CAPÍTULO 6 / TEMA 2

INTERPRETACIÓN DE DATOS

Existen diversas maneras de recopilar datos, por ejemplo, en un censo demográfico se hacen encuestas a nivel nacional para saber el tamaño de la población y composición del hogar. Cuando la cantidad de datos es numerosa, necesitamos un valor que sea característico de ese conjunto, para eso empleamos la media, la moda y la mediana.

Las medidas de tendencia central también son llamadas medidas de posición o de centralización. Estas hacen referencia a los valores centrales de una determinada distribución de datos. La moda, media aritmética y mediana comprenden este grupo de medidas. Es usual que las usemos junto a gráficos para comprender el comportamiento de un conjunto de elementos.

media aritmética

La media aritmética o promedio es utilizada con frecuencia en la vida cotidiana, este sencillo cálculo permite determinar el valor característico de un grupo. Dado un conjunto de números (n): x₁, x₂, x₃,…, x_n, la media aritmética es igual a la suma de todos los datos entre la cantidad total de estos. La fórmula es la siguiente:

$\overline{x}=\frac{x_{1}+\: x_{2}+\: x_{3}+\: ...\: +x_{n}}{n}$

– Ejemplo 1:

Pedro vendió galletas durante una semana y registró sus ventas en una tabla. ¿Cuántas galletas en promedio vendió Pedro por día?

Días	Galletas vendidas
Lunes	12
Martes	6
Miércoles	7
Jueves	8
Viernes	4
Sábado	7
Domingo	12

Para saber la cantidad de galletas que se vendieron en promedio solo tenemos que aplicar la fórmula. Sumamos todos los valores y dividimos entre la cantidad de días.

$\overline{x}=\frac{12+6+7+8+4+7+12}{7}=\frac{56}{7}=\boldsymbol{8}$

En promedio, Pedro vendió 8 galletas diarias.

– Ejemplo 2:

María obtuvo las siguientes calificaciones en cada corte del año: 15, 17, 18 y 16. ¿Cuál es su calificación promedio?

$\overline{x}=\frac{15+17+18+16}{4}=\frac{66}{4}=\boldsymbol{16,5}$

El promedio de calificaciones de María es 16,5 puntos.

¡Es tu turno!

Las estaturas de un grupo de alumnos son: 155 cm, 152 cm, 158 cm, 162 cm, 158 cm y 163 cm. ¿Cuál es la estatura promedio?

Solución

$\overline{x}=\frac{155+152+158+162+158+163}{6}=\frac{948}{6}=\boldsymbol{158}$

Este grupo de alumnos tiene una estatura promedio de 158 cm.

¿Sabías qué?

Los docentes suelen utilizar el cálculo del promedio o media aritmética para informar las calificaciones finales de sus alumnos.

LA MODA

La moda (Mo) es el valor que se presenta con mayor frecuencia en una muestra, es decir, es el valor que más se repite. Para hallar la moda es recomendable ordenar los datos y verificar la cantidad de veces que aparece cada uno.

– Ejemplo:

En una venta de helados se anotaron los sabores más vendidos durante la semana. El registro está en esta tabla. Obsérvala y responde: ¿cuál es la moda de los sabores?

Sabor del helado	Cantidad de helados vendidos
Fresa	45
Chocolate	56
Vainilla	34
Colita	29

La moda es el valor con mayor frecuencia, en este caso el sabor de helado que más se vendió fue el de chocolate porque 56 > 45 > 34 > 29. Así que:

Mo = 56

¡Es tu turno!

¿Cuál es la moda de los siguientes conjuntos de datos?

8, 5, 7, 8, 6, 10, 9, 7, 2 y 7.
Solución
Mo = 7

8, 10, 6, 10, 2, 5, 7, 8, 10, 10 y 8.
Solución
Mo = 10

Distribución bimodal

La moda es el valor con mayor frecuencia en las distribuciones de los datos y en gráfico estadístico es fácil de distinguir porque representa la punta más alta. Sin embargo, puede suceder que se encuentren dos modas, en este caso la distribución de los datos se llama “bimodal”. En la imagen podemos ver una distribución normal (izquierda) y una bimodal (derecha).

LA MEDIANA

La mediana (Me), tal como su nombre lo indica, corresponde a un punto medio, equidistante de los extremos. Esta corresponde al valor para el cual la cantidad de datos menores y mayores a él es igual. Cuando los elementos del conjunto de datos son un número impar, la mediana queda definida. Si la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio entre los dos datos centrales.

– Ejemplo 1:

Las calificaciones de 7 alumnos son: 12, 15, 12, 11, 16, 19 y 12. ¿Cuál es la mediana?

Primero organizamos de menor a mayor los datos, luego ubicamos el valor central.

11, 12, 12, 12, 15, 16, 19

Nota que hay tres valores tanto a la derecha como a la izquierda del centro. Por lo tanto:

Me = 12

– Ejemplo 2:

En un grupo de baile hay 8 alumnos cuyas edades son: 22, 16, 18, 21, 20, 21, 14, 17. ¿Cuál es la mediana?

Organizamos lo datos y ubicamos los valores centrales:

14, 16, 17, 18, 20, 21, 21, 22

Como la cantidad de datos es par, hay dos valores centrales: 18 y 20. Para saber la mediana calculamos la media aritmética de ambos valores:

$\overline{x}=\frac{18+20}{2}=\boldsymbol{19}$

Por lo tanto,

Me = 19

¡Es tu turno!

14, 16, 12, 12, 10, 18, 20, 14
Solución
Me = 14

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Solución
Me =16

TABLAS DE DOBLE ENTRADA

Las tablas de doble entrada son un recurso muy útil a la hora de organizar la información. Las mismas posibilitan presentar los datos de forma clara. Se trata de un conjunto de filas y columnas que representan la interacción entre dos o más variables.

– Ejemplo:

Esta tabla muestra la cantidad de veces que Marcos, Pedro y Lucía fueron al museo en tres meses:

	Febrero	Marzo	Abril
Marcos	1	2	3
Pedro	4	5	1
Lucía	5	4	2

De la tabla podemos concluir que:

Lucía visitó el museo más veces en febrero.
Pedro visitó el museo más veces en marzo.
Marcos visitó el museo más veces en abril.

¡Es tu turno!

1. Calcula el promedio de las visitas por persona.

Solución

Marcos: {1, 2, 3}

$\overline{x}=\boldsymbol{2}$

Pedro: {4, 5, 1}

$\overline{x}=\boldsymbol{3,33}$

Lucía: {5, 4, 2}

$\overline{x}=\boldsymbol{3,66}$

2. Calcula el promedio de las visitas por mes.

Solución

Febrero: {1, 4, 5}

$\overline{x}=\boldsymbol{3,33}$

Marzo: {2, 5, 4}

$\overline{x}=\boldsymbol{3,66}$

Abril: {3,1, 2}

$\overline{x}=\boldsymbol{2}$

Para presentar los datos recopilados se utilizan tablas que permiten apreciar en forma organizada los valores obtenidos. Estas tablas cuentan con algunos elementos como la frecuencia o la amplitud de la variable. Una vez confeccionada una tabla de valores estadísticos se puede realizar un gráfico para visualizar con mayor facilidad los resultados.

¡A practicar!

1. Un grupo de 11 alumnos recibió sus calificaciones de música: 7, 2, 5, 6 ,8 ,9 ,6, 5, 4, 6 y 8. ¿Cuál es el promedio, la moda y la mediana?

Solución

$\overline{x}=6$

$Mo=6$

$Me=6$

2. Las estaturas en centímetros de un grupo de alumnos son las siguientes: 139, 134, 128, 135, 129, 139. ¿Cuál es el promedio, la moda y la mediana?

Solución

$\overline{x}=134$

$Mo=139$

$Me=134,5$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Las medidas de tendencia central”

En el siguiente artículo encontrarás detalladas las principales medidas de tendencia central explicadas con ejercicios adecuados para la edad de los alumnos.

VER

CAPÍTULO 8 / TEMA 5 (REVISIÓN)

estadística y probabilidad │ ¿QUÉ APRENDIMOS?

recolección y conteo de datos

La recolección y conteo de datos es el procedimiento que se lleva a cabo para la obtención de información o respuesta de diferentes variables. Los datos pueden clasificarse como cualitativos cuando expresan cualidades o cuantitativos cuando expresan cantidades. Los datos cuantitativos se diferencian en continuos si tienen cualquier valor dentro de un intervalo; y discretos si solo ciertos valores están en un intervalo.

Los términos “niño” y “adulto” son datos cualitativos sobre una persona, mientras que la estatura, como “1,65 metros” o “1,2 metros” son datos cuantitativos.

gráficos estadísticos

Los gráficos estadísticos son una herramienta fundamental para lograr la correcta interpretación de los datos recolectados, ya que ofrecen un gran recurso visual. Existen diversos tipos de estos como el gráfico de barras, el poligonal o el circular. Los elementos principales de cada uno de estos son el título, el cuerpo y la escala.

