los sabores más vendidos durante la semana. El registro está en esta tabla. Obsérvala y responde: ¿cuál es la moda de los sabores?
Sabor del helado
Cantidad de helados vendidos
Fresa
45
Chocolate
56
Vainilla
34
Colita
29
La moda es el valor con mayor frecuencia, en este caso el sabor de helado que más se vendió fue el de chocolate porque 56 > 45 > 34 > 29. Así que:
Mo = 56
¡Es tu turno!
¿Cuál es la moda de los siguientes conjuntos de datos?
8, 5, 7, 8, 6, 10, 9, 7, 2 y 7.
Solución
Mo = 7
8, 10, 6, 10, 2, 5, 7, 8, 10, 10 y 8.
Solución
Mo = 10
Distribución bimodal
La moda es el valor con mayor frecuencia en las distribuciones de los datos y en gráfico estadístico es fácil de distinguir porque representa la punta más alta. Sin embargo, puede suceder que se encuentren dos modas, en este caso la distribución de los datos se llama “bimodal”. En la imagen podemos ver una distribución normal (izquierda) y una bimodal (derecha).
LA MEDIANA
La mediana (Me), tal como su nombre lo indica, corresponde a un punto medio, equidistante de los extremos. Esta corresponde al valor para el cual la cantidad de datos menores y mayores a él es igual. Cuando los elementos del conjunto de datos son un número impar, la mediana queda definida. Si la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio entre los dos datos centrales.
– Ejemplo 1:
Las calificaciones de 7 alumnos son: 12, 15, 12, 11, 16, 19 y 12. ¿Cuál es la mediana?
Primero organizamos de menor a mayor los datos, luego ubicamos el valor central.
11, 12, 12, 12, 15, 16, 19
Nota que hay tres valores tanto a la derecha como a la izquierda del centro. Por lo tanto:
Me = 12
– Ejemplo 2:
En un grupo de baile hay 8 alumnos cuyas edades son: 22, 16, 18, 21, 20, 21, 14, 17. ¿Cuál es la mediana?
Organizamos lo datos y ubicamos los valores centrales:
14, 16, 17, 18, 20, 21, 21, 22
Como la cantidad de datos es par, hay dos valores centrales: 18 y 20. Para saber la mediana calculamos la media aritmética de ambos valores:
Por lo tanto,
Me = 19
¡Es tu turno!
14, 16, 12, 12, 10, 18, 20, 14
Solución
Me = 14
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Solución
Me =16
TABLAS DE DOBLE ENTRADA
Las tablas de doble entrada son un recurso muy útil a la hora de organizar la información. Las mismas posibilitan presentar los datos de forma clara. Se trata de un conjunto de filas y columnas que representan la interacción entre dos o más variables.
– Ejemplo:
Esta tabla muestra la cantidad de veces que Marcos, Pedro y Lucía fueron al museo en tres meses:
Febrero
Marzo
Abril
Marcos
1
2
3
Pedro
4
5
1
Lucía
5
4
2
De la tabla podemos concluir que:
Lucía visitó el museo más veces en febrero.
Pedro visitó el museo más veces en marzo.
Marcos visitó el museo más veces en abril.
¡Es tu turno!
1. Calcula el promedio de las visitas por persona.
Solución
Marcos: {1, 2, 3}
Pedro: {4, 5, 1}
Lucía: {5, 4, 2}
2. Calcula el promedio de las visitas por mes.
Solución
Febrero: {1, 4, 5}
Marzo: {2, 5, 4}
Abril: {3,1, 2}
Para presentar los datos recopilados se utilizan tablas que permiten apreciar en forma organizada los valores obtenidos. Estas tablas cuentan con algunos elementos como la frecuencia o la amplitud de la variable. Una vez confeccionada una tabla de valores estadísticos se puede realizar un gráfico para visualizar con mayor facilidad los resultados.
¡A practicar!
1. Un grupo de 11 alumnos recibió sus calificaciones de música: 7, 2, 5, 6 ,8 ,9 ,6, 5, 4, 6 y 8. ¿Cuál es el promedio, la moda y la mediana?
Solución
2. Las estaturas en centímetros de un grupo de alumnos son las siguientes: 139, 134, 128, 135, 129, 139. ¿Cuál es el promedio, la moda y la mediana?
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Las medidas de tendencia central”
En el siguiente artículo encontrarás detalladas las principales medidas de tendencia central explicadas con ejercicios adecuados para la edad de los alumnos.
La recolección y conteo de datos es el procedimiento que se lleva a cabo para la obtención de información o respuesta de diferentes variables. Los datos pueden clasificarse como cualitativos cuando expresan cualidades o cuantitativos cuando expresan cantidades. Los datos cuantitativos se diferencian en continuos si tienen cualquier valor dentro de un intervalo; y discretos si solo ciertos valores están en un intervalo.
