CAPÍTULO 7 / TEMA 5

FUNCIÓN LINEAL

Cuando dos magnitudes se relacionan de manera directamente proporcional pueden representarse como una función de expresión algebraica y = mx + b. Estas funciones pueden identificarse rápidamente por medio de su gráfica, pues en el plano cartesiano siempre estarán representadas con una línea recta ascendente o descendente.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Si conocemos la función matemática que relaciona a dos variables, podemos construir su gráfica, o al menos una aproximación de ella. Para esta tarea solo calculamos, a partir de la función, una serie de puntos que cumplan con la solución. Debemos tener en cuenta que cuantos más puntos utilicemos para graficar una función, mayor precisión obtendremos.

Algunas funciones matemáticas tienen gráficas características en el plano cartesiano, por ejemplo:

Funciones lineales

f(x) = mx + b

Funciones potenciales

f(x) = x²

Funciones exponenciales

f(x) = 2^x

Funciones irracionales

f(x) = √x

Funciones racionales

f(x) = 1/x

Funciones trigonométricas

f(x) = sen x

Las funciones lineales se denominan de esta manera ya que su gráfica característica en el plano cartesiano se representa como una recta. Para trazar de forma correcta esta línea, basta con que conozcamos dos puntos en el plano. Por lo general se determinan si calculamos los cortes con los ejes o por medio de la ecuación de la recta.

¿Qué es una función lineal?

Una función lineal es una función cuya gráfica es igual a una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Su expresión algebraica es la siguiente:

f(x) = mx

Donde:

m = constante de proporcionalidad o pendiente de la recta

¿Sabías qué?

Las funciones lineales también son llamadas “funciones de proporcionalidad directa”.

– Ejemplo:

Un tren tiene una velocidad media de 160 km/h. La relación entre la distancia y el tiempo se puede observa en la siguiente tabla:

Tiempo (h) = x	0	1	2	3	4
Distancia (km) = y	0	160	320	480	640

Por medio de esta tabla vemos que las dos magnitudes (tiempo y distancia) son directamente proporcionales porque a medida que una aumenta, la otra también lo hace. Si realizamos una gráfica entre estas dos magnitudes nos resulta una línea recta como esta:

Nota que la recta pasa por el origen (0, 0) y va en aumento, por lo tanto, la recta es continua y creciente. La constante de proporcionalidad es 160, así que la expresión algebraica de esta función es:

f(x) = 160x

Función afín

Una función afín es un tipo de función lineal que no pasa por el origen de coordenadas. Su expresión algebraica es:

f(x) = mx + b

Donde:

m = pendiente de la recta

b = ordenada en el origen: la recta corta al eje de ordenada en el punto (0, n)

– Ejemplo:

Se ha determinado el pago de agua en una casa. Cada recibo indica que por cada metro cúbico de agua consumida se pagan $ 5, mientras que por la distribución y depuración se pagan $ 10. Con estos datos elaboramos la siguiente tabla:

Agua consumida (m³) = x	0	1	2	3	4
Pago ($) = y	10	15	20	25	30

La expresión algebraica de esta función es f(x) = 5x + 10, cuya gráfica se muestra a continuación:

Observa que la línea recta no pasa por el origen, sino que corta en el punto (0, 10).

La función de costo lineal se usa frecuentemente en las operaciones de las pequeñas empresas. El costo es el total de dinero necesario para producir q unidades de un producto. La función se representa con la expresión C(q) que incluye tanto a los costos fijos (independientes) como a los costos variables (dependientes).

ecuación de la recta

La ecuación de la recta es una expresión algebraica que describe una línea recta y relaciona la variación de y con respecto a x, la cual se puede graficar en el plano cartesiano según los componentes en cada uno de los ejes. De manera general la ecuación de una recta se representa así:

y = mx + b

Donde:

y = eje de las ordenadas

x = eje de las abscisas

m = pendiente de la recta

b = punto de intersección de la recta con el eje y

Para determinar la pendiente de la recta usamos la fórmula:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

– Ejemplo:

Hallemos la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (−1, 1) y B (1, 7).

