CAPÍTULO 6 / TEMA 2

INTERPRETACIÓN DE DATOS

Existen diversas maneras de recopilar datos, por ejemplo, en un censo demográfico se hacen encuestas a nivel nacional para saber el tamaño de la población y composición del hogar. Cuando la cantidad de datos es numerosa, necesitamos un valor que sea característico de ese conjunto, para eso empleamos la media, la moda y la mediana.

Las medidas de tendencia central también son llamadas medidas de posición o de centralización. Estas hacen referencia a los valores centrales de una determinada distribución de datos. La moda, media aritmética y mediana comprenden este grupo de medidas. Es usual que las usemos junto a gráficos para comprender el comportamiento de un conjunto de elementos.

media aritmética

La media aritmética o promedio es utilizada con frecuencia en la vida cotidiana, este sencillo cálculo permite determinar el valor característico de un grupo. Dado un conjunto de números (n): x₁, x₂, x₃,…, x_n, la media aritmética es igual a la suma de todos los datos entre la cantidad total de estos. La fórmula es la siguiente:

$\overline{x}=\frac{x_{1}+\: x_{2}+\: x_{3}+\: ...\: +x_{n}}{n}$

– Ejemplo 1:

Pedro vendió galletas durante una semana y registró sus ventas en una tabla. ¿Cuántas galletas en promedio vendió Pedro por día?

Días	Galletas vendidas
Lunes	12
Martes	6
Miércoles	7
Jueves	8
Viernes	4
Sábado	7
Domingo	12

Para saber la cantidad de galletas que se vendieron en promedio solo tenemos que aplicar la fórmula. Sumamos todos los valores y dividimos entre la cantidad de días.

$\overline{x}=\frac{12+6+7+8+4+7+12}{7}=\frac{56}{7}=\boldsymbol{8}$

En promedio, Pedro vendió 8 galletas diarias.

– Ejemplo 2:

María obtuvo las siguientes calificaciones en cada corte del año: 15, 17, 18 y 16. ¿Cuál es su calificación promedio?

$\overline{x}=\frac{15+17+18+16}{4}=\frac{66}{4}=\boldsymbol{16,5}$

El promedio de calificaciones de María es 16,5 puntos.

¡Es tu turno!

Las estaturas de un grupo de alumnos son: 155 cm, 152 cm, 158 cm, 162 cm, 158 cm y 163 cm. ¿Cuál es la estatura promedio?

Solución

$\overline{x}=\frac{155+152+158+162+158+163}{6}=\frac{948}{6}=\boldsymbol{158}$

Este grupo de alumnos tiene una estatura promedio de 158 cm.

¿Sabías qué?

Los docentes suelen utilizar el cálculo del promedio o media aritmética para informar las calificaciones finales de sus alumnos.

LA MODA

La moda (Mo) es el valor que se presenta con mayor frecuencia en una muestra, es decir, es el valor que más se repite. Para hallar la moda es recomendable ordenar los datos y verificar la cantidad de veces que aparece cada uno.

– Ejemplo:

En una venta de helados se anotaron los sabores más vendidos durante la semana. El registro está en esta tabla. Obsérvala y responde: ¿cuál es la moda de los sabores?

Sabor del helado	Cantidad de helados vendidos
Fresa	45
Chocolate	56
Vainilla	34
Colita	29

La moda es el valor con mayor frecuencia, en este caso el sabor de helado que más se vendió fue el de chocolate porque 56 > 45 > 34 > 29. Así que:

Mo = 56

¡Es tu turno!

¿Cuál es la moda de los siguientes conjuntos de datos?

8, 5, 7, 8, 6, 10, 9, 7, 2 y 7.
Solución
Mo = 7

8, 10, 6, 10, 2, 5, 7, 8, 10, 10 y 8.
Solución
Mo = 10

Distribución bimodal

La moda es el valor con mayor frecuencia en las distribuciones de los datos y en gráfico estadístico es fácil de distinguir porque representa la punta más alta. Sin embargo, puede suceder que se encuentren dos modas, en este caso la distribución de los datos se llama “bimodal”. En la imagen podemos ver una distribución normal (izquierda) y una bimodal (derecha).