Los gráficos de barras representan variables cualitativas o cuantitativas discretas, los poligonales representan magnitudes y frecuencias de diferentes variables y los circulares expresan porcentajes y proporciones de una variable en particular.

medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central se utilizan para poder representar una distribución de datos en un solo valor característico. Para esto puede calcularse la moda (Mo), la mediana (Md) o la media ( $\fn_phv \small \overline{x}$ ). Estas estimaciones pueden hacerse a partir de la organización de todos los datos.

La moda es el valor de más frecuencia, la mediana es el valor central de la distribución de todos los datos y la media se calcula como la sumatoria de todos los valores dividido entre la cantidad total.

eventos y probabilidad

Los eventos aleatorios pueden ser seguros o imposibles, por ejemplo, al lanzar un moneda es seguro que saldrá cara o sello, pero es imposible que salga una tercera opción. La probabilidad de que ocurra un evento se mide al dividir la cantidad de casos favorables entre la cantidad de casos posibles, así, la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es de 1/2. La probabilidad también se puede expresar como porcentaje. Por otro lado, los diagramas de Venn también nos ayudan a determinar visualmente probabilidades.

En los juegos de azar la suerte tiene un papel importante, no siempre el que tiene mejor habilidad gana.

CAPÍTULO 6 / TEMA 1

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS

Habrás observado que muchas veces la información en los medios de comunicación está acompañada por una variedad de gráficos. Los gráficos son representaciones visuales de un conjunto de datos; por ejemplo, la cantidad de habitantes de cada ciudad del país o el porcentaje del crecimiento interanual de una economía. Son muy efectivos para mostrar relaciones entre diferentes valores y permiten comprender fácilmente distintas situaciones de la realidad.

Es frecuente encontrar gráficos en los análisis estadísticos que refuercen de forma visual la información necesaria. Estas representaciones se adaptan en cada caso a aquello que se busca transmitir y al objetivo de la investigación. Dichos resultados se presentan de forma rápida, directa, atractiva y comprensible para un conjunto amplio de personas.

LOS DATOS Y LAS GRÁFICAS

Un dato no es más que una información que permite describir alguna característica de una situación de estudio. Este puede ser un número, una palabra o cualquier símbolo. Si un dato describe una cualidad se dice que es cualitativo, pero si señala una cantidad se llama cuantitativo. Por ejemplo:

Datos cualitativos

Datos cuantitativos

– Profesión: {médico, policía, ingeniero}

– Color de ojos: {negro, azul, verde, marrón}

– Estado civil: {soltero, casado, viudo}

– Edad: {10 años, 11 años, 13 años}

– Peso: {40 kg, 37 kg, 41 kg}

– Cantidad de hermanos: {1, 3, 4}

Cuando tenemos una cantidad numerosa de datos recurrimos a las tablas. Allí, organizamos en filas y columnas los valores obtenidos y luego los clasificamos de acuerdo a los objetivos de la investigación. Posteriormente graficamos la información, pues estas gráficas brindan una mayor rapidez en la comprensión de los datos porque los presentan de forma clara, organizada y llamativa.

– Ejemplo:

30 personas fueron encuestadas acerca de cuál era su fruta favorita. Las respuestas obtenidas fueron las siguientes:

Manzana	Pera	Ananá	Ananá	Naranja	Naranja
Banana	Fresa	Naranja	Manzana	Naranja	Manzana
Naranja	Durazno	Manzana	Ananá	Naranja	Pera
Banana	Fresa	Banana	Fresa	Manzana	Fresa
Ananá	Naranja	Manzana	Ananá	Naranja	Banana

Con estos datos podemos realizar una tabla que muestre la frecuencia o al cantidad de veces que cada fruta se repite.

Fruta	Frecuencia
Manzana	6
Banana	4
Naranja	8
Pera	2
Ananá	5
Fresa	4
Durazno	1
Total	30

Si bien los datos se ven claramente en esta tabla, podemos graficarlos para que sea aún más sencillo visualizar cuáles son las frutas más o menos preferidas por este grupo de personas.

Elementos de los gráficos

Existen diferentes tipos de gráficos y la selección dependerá de la información que se quiera mostrar, sin embargo todos los gráficos tienen algunos elementos en común:

Título: todo gráfico debe tener un título para saber rápidamente de qué se trata. El mismo se ubica en la parte superior de la gráfica, debe ser claro, breve e informar sobre el contenido del cuadro.
Cuerpo: el cuerpo varía en función al estilo de gráfico que se seleccione, entre los más usados se encuentran el lineal, el de barras y el circular.

VER INFOGRAFÍA

TIPOS DE GRÁFICOS

Gráficos de barras

En este tipo de gráficos se construyen barras cuyas longitudes permiten comparar las categorías, observar los diferentes valores y obtener información con respecto a lapsos de tiempo. Las variables estudiadas se colocan en el eje horizontal y las frecuencias se colocan en el eje vertical, luego ubicamos los puntos y trazamos barras verticales para cada variable.

– Ejemplo:

Esta gráfica muestra la cantidad de hombres y mujeres en cada grado de un colegio.

Con esta gráfica vemos de forma muy clara la cantidad de hombres y mujeres que hay en cada grado. Nota que las barras de colores azul corresponden a los hombres y las barras de color naranja corresponden a las mujeres.

De acuerdo a la tabla, el grado con mayor cantidad de hombres es 6º (20), y el grado con menor cantidad de hombres es 1º (9).

¡Es tu turno!

Realiza la tabla de datos de acuerdo a la gráfica anterior.

Solución

Grado	Hombres	Mujeres	Total
1º	9	11	20
2º	10	15	25
3º	14	14	28
4º	15	17	32
5º	14	10	24
6º	20	11	31
7º	18	15	33
Total	100	93	193

¿Sabías qué?

Los gráficos de barras pueden ser verticales, horizontales, agrupados o apilados.

Gráficos lineales

Los gráficos lineales, también llamados gráficos poligonales, se representan en un plano (dos dimensiones) mediante el uso de un sistema de coordenadas. Para construirlos basta con ubicar los puntos en el plano y luego unirlos por medio de líneas.

– Ejemplo:

Con los mismos datos del ejemplo anterior en el que realizamos un gráfico de barras podemos dibujar un gráfico lineal.

Gráficos circulares

También son conocidos como gráficos de torta o pastel. Se usan para comparar porcentajes con respecto a un total de datos. Son útiles cuando deseas mostrar una sola serie de datos, por ejemplo, el sexo de la población. Para hallar los porcentajes parciales se dividen los 360° del círculo de acuerdo a los valores dados.

– Ejemplo:

La siguiente tabla muestra la cantidad de huéspedes en un hotel según su nacionalidad:

Nacionalidad	Cantidad de turistas
Colombiana	12
Argentina	23
Chilena	5
Venezolana	15
Italiana	18
Total	73

Es normal colocar los valores de porcentajes en los gráficos de este tipo, para calcularlos solo dividimos la cantidad de cada nacionalidad entre el total de turista. Luego multiplicamos por 100. La suma de todos los porcentajes debe ser igual a 100 %.

Nacionalidad	Cantidad de turistas	Porcentaje
Colombiana	12	(12/73) × 100 = 16,44 %
Argentina	23	(23/73) × 100 = 31,50 %
Chilena	5	(5/73) × 100 = 6,85 %
Venezolana	15	(15/73) × 100 = 20,55 %
Italiana	18	(18/73) × 100 = 24,66 %
Total	73	100 %

Ahora, para ilustrar los datos en un círculo multiplicamos la fracción de cada nacionalidad por 360°. La suma de todos los grados debe ser igual a 360°. Por conveniencia redondeamos a la unidad cada producto.

Nacionalidad	Cantidad de turistas	Grados
Colombiana	12	(12/73) × 360° = 59,18° ≈ 59°
Argentina	23	(23/73) × 360° = 113,42° ≈ 113°
Chilena	5	(5/73) × 360° = 24,66° ≈ 25°
Venezolana	15	(15/73) × 360° = 73,97° ≈ 74°
Italiana	18	(18/73) × 360° = 88,77° ≈ 89°
Total	73	360°

De ese modo, tras dibujar la circunferencia, medimos con el transportador los grados correspondientes a cada porción y anotamos el porcentaje redondeado que lo representa.

¿Qué es una muestra?

Se denomina población al conjunto de elementos estudiados, es decir, al total. Una muestra es una parte de esa población, es decir, es una porción seleccionada que resulta representativa del conjunto. Se toman muestras cuando la población que se quiere estudiar es muy amplia e inabarcable, entonces se decide realizar una selección estratégica que recorte la cantidad de individuos a estudiar y que mantengan los rasgos representativos de toda la población analizada.

