Seguramente habrás notado a tu alrededor múltiples objetos con cuatro lados: una mesa, una caja o un teléfono móvil. Todos ellos tienen forma de cuadriláteros. Este tipo de figura tiene diversas clasificaciones según la longitud de sus lados y amplitud de sus ángulos. Con este artículos podrás diferenciar cada tipo de cuadrilátero y sabrás cómo calcular su perímetro.
¿qué es un cuadrilátero?
El término “cuadrilátero” proviene del latín quattuor que significa “cuatro” y latus que significa “lado”. Así que los cuadriláteros son aquellos polígonos que tienen cuatro lados. Estos lados pueden dibujarse de diversas formas: todos del mismo tamaño, de distintas medidas o con diferentes inclinaciones; pero lo fundamental es que estén unidos de forma tal que constituyan el contorno de una figura.
Todo cuadrilátero se caracteriza por tener cuatro lados. Estas figuras están en gran parte de los objetos que vemos en la cotidianidad: la pantalla que miramos de la computadora o el teléfono, las páginas de los libros, las paredes de la escuela, las hojas de un cuaderno, los anuncios publicitarios o simplemente en las cajas de nuestra casa.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°.
La suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero es igual a 360°.
En el ejemplo anterior:
α + β + γ + δ = 360°
α’ + β’ + γ’ + δ’ = 360°
Clasificación de los cuadriláteros
Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Paralelogramos
Son figuras con lados paralelos dos a dos cuyas diagonales se cortan entre sí en segmentos iguales. Se clasifican en:
Figura
Característica
Cuadrado
4 lados iguales.
4 ángulos rectos (90°).
Rectángulo
Lados iguales dos a dos.
4 ángulos rectos (90°).
Rombo
4 lados iguales.
Ángulos iguales dos a dos.
Romboide
Lados iguales dos a dos.
Ángulos iguales dos a dos.
Eje de simetría de los paralelogramos
Todos los paralelogramos tienen un eje de simetría. El eje de simetría es el segmento que divide a la figura en dos partes iguales. El punto de intersección de las diagonales es el centro de simetría del paralelogramo.
Para diferenciar un rombo de un cuadrado invertido debes prestar atención a los ángulos, solo el cuadrado tiene cuatro ángulos rectos.
Trapecio
Son figuras con 2 lados paralelos denominados bases. Se clasifican en:
Figura
Característica
Trapecio rectángulo
2 ángulos rectos (90°), uno agudo (menor a 90°) y uno obtuso (mayor a 90°).
Un lado es perpendicular a sus bases (paralelas).
Trapecio isósceles
Sus lados no paralelos son de igual longitud.
2 ángulos internos agudos (menores a 90°) y 2 ángulos obtusos (mayores a 90°) iguales entre sí.
Sus ángulos opuestos son suplementarios.
Trapecio escaleno
Todos sus lados y ángulos son diferentes.
Trapezoide
Son figuras sin lados paralelos.
Figura
Características
Lados opuestos no paralelos.
La clasificación de cuadriláteros es de gran ayuda en la vida de algunos profesionales. Ingenieros, arquitectos y diseñadores habitualmente necesitan estos conocimientos básicos para poder construir, medir o diseñar. Pero no solo ellos acuden a estos conocimientos; quienes trabajan en publicidad también precisan la geometría.
CÁLCULO DEL PERÍMETRO DE PARALELOGRAMOS
El perímetro es la suma de las longitudes de los lados de cualquier figura geométrica, con excepción del círculo; sin embargo, con el fin de agilizar su cálculo puedes aplicar las siguientes fórmulas:
Figura
Fórmula de perímetro
Cuadrado
P = 4 × l
Rectángulo
P = 2 × l + 2 × b
Romboide
P = 2 × l1 + 2 × l2
Rombo
P = 4 × l
– Ejemplo:
Calcula el perímetro de este rectángulo:
P = 2 × b + 2 × a
P = 2 × 10 cm + 2 × 6 cm
P = 20 cm + 12 cm
P = 32 cm
El perímetro del rectángulo es de 32 cm.