LA MEDIANA

La mediana (Me), tal como su nombre lo indica, corresponde a un punto medio, equidistante de los extremos. Esta corresponde al valor para el cual la cantidad de datos menores y mayores a él es igual. Cuando los elementos del conjunto de datos son un número impar, la mediana queda definida. Si la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio entre los dos datos centrales.

– Ejemplo 1:

Las calificaciones de 7 alumnos son: 12, 15, 12, 11, 16, 19 y 12. ¿Cuál es la mediana?

Primero organizamos de menor a mayor los datos, luego ubicamos el valor central.

11, 12, 12, 12, 15, 16, 19

Nota que hay tres valores tanto a la derecha como a la izquierda del centro. Por lo tanto:

Me = 12

– Ejemplo 2:

En un grupo de baile hay 8 alumnos cuyas edades son: 22, 16, 18, 21, 20, 21, 14, 17. ¿Cuál es la mediana?

Organizamos lo datos y ubicamos los valores centrales:

14, 16, 17, 18, 20, 21, 21, 22

Como la cantidad de datos es par, hay dos valores centrales: 18 y 20. Para saber la mediana calculamos la media aritmética de ambos valores:

$\overline{x}=\frac{18+20}{2}=\boldsymbol{19}$

Por lo tanto,

Me = 19

¡Es tu turno!

14, 16, 12, 12, 10, 18, 20, 14
Solución
Me = 14

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Solución
Me =16

TABLAS DE DOBLE ENTRADA

Las tablas de doble entrada son un recurso muy útil a la hora de organizar la información. Las mismas posibilitan presentar los datos de forma clara. Se trata de un conjunto de filas y columnas que representan la interacción entre dos o más variables.

– Ejemplo:

Esta tabla muestra la cantidad de veces que Marcos, Pedro y Lucía fueron al museo en tres meses:

	Febrero	Marzo	Abril
Marcos	1	2	3
Pedro	4	5	1
Lucía	5	4	2

De la tabla podemos concluir que:

Lucía visitó el museo más veces en febrero.
Pedro visitó el museo más veces en marzo.
Marcos visitó el museo más veces en abril.

¡Es tu turno!

1. Calcula el promedio de las visitas por persona.

Solución

Marcos: {1, 2, 3}

$\overline{x}=\boldsymbol{2}$

Pedro: {4, 5, 1}

$\overline{x}=\boldsymbol{3,33}$

Lucía: {5, 4, 2}

$\overline{x}=\boldsymbol{3,66}$

2. Calcula el promedio de las visitas por mes.

Solución

Febrero: {1, 4, 5}

$\overline{x}=\boldsymbol{3,33}$

Marzo: {2, 5, 4}

$\overline{x}=\boldsymbol{3,66}$

Abril: {3,1, 2}

$\overline{x}=\boldsymbol{2}$

Para presentar los datos recopilados se utilizan tablas que permiten apreciar en forma organizada los valores obtenidos. Estas tablas cuentan con algunos elementos como la frecuencia o la amplitud de la variable. Una vez confeccionada una tabla de valores estadísticos se puede realizar un gráfico para visualizar con mayor facilidad los resultados.

¡A practicar!

1. Un grupo de 11 alumnos recibió sus calificaciones de música: 7, 2, 5, 6 ,8 ,9 ,6, 5, 4, 6 y 8. ¿Cuál es el promedio, la moda y la mediana?

Solución

$\overline{x}=6$

$Mo=6$

$Me=6$

2. Las estaturas en centímetros de un grupo de alumnos son las siguientes: 139, 134, 128, 135, 129, 139. ¿Cuál es el promedio, la moda y la mediana?

Solución

$\overline{x}=134$

$Mo=139$

$Me=134,5$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Las medidas de tendencia central”

En el siguiente artículo encontrarás detalladas las principales medidas de tendencia central explicadas con ejercicios adecuados para la edad de los alumnos.

VER

CAPÍTULO 7 / TEMA 1

SUCESIONES

Las sucesiones son series de números con un orden establecido llamado patrón. Algunas tienen un patrón en el que se suman o restan cantidades constantes, mientras que en otras el patrón se forma por medio de la multiplicación o división de cantidades constantes. Hoy aprenderemos cómo se llaman estos tipos de sucesiones y cómo calcular sus términos generales.

¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?

