CAPÍTULO 2 / TEMA 5

problemas con números decimales

La presencia de los decimales en nuestras vidas ha permitido en ciertas ocasiones representar cantidades con mayor exactitud, por ejemplo, valores que se encuentran entre dos números enteros. Con este tipo de números podemos realizar operaciones básicas de la matemáticas a través de algoritmos similares a los usados en los números enteros.

Adición y sustracción de decimales

Los decimales se usan a diario. Un claro ejemplo son las cajas registradoras de los supermercados que suman y restan decimales todos los días, suman los productos que compramos y restan cuando obtenemos un descuento por alguna oferta. Como verás, los decimales son muy importantes para realizar operaciones en la vida cotidiana.

Adición

En el caso de la adición de números decimales, lo primero que se debe hacer es hacer coincidir los valores posicionales de los números, tanto de su parte entera (unidades, decenas, centenas, etc.) como de su parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc.).

Una manera simple de ordenar los decimales es colocar uno debajo del otro de manera que la coma quede en una misma columna al igual que los valores de la izquierda. Si uno de los números tiene menos decimales que el otro, se completa con cero su parte decimal hasta que la cantidad de cifras decimales en ambos números sea la misma.

Finalmente, luego de ordenar los números, se suman con el mismo algoritmo de la suma usado en los números enteros. La única diferencia es que se debe colocar la coma del resultado en su columna correspondiente.

Por ejemplo:

-Resolver 10,357 + 7,23.

Al ordenar los números de acuerdo a sus valores posicionales y después de aplicar el algoritmo de la suma se obtuvo el siguiente resultado:

Observa que como 7,23 tiene dos decimales y 10,357 tiene tres, se agregó un cero en los decimales de 7,23 para poder sumarlos.

De esta manera, 10,357 + 7,23 es igual a 17,587.

Sumar números decimales y números enteros

Para sumar decimales y números enteros lo único que hay que hacer es transformar los enteros a decimales. Para ello, se deben agregar tantos ceros a estos como cifras decimales tenga el número decimal. Luego se ordenan los números de la manera explicada anteriormente.

Por ejemplo:

-Resolver 169 + 34,93.

En este caso, el número 34,93 tiene dos decimales, por lo tanto, al transformar el 169 a decimal quedaría expresado como 169,00. Luego se ordenan ambos números de acuerdo a sus valores posicionales. Observa que, en este caso, se trata de una suma “con llevada” y se realiza de la misma forma que una suma de este tipo con números enteros:

De esta manera, 169 + 34,93 es igual a 203,93.

A menudo se suelen convertir números decimales a fracciones para simplificar las operaciones. Los decimales que se pueden convertir de manera más fácil a fracción son los que tienen un cero antes de la coma. En estos casos, el denominador sería la unidad seguida de la cantidad de ceros consecutivos que tenga el decimal a la izquierda, y los números restantes serán iguales al denominador. De esta manera 0,037 es igual a 37/100.

Sustracción

La sustracción con decimales se realiza de manera similar a la sustracción de números enteros. En este caso, se deben hacer coincidir los valores posicionales del minuendo y del sustraendo. En caso de que alguno de los dos números tenga menor cantidad de decimales se completa con ceros.

Por ejemplo:

-Resolver 27,45 − 10,3

En este caso, completamos los decimales del 10,3 para que sean iguales, por lo tanto, se agrega un cero a la derecha. Luego posicionamos los números uno debajo del otro de manera que cada valor posicional se encuentre en una misma columna. Luego se resuelve la resta como lo hacemos con los números enteros. Al final, se debe anotar la coma en su columna correspondiente.

De esta forma, 27,45 − 10,3 es igual a 17,15.

Restar decimales y números enteros

La sustracción también se puede realizar entre números enteros y decimales. Para realizar los cálculos, el número entero se debe convertir a decimal y luego se resuelve la operación de la forma explicada anteriormente.

Por ejemplo:

-Resolver 973 − 632,38

En este caso, como el número decimal tiene dos decimales, debemos agregar dos ceros al número entero. De esta forma, el número 973 queda expresado como 973,00. Luego se posicionan ambos números uno debajo del otro, de manera que sus valores posicionales estén en una misma columna, y se resuelve la resta con decimal. De esta forma, el procedimiento es el siguiente:

El resultado de 973 − 632,38 es 340,62.

multiplicación y división de decimales

Otras de las operaciones básicas que podemos realizar con números decimales son la multiplicación y la división. La multiplicación permite realizar sumas reiteradas de manera rápida y la división permite repartir cantidades en partes iguales.

Multiplicación

Para multiplicar dos números decimales se pueden seguir los siguientes pasos:

Multiplicar los números decimales de la misma manera que se multiplican los números enteros.
El producto final será un número decimal que tendrá la cantidad de decimales igual a la suma de los decimales que tengan el multiplicando y el multiplicador. Por ejemplo, si el multiplicando tiene dos decimales y el multiplicador tiene un decimal, el resultado será un número con tres decimales porque 2 + 1 = 3.

Por ejemplo:

-Resolver 46,5 × 8,6.

Se resuelve la multiplicación de la misma forma en la que se resuelven multiplicaciones con números enteros. El resultado que se obtiene al sumar los dos productos parciales es 39990, como 46,5 tiene un decimal y 8,6 tiene un decimal también, el resultado debe tener dos decimales, es decir; dos números después de la coma, de esta forma el resultado será: 399,90. Observa el procedimiento:

Multiplicar decimales y números enteros

La multiplicación de decimales y números enteros se realiza de la misma forma que con los números enteros. Al final, el resultado tendrá la misma cantidad de decimales que el número decimal que se multiplica.

Por ejemplo:

-Resolver 7,809 × 4.

Al resolver la multiplicación se obtiene 31236, como 7,809 tiene tres decimales, el resultado de esta multiplicación tiene la misma cantidad de decimales, es decir, el resultado es 31,236. El procedimiento aplicado fue el siguiente:

Los decimales son tan usados que podemos encontrarlos en desde una factura de compra hasta una escala de medición. De acuerdo al país, se puede usar la coma o el punto para representarlos. Por ejemplo, en México y en varios países del Caribe se emplea al punto como símbolo para separar decimales, mientras que en España y en gran parte de los países del Cono Sur se usa la coma.

División

Dividir un número entero entre un número decimal

Para dividir un número entero entre un decimal se pueden seguir los siguientes pasos:

Convertir el número decimal en un número entero. Para esto, se va a multiplicar el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el número. Por ejemplo, imagina que tenemos la división 278 : 3,6. En este caso, al convertir el decimal a entero se obtiene: 3,6 x 10 = 36.
Multiplicar al dividendo por el mismo número que se haya multiplicado al divisor. En el ejemplo anterior sería: 278 x 10 = 2.780
Dividir los números obtenidos. En este caso serían 2.780 : 36.

El resultado de la división sería el siguiente:

Cuando se restó 260 − 252 se obtuvo 8. Agregamos una coma en el cociente que era 77 y luego colocamos un 0 al lado del 8 para luego continuar con la división. En este caso, observa que el resto seguirá siempre con el mismo valor, esto se debe a que el resultado de esta división particular es un número infinito periódico (77,22222222222…), es decir, es un número en el que se repite de manera infinita un patrón en su parte decimal.

¿Sabías qué?

Los números decimales pueden ser finitos o infinitos. Dentro de estos últimos están los periódicos y los irracionales.

Dividir un número decimal entre un número entero

Para dividir un número decimal por un número entero se divide de la misma manera, como si fuesen enteros. Al bajar el primer número decimal, se agrega una coma en el cociente y se continúa la división.

El ejemplo a continuación indica el procedimiento para resolver la división 77,5 : 25. Observa que después de resolver la parte entera (77) se agrega la coma en el cociente y se continúa con la operación.

Dividir dos números decimales

Para dividir un decimal con otro decimal se pueden seguir los siguientes pasos (278,1 : 2,52):

Convertir el dividendo y el divisor en números enteros. Para esto, se multiplican ambos números por la unidad seguida de tantos ceros como sea la mayor cantidad de decimales que tengan los números. Por ejemplo, imagina que tenemos 278,1 : 2,52. El número con mayor cantidad de decimales es 2,52 que tiene dos decimales, por lo tanto tenemos que multiplicar ambos números por 100:
278,1 × 100 = 27.810
2,52 × 100 = 252
Luego se dividen los dos números obtenidos. En este caso es 27.810 : 252 y el resultado es 110,3. El procedimiento se observa a continuación:

¿Sabías qué?

Los números decimales se pueden escribir como fracciones y viceversa.

Los números decimales en la historia

A comienzos del siglo XV, un matemático árabe organizó el conjunto de los números decimales y sus usos. Un siglo más tarde, Stevin desarrolló números decimales que expresaban las décimas, centésimas, milésimas, etc., pero utilizaba una forma complicada de escritura. Por ejemplo, al número 456,765 lo escribía como 456 (0) 7 (1) 6 (2) 5 (3).

En el siglo XVII, los números decimales se empezaron a escribir con punto o coma para separar la parte entera de la parte decimal del número. En 1792, los decimales se empezaron a utilizar en todos los países al extenderse el Sistema Métrico Decimal.

¡A resolver!