Primero identificamos los valores de los ejes. Como ya sabemos, los pares ordenados siempre tienen primero la coordenada del eje x y luego de la coma va la coordenada del eje y; entonces:

En el punto A (−1, 1), x₁ = −1 y y₁ = 1

En el punto B (1, 7), x₂ = 1 y y₂ = 7

Ahora solo sustituimos en la fórmula general:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{7-1}{1-(-1)}=\frac{6}{2}=\boldsymbol{3}$

Sabemos que la ecuación de esta recta es y = mx + b porque no pasa por el origen, es decir, representa una función afín. También sabemos que la pendiente (m) es 3, por lo tanto, y = 3x + b; así que faltaría hallar el valor de b.

Para calcula b podemos tomar cualquiera de los puntos A o B. Planteamos la ecuación y luego despejamos.

$A(-1, \: 1): y=3x+b\rightarrow 1=3(-1)+b\rightarrow \boldsymbol{b=4}$

$B(1,\: 7):y=3x+b\rightarrow 7=3(1)+b\rightarrow \boldsymbol{b=4}$

De este modo sabemos que la recta que pasa por los puntos A y B tiene por ecuación:

y = 3x + 4

Pendiente de la recta y = mx

Para un función lineal f(x) = mx, el coeficiente m se llama pendiente y representa el aumento o disminución de la variable dependiente en relación a la variable independiente.

– Ejemplo:

En la función f(x) = −3x, la pendiente es −3.
En la función f(x) = 5x, la pendiente es 5.

En una gráfica, la pendiente de una recta representa la inclinación de la misma respecto del eje x. La podemos hallar al dividir el valor de la variable dependiente entre el valor de la variable independiente.

$m =\frac{y}{x}$

– Ejemplo:

Esta gráfica muestra tres líneas rectas que pasan por el origen, así que cada una representa a un función lineal de forma f(x) = mx.

Para saber la pendiente de la recta solo debemos fijarnos en cualquiera de sus puntos y hallar su cociente.

Recta a	Recta b	Recta c
$m=\frac{6}{-6}=\boldsymbol{-1}$	$m=\frac{-2}{-2}=\boldsymbol{1}$	$m=\frac{4}{6}=\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
$f(x)=-x$	$f(x)=x$	$f(x)=\frac{2}{3}x$

Valor de la pendiente

Si m es positiva, significa que la recta es creciente de izquierda a derecha.
Si m es negativa, significa que la recta es decreciente de izquierda a derecha.
Si m es cero, significa que la recta no posee inclinación respecto al eje horizontal, es decir, se trataría de una recta paralela al eje horizontal.

Una función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, el mayor exponente de x es 1. Para expresar cualquier tipo de recta, pase o no por el origen, se utiliza la ecuación explícita de la recta: *y = mx + b*. Donde y es la variable dependiente, x es la variable independiente, m es la pendiente y b es la ordenada al origen.

¿cómo Graficar una función lineal?

Dada la ecuación de la recta y = 2x + 3. La pendiente es 2 y el punto de intersección de la recta con el eje y es igual a 3. Para determinar el valor de y es necesario darle valores a x y efectuar la operación correspondiente, de la siguiente manera:

Si x = 1 y = 2(1) + 3 y = 2 + 3 y = 5	Si x = 2 y = 2(2) + 3 y = 4 + 3 y = 7	Si x = 3 y = 2(3) + 3 y = 6 + 3 y = 9
Si x = −1 y = 2(−1) + 3 y = −2 + 3 y = 1	Si x = −2 y = 2(−2) + 3 y = −4 + 3 y = −1	Si x = −3 y = 2(−3) + 3 y = −6 + 3 y = −3

Para obtener una recta bien definida es recomendable utilizar al menos tres puntos. Será de gran ayuda realizar una tabla de valores en la que observes las coordenadas de cada punto como esta:

x	y	Punto
−3	−3	(−3, −3)
−2	−1	(−2, −1)
−1	1	(−1, 1)
1	5	(1, 5)
2	7	(2, 7)
3	9	(3, 9)

Si usamos esta tabla como guía es más sencillo realizar la gráfica de la función.

Nota que la recta se corta en el punto (0, 3), pues b = 3.

¡A practicar!