– Otro ejemplo:
Calcula el área de este rombo:
P = 4 × l
P = 4 × 5 cm
P = 20 cm
El perímetro del rombo es de 20 cm.
Figuras geométricas en la publicidad
Las figuras geométricas son entendidas como símbolo de sencillez y perfección. Incluso, cada una de ellas, tiene un significado propio. Esto quiere decir que las figuras transmiten un concepto y las geométricas nos hablan de perfección. Las empresas no eligen al azar su logotipo sino que se dedican a estudiar su público e invierten mucho dinero para su elaboración. Un gran número de compañías optan por figuras geométricas porque está comprobado que tienen impacto seguro, profundo y duradero.
¡A practicar!
1. Clasifica las siguientes figuras como: paralelogramos, trapecio o trapezoide.
Solución
A. Paralelogramo
B. Paralelogramo
C. Trapecio
D. Trapecio
E. Paralelogramo
F. Trapezoide
G. Trapecio
H. Paralelogramo
I. Trapezoide
2. Calcula el perímetro de las siguientes figuras:
Solución
P = 2 × 12 cm + 2 × 9 cm
P = 24 cm + 18 cm
P = 42 cm
Solución
P = 4 × 7 cm
P = 28 cm
Solución
P = 2 × 12 cm + 2 × 6 cm
P = 24 cm + 12 cm
P = 36 cm
RECURSOS PARA DOCENTES
Enciclopedia “Matemática tomo 6”
En el tomo 6 de la enciclopedia de matemática encontrarás información detallada, ejemplos y ejercicios sobre una diversidad de temas vinculados a la geometría para el nivel primario.
En la vida cotidiana es común observar triángulos. Los vemos en las porciones de pizza, en las señales de tránsito, en la vela de un velero, en las pirámides e incluso cuando estudiamos matemáticas. Los triángulos son figuras geométricas de tres lados y, aunque son los polígonos más simples, presentan ciertas particulares que los diferencian del resto.
Los triángulos forman parte de nuestro día a día y los vemos en múltiples objetos. Al triángulo también se lo conoce como trígono; en ambos casos su nombre indica la presencia de tres ángulos. La disciplina encargada de estudiar las relaciones y las características de estos polígonos regulares de tres lados es la trigonometría.
El triángulo y sus ELEMENTOS
Los triángulos son figuras geométricas que cuentan con tres lados, tres ángulos y tres vértices.
Vértice: es el punto de unión de dos lados de un polígono o un ángulo.
Lado: es cada uno de los segmentos que une un vértice con el siguiente.
Ángulo: es el formado por la unión de dos rectas con un vértice en común. Pueden ser interno o externos.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, por lo tanto, suman 180°.
Ángulos
Todos los triángulos tienen tres ángulos, estos pueden ser:
Agudos, cuando son menores a 90°.
Rectos, cuando son iguales a iguales a 90°.
Obtusos, cuando son mayores a 90°.
¿Cómo nombrar un triángulo?
Los vértices de los triángulos se designan con letras mayúsculas, mientras que los lados se denominan por la misma letra que el vértice opuesto, pero en minúscula. Por ejemplo:
El lado a es el segmento que une los vértices B y C.
El lado b es el segmento que une los vértices A y C.
El lado c es el segmento que une los vértices A y B.
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CLASIFICACIÓN de los triángulos
Son varios los criterios de clasificación que permiten agrupar a los triángulos de acuerdo a ciertas particularidades, los más utilizados son la medida de sus lados y la medida de sus ángulos.
Triángulos según sus lados
Triángulo equilátero: tiene 3 lados con la misma longitud.
Triángulo isósceles: tiene 2 lados con la misma longitud.
Triángulo escaleno: tiene todos sus lados desiguales.
Triángulos según sus ángulos
Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto, es decir, que mide 90°.
Triángulo acutángulo: tiene todos sus ángulos agudos, es decir, ángulos menores que 90°.
Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso, es decir, un ángulo mayor a 90°.
Los triángulos pueden cumplir con ambos criterios de clasificación. Así, un triángulo isósceles también puede ser un triángulo rectángulo.
¡A practicar!