Resuelve las siguientes operaciones:

a) 32,98 + 16,2 =

RESPUESTAS

49,18

b) 1.589 + 6,98 =

RESPUESTAS

1.595,98

c) 2.549,8 – 1.563,89 =

RESPUESTAS

985,91

d) 450,64 – 315,5 =

RESPUESTAS

135,14

e) 1.330,6 + 906,8 =

RESPUESTAS

2.237,4

f) 23,369 – 3,963 =

RESPUESTAS

19,406

g) 190,3 x 15 =

RESPUESTAS

2.854,5

h) 987 x 3,118 =

RESPUESTAS

3.077,466

i) 73,24 x 5,1 =

RESPUESTAS

373,524

j) 14,57 x 8,29 =

RESPUESTAS

120,7853

k) 73,8 : 6 =

RESPUESTAS

12,3

l) 885,6 : 12 =

RESPUESTAS

73,8

m) 5.462,5 : 23 =

RESPUESTAS

237,5

n) 29,095 : 5,29 =

RESPUESTAS

5,5

o) 799,46 : 1,29 =

RESPUESTAS

619,73

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Números decimales”

El siguiente artículo destacado explica que es un número decimal y describe sus diferentes tipos.

VER

Artículo “Operaciones con números decimales”

Este recurso le permite entender cómo están formados los números decimales y cómo resolver las principales operaciones que los involucran.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 3

Polígonos

Podemos observar polígonos en múltiples objetos de nuestro alrededor. Estos son muy diversos y los hay con lados y ángulos iguales o desiguales entre sí. Son elementos fundamentales de la geometría y su conocimiento es esencial en diversos campos del conocimiento, como la ingeniería o la arquitectura.

¿Qué es un polígono?

En geometría, un polígono es una figura geométrica plana delimitada por un número finito de segmentos rectos.

¿Sabías qué?

La palabra “polígono” proviene del griego antiguo que quiere decir “muchos ángulos”.

Los polígonos presentan los siguientes elementos:

Lados: son los segmentos rectos que conforman al polígono.
Vértices: son los puntos en común entre dos lados consecutivos.
Diagonales: son los segmentos que unen a dos lados no consecutivos de un polígono.
Ángulos interiores: están formados por dos lados consecutivos en el interior del polígono.
Ángulos exteriores: están formados en el exterior del polígono entre un lado y la prolongación de otro lado consecutivo.

Polígonos regulares y sus tipos

Un polígono regular tiene lados con la misma longitud. Se caracterizan también porque sus ángulos internos y externos también son iguales. Otra característica es que poseen la misma cantidad de ejes de simetrías que de lados. Las diagonales en este tipo de polígonos tienen la misma longitud y siempre son interiores.

Polígono	Número de lados	Número de diagonales	Medida de cada ángulo interno	Medida de cada ángulo externo
Triángulo equilátero	3	0	60°	120°
Cuadrado	4	2	90°	90°
Pentágono	5	5	108°	72°
Hexágono	6	9	120°	60°
Heptágono	7	14	128,57°	51,43°
Octágono	8	20	135°	45°
Eneágono	9	27	140°	40°
Decágono	10	35	144°	36°
Endecágono	11	44	147,27°	32,73°
Dodecágono	12	54	150°	30°

VER INFOGRAFÍA

El círculo y los polígonos

Todo polígono regular puede estar circunscrito en una circunferencia, lo que quiere decir que cada uno de sus vértices corresponde a un punto de la circunferencia. Mientras más lados tenga el polígono, más se va a aproximar a la forma de la circunferencia. Por esta razón, se asocia a la circunferencia (de forma informal) a un polígono de infinitos lados.

Área de polígonos regulares

Para medir el área de los polígonos es necesario conocer las definiciones de perímetro y apotema.

Perímetro: es la suma de los lados que forman una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, se calcula al multiplicar el número de lados por la longitud de uno de sus lados.

$P= n\times L$

Donde:

P: perímetro
n: número de lados del polígono regular.
L: longitud de uno de los lados del polígono.

Apotema: es la distancia perpendicular desde el centro de un polígono hasta uno de sus lados.

El área de un polígono regular se define como el producto de su perímetro por la apotema (a) dividido entre dos.

$A = \frac{P\times a}{2}$

Donde:

A: área

P: perímetro

a: apotema

– Ejemplo:

Calcular el área de un pentágono cuyos lados miden 6 cm y su apotema es de 4,13 cm.

Lo que debemos hacer es calcular primero el perímetro para luego sustituir en la fórmula junto con la apotema para calcular el área.

$P= n\times L$
$P= 5\times 6\, cm$
$P= 30\, cm$

El perímetro del apotema es 30 cm, al sustituir en la fórmula de área nos queda:

$A = \frac{30\, cm\times 4,13\,cm }{2}$

$A = \frac{123,9\,cm^{2} }{2}$

$A = \mathbf{61,95\, cm^{2}}$

El área del pentágono es de 61,95 cm².

¿Sabías qué?

El Departamento de Defensa de los Estados Unidos es un edificio en forma de Pentágono que mide 140.000 metros cuadrados aproximadamente.

Debido a sus características geométricas, todo polígono regular puede estar inscrito o circunscrito a una circunferencia. Un polígono inscrito tiene todos sus vértices contenidos en la circunferencia. Por otro lado, un polígono circunscrito posee todos sus lados tangentes a la circunferencia. En ambos casos, el centro del polígono coincide con el centro de la circunferencia.

Polígonos irregulares y sus tipos

En los polígonos irregulares se pueden cumplir algunas de estas condiciones:

– Tener sus lados con igual longitud pero sus ángulos internos diferentes.
– Tener sus ángulos de igual medida pero sus lados con diferente longitud.
– Tener sus lados con diferente longitud y sus ángulos internos con diferente medida.

Ejemplos de polígonos irregulares

Rombo

El rombo tiene los cuatro lados con igual longitud pero sus cuatro ángulos internos son diferentes: solo los ángulos opuestos de este polígono son iguales. Por eso se trata de un polígono irregular.

Rectángulo (no cuadrado)

Es un cuadrilátero con sus cuatro ángulos iguales (90°), pero sus lados tienen diferente longitud entre sí. Solo los lados paralelos comparten la misma longitud.

Triángulo (no equilátero)

Todo triángulo con un ángulo interior diferente de 60 grados es un polígono irregular.

Triángulos regulares e irregulares

Según sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos. Los equiláteros son los únicos triángulos que cumplen con las características de un polígono regular. Los triángulos escalenos son aquellos en los que las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos internos son diferentes, por lo tanto no son polígonos regulares. Por otra parte, los triángulos isósceles al contar solo con dos lados y dos ángulos iguales tampoco son considerados como polígonos regulares.

Perímetro de polígonos

Calculamos el perímetro de los polígonos regulares a través de la fórmula planteada anteriormente:

$P= n\times L$

En cambio, en los polígonos irregulares, cuyos lados generalmente son diferentes, esta ecuación no siempre aplica. Para lo cual debemos sumar de forma separada las longitudes de cada uno de los lados.

$P= L_{1}+L_{2}+L_{3}+...+L_{n}$

Por ejemplo, para calcular el perímetro del siguiente triángulo isósceles simplemente sumamos cada una de las longitudes de sus lados.

$P= 60\,\, cm+60\,\, cm+40\,\, cm$

$P= \mathbf{160\,\, cm}$

El perímetro de este triángulo irregular es de 160 cm.

¡A practicar!

1. Determina el perímetro y el área de los siguientes polígonos regulares según los datos mostrados.

a) Un eneágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 9,62 cm.

Solución

P = 63 cm
A = 303,03 cm²

b) Un pentágono regular cuyos lados miden 6 cm y su apotema 4,13 cm.

Solución

P = 30 cm
A = 61,95 cm²

c) Un heptágono regular cuyos lados miden 8 cm y su apotema 8,31.

Solución

P = 56 cm
A = 232,68 cm²

d) Un triángulo regular (equilátero) cuyos lados miden 5 cm y su apotema 1,44 cm.

Solución

P= 15 cm
A = 10,8 cm²

e) Un decágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 4,62 cm.

Solución

P= 30 cm
A = 69,3 cm²

f) Un dodecágono regular cuyos lados miden 4 cm y su apotema 7,46 cm.

Solución

P= 48 cm
A = 179,04 cm²

g) Un hexágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 6,06 cm.

Solución

P= 42 cm
A = 127,26 cm²

h) Un octágono regular cuyos lados miden 2 cm y su apotema 2,41 cm.

Solución

P= 16 cm
A = 19,28 cm²

i) Un endecágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 5,11 cm.

Solución

P= 33 cm
A = 84,315 cm²

j) Un cuadrado cuyos lados miden 4 cm y su apotema 2 cm.

Solución

P= 16 cm
A = 16 cm²

2. ¿A qué polígono con una apotema de 4,33 cm le corresponde un área de 64,95 cm².

a) Un decágono de 2 cm de lado.
b) Un hexágono de 5 cm de lado.
c) Un pentágono de 7 cm de lado.
d) Un octágono de 4 cm de lado.

Solución

b) Un hexágono de 5 cm de lado.

