Matemática – Página 5 – Elbibliote.com

La estadística

Se pusieron a pensar alguna vez qué procedimientos se siguen para determinar, por ejemplo, el porcentaje de personas con trabajo en una población o la magnitud de un grupo con ciertos ideales políticos. La ciencia que se encarga se dar respuesta a esos interrogantes por medio de un determinado procedimiento es la estadística.

La estadística es una rama de las matemáticas que se ocupa de reunir y organizar datos relacionados con fenómenos colectivos. Estudia características o propiedades de los individuos, objetos o acontecimientos que integran un conjunto determinado, al que se denomina genéricamente población.

Para que dichas características o propiedades puedan ser objeto de estudio estadístico, es preciso obtener previamente una medida de las mismas; en estadística, se puede definir la medición como un procedimiento para asignar un número a cada uno de los miembros de la población estudiada, de acuerdo con unas reglas determinadas. Según esto, una variable estadística será cualquier característica o propiedad de los miembros de una población susceptible de tomar determinados valores mediante un procedimiento de medición, de modo que dichos valores puedan ser clasificados exhaustivamente en un cierto número de categorías posibles. Por ejemplo, la estatura de los alumnos de un determinado centro de enseñanza será una variable estadística que tendrá como valores, el número de centímetros atribuido a cada uno de ellos como medida de su estatura.

La información obtenida es representada en gráficos para su posterior análisis. Las conclusiones que se extraen de este procedimiento son idóneas para la toma de decisiones. De este modo la estadística se vuelve una herramienta auxiliar de muchas ciencias y actividades humanas tales como, la sociología, psicología, geografía humana, economía, etc.

Pasos a seguir

Para comprender mejor el estudio estadístico vamos a identificar los tres pasos principales que se siguen en el proceso:
1. Recolección de datos. Ordenación y recuento.
2. Cálculo de las medidas de centralización y de dispersión.
3. Representación gráfica.

Conceptos y variables

Para evitar errores de resultado debemos tener en cuenta la diferencia de ciertos conceptos y las variables que convienen emplear de acuerdo al objeto de estudio. Existen cuatro términos estadísticos muy importantes para tener en cuenta:

Población: conjunto formado por todos los elementos del estudio.
Individuo: cada uno de los elementos del estudio estadístico.
Muestra: parte de la población que se toma como base para el análisis del conjunto que se desea estudiar.
Tamaño de muestra: número de elementos de una muestra.

Se denomina variable estadística al conjunto de características o cualidades que poseen los individuos de una población. Vamos a diferenciar dos tipos de variables:

Cualitativas: Los valores de las variables son cualidades. Por ejemplo: tendencia política, gustos literarios, opinión sobre un determinado tema, etc.
Cuantitativas: Se toman valores con variable numérica. Por ejemplo: edad, altura, peso, valor de sueldos, cantidad de días, etc. Estas variables se pueden dividir en:
Discretas: En cada tramo, la variable sólo puede tomar un número determinado de valores. Por ejemplo, las veces que una persona viajó al exterior puede ser 1 o 2, pero no 1,5.
Continuas: Las variables pueden tomar tantos variables como queramos. Por ejemplo: el peso puede ser 50,5; 60,3; 100,9…

Tomamos una muestra

¡Atención! Cuando realizamos un estudio estadístico tomamos una muestra cuando la población es muy extensa y no se puede encuestar, entrevistar o analizar a todos los individuos.

La muestra debe escogerse de modo que sea representativa; es decir, que las conclusiones arribadas de su estudio se puedan aplicar a toda la población.

Por ejemplo, tenemos que realizar un estudio para determinar cuántas personas de una localidad de 10.000 habitantes fuma. Si queremos obtener una muestra representativa, tenemos que descartar a bebes y niños debido a que no tienen esos hábitos. Si sólo le preguntamos a 30 personas y de ellas 20 tienen doce años obtendremos un resultado erróneo. Al respecto existen diferentes técnicas de muestreo para determinar cuál será el tamaño de la muestra.

Veamos un ejemplo

Supongamos que queremos realizar un estudio estadístico para determinar el porcentaje de personas que están de acuerdo con la política medio ambiental que se está aplicando en su ciudad la cual consta de 200.000 habitantes.

En este caso, se denomina población a la cantidad de habitantes: 200.000.

Individuo sería cada uno de los habitantes de la ciudad que estudiamos, no de otra.

La muestra podría ser personas que viven en el barrio centro y norte; el tamaño de la muestra sería la cantidad de personas que vamos a encuestar, por ejemplo: 110.000.