Los términos “niño” y “adulto” son datos cualitativos sobre una persona, mientras que la estatura, como “1,65 metros” o “1,2 metros” son datos cuantitativos.
gráficos estadísticos
Los gráficos estadísticos son una herramienta fundamental para lograr la correcta interpretación de los datos recolectados, ya que ofrecen un gran recurso visual. Existen diversos tipos de estos como el gráfico de barras, el poligonal o el circular. Los elementos principales de cada uno de estos son el título, el cuerpo y la escala.
Los gráficos de barras representan variables cualitativas o cuantitativas discretas, los poligonales representan magnitudes y frecuencias de diferentes variables y los circulares expresan porcentajes y proporciones de una variable en particular.
medidas de tendencia central
Las medidas de tendencia central se utilizan para poder representar una distribución de datos en un solo valor característico. Para esto puede calcularse la moda (Mo), la mediana (Md) o la media (). Estas estimaciones pueden hacerse a partir de la organización de todos los datos.
La moda es el valor de más frecuencia, la mediana es el valor central de la distribución de todos los datos y la media se calcula como la sumatoria de todos los valores dividido entre la cantidad total.
eventos y probabilidad
Los eventos aleatorios pueden ser seguros o imposibles, por ejemplo, al lanzar un moneda es seguro que saldrá cara o sello, pero es imposible que salga una tercera opción. La probabilidad de que ocurra un evento se mide al dividir la cantidad de casos favorables entre la cantidad de casos posibles, así, la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es de 1/2. La probabilidad también se puede expresar como porcentaje. Por otro lado, los diagramas de Venn también nos ayudan a determinar visualmente probabilidades.
En los juegos de azar la suerte tiene un papel importante, no siempre el que tiene mejor habilidad gana.
Son también denominadas medidas de posición o de centralización. Como su nombre lo indica, hacen referencia a los valores centrales de una determinada distribución de datos. La media aritmética, la mediana y la moda comprenden este grupo de medidas. Estas medidas cumplen la función de resumir en un solo número las características de un conjunto de datos.
la media ARITMÉTICA
La mediaaritmética (), también conocida como promedio, es el cálculo del valor característico de una distribución de datos. Se calcula al sumar todos los valores y luego dividir el resultado entre la cantidad total de datos. Si el cálculo se realiza con una muestra aleatoria, esta debe ser representativa de la muestra total.
Así que, dado un conjunto de números (n): x1, x2, x3, …xn. La media aritmética se determina por la siguiente fórmula:
– Ejemplo:
Un grupo de 12 estudiantes obtuvo las siguientes calificaciones en una asignatura: 4, 6, 6, 10, 12, 12, 13, 15, 16, 17, 17 y 19. ¿Cuál es la media?
Aplicamos la fórmula de media aritmética:
En Estadística podemos clasificar a las medidas en dos grandes grupos: medidas de posición y medidas de dispersión. Las medidas de posición nos permiten obtener un valor único (central) que representa las características del conjunto de datos. En cambio, las medidas de dispersión cuantifican las variaciones con respecto a la tendencia central.
Media aritmética para datos agrupados
Cuando los datos ya están agrupados en una tabla de frecuencia tenemos que:
Multiplicar cada dato (x) por su frecuencia (f).
Sumar el total de f · x.
Sumar el total de f.
Dividir el total de f · x. entre la suma total de f.
– Ejemplo:
La siguiente tabla muestra la frecuencia de notas obtenidas en una clase:
Notas (x)
Frecuencia (f)
4
3
10
8
15
6
18
2
Multiplicamos cada dato (x) por su frecuencia, luego sumamos los productos y los dividimos entre las frecuencias totales:
Notas (x)
Frecuencia (f)
f · x
4
3
12
10
8
80
15
6
90
18
2
36
Total
19
218
¿Sabías qué?
La media aritmética presenta una desventaja: es sensible a datos atípicos, lo que arroja un valor promedio alejado de la realidad.
la moda
La moda(Mo) es el valor que tiene mayor frecuencia, es decir, es valor que más se repite. Para hallar la moda siempre es conveniente ordenar los datos que se obtienen para verificar la cantidad de veces que aparece cada uno.
– Ejemplo:
Las calificaciones obtenidas en un examen fueron: 10, 15, 4, 10, 10, 8, 10, 4, 15, 4, 10, 10, 15, 10, 10, 15, 15, 15 y 18. ¿Cuál es la moda?