IMPORTANCIA DE REPRESENTAR DATOS EN GRÁFICOS

La estadística, entre otras cosas, se encarga de recopilar, analizar y sistematizar datos. Luego, debe comunicar la información generada en este proceso. La presentación de datos es uno de los aspectos mayormente utilizados en la estadística descriptiva. Los gráficos son muy importantes ya que posibilitan un abordaje dinámico, claro y entretenido.

En este sentido, los gráficos son una gran herramienta ya que permiten:

Registrar datos de manera clara y concreta.
Comunicar la información en forma sencilla.
Comprender la estructura del conjunto de datos.

La cartografía tiene como objetivo la concepción, redacción y realización de los mapas, es decir, la representación plana y simplificada de toda o de una parte de la superficie terrestre. Los mapas estadísticos o cartogramas son aquellos que presentan datos por regiones o zonas. Al igual que en un mapa topográfico, los colores y las tramas indican áreas que están en el mismo rango de valores.

¡A practicar!

Observa los gráficos y responde:

1. Marta vendió magdalenas durante toda la semana. La cantidad de magdalenas vendidas se muestra en el siguiente gráfico:

¿Cuántas magdalenas vendió Marta el lunes?
Solución
Vendió 10 magdalenas.

¿Cuál día vendió más magdalenas?
Solución
El martes.

¿Cuál día vendió menos magdalenas?
Solución
El domingo.

¿Cuántas magdalenas vendió durante la semana?
Solución
Vendió 68 magdalenas durante la semana.

¿Cuál día vendió solo 8 magdalenas?
Solución
El viernes.

2. Se hizo una encuesta sobre el deporte favorito de un grupo de estudiantes. Los resultados se muestran en este gráfico.

¿Cuál es el deporte favorito de la mayoría de encuestados?
Solución
El fútbol.

¿Qué porcentaje de encuestados prefiere el béisbol?
Solución
El 14 %.

¿Qué porcentaje de encuestados prefiere el baloncesto?
Solución
El 23 %.

¿Cuál es el deporte menos preferido por los encuestados?
Solución
El béisbol.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Gráficos estadísticos”

Con el siguiente artículo podrás ampliar tu conocimiento sobre tipos de gráficos estadísticos y sus funciones.

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Artículo “Lectura de gráficos”

En el siguiente artículo encontrarás ejemplos claros y explicados para abordar la interpretación y lectura de gráficos.

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CAPÍTULO 7 / TEMA 5

FUNCIÓN LINEAL

Cuando dos magnitudes se relacionan de manera directamente proporcional pueden representarse como una función de expresión algebraica y = mx + b. Estas funciones pueden identificarse rápidamente por medio de su gráfica, pues en el plano cartesiano siempre estarán representadas con una línea recta ascendente o descendente.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Si conocemos la función matemática que relaciona a dos variables, podemos construir su gráfica, o al menos una aproximación de ella. Para esta tarea solo calculamos, a partir de la función, una serie de puntos que cumplan con la solución. Debemos tener en cuenta que cuantos más puntos utilicemos para graficar una función, mayor precisión obtendremos.

Algunas funciones matemáticas tienen gráficas características en el plano cartesiano, por ejemplo:

Funciones lineales

f(x) = mx + b

Funciones potenciales

f(x) = x²

Funciones exponenciales

f(x) = 2^x

Funciones irracionales

f(x) = √x

Funciones racionales

f(x) = 1/x

Funciones trigonométricas

f(x) = sen x

Las funciones lineales se denominan de esta manera ya que su gráfica característica en el plano cartesiano se representa como una recta. Para trazar de forma correcta esta línea, basta con que conozcamos dos puntos en el plano. Por lo general se determinan si calculamos los cortes con los ejes o por medio de la ecuación de la recta.

¿Qué es una función lineal?

Una función lineal es una función cuya gráfica es igual a una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Su expresión algebraica es la siguiente:

f(x) = mx

Donde:

m = constante de proporcionalidad o pendiente de la recta

¿Sabías qué?

Las funciones lineales también son llamadas “funciones de proporcionalidad directa”.

– Ejemplo:

Un tren tiene una velocidad media de 160 km/h. La relación entre la distancia y el tiempo se puede observa en la siguiente tabla:

Tiempo (h) = x	0	1	2	3	4
Distancia (km) = y	0	160	320	480	640

Por medio de esta tabla vemos que las dos magnitudes (tiempo y distancia) son directamente proporcionales porque a medida que una aumenta, la otra también lo hace. Si realizamos una gráfica entre estas dos magnitudes nos resulta una línea recta como esta:

Nota que la recta pasa por el origen (0, 0) y va en aumento, por lo tanto, la recta es continua y creciente. La constante de proporcionalidad es 160, así que la expresión algebraica de esta función es:

f(x) = 160x

Función afín

Una función afín es un tipo de función lineal que no pasa por el origen de coordenadas. Su expresión algebraica es:

f(x) = mx + b

Donde:

m = pendiente de la recta

b = ordenada en el origen: la recta corta al eje de ordenada en el punto (0, n)

– Ejemplo:

Se ha determinado el pago de agua en una casa. Cada recibo indica que por cada metro cúbico de agua consumida se pagan $ 5, mientras que por la distribución y depuración se pagan $ 10. Con estos datos elaboramos la siguiente tabla:

Agua consumida (m³) = x	0	1	2	3	4
Pago ($) = y	10	15	20	25	30

La expresión algebraica de esta función es f(x) = 5x + 10, cuya gráfica se muestra a continuación:

Observa que la línea recta no pasa por el origen, sino que corta en el punto (0, 10).

La función de costo lineal se usa frecuentemente en las operaciones de las pequeñas empresas. El costo es el total de dinero necesario para producir q unidades de un producto. La función se representa con la expresión C(q) que incluye tanto a los costos fijos (independientes) como a los costos variables (dependientes).

ecuación de la recta

La ecuación de la recta es una expresión algebraica que describe una línea recta y relaciona la variación de y con respecto a x, la cual se puede graficar en el plano cartesiano según los componentes en cada uno de los ejes. De manera general la ecuación de una recta se representa así:

y = mx + b

Donde:

y = eje de las ordenadas

x = eje de las abscisas

m = pendiente de la recta

b = punto de intersección de la recta con el eje y

Para determinar la pendiente de la recta usamos la fórmula:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

– Ejemplo:

Hallemos la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (−1, 1) y B (1, 7).

Primero identificamos los valores de los ejes. Como ya sabemos, los pares ordenados siempre tienen primero la coordenada del eje x y luego de la coma va la coordenada del eje y; entonces:

En el punto A (−1, 1), x₁ = −1 y y₁ = 1

En el punto B (1, 7), x₂ = 1 y y₂ = 7

Ahora solo sustituimos en la fórmula general:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{7-1}{1-(-1)}=\frac{6}{2}=\boldsymbol{3}$

Sabemos que la ecuación de esta recta es y = mx + b porque no pasa por el origen, es decir, representa una función afín. También sabemos que la pendiente (m) es 3, por lo tanto, y = 3x + b; así que faltaría hallar el valor de b.

Para calcula b podemos tomar cualquiera de los puntos A o B. Planteamos la ecuación y luego despejamos.

$A(-1, \: 1): y=3x+b\rightarrow 1=3(-1)+b\rightarrow \boldsymbol{b=4}$

$B(1,\: 7):y=3x+b\rightarrow 7=3(1)+b\rightarrow \boldsymbol{b=4}$

De este modo sabemos que la recta que pasa por los puntos A y B tiene por ecuación:

y = 3x + 4

Pendiente de la recta y = mx

Para un función lineal f(x) = mx, el coeficiente m se llama pendiente y representa el aumento o disminución de la variable dependiente en relación a la variable independiente.

– Ejemplo:

En la función f(x) = −3x, la pendiente es −3.
En la función f(x) = 5x, la pendiente es 5.

En una gráfica, la pendiente de una recta representa la inclinación de la misma respecto del eje x. La podemos hallar al dividir el valor de la variable dependiente entre el valor de la variable independiente.

$m =\frac{y}{x}$

– Ejemplo:

Esta gráfica muestra tres líneas rectas que pasan por el origen, así que cada una representa a un función lineal de forma f(x) = mx.

Para saber la pendiente de la recta solo debemos fijarnos en cualquiera de sus puntos y hallar su cociente.

Recta a	Recta b	Recta c
$m=\frac{6}{-6}=\boldsymbol{-1}$	$m=\frac{-2}{-2}=\boldsymbol{1}$	$m=\frac{4}{6}=\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
$f(x)=-x$	$f(x)=x$	$f(x)=\frac{2}{3}x$

Valor de la pendiente

Si m es positiva, significa que la recta es creciente de izquierda a derecha.
Si m es negativa, significa que la recta es decreciente de izquierda a derecha.
Si m es cero, significa que la recta no posee inclinación respecto al eje horizontal, es decir, se trataría de una recta paralela al eje horizontal.