Triángulos

Un triángulo es un polígono de tres lados. Identifica triángulos en tu vida cotidiana: una porción de pizza, una escuadra, las señales que indican peligro, un bonete de fiesta, etc. Como puedes observar existen diferencias entre ellos. Ocurre que se distinguen diversos triángulos de acuerdo a la medida de sus lados.

En geometría un triángulo es un polígono que se encuentra determinado por tres rectas. ¿Qué es un polígono? Una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio.

Cada recta del triángulo se corta con otra; entonces nos encontramos con una figura cerrada donde se distinguen tres vértices y tres ángulos. A los segmentos que conforman el triángulo se les llama lados.

NOMBRAR UN TRIÁNGULO

Un triángulo se determina por sus puntos no colineales que se llaman vértices y se los designa con letras mayúsculas.
Los lados son los segmentos que unen dos vértices del triángulo y se denotan por la misma letra que el vértice opuesto, pero en minúscula. Es decir:

El lado ‘a’, es el segmento que une los vértices B y C.
El lado ‘b’, es el segmento que une los vértices A y C.
El lado ‘c’, es el segmento que une los vértices A y B.

PROPIEDADES

Propiedad 1:
La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º

Propiedad 2: (Propiedad Triangular)
Para que pueda construirse el triángulo, la longitud de cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos lados, es decir, “cada lado debe ser mayor que la diferencia de los otros dos”

Como vemos en este triángulo, el lado más largo mide 6 cm y los lados más pequeños miden 2 cm y 5 cm respectivamente.
Si sumamos 2 cm + 5 cm obtenemos como resultado 7 cm que efectivamente es una longitud mayor que 6 cm.

TIPOS DE TRIÁNGULOS SEGÚN LOS LADOS

Escalenos: tiene los tres lados y ángulos distintos.

Isósceles: tiene dos lados iguales y otro desigual, entonces dos de sus ángulos son iguales y uno desigual.

Equilátero: tiene los tres lados y ángulos iguales.

POSTULADOS DE TALES DE MILETO

Tales de Mileto (624-548 a.C) fue un filósofo y geómetra griego. Trascendió en la historia por iniciar el desarrollo racional de la Geometría. Además propuso que el agua era el principio de todas las cosas.

Se le atribuye, entre otras cosas, las siguientes contribuciones a la Geometría:

1º Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
2º En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.
3º Dos triángulos son iguales si tienen dos ángulos y un lado iguales.

1º Ángulos opuestos por el vértice.

2º Triángulos isósceles.

3º Triángulos iguales.

TIPOS DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

Acutángulo: los tres ángulos son agudos, es decir, miden menos de 90º.

Rectángulo: tienen un ángulo recto de 90º.

Obtusángulo: tienen un ángulo obtuso, es decir, mide más de 90º y menos de 180º.

Sistemas de medición

Los números fueron creados para contar, para responder al cuánto; esto nos condujo al concepto de medición que se ha transformado en una de las razones de ser de las matemáticas y de todas sus ramas. Superficie, volumen, peso, temperatura, intensidad, velocidad, costos… hoy podemos medir todo.

¿Sabías que este tema es tan importante y elemental en la vida diaria que existe un Sistema Internacional de Medidas (SI)? Se usa en casi todos los países, es el heredero del antiguo Sistema Métrico Decimal. El SI consta de 7 unidades básicas, a partir de las cuales se determinan las demás.

Magnitud física básica

Unidad básica

Símbolo de la unidad

Longitud
Tiempo
Masa
Intensidad de corriente eléctrica
Temperatura
Cantidad de sustancia
Intensidad luminosa

Metro

Segundo

Kilogramo

Amperio

Kelvin

Mol

Candela

mol

A partir de estas unidades se han establecido múltiplos y submúltiplos. Por ejemplo, “kilo” indica mil; entonces, 1 kilómetro (km) son 1000 metros (m).

Probablemente consideres que esto no se condice con la realidad porque conoces otras medidas como pie, legua, pulgada, galón, onza, libra, etc. Esto es así porque las costumbres y las necesidades de cada pueblo son diferentes y aún no todos los lugares han adoptado el Sistema de Medición Internacional. Aunque parezca mentira, las medidas forman parte de la cultura de los pueblos y hoy en día existen máquinas que utilizan el sistema de medición inglés con pulgadas, pies y millas.

Para solucionar problemas que surgen por utilizar sistemas de medición tan diferentes, es aconsejable conocer las equivalencias de las unidades. Por ejemplo, si deseamos pesar en onzas, debemos saber que 35.27 onzas representan 1 kg. Para realizar estas conversiones existen fórmulas, tablas de conversión y programas.