3. ¿Qué polígono irregular tiene sus lados de igual longitud pero sus ángulos internos son diferentes?

a) Círculo
b) Cuadrado
c) Rectángulo
d) Rombo

Solución

d) Rombo

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Perímetro de los polígonos”

Este artículo define qué es un polígono, cuáles son sus clasificaciones y cómo se calcula su el perímetro. También plantea una serie de ejercicios para resolver.

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Artículo “Cuadriláteros”

Este recurso explica los diferentes tipos de cuadriláteros que existen y sus características principales.

VER

Micrositio “Tarjetas Educativas – Geometría y medidas”

En este micrositio se puede encontrar una serie de tarjetas interactivas que resumen los elementos principales de la geometría, como los polígonos y sus principales características.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 2

Ángulos

Los ángulos están presentes en la mayoría de las figuras geométricas y en nuestra vida cotidiana. Se los considera indispensables para realizar cálculos trigonométricos y estudios en balística, arquitectura e ingeniería. De acuerdo a su amplitud, los ángulos se clasifican en varios tipos.

El ángulo y sus elementos principales

Un ángulo es una región del plano comprendida por dos semirrectas que tienen un origen en común. Los elementos de un ángulos son los siguientes:

Vértice: es el punto en común de las dos semirrectas.
Lados: son las dos semirrectas que conforman al ángulo.
Amplitud: es la medida de abertura de los lados de un ángulo. Esta medida usualmente se lee en grados sexagesimales.

¿Sabías qué?

Los ángulos suelen nombrarse con letras del alfabeto griego.

El sistema sexagesimal

Se usa principalmente para medir el tiempo y los ángulos. En este último caso, las unidades que emplea son grados, minutos y segundos. Al dividir un ángulo llano en 180 partes iguales, una de esas partes equivale a un grado (°). Si se divide un grado en sesenta partes iguales, una de esas partes equivale a un minuto (′). Y si el minuto se divide en 60 partes iguales, una de esas partes corresponde a un segundo (″). En resumen:

1° = 60′
1′ = 60″

Observa que este sistema emplea como base el número 60 y de ahí viene el origen de su nombre. El instrumento usado para su medición es el transportador.

VER INFOGRAFÍA

Clasificación de los ángulos

Los ángulos pueden clasificarse en:

Ángulo nulo: cuando mide 0°.
Ángulo agudo: cuando es mayor que 0° pero menor que 90°.
Ángulo recto: cuando mide exactamente 90°.
Ángulo obtuso: cuando es mayor de 90° pero menor que 180°.
Ángulo llano: cuando mide exactamente 180°.
Ángulo completo: cuando mide 360°.

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si al ser sumados el resultado es igual a 90°. Al saber el valor de uno de los ángulos puedes calcular el valor del otro al restar 90° al ángulo conocido.

– Ejemplo:

Se tienen los ángulos complementarios α y β. El valor de β es de 35°. Calcula el valor de α.

Simplemente debes resolver la resta:

$\boldsymbol{\alpha =90^{\circ}-\beta}$

$\boldsymbol{\alpha =90^{\circ}-35^{\circ}}$

$\boldsymbol{\alpha =55^{\circ}}$

Por lo tanto el valor de α es 55°.

Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si al ser sumados el resultado es igual a 180°. Al igual que en el caso anterior puedes determinar el valor de un ángulo de este tipo si conoces el valor de otro y lo restas a 180°.

– Ejemplo:

Se tienen los ángulos suplementarios θ y δ. El valor de θ es de 160°. Calcular el valor de δ.

Resuelve la resta:

$\boldsymbol{\delta =180^{\circ}-\theta}$

$\boldsymbol{\delta =180^{\circ}-160^{\circ}}$

$\boldsymbol{\delta =20^{\circ}}$

El valor de δ es 20°.

Medida de un ángulo

La medición de los ángulos se realiza a menudo a través de un transportador, el cual puede ser de dos tipos: circular o semicircular. El circular mide los 360° de la circunferencia y el semicircular mide los 180°. Ambos transportadores cuentan con una marca en el centro que se debe colocar en el vértice del ángulo a medir. El 0° de la escala debe coincidir con uno de los lados del ángulo y la lectura del ángulo sería la que indica el otro lado en la escala.

Los transportadores suelen presentar dos numeraciones que van en diferentes sentidos según se lea el ángulo: en sentido horario (en el sentido de las manecillas del reloj) o en sentido antihorario.

Existe el convencionalismo de que los ángulos que se miden en sentido horario se consideran positivos mientras que los que se leen en sentido antihorario se consideran negativos. En el ámbito matemático, el enfoque se orienta más a la abertura de los ángulos. Otro dato importante es que aunque los transportadores son útiles, existen otros instrumentos más precisos como el goniómetro.

Los ángulos en las figuras planas

Las figuras planas poseen ángulos interiores y ángulos exteriores. Los ángulos interiores, como su nombre lo indica, se ubican en el interior de la figura, mientras que los exteriores se ubican entre un lado de la figura y el otro lado siguiente. Por ejemplo:

Cálculo de ángulos internos en triángulos

Los ángulos interiores de los triángulos siempre suman 180°. De manera que si conoces la medida de dos de sus ángulos internos puedes calcular la medida del tercero. Lo único que debes hacer es restar los valores de los ángulos conocidos a 180°. Por ejemplo:

– Calcula el valor del ángulo θ.

Como ya sabes, la sumas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°, entonces, si restas los valores de los ángulos conocidos a 180° obtendrás el valor de Θ:

$\boldsymbol{\theta = 180^{\circ}-\alpha -\beta}$
$\boldsymbol{\theta = 180^{\circ}-65^{\circ} -67^{\circ}}$
$\boldsymbol{\theta = 48^{\circ}}$

El valor del ángulo θ es 48°.

¿Sabías qué?

La suma de los ángulos externos de un triángulo es igual a 360°.

Cálculo de ángulos internos en cuadriláteros

En el caso de los cuadriláteros se cumple que la suma de sus cuatro ángulos internos siempre es igual a 360°. De acuerdo al tipo de cuadrilátero el valor del ángulo puede variar. Por ejemplo, en el caso del cuadrado y del rectángulo sus cuatro ángulos internos son iguales y miden 90°. En el caso del rombo y del romboide sus ángulos opuestos son iguales. Si el trapecio es rectángulo posee dos ángulos consecutivos que miden 90°. Si es isósceles tiene los ángulos adyacentes a la base mayor con la misma medida y si el trapecio es escaleno ninguno de sus ángulos mide lo mismo.

Los trapezoides son otro tipo de cuadrilátero con el valor de cada uno de sus ángulos internos diferentes. En resumen:

Figuras	Características
	El cuadrado y el rectángulo tienen ángulos internos iguales y miden 90°.
	El rombo tiene todos sus ángulos iguales (pero son agudos, es decir, menores a 90°). El romboide presenta cada par de ángulos opuestos con la misma medida.
	El trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos (miden 90° cada uno). El trapecio isósceles presenta los ángulos adyacentes a la base mayor con la misma medida. El trapecio escaleno presenta todos sus ángulos con diferente medida.
	El trapezoide no posee ningún ángulo con la misma medida.

Para calcular ángulos en un cuadrilátero simplemente tenemos que restar los ángulos conocidos a 360°.

– Ejemplo:

Calcula el valor del ángulo ε de la siguiente figura.

$\boldsymbol{\varepsilon =360^{\circ}-\delta -\theta -\rho}$

$\boldsymbol{\varepsilon =360^{\circ}-88^{\circ} -77^{\circ} -80^{\circ}}$

$\boldsymbol{\varepsilon =115^{\circ}}$

El valor del ángulo ε es 115°.

En los polígonos regulares los ángulos internos miden igual. Para calcular su valor se emplea la ecuación (*n − 2) × 180°/n* donde n es el número de lados que presenta el polígono. Por ejemplo, para un pentágono se sustituye la n por el número 5 que corresponde al número de sus lados y se obtiene que (5 − 2) × 180°/5 = 108°, lo que quiere decir que cada uno de los ángulos internos de un pentágono mide 108°.

¡A practicar!

1. ¿Qué tipo de ángulo observas?

Solución

Ángulo obtuso.

Solución

Ángulo llano.

Solución

Ángulo recto.

Solución

Ángulo agudo.

2. Calcula el valor del ángulo γ.

Solución

γ = 55°

3. Calcula el valor del ángulo θ.

Solución

θ = 70°

4. Calcula el valor del ángulo φ.

Solución

φ = 58°

5. Calcula el valor del ángulo β.

Solución

β = 105°

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ángulos en triángulos. Resolución mediante ecuaciones”

El artículo explica los diferentes tipos de ángulos y cómo determinarlos a través de ecuaciones. También muestra una serie de ejemplos y ejercicios relacionados al tema.

VER

Artículo “Ángulos”

Este artículo plantea de forma resumida lo relacionado con los ángulos, como la manera de nombrarlos, su clasificación y el uso del transportador.

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Video “Tipo de triángulos según sus ángulos”

En el video se muestra la manera de clasificar los triángulos a partir de los ángulos y muestra ejemplos gráficos de cada uno de ellos.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 1

Elementos geométricos

El punto, la recta y el plano representan los cimientos de la geometría. Seguramente, muchos otros conceptos no podrían ser definidos sin ellos y por tal motivo son tan importantes. Cada uno está relacionado: infinitos puntos forman una recta, infinitos puntos y rectas forman un plano e infinitos puntos, rectas y planos forman el espacio.