Una función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, el mayor exponente de x es 1. Para expresar cualquier tipo de recta, pase o no por el origen, se utiliza la ecuación explícita de la recta: *y = mx + b*. Donde y es la variable dependiente, x es la variable independiente, m es la pendiente y b es la ordenada al origen.

¿cómo Graficar una función lineal?

Dada la ecuación de la recta y = 2x + 3. La pendiente es 2 y el punto de intersección de la recta con el eje y es igual a 3. Para determinar el valor de y es necesario darle valores a x y efectuar la operación correspondiente, de la siguiente manera:

Si x = 1 y = 2(1) + 3 y = 2 + 3 y = 5	Si x = 2 y = 2(2) + 3 y = 4 + 3 y = 7	Si x = 3 y = 2(3) + 3 y = 6 + 3 y = 9
Si x = −1 y = 2(−1) + 3 y = −2 + 3 y = 1	Si x = −2 y = 2(−2) + 3 y = −4 + 3 y = −1	Si x = −3 y = 2(−3) + 3 y = −6 + 3 y = −3

Para obtener una recta bien definida es recomendable utilizar al menos tres puntos. Será de gran ayuda realizar una tabla de valores en la que observes las coordenadas de cada punto como esta:

x	y	Punto
−3	−3	(−3, −3)
−2	−1	(−2, −1)
−1	1	(−1, 1)
1	5	(1, 5)
2	7	(2, 7)
3	9	(3, 9)

Si usamos esta tabla como guía es más sencillo realizar la gráfica de la función.

Nota que la recta se corta en el punto (0, 3), pues b = 3.

¡A practicar!

1. Dadas las siguientes funciones, determina:

a. Pendiente (m)

b. Ordenada al origen (b)

f(x) = 2x − 6

Solución

b = −6

m = 2

f(x) = −x + 4

Solución

b = 4

m = −1

f(x) = 13/5x − 2

Solución

b = −2

m = 13/5

2. Construye una tabla con los siguientes valores de x para cada función.

x = −2, −1, 0, 1, 2, 3

f(x) = −x + 2

Solución

x	y
−2	4
−1	3
0	2
1	1
2	0
3	−1

f(x) = 5x − 3

Solución

x	y
−2	−13
−1	−8
0	−3
1	2
2	7
3	12

f(x) = 3x

Solución

x	y
−2	−6
−1	−3
0	0
1	3
2	6
3	9

f(x) = −2x + 1

Solución

x	y
−2	5
−1	3
0	1
1	−1
2	−3
3	−5

3. Realiza la gráfica de las siguientes funciones:

f(x) = −x + 2

f(x) = −2x + 1

Solución

f(x) = −x + 2

f(x) = −2x + 1

4. Dada la siguiente gráfica, determina:

a. Pendiente de la recta.

b. Ecuación de la recta.

Solución

a. m = −1

b. y = −x + 9

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Función Lineal”

En este artículo podrás encontrar ejercicios relacionados con la construcción de gráficas de funciones lineales a partir de su ecuación explícita, además de problemas de enunciados.

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Artículo “Aplicaciones de la función lineal”

Este artículo explica los conceptos de proporción, así como detalla el análisis y las aplicaciones de las funciones lineales.

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Artículo “Función lineal”

Este contenido ofrece una breve descripción de las características de una función lineal a partir de la ecuación explícita de la recta.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 7 (REVISIÓN)

SENTIDO NUMÉRICO | REVISIÓN

UNIVERSO DE LOS NÚMEROS

Los números desde su invención han servido para contar cosas y por eso existen diferentes sistemas y tipos de números que permiten un mejor conocimiento de las cantidades. Para comprender el sentido numérico, dentro del universo de los números se utilizan diversas clasificaciones. Un tipo de números son los ordinales que sirven para establecer un orden. Por otro lado, existen los cardinales que indican cantidades numéricas de elementos que pertenecen a un grupo o conjunto. Actualmente, el sistema más usado es el sistema numérico decimal pero no es el único que existe. Otras culturas crearon sistemas de numeración distintos al decimal, como por ejemplo, los mayas y los romanos.

El sistema de numeración binario se utiliza principalmente en la informática. Está conformado solo por dos cifras: el 0 y el 1.

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

De acuerdo a la cantidad de divisores que poseen los número, los podemos clasificar en primos y compuestos. Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. En cambio, los números compuestos son aquellos que además de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números, es decir, tienen más de dos divisores. Todos los números compuestos pueden expresarse como un producto de factores primos.

Para determinar los factores primos de un número compuesto se emplean los criterios de divisibilidad.

VALOR POSICIONAL

Una de las principales características de nuestro sistema de numeración decimal es que el valor de los dígitos varía de acuerdo a su ubicación dentro del número. Esta característica se denomina valor posicional y aplica tanto en los números enteros como en los fraccionarios. Una herramienta que nos permite observar directamente el valor de cada dígito de acuerdo al lugar que ocupa es la tabla posicional.

Según la posición de cada dígito, los números pueden descomponerse en forma de suma (descomposición aditiva) o de multiplicación (descomposición multiplicativa).

NÚMEROS DECIMALES

Hay números que se ubican entre dos números enteros consecutivos, estos números se denominan números decimales y se caracterizan porque presentan una parte entera y una decimal, que se encuentran separadas por una coma o punto de acuerdo a la convención del país. Los números decimales se clasifican en racionales y en irracionales. Los racionales se pueden representar en forma de fracción, y los irracionales son números infinitos cuya parte decimal no sigue ningún patrón, como sucede en el caso del número pi.

A menudo se pueden aplicar redondeos en las cifras decimales de un número para simplificar los cálculos.

POTENCIAS

La potenciación es una operación compuesta de tres partes fundamentales: el exponente, la base y la potencia. El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar la base por si misma. La base es el número que se multiplica por sí mismo las veces que indique el exponente. La potencia es el resultado de la operación de potenciación. Como toda operación matemática, las potencias cumplen con algunas propiedades. Por ejemplo, todo número elevado a 0 es igual a 1. Para resolver potencias se aplican sus propiedades y se realizan multiplicaciones sucesivas de la base.

Cuando el exponente es 1, la potencia es siempre igual a la base.

RAÍZ DE UN NÚMERO

La radicación es la operación inversa a la potenciación y por ello se encuentran estrechamente relacionadas. Esta operación emplea el símbolo (√) denominado radical. Sus elementos principales son el radicando, el índice y la raíz. El radicando es el número al cual se le va a calcular la raíz y se encuentra en la parte inferior del radical. El índice es el número que índica la cantidad de veces en las que debe multiplicarse un número por sí mismo para que el resultado sea igual al radicando, y se ubica en la parte izquierda del radical. La raíz es el resultado de la operación. Para calcular una raíz se debe buscar un número que multiplicado por sí mismo las veces que indique el índice dé como resultado el mismo valor del radicando.

En las raíces cuadradas, el índice 2 no se coloca en el radical: simplemente se denotan como (√).

CAPÍTULO 1 / TEMA 4

NÚMEROS NATURALES

USAMOS NÚMEROS NATURALES TODOS LOS DÍAS: CUANDO CONTAMOS LAS HORAS, DAMOS UN NÚMERO DE TELÉFONO O AL DECIR NUESTRA EDAD. CON SOLO 10 DÍGITOS PODEMOS FORMAR CUALQUIER CANTIDAD DE NÚMEROS, Y PARA ESTO ES IMPORTANTE SABER LA POSICIÓN DE CADA CIFRA, ES DECIR, SU VALOR POSICIONAL.

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS NATURALES?

LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS QUE USAS A DIARIO PARA CONTAR. TODO NÚMERO NATURAL SIEMPRE TIENE UN SUCESOR, ES DECIR, UN NÚMERO QUE VIENE DESPUÉS Y ES MÁS GRANDE.

LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS PRIMEROS QUE USÓ EL HOMBRE PARA CONTAR. DEBIDO A QUE ESTOS NÚMEROS SE UTILIZAN PARA SABER CANTIDADES, EL CERO PUEDE CONSIDERARSE EL NÚMERO IGUAL A LA AUSENCIA DE ALGO. LAS DIEZ CIFRAS DE NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN SON LOS PRIMEROS DIEZ NÚMEROS DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Y 9.

¿SABRÍAS QUÉ?

SI EMPIEZAS A CONTAR NO TERMINARÁS NUNCA, LOS NÚMEROS NO TIENEN FIN.

VALOR POSICIONAL DE LOS NÚMEROS

OBSERVA ESTOS DOS NÚMEROS, ¿SON IGUALES?

12 21

NO, NO SON IGUALES. EL PRIMERO ES EL DOCE Y EL SEGUNDO ES EL VEINTIUNO.