LAS MEDIDAS EN EL TIEMPO

El hombre fue evolucionando y desarrollando nuevas tecnologías movido por el concepto de “progreso”. Establecer sistemas de medidas también resultó un gran progreso para la humanidad: se sentaron las bases de la construcción, la comercialización, etc. Los primeros sistemas eran antropométricos… Sí antropométricos, esto quiere decir que utilizaban partes del cuerpo para medir. Por ejemplo, el pie para determinar la distancia entre dos puntos relativamente lejanos, el paso para las distancias cortas, el alcance de la voz para distancias largas, los codos para medir telas, etc.

Antigua balanza. Se equiparaba el peso con las pesas de bronce que ya tenían un peso establecido.

Conocer el “cuánto” siempre resultó de suma importancia, así nacieron las monedas que son unidades que nos permiten definir el valor de algo. Además, con el tiempo, se crearon y optimizaron diversos sistemas de medición para diferentes fines. Veamos un ejemplo: los cañones.

Los primeros prácticamente carecían de un sistema de medición; para darle al blanco había que hacer varios intentos hasta que al fin se alcanzaba el objetivo. Todo esto cambió cuando Galileo, a través de las matemáticas, calculó el tiro parabólico definiendo la trayectoria del proyectil. Indudablemente este hallazgo fue fundamental para afinar la puntería. Hoy en día, existen sistemas de medición mucho más complejos, por ejemplo un avión puede dar justo en el blanco mientras se encuentra en movimiento con tan sólo poner la mira en el objetivo, pues del resto se ocupa una computadora.

Es increíble lo que han progresado los sistemas de medición: ahora se puede estimar el ancho de la vía láctea y determinar la dimensión de un microorganismos. El tamaño ya no es un impedimento, el hombre ya puede cuantificar todo.

ALGUNOS INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN

Existen muchos instrumentos que sirven para medir. Nombremos los más conocidos y los que son esenciales en la vida cotidiana:

El metro, elemental para los que desean construir o remodelar una estructura.

La balanza, herramienta de uso diario para controlar el peso.

El termómetro, para saber cuánta fiebre tenemos. De acuerdo al dato, el médico nos indicará cómo bajarla.

Balanza de cocina, para que nuestras comidas tenga la medida justa de cada uno de los ingredientes.

El reloj, importantísimo para calcular el tiempo que nos falta para ir a la escuela, los minutos que nos quedan para entregar una evaluación, etc.

Velocímetro del auto, se recurre a consultarlo cuando no nos podemos exceder de cierta velocidad.

¡ACTIVIDADES!

Te proponemos que reflexiones sobre el siguiente problemas para comprender la importancia de los sistemas de medición.

Un viejo campesino de un pueblo de Estados Unidos decidió radicarse en Argentina donde viven sus hijos. En su nuevo hogar aprendió a hacer dulces de diferentes frutas y decidió comercializarlos. Colocó un cartel que decía: “Gran oferta de dulces, 4.20 libras por U$S 10”. Si bien sus dulces eran deliciosos no le vendía a nadie porque en Argentina no se habla de libras sino de kilos y la moneda nacional es el peso argentino y no el dólar. Sabiendo que 1 kilo equivale a 2.20 libras y que 1 dólar equivale a 5 pesos argentinos, ¿cómo reformularías el cartel?

SOLUCIÓN

El cartel debería decir: “Gran oferta de dulces, 2 kilos por $50”

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad, es decir, una relación de equivalencia. Se compone de dos miembros separados por un igual.

primer miembro = segundo miembro

5 + 1 = 2 . 3

6 = 6

En las ecuaciones siempre aparecen valores conocidos y desconocidos. En el ejemplo explicado arriba no pusimos valores desconocidos para demostrar su igualdad. Los valores desconocidos aparecen en las ecuaciones con una letra, generalmente es la X, pero puede ser la m, l, n, etc.

Ejemplo de ecuación:

x – 1 = 20 – 15

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Este tipo de ecuaciones se llaman de primer grado porque tienen una única incógnita y porque el exponente de la incógnita es 1.

Se resuelven despejando la incógnita por medio de la transposición. Esto significa que la x (incógnita) quedará de un lado de la igualdad (=) y el resto de los números llamados independientes quedarán del otro lado del signo igual.

Para pasar un número de un lado de la igualdad a otro se debe seguir la siguiente regla:

REGLAS DE LA TRANSPOSICIÓN
– si está sumando, pasa restando
– si está restando, pasa sumando
– si está multiplicando, pasa dividiendo
– si está dividiendo, pasa multiplicando

La solución de la ecuación es única, es un sólo número.

