La adición y la sustracción de fracciones se realiza con diferentes métodos. El método elegido va a depender del tipo de fracción que se vaya a sumar o a restar. Si las fracciones son homogéneas, se coloca el mismo denominador y se suman o restan sus numeradores. Cuando las fracciones son heterogéneas se pueden emplear diferentes procedimientos como la multiplicación cruzada, la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) a los denominadores de las fracciones o el uso de fracciones equivalentes.
Las fracciones también se pueden sumar o restar con los números enteros, para lo cual se convierte el número entero en fracción.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
La multiplicación de fracciones se realiza mediante la multiplicación lineal de sus factores, numerador por numerador y denominador por denominador. Por otra parte, la división de fracciones tiene tres formas de resolverse. Una de ellas es de forma cruzada, a través de la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se coloca como numerador de la fracción resultante. Luego se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y el resultado se coloca en el denominador resultante. Otra manera es intercambiar el numerador y el denominador de la segunda fracción para resolverlo de manera lineal como la multiplicación. Y por último, otra opción consiste en el método de la doble c, en el cual la segunda fracción se coloca por debajo de la primera y se multiplican los términos exteriores para obtener el numerador resultante y los interiores para obtener el denominador resultante.
Conocer cómo simplificar fracciones es muy importante para facilitar los cálculos.
FRACCIONES Y DECIMALES
Las fracciones y los números decimales se encuentran muy relacionados, ya que las fracciones se pueden representar de forma decimal y algunos decimales se pueden expresar de forma fraccionaria. Las fracciones se encuentran formadas por el numerador y el denominador separados por una línea horizontal. Los decimales tienen una parte entera y una parte decimal divididas por una coma. Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción se obtiene un número decimal (o entero cuando se trata de una fracción aparente). Por otra parte, los decimales se pueden convertir en fracciones por diferentes procedimientos, según el número decimal sea exacto, periódicopuro o periódico mixto. Existen números decimales que no pueden ser convertidos en fracciones como el número pi y son denominados números irracionales.
Los números periódicos son números decimales infinitos con una o más cifras decimales denominadas período que se repiten indefinidamente.
EL PORCENTAJE
El porcentaje se representa con el símbolo “%”. Es una forma de expresar una fracción dividida entre 100. Por esta razón, los números fraccionarios, los decimales y los porcentajes se encuentran muy relacionados. Los porcentajes se pueden transforman en números decimales al dividirlos entre el 100 %. Para calcular el porcentaje de una cifra se puede realizar mediante dos procedimientos. El primero es convertir el porcentaje en una fracción decimal y multiplicarlo por la cantidad total. Y el segundo método consiste en la regla de tres simple, en la cual el valor total es equivalente al 100 % y el porcentaje buscado corresponde al valor de la incógnita que queremos conocer.
El porcentaje es muy utilizado en el comercio para promocionar descuentos o realizar recargos al momento de la compra.
En nuestra vida diaria es frecuente escuchar expresiones relacionadas con porcentajes como “la población creció un 20 %” o “hay un 50 % de descuento en ropa”. El porcentaje se utiliza para representar una porción de algo y se encuentra muy relacionado con los números decimales y los fraccionarios.
RELACIÓN DEL PORCENTAJE CON LAS FRACCIONES Y LOS DECIMALES
Para poder realizar el cálculo del porcentaje primero hay que saber que este representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100, equivalente al 100 % del número entero, y el numerador es una porción de este. Analicemos el siguiente ejemplo: según la Organización Mundial de la Salud (OMS), el 80 % de las personas que se contagian con el SARS-CoV-2 y desarrollan COVID‑19 se recuperan de la enfermedad sin necesidad de tratamiento hospitalario.
El porcentaje quiere decir que de cada 100 personas que contraen coronavirus, 80 personas se recuperan sin tener que ser hospitalizadas. Por lo tanto, el numerador de la fracción representa la porción de la población que se recupera y el denominador será la población total del estudio. En esta relación de porcentajes y fracciones también es posible aplicar el método de simplificación.
Con el resultado anterior concluimos que 8 de cada 10 personas contagiadas se recuperan sin necesidad de ser hospitalizadas.
Veamos otro ejemplo. La OMS dice que aproximadamente 1 de cada 5 personas que contraen la COVID‑19 presentan un cuadro grave y experimenta dificultades para respirar. Esto quiere decir:
Entonces, quiere decir que aproximadamente el 20 % de la población que se contagia con la enfermedad presenta un cuadro grave.
Asimismo, los porcentajes pueden ser convertidos en forma de números decimales al dividirse entre el 100 %, que representa al total. Y por el contrario, para convertir un número decimal a porcentaje basta con multiplicarlo por 100 %. En este sentido, los dos ejemplos anteriores se pueden expresar en forma decimal de la siguiente manera:
Porcentaje
Fracción
Número decimal
Fracción
Número decimal
Porcentaje
Los porcentajes son muy utilizados en diferentes campos, debido a que estos equivalen a una porción de un todo. Pueden ser representados en gráficos, lo que ayuda a una mejor comprensión y a un análisis más rápido de los datos. Por otra parte, los porcentajes se pueden representar en números decimales o en números fraccionarios.
