CAPÍTULO 5 / TEMA 5

CUADRILÁTEROS

Seguramente habrás notado a tu alrededor múltiples objetos con cuatro lados: una mesa, una caja o un teléfono móvil. Todos ellos tienen forma de cuadriláteros. Este tipo de figura tiene diversas clasificaciones según la longitud de sus lados y amplitud de sus ángulos. Con este artículos podrás diferenciar cada tipo de cuadrilátero y sabrás cómo calcular su perímetro.

¿qué es un cuadrilátero?

El término “cuadrilátero” proviene del latín quattuor que significa “cuatro” y latus que significa “lado”. Así que los cuadriláteros son aquellos polígonos que tienen cuatro lados. Estos lados pueden dibujarse de diversas formas: todos del mismo tamaño, de distintas medidas o con diferentes inclinaciones; pero lo fundamental es que estén unidos de forma tal que constituyan el contorno de una figura.

Todo cuadrilátero se caracteriza por tener cuatro lados. Estas figuras están en gran parte de los objetos que vemos en la cotidianidad: la pantalla que miramos de la computadora o el teléfono, las páginas de los libros, las paredes de la escuela, las hojas de un cuaderno, los anuncios publicitarios o simplemente en las cajas de nuestra casa.

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Elementos de un cuadrilátero

Todos los cuadriláteros tienen:

• 4 lados.
• 4 ángulos interiores.
• 4 ángulos exteriores.
• 4 vértices.
• 2 diagonales.

En la imagen puedes observar:

4 lados: AB, BC, CD y DA.
4 ángulos interiores: α, β, γ y δ.
4 ángulos exteriores: α’, β’, γ’ y δ’.
4 vértices: A, B, C y D.
2 diagonales: AC y BD.

Propiedad de los ángulos

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°.
La suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero es igual a 360°.

En el ejemplo anterior:

α + β + γ + δ = 360°
α’ + β’ + γ’ + δ’ = 360°

Clasificación de los cuadriláteros

Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides.

Paralelogramos

Son figuras con lados paralelos dos a dos cuyas diagonales se cortan entre sí en segmentos iguales. Se clasifican en:

Figura	Característica
Cuadrado	4 lados iguales. 4 ángulos rectos (90°).
Rectángulo	Lados iguales dos a dos. 4 ángulos rectos (90°).
Rombo	4 lados iguales. Ángulos iguales dos a dos.
Romboide	Lados iguales dos a dos. Ángulos iguales dos a dos.

Eje de simetría de los paralelogramos

Todos los paralelogramos tienen un eje de simetría. El eje de simetría es el segmento que divide a la figura en dos partes iguales. El punto de intersección de las diagonales es el centro de simetría del paralelogramo.

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¿Sabías qué?

Para diferenciar un rombo de un cuadrado invertido debes prestar atención a los ángulos, solo el cuadrado tiene cuatro ángulos rectos.

Trapecio

Son figuras con 2 lados paralelos denominados bases. Se clasifican en:

Figura	Característica
Trapecio rectángulo	2 ángulos rectos (90°), uno agudo (menor a 90°) y uno obtuso (mayor a 90°). Un lado es perpendicular a sus bases (paralelas).
Trapecio isósceles	Sus lados no paralelos son de igual longitud. 2 ángulos internos agudos (menores a 90°) y 2 ángulos obtusos (mayores a 90°) iguales entre sí. Sus ángulos opuestos son suplementarios.
Trapecio escaleno	Todos sus lados y ángulos son diferentes.

Trapezoide

Son figuras sin lados paralelos.

Figura	Características
	Lados opuestos no paralelos.

La clasificación de cuadriláteros es de gran ayuda en la vida de algunos profesionales. Ingenieros, arquitectos y diseñadores habitualmente necesitan estos conocimientos básicos para poder construir, medir o diseñar. Pero no solo ellos acuden a estos conocimientos; quienes trabajan en publicidad también precisan la geometría.