SI BIEN LOS DOS UTILIZAN LAS MISMAS CIFRAS: 1 Y 2, LA POSICIÓN ES DIFERENTE Y POR LO TANTO, SU VALOR TAMBIÉN ES DIFERENTE. ESTO ES LO QUE CONOCEMOS COMO VALOR POSICIONAL.

UNIDADES, DECENAS Y CENTENAS

OBSERVA LA IMAGEN, ¿CUÁNTOS CARAMELOS HAY?

HAY UN SOLO CARAMELO.

1 = 1 UNIDAD

¿CUÁNTOS CARAMELOS HAY?

HAY 10 CARAMELOS.

10 = 1 DECENA

¿CUÁNTOS CARAMELOS HAY?

HAY 100 CARAMELOS.

100 = 1 CENTENA

AL CONTAR MONEDAS PODEMOS HACER GRUPOS DE 1 EN 1 HASTA TENER 10. SI UNIMOS 10 GRUPOS DE 10 TENDREMOS 100 MONEDAS. CADA MONEDA DE 1 ES IGUAL A LA UNIDAD, EL GRUPO DE 10 ES IGUAL A LA DECENA Y EL GRUPO DE 100 ES IGUAL A LA CENTENA. VISTO DE OTRO MODO:

1 CUADRO = 1 UNIDAD

10 CUADROS = 1 DECENA = 10 UNIDADES

100 CUADROS = 1 CENTENA = 10 DECENAS = 100 UNIDADES

TABLA DE VALOR POSICIONAL

PODEMOS UBICAR CUALQUIER NÚMERO EN UNA TABLA SEGÚN SU VALOR POSICIONAL. EL PRIMER NÚMERO DE DERECHA A IZQUIERDA SERÁ LA UNIDAD, EL SEGUNDO SERÁ LA DECENA Y EL TERCERO SERÁ LA CENTENA.

– EJEMPLO:

¿CUÁNTOS POLLITOS HAY?

SI CONTAMOS LOS PRIMEROS DIEZ Y LOS AGRUPAMOS TENEMOS UNA DECENA. LUEGO CONTAMOS LOS DEMÁS 1 POR 1.

1 DECENA Y 8 UNIDADES SON 18.

EN UNA TABLA DE VALOR POSICIONAL QUEDA ASÍ:

– OTRO EJEMPLO:

¿CUÁNTOS HUEVOS DE PASCUA HAY?

2 DECENAS Y 4 UNIDADES SON 24.

ES LA TABLA POSICIONAL:

¡ES TU TURNO!

¿CUÁNTOS GUSANOS HAY?

SOLUCIÓN

3 DECENAS Y 5 UNIDADES SON 35.

EN LA TABLA POSICIONAL QUEDA ASÍ:

DESCOMPOSICIÓN ADITIVA

EL ELEMENTO ENTERO MÁS PEQUEÑO QUE PODEMOS CONTAR SE LLAMA UNIDAD, 10 UNIDADES FORMAN UNA DECENA Y 10 DECENAS FORMAN UNA CENTENA.

TODO NÚMERO PUEDE SER REPRESENTADO COMO UNA SUMA DE SUS VALORES POSICIONALES, OBSERVA:

EL NÚMERO 24 TIENE:

2 DECENAS = 2 VECES 10 = 20
4 UNIDADES = 4 VECES 1 = 4

LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA SE ESCRIBE ASÍ:

24 = 20 + 4

– OTRO EJEMPLO:

EL NÚMERO 123 TIENE:

1 CENTENA = 1 VEZ 100 = 100
2 DECENAS = 2 VECES 10 = 20
3 UNIDADES = 3 VECES 1 = 3

LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA ES:

123 = 100 + 20 + 3

CUADRO DE NÚMEROS

ESTE CUADRO TIENE EN FORMA ORDENADA LOS NÚMEROS DEL 1 AL 100. ES MUY ÚTIL PARA APRENDER A CONTAR Y TAMBIÉN PARA APRENDER EL NOMBRE DE LOS NÚMEROS.

el sucesor de un número

EL SUCESOR DE UN NÚMERO NATURAL ES EL RESULTADO DE SUMARLE 1 A ESE NÚMERO.

– EJEMPLO:

EL SUCESOR DE 5 ES 6 PORQUE 5 + 1 = 6.
EL SUCESOR DE 26 ES 27 PORQUE 26 + 1 = 27.
EL SUCESOR DE 49 ES 50 PORQUE 49 + 1 = 50.

¡A PRACTICAR!

1. ¿CUÁL ES EL SUCESOR DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS?

SOLUCIÓN

8 PORQUE 7 + 1 = 8.

SOLUCIÓN

11 PORQUE 10 + 1 = 11.

SOLUCIÓN

57 PORQUE 56 + 1 = 57.

SOLUCIÓN

80 PORQUE 79 + 1 = 80.

SOLUCIÓN

24 PORQUE 23 + 1 = 24.

SOLUCIÓN

5 PORQUE 4 + 1 = 5.

SOLUCIÓN

100 PORQUE 99 + 1 = 100.

2. COLOCA CADA NÚMERO EN UNA TABLA POSICIONAL.

SOLUCIÓN

3. REALIZA LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS.

SOLUCIÓN

32 = 30 + 2

SOLUCIÓN

116 = 100 + 10 + 6

SOLUCIÓN

91 = 90 + 1

SOLUCIÓN

100 = 100 + 30 + 6

SOLUCIÓN

58 = 50 + 8

SOLUCIÓN

46 = 40 + 6

4. AYUDA A LA GALLINA A LLEGAR AL NIDO. ENCUENTRA EL SUCESOR DE CADA NÚMERO A PARTIR DEL 1.

SOLUCIÓN

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “¿Qué es un número natural?”

Este artículo te permitirá profundizar sobre los números naturales y sus características.

VER

Artículo “Composición y descomposición de números”

Con este recurso podrás ampliar la información sobre la composición de número naturales.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 3

VALOR POSICIONAL

El sistema de numeración decimal se caracteriza por ser de base 10 y por ser posicional. Esto significa que solo usa diez dígitos y que la posición de cada uno de ellos determina el valor que tienen. La tablas posicionales y la descomposición son algunas técnicas que podemos emplear para escribir y leer números con más de cinco cifras de manera sencilla. A continuación verás lo fácil que es.

VALOR POSICIONAL DE CIFRAS HASTA 1.000.000

En el sistema de numeración decimal contamos con los siguientes dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos podemos formar todos los números del sistema ya que si variamos la posición de las cifras dentro del número, también cambiamos su valor. Esta característica se denomina valor posicional.

Como podemos observar en este ejemplo, todas las cifras que componen el número 999.999 son las mismas: 9, pero cada una tiene un valor diferente debido a su posición dentro del número.

Como ya sabemos, luego de 3 cifras debemos colocar un punto. En este caso, dicho punto separa a los miles de los millones. El número que le sigue al 999.999 es el millón, que se escribe de la siguiente manera:

1.000.000

¿Sabías qué?

Si empiezas a contar de uno en uno no terminarás nunca porque los números no tienen un final, es decir, son infinitos.

Cuando algo no termina decimos que es infinito, y los números son un ejemplo de ello. No hay un límite final para los números, pero tampoco hay un comienzo, ya que antes del 0 hay una infinidad de número negativos. Cuando queramos expresar que una cuenta es infinita podemos utilizar el símbolo que lo representa: ∞.

LA TABLA POSICIONAL

Existe una clasificación según la posición que tengan las cifras dentro del número. Cada posición recibe el nombre de un orden, como las unidades, decenas y centenas. Cada tres órdenes se forma una clase, que va desde las unidades, miles, millones, millares de millón, billones, etc. Podemos observar toda esta información en una tabla posicional.

– Ejemplo:

Según la tabla posicional, los valores de cada cifra de derecha a izquierda son los siguientes:

2 unidades = 2 se lee “dos”.
3 decenas = 30 se lee “treinta”
5 centenas = 500 se lee “quinientos”.
9 unidades de mil = 9.000 se lee “nueve mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
8 centenas de mil = 800.000 se lee “ochocientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”

Por lo tanto, el número 1.849.532 se lee “un millón ochocientos cuarenta y nueve mil quinientos treinta y dos”.

– Otro ejemplo:

Según la tabla posicional, los valores son:

5 unidades = 5 se lee “cinco”.
8 decenas = 80 se lee “ochenta”.
9 centenas = 900 se lee “novecientos”.
2 unidades de mil = 2.000 se lee “dos mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
6 centenas de mil = 600.000 se lee “seiscientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”.

Entonces, el número 1.642.985 se lee “un millón seiscientos cuarenta y dos mil novecientos ochenta y cinco”.

¡Es tu turno!