CÁLCULO DE PORCENTAJE
Existen ocasiones en nuestro día a día en los que se requiere calcular el porcentaje de un total o viceversa. También hay veces que queremos conocer qué cantidad del total representa el porcentaje. En ese caso, se emplea el siguiente método:
Covertir un porcentaje a la porción que representa
Tomemos el siguiente ejemplo: un jugador de baloncesto durante toda la temporada realizó 120 lanzamientos y falló el 25 % de sus tiros. Se quiere saber cuántos lanzamientos falló durante la temporada.
Para conocer la cantidad que representa un porcentaje respecto a un total, lo primero que debemos hacer es convertir el porcentaje a una fracción decimal y luego se multiplica por el total que, en este caso, son los 120 lanzamientos que realizó el jugador.
Al transformar el porcentaje en una fracción decimal se obtiene el siguiente resultado:
Luego multiplicamos esa fracción por la cantidad de lanzamientos que realizó el jugador.
Esto quiere decir que, de los 120 lanzamientos que realizó el jugador, falló en 30 de sus lanzamientos, es decir, el 25 %.
Los porcentajes son muy empleados por los empresarios o dueños de tiendas como estrategia para generar mayores ventas y mejorar sus ingresos. Al ofrecer porcentajes de descuentos en sus productos, el índice de ventas aumenta y conlleva a un crecimiento de sus ingresos. Por otro lado, también pueden aplicar porcentajes de recargo como sucede en las compras con tarjetas de crédito.
Uso de la regla de tres
Cuando se trabaja con porcentajes, las cantidades son directamente proporcionales, por lo tanto, estos pueden ser calculados mediante el uso de la regla de tres simple. En estos casos, si una cantidad aumenta, la otra también, y en el caso de que una disminuya, la otra también lo hace. Por lo tanto, es una regla de tres directa.
Para emplear este método veamos el siguiente ejemplo: en un salón de clases hay 40 alumnos. El 30 % de ellos aprobó el examen con A, el 50 % aprobó con B y el resto obtuvo una C. ¿Cuántos alumnos obtuvieron A, B y C?
Si en el salón hay 40 alumnos, entonces ellos representan el 100 %. Entonces planteamos las reglas de la siguiente manera:
El 30 % de lo alumno obtuvieron A:
El 50 % de los alumnos obtuvieron B:
El 20 % de los alumnos obtuvieron C:
Entonces, se concluye que los 12 alumnos con A representan el 30 %, los 20 alumnos con B equivalen al 50 % y 8 de ellos obtuvieron C, el equivalente al 20 %.
¿Sabías qué?
Se tienen registros que señalan que el porcentaje se ha usado desde el siglo XV.
APLICACIÓN DEL PORCENTAJE EN EL COMERCIO
El porcentaje es muy utilizado de diferentes formas en el comercio, por ejemplo, para realizar descuentos o recargos a las compras.
Descuentos
Cuando se habla de descuento, quiere decir que a la cantidad total que se va a pagar hay que restarle el porcentaje. Por lo tanto, la cantidad que se obtiene como resultado es menor que la cantidad dada. Por ejemplo:
Una tienda de bicicletas eléctricas vende uno de sus modelos en 2.500 $ con un descuento de 30 % si se paga con tarjeta de crédito. ¿Cuánto será el costo de la bicicleta si se paga con tarjeta de crédito?
Para realizar este ejercicio utilizaremos el primer método visto anteriormente.
Se convierte el porcentaje en fracción.
Se multiplica por el costo de la bicicleta.
Se resta el porcentaje de descuento (750 $) al total del costo de la bicicleta.
El costo de la bicicleta con descuento, por el pago con tarjeta de crédito, será de 1.750 $. Observa que, como era de esperarse, la cantidad con el descuento es menor que el precio inicial.
La estadística es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de individuos o acontecimientos a través de la recolección y organización de datos. Esta emplea procedimientos que permiten obtener resultados de manera gráfica para la elaboración de conclusiones. En este sentido, la estadística se vuelve una herramienta muy útil para muchas ciencias y actividades humanas, como la sociología, la psicología, la geografía, y la economía.
Recargos
Otro de los usos que se le puede dar al porcentaje es para realizar recargos. Esto se ve mucho cuando se quiere realizar compras de artículos y no se tiene el monto total del mismo. El monto es divido en varias cuotas mas pequeñas, pero al final el costo total aumenta.
Imaginemos que se desea comprar un auto de 350.000 $ y el concesionario permite pagarlo en 12 cuotas con un recargo del 8 % sobre su costo. ¿Cuánto será el costo real del auto?
