Author: Javier Zuleta

CAPÍTULO 5 / TEMA 7 (REVISIÓN)

Geometría | ¿Qué aprendimos?

Elementos geométricos

El punto, la recta y el plano se denominan entes fundamentales de la geometría porque no tienen definición y su comprensión depende de comparaciones con elementos similares. El punto es adimensional y se nombra con letras mayúsculas del alfabeto. La recta está formada por infinitos puntos que se extienden en una misma dirección. Las rectas pueden ser paralelas, secantes o perpendiculares. El plano es un ente bidimensional, es decir, posee dos dimensiones y se suele nombrar con letras del alfabeto griego.

Un segmento es una parte de la recta que se encuentra ubicada entre dos puntos.

Ángulos

La región del plano comprendida entre dos semirrectas se denomina ángulo. De acuerdo a su medida pueden ser nulos (cuando miden 0°), agudos (cuando no son nulos y miden menos de 90°), rectos (cuando miden 90°), obtusos (cuando son menores a 180° y mayores a 90°) y llanos (cuando miden 180°). Se habla de dos ángulos complementarios cuando la suma de estos es igual a 90°, por otra parte, dos ángulos son suplementarios si la suma de ambos es igual a 180°. La sumatoria de los ángulos internos de un triángulo da 180°, mientras que en un cuadrilátero da 360°.

El transportador es uno de los instrumentos más usados en la lectura y construcción de ángulos.

Polígonos

Los polígonos son figuras caracterizadas por estar delimitadas por segmentos finitos rectos denominados lados. Si todos sus lados tienen la misma longitud se denominan polígonos regulares, de lo contrario, se denominan polígonos irregulares. En el caso de los polígonos regulares se cumple que sus ángulos internos son iguales, lo mismo sucede con sus ángulos externos. Los polígonos regulares también se caracterizan por tener igual cantidad de ejes de simetrías que de lados y sus diagonales son todas internas y de la misma longitud.

El rectángulo y el rombo son algunos ejemplos de polígonos irregulares.

Cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos pueden clasificarse en poliedros cuando todas sus caras son iguales y planas, y en cuerpos redondos cuando poseen al menos una cara curva. Sus elementos principales son las caras, las aristas y los vértices. Cada uno de los cuerpos geométricos posee su fórmula para determinar su volumen. De igual forma, cada uno de los cuerpos geométricos pueden representarse en construcciones de tres dimensiones.

La esfera es un cuerpo geométrico que no posee caras, aristas ni vértices.

Circunferencia y círculo

La circunferencia es una línea cerrada que sobresale por ser el perímetro del círculo. Por otra parte, el círculo es una figura geométrica que se encuentra delimitada por una circunferencia. Los elementos principales de una circunferencia son: centro, radio, cuerda, diámetro, semicircunferencia y arco. Entre una circunferencia y una recta pueden darse tres tipos diferentes de relación: recta exterior (cuando no toca ningún punto de la circunferencia), recta tangente (cuando toca un solo punto de la circunferencia) y recta secante (cuando atraviesa la circunferencia en dos puntos). El área de un círculo es igual al producto de el número pi por el radio de la circunferencia al cuadrado.

El matemático griego Eratóstenes fue la primera persona en calcular el diámetro de la Tierra en el 230 a. C.

Aplicación de la geometría

Incontables son las disciplinas y las situaciones en las que se emplea la geometría. Desde que apareció esta rama de la matemática ha permitido resolver infinidad de problemas. El cálculo de áreas de superficies planas puede extenderse a situaciones cotidianas como el cálculo de la extensión de un terreno, esto se debe a que cada figura posee su fórmula particular. Lo mismo sucede con el cálculo de volumen y los cuerpos geométricos.

La geometría ha permitido a la arquitectura realizar obras de singular belleza.

CAPÍTULO 5 / TEMA 6

Aplicación de la geometría

La geometría se encuentra inmersa dentro de diferentes ciencias y situaciones de la vida. Muchos desarrollos de la actualidad no se habrían logrado sin los aportes de la geometría. La astronomía, la computación y la cartografía son algunos de los muchos campos donde la geometría es empleada. 

Cálculo de área de una superficie

Para el cálculo de superficies usamos las fórmulas de área de las principales figuras geométricas. Las principales fórmulas son las siguientes:

Nombre Figura Área
Cuadrado \boldsymbol{A = l^{2}}

 

Donde:

A = área

l = lado
Rectángulo \boldsymbol{A = a\times b}

 

Donde:

A = área

a = altura

b = base
Triángulo \boldsymbol{A = \frac{b\times h}{2}}

 

Donde:

A = área

b = base

h = altura
Rombo \boldsymbol{A = \frac{D\times d}{2}}

 

Donde:

A = área

D = diagonal mayor

d = diagonal menor
Paralelogramo \boldsymbol{A = b\times h}

 

Donde:

A = área

b = base

h = altura
Trapecio \boldsymbol{A = \left (\frac{a+ b}{2} \right )\times h}

 

Donde:

a = base menor

b = base mayor

h = altura
Círculo \boldsymbol{A = \pi \times r^{2}}

 

Donde:

A = área

π = número pi

r = radio
Polígono regular \boldsymbol{A = \frac{n\times b\times Ap}{2}}

 

Donde:

A = área

n = número de lados regulares

b = longitud de un lado

Ap = apotema

Las figuras compuestas

Una figura compuesta es aquella que está formada por dos o más figuras geométricas más simples. Para calcular el área de estas figuras se suelen calcular las áreas de las figuras más simples por separado y la sumatoria de estas será el área total de la figura. Por otra parte, para el cálculo de perímetro suelen usarse ecuaciones trigonométricas, y teoremas como el de Pitágoras para calcular las longitudes de los lados de la figura.

Ejercicios

– Una cancha de fútbol mide 105 metros de largo y 68 metros de ancho. ¿Cuántos metros cuadrados de césped artificial se necesitarían para cubrir toda la cancha?

Es un problema de área porque al calcular los metros cuadrados de césped artificial que se necesitan, se calcula la superficie. Como todos sabemos, una cancha de fútbol tiene una forma rectangular, por lo tanto se debe aplicar la fórmula del rectángulo:

A = a\times b
A = 105\, m\times 68\, m
A = \mathbf{7.140\, m^{2}}

Por lo tanto, para cubrir toda la cancha se necesitarían 7.140 m2 de césped artificial.

– La siguiente figura muestra el plano de una casa. ¿Cuántos metros cuadrados de cerámica se necesitan para cubrir el piso?

El piso de la casa forma una figura compuesta. Por lo tanto, antes de resolver el problema debemos separarlo en formas geométricas más simples:

La figura 1 corresponde a un rectángulo y la figura 2 a un cuadrado (ya que sus cuatro lados miden lo mismo). El área total del piso será igual a:

A_{t} = A_{1}+A_{2}

Donde:

At = área total del piso

A1 = área de la figura 1

A2 = área de la figura 2

Por lo tanto, para calcular el problema tenemos que resolver las áreas por separado:

En la figura 1 se cumple que:

A_{1} = a\times b

A_{1} = 13\, m\times 5\, m

A_{1} = 65\, m^{2}

En la figura 2 se cumple que:

A_{2} = l^{2}

A_{2} = (10\, m)^{2}

A_{2} = 100\, m^{2}

Al reemplazar los valores de A1 y A2 se tiene que:

A_{t} = 65\, m^{2}+100\, m^{2}

A_{t} = \mathbf{165\, m^{2}}

Por lo tanto, el piso de la casa necesita 165 m2 de cerámica para cubrirlo.

¿Sabías qué?
La hectárea (ha) es una medida de área que equivale a 10.000 m2.