El punto

El punto es el objeto más pequeño del espacio, por tanto no tiene longitud, área o volumen. Es adimensional, lo que quiere decir que no tiene dimensiones.

Una de las funciones del punto es describir la posición en un sistema de coordenadas como el cartesiano.

¿Sabías qué?

Los puntos se nombran con letras mayúsculas del abecedario, por ejemplo: A, B, C, D, etc.

Entes fundamentales de la geometría

Se denominan así a los entes que por sí solos no tienen definición y se comprenden a partir de las características de elementos similares. La mayoría de las personas tiene noción de lo que cada uno representa. Los entes fundamentales en la geometría son el punto, la recta y el plano.

La recta y sus tipos

Una recta es un tipo de línea que se extiende en una misma dirección y está formada por infinitos puntos. Por esta razón, la recta tiene longitud pero no anchura. En geometría, las rectas se suelen denominar con letras minúsculas.

De acuerdo a su posición en el plano, las rectas pueden ser paralelas, perpendiculares y secantes.

¿Sabías qué?

Entre dos puntos, solamente existe una recta que los une.

Rectas paralelas

Son rectas que no tienen ningún punto en común, es decir, nunca se interceptan. Para la construcción de este tipo de rectas se emplean la regla, la escuadra y el compás. En el siguiente ejemplo la recta a es paralela a la recta b.

Un ejemplo de rectas paralelas son los lados opuestos de un cuadrilátero como el cuadrado.

VER INFOGRAFÍA

Rectas secantes

Son aquellas que se interceptan en un punto en común y forman cuatro ángulos internos. Las rectas c y d son secantes.

Un ejemplo de rectas secantes son dos calles que se interceptan en un punto en común.

Rectas perpendiculares

Son aquellas rectas secantes que al cortarse forman cuatro ángulos iguales, específicamente rectos (de 90°). Estas rectas dividen al plano en cuatro regiones. Las rectas e y f son perpendiculares entre sí.

Un ejemplo de rectas perpendiculares son los ejes del plano cartesiano.

La recta es un tipo de línea pero no es la única, existen líneas curvas, quebradas y mixtas. Además de su empleo en la geometría, los diferentes tipos de líneas son recursos usados por artistas plásticos y diseñadores gráficos en sus trabajos para proporcionar expresividad gráfica, dinamismo y movimiento. También son útiles para crear planos y texturas.

Otros conceptos relacionados

Semirrecta

Todo punto que pertenece a una línea recta la divide en dos partes denominadas semirrectas. Las semirrectas también son llamadas rayos y contienen infinitos puntos como la recta. La diferencia es que una recta no tiene origen y una semirrecta sí lo tiene.

Segmento

Corresponde a la parte de una recta que se encuentra delimitada entre dos de sus puntos, cada uno de ellos es denominado extremo. Los segmentos se escriben a través de la escritura sin espacio de sus extremos y con una raya horizontal en la parte superior. En el siguiente ejemplo, la figura corresponde al segmento $\overline{PQ}$ .

El plano

Es un ente ideal que posee dos dimensiones (bidimensional). Se suele representar con letras del alfabeto griego. En geometría, un plano queda definido cuando se cumplen algunas de las siguientes condiciones:

Tres puntos no alineados.
Dos rectas que son paralelas.
Dos rectas secantes.

Un plano contiene infinitas rectas y puntos. En el siguiente ejemplo se puede observar un ejemplo de plano.

Otro ejemplo de plano sería la parte superior de una mesa.

Con el propósito de facilitar su gráfica y simplificar su visualización, los planos suelen representarse como una figura delimitada con bordes irregulares. Sin embargo, un plano contiene infinitos puntos, por lo tanto, al igual que sucede con la recta, sería imposible representarlo completamente, así que se muestra una pequeña porción de su superficie.

El plano cartesiano

Es un sistema de coordenadas desarrollado por el célebre matemático René Descartes en el siglo XVII. Permite asignar ubicación a cualquier punto del plano. Este sistema cuenta con dos ejes numerados que permiten localizar las coordenadas de los puntos. Un eje vertical denominado eje Y o de las ordenadas muestra las coordenadas en Y de un punto, y un eje horizontal denominado eje X o de las abscisas indica las coordenada en X de un punto.

¡A practicar!

1. Observa la siguiente imagen y responde qué tipo de rectas son las indicadas.

a) Las rectas e y h.

Solución

Secantes.

b) Las rectas d y g.

Solución

Secantes perpendiculares.

c) Las rectas e y f.

Solución

Paralelas.

d) Las rectas h y f.

Solución

Secantes.

2. De acuerdo al contenido explicado responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántos puntos no alineados definen a un plano?

Solución

b) ¿Qué diferencia tiene una recta de una semirrecta?

Solución

La semirrecta tiene un origen y la recta no.

c) ¿De qué medida son los ángulos formados por dos rectas perpendiculares?

Solución

90°

d) ¿En cuántos puntos se intersectan dos rectas paralelas?

Solución

En ningún punto.

e) ¿Cuáles entes fundamentales de la geometría suelen nombrarse con letras del alfabeto griego?

Solución

Los planos.

f) ¿Cómo se denominan a los puntos que forman un segmento?

Solución

Extremos.

g) ¿Qué tipo de ente fundamental de la geometría tiene longitud pero no anchura?

Solución

La recta.

h) ¿Qué tipo de ente fundamental de la geometría no tiene dimensiones?

Solución

El punto.

i) ¿Con qué otro nombre se denominan las semirrectas?

Solución

Rayos.

j) ¿Quién inventó el sistema cartesiano?

Solución

René Descartes.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Determinación de rectas y puntos notables de los triángulos”

El artículo explica cuáles son las rectas y puntos notables que presentan los triángulos y qué características geométricas poseen.

VER

Micrositio “Tarjetas educativas – Geometría y medidas”

En este micrositio podrá encontrar una variedad de tarjetas que resumen los elementos principales de la geometría como el punto, la recta y las principales figuras geométricas.

VER

Artículo “Las rectas en el plano”

El artículo explica la clasificación de las rectas según su posición en el plano y muestra cómo graficar cada una de ellas mediante el uso de regla, escuadra y compás.

VER

CAPÍTULO 6 / TEMA 1

Recursos para representar datos

Hay veces en las que los datos por sí solos no nos proporcionan ninguna información, pero al representarlos de manera gráfica podemos comprender mejor lo que significan. Por esta razón, en matemática y en estadística se suelen usar gráficos, diagramas y tablas para mostrar los valores.

Pictogramas

Son gráficos que emplean dibujos para representar los datos. Estos recursos visuales permiten una rápida comprensión de los datos porque usan símbolos o imágenes.

En matemática se pueden representar en varias formas:

Gráfico de barras con pictogramas

Gráfico de tablas con pictogramas

En ambos ejemplos se representa el número de goles que han hecho Juan, David, Tobías y Mario. Cada imagen de referencia representa los goles de cada uno. De esta forma, Juan metió 5 goles, David 3 goles, Tobías 4 goles y Mario 1 gol.

En este caso es fácil observar que la persona que hizo más goles fue Juan y quien hizo menos fue Mario. No hacen faltan los números ni contar porque los datos se ven fácilmente a través del gráfico.

¿Sabías qué?

A los pictogramas también se los denomina gráficos de imágenes.

VER INFOGRAFÍA

Tablas

Las tablas son otro recurso usado para representar datos. Por lo general, en las tablas se usan datos cualitativos y datos cuantitativos. Los datos cualitativos indican las características de algo, como nombre, tamaño o color. Los datos cuantitativos expresan la cantidad.

En el caso del ejemplo anterior del número de goles, podemos representarlo en formato de tabla de la siguiente manera:

Nombre	Número de goles
Juan	5
David	3
Tobías	4
Mario	1

Los datos cualitativos son los nombres y los datos cuantitativos son el número de goles.

Observa que en una tabla los datos se organizan en filas y columnas, las filas son las hileras horizontales y las columnas son las hileras de datos verticales de una tabla.

Por ejemplo, si queremos saber el número de goles que hizo Tobías debemos ubicar su nombre y luego movernos en esa fila hasta la columna de número de goles, de esa manera sabemos que Tobías hizo 4 goles.

La estadística y los gráficos

La estadística es una rama de la matemática que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos con el propósito de establecer comparaciones que permitan entender el problema que se estudia. Los gráficos y tablas son tan importantes para la estadística como lo son el plano, la recta y el punto para la geometría.

Gráficos de barra

Son un tipo de diagrama que permite la representación de datos a través de columnas, por eso también se los conocen como gráficos de columnas. La longitud de cada barra o columna es completamente proporcional al valor que representan. Es por ello que se suelen representar con una escala numérica como referencia.

Seguimos con el mismo ejemplo del número de goles, pero esta vez representado en un gráfico de barras:

Observa que los tamaños de las barras son proporcionales a la cantidad que representa. La barra más grande es la del valor más grande y la más chica corresponde al valor más pequeño. Si queremos saber cuál es el valor representado por la gráfica solo tenemos que fijarnos en el tope de la barra y leer el número que indica la escala.