Para este ejercicio aplicaremos el segundo método visto: la regla de tres simple. Así que el 8 % de aumento por las 12 cuotas se plantea de la siguiente forma:
Luego, al tener el 8 % de aumento, se le suma al costo del auto 28.000 $ de aumento. Eso da un total de 378.000 $. Este es el costo del auto si se paga en 12 cuotas. Como era de esperarse, el costo del auto con recargo es mayor que el costo inicial.
¡A practicar!
1. ¿Cuánto es el 38 % de 12.583?
RESPUESTAS
El 38 % de 12.583 es 4.781,54.
2. El costo de unos zapatos para jugar al fútbol tienen un valor de 130 $. Si se pagan en efectivo se realiza un descuento del 23 %. ¿Cuánto se ahorra si se pagan en efectivo?
RESPUESTAS
Se ahorrarían 29,90 $.
3. Si se realiza un viaje en auto con un motor usado se consumen 56 litros de gasolina. Si con un motor nuevo se ahorra 26 % de gasolina, ¿cuántos litros de gasolina ahorra el motor nuevo?
RESPUESTAS
El motor nuevo ahorra 14,56 litros de gasolina.
4. Desde el 2010 hasta el 2018, 7.954 personas han intentado subir al Monte Everest. Durante esa travesía, 72 personas no pudieron completar el viaje. ¿Cuánto fue el porcentaje de personas que no pudieron completar el viaje?
RESPUESTAS
El porcentaje de personas que no pudieron completar el viaje fue del 0,9 %.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Porcentajes”
Este artículo permite analizar diferentes ejercicios en los que se aplican los porcentajes.
MUCHAS SITUACIONES DE NUESTRO DÍA A DÍA SE RESUELVEN POR MEDIO DE CÁLCULOS MATEMÁTICOS, PERO PARA LLEGAR A SU RESPUESTA ES NECESARIO QUE REALICEMOS UNA SERIE DE PASOS: ORGANIZAR LOS DATOS, REFLEXIONAR SOBRE EL PROCESO, HACER LAS OPERACIONES Y FINALMENTE HALLAR LA RESPUESTA. MUCHAS OTRAS VECES TENEMOS QUE HACERLO MENTALMENTE. ¡APRENDE CÓMO SE HACEN!
problemas de suma y resta
1. JUANA TIENE 12 LÁPICES DE COLORES Y CATALINA 6. ¿CUÁNTOS LÁPICES DE COLORES TIENEN ENTRE LAS DOS?
DATOS
LÁPICES DE JUANA: 12
LÁPICES DE CATALINA: 6
PREGUNTA
¿CUÁNTOS LÁPICES DE COLORES TIENEN ENTRE LAS DOS?
REFLEXIONA
HAY QUE SUMAR LAS DOS CANTIDADES DE LÁPICES DE COLORES PARA SABER EL TOTAL. PRIMERO SUMAS LAS UNIDADES Y LUEGO SUMA LAS DECENAS. SI UNO DE LOS SUMANDOS NO TIENE DECENAS SE CONSIDERA COMO UN CERO (0).
CALCULA
RESPUESTA
ENTRE LAS DOS TIENEN 18 LÁPICES.
2. JUAN TENÍA 54 FIGURITAS PARA JUGAR EN EL RECREO. COMPITIÓ CON CELINA Y PERDIÓ 13 FIGURITAS. ¿CUÁNTAS FIGURITAS LE QUEDAN A JUAN AHORA?
DATOS
FIGURITAS DE JUAN: 54
FIGURITAS QUE PERDIÓ: 13
PREGUNTA
¿CUÁNTAS FIGURITAS LE QUEDAN A JUAN AHORA?
REFLEXIONA
PARA SABER CUÁNTAS FIGURITAS LE QUEDARON A JUAN TENEMOS QUE RESTAR LA CANTIDAD QUE TENÍA AL INICIO CON LA CANTIDAD QUE PERDIÓ. PARA ESTO COLOCAMOS EL MINUENDO (54) SOBRE EL SUSTRAENDO (13). RESTAMOS PRIMERO LAS UNIDADES Y LUEGO LAS DECENAS.
CALCULA
RESPUESTA
A JUAN LE QUEDAN 41 FIGURITAS.
3. ILEANA LLEVÓ UN PAQUETE DE GALLETAS DE FRUTILLA PARA COMPARTIR. EL PAQUETE TENÍA 15 GALLETAS Y ELLA CONVIDÓ 5. ¿CUÁNTAS GALLETAS LE QUEDAN A ILEANA AHORA?
DATOS
GALLETAS DE ILEANA: 15
GALLETAS CONVIDADAS: 5
PREGUNTA
¿CUÁNTAS GALLETAS LE QUEDAN A ILEANA AHORA?