Una sucesión es una secuencia ordenada de números o elementos que obedecen a un patrón o regla de formación particular. Por ejemplo, veamos la siguiente sucesión:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 …

En este caso, la sucesión está formada por números ordenados que reconocemos como cifras pares. Los puntos suspensivos al final nos indican que la sucesión es infinita.

Nota que cada número es 2 unidades superior al anterior, por lo tanto, el patrón de la sucesión consta de sumar 2.

¿Sabías qué?

Los elementos de una sucesión se llaman “terminos”.

Si denominamos a₁ al primer término de la sucesión, a₂ al segundo término, a₃ al tercer término, y así sucesivamente, podemos determinar la regla de sucesión que sigue hasta el enésimo valor que llamaremos a_n. Los subíndices indican el lugar que ocupa cada elemento en la sucesión.

Observa que:

a₁ = 2

a₂ = 4

a₃ = 6

a₄ = 8

a_n = 2n

A partir de este análisis podemos obtener el término general de la sucesión:

a_n = 2n

Donde n es cualquier número entero. Por ejemplo, si n = 5, el quinto término de la sucesión es:

a₅ = 2 × 5 = 10

Los término a₂₀ y a₂₅ de esta misma sucesión son los siguientes:

a₂₀ = 2 × 20 = 40
a₂₅ = 2 × 25 = 50

¿Qué es el término general de la sucesión?

Es el término que ocupa el enésimo lugar en la sucesión. Se escribe con la letra que denota la sucesión y el subíndice n. Por ejemplo, a_n.

Leonardo Pisa dio a conocer el uso de las sucesiones de Fibonacci en la solución de problemas (aunque ya se las usaban muchos años atrás). La espiral de Fibonacci, se construye trazando arcos circulares entre dos diagonales de cuadrados adosados, cuyos lados equivalen a los términos de la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

VER INFOGRAFÍA

TIPOS DE SUCESIONES

Existen varias maneras de clasificar las sucesiones, por ejemplo, podemos decir que las sucesiones pueden ser finitas, o infinitas. Sin embargo, también podemos clasificarlas de acuerdo a la diferencia o a la razón entre sus términos. En estos casos hablamos de sucesiones aritméticas y geométricas.

Sucesiones aritméticas

Son aquellas en las que cada término, con excepción del primero, tiene una diferencia con el término anterior en una cantidad constante. Por ejemplo:

20.000, 22.000, 24.000, 26.000, ..

Esta es una sucesión aritmética porque la diferencia entre un término y el siguiente es la misma en cada caso, es decir, la diferencia es constante.

A esta diferencia, denominada diferencia común y representada como d, la podemos obtener por medio de una resta entre cualquier término y su término anterior. Para la sucesión antes señalada la diferencia común d es:

d = 22.000 − 20.000 = 2.000

d = 24.000 − 22.000 = 2.000

d = 26.000 − 24.000 = 2.000

Observa que sin importar el término que elijas la diferencia siempre será la misma.

– Otro ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

5, 1, −3, −7, −11, −15, …

La diferencia común d = −4 porque:

d = 1 − 5 = −4

d = −3 − 1 = −4

d = −15 − (−11) = −4

¡Es tu turno!

Observa estas sucesiones aritméticas, ¿cuál es la diferencia común d?

−15, −12, −9, −6, −3, 0, 3, …
Solución
d = 3

230, 345, 460, 575, 690, 805, …
Solución
d = 115

Término enésimo de una sucesión aritmética

El término enésimo de una sucesión aritmética con un primer término a₁ y una diferencia común d es el siguiente:

a_n = a₁ + d(n − 1)

– Ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

−3, −1, 1, 3, 5, …

La diferencia común d = 2 porque:

d = −1 − (−3)

d = 2

Por lo tanto, si a₁ = −3 y d = 2, el término enésimo de la sucesión es:

a_n = a₁ + d(n −1)

a_n = −3 + 2(n − 1)

a_n = −3 + (2n − 2)

a_n = −3 + 2n − 2

a_n = 2n − 5

Entonces, si queremo determinar a₁₀, a₁₂ y a₁₅ solo aplicamos:

a₁₀ = 2n − 5 = 2 (10) − 5 = 20 − 5

a₁₀ =15

a₁₂ = 2n − 5 = 2 (12) − 5 = 24 − 5

a₁₂ = 19

a₁₅ = 2n − 5 = 2 (15) − 5 = 30 − 5

a₁₅ = 25

Podemos considerar los ahorros como una sucesión aritmética. Por ejemplo, si tenemos $ 10 ahorrados y cada mes le sumamos $ 2, los primeros cuatro meses podríamos representarlos como: 10, 12, 14, 16, … Entonces, si a₁ = 10 y la diferencia común d = 2, el término enésimo de esta sucesión sería: *a_n* = 8 + 2n. Calcula cuánto podemos ahorrar de esta manera en 6 meses.

