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Ecuaciones y despejes

Saber despejar una ecuación es de suma importancia no sólo para resolver problemas matemáticos, sino también para realizar cálculos en otras asignaturas como Química o Física. Existe una serie de reglas que permiten despejar ecuaciones de forma fácil.

¿Qué es una ecuación?

Es la igualdad establecida que permite determinar alguno de sus elementos respecto a los valores de los demás. En este sentido, una ecuación es una igualdad matemática entre dos miembros o expresiones que se encuentran separados por el signo igual.

La igualdad matemática o equivalencia es la relación entre dos expresiones diferentes que representan una misma cantidad.

Elementos de una ecuación

Existen varios tipos de ecuaciones, desde una simple ecuación lineal de una incógnita hasta ecuaciones con identidades trigonométricas, o incluso con números complejos. Sin embargo, en las ecuaciones se pueden identificar varios elementos básicos. Observa el siguiente ejemplo:

  • Miembro: es la expresión algebraica que se encuentra separada por el signo igual. En el caso del ejemplo, representa el miembro izquierdo y 5 el derecho.

  • Término: cada uno de los sumandos que se encuentran en cada miembro de la igualdad, por ende, están precedidos por los signos más o menos. En el caso del ejemplo podemos observar tres términos.

  • Incógnita: letra o variable que figura en la ecuación y representa los valores desconocidos. Generalmente se usan las últimas letras del alfabeto para denotarlas. En el ejemplo la incógnita es “x”.

  • Grado: en el caso de ecuaciones con una incógnita, el grado de éstas se define como el número de su mayor exponente siempre y cuando no se encuentre ni dentro de un signo radical ni en el denominador. El ejemplo se trata de una ecuación de grado 1, porque el mayor exponente de la incógnita “x” es 1, este tipo de ecuación también se denomina ecuación de primer grado.

Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones pueden ser de dos tipos: literales y numéricas. Se denomina ecuación literal aquella en la que por lo menos un elemento conocido se encuentra representado por una letra. Una ecuación numérica en cambio es aquella en la cual sus elementos conocidos son números.

En el caso del ejemplo anterior de ecuación literal, los literales a y b son tratados como constantes para resolver la ecuación.

Solución de una ecuación

El valor o valores de la incógnita de una ecuación que hacen que la igualdad de la misma sea cierta se denominan solución de la ecuación o raíces de la ecuación

Resolver una ecuación es hallar el o los valores que verifican la igualdad de la misma.

Cuando una ecuación tiene solución se denomina compatible, en caso contrario se denomina incompatible.

Las ecuaciones que presentan la misma solución son llamadas ecuaciones equivalentes.

Reglas para resolver ecuaciones

Para resolver ecuaciones se emplean una serie de reglas y operaciones que permiten confinar la incógnita en un lado de la igualdad, es decir, despejarla de otros términos que la acompañan. De esta manera, el valor obtenido al otro lado de la igualdad corresponde a la solución o soluciones de la misma.

  • Regla de la suma

Esta regla explica que al sumar la misma expresión algebraica a ambos lados de la igualdad se obtiene una ecuación equivalente y por ende el mismo resultado. Por ejemplo:

Se puede sumar 3 en ambos miembros de la ecuación:

Al resolver se obtiene:

A partir de ese principio, la regla de la suma también se denomina regla de transposición de términos debido a que, para cambiar un término a otro miembro, se tiene que cambiar su signo.

Por ejemplo:

Para despejar la “x” lo único que se debe hacer es pasar los números 3 y -4 con signo contrario al otro lado de la igualdad.

Al resolver se obtiene:

  • Regla del producto

Establece que al multiplicar o dividir por un mismo número en ambos miembros de la ecuación el resultado es una ecuación equivalente de la primera. Por ejemplo:

Si se dividen ambos miembros por 4, se obtiene:

Al resolver:

Por medio de esta regla se deduce que los elementos que multiplican pasan al otro lado a dividir y los elementos que dividen pasan al otro lado a multiplicar.