REFLEXIONA
ESTE PROBLEMA PODEMOS RESOLVERLO POR MEDIO DE UNA RESTA. SI LE “QUITAMOS” LA CANTIDAD DE GALLETAS CONVIDADAS A LA CANTIDAD TOTAL QUE TIENE EL PAQUETE TENDREMOS COMO RESULTADO LAS GALLETAS QUE QUEDARON.
CALCULA
RESPUESTA
A ILEANA LE QUEDAN AHORA 10 GALLETITAS.
TODO PROBLEMA MATEMÁTICO PUEDE SER RESUELTO POR MEDIO DE UNA OPERACIÓN, LAS MÁS COMUNES SON LAS DE SUMA Y RESTA. PARA RESOLVER PROBLEMAS TIENES QUE SEGUIR UNOS PASOS: ORGANIZAR LOS DATOS, OBSERVAR LA PREGUNTA, PENSAR SOBRE SU RESPUESTA PARA DAR EL RESULTADO A LA PREGUNTA. ESTOS PASOS TE AYUDARÁN A SOLUCIONAR PROBLEMAS DE MANERA RÁPIDA Y SENCILLA.
4. COMO FALTÓ LA MAESTRA DE UN PRIMER GRADO, UNIERON A TODOS LOS NIÑOS EN UN AULA. SI EN 1º A HAY 25 ALUMNOS Y EN 1º B HAY 23, ¿CUÁNTOS ALUMNOS HAY AHORA EN EL AULA?
DATOS
ALUMNOS DE 1º A: 25
ALUMNOS DE 1º B: 23
PREGUNTA
¿CUÁNTOS ALUMNOS HAY AHORA EN EL AULA?
REFLEXIONA
HAY QUE HACER UNA SUMA O ADICIÓN EN LAS QUE LOS SUMANDOS SON LAS CANTIDADES DE ALUMNOS EN CADA GRADO. COLOCA LOS SUMANDOS UNO SOBRE OTRO. SUMA PRIMERO LAS UNIDADES Y LUEGO LAS DECENAS.
CALCULA
RESPUESTA
AHORA EN EL AULA HAY 48 ALUMNOS.
5. EN 1º A HAY 25 ALUMNOS Y HOY FALTARON 4, ¿CUÁNTOS ALUMNOS DE 1º A ESTÁN EN LA ESCUELA?
DATOS
ALUMNOS TOTALES DE 1º A: 25
ALUMNOS DE 1º A QUE FALTARON: 4
PREGUNTA
¿CUÁNTOS ALUMNOS DE 1º A ESTÁN EN LA ESCUELA?
REFLEXIONA
TENEMOS QUE RESTAR LA CANTIDAD DE ALUMNOS QUE NO FUERON A LA ESCUELA A LA CANTIDAD TOTAL DE ALUMNOS DE 1º A. RECUERDA QUE EL SUSTRAENDO ES EL MENOR DE LOS NÚMEROS Y VA DEBAJO DEL MINUENDO QUE ES 25. RESTA LAS UNIDADES Y LUEGO LAS DECENAS.
CALCULA
RESPUESTA
EN LA ESCUELA ESTÁN 21 ALUMNOS DE 1º A
6. ANGÉLICA COMPRÓ UN PANTALÓN EN $ 50 Y PAGÓ CON $ 80. ¿CUÁNTO DINERO RECIBIÓ DE VUELTO?
DATOS
PRECIO DEL PANTALÓN: $ 50
PAGO DE ANGÉLICA: $ 80
PREGUNTA
¿CUÁNTO DINERO RECIBIÓ DE VUELTO?
REFLEXIONA
ESTE PROBLEMA LO PODEMOS RESOLVER POR MEDIO DE UNA RESTA, PUES SI SUSTRAEMOS EL PRECIO DEL PANTALÓN COMPRADO A LA CANTIDAD DE DINERO QUE SE PAGÓ, EL RESULTADO SERÁ EL DINERO QUE LE DIERON A ANGÉLICA DE VUELTO.
CALCULA
RESPUESTA
ANGÉLICA RECIBIÓ $ 30 DE VUELTO.
SI TIENES 1 PALETA Y TE REGALAN 4 PALETAS MÁS, ¿CUÁNTAS PALETAS TIENES? ESTA ES UNA OPERACIÓN QUE RESOLVEMOS CON UNA SUMA O ADICIÓN: 1 + 4 = 5. LA OPERACIÓN INVERSA DE LA SUMA ES LA RESTA, PUES MIENTRAS QUE EN LA SUMA AGRUPAMOS CANTIDADES, EN LA RESTA QUITAMOS UNA CANTIDAD A OTRA. ASÍ, QUE SI DE 4 PALETAS REGALAMOS 2, TENEMOS QUE HACER: 4 − 2 = 2. ¡QUEDAN 2 PALETAS!