Los gráficos estadísticos además de proporcionar una rápida y fácil comprensión de los datos, también permiten realizar un mejor análisis. Muchas empresas emplean gráficos con el propósito de realizar proyecciones o estimaciones. En los medios de comunicación es frecuente observar gráficos para representar encuestas o resultados electorales.

¿Qué importancia tiene representar los datos gráficamente?

Imagina que se obtienen los datos de todos los vuelos internacionales que se hicieron en un país en los últimos veinte años, en efecto, serían demasiados números para interpretar, y si se quisieran comparar esos datos a simple vista no sería nada sencillo. Es por ello que se emplean gráficos, no solo para facilitar la comprensión sino también para organizar los datos de una manera más clara.

Las computadoras y muchos otros equipos como las calculadoras modernas, permiten realizar gráficos de manera sencilla. Gracias a los gráficos es posible realizar promedios, proyecciones y análisis. Por esto y más, son una herramienta muy útil en la actualidad.

Las economías de los países, el valor de las acciones en la bolsa y el precio del petróleo son algunos parámetros que suelen ser representados en gráficos para una rápida comprensión. Los gráficos son herramientas visuales que permiten organizar los datos de una manera más clara. Es común que el tipo de gráfico dependa del tipo de datos que se deseen representar.

¡A practicar!

1. Observa la siguiente imagen que muestra los trofeos que ganó una escuela y responde las siguientes preguntas.

a) ¿Qué tipo de gráfico es?

Solución

Pictograma.

b) ¿Cuántos trofeos obtuvo la escuela en el año 2020?

Solución

c) ¿En qué año la escuela obtuvo el mayor número de trofeos ?

Solución

2019

d) ¿En qué año la escuela obtuvo únicamente un trofeo?

Solución

2018

2. El siguiente gráfico muestra los libros prestados en una biblioteca durante una semana. Observa el gráfico y responde las preguntas.

a) ¿Qué tipo de libro se prestó más en esa semana?

Solución

Biología.

b) ¿Cuántas novelas se prestaron?

Solución

c) ¿Cuántos libros de arte se prestaron?

Solución

d) ¿De qué tipo de libro la biblioteca prestó solo 3 libros?

Solución

Idiomas.

3. Observa la siguiente tabla que muestra los animales en una granja y responde las preguntas.

Animales	Cantidad en una granja
Vaca	5
Perro	2
Gato	1
Caballo	3
Gallina	10
Oveja	15

a) ¿De cuál animal hay más cantidad en la granja?

Solución

Oveja.

b) ¿Cuántas gallinas hay?

Solución

c) ¿Cuántos perros hay?

Solución

d) ¿De cuál animal hay menos cantidad en la granja?

Solución

Gato.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Gráficos estadísticos”

Este artículo describe los principales gráficos usados en la estadística para representar datos. También explica las principales características de cada uno.

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Artículo “Estadística”

Este artículo expone una breve reseña del objeto de estudio de la estadística como rama de la matemática, y de igual forma explica cómo es el proceso de recolección y análisis de datos.

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Artículo “Estadística: tabla de valores”

Este artículo explica las características de una tabla de valores y sus aplicaciones en la estadística, y proporciona unos ejemplos para comprender el texto.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 1

Unidades de medición

Podemos medir muchas cosas como la altura de un edificio, el tiempo que tardamos en llegar a un lugar o el volumen de una pelota. Todo esto es posible gracias a las unidades de medición, que son referencias convencionales de una magnitud física. Las magnitudes más comunes son la longitud, el área, el volumen y el tiempo.

Longitud

Es una magnitud física que permite medir la distancia entre dos puntos, como la distancia que hay entre la casa y la escuela. Una de las unidades de longitud más aceptada es el metro (m). El metro puede multiplicarse varias veces sobre sí mismo para formar unidades mayores o múltiplos y también puede dividirse varias veces en partes iguales para formar unidades más pequeñas de referencia denominadas submúltiplos. Por ejemplo:

El kilómetro (km) es un múltiplo del metro porque equivale a 1.000 veces su tamaño.
El centímetro (cm) es un submúltiplo porque equivale a la centésima parte de un metro.

No es tan reciente

El metro como unidad de medida de longitud se empezó a utilizar durante la Revolución francesa, a finales del siglo XVIII, sin embargo, se oficializó 100 años después cuando la Comisión Internacional de Pesos y Medidas lo definió como la distancia que existía entre dos marcas ubicadas en una barra de platino e iridio. Hoy día, el metro es definido como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante 1/299792458 de segundo.

Área o superficie

Es una magnitud que mide la extensión o superficie de una figura, por ejemplo, la superficie total del piso de una casa o de un campo de fútbol. Mientras mayor sea la región encerrada por una figura mayor será su área. Las unidades de medida comúnmente se expresan elevadas al cuadrado como el metro cuadrado (m²), el kilómetro cuadrado (km²) o el centímetro cuadrado (cm²).

Volumen

Es un tipo de magnitud que mide el espacio que ocupa un cuerpo: a mayor volumen, mayor será el espacio que ocupe. Las unidades de medidas más usadas son las elevadas al cubo como el metro cúbico (m³) y el centímetro cúbico (cm³).

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?

Se estima que el volumen total del agua en la Tierra es de 1.386 millones de kilómetros cúbicos (km³).

Tiempo

Es una magnitud física que permite medir la duración o separación de acontecimientos. Gracias al tiempo podemos medir cuánto dura un partido de fútbol o conocer qué pasó al comienzo o al final de una película.

Las medidas de tiempo más usadas son el segundo, el minuto y la hora.

Aunque no se sabe con exactitud cuándo se inventó el reloj mecánico, existen datos históricos que permiten estimar su invención en el siglo XIII. Los relojes de este tipo empleaban un sistema de ruedas giratorias que, por medio de un conjunto de pesas, ponían en movimiento a las manecillas. Este tipo de relojes anticipó a los modelos actuales.

Sistema Internacional de unidades (SI)

Es un sistema que busca la unificación de las unidades de medida usadas en diferentes países. A pesar de que la mayoría de ellos lo han adoptado como sistema de medida oficial, existen algunos que manejan sus propias unidades. Fue creado en 1960, en la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en Francia.

Algunas unidades aceptadas por el Sistema Internacional de Medidas

Magnitud física	Unidad	Símbolo
Longitud	Metro	m
Volumen	Metro cúbico	m³
Área	Metro cuadrado	m²
Tiempo	Segundo	s
Masa	Kilogramo	kg
Temperatura	Kelvin	K

Unidades de medida extranjera

Muy pocos países no han adoptado al Sistema Internacional de Unidades como sistema de medida. De hecho, solo tres naciones no lo han declarado oficial en sus legislaciones: Estados Unidos, Liberia y Myammar.

Las unidades de medidas del Sistema Internacional no han sido las únicas empleadas en la medición. En la actualidad podemos usar otras, como las pulgadas, empleadas particularmente para identificar tornillos y medir pantallas de monitores y celulares.

El petróleo, por ejemplo, se suele medir en barriles y la mayoría de los biberones vienen graduados en onzas. Hay otras unidades de medidas usadas para fines específicos como la hectárea y el acre, empleadas para medir áreas de superficies.

Equivalencias de interés

1 pulgada = 2,54 centímetro
1 barril = 159 litros aproximadamente
1 onza = 28,35 gramos
1 hectárea = 10.000 metros cuadrados
1 acre = 4.046,86 metros cuadrados

Unidades de medidas usadas por los pueblos originarios

Nuestros pueblos originarios no eran la excepción si de medir las cosas se trataba. De hecho, cada una de las grandes civilizaciones precolombinas utilizaban unidades de medidas propias.

Los mayas tenían conocimientos avanzados en el campo de la astronomía, lo que les permitió elaborar su calendario por medio de medidas de tiempo propias. Gracias a esto, ellos podían calcular las estaciones y planificar el tiempo de las cosechas.

En el otro extremo del continente, los incas ya tenían un sistema de numeración propio: los quipus, que les permitieron realizar diversos cálculos matemáticos. En el campo de la medición, esta civilización también empleaba sus propias unidades: por ejemplo, para medir longitudes usaban partes del cuerpo como referencia, como la rikra, que consistía en la distancia de los dos dedos pulgares con los brazos extendidos en sentido horizontal.

Las antiguas civilizaciones emplearon sus propios sistemas de medición de unidades de tiempo, de longitud y de volumen. Había sistemas más precisos que otros pero todos servían para realizar diversas tareas, desde las más simples (como contabilizar o medir volúmenes de agua) hasta las más complejas (como la construcción de grandes edificaciones, templos y acueductos).

VER INFOGRAFÍA

¡A practicar!

1. ¿Cuál es la medida usada por el Sistema Internacional de Medidas para medir la longitud?

a) Kilómetro.

b) Centímetro.

c) Metro cúbico.

d) Metro.

Solución

d) Metro.

2. ¿Qué magnitud permite medir la duración de un acontecimiento?

a) El tiempo.

b) El volumen.

c) El área.

d) La longitud.

Solución

a) El tiempo.

3. ¿A qué unidad de medida representa el símbolo m³?

a) Segundo.

b) Milímetro cuadrado.

c) Metro cúbico.

d) Superficie cúbica.

Solución

c) Metro cúbico.

4. ¿En qué año se creó el Sistema Internacional de Medidas?

a) 1960.

b) 1540.

c) 2001.

d) 1998.