Cálculo de volumen de un cuerpo

Todo cuerpo ocupa un lugar en el espacio. Se denomina volumen. Como ya sabemos, los principales cuerpos geométricos se calculan a través de fórmulas:

Nombre Figura Fórmula de volumen
Cubo \boldsymbol{V=l^{3}}

 

 

Donde:

V = volumen

l = lado
Prisma \boldsymbol{V = A_{b}\times h}

 

 

Donde:

V = volumen

Ab = área basal

h = altura
Pirámide \boldsymbol{V = \frac{A_{b}\times h}{3}}

 

 

Donde:

V = volumen

Ab = área basal

h = altura
Cilindro \boldsymbol{V =\pi \times r^{2}\times h}

 

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura
Cono \boldsymbol{V =\frac{\pi \times r^{2}\times h}{3}}

 

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura
Esfera \boldsymbol{V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}}

 

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

En el caso de las pirámides y los primas, las formas de sus bases pueden ser diferentes.

Estas ecuaciones pueden aplicarse a figuras similares para resolver diferentes problemas.

Ejercicios

– Calcula el volumen de la Gran Pirámide de Guiza, cuya base es un cuadrado de aproximadamente 230 m cada lado y de altura mide aproximadamente 186 m.

La fórmula para calcular el volumen de una pirámide es la siguiente:

V = \frac{A_{b}\times h}{3}

Lo primero es calcular el valor de Ab que es el área de la base. En este caso, su base es un cuadrado de 230 metros de cada lado. Por lo tanto:

A_{b} = l^{2}

A_{b} = (230\, m)^{2}

A_{b} = 52.900 \, m^{2}

Reemplazamos el valor del área de la base y el de la altura (que es 186 m) en la fórmula:

V = \frac{52.900\, m^{2}\times 186\, m}{3}

V = \frac{9.839.400\, m^{3}}{3}

V = \mathbf{3.279.800\, m^{3}}

El volumen aproximado de la pirámide de Guiza es de 3.279.800 m3 (si se considera la pirámide como un cuerpo rígido sin cámaras interiores).

– Calcula el volumen de una canica de 2 centímetros de diámetro.

La forma de una canica es igual a la de una esfera por lo tanto se utiliza la siguiente ecuación:

V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}

El problema nos dice que el diámetro de la canica es de 2 cm, pero la fórmula está expresada en función del radio. Como ya sabemos, el radio es la mitad del diámetro, por lo tanto, el radio de la canica es de 1 cm.

V =\frac{4}{3}\times \3,14 \times (1\, cm)^{3}

V =\frac{4}{3}\times \3,14 \times 1\, cm^{3}

V =\mathbf{4,18\, cm^{3}}

La leyenda de la corona

Hay una leyenda popular que cuenta cómo el rey Hieron II de Siracusa le encomendó al reconocido matemático griego Arquímedes que comprobara si la corona que había mandado a hacer era de oro puro o no. Arquímedes pasó mucho tiempo sin resolver el misterio y estaba frustrado hasta que un día, al meterse a la bañera, se percató que el agua que se desplazaba tenía el mismo volumen de su cuerpo. Enseguida dio un salto al tiempo que decía la frase “¡Eureka!”.

Posteriormente le demostró al rey que el volumen desplazado por la corona debía ser el mismo que el desplazado por un lingote de oro puro de la misma masa. Cuando realizó el experimento, la cantidad de agua desplazada no fue la misma y concluyó que la corona no era de oro puro.

Otros usos

Desde su aparición, la geometría ha permitido al ser humano destacarse en varios campos como la arquitectura, la escultura, la pintura y, por su puesto, en las ciencias aplicadas como la física o la química. Disciplinas como la ingeniería aplican la geometría para el cálculo de ángulo y otras medidas. La química emplea la geometría para entender las estructuras moleculares, la agrupación de los átomos y la forma de los cristales de algunos compuestos, entre otros usos.

En el ámbito de la cartografía y la agronomía, se aplica la geometría para determinar áreas, calcular perímetros y planos de terrenos. La astronomía y la computación son otras áreas que emplean conocimientos geométricos.

La geometría y la arquitectura

La arquitectura clásica no habría podido lograr obras de singular belleza o armonía sin hacer uso de conocimientos geométricos. En la actualidad, los arquitectos emplean la geometría para lograr estructuras que se vean bien estéticamente, que permitan un ahorro de materiales y un mejor aprovechamiento de los espacios.

¡A practicar!

1. Una fábrica de quesos compró una granja de 14.300 m2. ¿Cuáles son las medidas de la granja?

a) 150 m × 100 m
b) 130 m × 110 m
c) 40 m × 10 m
d) 280 m × 100 m

Solución
b) 130 m × 110 m

2. Un tablero de ajedrez mide 44 cm de alto y 44 cm de ancho, ¿cuál es el área del tablero?

a) 88 cm2
b) 1.936 cm2
c) 4.404 cm2
d) 3.854 cm2

Solución
b) 1.936 cm2

3. Una empresa inmobiliaria trabaja con propiedades que no superan los 20.000 m2. ¿Cuál de las siguientes propiedades no cumple con este requisito de la empresa inmobiliaria?

a) Casa de playa de 155 m de ancho por 84 m de alto.
b) Departamento en la ciudad de 18 m de ancho por 14 m de alto.
c) Cabaña en la montaña de 320 m de ancho por 124 m de alto.
d) Chalet de 24 m de ancho por 20 m de alto.

Solución
c) Cabaña en la montaña de 320 m de ancho por 124 m de alto. El área de esta propiedad es de 39.680 m2, por lo tanto, supera los 20.000 m2 aceptados por la inmobiliaria.

4. Una pelota de fútbol tiene 22 cm de diámetro, ¿cuál es su volumen?

a) 2026,34 cm3
b) 44 cm3
c) 220 cm3
d) 5.572,45 cm3

Solución
d) 5.572,45 cm3

5. Una lata de tomates es cilíndrica y tiene una altura de 9 cm y un radio de 3 cm, ¿cuál es su volumen?

a) 384,35 cm3
b) 127,17 cm3
c) 954.44 cm3
d) 506,58 cm3

Solución
c) 254.34 cm3

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Los números ocultos en el universo”

El artículo trata de mostrar cómo la mayoría de los fenómenos del universo pueden explicarse a través de los números. También explica algunas formas geométricas que podemos encontrar en nuestro planeta.

VER

Enciclopedia “Nana y Enriqueta en el país de las matemáticas”

En este tomo, se platean los principales elementos de la geometría de una manera didáctica y sencilla. También se dan ejemplos y aplicaciones de la geometría.

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Artículo “Superficies de figuras geométricas”

El artículo plantea el cálculo de superficie de las principales figuras geométricas. También resuelve una serie de ejercicios y muestra al final algunos problemas propuestos.

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CAPITULO 5 / TEMA 5

Circunferencia y círculo

El círculo es la superficie contenida dentro de una circunferencia. En algunas ocasiones suelen confundirse estos términos por error, pero lo cierto es que gozan de características únicas que desde tiempos antiguos han cautivado a los matemáticos. Su conocimiento es importante para entender conceptos como el número pi.

Diferencia entre la circunferencia y el círculo

Aunque son conceptos que están estrechamente relacionados, circunferencia y círculo son dos cosas geométricamente diferentes. La circunferencia es la línea o perímetro que bordea y delimita la superficie de un círculo. Todos los puntos de la circunferencia se encuentran a una misma distancia del centro. El círculo, por otra parte, es una figura geométrica que está delimitada por una circunferencia.

¿Sabías qué?
El matemático griego Eratóstenes de Cirene fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra en el 230 a. C.

En este sentido, cuando hablamos de circunferencia nos referimos a una curva cerrada y cuando hablamos de círculo nos referimos a una superficie o área que está contenida dentro de una circunferencia.

Instrumento muy útil

Desde su invención en el año 200 a. C. por parte de los chinos, el compás ha sido uno de los inventos más usados en la geometría y en otras áreas. Su utilidad ha ido más allá del trazado de arcos y circunferencias, también permite transportar medidas y puede emplearse en la construcción de polígonos y en el cálculo de distancias empleado por la navegación.