CÁLCULO DEL PERÍMETRO DE PARALELOGRAMOS

El perímetro es la suma de las longitudes de los lados de cualquier figura geométrica, con excepción del círculo; sin embargo, con el fin de agilizar su cálculo puedes aplicar las siguientes fórmulas:

Figura	Fórmula de perímetro
Cuadrado	P = 4 × l
Rectángulo	P = 2 × l + 2 × b
Romboide	P = 2 × l₁ + 2 × l₂
Rombo	P = 4 × l

– Ejemplo:

Calcula el perímetro de este rectángulo:

P = 2 × b + 2 × a

P = 2 × 10 cm + 2 × 6 cm

P = 20 cm + 12 cm

P = 32 cm

El perímetro del rectángulo es de 32 cm.

– Otro ejemplo:

Calcula el área de este rombo:

P = 4 × l

P = 4 × 5 cm

P = 20 cm

El perímetro del rombo es de 20 cm.

Figuras geométricas en la publicidad

Las figuras geométricas son entendidas como símbolo de sencillez y perfección. Incluso, cada una de ellas, tiene un significado propio. Esto quiere decir que las figuras transmiten un concepto y las geométricas nos hablan de perfección. Las empresas no eligen al azar su logotipo sino que se dedican a estudiar su público e invierten mucho dinero para su elaboración. Un gran número de compañías optan por figuras geométricas porque está comprobado que tienen impacto seguro, profundo y duradero.

¡A practicar!

1. Clasifica las siguientes figuras como: paralelogramos, trapecio o trapezoide.

Solución

A. Paralelogramo

B. Paralelogramo

C. Trapecio

D. Trapecio

E. Paralelogramo

F. Trapezoide

G. Trapecio

H. Paralelogramo

I. Trapezoide

2. Calcula el perímetro de las siguientes figuras:

Solución

P = 2 × 12 cm + 2 × 9 cm

P = 24 cm + 18 cm

P = 42 cm

Solución

P = 4 × 7 cm

P = 28 cm

Solución

P = 2 × 12 cm + 2 × 6 cm

P = 24 cm + 12 cm

P = 36 cm

RECURSOS PARA DOCENTES

Enciclopedia “Matemática tomo 6”

En el tomo 6 de la enciclopedia de matemática encontrarás información detallada, ejemplos y ejercicios sobre una diversidad de temas vinculados a la geometría para el nivel primario.

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Artículo “Elementos de los cuadriláteros”

En este artículo encontrarás una sistematización de los elementos de los cuadriláteros, sus características y su clasificación.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 4

LOS TRIÁNGULOS

En la vida cotidiana es común observar triángulos. Los vemos en las porciones de pizza, en las señales de tránsito, en la vela de un velero, en las pirámides e incluso cuando estudiamos matemáticas. Los triángulos son figuras geométricas de tres lados y, aunque son los polígonos más simples, presentan ciertas particulares que los diferencian del resto.

El triángulo y sus ELEMENTOS

Los triángulos son figuras geométricas que cuentan con tres lados, tres ángulos y tres vértices.

Vértice: es el punto de unión de dos lados de un polígono o un ángulo.
Lado: es cada uno de los segmentos que une un vértice con el siguiente.
Ángulo: es el formado por la unión de dos rectas con un vértice en común. Pueden ser interno o externos.
- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
- Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, por lo tanto, suman 180°.

Ángulos

Todos los triángulos tienen tres ángulos, estos pueden ser:

Agudos, cuando son menores a 90°.
Rectos, cuando son iguales a iguales a 90°.
Obtusos, cuando son mayores a 90°.

¿Cómo nombrar un triángulo?

Los vértices de los triángulos se designan con letras mayúsculas, mientras que los lados se denominan por la misma letra que el vértice opuesto, pero en minúscula. Por ejemplo:

El lado a es el segmento que une los vértices B y C.
El lado b es el segmento que une los vértices A y C.
El lado c es el segmento que une los vértices A y B.