Coloca los siguientes números en sus tablas posicionales:

1.022.467

Solución

270.628

Solución

896.501

Solución

VALOR POSICIONAL DE DECIMALES

Los números decimales se componen de una parte entera y una parte decimal que van separadas por una coma. Esto quiere decir que de un lado de la coma vamos a tener la parte de los números enteros con unidades, decenas, centenas, etc.; y del otro lado, la parte decimal que también tiene valores posicionales conocidos como décimas, centésimas, milésimas, etc.

La parte decimal de los números decimales también puede ser representada en una tabla posicional. Al igual que la parte entera, el valor cambia de acuerdo a la posición de la cifra.

Unidades decimales

Son las que obtenemos al dividir la unidad en partes iguales. Las primeras unidades decimales son las décimas, las centésimas y las milésimas.

Décimas

Centésimas

Milésimas

$\boldsymbol{\frac{1}{10}=0,1}$

$\boldsymbol{\frac{1}{100}=0,01}$

$\boldsymbol{\frac{1}{1.000}=0,001}$

1 unidad = 10 décimas

1 décima = 0,1 unidades

1 unidad = 100 centésimas

1 centésima = 0,01 unidades

1 unidad = 1.000 milésimas

1 milésima = 0,001 unidades

– Ejemplo:

Podemos leer los números decimales de dos formas:

Leemos la parte entera seguida de la palabra “enteros”. Luego leemos la parte decimal como se lee la parte entera y mencionamos la posición en la que está la última cifra.
Leemos la parte entera seguida de la palabra “coma”. Después leemos la parte decimal de la misma forma en la que lees la parte entera.

De este modo, el número 5.897,234 puede ser leído de dos formas, ambas correctas:

“Cinco mil ochocientos noventa y siete enteros doscientos treinta y cuatro milésimas“.
“Cinco mil ochocientos noventa y siete coma doscientos treinta y cuatro”.

DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE UN NÚMERO

Todos los números pueden descomponerse de diversas maneras. Una de ellas es la descomposición aditiva, la cual consiste en representar números como la suma de otros.

Por ejemplo, podemos descomponer el número 128 de forma aditiva y representarlo así:

128 = 100 + 20 + 8

Observa que sumamos los valores posicionales de cada cifra.

– Otros ejemplos:

419.847 = 400.000 + 10.000 + 9.000 + 800 + 40 + 7
1.589.634 = 1.000.000 + 500.000 + 80.000 + 9.000 + 600 + 30 + 4
25,39 = 20 + 5 + 0,3 + 0,09

Cualquier número puede ser expresado a través de la suma, en lo que se conoce como descomposición aditiva. Este tipo de descomposición considera el valor posicional de cada una de sus cifras, pero también es posible verlo como la suma de diferentes cifras, por ejemplo, 15 = 10 + 5, pero también lo podemos escribir como 15 = 7 + 8.

DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DE UN NÚMERO

Es otro tipo de descomposición en el que representamos números por medio de multiplicaciones. Aquí tomamos en cuenta el valor del dígito por el valor de su posición.

– Ejemplo:

Este número tiene:

2 unidades = 2 × 1
3 decenas = 3 × 10
9 centenas = 9 × 100
6 unidades de mil = 6 × 1.000

Su descomposición multiplicativa es:

6.932 = 6 × 1.000 + 9 × 100 + 3 × 10 + 2 × 1

– Otros ejemplos:

958.348 = 9 × 100.000 + 5 × 10.000 + 8 × 1.000 + 3 × 100 + 4 × 10 + 8 × 1
22.076 = 2 × 10.000 + 2 × 1.000 + 7 × 10 + 6 × 1
143,896 =1 × 100 + 4 × 10 + 3 × 1 + 8 × 0,1 + 9 × 0,01 + 6 × 0,001

¡A practicar!

1. Coloca los siguientes números en tablas posicionales.

775.426

Solución

2.325,682

Solución

987.110,85

Solución

2. Escribe la descomposición aditiva de los siguientes números:

6.887

Solución

6.887 = 6.000 + 800 + 80 + 7

Solución

359 = 300 + 50 + 9

856.421

Solución

856.421 = 800.00 + 50.00 + 6.000 + 400 + 20 + 1

1.325.644,856

Solución

1.325.644,856 = 1.000.000 + 300.000 + 20.000 + 5.000 + 600 + 40 + 4 + 0,8 + 0,05 + 0,006

3. Escribe la descomposición multiplicativa de los siguientes números:

Solución

427 = 4 × 100 + 2 × 10 + 7 × 1

17.504

Solución

17.504 = 1 × 10.000 + 7 × 1.000 + 5 × 100 + 4 × 1

266.915

Solución

266.915 = 2 × 100.000 + 6 × 10.000 + 6 × 1.000 + 9 × 100 + 1 × 10 + 5 × 1

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Sistemas posicionales de numeración”

El siguiente artículo te permitirá conocer más acerca del valor posicional en distintos sistemas de numeración.

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Artículo destacado “Composición y descomposición de números”

El siguiente artículo te permitirá profundizar la información sobre la composición y descomposición de los números.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 2

TABLAS

SI QUEREMOS INFORMAR SOBRE UN TEMA ESPECÍFICO TENEMOS QUE RECOLECTAR DATOS, POR EJEMPLO, PARA SABER LA CANTIDAD DE HOMBRES Y MUJERES EN UNA ESCUELA DEBEMOS CONTARLOS UNO POR UNO. ESTA INFORMACIÓN SE PUEDE GRAFICAR DE FORMA RESUMIDA Y CLARA EN UNA TABLA. LAS TABLAS PUEDEN SER CON NÚMEROS, PICTOGRAMAS O DE DOBLE ENTRADA.

¿QUÉ ES UNA TABLA?

ES UN GRÁFICO CON FORMA CUADRADA O RECTANGULAR. SIRVE PARA ORGANIZAR Y RESUMIR INFORMACIÓN. ESTÁ FORMADA POR FILAS, COLUMNAS Y CELDAS.

GRADO	NOMBRE Y APELLIDO	EDAD
2º	MARÍA PÉREZ	8
2º	JOSÉ COLINA	7
2º	CARLA GONZÁLEZ	8

LAS FILAS SON LAS HILERAS HORIZONTALES.

LAS COLUMNAS SON LAS HILERAS VERTICALES.

LAS CELDAS SON LAS CASILLAS QUE RESULTAN DE LA UNIÓN ENTRE UNA FILA Y UNA COLUMNA.

TABLA DE DATOS

LAS TABLAS DE DATOS EXPONEN INFORMACIÓN RECOLECTADA. VEAMOS UNA TABLA SIMPLE CON UNA INFORMACIÓN SOBRE UNA FAMILIA.

– EJEMPLO:

PRIMOS DE LUCAS	EDAD
ANGÉLICA	5
JOSÉ	9
MARIO	13
CARLA	15

ESTA TABLA EXPRESA UNA INFORMACIÓN SENCILLA, LAS EDADES DE LO PRIMOS DE LUCAS: 5, 9, 13 Y 15. AL MISMO TIEMPO PODEMOS LEER OTRA INFORMACIÓN: LUCAS TIENE 4 PRIMOS.

TAMBIÉN PODEMOS EXPRESAR UNA MAYOR CANTIDAD DE DATOS DE MANERA ORGANIZADA.

– EJEMPLO:

OBSERVA ESTA IMAGEN. ¿QUÉ CANTIDAD HAY DE CADA FRUTA Y VEGETAL?

LA CANTIDAD DE FRUTAS Y VEGETALES LA PODEMOS REPRESENTAR EN UNA TABLA COMO ESTA:

FRUTA O VEGETAL	CANTIDAD
MANZANAS	6
PERAS	4
ZANAHORIAS	9
FRESAS	9

¿SABÍAS QUÉ?

LAS COLUMNAS TAMBIÉN SON LLAMADAS “CAMPOS”.

¿CÓMO LEER UNA TABLA DE DATOS?

1. OBSERVA LA PRIMERA FILA. ESTA ES LA FILA DE ENCABEZADO Y MUESTRA LAS CATEGORÍAS DE LOS DATOS. POR EJEMPLO, EN ESTA TABLA LAS CATEGORÍAS SON “DEPORTE FAVORITO” Y “CANTIDAD DE ESTUDIANTES”.

DEPORTE FAVORITO	CANTIDAD DE ESTUDIANTES
FÚTBOL	12
BALONCESTO	8
NATACIÓN	5
TENIS	2
BÉISBOL	10
NINGUNO	5

2. CADA DATO DE UNA COLUMNA CORRESPONDE AL DATO DE LA OTRA COLUMNA. ASÍ, POR EJEMPLO, SI QUEREMOS SABER LA CANTIDAD DE ESTUDIANTES QUE PREFIEREN EL BALONCESTO, SOLO TENEMOS QUE OBSERVAR LA FILA DE ESE DEPORTE: PARA 8 ESTUDIANTES EL BALONCESTO ES SU DEPORTE FAVORITO.