3 + x + (5 . 3) + 1 = 50 – 8
3 + X + 15 + 1 = 50 – 8
X = 50 – 8 – 3 – 15 – 1
X = 23

Al momento de resolver la ecuación 3 + x + (5 . 3) + 1 = 50 – 8 lo primero que hicimos fue obtener el resultado de la multiplicación que se encontraba entre paréntesis (5 . 3). De este modo nos quedaron todos los números sumando, luego los pasamos al otro lado de la igualdad restando.

El resultado de la ecuación es 23, por lo tanto si reemplazamos ese número en la X podremos ver la igualdad.

3 + 23 + (5 . 3) + 1 = 50 – 8
3 + 23 + 15 + 1 = 50 – 8
42 = 42

Tenemos un problema

Podemos decir que una ecuación es como una adivinanza; tenemos que descubrir qué valor es x siguiendo un procedimiento.
Generalmente, cuando nos enseñan las ecuaciones nos plantean un problema.

Por ejemplo: la suma de tres números consecutivos es 48. ¿Cuáles son esos números?

Lo primero que debemos hacer es comprender el problema, para ello se debe leer detalladamente el enunciado e identificar la incógnita. Luego debemos pensar cómo lo vamos a traducir en forma de ecuación.

En el ejemplo planteado tenemos que descubrir cuáles son los tres números consecutivos. Por lo tanto si el primero de los número es x los otros números consecutivos serán (x + 1) y (x + 2).

Planteamos la ecuación:
x + (x + 1) + (x + 2) = 48

Despejamos los paréntesis:
x + x + 1 + x + 2 = 48

Sumamos las x y los números:
3x + 3 = 48

Por medio de la transposición, que ya explicamos más arriba, dejamos la x de un lado de la igualdad y los números del otro. Recuerda que para hacer la transposición se siguen reglas.

En este caso tenemos la ecuación 3x + 3 = 48. Debemos pasar el 3 del otro lado de la igualdad (=) para dejar la incógnita de un lado. Como el 3 está sumando, pasa restando.
3x = 48 – 3

Ahora tenemos que pasar el 3 que está multiplicando a la x. En este caso el 3 pasa dividiendo.
3x = 48 – 3
x = 45 /3
X = 15.

Ahora volvamos a la ecuación inicial: x + (x + 1) + (x + 2) = 48. Reemplacemos el 15 en cada x.
15 + (15+1) + (15+2) = 48
15 + 16 + 17 = 48

¿Recuerdan el enunciado del problema? La suma de tres números consecutivos es 48. ¿Cuáles son esos números? Entonces los tres números consecutivos son 15, 16 y 17.

¿Te animas a resolver este problema?

1. Las edades de Juan y José suman 124 años. Juan tiene 14 años menos que José. ¿Cuántos años tiene cada uno?

RESPUESTA:
1.
x – 14 + x =124
x + x = 124 + 14
2 x = 138
x = 138 / 2
x = 69
Juan: 69 – 14 = 55 años.
José: 69 años.

Ángulos

Si nos detenemos a observar los objetos que nos rodean podremos identificar diferentes formas geométricas. Pero… ¿qué significa geometría? La palabra geometría está compuesta por geo, que significa “Tierra” y metría, que significa “medir”; es decir, “medir la Tierra”. La geometría es una de las ciencias más antiguas, es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o en el espacio. En esta oportunidad vamos a estudiar los ángulos.

Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común. La amplitud del giro de un ángulo se puede medir, y la unidad que se utiliza para expresarlo se llama grado. Si se realiza una vuelta completa, el ángulo mide 360°.

Para comprender mejor este concepto veamos los elementos que conforman un ángulo:
Lados de un ángulo: cada una de las semirrectas.
Vértice de un ángulo: punto en el que coinciden las dos semirrectas.
Amplitud: abertura que hay entre los lados.

¿CON QUÉ INSTRUMENTO SE MIDEN LOS ÁNGULOS?
Gráficamente se puede medir un ángulo utilizando el transportador. Es un semicírculo o círculo graduado, normalmente de plástico o metal, en el que aparece marcado el centro de la circunferencia que debemos colocar en el vértice del ángulo, haciendo coincidir la marca de 0° con uno de los lados del ángulo. Obtenemos su medida viendo el punto de la circunferencia graduada por el que pasa el otro lado del ángulo.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

1. POR SU MEDIDA:

CONVEXO
Se llaman ángulos convexos a aquellos que miden menos de 180°.

Dentro de los ángulos convexos se encuentran los rectos, agudos y obtusos.

CÓNCAVO
Su amplitud es mayor que 180°.

LLANO
Mide 180°.

¿Sabías qué...?

La geometría se inició como ciencia en el antiguo Egipto y Babilonia.

2. POR SU POSICIÓN:

ADYACENTES
Tienen el vértice y un lado en común. Suman 180°.

CONSECUTIVOS
Tienen el vértice y un lado en común.

OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Tienen sólo el vértice en común.

3. POR SUS CARACTERÍSTICAS:

COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos son complementarios cuando su suma da como resultado un ángulo de 90°.

SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos son suplementarios cuando su suma da como resultado un ángulo de 180°.

Números romanos

Los antiguos romanos utilizaban un sistema de numeración un tanto extraño para nuestra época. A partir de 7 letras formaban todos los números. Hoy en día si bien ya no se los utiliza de modo frecuente, los podemos ver en decoraciones, en la expresión de siglos, en el nombre de algunos títulos hereditarios, en los relojes, etc. Por estos motivos es importante aprenderlos.

Los símbolos que utiliza el sistema de numeración romano son las siguientes letras en MAYÚSCULAS, cada una tiene un valor asignado.

I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1.000

¿Sabías qué...?

En ningún número romano se puede escribir una misma letra más de tres veces seguidas, sin amargo en la antigüedad se ha utilizado el “I” o el “X” hasta cuatro veces seguidas.

Para escribir un número con los símbolos romanos, debemos seguir algunas reglas:

• Los símbolos I, X, C y M no pueden escribirse más de tres veces consecutivas en un mismo número.
• Si se colocan dos rayas horizontales sobre un símbolo, su valor se multiplica por un millón.
• Un símbolo de menor valor ubicado a la derecha de otro de mayor valor, se suma. Por ejemplo: VII = 7. En este caso al V se le suma II, por eso VII significa 7.
• Un símbolo de menor valor ubicado a la izquierda de otro de mayor valor, se resta. Por ejemplo: IX = 9. En este caso el símbolo de mayor valor es el X y a su izquierda figura el I, de menor valor. Por lo tanto se resta 10 − 1 = 9
• Los símbolos V, L y D se permite escribirlos solamente una vez y no se pueden escribir a la izquierda de otro de mayor valor.
• El símbolo I solamente puede colocarse a la izquierda de V o X, el X solo a la izquierda de L o C, y el C únicamente a la izquierda de D o M.
• Cuando el número supera el valor 3.999, se resuelve trazando una línea horizontal sobre el símbolo la cual multiplica su valor por mil, por ejemplo: 5.000 = $\overline{V}$ , 4.000 = $\overline{IV}$ , 7.500 = $\overline{VII}D$ , etc.

Vemos algunos ejemplos:

CDXLIX
D − C = 400
L − X = 40
X − I = 9
El número es: 449.

CMXCV
M − C = 900
C − X = 90
V = 5
El número es el 995.

Fracciones

Llegar a la clase de matemáticas y que la profesora diga “hoy vamos a ver fracciones” no suena muy entretenido. Pero si aprendemos la importancia que tienen en la vida diaria y lo fáciles que resultan cuando las entendemos, te aseguramos que las fracciones serán uno de tus temas preferidos en el cole.

Para medir, repartir o contar necesitamos números. Lo frecuente es recurrir a los números naturales y así expresar “eso mide 12 metros” o “aquello pesa 4 kilogramos”. Pero, a veces nos encontramos con situaciones donde los números naturales no nos permiten expresar exactamente lo que queremos decir y debemos recurrir a los números enteros, racionales, etc.

Cuando compramos pan, muchas veces usamos fracciones sin darnos cuenta. Por ejemplo, pedimos medio kilogramo (1/2) de pan que sería la mitad de un kilogramo de pan.

En las imágenes, ocho panes iguales representan 1 kg de pan, entonces ½ kg de pan serán cuatro panes, es decir, la mitad.

¿CÓMO EXPRESAMOS UNA FRACCIÓN?

En toda fracción podemos distinguir dos partes: un numerador y un denominador separados por una línea horizontal.

El denominador es un número que indica en cuantas partes se divide la unidad, y el numerador es el número que señala cuántas de esas partes se han de tomar.

Veamos un ejemplo claro:

¿Cuánto es $\frac{3}{10}$ de una barra de chocolate?

Atención

Una misma fracción se puede escribir de distintas maneras, como vemos a continuación:

$\frac{3}{10}\, =\, 3/10\, =\, 3\div 10\, =\, 3:10$

CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES

Debemos saber que las fracciones se pueden clasificar en propias, impropias y aparentes.

• Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador y la fracción representa un número menor que la unidad. Ejemplo:

Entonces, la unidad es mayor que un cuarto.

• Las fracciones impropias son aquellas en donde el numerador es mayor que el denominador, en este caso el número que se representa es mayor que la unidad. Ejemplo:

Entonces, la unidad es menor que seis cuartos.