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CLASIFICACIÓN de los triángulos

Son varios los criterios de clasificación que permiten agrupar a los triángulos de acuerdo a ciertas particularidades, los más utilizados son la medida de sus lados y la medida de sus ángulos.

Triángulos según sus lados

Triángulo equilátero: tiene 3 lados con la misma longitud.
Triángulo isósceles: tiene 2 lados con la misma longitud.
Triángulo escaleno: tiene todos sus lados desiguales.

Triángulos según sus ángulos

Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto, es decir, que mide 90°.
Triángulo acutángulo: tiene todos sus ángulos agudos, es decir, ángulos menores que 90°.
Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso, es decir, un ángulo mayor a 90°.

Los triángulos pueden cumplir con ambos criterios de clasificación. Así, un triángulo isósceles también puede ser un triángulo rectángulo.

¡A practicar!

Observa los siguientes triángulos y clasifícalos según sus lados:

Solución

A) Escaleno

B) Equilátero

C) Isósceles

Observa los siguientes triángulos y clasifícalos según sus ángulos:

Solución

A) Rectángulo

B) Obtusángulo

C) Rectángulo

El Triángulo de las Bermudas es un área ubicada en el océano Atlántico, se forma al trazar una línea imaginaría entre el estado de la Florida (EE. UU.), la isla de Puerto Rico y las Bermudas. Es conocido como un triángulo equilátero, ya que, las distancias geográficas entre cada uno de los puntos que lo conforman son iguales.

Perímetro de un triángulo

El perímetro es la medida del contorno de una figura. Lo calculamos al sumar la longitud de todos sus lados.

$P = l_{1}+l_{2}+l_{3}$

Donde:

P = perímetro

l = lados

– Ejemplo:

El perímetro de este triángulo isósceles es igual a la suma de la longitud de sus lados.

$P=3\: cm+3\: cm+5\: cm$

$P=\boldsymbol{11\: cm}$

Este triángulo tiene un perímetro de 11 cm.

¿Sabías qué?

Para calcular el perímetro de un triángulo equilátero solo se debe multiplicar la longitud de un lado por 3. Esto se debe a que los tres lados miden lo mismo. Entonces, puedes utilizar la fórmula: P = 3 × l

área de un triángulo

El área es la medida de la superficie de la figura. La calculamos por medio de una expresión matemática que considera la longitud de la base y su altura:

$A=\frac{b\cdot h}{2}$

Donde:

A = área

b = base

h = altura

– Ejemplo:

La base de este triángulo mide 6 cm y la altura 4 cm, así que solo sustituimos los valores en la fórmula y resolvemos:

$A = \frac{6\: cm\cdot 4\: cm}{2}$

$A=\frac{24\: cm^{2}}{2}$

$A=\boldsymbol{12\: cm^{2}}$

Este triángulo tiene un área de 12 cm².

Teorema de Pitágoras y el triángulo rectángulo

Pitágoras de Samos, un matemático griego del siglo VI a. C. descubrió que los triángulos rectángulos guardaban una relación respecto a sus lados. Él llegó a la conclusión de que el cuadrado del lado mayor de un triángulo rectángulo, es decir, la hipotenusa, siempre era igual a la suma del cuadrado de sus otros dos lados o catetos. A esta relación se la conoce como teorema de Pitágoras.

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¡A practicar!

Calcula el área y el perímetro del siguiente triángulo:

Solución

$A=\frac{10\: cm\cdot 5\: cm}{2}=\frac{50\: cm^{2}}{2}=\boldsymbol{25\: cm^{2}}$

$P=10\: cm+12\: cm+\: 12\: cm=\boldsymbol{34\: cm}$

TRAZADO DE un triángulo dado dos lados y una ángulo

Si queremos dibujar una triángulo que tiene un ángulo de 40° y lado de 12 cm y otro de 8 cm seguimos estos pasos:

1. Dibujamos el ángulo de 40° y al vértice lo llamamos A.

2. Con la ayuda de una regla graduada marcamos el segmento AB de 12 cm.

3. Luego marcamos el segmento AC de 8 cm.

4. Unimos los puntos B y C. Después coloreamos el triángulo.

Rectas notables de un triángulo

La altura es una recta perpendicular en cualquiera de los lados del triángulo que pasa por el vértice opuesto.
La mediana es aquella recta que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto.
La mediatriz es la perpendicular que pasa por el punto medio de un lado del triángulo.
Una bisectriz es una recta que pasa por el vértice de un triángulo y divide a su ángulo en dos partes iguales.