1. Dadas las siguientes funciones, determina:

a. Pendiente (m)

b. Ordenada al origen (b)

f(x) = 2x − 6

Solución

b = −6

m = 2

f(x) = −x + 4

Solución

b = 4

m = −1

f(x) = 13/5x − 2

Solución

b = −2

m = 13/5

2. Construye una tabla con los siguientes valores de x para cada función.

x = −2, −1, 0, 1, 2, 3

f(x) = −x + 2

Solución

x	y
−2	4
−1	3
0	2
1	1
2	0
3	−1

f(x) = 5x − 3

Solución

x	y
−2	−13
−1	−8
0	−3
1	2
2	7
3	12

f(x) = 3x

Solución

x	y
−2	−6
−1	−3
0	0
1	3
2	6
3	9

f(x) = −2x + 1

Solución

x	y
−2	5
−1	3
0	1
1	−1
2	−3
3	−5

3. Realiza la gráfica de las siguientes funciones:

f(x) = −x + 2

f(x) = −2x + 1

Solución

f(x) = −x + 2

f(x) = −2x + 1

4. Dada la siguiente gráfica, determina:

a. Pendiente de la recta.

b. Ecuación de la recta.

Solución

a. m = −1

b. y = −x + 9

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Función Lineal”

En este artículo podrás encontrar ejercicios relacionados con la construcción de gráficas de funciones lineales a partir de su ecuación explícita, además de problemas de enunciados.

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Artículo “Aplicaciones de la función lineal”

Este artículo explica los conceptos de proporción, así como detalla el análisis y las aplicaciones de las funciones lineales.

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Artículo “Función lineal”

Este contenido ofrece una breve descripción de las características de una función lineal a partir de la ecuación explícita de la recta.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 3

ECUACIÓN

Cuando vemos operaciones matemáticas con valores desconocidos es muy probable que estemos frente a ecuaciones. Estas son relaciones equivalentes con dos miembros separados por un símbolo de igualdad. Para saber cuánto valen estos términos desconocidos debemos despejar, es decir, dejar “sola” a la incógnita, lo que se hace por medio de diversos pasos mostrados a continuación.

La ecuación y sus elementos

Una ecuación es una igualdad que posee uno o más términos desconocidos llamados incógnitas. El valor numérico de dichas incógnitas es el único que cumple la igualdad.

Los elementos de toda ecuación son los siguientes:

Primer miembro: es el conjunto de términos que se encuentra del lado izquierdo de la igualdad.
Segundo miembro: es el conjunto de términos que se encuentra del lado derecho de la igualdad.
Términos: son todos los números y letras que conforman la ecuación.
Incógnita: es el valor desconocido en la igualdad. En una ecuación puede haber más de una incógnita.

¿Sabías qué?

Si una incógnita aparece sola se sobreentiende que el coeficiente es 1, es decir, que está multiplicada por 1.

Una ecuación es una igualdad establecida que permite determinar alguno de sus elementos respecto a los valores de los demás. Pueden ser literales o numéricas. Son literales cuando por lo menos un elemento conocido está representado por una letra; y son numéricas cuando sus elementos conocidos son números.

Ecuaciones según el grado

El grado de una ecuación es la mayor potencia a la que está elevada la incógnita. Según el grado las ecuaciones pueden ser:

Ecuaciones de primer grado

Son aquellas ecuaciones donde la incógnita está elevada a la primera potencia. También se las conoce como ecuaciones lineales. Por ejemplo:

$\boldsymbol{2x+5=3x-1}$

Ecuaciones de segundo grado

Son las igualdades cuya incógnita está elevada a la segunda potencia, es decir, al cuadrado. Por ejemplo:

$\boldsymbol{2x^{{\color{Red} 2}}+3x=-5x}$

Ecuaciones de tercer grado

Son aquellas que contienen la incógnita elevada al cubo en al menos uno de sus términos. Por ejemplo:

$\boldsymbol{4x^{{\color{Red} 3}}+3x=5-x^{2}}$

¡Es tu turno!

Observa esta ecuación y responde:

$\boldsymbol{x^{3}-7x^{2}+4x+12=0}$

¿Cuántos términos tiene en el primer miembro?

Solución

Tiene 4 términos.

¿De qué grado es la ecuación?

Solución

La ecuación es de tercer grado.

¿Cuántas incógnitas tiene?

Solución

Tiene una sola incógnita: x.

¿Sabías qué?

Las incógnitas aparecen en las ecuaciones con una letra, generalmente es la x, pero puede ser cualquiera.

Las ecuaciones pueden estar conformadas por una o más incógnitas y su solución no siempre es un número. De hecho, hay ecuaciones que tienen varias soluciones o incluso, hay otras que no tienen solución. En todos los casos, es imprescindible dominar los procedimientos de despejes para poder analizarlas.