Vemos otro ejemplo:

Para representar gráficamente la fracción $\frac{5}{2}$ tomamos la siguiente figura como unidad:

El denominador nos indica en cuántas partes debemos dividir la unidad. En este caso dividimos en dos partes.

Pero debemos sombrear 5 partes, es decir, que el entero (unidad) no nos alcanza. Dibujamos entonces otra unidad más y la dividimos en 2 nuevamente.

Como todavía no llegamos a sombrear 5 partes dibujamos otra unidad más y la dividimos en 2 partes. De esta manera llegamos a tener 5 partes para pintar.

• Fracciones aparentes: como ya sabemos, las fracciones representan una división entre un número y otro, precisamente cuando el resultado de esa división da un número entero las fracciones se llaman fracciones aparentes.

Por ejemplo, 4/2 (cuatro medios) es igual a 4 : 2 (cuatro dividido dos), que es igual a 2 (dos). Como podemos ver, esta fracción representa un número entero. Otros ejemplos son:

En el siguiente ejemplo compararemos los tres tipos de fracciones vistos.

FRACCIONES PROPIAS

El numerador (2) es menor que el denominador (3), la fracción representa un número menor que el entero.

FRACCIONES IMPROPIAS

El numerador (6) es mayor que el denominador (4), la fracción representa un número mayor que el entero.

FRACCIONES aparentes

El numerador (8) es mayor que el denominador (2), como en las fracciones impropias, pero en este caso el número que representa la fracción es igual que un entero.

Circunferencia

Es una línea curva, cerrada y plana en la que todos sus puntos están a la misma distancia de un punto interior llamado centro.

Circunferencia no es sinónimo de círculo, veamos por qué: la circunferencia es el borde y el círculo es el interior. Además, un círculo es una figura plana (bidimensional).

Elementos de la circunferencia:

• Centro: Punto central. Está a la misma distancia del resto de los puntos de la circunferencia.
• Radio: Segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
• Diámetro: Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Mide el doble que el radio.
• Cuerda: Une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.
• Arco: Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
• Semicircunferencia: Es la mitad de una circunferencia.

Sectores comunes

El cuadrante y el semicírculo son dos tipos especiales de sectores:
Un cuarto de círculo se llama cuadrante.
Medio círculo se llama semicírculo.

Longitud de la circunferencia

En ciertas circunstancias sería útil saber cuánto mide la circunferencia. Pareciera complejo realizar esta medición porque no estamos trabajando con líneas rectas. Sin embargo, esta tarea es más fácil de lo que parece; pues, por suerte, se ha inventado una fórmula muy útil y fácil de utilizar.

La longitud de una circunferencia es igual a π (pi) por
el diámetro.

¿Qué es pi?

Es un número representado por la letra griega π. Se trata de un valor con un infinito número de decimales, cuya secuencia comienza de la siguiente manera:

3,1415926535897932384626433832795028841… Este no es un número exacto sino que es de los llamados irracionales, ya que tiene infinitas cifras decimales.

Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizada por el matemático Leonard Euler en su obra “Introducción al cálculo infinitesimal” de 1748.

Fórmulas para calcular la circunferencia

Circunferencia = π × Diámetro
Circunferencia = 2 × π × Radio
Circunferencia/Diámetro = π

Elementos de un círculo

Son los mismos que la circunferencia (excepto la semicircunferencia) y tres más:

Semicírculo: Mitad de un círculo. El diámetro divide al círculo en dos semicírculos.
Sector circular: Porción de círculo limitada por dos radios y su arco.
Segmento circular: Porción de círculo limitada por una cuerda y su arco.

Área del círculo

El área es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su región interior. Para calcular el área del círculo otra vez hay que recurrir al número π.

Área del círculo es igual a π por el cuadrado del radio, se escribe así:
A = π × r²
O, en términos del diámetro:
A = (π/4) × D²

Es fácil acordarse si piensas en el área del cuadrado en el que cabe el círculo.

Área del círculo comparada con el área del cuadrado.

El número infinito

De modo incorrecto mucho piensan que infinito es un número, pero en realidad no lo es porque no se puede medir. Por lo tanto es un concepto, una idea de algo que no tiene terminación.

En el transcurso de la historia muchos filósofos y matemáticos han tratado de definir el significado de este término. Fue en la Grecia Clásica donde aparecieron las primeras concepciones de infinito: lo denominaron como “lo ilimitado”, “lo indefinido”, entre otras acepciones. Aristóteles concibió dos clases de infinito, ya que no imaginaba que pudiese describirse por una sola noción.
En el año 1655 el matemático John Wallis representó el infinito con un símbolo, en sus obras. Se estima que la forma de dicho símbolo, proviene de la curva lemniscata (que significa cinta).