DEPORTE FAVORITO	CANTIDAD DE ESTUDIANTES
FÚTBOL	12
BALONCESTO	8
NATACIÓN	5
TENIS	2
BÉISBOL	10
NINGUNO	5

¡ES TU TURNO!

OBSERVA DE NUEVO LA TABLA ANTERIOR Y RESPONDE:

¿CUÁNTOS ESTUDIANTES PREFIEREN JUGAR BÉISBOL?
SOLUCIÓN
10

¿CUÁL ES EL DEPORTE FAVORITO DE LA MAYORÍA DE ESTUDIANTES?
SOLUCIÓN
FÚTBOL

¿CUÁNTOS ESTUDIANTES NO TIENEN ALGÚN DEPORTE FAVORITO?
SOLUCIÓN
5

¿CUÁNTOS ESTUDIANTES HAY EN TOTAL?
SOLUCIÓN
12 + 8 + 5 + 2 + 10 + 5 = 42
HAY 42 ESTUDIANTES.

TABLA DE PICTOGRAMAS

ASÍ COMO COLOCAMOS LOS DATOS EN FORMA DE NÚMEROS, TAMBIÉN PODEMOS COLOCAR PICTOGRAMAS PARA REPRESENTAR LOS DATOS. POR EJEMPLO: CELESTE, ARIEL, LETICIA Y RAMIRO CONTARON LAS MONEDAS QUE LES QUEDARON PARA LOS JUEGOS. LOS RESULTADOS FUERON LOS SIGUIENTES:

NOMBRE	MONEDAS
CELESTE
ARIEL
LETICIA
RAMIRO

CLAVE

= 1 MONEDA

¡ES TU TURNO!

OBSERVA LA TABLA DE PICTOGRAMAS Y RESPONDE LAS PREGUNTAS:

¿CUÁNTAS MONEDAS TIENE CELESTE?
SOLUCIÓN
6

¿CUÁNTAS MONEDAS TIENE ARIEL?
SOLUCIÓN
3

¿CUÁNTAS MONEDAS TIENE LETICIA?
SOLUCIÓN
5

¿CUÁNTAS MONEDAS TIENE RAMIRO?
SOLUCIÓN
6

¿QUIÉNES TIENEN MÁS MONEDAS?
SOLUCIÓN
CELESTE Y RAMIRO.

¿QUIÉN TIENE MENOS MONEDAS?
SOLUCIÓN
ARIEL.

TABLA DE DOBLE ENTRADA

LAS TABLAS DE DOBLE ENTRADA MUESTRAN LA RELACIÓN ENTRE DOS O MÁS CATEGORÍAS.

– EJEMPLO:

EN EL SALÓN DE 2º GRADO SE LE PREGUNTARON A TODOS LOS ALUMNOS SI LES GUSTABA O NO LES GUSTABA EL ARTE. LAS RESPUESTAS SE GRAFICARON EN ESTA TABLA:

	LES GUSTA EL ARTE	NO LES GUSTA EL ARTE
NIÑOS	10	5
NIÑAS	12	8

EN ESTA TABLA PODEMOS VER LA CANTIDAD DE NIÑOS Y NIÑAS A LOS QUE LES GUSTA EL ARTE. TAMBIÉN PODEMOS VER LA CANTIDAD DE NIÑOS Y NIÑAS A LOS QUE NO LES GUSTA EL ARTE.

¡ES TU TURNO!

OBSERVA LA TABLA DE DOBLE ENTRADA Y RESPONDE LAS PREGUNTAS:

¿A CUÁNTAS NIÑAS LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
12

¿A CUÁNTOS NIÑOS LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
10

¿A CUÁNTOS NIÑOS NO LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
5

¿A CUÁNTAS NIÑAS NO LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
8

¿A CUÁNTOS NIÑOS Y NIÑAS LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
10 + 12 = 22
A 22 NIÑAS NO LES GUSTA EL ARTE.

¿A CUÁNTOS NIÑOS Y NIÑAS NO LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
8 + 5 = 13
A 13 NIÑOS Y NIÑAS NO LES GUSTA EL ARTE.

¿CUÁNTAS NIÑAS HAY EN EL SALÓN DE 2º GRADO?
SOLUCIÓN
12 + 8 = 20
HAY 20 NIÑAS.

¿CUÁNTOS NIÑOS HAY EN EL SALÓN DE 2º GRADO?
SOLUCIÓN
10 + 5 = 15
HAY 15 NIÑOS.

¿CUÁNTOS NIÑOS Y NIÑAS HAY EN EL SALÓN DE 2º GRADO?
SOLUCIÓN
10 + 12 + 5 + 8 = 35
HAY 35 NIÑOS Y NIÑAS.

TABLAS CON OPERACIONES

LAS TABLAS TAMBIÉN SON MUY ÚTILES PARA REPRESENTAR OPERACIONES MATEMÁTICAS COMO LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN. EN ESTA TABLA VEMOS QUE CADA CELDA DE COLOR ES EL RESULTADO DE LA SUMA ENTRE UN DATO DE LA FILA DE ENCABEZADO Y LA COLUMNA DE ENCABEZADO. POR EJEMPLO, 3 + 6 = 9.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Estadística: tabla de valores”

Con este recurso se podrá profundizar sobre el uso de las tablas de datos en la estadística.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 3

¿QUÉ ES LA MULTIPLICACIÓN?

CUANDO UNA CANTIDAD SE REPITE VARIAS VECES PODEMOS ACUDIR A UNA OPERACIÓN BÁSICA DE LAS MATEMÁTICAS: LA MULTIPLICACIÓN. ESTA ES IGUAL A UNA SUMA RESUMIDA Y LA USAMOS CADA VEZ COMPRAMOS VARIOS PRODUCTOS IGUALES, POR EJEMPLO, 4 HELADOS A $ 2 ES IGUAL A 4 × 2 Y SE LEE “CUATRO POR DOS”.

TANTA VECES TANTO

SI TENEMOS LA MISMA CANTIDAD DE ELEMENTOS EN VARIOS GRUPOS PODEMOS SABER LA CANTIDAD TOTAL SI CONTAMOS CUÁNTOS GRUPOS HAY Y LUEGO CONTAMOS CUÁNTO HAY EN CADA GRUPO.

– EJEMPLO 1:

¿CUÁNTOS GRUPOS HAY?, ¿CUÁNTAS CEREZAS HAY EN CADA GRUPOS?, ¿CUÁNTAS CEREZAS HAY EN TOTAL?

HAY 3 GRUPOS.
HAY 2 CEREZAS EN CADA GRUPO.
HAY 6 CEREZAS EN TOTAL PORQUE 2 + 2 + 2 = 6

PODEMOS DECIR QUE:

3 VECES 2 ES IGUAL A 6

– EJEMPLO 2:

¿CUÁNTOS GRUPOS HAY?, ¿CUÁNTAS PALETAS HAY EN CADA GRUPO?, ¿CUÁNTAS PALETAS HAY EN TOTAL?

HAY 2 GRUPOS.
HAY 4 PALETAS EN CADA GRUPO.
HAY 8 PALETAS EN TOTAL PORQUE 4 + 4 = 8

PODEMOS DECIR QUE:

2 VECES 4 ES IGUAL A 8

¡ES TU TURNO!

¿CUÁNTOS GRUPOS HAY?, ¿CUÁNTAS BANANAS HAY EN CADA GRUPO?, ¿CUÁNTAS BANANAS HAY EN TOTAL?

SOLUCIÓN

HAY 3 GRUPOS.
HAY 3 BANANAS EN CADA GRUPO.
HAY 9 BANANAS EN TOTAL PORQUE 3 + 3 + 3 = 9

ASÍ QUE:

3 VECES 3 ES IGUAL A 9

LA MULTIPLICACIÓN Y SUS ELEMENTOS

CUANDO SABEMOS LA CANTIDAD DE GRUPOS Y LA CANTIDAD DE ELEMENTOS EN CADA GRUPO PODEMOS HACER UNA OPERACIÓN LLAMADA MULTIPLICACIÓN. LA USAMOS CADA VEZ QUE LA CANTIDAD DENTRO DE CADA GRUPO SEA LA MISMA. LA MULTIPLICACIÓN ESTÁ FORMADA POR FACTORES Y UN PRODUCTO.

¿SABÍAS QUÉ?

EL SIGNO DE MULTIPLICACIÓN ES × Y SE LEE “POR”.

– EJEMPLO 1:

¿CUÁNTAS FRESAS HAY EN TOTAL?

LA CANTIDAD TOTAL DE FRESAS EN ESTA IMAGEN LA PODEMOS REPRESENTAR ASÍ:

3 + 3 + 3 + 3 = 12

4 VECES 3 ES IGUAL A 12

O COMO UNA MULTIPLICACIÓN:

4 × 3 = 12

EL 4 REPRESENTA LA CANTIDAD DE GRUPOS. ES UN FACTOR.
EL 3 REPRESENTA LA CANTIDAD DE FRESAS EN CADA GRUPO. ES UNA FACTOR.
EL 12 REPRESENTA EL TOTAL DE FRESAS. ES EL PRODUCTO O RESULTADO.

