CAPÍTULO 5 / TEMA 3

Polígonos

Podemos observar polígonos en múltiples objetos de nuestro alrededor. Estos son muy diversos y los hay con lados y ángulos iguales o desiguales entre sí. Son elementos fundamentales de la geometría y su conocimiento es esencial en diversos campos del conocimiento, como la ingeniería o la arquitectura.

¿Qué es un polígono?

En geometría, un polígono es una figura geométrica plana delimitada por un número finito de segmentos rectos.

¿Sabías qué?
La palabra “polígono” proviene del griego antiguo que quiere decir “muchos ángulos”.

Los polígonos presentan los siguientes elementos:

  • Lados: son los segmentos rectos que conforman al polígono.
  • Vértices: son los puntos en común entre dos lados consecutivos.
  • Diagonales: son los segmentos que unen a dos lados no consecutivos de un polígono.
  • Ángulos interiores: están formados por dos lados consecutivos en el interior del polígono.
  • Ángulos exteriores: están formados en el exterior del polígono entre un lado y la prolongación de otro lado consecutivo.

Polígonos regulares y sus tipos

Un polígono regular tiene lados con la misma longitud. Se caracterizan también porque sus ángulos internos y externos también son iguales. Otra característica es que poseen la misma cantidad de ejes de simetrías que de lados. Las diagonales en este tipo de polígonos tienen la misma longitud y siempre son interiores.

Polígono Número de lados Número de diagonales Medida de cada ángulo interno Medida de cada ángulo externo
Triángulo equilátero 3 0 60° 120°
Cuadrado 4 2 90° 90°
Pentágono 5 5 108° 72°
Hexágono 6 9 120° 60°
Heptágono 7 14 128,57° 51,43°
Octágono 8 20 135° 45°
Eneágono 9 27 140° 40°
Decágono 10 35 144° 36°
Endecágono 11 44 147,27° 32,73°
Dodecágono 12 54 150° 30°

VER INFOGRAFÍA

El círculo y los polígonos

Todo polígono regular puede estar circunscrito en una circunferencia, lo que quiere decir que cada uno de sus vértices corresponde a un punto de la circunferencia. Mientras más lados tenga el polígono, más se va a aproximar a la forma de la circunferencia. Por esta razón, se asocia a la circunferencia (de forma informal) a un polígono de infinitos lados.

Área de polígonos regulares

Para medir el área de los polígonos es necesario conocer las definiciones de perímetro y apotema.

  • Perímetro: es la suma de los lados que forman una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, se calcula al multiplicar el número de lados por la longitud de uno de sus lados.

P= n\times L

Donde:

P: perímetro
n: número de lados del polígono regular.
L: longitud de uno de los lados del polígono.

  • Apotema: es la distancia perpendicular desde el centro de un polígono hasta uno de sus lados.

El área de un polígono regular se define como el producto de su perímetro por la apotema (a) dividido entre dos.

A = \frac{P\times a}{2}

Donde:

A: área

P: perímetro

a: apotema

 

– Ejemplo:

Calcular el área de un pentágono cuyos lados miden 6 cm y su apotema es de 4,13 cm.

Lo que debemos hacer es calcular primero el perímetro para luego sustituir en la fórmula junto con la apotema para calcular el área.

P= n\times L
P= 5\times 6\, cm
P= 30\, cm

El perímetro del apotema es 30 cm, al sustituir en la fórmula de área nos queda:

A = \frac{30\, cm\times 4,13\,cm }{2}

A = \frac{123,9\,cm^{2} }{2}

A = \mathbf{61,95\, cm^{2}}

El área del pentágono es de 61,95 cm2.

¿Sabías qué?
El Departamento de Defensa de los Estados Unidos es un edificio en forma de Pentágono que mide 140.000 metros cuadrados aproximadamente.
Debido a sus características geométricas, todo polígono regular puede estar inscrito o circunscrito a una circunferencia. Un polígono inscrito tiene todos sus vértices contenidos en la circunferencia. Por otro lado, un polígono circunscrito posee todos sus lados tangentes a la circunferencia. En ambos casos, el centro del polígono coincide con el centro de la circunferencia.

Polígonos irregulares y sus tipos

En los polígonos irregulares se pueden cumplir algunas de estas condiciones:

– Tener sus lados con igual longitud pero sus ángulos internos diferentes.
– Tener sus ángulos de igual medida pero sus lados con diferente longitud.
– Tener sus lados con diferente longitud y sus ángulos internos con diferente medida.