Evolución del símbolo infinito

Los romanos usaban la M para representar al número 1000, que consideraban un número muy grande. El matemático Bernhard Nieuwentijt, utilizó una m minúscula para representar al infinito y John Wallis le dio la forma actual a dicho símbolo.

M → m → ∞

Es muy importante no confundir al infinito con un número grande; porque actualmente podemos indicar la posición de un número real pero no del infinito.

Usos del concepto

En matemática, el concepto de infinito se utiliza en geometría, análisis matemático y teoría de conjuntos. Desde la primaria se introduce su concepto, se comienza por comprender qué son los conjuntos finitos e infinitos, dando las bases para el estudio de sucesiones infinitas. Para comprender qué son las sucesiones infinitas, primero es necesario saber qué es una sucesión.

Sucesión: es un conjunto de elementos que se ordenan de cierta manera.

Términos de una sucesión

Los términos de una sucesión son denominados a₁, a₂, a₃,…,a_n.
En la sucesión de los números naturales al cuadrado tenemos: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,…n²
Los términos son:

El subíndice, indica el lugar que ocupa el término. Es decir, el término a1 ocupa el primer lugar, el a2 el segundo lugar y así sucesivamente.

a₁ = 1
a₂ = 4
a₃ = 9
a₄ = 16
…

a_n= n² Término general o término enésimo.

La sucesión {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,…} se obtuvo de la siguiente manera:

1² = 1
2² = 4
3²= 9
4²= 16
5²= 25
6²= 36
7²= 49
8²= 64
9²= 81

Son muchos los usos del concepto matemático de infinito, pero en todos ellos se destaca la complejidad y abstracción de su significado.

Podemos utilizar una expresión que nos permita representar esta sucesión. En este caso es n2, siendo éste el término general de la sucesión. Al ir reemplazando a “n” por los números naturales, consecutivamente, obtenemos la sucesión.

“No todas las sucesiones tienen término general o enésimo.”

Sucesiones finitas e infinitas

Las sucesiones finitas son las que tienen un número limitado de términos y las infinitas son las que no tienen un término final.

Sucesión finita: 2, 4, 6, 8, 10.

Sucesión infinita: 1, 2, 3, 4, 5…

Los puntos suspensivos (…), indican que la sucesión es infinita, que continúa. En el ejemplo anterior se podría decir que es la sucesión de los números naturales.

Los números naturales son los que usamos para contar,
el primer número natural es el 1.

En las sucesiones no se usa el símbolo ∞, sino el concepto de lo que significa que un conjunto no tenga final.
Otro uso del concepto de infinito, y en este caso, también de su símbolo, se da en los intervalos reales.

¿Sabías qué...?

El matemático François Viète (1540 – 1603) fue el primero en utilizar letras para designar las incógnitas y constantes.

Intervalos reales

Los intervalos reales son subconjuntos de los números reales. Estos pueden ser: cerrados, semicerrados o semiabiertos y abiertos.

Semicerrados o semiabiertos son expresiones semejantes.

Dentro de los intervalos semicerrados, semiabiertos o abiertos, se puede encontrar el uso del símbolo ∞.

Ejemplos:
Intervalo semicerrado o semiabierto: [1,9) , [1,+∞) , (-∞,4]

En esos tres intervalos observamos como [1,+∞) y (-∞ ,5] tienen escrito al infinito con un signo positivo y también con negativo. Eso ocurre porque los intervalos se pueden representar sobre la recta real, la misma tiene un punto medio (0) y a partir de allí se ubican los números positivos y negativos. Nunca se puede colocar el último número de cada extremo, por eso a la izquierda se halla el símbolo del infinito negativo y a la derecha el del infinito positivo.

Toda recta, tiene longitud infinita.

También se puede encontrar un intervalo que representa a todos los números reales, el (-∞,+∞).

Representación de intervalos que incluyen ∞ en la recta numérica

Operaciones en el sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema de base 60 que tiene su origen en la antigua Babilonia. En la actualidad se aplica a las medidas del tiempo y a la amplitud de los ángulos.

En la antigüedad, los habitantes de Levante mediterráneo, Mesopotamia y Persia contaban utilizando las tres falanges de los dedos: meñique, anular, medio e índice. Con el dedo pulgar realizaban dicha cuenta, comenzando por el dedo meñique podían llegar a contar hasta 12.

Si se deseaba contar más que 12, se levantaba un dedo de la mano libre cada vez que se completaba el conteo de la docena, de este modo se podía llegar hasta el número 60 (12 x 5).

¿Sabías qué...?

Para simbolizar los minutos se utiliza la abreviatura “min”, ya que la “m” corresponde a metros, unidad de longitud.