Elementos de la circunferencia

Los elementos principales de una circunferencia se detallan a continuación:

  • Centro: es el punto que se ubica a la misma distancia de todos los puntos que conforman la circunferencia.
  • Radio: es el segmento de recta que une al centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia.
  • Cuerda: es la recta que une dos puntos de la circunferencia.
  • Diámetro: es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. Su longitud es igual al doble del radio.
  • Semicircunferencia: es la mitad de la circunferencia. El diámetro divide a la circunferencia en dos semicircunferencias.
  • Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra delimitada por una cuerda. Generalmente, a cada cuerda se le asocia el menor arco que delimita.

Relaciones entre rectas y circunferencias

Entre una circunferencia y una recta pueden darse tres tipos diferentes de relación:

  • Recta exterior: es aquella recta que nunca corta a la circunferencia.
  • Recta tangente: es aquella recta que corta a la circunferencia en uno de sus puntos.
  • Recta secante: es aquella recta que corta a la circunferencia en dos de sus puntos.

VER INFOGRAFÍA

Desde la Antigüedad, los geómetras se enfocaron en calcular la longitud de la circunferencia. Esta línea curva cerrada sin importar su tamaño siempre mide algo más que el triple de su diámetro. En este contexto, se emplea el número pi (π), un número con infinitos decimales que se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia por su diámetro.

Trazado de circunferencias

Para trazar circunferencias empleamos el compás y debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Conocer la distancia que hay desde el centro de la circunferencia hasta alguno de sus puntos (el radio). Para esto puedes usar una regla y abrir el compás a dicha distancia. Otra forma de hacerlo es trazar el segmento de recta igual a la longitud del radio deseado, colocar la aguja de acero sobre uno de los extremos y abrir el compás hasta que la mina de grafito toque el otro extremo.
  2. Apretar con suavidad la aguja de acero contra el papel para que no se mueva y girar el otro brazo de forma firme para trazar la circunferencia.
  3. Marcar el centro de la circunferencia que será el mismo punto donde se apoyó la aguja de acero durante el trazado de la circunferencia.

Área del círculo

Para calcular el área de un círculo simplemente necesitamos conocer la longitud de su radio. La fórmula es la siguiente:

A=\pi \times r^{2}

Donde:

A = área del círculo
π = número pi
r = longitud del radio

Como el número pi (π) es un número irracional, sus decimales son infinitos (3,141592653589793238…), por lo tanto, para efectos de cálculo de área se suele aproximar a 3,14.

¿Sabías qué?
Existe otra fórmula para calcular el área del círculo en función de su diámetro: A = \frac{\pi }{4}\times d^{2}.

– Calcula el área del siguiente círculo.

De acuerdo a la figura, la longitud del radio es 5 cm, por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de área.

A=\pi \times r^{2}

A=3,14 \times (5 \, cm)^{2}

A=3,14 \times 25 \, cm^{2}

A=\mathbf{78,5 \, cm^{2}}

El sistema sexagesimal es uno de los sistemas usados para medir ángulos y tiempo. En el caso de los ángulos, el sistema emplea una circunferencia para establecer sus unidades de medición. Un grado (°) equivale a la 360 parte de una circunferencia, un minuto (′) equivale a la 60 parte de un grado y un segundo (″) equivale a la 60 parte de un minuto.

¡A practicar!

1. Calcula el área de los siguientes círculos.

a) 

Solución
A = 50,24 cm2

b)

Solución
A = 254,34 cm2

c)

Solución
A = 12,56 m2

d)

Solución
A = 314 mm2

e)

Solución
A =153,86 cm2

2. ¿Cuánto debe medir el radio de una circunferencia para que su área sea igual a 113,04 cm2?
a) 5 cm
b) 3 cm
c) 6 cm
d) 11 cm

Solución
c) 6 cm

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Circunferencia”

El artículo explica los elementos principales de la circunferencia y la relación que tiene esta con el número pi. En el artículo también se explica como calcular la longitud de una circunferencia y determinar el área de un círculo.

VER

Artículo “Círculo”

El artículo plantea de forma resumida cada uno de los elementos de un círculo como el semicírculo y el segmento circular. También presenta ilustraciones de cada uno para explicar el concepto de manera más clara.

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Infografía “Número pi (π)”

En esta infografía se explica más a detalle qué es el número pi, su desarrollo a través del tiempo y las diferentes aplicaciones del mismo.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 4

Cuerpos geométricos

Uno de los objetos de estudio de la geometría son los cuerpos geométricos. Una pelota de fútbol, un cono de helado o un dado son algunos objetos cotidianos que podemos asociar con estos cuerpos, los cuales se caracterizan por ocupar volumen en el espacio y estar formados con figuras geométricas.

Principales cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos son infinitos y cada uno posee características propias. Los más comunes son el cubo, el prisma, la pirámide, el cilindro, el cono y la esfera. Ellos se clasifican en poliedros y cuerpos redondos.

  • Los poliedros son cuerpos geométricos. Todas sus caras son planas. Estos, a su vez, pueden ser regulares si sus caras son todas iguales o irregulares cuando son diferentes. Un ejemplo de poliedro es el cubo.
  • Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos con al menos una cara curva, como sucede con el cilindro.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?
Al cubo también se lo denomina hexaedro regular.

Elementos de los cuerpos geométricos

En la mayoría de los cuerpos geométricos se pueden identificar los siguientes elementos.

  • Cara: corresponde a cada una de las superficies planas que delimitan al cuerpo geométrico. Pueden ser caras basales, las que sirven de apoyo (base) al cuerpo en el plano, o caras laterales, que corresponden a las de los costados.
  • Vértice: es el punto en el que se juntan tres o más caras.
  • Arista: es el segmento de línea que se forma cuando dos caras se juntan.
La esfera y sus curiosidades

La esfera es un cuerpo geométrico que no posee ni caras, ni aristas ni vértice. Y se caracteriza porque todos los puntos de su superficie están a la misma distancia del centro.

Volumen de cuerpos geométricos

De acuerdo a su tipo, cada cuerpo geométrico tiene características propias que permiten calcular su volumen a través de fórmulas.

Nombre Figura Fórmula de volumen
Cubo \boldsymbol{V=l^{3}}

 

Donde:

V = volumen

l = lado
Prisma \boldsymbol{V = A_{b}\times h}

 

Donde:

V = volumen
Ab = área basal

h = altura
Pirámide \boldsymbol{V = \frac{A_{b}\times h}{3}}

 

Donde:

V = volumen

Ab = área basal

h = altura
Cilindro \boldsymbol{V =\pi \times r^{2}\times h}

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura
Cono \boldsymbol{V =\frac{\pi \times r^{2}\times h}{3}}

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura
Esfera \boldsymbol{V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}}

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura

VER INFOGRAFÍA

– Calcula el volumen de este cubo.

Un cubo se caracteriza porque todos sus lados miden lo mismo, de manera que al conocer solo la medida de un lado se puede aplicar la fórmula:

V=l^{3}

V=(3\, cm)^{3}

V=\mathbf{27\, cm^{3}}

– Calcula el volumen del siguiente cilindro.

Según la fórmula, los únicos datos que se necesitan son el radio del cilindro y su altura. De la imagen se obtienen los datos:

V =\pi \times r^{2}\times h

V =\pi \times (2\, cm)^{2}\times 6\, cm

En este caso observa que el radio está elevado al cuadrado, por lo tanto, al resolver esa potencia las unidades también se verán afectadas, por lo que quedarán centímetros cuadrados:

V =\pi \times 4\, cm^{2}\times 6\, cm

El número pi (π) es un número irracional, por lo cual es infinito. Para efectos de estos cálculos, usaremos solamente 2 de sus decimales, es decir, lo aproximamos a 3,14.

V =3,14 \times 4\, cm^{2}\times 6\, cm

Al resolver este producto se obtiene el volumen del cilindro.

V =\mathbf{75,36\, cm^{3}}

¿Sabías qué?
Cuando se usan múltiplos o submúltiplos del metro, el volumen siempre se expresa en unidades cúbicas: m3, cm3, mm3, km3, etc.
Los prismas son poliedros cuyos lados laterales son paralelogramos y con dos caras paralelas e iguales denominadas bases. Reciben su nombre de acuerdo a la forma de su base, por ejemplo, si su base es un triángulo, se denomina prisma triangular, si es un pentágono se denomina prisma pentagonal y así sucesivamente. Un paralelepípedo es un prisma cuya base es un paralelogramo.