Ejemplos de polígonos irregulares

  • Rombo

El rombo tiene los cuatro lados con igual longitud pero sus cuatro ángulos internos son diferentes: solo los ángulos opuestos de este polígono son iguales. Por eso se trata de un polígono irregular.

  • Rectángulo (no cuadrado)

Es un cuadrilátero con sus cuatro ángulos iguales (90°), pero sus lados tienen diferente longitud entre sí. Solo los lados paralelos comparten la misma longitud.

  • Triángulo (no equilátero)

Todo triángulo con un ángulo interior diferente de 60 grados es un polígono irregular.

Triángulos regulares e irregulares

Según sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos. Los equiláteros son los únicos triángulos que cumplen con las características de un polígono regular. Los triángulos escalenos son aquellos en los que las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos internos son diferentes, por lo tanto no son polígonos regulares. Por otra parte, los triángulos isósceles al contar solo con dos lados y dos ángulos iguales tampoco son considerados como polígonos regulares.

Perímetro de polígonos

Calculamos el perímetro de los polígonos regulares a través de la fórmula planteada anteriormente:

P= n\times L

En cambio, en los polígonos irregulares, cuyos lados generalmente son diferentes, esta ecuación no siempre aplica. Para lo cual debemos sumar de forma separada las longitudes de cada uno de los lados.

P= L_{1}+L_{2}+L_{3}+...+L_{n}

Por ejemplo, para calcular el perímetro del siguiente triángulo isósceles simplemente sumamos cada una de las longitudes de sus lados.

P= 60\,\, cm+60\,\, cm+40\,\, cm

P= \mathbf{160\,\, cm}

El perímetro de este triángulo irregular es de 160 cm.

 

¡A practicar!

1. Determina el perímetro y el área de los siguientes polígonos regulares según los datos mostrados.

a) Un eneágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 9,62 cm.

Solución
P = 63 cm
A = 303,03 cm2

b) Un pentágono regular cuyos lados miden 6 cm y su apotema 4,13 cm.

Solución
P = 30 cm
A = 61,95 cm2

c) Un heptágono regular cuyos lados miden 8 cm y su apotema 8,31.

Solución
P = 56 cm
A = 232,68 cm2

d) Un triángulo regular (equilátero) cuyos lados miden 5 cm y su apotema 1,44 cm.

Solución
P= 15 cm
A = 10,8 cm2

e) Un decágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 4,62 cm.

Solución
P= 30 cm
A = 69,3 cm2

f) Un dodecágono regular cuyos lados miden 4 cm y su apotema 7,46 cm.

Solución
P= 48 cm
A = 179,04 cm2

g) Un hexágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 6,06 cm.

Solución
P= 42 cm
A = 127,26 cm2

h) Un octágono regular cuyos lados miden 2 cm y su apotema 2,41 cm.

Solución
P= 16 cm
A = 19,28 cm2

i) Un endecágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 5,11 cm.

Solución
P= 33 cm
A = 84,315 cm2

j) Un cuadrado cuyos lados miden 4 cm y su apotema 2 cm.

Solución
P= 16 cm
A = 16 cm2

 

2. ¿A qué polígono con una apotema de 4,33 cm le corresponde un área de 64,95 cm2.

a) Un decágono de 2 cm de lado.
b) Un hexágono de 5 cm de lado.
c) Un pentágono de 7 cm de lado.
d) Un octágono de 4 cm de lado.

Solución
b) Un hexágono de 5 cm de lado.

 

3. ¿Qué polígono irregular tiene sus lados de igual longitud pero sus ángulos internos son diferentes?

a) Círculo
b) Cuadrado
c) Rectángulo
d) Rombo

Solución
d) Rombo

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Perímetro de los polígonos”

Este artículo define qué es un polígono, cuáles son sus clasificaciones y cómo se calcula su el perímetro. También plantea una serie de ejercicios para resolver.

VER

Artículo “Cuadriláteros”

Este recurso explica los diferentes tipos de cuadriláteros que existen y sus características principales.

VER

Micrositio “Tarjetas Educativas – Geometría y medidas”

En este micrositio se puede encontrar una serie de tarjetas interactivas que resumen los elementos principales de la geometría, como los polígonos y sus principales características.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 7

La circunferencia

Una de las curvas más estudiadas en la geometría es, sin duda, la circunferencia. Tiene características únicas y ha sido pieza fundamental en invenciones humanas como la rueda. Para trazar esta figura usamos el compás, y su longitud está determinada por un número muy particular: el número pi.