¡A practicar!

1. Traza los siguientes triángulos:

Triángulo con un ángulo de 90°, un lado de 4 cm y otro lado de 2 cm.

Solución

Triángulo con un ángulo de 80°, un lado de 4,5 cm y otro lado de 4 cm.

Solución

Triángulo con un ángulo de 110°, un lado de 4 cm y otro lado de 3 cm.

Solución

2. Clasifica cada triángulo según sus ángulos y lados:

Solución

A) Isósceles y rectángulo.

B) Isósceles y obtusángulo.

C) Escaleno y acutángulo.

D) Isósceles y acutángulo.

E) Equilátero y acutángulo.

F) Escaleno y obtusángulo.

G) Escaleno y rectángulo.

3. Calcula el área y el perímetro de estos triángulos:

Solución

$A=\frac{9\: cm\cdot 5\: cm}{2}=\frac{45\: cm^{2}}{2}=\boldsymbol{22,5\: cm^{2}}$

$P= 4\: cm+8\: cm+9\: cm=\boldsymbol{21\: cm}$

Solución

$A=\frac{4\: cm\cdot 4\: cm}{2}=\frac{16\: cm^{2}}{2}=\boldsymbol{8\: cm^{2}}$

$P=4\: cm+4\: cm+6\: cm=\boldsymbol{14\: cm}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Triángulos”

En este artículo encontrarás una síntesis de las características y clasificaciones de los triángulos.

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Artículo “Perímetro de triángulos y cuadriláteros”

En este recurso encontrarás información detallada sobre el perímetro de figuras geométricas, como triángulos y cuadriláteros.

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Video “Tipos de triángulos según sus ángulos”

Este material audiovisual te ayudará a acompañar y complementar sus clases de manera ilustrativa.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 3

Polígonos

Podemos observar polígonos en múltiples objetos de nuestro alrededor. Estos son muy diversos y los hay con lados y ángulos iguales o desiguales entre sí. Son elementos fundamentales de la geometría y su conocimiento es esencial en diversos campos del conocimiento, como la ingeniería o la arquitectura.

¿Qué es un polígono?

En geometría, un polígono es una figura geométrica plana delimitada por un número finito de segmentos rectos.

¿Sabías qué?

La palabra “polígono” proviene del griego antiguo que quiere decir “muchos ángulos”.

Los polígonos presentan los siguientes elementos:

Lados: son los segmentos rectos que conforman al polígono.
Vértices: son los puntos en común entre dos lados consecutivos.
Diagonales: son los segmentos que unen a dos lados no consecutivos de un polígono.
Ángulos interiores: están formados por dos lados consecutivos en el interior del polígono.
Ángulos exteriores: están formados en el exterior del polígono entre un lado y la prolongación de otro lado consecutivo.

Polígonos regulares y sus tipos

Un polígono regular tiene lados con la misma longitud. Se caracterizan también porque sus ángulos internos y externos también son iguales. Otra característica es que poseen la misma cantidad de ejes de simetrías que de lados. Las diagonales en este tipo de polígonos tienen la misma longitud y siempre son interiores.

Polígono	Número de lados	Número de diagonales	Medida de cada ángulo interno	Medida de cada ángulo externo
Triángulo equilátero	3	0	60°	120°
Cuadrado	4	2	90°	90°
Pentágono	5	5	108°	72°
Hexágono	6	9	120°	60°
Heptágono	7	14	128,57°	51,43°
Octágono	8	20	135°	45°
Eneágono	9	27	140°	40°
Decágono	10	35	144°	36°
Endecágono	11	44	147,27°	32,73°
Dodecágono	12	54	150°	30°

VER INFOGRAFÍA

El círculo y los polígonos

Todo polígono regular puede estar circunscrito en una circunferencia, lo que quiere decir que cada uno de sus vértices corresponde a un punto de la circunferencia. Mientras más lados tenga el polígono, más se va a aproximar a la forma de la circunferencia. Por esta razón, se asocia a la circunferencia (de forma informal) a un polígono de infinitos lados.