Construcción de cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos tienen volumen y, por lo tanto, se pueden representar en tres dimensiones: largo, alto y ancho. Las imágenes a continuación son patrones que puedes usar para construir los cuerpos geométricos más comunes:

Cubo

Prisma rectangular

Pirámide

Cilindro

Cono

La construcción de cuerpos geométricos, además de su gran utilidad al momento de representar a estas figuras, permite trasladar estos conocimientos a otras áreas como la arquitectura y la ingeniería, en las cuales se realizan diseños a escalas. Conocer las diferentes fórmulas de cálculo y volumen de las figuras es fundamental para realizar operaciones más avanzadas.

¡A practicar!

1. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a)

      *La base es un rectángulo.

Solución
V = 133,33 cm3

b)

Solución
V = 64 cm3

c)

Solución
V = 904,32 cm3

d) 

Solución
V = 33,49 cm3

e)

Solución
V = 96 cm3

f)

Solución
V = 62,8 cm3

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Poliedros irregulares”

El artículo explica qué es un poliedro y qué caracteriza a los irregulares. También hace una breve explicación de los sólidos platónicos y muestra algunos ejemplos.

VER

Infografía “Cuerpos redondos”

La infografía explica de manera sencilla qué es un cuerpo redondo, sus características y su presencia en la vida cotidiana.

VER

Artículo “Volumen de figuras geométricas”

En este artículo destacado se explica qué es el volumen y cómo calcularlo en los diferentes cuerpos geométricos. También se plantean una serie de problemas resueltos y de ejercicios planteados.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 3

Polígonos

Podemos observar polígonos en múltiples objetos de nuestro alrededor. Estos son muy diversos y los hay con lados y ángulos iguales o desiguales entre sí. Son elementos fundamentales de la geometría y su conocimiento es esencial en diversos campos del conocimiento, como la ingeniería o la arquitectura.

¿Qué es un polígono?

En geometría, un polígono es una figura geométrica plana delimitada por un número finito de segmentos rectos.

¿Sabías qué?
La palabra “polígono” proviene del griego antiguo que quiere decir “muchos ángulos”.

Los polígonos presentan los siguientes elementos:

  • Lados: son los segmentos rectos que conforman al polígono.
  • Vértices: son los puntos en común entre dos lados consecutivos.
  • Diagonales: son los segmentos que unen a dos lados no consecutivos de un polígono.
  • Ángulos interiores: están formados por dos lados consecutivos en el interior del polígono.
  • Ángulos exteriores: están formados en el exterior del polígono entre un lado y la prolongación de otro lado consecutivo.

Polígonos regulares y sus tipos

Un polígono regular tiene lados con la misma longitud. Se caracterizan también porque sus ángulos internos y externos también son iguales. Otra característica es que poseen la misma cantidad de ejes de simetrías que de lados. Las diagonales en este tipo de polígonos tienen la misma longitud y siempre son interiores.

Polígono Número de lados Número de diagonales Medida de cada ángulo interno Medida de cada ángulo externo
Triángulo equilátero 3 0 60° 120°
Cuadrado 4 2 90° 90°
Pentágono 5 5 108° 72°
Hexágono 6 9 120° 60°
Heptágono 7 14 128,57° 51,43°
Octágono 8 20 135° 45°
Eneágono 9 27 140° 40°
Decágono 10 35 144° 36°
Endecágono 11 44 147,27° 32,73°
Dodecágono 12 54 150° 30°

VER INFOGRAFÍA

El círculo y los polígonos

Todo polígono regular puede estar circunscrito en una circunferencia, lo que quiere decir que cada uno de sus vértices corresponde a un punto de la circunferencia. Mientras más lados tenga el polígono, más se va a aproximar a la forma de la circunferencia. Por esta razón, se asocia a la circunferencia (de forma informal) a un polígono de infinitos lados.

Área de polígonos regulares

Para medir el área de los polígonos es necesario conocer las definiciones de perímetro y apotema.

  • Perímetro: es la suma de los lados que forman una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, se calcula al multiplicar el número de lados por la longitud de uno de sus lados.

P= n\times L

Donde:

P: perímetro
n: número de lados del polígono regular.
L: longitud de uno de los lados del polígono.

  • Apotema: es la distancia perpendicular desde el centro de un polígono hasta uno de sus lados.

El área de un polígono regular se define como el producto de su perímetro por la apotema (a) dividido entre dos.

A = \frac{P\times a}{2}

Donde:

A: área

P: perímetro

a: apotema

 

– Ejemplo:

Calcular el área de un pentágono cuyos lados miden 6 cm y su apotema es de 4,13 cm.

Lo que debemos hacer es calcular primero el perímetro para luego sustituir en la fórmula junto con la apotema para calcular el área.

P= n\times L
P= 5\times 6\, cm
P= 30\, cm

El perímetro del apotema es 30 cm, al sustituir en la fórmula de área nos queda:

A = \frac{30\, cm\times 4,13\,cm }{2}

A = \frac{123,9\,cm^{2} }{2}

A = \mathbf{61,95\, cm^{2}}

El área del pentágono es de 61,95 cm2.

¿Sabías qué?
El Departamento de Defensa de los Estados Unidos es un edificio en forma de Pentágono que mide 140.000 metros cuadrados aproximadamente.
Debido a sus características geométricas, todo polígono regular puede estar inscrito o circunscrito a una circunferencia. Un polígono inscrito tiene todos sus vértices contenidos en la circunferencia. Por otro lado, un polígono circunscrito posee todos sus lados tangentes a la circunferencia. En ambos casos, el centro del polígono coincide con el centro de la circunferencia.

Polígonos irregulares y sus tipos

En los polígonos irregulares se pueden cumplir algunas de estas condiciones:

– Tener sus lados con igual longitud pero sus ángulos internos diferentes.
– Tener sus ángulos de igual medida pero sus lados con diferente longitud.
– Tener sus lados con diferente longitud y sus ángulos internos con diferente medida.

Ejemplos de polígonos irregulares

  • Rombo

El rombo tiene los cuatro lados con igual longitud pero sus cuatro ángulos internos son diferentes: solo los ángulos opuestos de este polígono son iguales. Por eso se trata de un polígono irregular.

  • Rectángulo (no cuadrado)

Es un cuadrilátero con sus cuatro ángulos iguales (90°), pero sus lados tienen diferente longitud entre sí. Solo los lados paralelos comparten la misma longitud.

  • Triángulo (no equilátero)

Todo triángulo con un ángulo interior diferente de 60 grados es un polígono irregular.

Triángulos regulares e irregulares

Según sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos. Los equiláteros son los únicos triángulos que cumplen con las características de un polígono regular. Los triángulos escalenos son aquellos en los que las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos internos son diferentes, por lo tanto no son polígonos regulares. Por otra parte, los triángulos isósceles al contar solo con dos lados y dos ángulos iguales tampoco son considerados como polígonos regulares.

Perímetro de polígonos

Calculamos el perímetro de los polígonos regulares a través de la fórmula planteada anteriormente:

P= n\times L

En cambio, en los polígonos irregulares, cuyos lados generalmente son diferentes, esta ecuación no siempre aplica. Para lo cual debemos sumar de forma separada las longitudes de cada uno de los lados.

P= L_{1}+L_{2}+L_{3}+...+L_{n}

Por ejemplo, para calcular el perímetro del siguiente triángulo isósceles simplemente sumamos cada una de las longitudes de sus lados.

P= 60\,\, cm+60\,\, cm+40\,\, cm

P= \mathbf{160\,\, cm}

El perímetro de este triángulo irregular es de 160 cm.

 

¡A practicar!

1. Determina el perímetro y el área de los siguientes polígonos regulares según los datos mostrados.

a) Un eneágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 9,62 cm.