RESPUESTA: HAY 12 FRESAS.

– EJEMPLO 2:

¿CUÁNTAS LAZOS HAY EN TOTAL?

4 + 4 + 4 + 4 = 16

4 VECES 4 ES IGUAL A 16

4 × 4 = 16

RESPUESTA: HAY 16 LAZOS.

LA MULTIPLICACIÓN ES UNA OPERACIÓN QUE SE UTILIZA PARA ABREVIAR SUMAS REPETIDAS. LA SUMA 4 + 4 ES IGUAL QUE 2 × 4, YA QUE SON 2 VECES LAS QUE SE REPITE EL 4. POR EJEMPLO, SI TENEMOS 5 CAJAS DE ALFAJORES CON 9 EN CADA UNA. LA SUMA REPETIDA SERÍA: 9 + 9 + 9 + 9 + 9 Y EN MULTIPLICACIÓN 9 × 5. AMBAS EXPRESIONES DARÁN EL MISMO RESULTADO: 45 ALFAJORES EN TOTAL.

EL ORDEN DE LOS FACTORES NO MODIFICA EL PRODUCTO

NO IMPORTA EN QUÉ ORDEN ESCRIBAS LOS FACTORES EN UNA MULTIPLICACIÓN, EL RESULTADO SIEMPRE SERÁ EL MISMO. EJEMPLO:

3 × 4 = 12 PORQUE 4 + 4 + 4 = 12

4 × 3 = 12 PORQUE 3 + 3 + 3 + 3 = 12

EL DOBLE

EL DOBLE DE UNA CANTIDAD ES IGUAL A ESA CANTIDAD MULTIPLICADA POR 2.

– EJEMPLO 1:

SI TENEMOS 5 MANZANAS, ¿CUÁL ES EL DOBLE?

PRIMERO DIBUJAMOS LAS 5 MANZANAS:

COMO DEBEMOS SABER EL DOBLE, REPETIMOS EL CONJUNTO PARA TENERLO 2 VECES:

CONTAMOS LAS MANZANAS O REPRESENTAMOS COMO UNA MULTIPLICACIÓN:

5 + 5 = 10

2 VECES 5 ES IGUAL A 10

2 × 5 = 10

LUEGO RESPONDEMOS:

EL DOBLE DE 5 MANZANAS SON 10 MANZANAS.

– EJEMPLO 2:

¿CUÁL ES EL DOBLE DE 8?

COMO YA SABEMOS EL PROCESO, BASTA CON QUE SUMEMOS DOS VECES EL MISMO NÚMERO (8) O QUE MULTIPLIQUEMOS 8 POR 2.

8 + 8 = 16

2 × 8 = 16

EL DOBLE DE 8 ES 16.

– EJEMPLO 3:

¿CUÁL ES EL DOBLE DE 7?

7 + 7 = 14

2 × 7 = 14

EL DOBLE DE 7 ES 14.

LAS TABLAS DE MULTIPLICAR

SON UN RECURSO EXPRESADO EN UNA CUADRÍCULA DONDE PODEMOS VER LA RELACIÓN DE LOS PRODUCTOS ENTRE DOS FACTORES. LAS TABLAS DE MULTIPLICAR MUESTRAN DE FORMA RESUMIDA EL RESULTADO DE LAS MULTIPLICACIONES.

¡CONSTRUYAMOS LA TABLA DEL 2!

EN CADA CUADRO HAY 2 PELOTAS.

	2 × 1 = 2
	2 × 2 = 4
	2 × 3 = 6
	2 × 4 = 8
	2 × 5 = 10
	2 × 6 = 12
	2 × 7 = 14
	2 × 8 = 16
	2 × 9 = 18

OBSERVA LOS PRODUCTOS (2, 4, 6, 8, 10, …). TODOS AUMENTAN DE 2 EN 2.

¡ES TU TURNO!

CONSTRUYE LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 3.

EN CADA CUADRO HAY 3 NUECES.

3 × 1 = 3

SOLUCIÓN

	3 × 1 = 3
	3 × 2 = 6
	3 × 3 = 9
	3 × 4 = 12
	3 × 5 = 15
	3 × 6 = 18
	3 × 7 = 21
	3 × 8 = 24
	3 × 9 = 27

UNA GRAN HERRAMIENTA

PARA HACER CÁLCULOS DE MULTIPLICACIONES SE IDEARON LAS TABLAS DE MULTIPLICAR, QUE NO SON MÁS QUE UN ATAJO PARA REALIZAR SUMAS LARGAS DE FORMA RÁPIDA. LA FORMA MÁS COMÚN DE REPRESENTAR LAS TABLAS DE MULTIPLICACIÓN ES, COMO SU NOMBRE LO INDICA, A TRAVÉS DE TABLAS. NORMALMENTE SE MUESTRAN LAS TABLAS DEL 1 AL 10 Y CADA UNA DE ELLAS INDICA LAS MULTIPLICACIONES DEL NÚMERO QUE REPRESENTAN DEL 1 AL 10 O DEL 0 AL 10.

¡A PRACTICAR!

1. OBSERVA LOS GRUPOS. RESUELVE COMO SUMA REPETIDA, TANTAS VECES TANTO Y MULTIPLICACIÓN.

SOLUCIÓN

5 + 5 + 5 = 15

3 VECES 5 ES IGUAL A 15

3 × 5 = 15

SOLUCIÓN

2 + 2 + 2 + 2 = 8

4 VECES 2 ES IGUAL A 8

4 × 2 = 8

SOLUCIÓN

4 + 4 + 4 + 4 = 16

4 VECES 4 ES IGUAL A 16

4 × 4 = 16

2. RESPONDE:

¿CUÁL ES EL DOBLE DE 9?

SOLUCIÓN

¿CUÁL ES EL DOBLE DE 2?

SOLUCIÓN

¿CUÁL ES EL DOBLE DE 6?

SOLUCIÓN

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”

En el siguiente artículo encontrarás un conjuntos de consejos para aprender las tablas de multiplicar.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 6 (REVISIÓN)

NÚMEROS | ¿QUÉ APRENDIMOS?

El universo de los números

El ser humano ha creado muchos inventos, pero uno de los más significativos han sido los números. En la actualidad, el sistema de numeración más usado es el decimal, llamado así porque emplea diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Este sistema es posicional porque cada cifra adquiere un valor distinto de acuerdo a la posición en donde se encuentre. A lo largo del tiempo han existido otros sistemas de numeración como el romano, que es usado hoy en día en ciertas situaciones.

La falta del número cero y la imposibilidad de representar fracciones y números decimales hizo que el sistema romano quedara en desuso.

Números primos y compuestos

Los números enteros que solo son divisibles entre ellos mismos y la unidad se denominan números primos. Hay números que además de ser divisibles entre ellos mismos y la unidad pueden ser divisibles por otros números, y se conocen como números compuestos. Por convención, el 1 no es clasificado como número primo ni compuesto; por otro lado, el 0, al no poder ser dividido entre él mismo, tampoco entra en dichas clasificaciones.

La Criba de Eratóstenes es una tabla que permite identificar de manera simple los números primos.

Un vistazo a los números decimales

Los números que se encuentran entre dos números enteros consecutivos se denominan números decimales y se caracterizan por una parte entera y otra parte decimal. La parte entera puede ser igual o diferente de cero y la parte decimal está ubicada después del separador decimal que puede ser un punto o una coma de acuerdo a la convención de cada país. La suma y resta de decimales se hace igual que con los números enteros, pero se debe tener la precaución que cada cifra esté ordenada de acuerdo a su mismo valor posicional.

Los números decimales pueden tener decimales infinitos como sucede en el caso del número pi: 3,141592…

Valor posicional

Cada cifra adquiere un valor dentro de un número y por medio de una tabla posicional se pueden representar dichos valores. Para números de seis dígitos estos son, de mayor a menor: centena de mil, decena de mil, unidad de mil, centena, decena y unidad. Conocer los valores posicionales facilita realizar operaciones como la descomposición aditiva de un número.

La descomposición aditiva permite expresar un número en forma de suma. Este tipo de descomposición relaciona el valor relativo de cada cifra.

Secuencias

Al conjunto de elementos que guardan relación y conservan un orden particular se lo denomina “secuencia”. El orden de una secuencia viene dado por una regla que puede ser, por ejemplo, su forma, tamaño o color. Además, en el caso de las secuencias numéricas, la regla puede implicar que los números incrementen o disminuyan su valor, en estos casos se denominan secuencias ascendentes y descendentes respectivamente. Conocer las secuencias permite realizar operaciones como las divisiones con restas sucesivas.