Polígonos
Podemos observar polígonos en múltiples objetos de nuestro alrededor. Estos son muy diversos y los hay con lados y ángulos iguales o desiguales entre sí. Son elementos fundamentales de la geometría y su conocimiento es esencial en diversos campos del conocimiento, como la ingeniería o la arquitectura.
¿Qué es un polígono?
En geometría, un polígono es una figura geométrica plana delimitada por un número finito de segmentos rectos.
Los polígonos presentan los siguientes elementos:
- Lados: son los segmentos rectos que conforman al polígono.
- Vértices: son los puntos en común entre dos lados consecutivos.
- Diagonales: son los segmentos que unen a dos lados no consecutivos de un polígono.
- Ángulos interiores: están formados por dos lados consecutivos en el interior del polígono.
- Ángulos exteriores: están formados en el exterior del polígono entre un lado y la prolongación de otro lado consecutivo.
Polígonos regulares y sus tipos
Un polígono regular tiene lados con la misma longitud. Se caracterizan también porque sus ángulos internos y externos también son iguales. Otra característica es que poseen la misma cantidad de ejes de simetrías que de lados. Las diagonales en este tipo de polígonos tienen la misma longitud y siempre son interiores.
| Polígono | Número de lados | Número de diagonales | Medida de cada ángulo interno | Medida de cada ángulo externo |
| Triángulo equilátero | 3 | 0 | 60° | 120° |
| Cuadrado | 4 | 2 | 90° | 90° |
| Pentágono | 5 | 5 | 108° | 72° |
| Hexágono | 6 | 9 | 120° | 60° |
| Heptágono | 7 | 14 | 128,57° | 51,43° |
| Octágono | 8 | 20 | 135° | 45° |
| Eneágono | 9 | 27 | 140° | 40° |
| Decágono | 10 | 35 | 144° | 36° |
| Endecágono | 11 | 44 | 147,27° | 32,73° |
| Dodecágono | 12 | 54 | 150° | 30° |
Todo polígono regular puede estar circunscrito en una circunferencia, lo que quiere decir que cada uno de sus vértices corresponde a un punto de la circunferencia. Mientras más lados tenga el polígono, más se va a aproximar a la forma de la circunferencia. Por esta razón, se asocia a la circunferencia (de forma informal) a un polígono de infinitos lados.
Área de polígonos regulares
Para medir el área de los polígonos es necesario conocer las definiciones de perímetro y apotema.
- Perímetro: es la suma de los lados que forman una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, se calcula al multiplicar el número de lados por la longitud de uno de sus lados.
Donde:
P: perímetro
n: número de lados del polígono regular.
L: longitud de uno de los lados del polígono.
- Apotema: es la distancia perpendicular desde el centro de un polígono hasta uno de sus lados.
El área de un polígono regular se define como el producto de su perímetro por la apotema (a) dividido entre dos.
Donde:
A: área
P: perímetro
a: apotema
– Ejemplo:
Calcular el área de un pentágono cuyos lados miden 6 cm y su apotema es de 4,13 cm.
Lo que debemos hacer es calcular primero el perímetro para luego sustituir en la fórmula junto con la apotema para calcular el área.
El perímetro del apotema es 30 cm, al sustituir en la fórmula de área nos queda:
El área del pentágono es de 61,95 cm2.
Polígonos irregulares y sus tipos
En los polígonos irregulares se pueden cumplir algunas de estas condiciones:
– Tener sus lados con igual longitud pero sus ángulos internos diferentes.
– Tener sus ángulos de igual medida pero sus lados con diferente longitud.
– Tener sus lados con diferente longitud y sus ángulos internos con diferente medida.
Ejemplos de polígonos irregulares
- Rombo
El rombo tiene los cuatro lados con igual longitud pero sus cuatro ángulos internos son diferentes: solo los ángulos opuestos de este polígono son iguales. Por eso se trata de un polígono irregular.
- Rectángulo (no cuadrado)
Es un cuadrilátero con sus cuatro ángulos iguales (90°), pero sus lados tienen diferente longitud entre sí. Solo los lados paralelos comparten la misma longitud.
- Triángulo (no equilátero)
Todo triángulo con un ángulo interior diferente de 60 grados es un polígono irregular.
Según sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos. Los equiláteros son los únicos triángulos que cumplen con las características de un polígono regular. Los triángulos escalenos son aquellos en los que las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos internos son diferentes, por lo tanto no son polígonos regulares. Por otra parte, los triángulos isósceles al contar solo con dos lados y dos ángulos iguales tampoco son considerados como polígonos regulares.
Perímetro de polígonos
Calculamos el perímetro de los polígonos regulares a través de la fórmula planteada anteriormente:
En cambio, en los polígonos irregulares, cuyos lados generalmente son diferentes, esta ecuación no siempre aplica. Para lo cual debemos sumar de forma separada las longitudes de cada uno de los lados.
Por ejemplo, para calcular el perímetro del siguiente triángulo isósceles simplemente sumamos cada una de las longitudes de sus lados.
El perímetro de este triángulo irregular es de 160 cm.
¡A practicar!
1. Determina el perímetro y el área de los siguientes polígonos regulares según los datos mostrados.
a) Un eneágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 9,62 cm.
b) Un pentágono regular cuyos lados miden 6 cm y su apotema 4,13 cm.
c) Un heptágono regular cuyos lados miden 8 cm y su apotema 8,31.
d) Un triángulo regular (equilátero) cuyos lados miden 5 cm y su apotema 1,44 cm.
e) Un decágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 4,62 cm.
f) Un dodecágono regular cuyos lados miden 4 cm y su apotema 7,46 cm.
g) Un hexágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 6,06 cm.
h) Un octágono regular cuyos lados miden 2 cm y su apotema 2,41 cm.
i) Un endecágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 5,11 cm.
j) Un cuadrado cuyos lados miden 4 cm y su apotema 2 cm.
2. ¿A qué polígono con una apotema de 4,33 cm le corresponde un área de 64,95 cm2.
a) Un decágono de 2 cm de lado.
b) Un hexágono de 5 cm de lado.
c) Un pentágono de 7 cm de lado.
d) Un octágono de 4 cm de lado.
3. ¿Qué polígono irregular tiene sus lados de igual longitud pero sus ángulos internos son diferentes?
a) Círculo
b) Cuadrado
c) Rectángulo
d) Rombo