Sucesiones geométricas

Son aquellas en las que cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión. El cociente entre cualquier término y su precedente es constante. Por ejemplo:

20.000, 30.000, 45.000, 67.500, 101.250, …

Esta es una sucesión geométrica porque el cociente de la división entre cualquier término y su anterior es el mismo en cada caso.

Este cociente es igual al múltiplo común entre términos y se llama razón común (r). Se obtiene al dividir un término con el que le precede. Para esta sucesión la razón común se determina así:

r = 30.000 ÷ 20.000 = 1,5

r = 45.000 ÷ 30.000 = 1,5

r = 101.250 ÷ 67.500 = 1,5

Observa que sin importar el término que elijas la razón común es la misma: 1,5.

– Otro ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

3, 12, 48, 192, 768, 3.072, …

La razón común es 4 porque:

r = 12 ÷ 3 = 4

r = 48 ÷ 12 = 4

r = 768 ÷ 192 = 4

¡Es tu turno!

Observa estas sucesiones geométricas, ¿cuál es la razón común?

5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …
Solución
r = 2

−18, 54, −162, 486, −1.458, …
Solución
r = −3

Término enésimo de una sucesión geométrica

El término enésimo de una sucesión geométrica con un primer término a₁ y una razón común r es el siguiente:

a_n = a₁(r^{n − 1})

– Ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

3, −6, 12, −24, 48, −96, …

La razón común r = −2 porque:

r = −6 ÷ 3 = −2

r = −24 ÷ 12 = −2

r = −96 ÷ 48 = −2

Por lo tanto, si a₁ = 3 y r = −2, el término enésimo de la sucesión es:

a_n = a₁(r^{n − 1})

a_n = 3(−2^{n − 1})

Entonces, si queremos determinar a₈, a₁₀ y a₁₂ solo aplicamos:

a₈ = 3(−2^{n − 1}) = 3(−2^{8 − 1}) = 3(−2⁷) = 3(−128)

a₈= −384

a₁₀ = 3(−2^{n − 1}) = 3(−2^{10 − 1}) = 3(−2⁹) = 3(−512)

a₁₀ = −1.536

a₁₂ = 3(−2^{n − 1}) = 3(−2^{12 − 1}) = 3(−2¹¹) = 3(−2.048)

a₁₂ = −6.144

La división celular es un ejemplo de sucesión geométrica, ya que si por ejemplo, partimos de una célula (a₁ = 1), durante el proceso de meiosis esta se divide y obtenemos dos células nuevas (a₂ = 2). Luego, estas dos células a su vez se dividen y se tienen 4 células más (a₃ = 4). La razón de progresión r = 2 y *a_n* = 2n − 1.

Resolvamos unos problemas

1. Marcos comenzó un trabajo y su pago inicial fue de $ 15.000. Se le prometió un aumento de $ 1.500 después de cada año. ¿Cuál será su salario en el séptimo año de trabajo? ¿y en el décimo año?

Datos

Salario inicial = a₁ = $ 15.000

Aumento anual = d = $ 1.500

Reflexiona

Su salario después de los primeros años es: 15.000, 16.500, 18.000, 19.500 … Ya que se suma una cantidad constante, esta es una sucesión aritmética. El término general enésimo de una sucesión aritmética es a_n = a₁ + d(n − 1). Donde a₁ = 15.000. Tenemos que calcular la diferencia común, luego el término enésimo y finalmente a₇y a₁₀.

Calcula

– Diferencia común, d

d = 16.500 − 15.000 = 1.500

– Término enésimo

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 15.000 + 1.500(n − 1)

a_n = 15.000 + 1.500n − 1.500

a_n = 13.500 + 1.500n

– Términos a₇ y a₁₀

a₇ = 13.500 + 1.500(7)

a₇ = 13.500 + 10.500

a₇ = 24.000

a₁₀ = 13.500 + 1.500(10)

a₁₀ = 13.500 + 15.000

a₁₀ = 28.500

Responde

En su séptimo año Marcos tendrá un salario de $ 24.000.