Por ejemplo:

Para despejar la “x”, el 3 que la multiplica pasa al otro lado a dividir:

Al resolver se obtiene:

A través de las dos reglas anteriormente estudiadas se puede resolver la primera ecuación de este artículo:

Por medio de la regla de transposición se puede pasar el 3 al otro lado de la igualdad.

El 2 que multiplica a la “x” pasa al otro lado a dividir.

Al resolver se obtiene:


Pasos para resolver ecuaciones de primer grado

  1. Quitar los paréntesis en caso de que existieran (a través de la propiedad distributiva u otras operaciones).
  2. Quitar los denominadores en caso de que existieran.
  3. Ubicar los términos que tienen incógnitas en un miembro y los que no tienen incógnita en otro.
  4. Sumar los términos semejantes.
  5. Despejar la incógnita a través de la regla del producto.
  6. Simplificar el resultado obtenido en caso de que sea una fracción.

Ejemplo:

  1. Se eliminan los paréntesis, para lograrlo se aplica la propiedad distributiva. Es decir, se multiplica el 5 por cada uno de los elementos que están en paréntesis.

  1. Se quita el denominador de la fracción, para lograrlo el 2 pasa a multiplicar a todos los términos que se encuentran al otro lado de la igualdad. Se colocan paréntesis para indicar que el 2 pasó a multiplicar a todos los términos del miembro derecho.

Se eliminan los paréntesis a través de la propiedad distributiva:

  1. Se ubican los miembros que tienen incógnitas en un mismo miembro y los que no tienen incógnitas en otro. Para lograrlo se aplica la regla de la suma o de transposición.

  1. Se suman los términos semejantes.

Recuerda que no se pueden sumar términos con incógnitas diferentes o con constantes (números sin incógnitas).

  1. Se despeja la incógnita, para lograrlo se aplica la regla del producto por medio de la cual el 3 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuación.

  1. Se simplifica el resultado, en este caso se trata de una fracción que se puede resolver, si fuera una fracción irreducible, el resultado sería dicha fracción.

Otros casos

De la misma forma como se explicó al inicio de este artículo, es importante tener presente que hay diferentes tipos de ecuaciones, que involucran términos particulares con radicales, funciones trigonométricas, logaritmos, etc. En este artículo solamente se abordó la resolución de ecuaciones de primer grado debido a lo extenso del contenido. Es importante que el estudiante tenga presente que cada ecuación tiene sus características propias y diversas formas de llegar a la solución.

Las reglas mostradas también son usadas para despejar fórmulas, que son expresiones de una ley o principio general que se expresa por símbolos y letras.

 Ejercicios de potenciación

La potenciación es muy útil para resolver diversos tipos de problemas, como en la descomposición de números en sus factores primos o en el empleo de la notación científica. Sin embargo, en estos y muchos otros casos en donde es aplicada la potenciación, se cumplen algunas propiedades que es indispensable conocerlas.

Elementos de una potencia

Una potencia es una expresión con la forma an, donde a es la base y n es su índice o exponente. La definición de una potencia varía en función al conjunto numérico al cual pertenece el exponente. Sus elementos principales son:

Base: es el número que se debe multiplicar por sí mismo.

Exponente: número que indica las veces que se debe multiplicar la base por sí misma, también se denomina índice.

Potencia: es el resultado de la potenciación.

 

Las potencias pueden aplicarse tanto en números reales como en números complejos.
¿Cómo leer una potencia?

Para leer una potencia, primero se lee el valor de su base y luego su exponente. Por ejemplo, 42 se lee como “cuatro elevado al cuadrado”, se usa la expresión cuadrado para expresar que el exponente es el número 2. En el caso de que el exponente sea el número 3 se usa la expresión cubo, de esta forma, 73 se leería “siete elevado al cubo”. Para los demás exponentes se emplean los números ordinales: “siete elevado a la quinta”, “nueve elevado a la sexta”, etc.

 

Cuando el exponente de la potencia es 1, simplemente se coloca la base sin exponente porque cualquier número multiplicado por uno da el mismo número.