Área de polígonos regulares

Para medir el área de los polígonos es necesario conocer las definiciones de perímetro y apotema.

Perímetro: es la suma de los lados que forman una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, se calcula al multiplicar el número de lados por la longitud de uno de sus lados.

$P= n\times L$

Donde:

P: perímetro
n: número de lados del polígono regular.
L: longitud de uno de los lados del polígono.

Apotema: es la distancia perpendicular desde el centro de un polígono hasta uno de sus lados.

El área de un polígono regular se define como el producto de su perímetro por la apotema (a) dividido entre dos.

$A = \frac{P\times a}{2}$

Donde:

A: área

P: perímetro

a: apotema

– Ejemplo:

Calcular el área de un pentágono cuyos lados miden 6 cm y su apotema es de 4,13 cm.

Lo que debemos hacer es calcular primero el perímetro para luego sustituir en la fórmula junto con la apotema para calcular el área.

$P= n\times L$
$P= 5\times 6\, cm$
$P= 30\, cm$

El perímetro del apotema es 30 cm, al sustituir en la fórmula de área nos queda:

$A = \frac{30\, cm\times 4,13\,cm }{2}$

$A = \frac{123,9\,cm^{2} }{2}$

$A = \mathbf{61,95\, cm^{2}}$

El área del pentágono es de 61,95 cm².

¿Sabías qué?

El Departamento de Defensa de los Estados Unidos es un edificio en forma de Pentágono que mide 140.000 metros cuadrados aproximadamente.

Debido a sus características geométricas, todo polígono regular puede estar inscrito o circunscrito a una circunferencia. Un polígono inscrito tiene todos sus vértices contenidos en la circunferencia. Por otro lado, un polígono circunscrito posee todos sus lados tangentes a la circunferencia. En ambos casos, el centro del polígono coincide con el centro de la circunferencia.

Polígonos irregulares y sus tipos

En los polígonos irregulares se pueden cumplir algunas de estas condiciones:

– Tener sus lados con igual longitud pero sus ángulos internos diferentes.
– Tener sus ángulos de igual medida pero sus lados con diferente longitud.
– Tener sus lados con diferente longitud y sus ángulos internos con diferente medida.

Ejemplos de polígonos irregulares

Rombo

El rombo tiene los cuatro lados con igual longitud pero sus cuatro ángulos internos son diferentes: solo los ángulos opuestos de este polígono son iguales. Por eso se trata de un polígono irregular.

Rectángulo (no cuadrado)

Es un cuadrilátero con sus cuatro ángulos iguales (90°), pero sus lados tienen diferente longitud entre sí. Solo los lados paralelos comparten la misma longitud.

Triángulo (no equilátero)

Todo triángulo con un ángulo interior diferente de 60 grados es un polígono irregular.

Triángulos regulares e irregulares

Según sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos. Los equiláteros son los únicos triángulos que cumplen con las características de un polígono regular. Los triángulos escalenos son aquellos en los que las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos internos son diferentes, por lo tanto no son polígonos regulares. Por otra parte, los triángulos isósceles al contar solo con dos lados y dos ángulos iguales tampoco son considerados como polígonos regulares.

Perímetro de polígonos

Calculamos el perímetro de los polígonos regulares a través de la fórmula planteada anteriormente:

$P= n\times L$

En cambio, en los polígonos irregulares, cuyos lados generalmente son diferentes, esta ecuación no siempre aplica. Para lo cual debemos sumar de forma separada las longitudes de cada uno de los lados.