REGLAS DE DESPEJE DE ECUACIONES

Para hallar la solución de una ecuación de primer grado debemos despejar la incógnita, esto significa que es necesario dejar a la incógnita “sola” en un miembro de la igualdad. Para esto seguimos las siguientes reglas:

Regla de la suma

Consiste en sumar la misma expresión algebraica en ambos lados de la igualdad, de este modo obtenemos una ecuación equivalente y por ende el mismo resultado. Por ejemplo:

$x-8=24$

Si sumamos 8 en ambos miembros de la ecuación tenemos:

$x-8+\boldsymbol{8}=24+\boldsymbol{8}$

Al resolverlo:

$x=\boldsymbol{32}$

A partir de ese principio, la regla de la suma también se denomina regla de transposición de términos debido a que, para cambiar un término a otro miembro, se tiene que cambiar su signo. Por lo tanto, todo número que se encuentre en forma de suma en un miembro de la igualdad pasa al otro miembro en forma de resta y viceversa.

Entonces, para despejar la incógnita lo único que debemos hacer es pasar el −8 como +8 al segundo miembro de la ecuación.

$x-8=24$

$x=24+8$

$x=\boldsymbol{32}$

Regla del producto

Establece que al multiplicar o dividir por un mismo número en ambos miembros de la ecuación el resultado es una ecuación equivalente de la primera. Por ejemplo:

$5x=20$

Si dividimos entre 5 ambos miembros de la ecuación tenemos:

$\frac{5x}{\boldsymbol{5}}=\frac{20}{\boldsymbol{5}}$

Al resolverlo:

$x=\boldsymbol{4}$

Por medio de esta regla se deduce que los elementos que multiplican pasan al otro lado a dividir y los elementos que dividen pasan al otro lado a multiplicar. En el ejemplo anterior basta con pasar el 5 que multiplica a la incógnita a dividir el segundo miembro de la ecuación.

$5x=20$

$x=\frac{20}{5}$

$x=\boldsymbol{4}$

¿cómo solucionar una ecuación de primer grado?

Las ecuaciones de primer grado o lineales se caracterizan por tener su incógnita elevada a la primera potencia. Los pasos para solucionar este tipo de ecuación son:

Quita los paréntesis en caso de que existieran (a través de la propiedad distributiva u otras operaciones).
Quita los denominadores en caso de que existieran.
Ubica los términos que tienen incógnitas en un miembro y los que no tienen incógnita en otro.
Suma los términos semejantes.
Despeja la incógnita a través de la regla del producto.
Simplifica el resultado obtenido en caso de que sea una fracción.

El valor o los valores de la incógnita de una ecuación que hacen que la igualdad de la misma sea cierta, se denominan solución de la ecuación o raíces de la ecuación. Cuando una ecuación tiene solución, se denomina compatible, en caso contrario, se denomina incompatible. Las ecuaciones que presentan la misma solución son llamadas ecuaciones equivalentes.

– Ejemplo:

$5(2x+3)-4x=-3+3(x-4)$

Primero eliminamos los paréntesis. Para eso, aplicamos la propiedad distributiva. En el primer caso, multiplicamos 5 por cada término dentro de los paréntesis (2x + 3), en el segundo caso, multiplicamos 3 por cada término dentro de los paréntesis (x − 4).

$10x+15-4x=-3+3x-12$

Después ubicamos los términos que tienen incógnitas en un mismo miembro y los que no tienen incógnitas en otro. Para lograrlo aplicamos la regla de la suma o de transposición.

$10x-4x-3x=-3-12-15$

Luego sumamos o restamos los términos semejantes.

$3x=-30$

Despejamos la incógnita. Para lograrlo, aplicamos la regla del producto por medio de la cual el 3 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuación.

$x=\frac{-30}{3}=\boldsymbol{-10}$

Observa que simplificamos el resultado al resolver la fracción.

– Otro ejemplo:

$5(x+2)=1+\frac{x}{2}$

Eliminamos los paréntesis por medio de la propiedad distributiva.

$5x+10=1+\frac{x}{2}$

Quitamos el denominador al multiplicar todos los términos de la ecuación por ese denominador, en este caso es 2.

$2 (5x+10)=2(1+\frac{x}{2})\: \: \Rightarrow \: \: 10x+20=2+\frac{2x}{2}$

Luego efectuamos las divisiones correspondientes.