Observa los siguientes triángulos y clasifícalos según sus lados:
Solución
A) Escaleno
B) Equilátero
C) Isósceles
Observa los siguientes triángulos y clasifícalos según sus ángulos:
Solución
A) Rectángulo
B) Obtusángulo
C) Rectángulo
El Triángulo de las Bermudas es un área ubicada en el océano Atlántico, se forma al trazar una línea imaginaría entre el estado de la Florida (EE. UU.), la isla de Puerto Rico y las Bermudas. Es conocido como un triángulo equilátero, ya que, las distancias geográficas entre cada uno de los puntos que lo conforman son iguales.
Perímetro de un triángulo
El perímetro es la medida del contorno de una figura. Lo calculamos al sumar la longitud de todos sus lados.
Donde:
P = perímetro
l = lados
– Ejemplo:
El perímetro de este triángulo isósceles es igual a la suma de la longitud de sus lados.
Este triángulo tiene un perímetro de 11 cm.
¿Sabías qué?
Para calcular el perímetro de un triángulo equilátero solo se debe multiplicar la longitud de un lado por 3. Esto se debe a que los tres lados miden lo mismo. Entonces, puedes utilizar la fórmula: P = 3 × l
área de un triángulo
El área es la medida de la superficie de la figura. La calculamos por medio de una expresión matemática que considera la longitud de la base y su altura:
Donde:
A = área
b = base
h = altura
– Ejemplo:
La base de este triángulo mide 6 cm y la altura 4 cm, así que solo sustituimos los valores en la fórmula y resolvemos:
Este triángulo tiene un área de 12 cm2.
Teorema de Pitágoras y el triángulo rectángulo
Pitágoras de Samos, un matemático griego del siglo VI a. C. descubrió que los triángulos rectángulos guardaban una relación respecto a sus lados. Él llegó a la conclusión de que el cuadrado del lado mayor de un triángulo rectángulo, es decir, la hipotenusa, siempre era igual a la suma del cuadrado de sus otros dos lados o catetos. A esta relación se la conoce como teorema de Pitágoras.
Podemos observar polígonos en múltiples objetos de nuestro alrededor. Estos son muy diversos y los hay con lados y ángulos iguales o desiguales entre sí. Son elementos fundamentales de la geometría y su conocimiento es esencial en diversos campos del conocimiento, como la ingeniería o la arquitectura.
¿Qué es un polígono?
En geometría, un polígono es una figura geométrica plana delimitada por un número finito de segmentos rectos.
¿Sabías qué?
La palabra “polígono” proviene del griego antiguo que quiere decir “muchos ángulos”.
Los polígonos presentan los siguientes elementos:
Lados: son los segmentos rectos que conforman al polígono.
Vértices: son los puntos en común entre dos lados consecutivos.
Diagonales: son los segmentos que unen a dos lados no consecutivos de un polígono.
Ángulos interiores: están formados por dos lados consecutivos en el interior del polígono.
Ángulos exteriores: están formados en el exterior del polígono entre un lado y la prolongación de otro lado consecutivo.
Polígonos regulares y sus tipos
Un polígono regular tiene lados con la misma longitud. Se caracterizan también porque sus ángulos internos y externos también son iguales. Otra característica es que poseen la misma cantidad de ejes de simetrías que de lados. Las diagonales en este tipo de polígonos tienen la misma longitud y siempre son interiores.
Todo polígono regular puede estar circunscrito en una circunferencia, lo que quiere decir que cada uno de sus vértices corresponde a un punto de la circunferencia. Mientras más lados tenga el polígono, más se va a aproximar a la forma de la circunferencia. Por esta razón, se asocia a la circunferencia (de forma informal) a un polígono de infinitos lados.
Área de polígonos regulares
Para medir el área de los polígonos es necesario conocer las definiciones de perímetro y apotema.
Perímetro: es la suma de los lados que forman una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, se calcula al multiplicar el número de lados por la longitud de uno de sus lados.
Donde:
P: perímetro n: número de lados del polígono regular. L: longitud de uno de los lados del polígono.
Apotema: es la distancia perpendicular desde el centro de un polígono hasta uno de sus lados.