Solución

a) 1960.

5. ¿Cuál de estos países no emplea de manera oficial el Sistema Internacional de Medidas?

a) Argentina.

b) Rusia.

c) Italia.

d) Estados Unidos.

Solución

d) Estados Unidos.

6. ¿Cuál de las siguientes opciones se considera una unidad extranjera?

a) Metro.

b) Kilogramo.

c) Acre.

d) Centímetro cuadrado.

Solución

c) Acre.

7. Una hectárea mide __________.

a) 10 metros.

b) 5 centímetros cúbicos.

c) 10.000 metros cuadrados.

d) 20 segundos.

Solución

c) 10.000 metros cuadrados.

8. ¿Qué civilización americana usaba la rikra como medida de longitud?

a) Inca

b) Maya

c) Azteca

d) Olmeca

Solución

a) Inca

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sistemas de medición”

Este artículo explica qué es un sistema de medición ,así como también algunas unidades de medida y sus instrumentos de medición.

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Artículo “Sistema Internacional de Unidades”

Este artículo destacado explica por qué se formó el Sistema Internacional de Unidades y describe las principales unidades que lo componen.

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Artículo “Volumen y capacidad: aplicaciones”

Este artículo explica qué es el volumen y la capacidad, así como sus unidades de medidas y transformaciones básicas en problemas cotidianos.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 3

El tiempo

El tiempo es una magnitud física que permite llevar un orden de los sucesos. En otras palabras, gracias al tiempo podemos distinguir lo que pasó la semana pasada, ayer u hoy. En la actualidad, para determinar el tiempo usamos sistemas que dividen los días en 24 horas. Por medio de los relojes podemos conocer en qué hora del día estamos.

Lectura del tiempo

El ser humano siempre ha sentido la necesidad de medir el tiempo, ya sea para la duración de acontecimientos o para establecer separaciones de sucesos. Por eso, a lo largo de la historia han existido una serie de calendarios basados principalmente en ciclos lunares o solares.

Algunos calendarios son más precisos que otros, pero todos buscan una sola cosa: tener noción del tiempo.

VER INFOGRAFÍA

Unidades de tiempo

Las unidades de tiempo más comunes son la hora, el minuto y el segundo, donde se cumple que:

1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos

Sin embargo, existen otras unidades para medir el tiempo:

1 día = 24 horas
1 semana = 7 días
1 año común = 365 días
1 año bisiesto = 366 días
1 lustro = 5 años
1 década = 10 años
1 siglo = 100 años
1 milenio = 1.000 años

Los relojes

Son instrumentos usados para medir el tiempo. A lo largo de la historia han pasado de ser relojes solares y de arena, a relojes cada vez más sofisticados como los relojes inteligentes de hoy en día. Los más usados en la actualidad son los relojes analógicos y los digitales.

¿Cómo leer la hora en relojes analógicos?

Una reloj analógico se caracteriza por tener agujas o manecillas que indican las horas, los minutos y los segundos a través de ciertos marcadores y números. Los elementos de un reloj analógico son los siguientes:

Las manecillas: son las agujas que marcan las horas, minutos y segundos. La más chica de ellas indica la hora y se denomina horario; la aguja grande más larga indica los minutos y se denomina minutero; la aguja más fina y que va más rápido indica los segundos y se denomina segundero.
Marcadores: son las doce partes en las que está dividida la circunferencia del reloj. Estas partes están rotuladas con los números del 1 al 12 y cada una, a su vez, está dividida en cinco subdivisiones más pequeñas marcadas con segmentos de rectas.

¿Sabías qué?

Existen relojes digitales que imitan a los relojes analógicos por contener agujas en pantallas LCD. Debido a su formato también son considerados relojes analógicos.

El horario tarda 12 horas en dar la vuelta completa, de manera que en un día tiene que realizar dos vueltas completas. El minutero tarda 60 minutos que equivalen a 1 hora en dar la vuelta completa, y el segundero tarda 60 segundos en dar una vuelta completa que equivalen a 1 minuto.

Cuando el minutero se encuentra en el número 12 significa que han transcurrido 0 minutos de la hora que marca el horario, por lo tanto, al leer la hora indicada y agregamos la expresión “en punto“. Por ejemplo:

El reloj muestra las ocho en punto.

El reloj muestra las dos en punto.

Como ya vimos, el reloj está dividido en 12 secciones y cada una de ellas está subdivide en cinco, es decir, el reloj está dividido en 60 partes iguales que equivalen a cada minuto contenido en una hora. Quiere decir que si partimos del número 12 y miramos solamente los segmentos donde aparecen marcados los números, notaremos como los minutos se incrementan de cinco en cinco.

En este sentido, si el minutero se encuentra sobre el número 1, significa que han pasado 5 minutos; si se encuentra en el número 2 indica que pasaron 10 minutos y así sucesivamente hasta el número 12 que indica que no ha pasado ningún minuto aún. Para leer la hora en estos casos, decimos la hora marcada por el horario y luego leemos los minutos.

El reloj muestra las ocho y cinco minutos.

El reloj muestra las diez y veinticinco minutos.

¿Sabías qué?

Cuando el horario se encuentra entre dos números, la hora que indica corresponde al número menor de los dos.

Cuando el minutero está en el número 3, 6 y 9, la hora se suele mencionar de manera particular.

– Cuando el minutero está en el 3 indica que han transcurrido 15 minutos, es decir una cuarta parte de lo que dura una hora. Por eso, después de decir la hora agregamos la expresión “…y cuarto”.

El reloj muestra las once y cuarto.

– Cuando el minutero está en el 6 significa que han pasado 30 minutos, es decir, la mitad de una hora, por eso decimos “…y media”.

El reloj muestra las nueve y media.

– Cuando el minutero está en el 9 han pasado 45 minutos lo significa que falta un cuarto de hora (quince minutos) para la hora siguiente. Por eso decimos “un cuarto para…” y luego la hora próxima.

El reloj muestra un cuarto para las siete.

En algunos países en lugar de decir “un cuarto para” se lee la hora próxima y se agrega la expresión “menos cuarto”. En este sentido, el ejemplo anterior se leería como “las siete menos cuarto”.

Para otros casos, se lee la hora mostrada por el horario y luego los minutos indicados por el minutero.

¿Cómo leer la hora en relojes digitales?

En el reloj digital no se observan manecillas sino que expresa la hora y los minutos separados por dos puntos. Las primeras dos cifras corresponden a las horas y las dos cifras que se encuentran a la derecha de los dos puntos indican los minutos.

La lectura es similar a la de los relojes analógicos, la diferencia es que la hora y los minutos se observan de manera más directa. Primero leemos la hora y después los minutos

En los casos a los cuales aplique se agregan las expresiones “…en punto”, “…y cuarto”, “…y media” y “un cuarto para…”.

Son las ocho en punto.

Son las ocho y cuarto.

Son las ocho y media.

Son un cuarto para las nueve.

Son las ocho y treinta y cinco minutos.

VER INFOGRAFÍA

Las abreviaturas a. m. y p. m.

Son abreviaturas que suelen aparecer en los relojes digitales. La abreviatura a. m. significa que la hora leída corresponde a antes del mediodía, mientras que p. m. se usa para indicar las horas después del mediodía.

Sistema horario de 24 horas

El sistema usado por los relojes analógicos es de 12 horas. Por lo tanto tiene que completar dos ciclos para cubrir un día. El sistema de 24 horas lleva este nombre porque divide al día en las 24 horas totales que lo conforman. Por eso no necesita de las siglas a. m. y p. m. En este sistema las 00:00 horas o 00:00 h corresponden a las 12 a. m., hora desde la cual se empiezan a contar las horas de manera ascendente. En esta convención de tiempo el día se mide de medianoche a medianoche.

Formato 24 horas	Formato 12 horas
00:00 h	12:00 a. m.
01:00 h	01:00 a. m.
02:00 h	02:00 a. m.
03:00 h	03:00 a. m.
04:00 h	04:00 a. m.
05:00 h	05:00 a. m.
06:00 h	06:00 a. m.
07:00 h	07:00 a. m.
08:00 h	08:00 a. m.
09:00 h	09:00 a. m.
10:00 h	10:00 a. m.
11:00 h	11:00 a. m.
12:00 h	12:00 m.
13:00 h	01:00 p. m.
14:00 h	02:00 p. m.
15:00 h	03:00 p. m.
16:00 h	04:00 p. m.
17:00 h	05:00 p. m.
18:00 h	06:00 p. m.
19:00 h	07:00 p. m.
20:00 h	08:00 p. m.
21:00 h	09:00 p. m.
22:00 h	10:00 p. m.
23:00 h	11:00 p. m.

El sistema de 24 horas es usado en diversas áreas, de hecho, en algunos países se ha estandarizado como sistema de notación del tiempo. Es común su empleo en el área militar y en el de la astronomía. También suele usarse en áreas como la medicina para llevar registros de la historia clínica de los pacientes. Otros usos se dan en aeropuertos y otras terminales de transportes.

¡A practicar!

1. ¿Qué hora indican los relojes?

Solución

Son las once y cinco minutos.

Solución

Son las once y media.

Solución

Son las ocho y cuarto.