LAS CALCULADORAS
LAS CALCULADORAS SON DISPOSITIVOS DISEÑADOS PARA REALIZAR CÁLCULOS MATEMÁTICOS DESDE LOS MÁS SIMPLES COMO UNA SUMA O UNA RESTA, HASTA OTROS MÁS COMPLICADOS COMO LA MULTIPLICACIÓN O LA DIVISIÓN. TAMBIÉN HACEN MUCHA OTRAS OPERACIONES. PUEDES VERLAS EN LOS COMERCIOS PORQUE AYUDAN A RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS DE FORMA EXACTA MUY RÁPIDA, COMO LA CUENTA QUE DEBEMOS PAGAR.
¿SABÍAS QUÉ?
CUANDO PRACTICAS LO SUFICIENTE PUEDES HACER ESTOS CÁLCULOS DE MANERA MENTAL.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Situaciones problemáticas 1º grado”
Este recurso te brindará una serie de situaciones problemáticas que puedes compartir con tus alumnos.
Los números desde su invención han servido para contar cosas y por eso existen diferentes sistemas y tipos de números que permiten un mejor conocimiento de las cantidades. Para comprender el sentido numérico, dentro del universo de los números se utilizan diversas clasificaciones. Un tipo de números son los ordinales que sirven para establecer un orden. Por otro lado, existen los cardinales que indican cantidades numéricas de elementos que pertenecen a un grupo o conjunto. Actualmente, el sistema más usado es el sistema numérico decimal pero no es el único que existe. Otras culturas crearon sistemas de numeración distintos al decimal, como por ejemplo, los mayas y los romanos.
El sistema de numeración binario se utiliza principalmente en la informática. Está conformado solo por dos cifras: el 0 y el 1.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
De acuerdo a la cantidad de divisores que poseen los número, los podemos clasificar en primos y compuestos. Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. En cambio, los números compuestos son aquellos que además de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números, es decir, tienen más de dos divisores. Todos los números compuestos pueden expresarse como un producto de factores primos.
Para determinar los factores primos de un número compuesto se emplean los criterios de divisibilidad.
VALOR POSICIONAL
Una de las principales características de nuestro sistema de numeración decimal es que el valor de los dígitos varía de acuerdo a su ubicación dentro del número. Esta característica se denomina valor posicional y aplica tanto en los números enteros como en los fraccionarios. Una herramienta que nos permite observar directamente el valor de cada dígito de acuerdo al lugar que ocupa es la tabla posicional.
Según la posición de cada dígito, los números pueden descomponerse en forma de suma (descomposición aditiva) o de multiplicación (descomposición multiplicativa).
NÚMEROS DECIMALES
Hay números que se ubican entre dos números enteros consecutivos, estos números se denominan números decimales y se caracterizan porque presentan una parte entera y una decimal, que se encuentran separadas por una coma o punto de acuerdo a la convención del país. Los números decimales se clasifican en racionales y en irracionales. Los racionales se pueden representar en forma de fracción, y los irracionales son números infinitos cuya parte decimal no sigue ningún patrón, como sucede en el caso del número pi.
A menudo se pueden aplicar redondeos en las cifras decimales de un número para simplificar los cálculos.
POTENCIAS
La potenciación es una operación compuesta de tres partes fundamentales: el exponente, la base y la potencia. El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar la base por si misma. La base es el número que se multiplica por sí mismo las veces que indique el exponente. La potencia es el resultado de la operación de potenciación. Como toda operación matemática, las potencias cumplen con algunas propiedades. Por ejemplo, todo número elevado a 0 es igual a 1. Para resolver potencias se aplican sus propiedades y se realizan multiplicaciones sucesivas de la base.
Cuando el exponente es 1, la potencia es siempre igual a la base.
RAÍZ DE UN NÚMERO
La radicación es la operación inversa a la potenciación y por ello se encuentran estrechamente relacionadas. Esta operación emplea el símbolo (√) denominado radical. Sus elementos principales son el radicando, el índice y la raíz. El radicando es el número al cual se le va a calcular la raíz y se encuentra en la parte inferior del radical. El índice es el número que índica la cantidad de veces en las que debe multiplicarse un número por sí mismo para que el resultado sea igual al radicando, y se ubica en la parte izquierda del radical. La raíz es el resultado de la operación. Para calcular una raíz se debe buscar un número que multiplicado por sí mismo las veces que indique el índice dé como resultado el mismo valor del radicando.
En las raíces cuadradas, el índice 2 no se coloca en el radical: simplemente se denotan como (√).
Estrechamente relacionada con la potenciación, existe otra operación matemática denominada “radicación”. Ambas operaciones matemáticas son inversas. La raíz cuadrada y la raíz cúbica son unas de las formas de radicación más conocidas. Este tipo de operaciones se emplea en varios ámbitos, especialmente en la geometría y en otras ciencias.