Luego contamos la repetición o frecuencia de cada dato y elegimos el que más se repita:
4
→
3 veces
8
→
1 vez
10
→
8 veces
15
→
6 veces
18
→
1 veces
Por lo tanto,
Distribución bimodal
La moda es el valor con mayor frecuencia en las distribuciones de los datos. Sin embargo, puede suceder que se encuentren dos modas, que reciben el nombre de “distribución bimodal”.
la mediana
La mediana (Md) corresponde al valor para el cual la cantidad de datos menores y mayores a él es igual. Cuando los elementos del conjunto de datos son un número impar, la mediana queda definida. Si la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio entre los dos datos centrales.
– Ejemplo 1:
En un equipo de fútbol hay 11 jugadores, las edades de los mismos son: 20, 23, 19, 16, 18, 22, 19, 20, 21, 19 y 17. ¿Cuál es la mediana?
Primero organizamos los datos y ubicamos el valor que esté en el medio:
16, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 22, 23
Nota que hay cinco valores a la izquierda y cinco valores a la derecha.
Entonces,
– Ejemplo 2:
En un grupo de teatro hay 10 alumnos, halla la mediana correspondiente a las edades de los mismos: 15, 12,14, 10, 14, 13, 16, 12, 13 y 16.
Como la cantidad de datos es par, los organizamos y calculamos el promedio de los valores medios:
10, 12, 12, 13,13, 14,14, 15, 16, 16
Por lo tanto,
gráficas de medida de tendencia central
En distribuciones simétricas la media aritmética, mediana y moda coinciden.
Las distribuciones asimétricas pueden ser:
Asimétrica hacia la izquierda.
Asimétrica hacia la derecha.
Uno de los usos más frecuentes que le damos a las medidas de tendencia central es cuando calculamos nuestro promedio de calificaciones. Este nos indica cómo nos fue en una asignatura en particular o en todo un año escolar. Tener un buen promedio de calificaciones nos ayuda no solo a pasar al nivel superior, sino también a obtener becas académicas.
¡A practicar!
Calcula la media aritmética, la moda y la mediana de los siguientes conjuntos numéricos.
Al lanzar una moneda al aire, ¿sabemos si saldrá cara o sello? Es seguro que la moneda caerá de un lado o del otro, pero no sabemos con exactitud cuál de esas dos opciones tendrá lugar. Por eso recurrimos a la probabilidad, la cual sirve para predecir de la mejor manera si un evento es posible o no.
fENÓMENOS aleatorios y deterministas
La probabilidad surgió de la necesidad de medir o determinar cuantitativamente la certeza o duda de que un fenómeno ocurra o no. A los fenómenos predecibles se los llama determinísticos; en cambio, a los fenómenos que están relacionados con el azar se los llama aleatorios.
Fenómenos aleatorios
Son los que suceden al azar y no es posible predecir su resultado. Ejemplos:
Al lanzar una moneda al aire se desconoce si al caer la cara superior será sello o cara.
Al lanzar un dado no es posible saber cuál de todas las caras quedará en la parte superior.
Fenómenos determinísticos
Son los que suceden con seguridad; es decir, son los fenómenos que al repetirse en las mismas condiciones producen los mismos resultados. Ejemplos:
Al arrojar un dado, el color que se observe en la cara superior siempre será el mismo.
La hora de apertura de un banco es siempre la misma.
Los juegos de azar y sus probabilidades
Los juegos de azar son eventos aleatorios de los cuales no se conocen sus resultados. Pierre Fermat y Blaise Pascal estudiaron estos juegos para darles una explicación matemática. Estudiaron lo que pasaba al realizar una misma acción al azar, como lanzar una moneda al aire, y observaron los resultados. Así apareció la teoría de la probabilidad, que trata de prever cuál será el resultado de un fenómeno determinado.
FENÓMENOS ALEATORIOS
Entre los fenómenos aleatorios hay suceso que son más o menos probables. Por ejemplo:
Marta hace girar esta ruleta y no sabe qué color saldrá cuando pare.
Como hay más zonas verdes que amarillas, es más probable que salga el color verde que el color amarillo.
Como hay menos zonas moradas que rojas, es menos probable que salga el color morado que el color rojo.
Como hay igual cantidad de zonas verdes y moradas, es igual de probable que salgan ambos colores.
El color rojo es el más probable que salga porque hay más zonas con ese color en toda la ruleta.
El color amarillo es el menos probable que salga porque hay menos zonas con ese color en toda la ruleta.
– Otro ejemplo:
José debe sacar una bola de esta caja con los ojos cerrados.
Como hay más bolas azules que verdes, sacar una bola azul es más probable que sacar una bola verde.
Como hay menos bolas amarillas que azules, sacar una bola amarilla es menos probable que sacar una bola azul.