Solución

Son las tres y media

2. ¿Qué hora observas en estos relojes?

Solución

Son las tres y veinte minutos.

Solución

Son las diez en punto.

Solución

Son las once y cuarto.

3. ¿A qué hora del sistema de 12 horas corresponde?

a) Las ocho y treinta y cinco minutos.

b) Las treinta y cinco para las diecinueve.

c) Las nueve y media.

d) Las seis y treinta y cinco minutos.

Solución

d) Las seis y treinta y cinco minutos.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Medidas de tiempo”

Este artículo describe las principales unidades de tiempo y propone una serie de operaciones que se pueden realizar con unidades de tiempo.

VER

Artículo “Reloj de arena”

El presente artículo destacado describe a este sencillo pero asombroso invento que utilizaban nuestros antepasados para medir el tiempo.

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Artículo “Los calendarios”

Este artículo describe el origen de los calendarios y las característica del calendario gregoriano, uno de los más usados hoy en día. También explica otros tipos de calendarios que han sido utilizados por diversas culturas como la maya y la egipcia.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 2

Instrumentos de medición

Si hay algo que los seres humanos hemos necesitado desde siempre es tomar mediciones: las personas medimos desde las raciones de comida, hasta los grandes territorios. Los instrumentos de medición permiten conocer las cantidades de diferentes magnitudes como la longitud, el volumen, el tiempo, etc. Las unidades de medida son una referencia y pueden ser convencionales o no.

Características de los principales instrumentos de medición

Un instrumento de medición presenta las siguientes características:

Cota inferior: corresponde al valor mínimo de la magnitud que puede medir el instrumento.
Cota superior: corresponde al valor máximo que puede medir el instrumento.
Sensibilidad: corresponde a la mínima variación de la magnitud que puede detectar el instrumento.
Exactitud: corresponde a la capacidad del instrumento de acercarse al valor real de la magnitud leída.
Fiabilidad: corresponde a qué tan consistente sea la medición del instrumento, es decir, que el instrumento pueda medir la misma cantidad en las mismas condiciones y en diferentes ocasiones.

El termómetro de mercurio es un instrumento que en la actualidad comienza a estar en desuso en el área de la salud por los riesgos de toxicidad, sin embargo, en el pasado era usado para medir la temperatura corporal. Su cota inferior suele ser de 35 °C y su cota superior suele estar en los 42 °C. Quiere decir que puede medir valores entre esas dos temperaturas.

Calidad de medición

Hay instrumentos con mayor precisión y sensibilidad que otros, por lo tanto presentan mayor exactitud. Por ejemplo, las balanzas se usan para medir la masa de los cuerpos. En un mercado se usan balanzas convencionales con una cota inferior de 1 gramo y en lugares como laboratorios y fábricas pueden usar balanzas tan sensibles que permiten obtener lecturas muy pequeñas como 0,00001 g.

Para que tengas una idea, la masa de un grano de arroz es de 0,03 gramos y las balanzas de un laboratorio pueden medir cantidades 1.000 veces menores que eso, ¡increíble!

VER INFOGRAFÍA

Instrumentos de medición comunes en la escuela

En la escuela solemos usar instrumentos para medir longitudes de las cosas, como la regla o una escuadra. La longitud es una magnitud que permite medir distancias entre dos puntos, con ella podemos medir el tamaño de una recta o el de los lados de una figura geométrica.

Las reglas y escuadras que usamos en la escuela tienen una escala graduada en centímetros y milímetros. Cada centímetro está dividido en milímetros. Pueden estar construidas de materiales como metal, plástico o madera y pueden ser flexibles o rígidas. Las escuadras además de medir longitudes sirven para construir rectas paralelas y perpendiculares.

Otro instrumento de medición usado en la escuela es el transportador, que sirve para medir ángulos, presenta su escala en grados y es muy usado en disciplinas como la arquitectura y el dibujo técnico.

¿Sabías qué?

Hay dos tipos de transportador, el circular que se encuentra graduado de 0° a 360° y el semicircular que está graduado de 0° a 180°.

Cuando usamos el reloj, medimos el tiempo que ha transcurrido. Las unidades de tiempo se expresan en segundos minutos y horas. Hay otros instrumentos de medición de tiempo como el cronómetro, por ejemplo, que suele ser usado por los entrenadores para evaluar el desempeño de los deportistas.

Unidades de medidas no convencionales

Todas las unidades de medida son una referencia para medir la cosas. Hay unidades convencionales que se usan en gran parte del mundo, como el metro para medir la longitud o el segundo para medir el tiempo, pero también hay otras que podemos usar para medir de una manera menos convencional y que nos permiten establecer comparaciones, como nuestras manos, dedos o pies.

Podemos usar nuestra mano como unidad de medida para medir la longitud de un cuaderno, simplemente tenemos que ver cuántas veces ese patrón de medida se encuentra en el objeto. Incluso podemos usar otros objetos como un lápiz como referencia de medida. En este caso se habla de unidades no convencionales porque no pertenecen al Sistema Internacional de Unidades.

Por ejemplo:

– El cuaderno mide dos manos y media.
– El lápiz mide seis dedos.

La pulgada y los reyes

A lo largo de la historia se ha usado la pulgada como unidad de longitud. La pulgada era empleada por los monarcas, quienes empleaban la medida desde el nudillo del pulgar hasta el extremo del dedo. Este sistema de medida tuvo muchos inconvenientes porque no todos los reyes tenían el mismo tamaño de falanges, y existían pulgadas de diferentes medidas, lo que generaba confusión.

Por razones como esas, los sistemas de medición se unificaron en sistemas más homogéneos como el Sistema Internacional de Medidas. En la actualidad hay países como Estados Unidos que aún emplean la pulgada como medida de longitud que equivale a 2,54 cm.

¡A practicar!

1. ¿Cómo se denomina al máximo valor que puede medir un instrumento de medición?

a) Cota inferior.

b) Sensibilidad.

c) Cota superior.

d) Confiabilidad.

Solución

c) Cota superior.

2. ¿Cuál es una medida no convencional?

a) El metro.

b) El segundo.

c) El centímetro.

d) El dedo.

Solución

d) El dedo.

3. ¿Qué podemos medir con las unidades de longitud?

a) La distancia entre dos puntos.

b) La capacidad de un recipiente.

c) El tiempo.

d) La temperatura de una persona.

Solución

a) La distancia entre dos puntos.

4. Observa los siguientes instrumentos de medición y determina qué podemos medir con cada uno.

Solución

La longitud.

Solución

El tiempo.

Solución

La medida de ángulos.

Solución

La masa.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sistema Internacional de unidades”

Este artículo explica qué es el Sistema Internacional de unidades y describe sus principales unidades básicas y derivadas, así como su importancia en la actualidad.

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Tarjetas educativas “Instrumentos de laboratorio”

Este micrositio muestra los principales instrumentos de laboratorio, dentro de los cuales se encuentran varios instrumentos de medición.

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Infografía “Balanza”

Esta infografía muestra uno de los instrumentos de medición más usados: la balanza. También describe sus tipos y sus características principales.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 7

La circunferencia

Una de las curvas más estudiadas en la geometría es, sin duda, la circunferencia. Tiene características únicas y ha sido pieza fundamental en invenciones humanas como la rueda. Para trazar esta figura usamos el compás, y su longitud está determinada por un número muy particular: el número pi.

¿Qué es una circunferencia?

Es la curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan del centro; es decir, están a la misma distancia del centro de la circunferencia.

Los griegos y la circunferencia

Sin lugar a duda, los antiguos griegos tuvieron una gran influencia en el perfeccionamiento de la geometría. Para ellos, la línea recta y la circunferencia eran muy importantes en sus construcciones matemáticas, lo que permitió que realizaran increíbles descubrimientos para su época. Por ejemplo, Eratóstene de Cirene, que vivió entre 276 y 194 a. C., fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra.

Elementos de la circunferencia

En la circunferencia se pueden observar los siguientes elementos:

Centro: es el punto en torno al cual equidistan todos los puntos de la curva.

Radio: es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

Diámetro: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro de la misma. Su longitud es igual al doble del radio.

Cuerda: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.

Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra limitada por una cuerda.

Semicircunferencia: es la porción de circunferencia limitada por el diámetro. Equivale a la mitad de la circunferencia.

Posiciones de una recta en relación a la circunferencia

Recta tangente: es la recta que comparte un mismo y único punto con la circunferencia.

Recta secante: es la recta que comparte dos puntos con la circunferencia.

Recta exterior: es la recta que no comparte ningún punto con la circunferencia.

¿Sabías qué?

La circunferencia de la tierra mide cerca de 40.000 km de longitud.

Diferencia entre círculo y circunferencia

Es posible que confundamos los conceptos de círculo y circunferencia porque están muy relacionados entre sí, pero se trata de dos términos diferentes. El círculo es una figura plana que corresponde al área contenida dentro de una circunferencia. La circunferencia, por su parte, representa el perímetro del círculo, es decir, es la línea que forma el contorno de la figura.

VER INFOGRAFÍA

El círculo es una figura que presenta diferentes elementos, como el semicírculo, los sectores circulares y los segmentos circulares. El primero es el área comprendida entre el diámetro y una semicircunferencia; el segundo consiste en las regiones comprendidas entre dos radios y el arco que estos forman; y el tercero se trata de los segmentos que se forman entre una cuerda y su arco.