$10x+20=2+x$

Ubicamos los términos que tienen incógnitas en un mismo miembro y los que no tienen incógnitas en otro. Para lograrlo, aplicamos la regla de la suma o de transposición.

$10x-x=2-20$

Sumamos o restamos los términos semejantes.

$9x=-18$

Despejamos la incógnita. Para lograrlo, aplicamos la regla del producto por medio de la cual el 9 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuación.

$x=-\frac{18}{9}=\boldsymbol{-2}$

¿Cómo comprobar una ecuación?

¡Muy sencillo! Solo tienes que sustituir en la ecuación el valor de la incógnita y resolver. Si la igualdad se cumple, el ejercicio está resuelto correctamente. En caso contrario, debes revisar dónde estuvo el error.

Despejemos esta ecuación:

$2x+6=10\: \: \Rightarrow \: \: 2x=10-6\: \: \Rightarrow \: \: 2x=4\: \: \Rightarrow \: \: x=\frac{4}{2}\: \: \Rightarrow \: \: \boldsymbol{x=2}$

Como x = 2, sustituimos y comprobamos.

$2(2)+6=10\: \: \Rightarrow \: \: 4+6=10\: \: \Rightarrow \: \: \boldsymbol{10=10}$

Por lo tanto, como las igualdades se cumplen, la ecuación está despejada correctamente.

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES

Las ecuaciones son aplicables en mucho ámbitos de la vida, por ejemplo, para planificar nuestro dinero o para determinar cantidades por medio de igualdades. En otras áreas del saber, como la física, la química o la economía, las ecuaciones son de gran utilidad, pues sirven para expresar fórmulas y leyes que describen muchos fenómenos.

En general, algunas aplicaciones de las ecuaciones pueden ser:

Calcular longitudes, áreas, volúmenes y otras dimensiones de objetos.
Expresar cantidades físicas como densidad, peso específico o concentraciones de sustancias.
Formular algebraicamente un planteamiento teórico
Expresar leyes como la ley de gravitación universal en física o la ley para gases ideales en química.
Calcular ganancias y utilidades en el área de finanzas, entre otras aplicaciones.

¡A practicar!

Despeja la incógnita.

$2(1+2x)=10$

Solución

$2(1+2x)=10$

$2+4x=10$

$4x=10-2$

$4x=8$

$x=\frac{8}{4}$

$x=\boldsymbol{2}$

$1-\frac{x}{3}=\frac{5x}{3}$

Solución

$1-\frac{x}{3}=\frac{5x}{3}$

$3\left ( 1-\frac{x}{3} \right )=3\left ( \frac{5x}{3} \right )$

$3-\frac{3x}{3}=\frac{15x}{3}$

$3-x=5x$

$5x+x=3$

$6x=3$

$x=\frac{3}{6}=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$

$15-6\left ( 2x-4 \right )=8+2\left ( 5x-1 \right )$

Solución

$15-6\left ( 2x-4 \right )=8+2\left ( 5x-1 \right )$

$15-12x+24=8+10x-2$

$15+24-12x=8-2+10x$

$39-12x=6+10x$

$12x-10x=6-39$

$-22x=-33$

$x=\frac{-33}{-22}=\boldsymbol{\frac{3}{2}}$

$x+\frac{x}{5}=18$

Solución

$x+\frac{x}{5}=18$

$5\left ( x+\frac{x}{5} \right )=5\left ( 18 \right )$

$5x+\frac{5x}{5}=90$

$5x+x=90$

$6x=90$

$x=\frac{90}{6}=\boldsymbol{15}$

$x+\frac{1}{3}=\frac{x}{3}$

Solución

$x+\frac{1}{3}=\frac{x}{3}$

$3\left ( x+\frac{1}{3} \right )=3\left ( \frac{x}{3} \right )$

$3x+\frac{3}{3}=\frac{3x}{3}$

$3x+1=x$

$3x-x=-1$

$2x=-1$

$x=\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$

$x+7=12x-3-8x+1$

Solución

$x+7=12x-3-8x+1$ $x+7=12x-3+8x+1$

$x-12x+8x=-3+1-7$

$-3x=-9$

$x=\frac{-9}{-3}=\boldsymbol{3}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ecuaciones y despejes”

Este artículo contiene información complementaria referente al manejo de las ecuaciones y los despejes. También presenta una serie de ejercicios resueltos y propuestos de ecuaciones lineales.