Repaso de las propiedades

Las propiedades de la potenciación o de las potencias permiten resolver ejercicios que involucran potencias.

Propiedades de la potencia
1 Potencia de exponente 0 a^{0}=1
2 Potencia de exponente 1 a^{1}=a
3 Potencia con exponente negativo a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}
4 Multiplicación de potencias de igual base a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}
5 División de potencias de igual base \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}
6 Potencia de una potencia \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{m\times n}
7 Potencia de un producto \left ( a\times b \right )^{n}= a^{n}\times b^{n}
8 Potencia de una división \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
Las potencias de base 10 son usadas para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas en un sistema denominado notación científica.

Propiedades que no se cumplen en la potenciación

  • Propiedad distributiva

Aunque se cumple para la multiplicación y la división, como se pueden observar en las propiedades 7 y 8 de la tabla anterior, la propiedad distributiva no se cumple con respecto a la adición y a la sustracción.

{\color{Red} \left ( a+b \right )^{n}\neq a^{n}+b^{n}}

{\color{Red} \left ( a-b \right )^{n}\neq a^{n}-b^{n}}

  • Propiedad asociativa

No se cumple en la potenciación.

{\color{Red} \left ( a^{m} \right )^{n}\neq a^{(m^{n})}}

  • Propiedad conmutativa

Solo se cumple cuando la base y el exponente tienen el mismo valor numérico (como 55, 77, 44, etc.). Generalmente se cumple que:

{\color{Red} a^{n}\neq n^{a}}

 

No existe una solución para la expresión 00, en este caso se trata de una indeterminación.

Aplicación de las propiedades

  • Aplica las propiedades de la potenciación para resolver los siguientes ejercicios:

a) \mathbf{\frac{5^{7}}{5^{3}}-\left ( 3^{2} \right )^{2}}

 

Primero empleamos la propiedad 5 para la división:

{\color{Blue} \frac{5^{7}}{5^{3}}}-\left ( 3^{2} \right )^{2}={\color{Blue} 5^{7-3}}-\left ( 3^{2} \right )^{2}={\color{Blue} 5^{4}}-\left ( 3^{2} \right )^{2}

Luego aplicamos la propiedad 6 para la segunda parte del ejercicio:

5^{4}-\left ( {\color{DarkGreen} 3^{2}} \right )^{{\color{DarkGreen} 2}}=5^{4}-{\color{DarkGreen} 3^{2\times 2}}=5^{4}-{\color{DarkGreen} 3^{4}}

Resolvemos ambas potencias:

5^{4}=5\times 5\times 5\times 5=\mathbf{625}

3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=\mathbf{81}

Finalmente sustituimos los valores:

5^{4}-3^{4}=625-81=\mathbf{544}

Solución:

\frac{5^{7}}{5^{3}}-\left ( 3^{2} \right )^{2}= \mathbf{544}

 

b) \mathbf{\frac{5^{2}\times 2^{3}\times 6^{0}}{2^{2}\times 5}}

Por la propiedad 1 sabemos que 60 = 1, así que, al ser multiplicaciones, su valor no afectará el resultado. La expresión queda de la siguiente forma:

\frac{5^{2}\times 2^{3}\times 6^{0}}{2^{2}\times 5}=\frac{5^{2}\times 2^{3}}{2^{2}\times5}

Luego calculamos las potencias:

5^{2}=5\times 5=\mathbf{25}

2^{3}=2\times 2\times 2=\mathbf{8}

2^{2}=2\times 2=\mathbf{4}

Sustituimos los resultados de las potencias:

\frac{5^{2}\times 2^{3}}{2^{2}\times5}=\frac{25\times 8}{4\times 5}=\frac{200}{20}=\mathbf{10}

Solución:

\frac{5^{2}\times 2^{3}\times 6^{0}}{2^{2}\times 5}=\mathbf{10}

 

c) \mathbf{2^{3}-7^{2}+\frac{3^{6}}{3^{4}}}

Aplicamos la propiedad 5 en la división:

2^{3}-7^{2}+{\color{Blue} \frac{3^{6}}{3^{4}}}=2^{3}-7^{2}+{\color{Blue} 3^{6-4}}=2^{3}-7^{2}+{\color{Blue} 3^{2}}

Resolvemos las potencias:

2^{3}=2\times 2\times 2=\mathbf{8}

7^{2}=7\times 7=\mathbf{49}

3^{2}=3\times 3=\mathbf{9}

 

Sustituimos los resultados en las potencias y resolvemos:

2^{3}-7^{2}+3^{2}=8-49+9=\mathbf{-32}

Solución:

2^{3}-7^{2}+\frac{3^{6}}{3^{4}}=\mathbf{-32}

d) \mathbf{\frac{2^{7}\times 3^{7}}{6^{4}}}

En este problema se pueden resolver las potencias por separado y luego sustituir, pero existe una manera más sencilla de llegar al resultado a través de las propiedades de la potenciación. Lo primero que se debe hacer es aplicar la propiedad 7 en el numerador. De este modo, la expresión queda de la siguiente forma:

\frac{2^{7}\times 3^{7}}{6^{4}}=\frac{\left ( 2\times 3 \right )^{7}}{6^{4}}

Resolvemos el producto para originar una fracción con potencias de igual base:

\frac{\left ( 2\times 3 \right )^{7}}{6^{4}}=\frac{6^{7}}{6^{4}}

Aplicamos la propiedad 5:

\frac{6^{7}}{6^{4}}=6^{7-4}=6^{3}

Resolvemos:

6^{3}=6\times 6\times6=\mathbf{216}

Solución:

\frac{2^{7}\times 3^{7}}{6^{4}}=\mathbf{216}

 

e) \mathbf{(2)^{2}\times \left ( -2 \right )^{3}}

 

Para empezar, calculamos las potencias:

\left ( 2 \right )^{2}=2\times 2=\mathbf{4}

\left ( -2 \right )^{3}=\left ( -2 \right )\times \left ( -2 \right )\times \left ( -2 \right )=\mathbf{-8}

 

Después sustituimos las potencias en la expresión inicial y resolvemos:

(2)^{2}\times \left ( -2 \right )^{3}=4\times \left ( -8 \right )=\mathbf{-32}

Solución:

(2)^{2}\times \left ( -2 \right )^{3}=\mathbf{-32}
En las potencias con base negativa se debe aplicar la regla de los signos.

Aplicación en expresiones algebraicas

Además de lo útiles que son las propiedades de la potenciación para resolver problemas numéricos, también pueden emplearse en expresiones algebraicas complejas con la finalidad de hacerlas más sencillas. A continuación se muestran algunos ejemplos.

  • Reduce a la única potencia:

a) \mathbf{\frac{\left ( a^{2} \right )^{3}}{a}}

Aplicamos la propiedad 6 en el numerador:

\frac{\left ( a^{2} \right )^{3}}{a}=\frac{a^{6}}{a}

Como se obtuvo una división de potencias de igual base, empleamos la propiedad 5:

\frac{a^{6}}{a}=a^{6-1}=a^{5}

Solución:

\frac{\left ( a^{2} \right )^{3}}{a}=\mathbf{a^{5}}

 

b) \mathbf{\left ( \frac{m^{5}}{m^{3}} \right )^{2}}

Al aplicar la propiedad 5 en la fracción se obtiene que:

\left ( \frac{m^{5}}{m^{3}} \right )^{2}=\left ( m^{5-3} \right )^{2}=\left ( m^{2} \right )^{2}

Por medio de la propiedad 6 se obtiene la siguiente expresión:

\left ( m^{2} \right )^{2}=m^{2\times 2}=\mathbf{m^{4}}

Solución:

\left ( \frac{m^{5}}{m^{3}} \right )^{2}=\mathbf{m^{4}}
Existe la potenciación con exponentes racionales que se denotan en forma de fracción.