En su décimo año Marcos tendrá un salario de $ 28.500.

2. Un auditorio tiene 15 asientos en la primera fila. Cada fila sucesiva tiene tres asientos más que el anterior. ¿Cuántos asientos hay en las primeras diez filas?

Datos

Asientos en la primera fila = a₁ = 15

Diferencia con las demás filas = d = 3 asientos

Reflexiona

Como cada fila tiene 3 asientos más que la anterior se trata de una sucesión aritmética. Primero calculamos el término enésimo y luego determinamos los primeros diez términos.

Calcula

– Término enésimo

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 15 + 3(n − 1)

a_n = 15 + 3n − 3

a_n = 12 + 3n

– Primeros diez términos

a₁ = 12 + 3(1) = 12 + 3 = 15

a₂ = 12 + 3(2) = 12 + 6 = 18

a₃ = 12 + 3(3) = 12 + 9 = 21

a₄ = 12 + 3(4) = 12 + 12 = 24

a₅ = 12 + 3(5) = 12 + 15 = 27

a₆ = 12 + 3(6) = 12 + 18 = 30

a₇ = 12 + 3(7) = 12 + 21 = 33

a₈ = 12 + 3(8) = 12 + 24 = 36

a₉ = 12 + 3(9) = 12 + 27 = 39

a₁₀ = 12 + 3(10) = 12 + 30 = 32

Responde

La cantidad de asientos en cada fila sigue este orden: 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 32.

3. José tiene una alcancía. Si el día 1 sacó $ 1, el día 2 sacó $ 2, el día 3 sacó $ 4, el día 4 sacó $ 8, y así sucesivamente, ¿cuánto dinero sacó después de 30 días?

Datos

Dinero sacado el día 1 = a₁ = $ 1

Dinero sacado el día 2 = a₂ = $ 2

Dinero sacado el día 3 = a₃ = $ 4

Dinero sacado el día 4 = a₄ = $ 8

Reflexiona

Como la cantidad de dinero sacado se multiplica cada día, se trata de una sucesión geométrica. Por lo tanto, a partir de la fórmula general del término enésimo (a_n = a₁(r^{n − 1})) podremos saber el dinero sacado a los 30 días. Nota que a₁ = 1 y r = 2.

Calcula

a_n = a₁(r^{n − 1})

a₃₀ = 1(2^{30 − 1})

a₃₀ = 1(2²⁹)

a₃₀ = 536.870.912

Responde

José sacó $ 536.870.912.

Las sucesiones también pueden clasificarse como progresivas o ascendentes; o regresivas o descendentes. Las primeras son aquellas que van de menor a mayor, mientras que las segundas son las que van de mayor a menor. Un ejemplo de estas sucesiones podemos verlo en el orden en el que enumeran los asientos de un estadio.

¡A practicar!

Observa las siguientes sucesiones.

Indica si la sucesión es aritmética o geométrica.
Encuentra el término enésimo.
Determina a₁₂ en cada caso.

20, 19,3, 18,6, 17,9, …

Solución

Es una sucesión aritmética.

Si d = −0,7 y a₁ = 20 el término enésimo es:

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 20 + 0,7(n − 1)

a_n = 20 + (0,7n − 0,7)

a_n = 20 − 0,7n + 0,7

a_n = 20,7 − 0,7n

a₁₂ = 20,7 − 0,7 (12) = 20,7 − 8,4

a₁₂ = 12,3

4, 2, 1, 0,5, 0,25, …

Solución

Es una sucesión geométrica.

Si a₁ = 4 y r = 0,5 el término enésimo es:

a_n = a₁(r^{n − 1})

a_n = 4(0,5^{n − 1})

a₁₂ = 4(0,5^{12 − 1}) = 4 (0,5¹³)

a₁₂ = 4,8 × 10⁻⁵

13, 23, 33, 43, 53, 63, …

Solución

Es una sucesión aritmética.