¿Qué es una raíz?
La raíz es el número que se obtiene como resultado de la operación matemática denominada “radicación”. La potenciación calcula el número o potencia que resulta de multiplicar la base por si misma las veces que indica el exponente. La radicación por su parte, calcula la base a partir del exponente y de la potencia. Por eso se dice que son operaciones inversas.
Elementos de las raíces
Para saber cómo encontrar la raíz de un número, primero debemos conocer todos los elementos de la radicación:
Radical: es el símbolo que se emplea en la radicación y se denota como (√).
Radicando: es el número al que se le va a hallar la raíz. Se ubica en la parte inferior del radical, por lo cual es denominado también cantidad subradical.
Índice: es el número que indica las veces que hay que multiplicar un número por sí mismo para obtener el radicando. Se ubica en la abertura izquierda del radical.
Raíz: es el número que al multiplicarse por si mismo las veces que indica el índice es igual al radicando.
¿Sabías qué?
Cuando el índice de una raíz es 2, se denomina raíz cuadrada. En este caso basta con escribir el símbolo de radical sin el índice.
Lectura de raíces
Para leer expresiones de este tipo se debe tener en cuenta que todo depende del número índice de la raíz.
Cuando el número índice es mayor a tres, se utilizan números ordinales para leer el valor de la raíz seguido del radicando. Por ejemplo:
= raíz sexta de sesenta y cuatro.
= raíz cuarta de seiscientos veintiocho.
Si el índice es 2 se lee “raíz cuadrada” y luego se menciona el número del radicando:
= raíz cuadrada de cinco.
Cuando el índice es 3 se lee “raíz cúbica” y luego se menciona el número del radicando:
= raíz cúbica de veintisiete.
¿Cómo se encuentra la raíz?
La raíz de un número se debe calcular al buscar un número que multiplicado por sí mismo la cantidad de veces que exprese el índice dé como resultado el radicando.
Por ejemplo: si el índice es 3 y el radicando es 8, se debe buscar un número que multiplicado 3 veces por si mismo dé como resultado 8. En este caso, sería 2 porque 2 × 2 × 2 = 8. Por lo tanto, la raíz cúbica de 8 es igual a 2.
En el siguiente ejemplo, la raíz cúbica de 64, se obtuvo al buscar un número que multiplicado tres veces por sí mismo dé como resultado 64. En este caso, el resultado es 4 porque 4 × 4 × 4 = 64.
Relación entre potenciación y radicación
Existe una estrecha relación entre la potenciación y la radicación, esto se debe a que ambas operaciones son inversas entre sí.
Si consideramos el ejemplo anterior se podría afirmar que como cuatro elevado al cubo es igual a sesenta y cuatro, a su vez, la raíz cúbica de sesenta y cuatro es cuatro. En el siguiente diagrama podemos observar de forma más clara a esta relación:
Al utilizar la relación que existen entre la potenciación y la radicación podemos definir a esta última como la búsqueda de la base de una potencia cuyo exponente es el índice de la raíz; o, en otras palabras, la búsqueda de un número que elevado al índice dé como resultado el radicando. Esto se aplica de forma habitual en cálculos y fórmulas avanzadas.
¿Sabías qué?
No todos los números tienen una raíz exacta. Por ejemplo,
Cálculo de raíces
Como vimos anteriormente, para encontrar una raíz debemos hacer multiplicaciones de un número por sí mismo según indique el índice. Sin embargo, en la radicación podemos encontrar uno o más cálculos dentro del radicando. Cuando esto sucede, debemos seguir los siguientes pasos.
Resolver las operaciones que están dentro del radicando.
Resolver la raíz
En los siguientes ejemplos veremos el cálculo cuando dentro del radicando existen sumas y restas:
→
→
Cuando se encuentren otras operaciones además de la suma o resta, se resuelven aquellas primero y luego se resuelven las sumas y restas:
→ →
→ →
Los elementos de la radicación son: el índice, el radicando y la raíz. Esta última se obtiene al buscar un número que multiplicado por sí mismo la cantidad de veces que exprese el índice dé como resultado el radicando. En la radicación podemos encontrar uno o más cálculos dentro del símbolo radical. Cuando esto sucede primero se realizan las operaciones y luego se busca la raíz.
¡A practicar!
1. ¿Cómo se leen las siguientes raíces?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
RESPUESTAS
a) = raíz cúbica de mil.
b) = raíz cuadrada de cuarenta y nueve.
c) = raíz cúbica de ciento veinticinco.
d) = raíz cuadrada de ciento cuarenta y cuatro.
e) = raíz cuarta de doscientos cincuenta y seis.
f) = raíz cúbica de trescientos cuarenta y tres.
g) = raíz cuadrada de ciento veintiuno.