Como hay la misma cantidad de bolas rojas y amarillas, sacar una bola roja es igual de probable que sacar una bola amarilla.
pROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UN FENÓMENO
Podemos determinar la probabilidad de ocurrencia de un acontecimiento si dividimos el número de casos favorables entre el número de casos igualmente posibles.
– Ejemplo:
Observa esta ruleta.
Tiene 10 zonas con diferentes colores:
5 son rojas.
2 son amarillas.
2 son verdes.
1 es morada.
Cada color tiene una probabilidad distinta de salir tras hacer girar la ruleta:
La probabilidad de que salga una el color rojo es:
La probabilidad de que salga el color amarillo es:
La probabilidad de que salga el color verde es:
La probabilidad de que salga el colormorado es:
El color con mayor probabilidad de salir es el rojo porque > >
¿Sabías qué?
La probabilidad de que caiga un rayo encima de una persona es de 1 entre 3 millones.
¡Es tu turno!
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número mayor a 4?
Solución
Posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 → Hay 6.
Resultados mayores a 4: 5 y 6 → Hay 2.
La probabilidad de que salga un número mayor a 4 es .
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par?
Solución
Posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 → Hay 6.
Resultados pares: 2, 4 y 6 → Hay 3.
La probabilidad de que salga un número par es .
La paradoja del cumpleaños
Esta paradoja hace la siguiente pregunta: ¿cuántas personas se necesitan como mínimo para que sea más probable que al menos 2 de ellas cumplan años el mismo día? A pesar de lo que nos indica la intuición, si mantenemos el supuesto de que los años tienen 365 días, la paradoja establece que hacen falta 23 personas para que haya una probabilidad del 50 % de que al menos 2 de ellas cumplan años el mismo día. Y resulta que si en una fiesta hay más de 57 invitados, la probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día es del 99 % .
media o promedio
El la media aritmética o promedio se calcula al sumar todos los datos de un conjunto para luego dividirlo entre el número total de datos. Este resultado sirve como referencia, pues se considera el valor característico de un conjunto.
– Ejemplo:
En el equipo de fútbol del colegio, las estaturas (en centímetros) de 11 jugadores son las siguientes: 150, 160, 155, 153, 156, 158, 160, 157, 162, 165 y 154. ¿Cuál es la altura promedio de lo jugadores?
La media o promedio será igual a la suma de todas las estaturas divididas entre la cantidad de jugadores.
Los jugadores de fútbol tienen una estatura promedio de 162 centímetros.
– Otro ejemplo:
José registró las temperaturas máximas durante una semana en su ciudad. Los resultados fueron estos:
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
21 °C
24 °C
21 °C
18 °C
18 °C
21 °C
24 °C
¿Cuál es la temperatura promedio?
La temperatura promedio registrada fue de 21 °C.
¡A practicar!
1. Clasifica los resultados de los siguientes eventos como determinísticos o aleatorios.
a) Sacar al azar una moneda de un monedero.
Solución
Aleatorio.
b) Introducir una bolsa de té a una taza con agua hirviendo.
Solución
Determinístico.
c) Elegir un número de lotería.
Solución
Aleatorio.
d) Lanzar un dado a un tablero de juego.
Solución
Aleatorio.
2. Observa la ruleta.
a) Completa con “más probable”, “menos probable” o “igual de probable”.
Es ____ que salga la letra A que la letra C.
Solución
Es más probable que salga la letra A que la letra C.
Es ____ que salga la letra I que la letra A.
Solución
Es menos probable que salga la letra I que la letra A.
Es ____ que salga la letra U que la letra C.
Solución
Es igual de probable que salga la letra U que la letra C.
Es ____ que salga la letra O que la letra J.
Solución
Es más probable que salga la letra O que la letra J.
Es ____ que salga la letra F que la letra A.
Solución
Es menos probable que salga la letra F que la letra A.
Es ____ que salga la letra J que la letra F.
Solución
Es igual de probable que salga la letra J que la letra F.
b) Responde.
¿Es probable que salga una letra?
Solución
Sí.
¿Es probable que salga un número?
Solución
No.
¿Cuál es la probabilidad de que salga la letra A?
Solución
¿Cuál es la probabilidad de que salga la letra U?
Solución
¿Cuál es la probabilidad de que salga la letra C?
Solución
¿Cuál es la probabilidad de que salga la letra O?
Solución
¿Cuál es la probabilidad de que salga la letra F?
Solución
¿Cuál es la probabilidad de que salga la letra I?
Solución
¿Cuál es la probabilidad de que salga la letra J?
Solución
3. Los pesos en kilogramos de 15 amigos son: 32, 30, 27, 32, 27, 30, 27, 26, 25, 22, 25, 32, 29, 25 y 31. ¿Cuál es el peso medio de estos amigos?
Solución
El peso medio de los amigos es 28 kilogramos.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Probabilidad”
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