Solución
P = 63 cm
A = 303,03 cm2

b) Un pentágono regular cuyos lados miden 6 cm y su apotema 4,13 cm.

Solución
P = 30 cm
A = 61,95 cm2

c) Un heptágono regular cuyos lados miden 8 cm y su apotema 8,31.

Solución
P = 56 cm
A = 232,68 cm2

d) Un triángulo regular (equilátero) cuyos lados miden 5 cm y su apotema 1,44 cm.

Solución
P= 15 cm
A = 10,8 cm2

e) Un decágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 4,62 cm.

Solución
P= 30 cm
A = 69,3 cm2

f) Un dodecágono regular cuyos lados miden 4 cm y su apotema 7,46 cm.

Solución
P= 48 cm
A = 179,04 cm2

g) Un hexágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 6,06 cm.

Solución
P= 42 cm
A = 127,26 cm2

h) Un octágono regular cuyos lados miden 2 cm y su apotema 2,41 cm.

Solución
P= 16 cm
A = 19,28 cm2

i) Un endecágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 5,11 cm.

Solución
P= 33 cm
A = 84,315 cm2

j) Un cuadrado cuyos lados miden 4 cm y su apotema 2 cm.

Solución
P= 16 cm
A = 16 cm2

 

2. ¿A qué polígono con una apotema de 4,33 cm le corresponde un área de 64,95 cm2.

a) Un decágono de 2 cm de lado.
b) Un hexágono de 5 cm de lado.
c) Un pentágono de 7 cm de lado.
d) Un octágono de 4 cm de lado.

Solución
b) Un hexágono de 5 cm de lado.

 

3. ¿Qué polígono irregular tiene sus lados de igual longitud pero sus ángulos internos son diferentes?

a) Círculo
b) Cuadrado
c) Rectángulo
d) Rombo

Solución
d) Rombo

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Perímetro de los polígonos”

Este artículo define qué es un polígono, cuáles son sus clasificaciones y cómo se calcula su el perímetro. También plantea una serie de ejercicios para resolver.

VER

Artículo “Cuadriláteros”

Este recurso explica los diferentes tipos de cuadriláteros que existen y sus características principales.

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Micrositio “Tarjetas Educativas – Geometría y medidas”

En este micrositio se puede encontrar una serie de tarjetas interactivas que resumen los elementos principales de la geometría, como los polígonos y sus principales características.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 2

Ángulos

Los ángulos están presentes en la mayoría de las figuras geométricas y en nuestra vida cotidiana. Se los considera indispensables para realizar cálculos trigonométricos y estudios en balística, arquitectura e ingeniería. De acuerdo a su amplitud, los ángulos se clasifican en varios tipos.

El ángulo y sus elementos principales

Un ángulo es una región del plano comprendida por dos semirrectas que tienen un origen en común. Los elementos de un ángulos son los siguientes:

  • Vértice: es el punto en común de las dos semirrectas.
  • Lados: son las dos semirrectas que conforman al ángulo.
  • Amplitud: es la medida de abertura de los lados de un ángulo. Esta medida usualmente se lee en grados sexagesimales.

¿Sabías qué?
Los ángulos suelen nombrarse con letras del alfabeto griego.

El sistema sexagesimal

Se usa principalmente para medir el tiempo y los ángulos. En este último caso, las unidades que emplea son grados, minutos y segundos. Al dividir un ángulo llano en 180 partes iguales, una de esas partes equivale a un grado (°). Si se divide un grado en sesenta partes iguales, una de esas partes equivale a un minuto (′). Y si el minuto se divide en 60 partes iguales, una de esas partes corresponde a un segundo (″). En resumen:

1° = 60′
1′ = 60″

Observa que este sistema emplea como base el número 60 y de ahí viene el origen de su nombre. El instrumento usado para su medición es el transportador.

VER INFOGRAFÍA

Clasificación de los ángulos

Los ángulos pueden clasificarse en:

  • Ángulo nulo: cuando mide 0°.
  • Ángulo agudo: cuando es mayor que 0° pero menor que 90°.
  • Ángulo recto: cuando mide exactamente 90°.
  • Ángulo obtuso: cuando es mayor de 90° pero menor que 180°.
  • Ángulo llano: cuando mide exactamente 180°.
  • Ángulo completo: cuando mide 360°.

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si al ser sumados el resultado es igual a 90°. Al saber el valor de uno de los ángulos puedes calcular el valor del otro al restar 90° al ángulo conocido.

– Ejemplo:

Se tienen los ángulos complementarios α y β. El valor de β es de 35°. Calcula el valor de α.


Simplemente debes resolver la resta:

\boldsymbol{\alpha =90^{\circ}-\beta}

\boldsymbol{\alpha =90^{\circ}-35^{\circ}}

\boldsymbol{\alpha =55^{\circ}}

Por lo tanto el valor de α es 55°.

Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si al ser sumados el resultado es igual a 180°. Al igual que en el caso anterior puedes determinar el valor de un ángulo de este tipo si conoces el valor de otro y lo restas a 180°.

– Ejemplo:

Se tienen los ángulos suplementarios θ y δ. El valor de θ es de 160°. Calcular el valor de δ.

Resuelve la resta:

\boldsymbol{\delta =180^{\circ}-\theta}

\boldsymbol{\delta =180^{\circ}-160^{\circ}}

\boldsymbol{\delta =20^{\circ}}

El valor de δ es 20°.

Medida de un ángulo

La medición de los ángulos se realiza a menudo a través de un transportador, el cual puede ser de dos tipos: circular o semicircular. El circular mide los 360° de la circunferencia y el semicircular mide los 180°. Ambos transportadores cuentan con una marca en el centro que se debe colocar en el vértice del ángulo a medir. El 0° de la escala debe coincidir con uno de los lados del ángulo y la lectura del ángulo sería la que indica el otro lado en la escala.

Los transportadores suelen presentar dos numeraciones que van en diferentes sentidos según se lea el ángulo: en sentido horario (en el sentido de las manecillas del reloj) o en sentido antihorario.

Existe el convencionalismo de que los ángulos que se miden en sentido horario se consideran positivos mientras que los que se leen en sentido antihorario se consideran negativos. En el ámbito matemático, el enfoque se orienta más a la abertura de los ángulos. Otro dato importante es que aunque los transportadores son útiles, existen otros instrumentos más precisos como el goniómetro.

Los ángulos en las figuras planas

Las figuras planas poseen ángulos interiores y ángulos exteriores. Los ángulos interiores, como su nombre lo indica, se ubican en el interior de la figura, mientras que los exteriores se ubican entre un lado de la figura y el otro lado siguiente. Por ejemplo:

Cálculo de ángulos internos en triángulos

Los ángulos interiores de los triángulos siempre suman 180°. De manera que si conoces la medida de dos de sus ángulos internos puedes calcular la medida del tercero. Lo único que debes hacer es restar los valores de los ángulos conocidos a 180°. Por ejemplo:

– Calcula el valor del ángulo θ.

Como ya sabes, la sumas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°, entonces, si restas los valores de los ángulos conocidos a 180° obtendrás el valor de Θ:

\boldsymbol{\theta = 180^{\circ}-\alpha -\beta}
\boldsymbol{\theta = 180^{\circ}-65^{\circ} -67^{\circ}}
\boldsymbol{\theta = 48^{\circ}}

El valor del ángulo θ es 48°.

¿Sabías qué?
La suma de los ángulos externos de un triángulo es igual a 360°.

Cálculo de ángulos internos en cuadriláteros

En el caso de los cuadriláteros se cumple que la suma de sus cuatro ángulos internos siempre es igual a 360°. De acuerdo al tipo de cuadrilátero el valor del ángulo puede variar. Por ejemplo, en el caso del cuadrado y del rectángulo sus cuatro ángulos internos son iguales y miden 90°. En el caso del rombo y del romboide sus ángulos opuestos son iguales. Si el trapecio es rectángulo posee dos ángulos consecutivos que miden 90°. Si es isósceles tiene los ángulos adyacentes a la base mayor con la misma medida y si el trapecio es escaleno ninguno de sus ángulos mide lo mismo.