El área de un polígono regular se define como el producto de su perímetro por la apotema (a) dividido entre dos.
Donde:
A: área
P: perímetro
a: apotema
– Ejemplo:
Calcular el área de un pentágono cuyos lados miden 6 cm y su apotema es de 4,13 cm.
Lo que debemos hacer es calcular primero el perímetro para luego sustituir en la fórmula junto con la apotema para calcular el área.
El perímetro del apotema es 30 cm, al sustituir en la fórmula de área nos queda:
El área del pentágono es de 61,95 cm2.
¿Sabías qué?
El Departamento de Defensa de los Estados Unidos es un edificio en forma de Pentágono que mide 140.000 metros cuadrados aproximadamente.
Debido a sus características geométricas, todo polígono regular puede estar inscrito o circunscrito a una circunferencia. Un polígono inscrito tiene todos sus vértices contenidos en la circunferencia. Por otro lado, un polígono circunscrito posee todos sus lados tangentes a la circunferencia. En ambos casos, el centro del polígono coincide con el centro de la circunferencia.
Polígonos irregulares y sus tipos
En los polígonos irregulares se pueden cumplir algunas de estas condiciones:
– Tener sus lados con igual longitud pero sus ángulos internos diferentes.
– Tener sus ángulos de igual medida pero sus lados con diferente longitud.
– Tener sus lados con diferente longitud y sus ángulos internos con diferente medida.
Ejemplos de polígonos irregulares
Rombo
El rombo tiene los cuatro lados con igual longitud pero sus cuatro ángulos internos son diferentes: solo los ángulos opuestos de este polígono son iguales. Por eso se trata de un polígono irregular.
Rectángulo (no cuadrado)
Es un cuadrilátero con sus cuatro ángulos iguales (90°), pero sus lados tienen diferente longitud entre sí. Solo los lados paralelos comparten la misma longitud.
Triángulo (no equilátero)
Todo triángulo con un ángulo interior diferente de 60 grados es un polígono irregular.
Triángulos regulares e irregulares
Según sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos. Los equiláteros son los únicos triángulos que cumplen con las características de un polígono regular. Los triángulos escalenos son aquellos en los que las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos internos son diferentes, por lo tanto no son polígonos regulares. Por otra parte, los triángulos isósceles al contar solo con dos lados y dos ángulos iguales tampoco son considerados como polígonos regulares.
Perímetro de polígonos
Calculamos el perímetro de los polígonos regulares a través de la fórmula planteada anteriormente:
En cambio, en los polígonos irregulares, cuyos lados generalmente son diferentes, esta ecuación no siempre aplica. Para lo cual debemos sumar de forma separada las longitudes de cada uno de los lados.
Por ejemplo, para calcular el perímetro del siguiente triángulo isósceles simplemente sumamos cada una de las longitudes de sus lados.
El perímetro de este triángulo irregular es de 160 cm.
¡A practicar!
1. Determina el perímetro y el área de los siguientes polígonos regulares según los datos mostrados.
a) Un eneágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 9,62 cm.
Solución
P = 63 cm
A = 303,03 cm2
b) Un pentágono regular cuyos lados miden 6 cm y su apotema 4,13 cm.
Solución
P = 30 cm
A = 61,95 cm2
c) Un heptágono regular cuyos lados miden 8 cm y su apotema 8,31.
Solución
P = 56 cm
A = 232,68 cm2
d) Un triángulo regular (equilátero) cuyos lados miden 5 cm y su apotema 1,44 cm.
Solución
P= 15 cm
A = 10,8 cm2
e) Un decágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 4,62 cm.
Solución
P= 30 cm
A = 69,3 cm2
f) Un dodecágono regular cuyos lados miden 4 cm y su apotema 7,46 cm.
Solución
P= 48 cm
A = 179,04 cm2
g) Un hexágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 6,06 cm.
Solución
P= 42 cm
A = 127,26 cm2
h) Un octágono regular cuyos lados miden 2 cm y su apotema 2,41 cm.
Solución
P= 16 cm
A = 19,28 cm2
i) Un endecágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 5,11 cm.