Si a₁ = 13 y d = 10 el término enésimo es:

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 13 + 10(n − 1)

a_n = 13 + 10n − 10

a_n = 3 + 10n

a₁₂ = 3 + 10(12) = 3 + 120

a₁₂ = 123

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sucesiones”

En el siguiente artículo encontrarás ejemplos relacionados con sucesiones aritméticas. Adicionalmente, el artículo describe algunos tipos de sucesiones.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 1

Adición y sustracción

En matemática existen cuatro operaciones básicas: adición, sustracción, multiplicación y división. De las dos primeras se desprenden las otras, lo que quiere decir que aprender a sumar y a restar es fundamental para resolver la mayoría de los ejercicios matemáticos y para realizar cuentas cotidianas como, por ejemplo, en compras del supermercado.

Elementos de la adición

La adición es una de las operaciones básicas de la aritmética que permite combinar dos o más números para obtener un total. Esta operación se representa con el símbolo “+” y es aplicada en los diferentes tipos de números: naturales, enteros, racionales, reales y complejos.

Una adición presenta dos partes básicas: los sumandos y la suma. Los sumandos son todos los números que se van a sumar y la suma se refiere al resultado.

La adición anterior tiene dos sumandos: 352 y 431, y el resultado o suma es 783. Es importante tener presente que en estos casos la palabra “suma” se emplea para hablar de la operación de adición y también para referirse al resultado.

¿Sabías qué?

La aritmética es una rama de la matemática que estudia los números y las operaciones elementales que se realizan con ellos.

Propiedades de la adición

La suma de números enteros cumple tres propiedades básicas:

Propiedad conmutativa

Sin importar cómo se ordenen los sumandos de una suma, el resultado siempre será el mismo. Por ejemplo:

Por lo tanto:

15 + 3 = 18

3 + 15 = 18

Propiedad asociativa

No importa como se agrupen los elementos de una suma, el resultado siempre será el mismo. Por ejemplo:

En el problema: 8 + 2 + 6, se pueden sumar primero el 8 y 2 para luego sumar el 6, o se pueden sumar el 2 y el 6 y después sumar el 8. Entonces:

8 + 2 = 10, 10 + 6 = 16

2 + 6 = 8; 8 + 8 = 16

Propiedad del elemento neutro

El cero es el único número que no altera el resultado en una suma, es decir, la suma de cualquier número con el cero es igual al mismo número:

5 + 0 = 5
45 + 0 = 45
219 + 0 = 219

Conocer las propiedades de la suma permite realizar cálculos de manera más rápida. Por ejemplo, si necesitamos sumar 6 + 85, es más fácil agregar mentalmente 6 a 85 que 85 a 6. También se usa la propiedad asociativa en la suma de números con diferentes cifras, estos se pueden ordenar de mayor a menor y luego realizar una suma por reagrupación más sencilla.

VER INFOGRAFÍA

Adición por reagrupación

Es un método en el que se agrupan las unidades, decenas, centenas, etc., de un número. Para resolver problemas de este tipo se suman primero las unidades, luego las decenas, después las centenas y así sucesivamente.

Pasos para resolver adiciones por reagrupación

Colocar los sumandos uno debajo del otro de manera que los valores posicionales iguales estén ubicados en una misma columna: unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas…
Sumar cada columna por separado a partir de las unidades. El resultado de la suma de cada columna se escribe en la parte inferior de esta.
En caso de obtener un número de dos cifras al momento de sumar una columna, se anotará el número de la unidad de dicho número y la decena se sumará a la columna siguiente.

Con estos ejemplos podrás ver mejor cómo resolver una suma por reagrupación:

– Sumar 242 + 351

Lo primero es colocar los números uno debajo del otro según sus mismos valores posicionales.

Luego suma la columna de las unidades y anota el resultado debajo de dicha columna.

Repite el procedimiento anterior en las demás columnas de derecha a izquierda hasta completarlas todas. En este caso el resultado es: 242 + 351 = 593.

– Sumar 198 + 23

Ordena los números de la siguiente manera:

Cuando sumas la columna de las unidades tienes que 8 + 3 = 11, entonces solo debes colocar el 1 de la unidad y el 1 de la decena lo sumas en la siguiente columna. Anota el número en la parte superior de la columna para no olvidar sumarlo al final.

Suma la segunda columna. Allí tienes que 9 + 2 = 11, pero hay que sumarle 1 de la columna anterior, entonces el resultado de la segunda columna es 12. Anota el 2 de la unidad y el 1 de la decena lo sumas a la siguiente columna.