Dos dedos levantados: 2 × 12 = 24. La mano abierta indica que se contó hasta la falange que representa al 5.Por lo tanto 24 + 5 = 29.

Esta forma de contar fue fácilmente adoptada en la antigüedad y se mantuvo en el tiempo. Los babilonios dividían a la circunferencia (360) en seis partes iguales, es decir, en 60 (360 ÷ 6 = 60), que además es el mínimo común múltiplo de los seis primeros números naturales.

USOS DEL SISTEMA

El sistema sexagesimal se utiliza para medir tiempos y ángulos. Con respecto al tiempo, sus unidades son horas, minutos y segundos; y a la medición de ángulos le corresponden grados, minutos y segundos.

TIEMPO			ÁNGULOS
horas	minutos	segundos	grados	minutos	segundos
h	min	s	º	′	″

Este sistema es posicional y 60 unidades de un orden forman una unidad. Por tanto, se desprende que al medir tiempos:
60 segundos corresponde a 1 minuto.
60 minutos corresponde a 1 hora.

Del mismo modo cuando se miden ángulos:
60″ equivalen a 1′
60′ equivalen a 1º

Se pueden realizar las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división en sistema sexagesimal tanto para medidas de tiempo como para cálculos con ángulos.

SUMA DE ÁNGULOS

35°40′25′′ + 27°23′10′′ =

Para sumar dos ángulos debemos realizar los cálculos en forma vertical:

35° 40′ 25′′
+ 27° 23′ 10′′

Luego realizamos la suma comenzando de derecha a izquierda: primero los segundos, luego sumamos los minutos y finalmente los grados.

35° 40′ 25′′
+ 27° 23′ 10′′
62° 63′ 35′′

Cuando en los segundos o en los minutos los valores sobrepasan al número 59, debemos restar el número 60 tantas veces como sea necesario.

35° 40′ 25′′
+ 27° 23′ 10′′
62° 63′ 35′′
+ 1°− 60′
63° 3′ 35′′

Siempre que se restan 60′, se debe sumar 10; esto es
debido a la equivalencia correspondiente.

Con este procedimiento obtuvimos el resultado:

35° 40′ 25′′ + 27° 23′ 10′′ = 63° 3′ 35′′

RESTA DE ÁNGULOS

125° 48′ 20′′ − 80° 15′ 30′′ =

Del mismo modo que en la suma, colocamos los ángulos encolumnando grados, minutos y segundos.

47′ 80′′
125° 48’ 20′′
− 80° 15′ 30′′
45° 32′ 50′′

Respondemos:
125° 47′ 80′′ − 80°15′30′′ = 45° 32′ 50′′

Cuándo el minuendo es menor al sustraendo, se pide “prestado” a los minutos.

En este ejercicio, 1′ se convierte en 60′′.
Se suman 20′′ + 60′′ y el minuendo se convierte en 80′′, así que 80′′ − 30′′ = 50′′.
No se debe olvidar restarle ese minuto “prestado” a los 48′, que quedan en 47′.

MULTIPLICACIÓN DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO

41° 20′ 33′′ × 2 =

Colocamos la multiplicación del siguiente modo:

41° 20′ 33′′
x 2
82° 40′ 66′′

Ya que 66′′ es mayor a 59′′, debemos proceder a restarle 60′′.

41° 20′ 33′′
x 2
82° 40′ 66′′
+1′ − 60′′
82° 41′ 6′′

Escribimos la respuesta solicitada:

41° 20′ 33′′ × 2 = 82° 41′ 6′′

DIVISIÓN DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO

75° 1′ 36′′ : 3 =

Ubicamos el dividendo y el divisor de la siguiente manera:

75° 4′ 36′′ | 3
0° 25°

Primero dividimos los grados. Continuamos con la división de los minutos:

75° 4′ 36′′ | 3
0 1′ 60′′ 25° 1′

Cuando el resto es distinto de cero, se debe realizar la equivalencia correspondiente.

En este caso convertimos 1′ en 60′′. Al realizarlo, ya no tenemos más minutos para dividir y los segundos se modifican. En el ejercicio que estamos realizando nos queda 36′′ + 60′′ = 96′′.

75° 4′ 36′′ | 3
0° 0′ 60′′ 25°1′32′′
96′′
0

En forma análoga se trabaja con unidades de tiempo. Veamos un ejemplo de suma:

5 h 45 min 12 s + 3 h 17 min 9 s=

5 h 45 min 12 s
3 h 17 min 9 s
8 h 62 min 21s
+ 1 h − 60 min
9 h 2 min 21s

60 minutos es equivalente a 1 h, por lo tanto se restan 60 minutos en la
columna de los minutos, pero no se debe olvidar sumar 1 en la columna de las horas.