$P= L_{1}+L_{2}+L_{3}+...+L_{n}$

Por ejemplo, para calcular el perímetro del siguiente triángulo isósceles simplemente sumamos cada una de las longitudes de sus lados.

$P= 60\,\, cm+60\,\, cm+40\,\, cm$

$P= \mathbf{160\,\, cm}$

El perímetro de este triángulo irregular es de 160 cm.

¡A practicar!

1. Determina el perímetro y el área de los siguientes polígonos regulares según los datos mostrados.

a) Un eneágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 9,62 cm.

Solución

P = 63 cm
A = 303,03 cm²

b) Un pentágono regular cuyos lados miden 6 cm y su apotema 4,13 cm.

Solución

P = 30 cm
A = 61,95 cm²

c) Un heptágono regular cuyos lados miden 8 cm y su apotema 8,31.

Solución

P = 56 cm
A = 232,68 cm²

d) Un triángulo regular (equilátero) cuyos lados miden 5 cm y su apotema 1,44 cm.

Solución

P= 15 cm
A = 10,8 cm²

e) Un decágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 4,62 cm.

Solución

P= 30 cm
A = 69,3 cm²

f) Un dodecágono regular cuyos lados miden 4 cm y su apotema 7,46 cm.

Solución

P= 48 cm
A = 179,04 cm²

g) Un hexágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 6,06 cm.

Solución

P= 42 cm
A = 127,26 cm²

h) Un octágono regular cuyos lados miden 2 cm y su apotema 2,41 cm.

Solución

P= 16 cm
A = 19,28 cm²

i) Un endecágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 5,11 cm.

Solución

P= 33 cm
A = 84,315 cm²

j) Un cuadrado cuyos lados miden 4 cm y su apotema 2 cm.

Solución

P= 16 cm
A = 16 cm²

2. ¿A qué polígono con una apotema de 4,33 cm le corresponde un área de 64,95 cm².

a) Un decágono de 2 cm de lado.
b) Un hexágono de 5 cm de lado.
c) Un pentágono de 7 cm de lado.
d) Un octágono de 4 cm de lado.

Solución

b) Un hexágono de 5 cm de lado.

3. ¿Qué polígono irregular tiene sus lados de igual longitud pero sus ángulos internos son diferentes?

a) Círculo
b) Cuadrado
c) Rectángulo
d) Rombo

Solución

d) Rombo

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Perímetro de los polígonos”

Este artículo define qué es un polígono, cuáles son sus clasificaciones y cómo se calcula su el perímetro. También plantea una serie de ejercicios para resolver.

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Artículo “Cuadriláteros”

Este recurso explica los diferentes tipos de cuadriláteros que existen y sus características principales.

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Micrositio “Tarjetas Educativas – Geometría y medidas”

En este micrositio se puede encontrar una serie de tarjetas interactivas que resumen los elementos principales de la geometría, como los polígonos y sus principales características.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 5

PERÍMETRO

Todas los objetos planos tienen un contorno o frontera que las delimita. Por ejemplo, un alambrado delimita una casa, o una acera delimita un parque. Este borde se llama perímetro y su cálculo es muy sencillo, solo tenemos que saber la cantidad de lados y la longitud de cada uno de ellos en la figura.

¿qué es el perímetro?

El perímetro es el contorno de una figura plana y permite conocer su medida. Para calcularlo sumamos todos los lados de la figura.

Si queremos decorar este portarretrato con un cordón dorado, ¿cuánto cordón debemos comprar? ¡Muy fácil! Tenemos que calcular el perímetro del objeto. Como tiene dos lados que miden 15 centímetros y dos lados que miden 10 cm, sumamos todas las medidas de cada lado: 15 cm + 15 cm + 10 cm + 10 cm = 50 cm. Tenemos que comprar 50 cm de cordón.

¿Cómo calcular el perímetro en polígonos regulares?

Una de las características de los polígonos regulares es que todos sus lados tienen la misma longitud. Entonces, para calcular su perímetro multiplicamos la cantidad de lados del polígono por la longitud de su lado.