2. Calcula las siguientes raíces.
a)
b)
c)
RESPUESTAS
a) = 3 → porque 3 x 3 x 3 (o 33) es 27.
b) = 6 → porque 6 x 6 (o 62) es 36.
c) = 4 → porque 4 x 4 (o 42) es 16.
d) = 9 → porque 9 x 9 (o 92) es 81.
e) = 2→ porque 2 x 2 x 2 (o 23) es 8.
f) = 4 → porque 4 x 4 x 4 (o 43) es 64.
g) = 3 → porque 3 x 3 (o 32) es 9.
Resuelve los cálculos y luego encuentra las raíces:
a)
b)
c)
RESPUESTAS
a)
b)
c)
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo destacado “La radicación”
El siguiente artículo explica qué es la radicación, cuáles son sus principales elementos y cómo resolver problemas de este tipo.
El siguiente artículo te ayudará a conocer en mayor profundidad cuáles son las propiedades de la radicación. Además, contiene algunos ejemplos en donde son aplicadas.
Uno de los objetos de estudio de la geometría son los cuerpos geométricos. Una pelota de fútbol, un cono de helado o un dado son algunos objetos cotidianos que podemos asociar con estos cuerpos, los cuales se caracterizan por ocupar volumen en el espacio y estar formados con figuras geométricas.
Principales cuerpos geométricos
Los cuerpos geométricos son infinitos y cada uno posee características propias. Los más comunes son el cubo, el prisma, la pirámide, el cilindro, el cono y la esfera. Ellos se clasifican en poliedros y cuerpos redondos.
Los poliedros son cuerpos geométricos. Todas sus caras son planas. Estos, a su vez, pueden ser regulares si sus caras son todas iguales o irregulares cuando son diferentes. Un ejemplo de poliedro es el cubo.
Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos con al menos una cara curva, como sucede con el cilindro.
En la mayoría de los cuerpos geométricos se pueden identificar los siguientes elementos.
Cara: corresponde a cada una de las superficies planas que delimitan al cuerpo geométrico. Pueden ser caras basales, las que sirven de apoyo (base) al cuerpo en el plano, o caras laterales, que corresponden a las de los costados.
Vértice: es el punto en el que se juntan tres o más caras.
Arista: es el segmento de línea que se forma cuando dos caras se juntan.
La esfera y sus curiosidades
La esfera es un cuerpo geométrico que no posee ni caras, ni aristas ni vértice. Y se caracteriza porque todos los puntos de su superficie están a la misma distancia del centro.
Volumen de cuerpos geométricos
De acuerdo a su tipo, cada cuerpo geométrico tiene características propias que permiten calcular su volumen a través de fórmulas.
Un cubo se caracteriza porque todos sus lados miden lo mismo, de manera que al conocer solo la medida de un lado se puede aplicar la fórmula:
– Calcula el volumen del siguiente cilindro.
Según la fórmula, los únicos datos que se necesitan son el radio del cilindro y su altura. De la imagen se obtienen los datos:
En este caso observa que el radio está elevado al cuadrado, por lo tanto, al resolver esa potencia las unidades también se verán afectadas, por lo que quedarán centímetros cuadrados:
El número pi (π) es un número irracional, por lo cual es infinito. Para efectos de estos cálculos, usaremos solamente 2 de sus decimales, es decir, lo aproximamos a 3,14.
Al resolver este producto se obtiene el volumen del cilindro.
¿Sabías qué?
Cuando se usan múltiplos o submúltiplos del metro, el volumen siempre se expresa en unidades cúbicas: m3, cm3, mm3, km3, etc.
Los prismas son poliedros cuyos lados laterales son paralelogramos y con dos caras paralelas e iguales denominadas bases. Reciben su nombre de acuerdo a la forma de su base, por ejemplo, si su base es un triángulo, se denomina prisma triangular, si es un pentágono se denomina prisma pentagonal y así sucesivamente. Un paralelepípedo es un prisma cuya base es un paralelogramo.
Construcción de cuerpos geométricos
Los cuerpos geométricos tienen volumen y, por lo tanto, se pueden representar en tres dimensiones: largo, alto y ancho. Las imágenes a continuación son patrones que puedes usar para construir los cuerpos geométricos más comunes:
Cubo Prisma rectangular Pirámide Cilindro Cono
La construcción de cuerpos geométricos, además de su gran utilidad al momento de representar a estas figuras, permite trasladar estos conocimientos a otras áreas como la arquitectura y la ingeniería, en las cuales se realizan diseños a escalas. Conocer las diferentes fórmulas de cálculo y volumen de las figuras es fundamental para realizar operaciones más avanzadas.
¡A practicar!
1. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.
a)
*La base es un rectángulo.
Solución
V = 133,33 cm3
b)
Solución
V = 64 cm3
c)
Solución
V = 904,32 cm3
d)
Solución
V = 33,49 cm3
e)
Solución
V = 96 cm3
f)
Solución
V = 62,8 cm3
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Poliedros irregulares”
El artículo explica qué es un poliedro y qué caracteriza a los irregulares. También hace una breve explicación de los sólidos platónicos y muestra algunos ejemplos.