Los trapezoides son otro tipo de cuadrilátero con el valor de cada uno de sus ángulos internos diferentes. En resumen:

Figuras Características
El cuadrado y el rectángulo tienen ángulos internos iguales y miden 90°.
El rombo tiene todos sus ángulos iguales (pero son agudos, es decir, menores a 90°).

El romboide presenta cada par de ángulos opuestos con la misma medida.
El trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos (miden 90° cada uno).

 

El trapecio isósceles presenta los ángulos adyacentes a la base mayor con la misma medida.

 

El trapecio escaleno presenta todos sus ángulos con diferente medida.
El trapezoide no posee ningún ángulo con la misma medida.

Para calcular ángulos en un cuadrilátero simplemente tenemos que restar los ángulos conocidos a 360°.

– Ejemplo:

Calcula el valor del ángulo ε de la siguiente figura.

\boldsymbol{\varepsilon =360^{\circ}-\delta -\theta -\rho}

\boldsymbol{\varepsilon =360^{\circ}-88^{\circ} -77^{\circ} -80^{\circ}}

\boldsymbol{\varepsilon =115^{\circ}}

El valor del ángulo ε es 115°.

En los polígonos regulares los ángulos internos miden igual. Para calcular su valor se emplea la ecuación (n − 2) × 180°/n donde n es el número de lados que presenta el polígono. Por ejemplo, para un pentágono se sustituye la n por el número 5 que corresponde al número de sus lados y se obtiene que (5 − 2) × 180°/5 = 108°, lo que quiere decir que cada uno de los ángulos internos de un pentágono mide 108°.

¡A practicar!

1. ¿Qué tipo de ángulo observas?

a)

Solución
Ángulo obtuso.

b)

Solución
Ángulo llano.

c)

Solución
Ángulo recto.

d)

Solución
Ángulo agudo.

2. Calcula el valor del ángulo γ.


Solución
γ = 55°

3. Calcula el valor del ángulo θ.


Solución
θ = 70°

4. Calcula el valor del ángulo φ.

Solución
φ = 58°

5. Calcula el valor del ángulo β.

Solución
β = 105°

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ángulos en triángulos. Resolución mediante ecuaciones”

El artículo explica los diferentes tipos de ángulos y cómo determinarlos a través de ecuaciones. También muestra una serie de ejemplos y ejercicios relacionados al tema.

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Artículo “Ángulos”

Este artículo plantea de forma resumida lo relacionado con los ángulos, como la manera de nombrarlos, su clasificación y el uso del transportador.

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Video “Tipo de triángulos según sus ángulos”

En el video se muestra la manera de clasificar los triángulos a partir de los ángulos y muestra ejemplos gráficos de cada uno de ellos.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 1

Elementos geométricos

El punto, la recta y el plano representan los cimientos de la geometría. Seguramente, muchos otros conceptos no podrían ser definidos sin ellos y por tal motivo son tan importantes. Cada uno está relacionado: infinitos puntos forman una recta, infinitos puntos y rectas forman un plano e infinitos puntos, rectas y planos forman el espacio.

El punto

El punto es el objeto más pequeño del espacio, por tanto no tiene longitud, área o volumen. Es adimensional, lo que quiere decir que no tiene dimensiones.

Una de las funciones del punto es describir la posición en un sistema de coordenadas como el cartesiano.

¿Sabías qué?
Los puntos se nombran con letras mayúsculas del abecedario, por ejemplo: A, B, C, D, etc.

Entes fundamentales de la geometría

Se denominan así a los entes que por sí solos no tienen definición y se comprenden a partir de las características de elementos similares. La mayoría de las personas tiene noción de lo que cada uno representa. Los entes fundamentales en la geometría son el punto, la recta y el plano.

La recta y sus tipos

Una recta es un tipo de línea que se extiende en una misma dirección y está formada por infinitos puntos. Por esta razón, la recta tiene longitud pero no anchura. En geometría, las rectas se suelen denominar con letras minúsculas.

De acuerdo a su posición en el plano, las rectas pueden ser paralelas, perpendiculares y secantes.

¿Sabías qué?
Entre dos puntos, solamente existe una recta que los une.

Rectas paralelas

Son rectas que no tienen ningún punto en común, es decir, nunca se interceptan. Para la construcción de este tipo de rectas se emplean la regla, la escuadra y el compás. En el siguiente ejemplo la recta a es paralela a la recta b.

Un ejemplo de rectas paralelas son los lados opuestos de un cuadrilátero como el cuadrado.

VER INFOGRAFÍA

Rectas secantes

Son aquellas que se interceptan en un punto en común y forman cuatro ángulos internos. Las rectas c y d son secantes.

Un ejemplo de rectas secantes son dos calles que se interceptan en un punto en común.

Rectas perpendiculares

Son aquellas rectas secantes que al cortarse forman cuatro ángulos iguales, específicamente rectos (de 90°). Estas rectas dividen al plano en cuatro regiones. Las rectas e y f son perpendiculares entre sí.

Un ejemplo de rectas perpendiculares son los ejes del plano cartesiano.

La recta es un tipo de línea pero no es la única, existen líneas curvas, quebradas y mixtas. Además de su empleo en la geometría, los diferentes tipos de líneas son recursos usados por artistas plásticos y diseñadores gráficos en sus trabajos para proporcionar expresividad gráfica, dinamismo y movimiento. También son útiles para crear planos y texturas.

Otros conceptos relacionados

Semirrecta

Todo punto que pertenece a una línea recta la divide en dos partes denominadas semirrectas. Las semirrectas también son llamadas rayos y contienen infinitos puntos como la recta. La diferencia es que una recta no tiene origen y una semirrecta sí lo tiene.

Segmento

Corresponde a la parte de una recta que se encuentra delimitada entre dos de sus puntos, cada uno de ellos es denominado extremo. Los segmentos se escriben a través de la escritura sin espacio de sus extremos y con una raya horizontal en la parte superior. En el siguiente ejemplo, la figura corresponde al segmento \overline{PQ}.

El plano

Es un ente ideal que posee dos dimensiones (bidimensional). Se suele representar con letras del alfabeto griego. En geometría, un plano queda definido cuando se cumplen algunas de las siguientes condiciones:

  • Tres puntos no alineados.
  • Dos rectas que son paralelas.
  • Dos rectas secantes.

Un plano contiene infinitas rectas y puntos. En el siguiente ejemplo se puede observar un ejemplo de plano.

Otro ejemplo de plano sería la parte superior de una mesa.

Con el propósito de facilitar su gráfica y simplificar su visualización, los planos suelen representarse como una figura delimitada con bordes irregulares. Sin embargo, un plano contiene infinitos puntos, por lo tanto, al igual que sucede con la recta, sería imposible representarlo completamente, así que se muestra una pequeña porción de su superficie.

El plano cartesiano

Es un sistema de coordenadas desarrollado por el célebre matemático René Descartes en el siglo XVII. Permite asignar ubicación a cualquier punto del plano. Este sistema cuenta con dos ejes numerados que permiten localizar las coordenadas de los puntos. Un eje vertical denominado eje Y o de las ordenadas muestra las coordenadas en Y de un punto, y un eje horizontal denominado eje X o de las abscisas indica las coordenada en X de un punto.

¡A practicar!

1. Observa la siguiente imagen y responde qué tipo de rectas son las indicadas.

a) Las rectas e y h.

Solución
Secantes.

b) Las rectas d y g.

Solución
Secantes perpendiculares.

c) Las rectas e y f.

Solución
Paralelas.

d) Las rectas h y f.

Solución
Secantes.

2. De acuerdo al contenido explicado responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántos puntos no alineados definen a un plano?

Solución
3

b) ¿Qué diferencia tiene una recta de una semirrecta?

Solución
La semirrecta tiene un origen y la recta no.

c) ¿De qué medida son los ángulos formados por dos rectas perpendiculares?

Solución
90°

d) ¿En cuántos puntos se intersectan dos rectas paralelas?