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Artículo “Ecuaciones”

Con este recurso podrá complementar la información y los ejemplos sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 3

Polígonos

Podemos observar polígonos en múltiples objetos de nuestro alrededor. Estos son muy diversos y los hay con lados y ángulos iguales o desiguales entre sí. Son elementos fundamentales de la geometría y su conocimiento es esencial en diversos campos del conocimiento, como la ingeniería o la arquitectura.

¿Qué es un polígono?

En geometría, un polígono es una figura geométrica plana delimitada por un número finito de segmentos rectos.

¿Sabías qué?

La palabra “polígono” proviene del griego antiguo que quiere decir “muchos ángulos”.

Los polígonos presentan los siguientes elementos:

Lados: son los segmentos rectos que conforman al polígono.
Vértices: son los puntos en común entre dos lados consecutivos.
Diagonales: son los segmentos que unen a dos lados no consecutivos de un polígono.
Ángulos interiores: están formados por dos lados consecutivos en el interior del polígono.
Ángulos exteriores: están formados en el exterior del polígono entre un lado y la prolongación de otro lado consecutivo.

Polígonos regulares y sus tipos

Un polígono regular tiene lados con la misma longitud. Se caracterizan también porque sus ángulos internos y externos también son iguales. Otra característica es que poseen la misma cantidad de ejes de simetrías que de lados. Las diagonales en este tipo de polígonos tienen la misma longitud y siempre son interiores.

Polígono	Número de lados	Número de diagonales	Medida de cada ángulo interno	Medida de cada ángulo externo
Triángulo equilátero	3	0	60°	120°
Cuadrado	4	2	90°	90°
Pentágono	5	5	108°	72°
Hexágono	6	9	120°	60°
Heptágono	7	14	128,57°	51,43°
Octágono	8	20	135°	45°
Eneágono	9	27	140°	40°
Decágono	10	35	144°	36°
Endecágono	11	44	147,27°	32,73°
Dodecágono	12	54	150°	30°

VER INFOGRAFÍA

El círculo y los polígonos

Todo polígono regular puede estar circunscrito en una circunferencia, lo que quiere decir que cada uno de sus vértices corresponde a un punto de la circunferencia. Mientras más lados tenga el polígono, más se va a aproximar a la forma de la circunferencia. Por esta razón, se asocia a la circunferencia (de forma informal) a un polígono de infinitos lados.

Área de polígonos regulares

Para medir el área de los polígonos es necesario conocer las definiciones de perímetro y apotema.

Perímetro: es la suma de los lados que forman una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, se calcula al multiplicar el número de lados por la longitud de uno de sus lados.

$P= n\times L$

Donde:

P: perímetro
n: número de lados del polígono regular.
L: longitud de uno de los lados del polígono.

Apotema: es la distancia perpendicular desde el centro de un polígono hasta uno de sus lados.

El área de un polígono regular se define como el producto de su perímetro por la apotema (a) dividido entre dos.

$A = \frac{P\times a}{2}$

Donde:

A: área

P: perímetro

a: apotema

– Ejemplo:

Calcular el área de un pentágono cuyos lados miden 6 cm y su apotema es de 4,13 cm.

Lo que debemos hacer es calcular primero el perímetro para luego sustituir en la fórmula junto con la apotema para calcular el área.

$P= n\times L$
$P= 5\times 6\, cm$
$P= 30\, cm$

El perímetro del apotema es 30 cm, al sustituir en la fórmula de área nos queda:

$A = \frac{30\, cm\times 4,13\,cm }{2}$

$A = \frac{123,9\,cm^{2} }{2}$

$A = \mathbf{61,95\, cm^{2}}$

El área del pentágono es de 61,95 cm².

¿Sabías qué?

El Departamento de Defensa de los Estados Unidos es un edificio en forma de Pentágono que mide 140.000 metros cuadrados aproximadamente.

Debido a sus características geométricas, todo polígono regular puede estar inscrito o circunscrito a una circunferencia. Un polígono inscrito tiene todos sus vértices contenidos en la circunferencia. Por otro lado, un polígono circunscrito posee todos sus lados tangentes a la circunferencia. En ambos casos, el centro del polígono coincide con el centro de la circunferencia.