En este artículo destacado se explica qué es el volumen y cómo calcularlo en los diferentes cuerpos geométricos. También se plantean una serie de problemas resueltos y de ejercicios planteados.
Los números naturales () son los que utilizamos para contar. Cada número tiene un valor relativo según la posición que ocupe dentro de una cifra y esto permite una correcta lectura de los mismos. Además de los números naturales, existen los números decimales que están formados por una parte entera y otra decimal. También hay sistemas de numeración no posicionales como los números romanos, los cuales constan de siete letras del abecedario latino.
Para leer un número de manera correcta es necesario conocer el valor que ocupa cada una de sus cifras. Para esto podemos usar una tabla posicional.
descomposición de números
Existen distintas formas de descomponer números grandes: la aditiva con combinaciones básicas, la aditiva por medio de valor posicional, la polinómica o la multiplicativa. En la aditiva con combinaciones básicas usamos una o más sumas que expresen el mismo resultado; en la aditiva con valor posicional empleamos los valores posicionales de cada cifra; en la polinómica utilizamos las potencias de base 10; y en la multiplicativa descomponemos la cantidad en sus factores primos.
Estas diferentes maneras de expresar los números permiten resolver situaciones de forma más rápida y sencilla.
números enteros
Los números enteros () están compuestos por todos los números naturales (), sus opuestos negativos y el cero. Los enteros negativos requieren el uso obligatorio del signo (−) a diferencia de los positivos que pueden o no estar acompañados con el signo (+). Estos pueden ser representados en una recta numérica, la cual contiene todos los números reales (). Los números enteros se aplican en diversas situaciones de la vida, como para indicar altitudes sobre el nivel del mar, registrar entradas y salidas de dinero de un banco, dibujar el eje de coordenadas, o para indicar temperaturas.
Otra de las tantas aplicaciones que se les da a los números enteros es para señalar los niveles de un edificios, en donde planta baja representa el 0, los niveles superiores los positivos y los niveles inferiores los negativos.
NÚMEROS decimales
Los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal, ambas divididas por una coma. Estos se clasifican en tres tipos según su parte decimal: exactos, periódicos y no periódicos. Los exactos tienen un número limitado de cifras; los periódicos poseen cifras decimales infinitas y, a su vez, estos se dividen en dos tipos: los puros y los mixtos; y los decimales no periódicos no tienen un patrón que se repita infinitamente. Estos números se pueden redondear para reducir la cantidad de cifras decimales y así obtener un valor muy parecido.
Los números decimales pueden ser utilizados en diversas situaciones de la vida, como para indicar la estatura de las personas o los precios de los productos.
sucesiones
Las sucesiones son un grupo de elementos que se ordenan uno detrás de otro. Estos elementos son llamados términos, siguen una regla dentro del conjunto y pueden ser números, letras, figuras o imágenes. En una sucesión, los términos son representados como subíndices (a1, a2, a3, …). Usamos sucesiones cada vez que contamos los días de la semana o las horas del día. También las usamos para ordenar de mayor a menor o de menor a mayor, o para aprender a leer el abecedario. Podemos encontrar sucesiones con operaciones matemáticas como la suma, la resta, la multiplicación, la división o la potencia.
Cuando se ordenan los ganadores de una carrera de automóviles, estos siguen un patrón de acuerdo al tiempo de llegada. Este es un ejemplo de sucesión.
potencias
La potenciación consiste en expresar de manera reducida una multiplicación de factores iguales. Tiene tres elementos: una base, un exponente y la potencia. La base es el número que se multiplicará tantas veces como indica el exponente y la potencia es el resultado de la multiplicación de los factores. Algunas de las propiedades de las potencias son: potencia de exponente 0, potencia de exponente 1, potencia de exponente negativo, multiplicación y división de potencias con igual base y la potencia de una potencia.
Las potencias sirven para aplicar teoremas, expresar notación científica, realizar sucesiones matemáticas y para demostrar problemas de crecimiento exponencial como la multiplicación de virus y bacterias.
raíz de un número
La raíz de un número es la operación inversa a la potencia de un número. Consiste en buscar el número que se ha multiplicado tantas como indica n bajo un operador radical. Los elementos de una raíz son el radicando, el índice, el radical y la raíz. El radicando es el resultado de la multiplicación de la raíz de un número tantas veces como indica el índice de la raíz. El índice indica el grado de una raíz, lo que se traduce en cuántas veces se multiplicó por sí mismo el resultado de la radicación. El radical representa el símbolo de la operación de radicación y la raíz es resultado de la operación matemática.
Todas las operaciones matemáticas poseen una operación inversa que revierte los cálculos realizados.