¿Qué es una circunferencia?

Es la curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan del centro; es decir, están a la misma distancia del centro de la circunferencia.

Los griegos y la circunferencia

Sin lugar a duda, los antiguos griegos tuvieron una gran influencia en el perfeccionamiento de la geometría. Para ellos, la línea recta y la circunferencia eran muy importantes en sus construcciones matemáticas, lo que permitió que realizaran increíbles descubrimientos para su época. Por ejemplo, Eratóstene de Cirene, que vivió entre 276 y 194 a. C., fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra.

Elementos de la circunferencia

En la circunferencia se pueden observar los siguientes elementos:

Centro: es el punto en torno al cual equidistan todos los puntos de la curva.

Radio: es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

Diámetro: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro de la misma. Su longitud es igual al doble del radio.

Cuerda: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.

Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra limitada por una cuerda.

Semicircunferencia: es la porción de circunferencia limitada por el diámetro. Equivale a la mitad de la circunferencia.

Posiciones de una recta en relación a la circunferencia

Recta tangente: es la recta que comparte un mismo y único punto con la circunferencia.

Recta secante: es la recta que comparte dos puntos con la circunferencia.

Recta exterior: es la recta que no comparte ningún punto con la circunferencia.

¿Sabías qué?
La circunferencia de la tierra mide cerca de 40.000 km de longitud.

Diferencia entre círculo y circunferencia

Es posible que confundamos los conceptos de círculo y circunferencia porque están muy relacionados entre sí, pero se trata de dos términos diferentes. El círculo es una figura plana que corresponde al área contenida dentro de una circunferencia. La circunferencia, por su parte, representa el perímetro del círculo, es decir, es la línea que forma el contorno de la figura.

VER INFOGRAFÍA

El círculo es una figura que presenta diferentes elementos, como el semicírculo, los sectores circulares y los segmentos circulares. El primero es el área comprendida entre el diámetro y una semicircunferencia; el segundo consiste en las regiones comprendidas entre dos radios y el arco que estos forman; y el tercero se trata de los segmentos que se forman entre una cuerda y su arco.

Trazado de circunferencias

El compás es el instrumento por excelencia para trazar circunferencias y su origen es muy antiguo. Un compás consta de los siguientes elementos principales:

  1. Un mango.
  2. Una punta metálica.
  3. Una punta trazadora.
  4. Dos brazos regulables.

El uso de esta herramienta es relativamente sencillo. Para trazar una circunferencia con un compás lo primero que debemos hacer es conocer el radio de la circunferencia y trazarlo con la ayuda de una regla. Luego posicionamos la punta metálica en uno de los extremos del segmento y luego abrimos los brazos hasta que la punta trazadora esté ubicada en el otro extremo del segmento. Finalmente, con ayuda del mango, trazamos la circunferencia.

Circunferencias a nuestro alrededor

Un anillo o un aro son ejemplos de circunferencias, pero hay muchos más. Al ser una circunferencia el contorno de un círculo, la observamos en los bordes de las ruedas de los autos, en un molde para hacer una torta o un pastel y hasta incluso en juguetes como los platos voladores.

Las circunferencias han sido elementos fundamentales en el desarrollo de la geometría y con ello también han permitido a los seres humanos realizar grandes invenciones como la rueda.

La circunferencia es el contorno de una de las figuras más comunes: el círculo. Es frecuente observarlas en platos, ruedas, pasteles, diseños y pinturas. Han permitido realizar cálculos y aproximaciones, como el descubrimiento del número pi que relaciona la longitud de la circunferencia con su radio y que ha tenido numerosas aplicaciones prácticas.

 

¡A practicar!

  1. Además del centro, ¿qué elementos de la circunferencia observas?

a) 

Solución
Diámetro.

b)

Solución
Arco.

c)

Solución
Cuerda.

d)

Solución
Radio.

2. ¿Cuál de las siguientes rectas es una tangente?

a) 

b) 

c) 

d) 

Solución
c)  Es tangente porque solo comparte un punto en común con la circunferencia.

 

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Circunferencia”

El siguiente artículo explica de forma resumida qué es una circunferencia y los diferentes elementos que la integran como el radio, la cuerda, el diámetro, etc.

VER

Artículo “Ángulos en la circunferencia”

Este artículo relaciona los conceptos de ángulo y circunferencia, así como también explica sus características.

VER