Trazado de circunferencias

El compás es el instrumento por excelencia para trazar circunferencias y su origen es muy antiguo. Un compás consta de los siguientes elementos principales:

Un mango.
Una punta metálica.
Una punta trazadora.
Dos brazos regulables.

El uso de esta herramienta es relativamente sencillo. Para trazar una circunferencia con un compás lo primero que debemos hacer es conocer el radio de la circunferencia y trazarlo con la ayuda de una regla. Luego posicionamos la punta metálica en uno de los extremos del segmento y luego abrimos los brazos hasta que la punta trazadora esté ubicada en el otro extremo del segmento. Finalmente, con ayuda del mango, trazamos la circunferencia.

Circunferencias a nuestro alrededor

Un anillo o un aro son ejemplos de circunferencias, pero hay muchos más. Al ser una circunferencia el contorno de un círculo, la observamos en los bordes de las ruedas de los autos, en un molde para hacer una torta o un pastel y hasta incluso en juguetes como los platos voladores.

Las circunferencias han sido elementos fundamentales en el desarrollo de la geometría y con ello también han permitido a los seres humanos realizar grandes invenciones como la rueda.

La circunferencia es el contorno de una de las figuras más comunes: el círculo. Es frecuente observarlas en platos, ruedas, pasteles, diseños y pinturas. Han permitido realizar cálculos y aproximaciones, como el descubrimiento del número pi que relaciona la longitud de la circunferencia con su radio y que ha tenido numerosas aplicaciones prácticas.

¡A practicar!

Además del centro, ¿qué elementos de la circunferencia observas?

Solución

Diámetro.

Solución

Arco.

Solución

Cuerda.

Solución

Radio.

2. ¿Cuál de las siguientes rectas es una tangente?

Solución

Es tangente porque solo comparte un punto en común con la circunferencia.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Circunferencia”

El siguiente artículo explica de forma resumida qué es una circunferencia y los diferentes elementos que la integran como el radio, la cuerda, el diámetro, etc.

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Artículo “Ángulos en la circunferencia”

Este artículo relaciona los conceptos de ángulo y circunferencia, así como también explica sus características.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 5

Cuadriláteros

Vemos cuadriláteros en todas partes: desde la cara de un dado hasta una hoja de papel. Estas figuras geométricas son polígonos de cuatro lados con múltiples aplicaciones en la geometría. Se caracterizan por su diversidad y de acuerdo a ciertos criterios se pueden clasificar como paralelogramos, trapecios y trapezoides.

Características de los cuadriláteros

La palabra “cuadrilátero” proviene del latín y quiere decir “que tiene cuatro lados”. Entonces, los cuadriláteros son polígonos con cuatro lados que forman entre sí cuatro ángulos. Estas características permiten clasificarlos en varios tipos.

Curiosidades de los cuadriláteros

1. Presentan cuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángulos.

2. Todo cuadrilátero tiene dos diagonales.

3. Las dos diagonales del cuadrilátero dividen al mismo en cuatro triángulos.

4. También se denominan cuadrángulo y tetrágono (ambas hacen mención a sus cuatro ángulos y lados).

¿Sabías qué?

La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero siempre es igual a 360°.

VER INFOGRAFÍA

Ángulos

Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común. Existen muchos tipos, algunos son:

Ángulo agudo: que tiene una amplitud menor a 90° pero mayor a 0°.
Ángulo recto: que tiene una amplitud igual a 90°.
Ángulo obtuso: que tiene una amplitud mayor a 90° pero menor a 180°.
Ángulo oblicuo: que no es recto. Los ángulos agudos y obtusos son ejemplo de ángulos oblicuos.

Clasificación de los cuadriláteros

La forma de un campo de fútbol no es igual a la forma de un campo de béisbol, pero en ambos casos hablamos de cuadriláteros. Este tipo de figuras se clasifica en tres grandes grupos: paralelogramos, trapecios y trapezoides.

Paralelogramos

Son cuadriláteros que presentan dos pares de lados paralelos. Los lados opuestos de todo cuadrilátero tienen la misma longitud. Se clasifican en:

Cuadrilátero	Nombre	Características
	Cuadrado	– Todos sus lados son iguales. – Sus ángulos internos son iguales y miden 90° (ángulo recto).
	Rectángulo	– Sus lados contiguos (lados que están juntos) no son iguales, pero sus lados opuestos sí lo son. – Sus ángulos interiores son iguales y miden 90° (ángulo recto).
	Rombo	– Todos sus lados son iguales. – Sus ángulos interiores son agudos (menores a 90°).
	Romboide	– Sus lados contiguos son desiguales. – Sus ángulos opuestos son iguales. – De sus cuatro ángulos interiores siempre hay un par de ángulos mayor que el otro.

¿Sabías qué?

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes, es decir, tienen la misma medida.

Trapecios

Son cuadriláteros en los que solo dos de sus lados son paralelos, estos lados son llamados bases y siempre hay una de mayor longitud, denominada base mayor; y otra de menor longitud, denominada base menor. Se clasifican en:

Cuadrilátero	Nombre	Características
	Trapecio rectángulo	– Dos de sus ángulos interiores son iguales a 90°, es decir, son rectos.
	Trapecio isósceles	– Sus lados no paralelos tienen la misma medida. – Presentan dos ángulos agudos del mismo valor en una de las bases y dos ángulos obtusos del mismo valor sobre la otra base.
	Trapecio escaleno	– Ninguno de sus lados tiene la misma longitud. – Ninguno de sus ángulos es recto.

Trapezoides

Son cuadriláteros que no poseen ninguno de sus lados paralelos.

Cuadrilátero

Nombre

Características

Trapezoide

– Ninguno de sus lados consecutivos es igual.

Diagonales de los cuadriláteros

Las diagonales son los segmentos de rectas que unen el vértice de un ángulo con el vértice del ángulo opuesto no consecutivo. Todos los cuadriláteros tienen dos diagonales, pero sus características varían de acuerdo al tipo.

Paralelogramos

Las diagonales se cortan en el punto medio de ambas.

De acuerdo al tipo de paralelogramo las diagonales presentan estas características:

Cuadrado: sus diagonales son iguales y se cortan en ángulo recto.
Rombo: sus diagonales no son iguales pero se cortan en ángulo recto.
Rectángulo: sus diagonales tienen la misma longitud pero se cortan en un ángulo oblicuo.
Romboide: sus diagonales no son iguales y se cortan en un ángulo oblicuo.

Trapecios

Solo en los trapecios isósceles las diagonales son iguales, en los demás casos ambas diagonales son diferentes. En este tipo de figuras las diagonales siempre se cortan en un ángulo oblicuo.

Trapezoide

Los trapezoides presentan diagonales diferentes y oblicuas.

Disciplinas como la arquitectura, la ingeniería y las artes emplean las formas geométricas dentro de sus actividades. Conocer la geometría de las cosas permite tener una mejor visión de nuestro entorno y realizar comparaciones de manera más sencilla. De igual forma, muchas veces la geometría permite resolver problemas matemáticos de forma más simple.

¿Dónde podemos observar cuadriláteros?

Si prestamos atención a nuestro entorno seguramente vamos a ver más cuadriláteros de los que imaginábamos: las baldosas del piso, el techo de la casa, las puertas y ventanas… Incontables objetos tienen forma de cuadriláteros.

Conocer los cuadriláteros tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo, si deseamos encontrar el punto medio de un objeto cuadrado como un cartón, basta con trazar dos diagonales y ubicar su punto de intersección.

El baloncesto es un deporte muy popular que emplea un tablero en forma de cuadrilátero, específicamente un rectángulo que mide por lo general 1,80 m de ancho y 1,05 m de alto. En su parte interna se encuentra otro rectángulo que permite calcular el tiro y de esta forma lograr que la pelota caiga sobre la canasta que se encuentra en su parte inferior.

¡A practicar!

Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántas diagonales tienen los cuadriláteros?

Solución

Dos diagonales.

b) ¿Qué tipo de trapecio tiene dos ángulos rectos?

Solución

Trapecio rectángulo.

c) ¿Qué tipo de paralelogramo tiene las dos diagonales diferentes pero se cortan en ángulo recto?

Solución

El rombo.

d) ¿Qué cuadrilátero no presenta ningún lado paralelo?

Solución

El trapezoide.

2. Identifica si las siguientes figuras corresponden a un paralelogramo, trapecio o trapezoide.

Solución

Trapezoide.

Solución

Paralelogramo.

Solución

Paralelogramo.

Solución

Trapecio.

Solución

Paralelogramo.

Solución

Trapecio.

Solución

Paralelogramo.

Solución

Trapecio.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Cuadriláteros”

Este artículo destacado describe los tipos de cuadriláteros y sus diferentes tipos y subtipos. También explica la importancia de reconocerlos y sus aplicaciones en la geometría y la publicidad.

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Infografía “Polígonos rectángulos”

Esta infografía permite comprender de manera ilustrada qué son los rectángulos y sus propiedades. También se enfoca en cómo construir este tipo de figura geométrica.

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Enciclopedia “Matemática en primaria”

En este tomo se explican las características de elementos básicos de la geometría, como las rectas y los ángulos.

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