Perímetro = número de lados × longitud del lado

– Ejemplo:

Un cuadrado tiene 4 lados iguales. Si cada lado mide 5 cm, ¿cuál es el perímetro de la figura?

Perímetro = 4 × 5 cm = 20 cm

– Ejemplo 2:

Los triángulos equiláteros tienen todos sus lados iguales. Si cada lado mide 8 cm, ¿cuál es el perímetro de la figura?

Perímetro = 3 × 8 cm = 24 cm

¿Sabías qué?

Todos los polígonos regulares tienen lados, vértices, centro y perímetro.

perímetros en otras figuras planas

Existen otras figuras como los polígonos no regulares que se caracterizan por no tener todos los lados iguales. Para calcular los perímetros de estas figuras sumamos cada una de las longitudes de sus lados.

– Ejemplo 1:

Perímetro = 10 cm + 6 cm + 10 cm + 6 cm = 32 cm

– Ejemplo 2:

Perímetro = 6 cm + 4 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm + 3 cm = 21 cm

– Ejemplo 3:

Cada cuadrado interno de la figura mide 1 cm. Si sumamos cada cuadro por lado podremos saber el perímetro de esta figura.

Perímetro = 4 cm + 1 cm + 2 cm + 2 cm + 4 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm = 18 cm

Palacio de la Alhambra

El palacio la Alhambra se encuentra en España. Las partes inferiores de sus paredes están cubiertas con azulejos diseñados con polígonos. Estas figuras se unieron para crear múltiples combinaciones. La belleza de estas paredes demuestra lo impresionante que es la geometría aplicada en el arte.

aplicación del perímetro

Como ya vimos, para determinar el perímetro tenemos que sumar la longitud de todos los lados de la figuras. Si la figura es regular, es decir, si tiene todos sus lados iguales, solo multiplicamos la cantidad de lados por la longitud de uno de ellos. En la vida cotidiana este cálculo tiene diversas aplicaciones. Por ejemplo:

1. Carla corre todas la mañanas en el parque. Si cada día da tres vueltas alrededor del parque, ¿cuánto metros corre?

Primero calculamos el perímetro del parque:

Perímetro = 30 m + 15 m + 30 m + 15 m = 90 m

Como da tres vueltas, multiplicamos el resultado del perímetro por 3.

90 m × 3 = 270 m

Por lo tanto, Carla corre 270 m en el parque cada mañana.

2. Una familia quiere colocar una cerca alrededor de la casa, ¿cuánto metros de material debe comprar?

Solo tenemos que calcular el perímetro de la región que se quiere cercar:

Perímetro = 20 m + 5 m + 12 m + 5 m + 20 m = 10 m = 72 m

Entonces, se necesitan 72 metros de cerca para la casa.

3. Un auto de carreras dio 5 vueltas alrededor de la pista. ¿Cuántos metros corrió?

Primero calculamos el perímetro de la pista de carreras:

Perímetro = 80 m + 25 m + 40 m + 35 m + 40 m = 220 m

Como dio 5 vueltas, multiplicamos el resultado del perímetro por 5.

220 m × 5 = 1.100 m

Por lo tanto, el auto corrió 1.100 metros.

Castillos amurallados

Las murallas se han usado desde la prehistoria y se hicieron populares en la Edad Media. Muchos castillos de todo el mundo fueron amurallados para proteger el perímetro que los rodea con el fin de frenar y alejar a los ejércitos que deseaban conquistar sus tierras. No solo se amurallaban castillos sino también ciudades enteras, como la ciudad de Quebec en Canadá para establecer un perímetro de defensa y proteger a los ciudadanos.

¡A practicar!

1. Observa las siguientes figuras regulares y responde las preguntas.

¿Cuál es el perímetro del cuadrado morado?
Solución
El perímetro es de 16 cm.
¿Cuál es el perímetro del pentágono naranja?
Solución
El perímetro es de 30 cm.
¿Cuál es el perímetro del triángulo azul?
Solución
El perímetro es de 9 cm.
¿Cuál es el perímetro del hexágono verde?
Solución
El perímetro es de 30 cm.