Solución
En ningún punto.

e) ¿Cuáles entes fundamentales de la geometría suelen nombrarse con letras del alfabeto griego?

Solución
Los planos.

f) ¿Cómo se denominan a los puntos que forman un segmento?

Solución
Extremos.

g) ¿Qué tipo de ente fundamental de la geometría tiene longitud pero no anchura?

Solución
La recta.

h) ¿Qué tipo de ente fundamental de la geometría no tiene dimensiones?

Solución
El punto.

i) ¿Con qué otro nombre se denominan las semirrectas?

Solución
Rayos.

j) ¿Quién inventó el sistema cartesiano?

Solución
René Descartes.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Determinación de rectas y puntos notables de los triángulos”

El artículo explica cuáles son las rectas y puntos notables que presentan los triángulos y qué características geométricas poseen.

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Micrositio “Tarjetas educativas – Geometría y medidas”

En este micrositio podrá encontrar una variedad de tarjetas que resumen los elementos principales de la geometría como el punto, la recta y las principales figuras geométricas.

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Artículo “Las rectas en el plano”

El artículo explica la clasificación de las rectas según su posición en el plano y muestra cómo graficar cada una de ellas mediante el uso de regla, escuadra y compás.

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CAPÍTULO 6 / TEMA 4 (REVISIÓN)

Estadística y probabilidad | ¿Qué aprendimos?

Recursos para representar datos

Existen diversas formas de representar los datos con la finalidad de que su análisis y comprensión sea más fácil. Los gráficos y tablas son usados en diversas áreas y como recurso visual son de gran importancia. Los pictogramas permiten una comprensión más rápida de los datos porque emplean imágenes y símbolos. Las tablas son otro recurso que agrupa y ordena los datos en filas y columnas, y generalmente los ordena en función de los datos cualitativos y cuantitativos que se estudien. Finalmente, los gráficos de barra asocian el valor de los datos a columnas que se encuentran, a su vez, relacionadas a una escala.

Los gráficos como recurso visual permiten interpretar de forma rápida un conjunto de datos.

Interpretación de datos

Los datos por sí solos no tienen ningún valor si no se interpretan, pero antes de hacerlo hay que recopilarlos. La encuesta es una manera de obtener datos a través de un cuestionario prediseñado que es aplicado a un grupo de personas. El promedio aritmético o media aritmética corresponde al valor promedio de un conjunto de datos, y se obtiene al dividir la suma de todos los datos entre el número de datos. La moda, por su parte, es el dato que más se repite. Las tablas de doble entrada son una herramienta útil para entender las combinaciones posibles de un problema.

Los datos obtenidos en una encuesta se suelen representar en gráficos y tablas para su análisis.

Probabilidad

A los eventos que se pueden predecir y cuyo resultado se conoce con anterioridad se los conoce como sucesos deterministas o seguros. También hay eventos en los que el resultado no se conoce con certeza porque ocurre al azar. Es en este tipo de experimentos aleatorios donde más se concentra la probabilidad, la cual estudia la posibilidad de que un evento ocurra o no. Estos eventos pueden ser de varios tipos: mutuamente excluyentes cuando es imposible que ocurran de manera simultánea con otros; independientes cuando no se ven influenciados por la ocurrencia de otros eventos; y dependientes si se ven afectados por la ocurrencia de otros.

Los eventos aleatorios se caracterizan porque su resultado no se puede predecir.

CAPÍTULO 6 / TEMA 3

Probabilidad

Hay eventos que siempre ocurren con seguridad, por ejemplo, al día lunes siempre le sigue el martes; hay otros otros, en cambio, en los que no sucede lo mismo, y es allí cuando las leyes de la probabilidad juegan un papel fundamental. Por ejemplo, si lanzamos un dado sabemos que el resultado será un número del 1 al 6, pero no sabemos con certeza cuál de ellos será.

Fenómenos y hechos que se pueden predecir

Existen sucesos que ocurren con total seguridad y se denominan sucesos deterministas o seguros porque el resultado se conoce de antemano. Cuando se realizan experimentos de este tipo, el resultado siempre se puede predecir. Por ejemplo, “mañana será de día” es un suceso determinista porque sabemos que siempre va a pasar.

– Otros ejemplos de sucesos deterministas:

  • El número al lanzar un dado siempre será menor a 7.
  • Al lanzar una roca al suelo esta caerá.
  • La próxima semana tendrá 7 días.

Los sucesos deterministas contienen a todos los elementos del espacio muestral.

¿Sabías qué?
Se denomina espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Fenómenos deterministas

Los fenómenos en el universo que siguen las leyes de la física pueden considerarse como fenómenos deterministas porque siempre son iguales. Por ejemplo, la órbita de los planetas y las atracciones gravitacionales.

Fenómenos de azar

Hay experimentos aleatorios que son imposibles de predecir porque ocurren al azar y su resultado está dentro de los resultados posibles del fenómeno estudiado. Por ejemplo, al lanzar un dado sabemos que los resultados posibles son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, pero no sabemos qué número se obtendrá con certeza, por eso se trata de un fenómeno de azar. En los experimentos de este tipo, el resultado no se puede predecir sin importar las veces que se repita la experiencia bajo las mismas condiciones.

– Algunos ejemplos de sucesos aleatorios:

  • Lanzar una moneda y que el resultado sea cara.
  • Extraer una carta de un manojo de cartas y que sea de corazones.
  • Extraer un número de las bolas de bingo y que sea par.
Los juegos de azar

Existen juegos en los que la posibilidad de ganar o perder dependen del azar, de donde proviene su nombre. En estos juegos la habilidad del jugador puede influir en los resultados y buscar minimizar la probabilidad de resultados desfavorables para aumentar la probabilidad de resultados favorables. Algunos ejemplos de juegos de azar son el bingo, los dados y la lotería.

Suceso imposible

Es lo contrario a un suceso determinista. Este tipo de suceso nunca se va a cumplir. Por ejemplo, lanzar un dado y obtener el número 7 es un suceso imposible porque el dado tiene valores del 1 al 6. Este tipo de eventos suele denotarse con el símbolo ∅.

¿Qué es la probabilidad?

Es un cálculo matemático que permite evaluar las posibilidades de que un evento ocurra cuando interviene el azar. Algunos eventos pueden ocurrir con mayor o menor frecuencia que otros, pero como no sabemos si pueden ocurrir o no, se denominan eventos aleatorios. En este tipo de eventos aplicamos el concepto de probabilidad.

La genética emplea la probabilidad para entender cuán posible sería para una persona heredar ciertos tipos de genes que la hagan más susceptibles a ciertas condiciones o enfermedades. Otros campos que emplean cálculos probabilísticos son la física, la biología, la mercadotecnia, las empresas aseguradoras y la industria.

Tipos de eventos

En estadística se denomina “evento” al resultado o conjunto de resultados posibles en un experimento. Se clasifican de la siguiente manera:

  • Eventos mutuamente excluyentes: son aquellos que no pueden ocurrir de manera simultánea. Por ejemplo, leer cara o sello luego de lanzar una moneda. Este es un evento mutuamente excluyente, porque no se puede tener un resultado de cara y sello al mismo tiempo.
  • Eventos independientes: son eventos que no se ven afectados por la ocurrencia de otro. Por ejemplo: comprar un auto y que llueva son eventos independientes, porque es posible comprar un auto sin que llueva o que llueva sin comprar el auto.
  • Eventos dependientes: son eventos en los que uno de ellos se ve afectado por la ocurrencia de otro. Por ejemplo, ir a un examen y obtener una calificación. Son eventos dependientes porque si no vas al examen no tienes calificación.

 

¡A practicar!

1. Determina si es un suceso determinista, aleatorio o imposible.

a) Que llueva y las gotas caigan hacia abajo.

Solución
Suceso determinista.

b) Lanzar una moneda y obtener cara.

Solución
Suceso aleatorio.

c) Jugar bingo y ganar.

Solución
Suceso aleatorio.

d) Lanzar una moneda y que no caiga hacia abajo nunca.

Solución
Suceso imposible.

e) Observar un cuadrado de cinco lados.