Solución
P= 33 cm
A = 84,315 cm2
j) Un cuadrado cuyos lados miden 4 cm y su apotema 2 cm.
Solución
P= 16 cm
A = 16 cm2
2. ¿A qué polígono con una apotema de 4,33 cm le corresponde un área de 64,95 cm2.
a) Un decágono de 2 cm de lado.
b) Un hexágono de 5 cm de lado.
c) Un pentágono de 7 cm de lado.
d) Un octágono de 4 cm de lado.
Solución
b) Un hexágono de 5 cm de lado.
3. ¿Qué polígono irregular tiene sus lados de igual longitud pero sus ángulos internos son diferentes?
a) Círculo
b) Cuadrado
c) Rectángulo
d) Rombo
Solución
d) Rombo
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Perímetro de los polígonos”
Este artículo define qué es un polígono, cuáles son sus clasificaciones y cómo se calcula su el perímetro. También plantea una serie de ejercicios para resolver.
Micrositio “Tarjetas Educativas – Geometría y medidas”
En este micrositio se puede encontrar una serie de tarjetas interactivas que resumen los elementos principales de la geometría, como los polígonos y sus principales características.
Los ángulos están presentes en la mayoría de las figuras geométricas y en nuestra vida cotidiana. Se los considera indispensables para realizar cálculos trigonométricos y estudios en balística, arquitectura e ingeniería. De acuerdo a su amplitud, los ángulos se clasifican en varios tipos.
El ángulo y sus elementos principales
Un ángulo es una región del plano comprendida por dos semirrectas que tienen un origen en común. Los elementos de un ángulos son los siguientes:
Vértice: es el punto en común de las dos semirrectas.
Lados: son las dos semirrectas que conforman al ángulo.
Amplitud: es la medida de abertura de los lados de un ángulo. Esta medida usualmente se lee en grados sexagesimales.
¿Sabías qué?
Los ángulos suelen nombrarse con letras del alfabeto griego.
El sistema sexagesimal
Se usa principalmente para medir el tiempo y los ángulos. En este último caso, las unidades que emplea son grados, minutos y segundos. Al dividir un ángulo llano en 180 partes iguales, una de esas partes equivale a un grado (°). Si se divide un grado en sesenta partes iguales, una de esas partes equivale a un minuto (′). Y si el minuto se divide en 60 partes iguales, una de esas partes corresponde a un segundo (″). En resumen:
1° = 60′
1′ = 60″
Observa que este sistema emplea como base el número 60 y de ahí viene el origen de su nombre. El instrumento usado para su medición es el transportador.
Ángulo agudo: cuando es mayor que 0° pero menor que 90°.
Ángulo recto: cuando mide exactamente 90°.
Ángulo obtuso: cuando es mayor de 90° pero menor que 180°.
Ángulo llano: cuando mide exactamente 180°.
Ángulo completo: cuando mide 360°.
Ángulos complementarios
Dos ángulos son complementarios si al ser sumados el resultado es igual a 90°. Al saber el valor de uno de los ángulos puedes calcular el valor del otro al restar 90° al ángulo conocido.
– Ejemplo:
Se tienen los ángulos complementarios α y β. El valor de β es de 35°. Calcula el valor de α.
Simplemente debes resolver la resta:
Por lo tanto el valor de α es 55°.
Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si alser sumados el resultado es igual a 180°. Al igual que en el caso anterior puedes determinar el valor de un ángulo de este tipo si conoces el valor de otro y lo restas a 180°.
– Ejemplo:
Se tienen los ángulos suplementarios θ y δ. El valor de θ es de 160°. Calcular el valor de δ.
Resuelve la resta:
El valor de δ es 20°.
Medida de un ángulo
La medición de los ángulos se realiza a menudo a través de un transportador, el cual puede ser de dos tipos: circular o semicircular. El circular mide los 360° de la circunferencia y el semicircular mide los 180°. Ambos transportadores cuentan con una marca en el centro que se debe colocar en el vértice del ángulo a medir. El 0° de la escala debe coincidir con uno de los lados del ángulo y la lectura del ángulo sería la que indica el otro lado en la escala.