2. Observa las siguientes figuras no regulares y responde las preguntas.

¿Cuál es el perímetro de la figura A?
Solución
El perímetro es 20 cm.
¿Cuál es el perímetro de la figura B?
Solución
El perímetro es 19 cm.
¿Cuál es el perímetro de la figura C?
Solución
El perímetro es 26 cm.
¿Cuál es el perímetro de la figura D?
Solución
El perímetro es 25 cm.

3. Un granjero quiere separar las ovejas de las vacas con una cerca triangular en una parte de su granja. Cada lado de la cerca tiene 12 metros. ¿Cuál es el perímetro de la cerca?

Solución

El perímetro de la cerca es 36 metros.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Perímetro de polígonos”

El siguiente artículo permitirá ampliar la información sobre el perímetro de polígonos.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 7 (REVISIÓN)

GEOMETRÍA | ¿QUÉ APRENDIMOS?

UBICACIÓN ESPACIAL

La ubicación espacial nos sirve para conocer dónde estamos con respecto a todo lo que nos rodea, de este modo podemos señalar con facilidad nuestra ubicación. Términos como arriba, abajo, derecha, izquierda, delante y detrás son de gran utilidad para el desarrollo del sentido de la orientación. Si deseamos ubicar puntos en un plano podemos usar los ejes de coordenadas: un conjunto de líneas verticales y horizontales que nos brindan los datos necesarios para saber la posición exacta de un objeto en una cuadrícula.

En esta imagen, los crayones están dentro de un recipiente, el cuaderno está sobre la mesa y los bolígrafos están al lado del cuaderno.

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Los cuerpos geométricos poseen tres dimensiones: alto, largo y ancho. Estos cuerpos pueden ser poliedros, tales como el cubo, la pirámide y el prisma; también pueden ser cuerpos redondos, como la esfera, el cono y el cilindro. Los elementos que los componen son las caras, las aristas y los vértices. Las caras de los cuerpos geométricos son figuras planas.

Las pirámides de Egipto fueron construidas con forma de pirámide cuadrangular porque simbolizaban los rayos del Sol.

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

El punto, la recta, el rayo y el segmento son elementos geométricos. El punto indica una posición, el rayo posee un origen y se extiende hacia el infinito, el segmento tiene un principio y un final, y la recta es una sucesión de puntos que siguen una misma dirección. Por otro lado, dos rectas pueden ser paralelas cuando no se cortan en ningún punto; perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos y oblicuas cuando al cortarse no forman ángulos rectos.

Los cables de electricidad representan rectas paralelas. Al verlos dan la ilusión de tres rectas que no se tocan entre sí.

ángulos

El ángulo es una porción comprendida entre dos lados con un origen en común llamado vértice. Según sus medidas el ángulo puede ser convexo, nulo, agudo, recto, obtuso, cóncavo, llano y completo. Según su posición existen ángulos adyacentes, consecutivos y opuestos por el vértice. Para estimar la medida de un ángulo es preferible usar medidas de referencia que ya conocemos, como ángulos de 45° y 90°.

perímetro

El perímetro es el contorno de una figura. Para averiguar el perímetro de polígonos regulares multiplicamos la cantidad de lados por la longitud del lado. En cambio, para polígonos no regulares el perímetro lo calculamos al sumar todos los lados de la figura. Conocer cuánto mide el perímetro de una figura te ayudará a saber cuánto material se utilizó para alambrar una cancha de fútbol y en otros múltiples usos.

transformaciones isométricas

Una transformación isométrica es el cambio de posición que sufre una figura. Estas transformaciones pueden ser por rotación, por traslación o por reflexión. La rotación se refiere al giro alrededor de un punto fijo; la traslación consiste en mover todos los puntos de una figura en la misma dirección, sentido y distancia; y la reflexión no es más que el reflejo de la figura respecto de un eje de simetría. Estas transformaciones no cambian ni la forma ni el tamaño de las figuras.