En la tercera columna solamente está el número 1, así que el 1 de la columna anterior se suma a este. Anota el resultado.

El resultado de la suma anterior es: 198 + 23 = 221. En caso de sumar la última columna y obtener un número de dos cifras, este se anotará exactamente igual en el resultado.

Elementos de la sustracción

La sustracción es otra operación básica de la aritmética que consiste en quitar una cantidad a otra, por eso se considera como la operación opuesta a la suma. Se representa con el símbolo “−”.

Este tipo de operación cuenta con un minuendo, número al cual se le quita cierta cantidad; un sustraendo, número que resta al minuendo; y la diferencia, resultado de la operación.

¿Sabías qué?

La diferencia de una resta es la cantidad que falta para que ambos números sean iguales.

Propiedades de la sustracción

La sustracción cumple con dos propiedades básicas:

Elemento neutro

El resultado de cualquier número y cero da como resultado el mismo número. Por ejemplo:

3 − 0 = 3

157 − 0 = 157

Elemento simétrico

El resultado de restar un número con su opuesto (número del mismo valor con signo opuesto) da como resultado el número cero.

5 − 5 = 0

74 − 74 = 0

¿Sabías qué?

En la sustracción no existen ni la propiedad conmutativa ni la asociativa.

Sustracción por reagrupación

Este tipo de problemas se realizan mediante la agrupación de los números uno debajo del otro de forma tal que valores posicionales entre las cifras de los números que se restan sean los mismos. Para las restas con naturales, el número mayor debe estar ubicado en la parte de arriba (minuendo) y el número menor debajo (sustraendo).

¿Sabías qué?

La resta por reagrupacion también es conocida como resta con llevada y sirve para restar una cifra mayor a una menor.

Pasos para resolver restas por reagrupación

Colocar el minuendo y el sustraendo uno debajo del otro de manera que los valores posicionales iguales estén ubicados en la misma columna. El número mayor siempre debe estar ubicado en la parte de arriba.
Comenzar a restar desde la columna de las unidades, de derecha a izquierda.
Si en una columna se tiene que la cifra de arriba es menor que la de abajo, esta cifra toma prestado un valor posicional a la columna del minuendo de la izquierda.
En caso de que la cifra del minuendo le haya “prestado” un valor posicional a la cifra de al lado, esta se reduce en una unidad y se debe considerar el nuevo valor de la cifra al momento de restar en su columna.

Con estos ejemplos podrás apreciar mejor cómo resolver una resta por reagrupación:

– Restar 425 − 263

Lo primero es colocar los números uno debajo del otro con sus valores posicionales iguales, todos ubicados en la misma columna.

Luego resta las cifras en la columna de las unidades.

Repite la resta en la columna de las decenas, pero como en este caso el 2 es menor que el 6, el 4 presta una centena al 2. De este modo, 4 centenas y 2 decenas, se convierten en 3 centenas y 12 decenas. Ahora sí es posible restar 12 menos 6 en la columna de las decenas.

Resta las cifras en la columna de las centenas. Como el 4 le prestó 1 al 2, entonces quedó en 3 centenas que al restarse con el 2 el resultado de la columna es 1.

Ejercicios

1. Resuelve las siguientes sumas:

a) 452 + 395 =

Solución

847

b) 256 + 122 =

Solución

378

c) 603 + 113 =

Solución

716

d) 126 + 460 =

Solución

586

e) 1.830 + 2.178 =

Solución

4.008

2. Resuelve las siguientes restas:

a) 853 − 741 =

Solución

112

b) 544 − 35 =

Solución

509

c) 1.789 − 1.354 =

Solución

435

d) 957 − 362 =

Solución

595

e) 4.780 − 3541 =

Solución

1.239

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Operaciones básicas de los números naturales y sus propiedades”

El presente artículo permite profundizar el tema de las operaciones básicas y de sus diferentes propiedades.

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Enciclopedia “Nana y Enriqueta en el país de las matemáticas”

Es una enciclopedia diseñada para explicar de manera didáctica los conceptos matemáticos básicos desde la realidad de los niños.

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Video “Suma y resta de números decimales”

En este video se muestra como realizar sumas en el conjunto de los números decimales.

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