Los transportadores suelen presentar dos numeraciones que van en diferentes sentidos según se lea el ángulo: en sentido horario (en el sentido de las manecillas del reloj) o en sentido antihorario.
Existe el convencionalismo de que los ángulos que se miden en sentido horario se consideran positivos mientras que los que se leen en sentido antihorario se consideran negativos. En el ámbito matemático, el enfoque se orienta más a la abertura de los ángulos. Otro dato importante es que aunque los transportadores son útiles, existen otros instrumentos más precisos como el goniómetro.
Los ángulos en las figuras planas
Las figuras planas poseen ángulos interiores y ángulos exteriores. Los ángulos interiores, como su nombre lo indica, se ubican en el interior de la figura, mientras que los exteriores se ubican entre un lado de la figura y el otro lado siguiente. Por ejemplo:
Cálculo de ángulos internos en triángulos
Los ángulos interiores de los triángulos siempre suman 180°. De manera que si conoces la medida de dos de sus ángulos internos puedes calcular la medida del tercero. Lo único que debes hacer es restar los valores de los ángulos conocidos a 180°. Por ejemplo:
– Calcula el valor del ángulo θ.
Como ya sabes, la sumas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°, entonces, si restas los valores de los ángulos conocidos a 180° obtendrás el valor de Θ:
El valor del ángulo θ es 48°.
¿Sabías qué?
La suma de los ángulos externos de un triángulo es igual a 360°.
Cálculo de ángulos internos en cuadriláteros
En el caso de los cuadriláteros se cumple que la suma de sus cuatro ángulos internos siempre es igual a 360°. De acuerdo al tipo de cuadrilátero el valor del ángulo puede variar. Por ejemplo, en el caso del cuadrado y del rectángulo sus cuatro ángulos internos son iguales y miden 90°. En el caso del rombo y del romboide sus ángulos opuestos son iguales. Si el trapecio es rectángulo posee dos ángulos consecutivos que miden 90°. Si es isósceles tiene los ángulos adyacentes a la base mayor con la misma medida y si el trapecio es escaleno ninguno de sus ángulos mide lo mismo.
Los trapezoides son otro tipo de cuadrilátero con el valor de cada uno de sus ángulos internos diferentes. En resumen:
Figuras
Características
El cuadrado y el rectángulo tienen ángulos internos iguales y miden 90°.
El rombo tiene todos sus ángulos iguales (pero son agudos, es decir, menores a 90°).
El romboide presenta cada par de ángulos opuestos con la misma medida.
El trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos (miden 90° cada uno).
El trapecio isósceles presenta los ángulos adyacentes a la base mayor con la misma medida.
El trapecio escaleno presenta todos sus ángulos con diferente medida.
El trapezoide no posee ningún ángulo con la misma medida.
Para calcular ángulos en un cuadrilátero simplemente tenemos que restar los ángulos conocidos a 360°.
– Ejemplo:
Calcula el valor del ángulo ε de la siguiente figura.
El valor del ángulo ε es 115°.
En los polígonos regulares los ángulos internos miden igual. Para calcular su valor se emplea la ecuación (n − 2) × 180°/n donde n es el número de lados que presenta el polígono. Por ejemplo, para un pentágono se sustituye la n por el número 5 que corresponde al número de sus lados y se obtiene que (5 − 2) × 180°/5 = 108°, lo que quiere decir que cada uno de los ángulos internos de un pentágono mide 108°.
¡A practicar!
1. ¿Qué tipo de ángulo observas?
a)
Solución
Ángulo obtuso.
b)
Solución
Ángulo llano.
c)
Solución
Ángulo recto.
d)
Solución
Ángulo agudo.
2. Calcula el valor del ángulo γ.
Solución
γ = 55°
3. Calcula el valor del ángulo θ.
Solución
θ = 70°
4. Calcula el valor del ángulo φ.
Solución
φ = 58°
5. Calcula el valor del ángulo β.
Solución
β = 105°
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Ángulos en triángulos. Resolución mediante ecuaciones”
El artículo explica los diferentes tipos de ángulos y cómo determinarlos a través de ecuaciones. También muestra una serie de ejemplos y ejercicios relacionados al tema.