Polígonos irregulares y sus tipos

En los polígonos irregulares se pueden cumplir algunas de estas condiciones:

– Tener sus lados con igual longitud pero sus ángulos internos diferentes.
– Tener sus ángulos de igual medida pero sus lados con diferente longitud.
– Tener sus lados con diferente longitud y sus ángulos internos con diferente medida.

Ejemplos de polígonos irregulares

Rombo

El rombo tiene los cuatro lados con igual longitud pero sus cuatro ángulos internos son diferentes: solo los ángulos opuestos de este polígono son iguales. Por eso se trata de un polígono irregular.

Rectángulo (no cuadrado)

Es un cuadrilátero con sus cuatro ángulos iguales (90°), pero sus lados tienen diferente longitud entre sí. Solo los lados paralelos comparten la misma longitud.

Triángulo (no equilátero)

Todo triángulo con un ángulo interior diferente de 60 grados es un polígono irregular.

Triángulos regulares e irregulares

Según sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos. Los equiláteros son los únicos triángulos que cumplen con las características de un polígono regular. Los triángulos escalenos son aquellos en los que las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos internos son diferentes, por lo tanto no son polígonos regulares. Por otra parte, los triángulos isósceles al contar solo con dos lados y dos ángulos iguales tampoco son considerados como polígonos regulares.

Perímetro de polígonos

Calculamos el perímetro de los polígonos regulares a través de la fórmula planteada anteriormente:

$P= n\times L$

En cambio, en los polígonos irregulares, cuyos lados generalmente son diferentes, esta ecuación no siempre aplica. Para lo cual debemos sumar de forma separada las longitudes de cada uno de los lados.

$P= L_{1}+L_{2}+L_{3}+...+L_{n}$

Por ejemplo, para calcular el perímetro del siguiente triángulo isósceles simplemente sumamos cada una de las longitudes de sus lados.

$P= 60\,\, cm+60\,\, cm+40\,\, cm$

$P= \mathbf{160\,\, cm}$

El perímetro de este triángulo irregular es de 160 cm.

¡A practicar!

1. Determina el perímetro y el área de los siguientes polígonos regulares según los datos mostrados.

a) Un eneágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 9,62 cm.

Solución

P = 63 cm
A = 303,03 cm²

b) Un pentágono regular cuyos lados miden 6 cm y su apotema 4,13 cm.

Solución

P = 30 cm
A = 61,95 cm²

c) Un heptágono regular cuyos lados miden 8 cm y su apotema 8,31.

Solución

P = 56 cm
A = 232,68 cm²

d) Un triángulo regular (equilátero) cuyos lados miden 5 cm y su apotema 1,44 cm.

Solución

P= 15 cm
A = 10,8 cm²

e) Un decágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 4,62 cm.

Solución

P= 30 cm
A = 69,3 cm²

f) Un dodecágono regular cuyos lados miden 4 cm y su apotema 7,46 cm.

Solución

P= 48 cm
A = 179,04 cm²

g) Un hexágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 6,06 cm.

Solución

P= 42 cm
A = 127,26 cm²

h) Un octágono regular cuyos lados miden 2 cm y su apotema 2,41 cm.

Solución

P= 16 cm
A = 19,28 cm²

i) Un endecágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 5,11 cm.

Solución

P= 33 cm
A = 84,315 cm²

j) Un cuadrado cuyos lados miden 4 cm y su apotema 2 cm.

Solución

P= 16 cm
A = 16 cm²

2. ¿A qué polígono con una apotema de 4,33 cm le corresponde un área de 64,95 cm².

a) Un decágono de 2 cm de lado.
b) Un hexágono de 5 cm de lado.
c) Un pentágono de 7 cm de lado.
d) Un octágono de 4 cm de lado.

Solución

b) Un hexágono de 5 cm de lado.

3. ¿Qué polígono irregular tiene sus lados de igual longitud pero sus ángulos internos son diferentes?

a) Círculo
b) Cuadrado
c) Rectángulo
d) Rombo

Solución

d) Rombo

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Perímetro de los polígonos”

Este artículo define qué es un polígono, cuáles son sus clasificaciones y cómo se calcula su el perímetro. También plantea una serie de ejercicios para resolver.

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Artículo “Cuadriláteros”

Este recurso explica los diferentes tipos de cuadriláteros que existen y sus características principales.

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Micrositio “Tarjetas Educativas – Geometría y medidas”

En este micrositio se puede encontrar una serie de tarjetas interactivas que resumen los elementos principales de la geometría, como los polígonos y sus principales características.

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