Microsoft Excel

El cálculo matemático ha sido una de las disciplinas ante las cuales el hombre ha sentido la necesidad de abastecerse de tecnologías que facilitasen su resolución y, ya desde la antigüedad, instrumentos como el ábaco han ido restando complejidad al acto de “hacer cuentas”, elemento crucial en la conformación de las sociedades modernas. A partir del siglo XXI, un software que ha ayudado mucho al hombre y sus cálculos matemáticos es Microsoft Excel, del cual hablaremos en este artículo.

Hojas de cálculo

Las hojas de cálculo, al permitir una serie de relaciones lógicas entre cifras según las cuales la disminución o aumento de un valor provoca la variación automática de otros valores a él subordinados, es el paso decisivo en favor de la simplificación de la matemática contable. A través de un lenguaje simple que permite la fácil introducción de fórmulas y funciones, programas como Microsoft Excel convierten la tarea de llevar al día la contabilidad de un negocio o bien el recuento de un stock en un verdadero juego de niños.

La interfaz de Excel

Una hoja de cálculo de Microsoft Excel está formada por una o más cuadrículas de extensión agrupadas en un libro, de modo que puedan englobarse distintas tablas referentes a un mismo asunto en un solo archivo.

Cada hoja de nuestro libro es accesible a través de las pestañas situadas en la parte inferior izquierda de la pantalla, justo encima de la barra de estado. Podemos nombrar las distintas hojas o bien añadir hojas nuevas mediante la pulsación del botón derecho del ratón sobre una de las pestañas existentes, que despliega un sencillo menú contextual.

Determinada la estructura de hojas de nuestro libro, podemos proceder al rellenado de la cuadrícula de cada una de las mismas. Pulsando sobre una casilla cualquiera podemos teclear un valor numérico o bien una cadena de texto. A continuación, y al igual que ocurría con Word, con la barra de formato podemos moldear esta información.

Introducción de funciones en una hoja de cálculo

La verdadera utilidad de una hoja de cálculo no radica en la posibilidad de plasmar en formato tabla una serie de datos y cifras, sino en la capacidad del programa de hacer cálculos que relacionen estas cifras y de que estas fórmulas se muestren sensibles a la modificación de los valores de los que parten. Esto se consigue gracias a la introducción de funciones, accesible a través de la opción “Función…” del menú Insertar o bien por medio del icono de función de la barra estándar. Estos parámetros dan paso a un cuadro de diálogo en el que se pide al usuario que escoja qué tipo de cálculo desea realizar entre un extenso inventario de operaciones matemáticas. Una vez decidido, un segundo cuadro nos permite introducir que tipo de intervalo de celdas van a estar envueltas en la operación matemática, dándonos también la posibilidad de marcar por medio del ratón de qué celdas de la cuadrícula se trata.

Las fórmulas pueden introducirse asimismo de forma manual en los campos en los que deben figurar sus resultados, tecleando en los mismos la fórmula a realizar precedida por el símbolo igual (por ejemplo, para sumar los valores de las celdas A4 y A5 y que el resultado figure en la celda A6, deberíamos teclear en esta última celda = A4 + A5).

Las bases de datos

A lo largo de nuestra vida, por motivos diferentes y casi sin darnos cuenta trabajamos con montones de bases de datos, desde colecciones de discos o listines telefónicos a inventarios de calificaciones académicas o listas de elementos relacionadas con casi cualquier ámbito laboral; es común la necesidad de tener ordenados, según distintos criterios, e interconectados entre sí una serie de datos. Los programas de gestión de bases de datos, con Microsoft Access como claro estándar, permiten precisamente la correcta gestión de los datos de esta naturaleza.

 

Logo de Excel

Estructura de una base de datos

La fuente principal a partir de la cual se vertebra una base de datos, como se extrae de lo que acabamos de decir, es una o varias relaciones entre elementos, o lo que es lo mismo, uno o varios listados que vinculen dos o más datos.

Una tabla en la que se encuentren los nombres de nuestros amigos, la dirección y el teléfono de cada uno de ellos constituye el esqueleto de una base de datos, por ejemplo.

Por todo ello, el requisito principal para la constitución de una base de datos, y por tanto su elemento indispensable, es la tabla.