Solución
Suceso imposible.

 

2. Los experimentos __________ son imposibles de predecir.

a) aleatorios

b) seguros

c) deterministas

Solución
a) aleatorios

 

3. ¿Cuál de los siguientes sucesos no es aleatorio?

a) Lanzar un dado y que el número sea par.

b) Lanzar una moneda y que el resultado sea cara.

c) Sacar una carta y que sea una reina de corazones.

a) Lanzar un objeto y que este caiga.

Solución
a) Lanzar un objeto y que este caiga.

 

4. ¿A qué tipo de evento corresponde?

a) “Es un evento que no se ve afectado por la ocurrencia de otro”.

Solución
Evento independiente.

b) “Evento que no pueden ocurrir de manera simultánea con otro”.

Solución
Evento mutuamente excluyente.

c) “Evento que se ve afectado por la ocurrencia de otro”.

Solución
Evento dependiente.

 

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Historia de la estadística”

Este artículo detalla las fases en las que se desarrolló la estadística hasta convertirse en una de las ramas más usadas de la matemática.

VER

Artículo “Probabilidad”

Este artículo describe los conceptos relacionados al campo de la probabilidad como lo son los fenómenos aleatorios y deterministas, así como los tipos de sucesos.

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Artículo “Relación de la contabilidad con la administración y la estadística”

Este artículo explica por qué estas tres disciplinas se encuentran relacionadas entre sí, y se concentra en explicar qué es la estadística administrativa.

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CAPÍTULO 6 / TEMA 2

Interpretación de datos

La recopilación e interpretación de datos son aspectos claves de toda investigación. La estadística es la ciencia encargada de este proceso: reúne información concerniente a individuos o grupos, organiza dichos datos y los analiza e interpreta. Este análisis permite tomar decisiones y realizar predicciones útiles.

La encuesta

Una encuesta es una técnica que consiste en recopilar datos por medio de un cuestionario, el cual tiene preguntas prediseñadas. La encuesta se emplea al momento de estudiar un fenómeno, pues los datos obtenidos se suelen representar en gráficos o tablas para su interpretación.

Por lo general, la encuesta se aplica a una muestra de la población. Por ejemplo, imagina que quieres realizar una encuesta sobre el programa de televisión más visto en un país. Lo ideal sería que la encuesta fuera respondida por todas las personas de ese país, pero eso resulta casi imposible. Por esta razón, se toma una muestra de esa población que consiste en una porción más pequeña de personas para aplicar la encuesta. Así los datos obtenidos son una aproximación muy cercana a toda la población y su recopilación es mucho más fácil.

– Ejemplo:

La maestra preguntó a sus estudiante si preferían viajar a la playa o a la montaña y estos fueron los resultados que obtuvo:

Nombre Lugar preferido
María Playa
Mónica Playa
Samuel Montaña
Alfredo Playa
Ricardo Montaña
Melina Montaña
Pablo Playa
Rubén Playa
Araceli Playa
Sergio Montaña

De la tabla se observa que 6 estudiantes prefieren ir a la playa y 4 prefieren ir a la montaña. De manera que hay más estudiantes que prefieren la playa.

Importancia de las encuestas

Las encuestas son más usadas de lo que se piensas y las áreas que las aplican no se limitan a la estadística. La medicina, la sociología y la psicología son algunos de los campos en donde se hace uso de encuestas para recopilar información.

Promedio aritmético

Se denomina así porque corresponde al valor promedio de los datos. Es el resultado de sumar todos los datos que tenemos y luego dividirlos entre el número de datos.

– Ejemplo:

La maestra le preguntó a los niños cuántas mascotas tenían en sus casas y obtuvo los siguientes resultados:

Nombre Número de mascotas
María 2
Mónica 2
Samuel 3
Alfredo 1
Ricardo 1
Melina 2
Pablo 1
Rubén 2
Araceli 2
Sergio 4

 

Para calcular el promedio de mascotas que tienen los estudiantes se cumple la siguiente fórmula:

\boldsymbol{Promedio =\frac{Sumatoria \, de \, todos\, los\, datos}{Nro\, de \, datos}}

 

En este caso, si sumamos todos los datos obtenemos lo siguiente:

Sumatoria \, de \, todos\, los\, datos=2+2+3+1+1+2+1+2+2+4=\boldsymbol{\mathbf{}20}

 

El número de datos es igual a 10 (es el número de estudiantes en este caso).

Al sustituir en la fórmula se obtiene:

Promedio =\frac{20}{10} = \mathbf{2}

 

De esta manera, el promedio aritmético es 2, lo que nos indica que la mayoría de los estudiantes tienen como mínimo 2 mascotas.

¿Sabías qué?
En la estadística es más común hablar de media aritmética y no de promedio aritmético.
Uno de los cálculos usados a menudo en las empresas es el promedio. Aunque no siempre indica el valor real, permite por ejemplo, realizar estimaciones de las producciones por día, estimaciones de costos y proyecciones a futuro. Es importante tener presente que existen varios tipos de promedio además del aritmético y se emplean en otras situaciones.

Moda

Corresponde al valor del dato que más se repite. En el caso del ejemplo anterior la moda es 2 porque se repite más veces (5 veces):

Nombre Número de mascotas
María 2
Mónica 2
Samuel 3
Alfredo 1
Ricardo 1
Melina 2
Pablo 1
Rubén 2
Araceli 2
Sergio 4

¿Sabías qué?
La media, la moda y la mediana son denominadas medidas de tendencia central.

Combinaciones

Para realizar combinaciones de datos se suelen emplear tablas de doble entrada, conocidas también como cuadros de doble entrada, que permiten de forma gráfica registrar la información y sacar conclusiones.

Por ejemplo, un equipo de voleibol quiere saber cuál color usar en su logo, uniforme y balón oficial. Para ello la mayoría decidió que los colores deberían ser rojo, naranja o amarillo. Al completar la tabla de doble entrada obtuvieron los siguientes resultados:

El equipo tiene en total 9 posibilidades para elegir porque en la tabla son 3 colores y 3 objetos:

3\times 3=9

Si analizamos la tabla verticalmente observamos que por cada columna está el mismo objeto pero de diferente color. Si analizamos la tabla horizontalmente observamos diferentes objetos pero con el mismo color.

Los datos en una investigación

Antes de lanzar al mercado un nuevo producto o de aprobar una vacuna es necesario obtener datos que permitan interpretar si, por ejemplo, ese producto será comprado en las cantidades deseadas o si esa vacuna será segura para la salud. Por tal motivo, los datos que se recopilan juegan un papel fundamental en toda investigación, sin ellos no sería posible llegar a conclusiones o resultados. Su análisis es crucial en todas las áreas de la ciencia.

¡A practicar!

1. Se hizo una encuesta a unos músicos para saber cuántos instrumentos sabían tocar. Observa la siguiente tabla de resultado y responde las preguntas.

Nombre Número de instrumentos que sabe tocar
Carolina 3
Ezequiel 3
Francisco 5
Sofía 3
Victoria 4
Verónica 6
Diego 7
Luis 3
Tania 2
Andrés 4

a) ¿Cuál es el promedio aritmético?

Solución
4

b) ¿Cuál es la moda?

Solución
3

c) ¿Quién sabe tocar más instrumentos?

Solución
Diego

d) ¿Quién sabe tocar menos instrumentos?

Solución
Tania

 

2. Observa la siguiente tabla de doble entrada. ¿Cuántas combinaciones posibles observas?

Solución
4

 

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Instrumentos de medición”

Este artículo explica los principales instrumentos de medición usados en la estadística para recopilar datos como la encuesta y la entrevista.

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Artículo “Medidas de tendencia central”

Este artículo explica las medidas de tendencia central como la moda, media aritmética y la mediana, que permiten analizar un conjunto de datos y conocer la manera en la que se encuentra distribuidos.

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Artículo “Datos estadísticos”

Este artículo explica de manera concisa qué son los datos estadísticos y los diferentes tipos de muestreos usados con el propósito de obtenerlos.

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