Una vez introducidas en el programa una o más tablas (de forma manual o bien importando una tabla desde otro programa de la suite de Office), podemos modificar los criterios de ordenación de sus campos y la cantidad de los mismos que deseamos que aparezcan en pantalla creando una consulta. Esta función es también útil para conectar entre sí dos o más tablas con algún dato en común.

Establecidas estas relaciones y determinados los órdenes por los que se regirá la información, podemos conseguir vistosas presentaciones para impresora, o bien crear páginas intuitivas para la introducción de nuevos registros o modificación de los registros existentes por medio de los denominados formularios.

Estas cuatro categorías, junto con las macros y los módulos (que sirven, respectivamente, para englobar una serie de procedimientos avanzados en una única acción y para la incorporación a la base de instrucciones en lenguaje Visual Basic) constituyen los medios que permitirán obtener el mayor rendimiento de una base de datos.

Sistema de numeración decimal

Un sistema de numeración consiste, esencialmente, en un procedimiento para nombrar o representar la serie ordenada de los números naturales mediante el empleo de un repertorio limitado de palabras o signos.

El sistema de numeración decimal es el sistema adoptado universalmente y consta de diez símbolos que son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

El sistema de numeración decimal es el más utilizado universalmente.

Con ellos se representan todos los números. Al llegar al número diez, como no se dispone de ninguna cifra para representarlo, construimos su signo combinando dos cifras correspondientes a otros dos números y escribimos 10 (1 y 0). La cifra 1 colocada en esta posición significa decena (1 decena). La cifra 8 en esta posición y seguida de cero (80), significaría 8 decenas.

Utilizando dos cifras podemos representar hasta el número 99 (9 decenas y 9 unidades). Para el siguiente a 99 utilizamos ya tres cifras: 100. El 1 colocado en esta posición significa una centena.

Este sistema de numeración, en que cada diez unidades de un orden forman una del orden superior, es el comúnmente llamado sistema decimal.

El sistema de numeración decimal se llama así porque tiene al número diez como base. Ello significa que, en este sistema, toda cantidad se expresa como suma de múltiplos de las potencias sucesivas de diez (o sea, los productos de la forma 10 · 10 · … · 10).

El diez es la base del sistema de numeración decimal.

Origen

La actual representación decimal de los números encuentra su origen en la India, aunque se introdujo en Europa a través de textos árabes. El primer texto europeo que las contiene (aunque no en el estado actual y, además, sin el 0) es el Codex Vigilanus, en honor a su autor el monje Vigila, que lo redactó en el año 976, en Albelda (Logroño, España).

¿Qué es un número natural?

Un número natural se designa con N. Se trata de aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjunto.

Un número natural es cualquier miembro del siguiente conjunto: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

En el caso del ejemplo anterior, comienza en cero y prosigue ad infinitum, lo que significa “hasta el infinito”. El número que se encuentra a la derecha de otro número se denomina sucesivo o siguiente.

El conjunto ℕ se toma a partir del cero en este caso, ya que éste representa la cantidad de elementos que tiene el conjunto vacío.

Llamamos segmento de una sucesión natural al conjunto de todos los números naturales iguales o menores que cierto número natural, K. Se denota de la siguiente manera:  I 1, K I

Propiedades del conjunto de los números naturales

  • Los números naturales nos permiten contar los elementos de un conjunto determinado, y cuando realizamos operaciones con ellos, podemos obtener resultados catalogados o no como número naturales.

Al sumar y al multiplicar dos números naturales obtendremos como resultado un número natural.

En cambio, en la división y en la resta de números naturales, no siempre obtendremos como resultado otro número natural.

  • Cada elemento tiene un sucesor. Si tomamos un número natural sabremos cuál es el que le sigue, es decir el sucesor, y esto nos indicará que no hay un número natural en medio de ellos.
  • La función de los números naturales es representar cantidades (mayores o menores) . Si queremos decir que un número es mayor que otro usamos >, mientras que para decir que un número es más pequeño que otro se utiliza <.

Ejemplo 10 > 1 o 1 < 10